(完整版)高考数学概率和统计知识点,推荐文档
高考数学概率与统计部分知识点梳理(DOC)
高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ，d ，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是 ．分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=106=53评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解：画树状图如图树状图。
由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）=31点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 是6的倍数的可能情况。
高考复习概率与统计知识点归纳总结
概率与统计知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）样本本均值：nx x x x n +++= 21 （2）样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-== （3）频率分布直方图估算样本众数、中位数、平均数①众数：最高小矩形中点值；②中位数：先确定中位数所在小组，设中位数为m ，由直线x=m 两侧小矩形面积之和等于0.5列方程求m ． ③平均数：各小矩形中点值与其面积的积的和．2．随机事件的概率及概率的意义（1）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（2）概率定义：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A为事件A 出现的频率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率．3．概率的基本性质（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)4．古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性．（2）公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A 5．几何概型及均匀随机数的产生（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ． 6．随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示．7．离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，．．．．． ，x i ，．．．．．．，x n ．X 取每一个值 x i (i=1，2，．．．．．．）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列分布列性质：∪ p i ≥0， i =1，2， … ；∪ p 1 + p 2 +…+p n = 1．9．条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率．记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率公式：.0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P 10．相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，)()()(B P A P B A P ⋅=⋅12．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 Eξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量．13．方差：D(ξ)=(x 1-Eξ)2·P 1+（x 2-Eξ)2·P 2 +．．．．．．+（x n -Eξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差．14．正态分布：（1）定义：若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图象，其中解析式中的实数0)μσσ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布(,)N μσ记作：，f( x )的图象称为正态曲线；（2）基本性质：∪曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；∪曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点；∪当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”；表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；∪正态曲线下的总面积等于1．15．3原则：从上表看到，正态总体在 以外取值的概率只有4．6%，在 以外取值的概率只有0．3% 由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπμμμσσσσ)2,2(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-17．回归分析。
(完整版)高三数学概率统计知识点归纳
概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=Λ.三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.一、 随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数 ： ①、常规平均数：xx 1x 2x n②、加权平均数： xx 1 1 x 2 2x nnn12n3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数 。
4、方差： s 21[( x 1 x) 2 ( x 2 x )2( x nx )2 ]n二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积： f S y 距 d ；频率 =频数 / 总数2、频率之和 ： f 1f 2f n 1 ；同时 S 1 S 2S n1 ；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差1、众数： 最高小矩形底边的中点。
2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f nx x 1 S 1 x 2 S 2x 3 S 3x n S n3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5 时 x 的值。
4、方差： s 2( x 1x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2( x n x) 2 f n四、线性回归直线方程 ： ? ? ?bxy an(x ix )( y iy )nx i y i nxy??其中： b i 1i 1,a?ybxnn( x i x )2x i 2nx 2i 1i11、线性回归直线方程必过样本中心( x , y ) ；??0 : 负相关。
2、 b 0 : 正相关； b?3、线性回归直线方程： y? ?bx a?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析?i1、残差 ： ?iy i?i 越小越好；ey （残差 =真实值—预报值）。
分析：e2、残差平方和 ：n? )2(y i，i 1y in( y iy )2( y 1 y )2 ( yy )2( yy )2分析：①意义：越小越好；②计算：?i?12?2n?ni 1n ?i )23、拟合度（相关指数） ： R 21( yy ，分析：① . R 20,1②. 越大拟合度越高；i 1的常数；ny)2i ( y i1nn4、相关系数 ： ri ( x i x )( y i y)x i y i nx y1i 1nx)2 ny) 2 nx) 2 ny )2i 1( x i i ( y i( x i ( y i1i 1i 1分析：① . r[ 1,1]的常数；② . r 0: 正相关； r0: 负相关③. r[0,0.25] ；相关性很弱；r(0.25,0.75) ；相关性一般；r [0.75,1] ；相关性很强；六、独立性检验 x 1 x 21、2×2 列联表 ：合计2、独立性检验公式 bc)2y 1 a b a b ①． k 2(an( add )y 2cdc db)(c d )(a c)(b合计a cb dn②．犯错误上界 P 对照表3、独立性检验步骤①．计算观察值n(ad bc) 2k ： k；(a b)(c d )(a c)(b d )②．查找临界值 k0：由犯错误概率P，根据上表查找临界值k0；③．下结论： k k0：即犯错误概率不超过P 的前提下认为：, 有 1-P 以上的把握认为：;k k0：即犯错误概率超过P 的前提认为：,没有 1-P 以上的把握认为：;【经典例题】题型 1 与茎叶图的应用例 1（ 2014 全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50 位市民。
高中数学概率统计知识点全归纳
高中数学《概率与统计》知识点总结一、统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn 。
2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++= 321；取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：212)(1∑=−=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=−=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧−⎪⎪=⎪⎨−⎪⎪=−⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
二、概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示； ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。
高三数学统计和概率知识点
高三数学统计和概率知识点一、统计学概述统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解读的学科。
它在各个领域中都扮演着至关重要的角色，尤其对于高三数学考试来说，统计学知识点是必须要掌握的。
二、数据收集与整理1. 定义和分类数据：定量数据是可以被表示为数字的数据，而定性数据则是描述性的，无法用数字来表示。
在统计学中，我们将数据分为了这两类。
2. 数据的收集方法：数据的收集可以通过问卷调查、实验、观察等方法进行。
在收集数据时，需要注意样本的大小和样本的抽样方式，以确保数据的准确性和可靠性。
3. 数据的整理：数据整理常用的方法有频数表和统计图表。
频数表可以将数据进行分类，并计算每个类别的频数，统计图表则是以图形的方式展示数据的分布情况，如条形图、饼图等。
三、描述统计量1. 极差和百分位数：极差是最大值与最小值之差，而百分位数则是将样本按大小排序后，将其划分为百分之几的位置值。
2. 平均数和中位数：平均数是将所有数据相加后除以数据个数得到的结果，而中位数则是将数据从小到大排序后，位于中间的数值。
3. 方差和标准差：方差反映了数据的离散程度，标准差则是方差的平方根。
四、概率1. 事件和概率：在概率理论中，事件是一次随机试验的结果，而概率则是事件发生的可能性。
概率的计算可以通过频率法、古典概型和几何概型等方法进行。
2. 事件的关系：概率的运算包括交、并、差和补等操作。
交表示两个事件同时发生，并表示两个事件中至少一个发生，差表示一个事件发生而另一个事件不发生，补表示一个事件不发生。
3. 条件概率：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算可以利用贝叶斯公式进行。
4. 独立事件：两个事件相互独立意味着它们的发生互不影响。
五、概率模型1. 离散型随机变量：离散型随机变量的取值有限且可数，常见的概率分布有二项分布和泊松分布。
2. 连续型随机变量：连续型随机变量的取值是无限的，通常使用概率密度函数来描述其分布，常见的概率分布有正态分布和指数分布。
数学高考必备概率与统计知识点总结
数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。
掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。
本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。
一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。
在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。
1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。
掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。
1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。
掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。
1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。
理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。
二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。
掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。
2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。
了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。
三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。
掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。
3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。
在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。
四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。
【高考数学精品】概率与统计知识点全归纳
s 概率与统计知识点全归纳1.随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2.样本的频率分布估计总体分布(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：xx1＋x2＋…＋x n＝，反映了一组数据的平均水平．n(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，(5)方差：s2＝1[(x1－x )2＋(x2－x )2＋…＋(x n－x )2](x n是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．n4.概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n(A)＝n A为事件A 出现的频率．n(2)对于给定的随机事件A，由于事件A 发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．5.事件的关系与运算6. 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率 P (E )＝1.(3)不可能事件的概率 P (F )＝0. (4)概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P (A )＝1－P (B )．7. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：高中数学资料共享群（734924357）(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等． 8．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数.基本事件的总数9. 相关关系与回归方程(1)相关关系的分类①正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． ②负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(2) 线性相关关系：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(3) 回归方程①最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．^ ^ ^②回归方程：方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其n n⎧⎪ ^^中a ，b 是待定参数．⎪ ∑(x i - x )( y i - y ) ∑x i y i - nx y ⎪b ˆ = i =1 = i =1 , ⎨ (x - x )2 n x 2 - nx 2 ∑ i ⎪i =1 ∑ ii =1 ⎪⎩aˆ = y - b ˆx . (4) 回归分析①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． ②样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中( x ， y )称为样本点的中心． ③相关系数当 r >0 时，表明两个变量正相关；当 r <0 时，表明两个变量负相关．高中数学资料共享群（734924357）r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性．10. 独立性检验(1) 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2) 列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为2×2 列联表构造一个随机变量 K 2＝ n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3) 独立性检验利用随机变量 K 2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．11. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理nn n n ＋1 n nn n12. 排列、组合的定义13. 排列数、组合数的定义、公式、性质14. 二项式定理15. 二项式系数的性质(1)C 0＝1，C n ＝1，C m＝C m －1＋C m . C m ＝C n －m(0≤m ≤n )．(2)二项式系数先增后减中间项最大．高中数学资料共享群（734924357）i=1 n nn ＋1 n ＋3当 n 为偶数时，第 ＋1 项的二项式系数最大，最大值为C 2 ，当 n 为奇数时，第 项和第 项的二项式系数最大，n -1最大值为Cn 22 n +1或C n2 .n 2 2(3)各二项式系数和：C 0＋C 1＋C 2＋…＋C n ＝2n ，C 0＋C 2＋C 4＋…＝C 1＋C 3＋C 5＋…＝2n －1.nnnnnnnnnn16. 离散型随机变量的分布列(1) 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． (2) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值 x i (i ＝1,2，…，n )的概率 P (X＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1+p 2+…+p n =1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．17. 两点分布如果随机变量 X 的分布列为其中 0<p <1，则称离散型随机变量 X 服从两点分布．其中 p ＝P (X ＝1)称为成功概率．高中数学资料共享群（734924357）18. 离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为(1) 均值称 E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2) 方差称 D (X )＝Σn [xi －E (X )]2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根 D (X )为随机变量 X 的标准差．19. 均值与方差的性质 (1) E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2) D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)n μ σ 20. 超几何分布C k C n －k一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 x 件次品，则 P (X ＝k)＝ M N －M (k ＝0,1,2，…，m )，即 n N其中 m ＝min{M ，n }，且 n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布．21. 条件概率及其性质(1) 对于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P (B |A )来表示，其公式为 P (B |A )＝P (AB )(P (A )>0)．P (A )在古典概型中，若用 n (A )表示事件 A 中基本事件的个数，则 P (B |A )＝n (AB ).n (A )(2) 条件概率具有的性质①0≤P (B |A )≤1；②如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 22．相互独立事件(1) 对于事件 A ，B ，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A ，B 是相互独立事件． (2) 若 A 与 B 相互独立，则 P (B |A )＝P (B )．(3) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立． (4) P (AB )＝P (A )P (B )⇔A 与 B 相互独立． 23. 独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2) 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则 P (X ＝k )＝C k p k(1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X ～B (n ，p )，并称 p 为成功概率．24. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若 X ～B (n ，p )，则 E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．25. 正态分布(1) 正态曲线：函数φ(x )-( x -μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φ ， (x )C μ，σ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2) 正态曲线的特点①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝μ对称； ③曲线在 x ＝μ④曲线与 x 轴之间的面积为 1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.。
2023高考数学概率与统计基础知识清单
2023高考数学概率与统计基础知识清单概率与统计作为高中数学的重要组成部分，是2023年高考数学考试的核心内容之一。
掌握概率与统计的基础知识对于考生来说至关重要。
下面将为大家列出2023高考数学概率与统计的基础知识清单，帮助大家做好备考。
一、概率基础知识1. 事件与样本空间：事件是指一个或一组可能发生的结果，而样本空间是指所有可能结果的集合。
2. 概率的定义：概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，其中A是事件。
3. 概率的性质：概率的取值范围在0到1之间，且对于必然事件，其概率为1；对于不可能事件，其概率为0。
4. 概率的计算：计算概率可以通过频率方法、古典概型和几何概率等方法进行。
5. 条件概率：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，通常表示为P(A|B)。
6. 乘法定理：乘法定理用于计算联合事件的概率，即P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。
7. 加法定理：加法定理用于计算两个事件的和事件的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
二、统计基础知识1. 统计数据的分类：统计数据根据数量级的不同可以分为定性数据和定量数据。
2. 统计图形：统计图形常用于展示数据的分布情况，包括直方图、折线图、饼图等。
3. 中心趋势度量：中心趋势度量用于描述数据集中的一个典型值，包括平均数、中位数和众数。
4. 离散程度度量：离散程度度量用于描述数据的离散程度，包括极差、方差和标准差。
5. 点估计与区间估计：点估计是根据样本数据估算总体参数的一种方法，区间估计是给出一个可能范围的估计结果。
6. 抽样与抽样分布：抽样是指从总体中选取一部分样本进行统计分析，抽样分布是指样本统计量的概率分布。
7. 假设检验：假设检验是用于判断总体参数是否符合某种设定的方法，包括单样本假设检验和两样本假设检验等。
三、综合应用1. 概率与统计的应用：概率与统计在现实生活中有广泛的应用，例如随机事件的模拟、统计调查和贝叶斯定理等。
概率与统计高考数学知识点
概率与统计高考数学知识点是高中数学中的一门重要学科，也是高考数学中的一个必考知识点。
它涉及到了我们日常生活中的许多场景和问题，比如研究随机事件的发生规律、分析抽样数据的特征等。
下面，我们将从的基本概念、常见应用和解题技巧等方面探讨这一知识点。
的基本概念是我们学习的起点，也是理解后续知识的基础。
在概率中，我们关注的是事件的发生可能性。
概率可以用一个介于0和1之间的数字来表示，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
统计则是对数据进行收集、整理和分析的过程，旨在从数据中获得有关事物的信息。
在统计中，我们常常使用频率、平均数、中位数等概念来描述数据的特征。
在实际应用中，常常被用来解决各种问题。
比如，在赌场中，人们可以通过计算概率来确定下注的策略；在医学研究中，可以使用统计方法来评估药物的疗效；在市场调查中，可以利用概率来预测产品的销售情况。
还可以帮助我们分析个体和总体之间的关系，比如我们可以通过抽样调查来得出总体特征的估计值。
在高考中，考查的题目形式多种多样。
我们可以通过一些经典的问题来了解解题的思路。
比如，有一枚硬币，抛掷10次，求出现正面的次数为偶数的概率。
首先，我们可以列出所有可能的抛掷结果，共有2^10=1024种。
然后，我们观察到正面出现次数为偶数的情况有多少种，发现偶数次数为0、2、4、6、8和10的情况各有一半，共6种。
因此，正面出现次数为偶数的概率为6/1024=3/512。
通过这个例题，我们可以看出，解决概率问题需要进行逻辑推理和计算。
除了计算概率，我们还可以通过统计方法来分析数据的特征。
比如，假设一个班级有60个学生，他们的身高数据如下：150, 155, 162, 165, 167, 168, 169, 170, 172, 175, 176, 178, 179, 180, 182, 185, 190。
我们可以通过计算平均数、中位数和众数来描述这些数据的特征。
平均数是所有数据相加后除以数据个数，这里的平均数约为171.78；中位数是将数据按照大小排序后，位置处于中间的数，这里的中位数为170；众数是出现次数最多的数，这里的众数为167。
高考数学概率统计知识点总结
高考数学概率统计知识点总结高考概率统计数学知识点综述一、算法、概率和统计1.初步算法(约12课时)(1)算法的含义和程序框图通过分析解决具体问题(如解二元线性方程组等)的过程和步骤。
)，我们可以理解算法的思想和意义。
通过模仿、操作和探索，体验设计程序框图解决问题的过程。
在解决具体问题的过程中(如解三元线性方程组等。
)，了解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支和循环。
(2)基本算法语句走完把具体问题的程序框图转换成程序语句的过程，了解几个基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句，进一步了解算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3.概率(约8课时)(1)在具体情况下，理解随机事件的不确定性和频率稳定性，进一步理解概率的含义和频率与概率的区别。
(2)通过举例理解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例，了解经典概率及其概率计算公式，用枚举法计算基本事件数和一些随机事件发生的概率。
(4)理解随机数的含义，利用模拟方法估计概率(包括计算器生成的随机数进行模拟)，初步理解几何概率的含义(见例3)。
(5)通过阅读材料，了解人类对随机现象的认知过程。
2.统计(约16课时)(1)随机抽样(1)能从现实生活或其他学科中提出一些有价值的统计问题。
结合具体实际问题情况，了解随机抽样的必要性和重要性。
在解决统计问题的过程中，学会用简单的随机抽样方法从整个人群中抽取样本；通过实例分析，我们可以了解分层抽样和系统抽样的方法。
数据可通过实验、查阅资料、设计问卷等方式收集。
(2)用样本估计总体。
通过实例体会分布的意义和作用。
在表示样本数据的过程中，学会列出频率分布表，画出频率分布直方图、频率折线图和茎叶图(见例1)，体验它们各自的特点。
通过实例了解样本数据标准差的含义和作用，学会计算数据标准差。
根据实际问题的需要合理选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如均值和标准差)，并做出合理的解释。
高考复习概率与统计知识点归纳总结
高考复习概率与统计知识点归纳总结概率与统计是高中数学中的一大重点和难点。
在高考中，这一部分的知识点占有相当大的比重，因此学生需要在复习阶段集中精力，深入理解和掌握相关的知识点。
本文将对高考概率与统计的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地复习和备考。
一、概率基本概念1. 随机事件与样本空间：随机事件是对某一随机试验的结果的一种描述，样本空间是一个随机试验中可能出现的所有结果的集合。
2. 事件的概率：事件A发生的概率用P(A)表示，其计算公式为P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的结果总数。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件中一个必然发生，另一个必然不发生。
4. 事件的独立性：两个事件相互独立指的是一个事件的发生不受另一个事件的影响，它们的概率计算是相互独立的。
二、排列与组合1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按一定的顺序排列成一列。
公式为An^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑排列顺序。
公式为Cn^m = n! / (m!(n-m)!)。
三、事件概率的计算1. 加法定理：对于两个事件A和B，其和事件A∪B的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，其积事件A∩B的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 全概率公式：对于一组互斥事件A1、A2、...、An，其和事件A的概率为P(A) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An)。
4. 条件概率公式：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
四、随机变量与概率分布1. 随机变量：随机变量是随机试验结果的函数，它的取值是随机的。
高考数学知识点归纳(完整版)
高考数学知识点归纳（完整版）高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考数学知识点高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 高考数学必考知识点归纳必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程高考数学必考知识点归纳必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
高考数学必考知识点归纳必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
高考数学必考知识点归纳必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考数学概率统计知识点(大全)
高考数学概率统计知识点（大全）高考数学概率统计知识点一、随机事件(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A—B可以表示成A与B 的逆的积。
(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。
(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。
二、概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。
三、概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)—P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A—B)=P(A)—P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A—B)=P(A)—P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)。
它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai)。
它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1，A2，...，An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式。
(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n，k)p^k(1—p)^(n—k)，k=0，1，2，...，n。
当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式。
高中数学统计与概率知识点归纳(全)
高中数学统计与概率知识点（文）一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。
众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)三 .众数、中位数及平均数的求法。
①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。
③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
四、中位数与众数的特点。
⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：七、简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）, 如果每次12||||||n x x xx x x n22212()()()n x x x x x x sn抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
高考数学概率与统计部分知识点梳理
高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ，d ，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是 ．分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=106=53评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解：画树状图如图树状图。
由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）=31点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 是6的倍数的可能情况。
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ξ、η 等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1， x2 ，……， xi ，……， 取每一个值 xi （
所以商家拒收这批产品的概率为 95 ． 例 12．
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即
432
被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5 、 5 、 5 ,且各轮问 题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）
（1） 二项分布
n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为
P P( k ) Ck pk qnk
q 1 p
0，1，2，…n，并且 k
n
，其中0 k n，
，随机变量 的分布列
如下：
0
1
…
k
…
n
P
C 0 p 0 qn n
C1 p1qn1 n
…
Ck pk qnk n
及推理和运算能力.
[解答提示]至少有 3 人出现发热反应的概率为
C3 0.803 0.202 C 4 0.804 0.20 C5 0.805 0.94
5
5
5
.
故填 0.94.
离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母
Cn pn q 0 n
称这样随机变量 服从二项分布，记作 ~B(n , p) ，其中n 、 p 为参数，并记：
Cknkpnqk b(k ; n , p) .
（2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随 机变量，“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量 的概率分布为：
的分布列及期望 E ,并求出该商家拒收这批产品的概率. [解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A
PA 1 P A 1 0.24 0.9984
用对立事件 A 来算，有
（Ⅱ） 可能的取值为0,1,2 ．
P 0
C172 C220
191036，
P 1
C1C1
P( A) m
依公式
n 求值;
答，即给问题一个明确的答复.
(2) 互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P( A )＝P(A＋ A )＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ Cnkp (k1 p)
n
(1
p)nk
求
解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例 1． 在五个数字1，2，3，4，5中，。
例 2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
P C31 3 3 .
C3 5 4 10
5
[解答过程]0.3 提示:
2
例 2．一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样
本，则指定的某个个体被抽到的概率为
．
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1.
P51.
[解答过程] 20 提示: 100 20
例 3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现
发热反应的概率为
.（精确到 0.01）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以
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高中数学之概率与统计
求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
card(A) m (1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ card(I ) ＝ n ; 等可能事件概率的计算步骤：
计算一次试验的基本事件总数n;
设所求事件 A，并计算事件 A 包含的基本事件的个数m ;
3 17
C2
51
190 ，
20
P 2 C32 3
C220 190
0
1
2
E 0 136
记“商家
P 51 3
1 190 2190
3119306 0
51 190
3 190
1产90品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率
． 任取 2 件
P 1 P B 1 136 27
190 95 ．
27
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1
2
3
…
k
…
P
p
qp
q2 p
…
qk 1 p
…
例 1． 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机
抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件是合格的概率； （Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件. 都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数
和 事 件
第二步，判断事件的运算积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
等 可 能 事 件 : P( A) m
n
互斥事件：P( A 独立事件：P( A
B) B)
P( P(
A) A)
P(B) P(B)
第三步，运用公式
n次 独 立 重 复 试 验 :P
(k
n
)
Ck pk
nk
.其中 P 为事件 A
在一次试验中发生
的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
求概率的步骤是：
等可能事件 互 斥 事 件 独 立 事 件
第一步，确定事件性质 n 次 独 立 重 复 试 验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
i 1，2，……）的概率 P（ xi ）= Pi，则称下表.
x1
x2
…
xi
…
P
P1 P2 … Pi …
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1） Pi 0 ， i 1，2，…;（2） P1 P2 …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：