常州市2001-2020年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质

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2020年江苏省常州市中考数学试题及参考答案(word解析版)

常州市二〇二〇年初中学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±25．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+16．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在相应位置上）9．计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．分解因式：x3﹣x＝．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【知识考点】相反数．【思路分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解题过程】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【知识考点】同底数幂的除法．【思路分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解题过程】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．【解题过程】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．【总结归纳】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±2【知识考点】立方根．【思路分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．【解题过程】解：8的立方根是＝＝2，故选：C．【总结归纳】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．5．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1【知识考点】不等式的性质．【思路分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解题过程】解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．【总结归纳】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【解题过程】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【知识考点】直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解题过程】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【总结归纳】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【思路分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM ＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．【解题过程】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在相应位置上）9．计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．【知识考点】实数的运算；零指数幂．【思路分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解题过程】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．【总结归纳】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．【解题过程】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【总结归纳】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．分解因式：x3﹣x＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解题过程】解：x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【总结归纳】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．【知识考点】一次函数图象与系数的关系．【思路分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解题过程】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．【总结归纳】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【知识考点】一元二次方程的解．【思路分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．【解题过程】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．【知识考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．【思路分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解题过程】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．【总结归纳】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．【知识考点】数学常识；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【思路分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．【总结归纳】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【思路分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解题过程】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，∵AC＝2BC，∴设AC＝2a，BC＝a，∴CE＝2a，CG＝a，∴tan∠CEG＝＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．【知识考点】三角形中位线定理；解直角三角形．【思路分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解题过程】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．【总结归纳】本题考查三角函数定义，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解题过程】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．【知识考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解题过程】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．【总结归纳】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图．【思路分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．【解题过程】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．【总结归纳】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【解题过程】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．【总结归纳】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【知识考点】全等三角形的判定与性质．【思路分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解题过程】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．【总结归纳】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解题过程】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解题过程】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，【总结归纳】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【知识考点】全等三角形的性质；含30度角的直角三角形；作图﹣旋转变换．【思路分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解题过程】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．【总结归纳】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．【解题过程】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，故答案为：D，10．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．【总结归纳】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方时，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ 交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；。

2020年江苏省常州市中考数学试卷(含详细解析)

4．8的立方根是（）
A．2 B．±2C．±2 D．2
5．如果，那么下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
6．如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（）
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2020年江苏省常州市中考数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、单选题
1．2的相反数是（）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（）
A． B． C． D．
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数的表达式；
A．3B．4C．5D．6
8．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（）
A． B．4C． D．6
评卷人
得分
二、填空题
9．计算：|－2|＋(π－1)0＝____．
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．

2020年江苏省常州市中考数学试卷-含详细解析

2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.2的相反数是()A. −2B. −12C. 12D. 22.计算m6÷m2的结果是()A. m3B. m4C. m8D. m123.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥4.8的立方根为()A. 2√2B. ±2√2C. 2D. ±25.如果x<y，那么下列不等式正确的是()A. 2x<2yB. −2x<−2yC. x−1>y−1D. x+1>y+16.如图，直线a、b被直线c所截，a//b，∠1=140°，则∠2的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB=135°，S△ABD=2.若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是()A. 2√2B. 4C. 3√2D. 6二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：|−2|+(π−1)0=______．10.若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是______．11.地球的半径大约为6400km.数据6400用科学记数法表示为______．12.分解因式：x3−x=_________13.若一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是______．14.若关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，则a=______．15.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=______°.16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是______．17.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．18.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解方程和不等式组：(1)xx−1+21−x=2；(2){2x−6<0−3x≤6．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2．21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．(1)本次抽样调查的样本容量是______；(2)补全条形统计图；(3)该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．(1)搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是______；(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EA=FB，AB=CD．(1)求证：∠E=∠F；(2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=8(x>0)的图象交于点A(a,4).点B为x轴正半轴上x一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．(1)求a的值及正比例函数y=kx的表达式；(2)若BD=10，求△ACD的面积．26.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．(1)点F到直线CA的距离是______；(2)固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法).该图形的面积为______；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长．27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28.如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C(1,0)，且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．(1)填空：b=______；(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标；(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：2的相反数是−2．故选：A ．利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：m 6÷m 2=m 6−2=m 4．故选：B ．利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.【答案】C【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C ．该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4.【答案】C【解析】解：8的立方根是√83=√233=2，故选：C ．根据立方根的定义求出√83的值，即可得出答案．本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a 的立方根是√a 3．5.【答案】A【解析】解：∵x <y ，∴2x <2y ，故本选项符合题意；B 、∵x <y ，∴−2x >−2y ，故本选项不符合题意；C 、∵x <y ，∴x −1<y −1，故本选项不符合题意；D 、∵x <y ，∴x +1<y +1，故本选项不符合题意；故选：A ．根据不等式的性质逐个判断即可．本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵∠1+∠3=180°，∠1=40°，∴∠3=180°−∠1=180°−140°=40°∵a//b ，∴∠2=∠3=40°．故选：B．先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB=90°，∵点M是BC的中点．BC，∴MH=12∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．本题考查了直角三角形斜边直线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA//BC，OA=BC，∴∠AOM=∠CNM，∵BD//y轴，∴∠CBD=∠CNM，∴∠AOM=∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB=∠AMO，∴△AOM≌△CBD(AAS)，∴OM=BD=√2，BD⋅AE=2，BD=√2，∵S△ABD=12∴AE=2√2，∵∠ADB=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，(x>0)的图象经过A、D两点，∵反比例函数y=kx∴k=√2m=(m−2√2)×3√2，解得m=3√2，∴k=√2m=6．故选：D．根据三角形面积公式求得AE=2√2，易证得△AOM≌△CBD(AAS)，得出OM=BD=√2，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=2√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m=3√2，进一步求得k=6．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．9.【答案】3【解析】解：|−2|+(π−1)0=2+1=3，故答案为：3．首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10.【答案】x≠1【解析】解：依题意得：x−1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．分式有意义时，分母x−1≠0，据此求得x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件．(1)分式有意义的条件是分母不等于零．(2)分式无意义的条件是分母等于零．11.【答案】6.4×103【解析】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】x(x+1)(x−1)【解析】解：x3−x，=x(x2−1)，=x(x+1)(x−1)．故答案为：x(x+1)(x−1)．本题可先提公因式x，分解成x(x2−1)，而x2−1可利用平方差公式分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13.【答案】k>0【解析】解：∵一次函数y=kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k>0．故答案为：k>0．根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k 的取值范围．本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时y随x的增大而增大．14.【答案】1【解析】解：∵关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，∴把x=1代入方程得：1+a−2=0，解得：a=1，故答案为：1．把x=1代入方程得出1+a−2=0，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15.【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°．故答案为：30．根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B．本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF．16.【答案】(2,√3)【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，∴CD=AD=AB=2，∵∠DAB=120°，∴∠OAD=60°，Rt△AOD中，∠ADO=30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C(2,√3)，故答案为：(2,√3).根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17.【答案】12【解析】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA=∠GCB=45°，∴∠ECG=90°，设AC=2，BC=1，∴CE=2√2，CG=√2，∴tan∠GEC=CGEC =12，故答案为：12．根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18.【答案】4【解析】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG//BT，∵AD=DB，AE=EC，∴DE//BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG=DT，DG=BT，∠BDH=∠ABC=45°，∵AD=DB=3√2，∴BH=DH=3，∵∠TBF=∠BHF=90°，∴∠TBH+∠FBH=90°，∠FBH+∠F=90°，∴∠TBH=∠F，∴tan∠F=tan∠TBH=BTBF =DGBF=13，∴THBH =13，∴TH=1，∴DT=TH+DH=1+3=4，∴BG=4．故答案为4．如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT 是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．19.【答案】解：(1)方程两边都乘以x −1得：x −2=2(x −1)，解得：x =0，检验：把x =0代入x −1得：x −1≠0，所以x =0是原方程的解，即原方程的解是：x =0；(2){2x −6<0 ①−3x ≤6 ②， ∵解不等式①得：x <3，解不等式②得：x ≥−2，∴不等式组的解集是：−2≤x <3．【解析】(1)方程两边都乘以x −1得出方程x −2=2(x −1)，求出方程的解，再进行检验即可；(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解(2)的关键．20.【答案】解：(x +1)2−x(x +1)=x 2+2x +1−x 2−x=x +1，当x =2时，原式=2+1=3．【解析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．21.【答案】100【解析】解：(1)本次抽样调查的总人数是：25÷25%=100(人)，则样本容量是100；故答案为：100；(2)打乒乓球的人数有：100×35%=35(人)，踢足球的人数有：100−25−35−15=25(人)，补全统计图如下：(3)根据题意得：2000×15100=300(人)，答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．(1)根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；(2)用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；(3)用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】13【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P(和为奇数)=46=23．(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；(2)用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．23.【答案】证明：(1)∵EA//FB，∴∠A=∠FBD，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△EAC与△FBD中，{EA=FB∠A=∠FBD AC=BD，∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E=∠F；(2)∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA=∠D=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°−40°−80°=60°，答：∠E 的度数为60°．【解析】(1)首先利用平行线的性质得出，∠A =∠FBD ，根据AB =CD 即可得出AC =BD ，进而得出△EAC≌△FBD 解答即可；(2)根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD 是解题关键．24.【答案】解：(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22，解得：{x =8y =6．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．(2)设购买m 千克苹果，则购买(15−m)千克梨，依题意，得：8m +6(15−m)≤100，解得：m ≤5．答：最多购买5千克苹果．【解析】(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买m 千克苹果，则购买(15−m)千克梨，根据总价=单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：(1)把点A(a,4)代入反比例函数y =8x (x >0)得，a =84=2，∴点A(2,4)，代入y =kx 得，k =2，∴正比例函数的关系式为y =2x ，答：a =2，正比例函数的关系式为y =2x ；(2)当BD =10=y 时，代入y =2x 得，x =5，∴OB =5，当x =5代入y =8x 得，y =85，即BC =85，∴CD =BD −BC =10−85=425， ∴S △ACD =12×425×(5−2)=12.6，【解析】(1)把把点A(a,4)代入反比例函数关系式可求出a 的值，确定点A 的坐标，进而求出正比例函数的关系式；(2)根据BD =10，求出点B 的横坐标，求出OB ，代入求出BC ，根据三角形的面积公式进行计算即可．本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26.【答案】1 π12【解析】解：(1)如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．∴∠ACB=60°，∠FCE=∠BAC=30°，AC=CF，∴∠ACF=30°，∴∠BAC=∠FCD，在△ABC和△CDF中，{∠BAC=∠FCD ∠ABC=∠CDF AC=CF，∴△ABC≌△CDF(AAS)，∴FD=BC=1，故答案为1；(2)线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S 阴=S△EFC+S扇形ACF−S扇形CEH−S△AHC=S扇形ACF−S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．(3)如图2中，过点E作EH⊥CF于H.设OB=OE=x．在Rt △ECF 中，∵EF =1，∠ECF =30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32，在Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=√1+x 2，∴OH =CH =OC =32−√1+x 2，在Rt △EOH 中，则有x 2=(√32)2+(32−√1+x 2)2，解得x =√73或−√73(不合题意舍弃)， ∴OC =(√73)=43， ∵CF =2EF =2， ∴OF =CF −OC =2−43=23．(1)如图1中，作FD ⊥AC 于D.证明△ABC≌△CDF(AAS)可得结论．(2)线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．根据S 阴=S △EFC +S 扇形ACF −S 扇形CEH −S △AHC =S 扇形ACF 计算即可．(3)如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H.设OB =OE =x.在Rt △EOH 中，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查作图−旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27.【答案】D 20【解析】解：(1)①由题意，点D 是⊙O 关于直线m 的“远点”，⊙O 关于直线m 的特征数=DB ⋅DE =2×5=20，故答案为D ，20．②如图1−1中，过点O 作OH ⊥直线n 于H ，交⊙O 于Q ，P ．设直线y =√3x +4交x 轴于F(−4√33,0)，交y 轴于E(0,4)， ∴OE =4，OF =4√33 ∴tan∠FEO =OFOE =√33， ∴∠FEO =30°，∴OH =12OE =2，∴PH =OH +OP =3， ∴⊙O 关于直线n 的“特征数”=PQ ⋅PH =2×3=6．(2)如图2−1中，设直线l 的解析式为y =kx +b ．当k >0时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交⊙F 于E ，N ．由题意，EN =2√2，EN ⋅NH =4√5，∴NH =√10，∵N(−1,0)，M(1,4)，∴MN =√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10，∴△MNH 是等腰直角三角形，∵MN 的中点K(0,2)，∴KN =HK =KM =√5，∴H(−2,3)，把H(−2,3)，M(1,4)代入y =kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113，当k <0时，同法可知直线i 经过H′(2,1)，可得直线l 的解析式为y =−3x +7．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y =−3x +7．(1)①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1−1中，过点O 作OH ⊥直线n 于H ，交⊙O 于Q ，P.解直角三角形求出PH ，PQ 的长即可解决问题．(2)如图2−1中，设直线l 的解析式为y =kx +b.分两种情形k >0或k <0，分别求解即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 28.【答案】−4【解析】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +3的图象过点C(1,0)，∴0=1+b +3，∴b =−4，故答案为：−4；(2)∵b =4，∴抛物线解析式为y =x 2−4x +3∵抛物线y =x 2−4x +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，∴点A(0,3)，3=x 2−4x ，∴x 1=0(舍去)，x 2=4，∴点B(4,3)，∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴顶点D 坐标(2,−1)，如图1，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE ⊥AB 于E ，设BD 与x 轴交于点F ，∵点A(0,3)，点B(4,3)，点C(1,0)，CE ⊥AB ，∴点E(1,3)，CE =BE =3，AE =1，∴∠EBC =∠ECB =45°，tan∠ACE =AE EC =13，∴∠BCF =45°，∵点B(4,3)，点C(1,0)，点D(2,−1)，∴BC =√9+9=3√2，CD =√1+1=√2，BD =√(4−2)2+(3+1)2=2√5， ∵BC 2+CD 2=20=BD 2，∴∠BCD =90°，∴tan∠DBC =CD BC =√23√2=13=tan∠ACE ， ∴∠ACE =∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB =∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB =∠CFD ，又∵∠CQD =∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点， ∴0=x 2−4x +3，∴x 1=1，x 2=3，∴点P(3,0)；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF =QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF =QH ，∴CF =CQ ，∴∠CFD =∠CQD ，∴∠CQD =∠ACB ， ∵CH ⊥BD ，∵点B(4,3)，点D(2,−1)，∴直线BD 解析式为：y =2x −5，∴点F(52,0)，∴直线CH 解析式为：y =−12x +12，∴{y =−12x +12y =2x −5，解得{x =115y =−35， ∴点H 坐标为(115,−35)，∵FH =QH ，∴点Q(1910,−65)，∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x 2−4x +3，解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89， ∴点P(53,−89)；综上所述：点P 的坐标为(3,0)或(53,−89)；(3)如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A(0,3)，点C(1,0)，∴直线AC 解析式为：y =−3x +3，∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为(85,−95)，∵点H 坐标为(115,−35)，∴CH 2=(115−1)2+(35)2=95，HN 2=(115−85)2+(−35+95)2=95， ∴CH =HN ，∴∠CNH =45°，∵点E 关于直线BD 对称的点为F ，∴EN =NF ，∠ENB =∠FNB =45°，∴∠ENF =90°，∴∠ENM +∠FNM =90°，又∵∠ENM +∠MEN =90°，∴∠MEN =∠FNM ，∴△EMN≌△NKF(AAS)∴EM =NK =95，MN =KF ，∴点E的横坐标为−15，∴点E(−15,185)，∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1=6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC=CG=6，∠BCF=∠GCB=45°，∴∠GCF=90°，∴点G(1,6)，∴AG=√12+(6−3)2=√10．(1)将点C坐标代入解析式可求解；(2)分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E(1,3)，CE=BE=3，AE=1，可得∠EBC=∠ECB=45°，tan∠ACE=AE EC =13，∠BCF=45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD=90°，可求∠ACE=∠DBC，可得∠ACB=∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF=QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；(3)设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH=45°，由轴对称的性质可得EN=NF，∠ENB=∠FNB=45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM=NK=95，MN=KF，可求CF=6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出∠CNH=45°是本题的关键．第21页，共21页。

常州市2001-2020年中考数学试题分类解析专题10：四边形

2001-2020年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1. （2001江苏常州2分）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是【】A．矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形【答案】D。

【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。

【分析】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≡CD，E、F、G、H分别是各边的中点，连接AC、BD。

∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=12 AC。

同理FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD。

又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。

∴EF=FG=GH=HE。

∴四边形EFGH是菱形。

故选D。

2. （2001江苏常州2分）下列命题中的真命题是【】A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是矩形C.有一组对边平行的四边形是梯形D.对角线相等的菱形是正方形【答案】D。

【考点】命题与定理，菱形、矩形、梯形、正方形的判定。

【分析】根据菱形、矩形、梯形、正方形的判定作出判断：A、假命题，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；B、假命题，例如等腰梯形，对角线也相等；C、假命题，例如平行四边形的一组对边也平行；D、真命题，符合矩形的判定定理。

故选D。

3. （江苏省常州市2005年2分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是【】A 、1516B 、516C 、1532D 、1716【答案】A 。

【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。

【分析】知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积：过D ，C 分别作高DE ，CF ，垂足分别为E ，F ，∵等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，∴DC=EF=6，AE=BF=2。

∴DE=，∴梯形ABCD 的面积=16102+⨯=（）。

故选A 。

4. （江苏省常州市2008年2分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是【】A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形【答案】D 。

中考数学试题分类分析汇编专题6：函数的图像与性质

中考数学试题分类分析汇编（12专题）专题6：函数的图像与性质一．选择题1. （2001年福建福州4分）二次函数2y ax bx c(a 0)=++≠的图象如图所示，下列结论：（1）c 0<（2）b 0> （3）4a 2b c 0++> （4）22(a c)b +<其中正确的有【】 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】（1）∵图象与y 轴交于y 轴负半轴，则c ＜0，正确。

（2）∵对称轴bx 12a=-=，开口向下，∴a＜0，故b ＞0，正确。

（3）当x=2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＞0，错误。

（4）22(a c)b +<可化为（a －b ＋c ）（a ＋b ＋c ）＜0，∵当x=1时，a ＋b ＋c ＞0，当x=－1时，a －b ＋c ＜0，故22(a c)b +<正确。

故选C 。

2. （2002年福建福州4分）如果反比例函数ky x=的图象经过点（－2，－1），那么k 的值为【】（A ）21 （B ）－21 （C ）2 （D ）－2【答案】C 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（－2，－1）代入k y x =，得k12-=-，解得k=2。

故选C 。

3. （2002年福建福州4分）已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，其顶点坐标为P （b 2-，24c b 4-），AB ＝︱x 1－x 2︱，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是【】（A ）b 2－4c ＋1＝0 （B ）b 2－4c －1＝0 （C ）b 2－4c ＋4＝0（D ）b 2－4c －4＝04. （2003年福建福州4分）反比例函数4y x=-的图象大致是【】（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A 。

江苏省常州市2020年中考数学试题(解析版)

常州市二○二○年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 2的相反数是（） A. 12- B. 12 C. 2 D. 2-【答案】D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．2.计算62m m ÷结果是（） A. 3mB. 4mC. 8mD. 12m【答案】B【解析】【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．【详解】解：62624m m m m -÷==．故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂除法，掌握公式m m n m m m m -=÷是解答本题的关键．3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】C【解析】【分析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．【详解】解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4.8的立方根是（） 2 B. ±2 C. ±2 D. 2【答案】D【解析】【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D ．【点睛】本题考查立方根．5.如果x y <，那么下列不等式正确的是（）A. 22x y <B. 22x y -<-C. 11x y ->-D. 11x y +>+ 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、由x ＜y 可得：22x y <，故选项成立；B 、由x ＜y 可得：22x y ->-，故选项不成立；C 、由x ＜y 可得：11x y -<-，故选项不成立；D 、由x ＜y 可得：11x y +<+，故选项不成立；故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.如图，直线a 、b 被直线c 所截，//a b ，1140∠=︒，则2∠的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 【答案】B【解析】【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【详解】解：∵∠1+∠3=180°，1140∠=︒∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵//a b∴∠2=∠3=40°．故答案为B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7.如图，AB是O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH AB⊥，垂足为H，点M 是BC的中点．若O的半径是3，则MH长的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=12BC，当BC为直径时长度最大，即可求解．【详解】解：∵CH AB⊥∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，点M是BC的中点∴MH=12BC∵BC为O的弦∴当BC为直径时，MH最大∵O的半径是3∴MH最大为3．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．8.如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，2,135,2ABD BD ADB S =∠=︒=．若反比例函数()0k y x x =>的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（）A. 22B. 4C. 32D. 6【答案】D【解析】【分析】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F ，计算出AE 长度，证明BCD AOF ≅△△，得出AF 长度，设出点A 的坐标，表示出点D 的坐标，使用D D A A x y x y =，可计算出k 值．【详解】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F∵135ADB ︒∠=∴45ADE ︒∠=∴ADE 为等腰直角三角形∵2,2BD S ABD =△∴122ABD S BD AE =⋅=△，即22AE =∴DE=AE=22∵BC=AO ，且//BC AO ，//CD OF∴BCD AOF ∠=∠ ∴BCD AOF ≅△△ ∴2AF BD ==∴32D y =设点A (2)m ，(22,32)D m -∴2(22)32m m =-⋅解得：32m =∴3226k =⨯=故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．【答案】3【解析】【分析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可．【详解】原式=2＋1=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了绝对值和0次幂的性质．10.若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是________．【答案】x≠1【解析】【分析】分式有意义时，分母x-1≠0，据此求得x 的取值范围．【详解】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11.地球半径大约是6400km ，将6400用科学记数法表示为________．【答案】36.410⨯【解析】【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】6400=36.410⨯.故答案为：36.410⨯.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12.分解因式：3x －x=__________．【答案】x （x+1）（x －1）【解析】解：原式13.若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是__________．【答案】k ＞0【解析】分析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大∴k ＞0．故答案为k ＞0．【点睛】本题主要考查了一次函数增减性与系数的关系，当一次函数的一次项系数大于零时，一次函数的函数值随着自变量x 的增大而增大．14.若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把x=1代入方程220x ax +-=得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15.如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．【答案】30【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF ，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.【详解】解：∵EF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠B=∠BCF ，∵△ACF 为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2,120AB DAB =∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是_________．【答案】(2，3) 【解析】【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，2AB =∴AD=AB=CD=2，AB//CD∵120DAB ∠=︒∴60DAO ∠=︒在Rt △DOA 中，3sin 60=2OD AD ︒= ∴OD=3∴点C 的坐标是(2，3)．故答案为：(2，3)．【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数值是解题关键．17.如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠=_________．【答案】12【解析】【分析】设BC=a ，则AC=2a ，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．【详解】解：设BC=a ，则AC=2a∵正方形ACDE∴EC=()()222222a a a +=，∠ECD=1452ACD ∠= 同理：CG=2a ,∠GCD=1452BCD ∠= ∴21tan 222CG a CEG CE a ∠===．故答案为12．【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG 是直角三角形是解答本题的关键．18.如图，在ABC 中，45,62B AB ∠=︒=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为_______．【答案】4或2【解析】【分析】分当点F 在点D 右侧时，当点F 在点D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.【详解】解：如图，当点F 在点D 右侧时，过点F 作FM ∥DG ，交直线BC 于点M ，过点B 作BN ⊥DE ，交直线DE 于点N ，∵D，E 分别是AB 和AC 中点，AB=∴DE ∥BC ，BD=AD=∠FBM=∠BFD ，∴四边形DGMF 为平行四边形，则DG=FM ，∵DG ⊥BF ，BF=3DG ，∴∠BFM=90°，∴tan ∠FBM=13FM BF ==tan ∠BFD ， ∴13BN FN =， ∵∠ABC=45°=∠BDN ，∴△BDN 为等腰直角三角形，∴3=， ∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF=∴FM=13BF ，∴10=，∴BG=10-6=4；当点F 在点D 左侧时，过点B 作BN ⊥DE ，交直线DE 于N ，过点B 作BM ∥DG ，交直线DE 于M ，延长FB 和DG ，交点为H ，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG 为平行四边形，∴BG=MD ，BM=DG ，∵BF=3DG ，∴tan ∠BFD=13BM DH BN BF FH FN ===，同理可得：△BDN 为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=2293310+=，设MN=x ，则MD=3-x ，FM=9+x ，在Rt △BFM 和Rt △BMN 中，有2222FM BF MN BN -=+，即()()22293103x x +-=+，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.综上：BG 的值为4或2.故答案为：4或2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2x =．【答案】1x +；3【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可．【详解】解：2(1)(1)x x x +-+=2212x x x x ++--=1x +将x=2代入，原式=3.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简．20.解方程和不等式组：（1）2211x x x+=--；（2）260,3 6.x x -<⎧⎨-⎩ 【答案】（1）x=0；（2）﹣2≤x ＜3【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【详解】解：（1）2211x x x+=-- 去分母得：x 2=2x 2－－解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；（2）26036xx-<⎧⎨-⎩，①，②由①得：x＜3由②得：x≥﹣2则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【答案】（1）100；（2）见解析；（3）300人．【解析】【分析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量；（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图；（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果．【详解】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数为100×35%=35人，踢足球的人数为100－25－35－15=25人；补全条形统计图如图所示：（3）152000300100⨯=人；答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生有300人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本容量以及利用样本估计总体等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【答案】（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵共有3个号码，∴抽到1号签的概率是13，故答案为：13；（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：46=23. 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23.已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//,,EA FB EA FB AB CD ==．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40,80A D ∠=︒∠=︒，求E ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△ACE ≌△BDF ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.【详解】解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A=∠DBF ，∵AB=CD ，∴AB+BC=CD+BC ，即AC=BD ，又∵AE=BF ，∴△ACE ≌△BDF （SAS ），∴∠E=∠F ；（2）∵△ACE ≌△BDF ，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件. 24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【答案】（1）每千克苹果售价8元，每千克梨6千克；（2）最多购买5千克苹果【解析】【分析】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意列出x 、y 的方程组，解之即可；（2）设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答．【详解】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意，得：326222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：86x y =⎧⎨=⎩，答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，（2）设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由题意，得：8a+6(15-a)≤100，解得：a ≤5，∴a 最大值为5，答：最多购买5千克苹果．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是认真审题，分析相关信息，正确列出方程组和不等式．25.如图，正比例函数y kx =的图像与反比例函数()80y x x=>的图像交于点(),4A a ．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D ．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式；（2）若10BD =，求ACD △的面积．【答案】（1）a=2；y=2x ；（2）635 【解析】【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(b ，0)，则D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）已知反比例函数解析式为y=8x，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x ．故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b )、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，()18105225S ⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭△ACD =635．故△ACD 的面积为635．【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD 垂直x 轴，利用待定系数法，设B 、C 、D 三点坐标，求出B 、C 、D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．26.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF = 【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF =∠ECF =30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF =∠BAC =30°，EF =BC =1，∴∠ACF =30°，∴∠ACF =∠ECF =30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF =30°，EF =1，∴CF =2，CE 3由旋转的性质可得：CF=CA =2，CE=CG 3∠ACG =∠ECF =30°， ∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =(2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1， ∴13,2FH EH == ∴CH =13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x ⎛=+=+=+ ⎝⎭， ∵OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =，∴112263OF =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．27.如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为34y x +，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F 2径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是求直线l 的函数表达式．【答案】（1）①D ；10；②⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113【解析】【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，首先判断直线n 也经过点E （0，4），在Rt △EOF 中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF 并延长，设直线l 的解析式为y=kx+b 1,用待定系数法得到114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2,用待定系数法同理可得2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤，消去b 1和b 2，得到关于m 、n 的方程组41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩；根据⊙F 关于直线l 的“特征数”是，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n 2=10，把222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，求出k 的值，便得到m 、n 的值即点A 的坐标，再根据待定系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．【详解】解：（1）①⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ，⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE=2×5=10；②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，∵直线n 的函数表达式为34y x +，当x=0时，y=4；当y=0时，x=433-， ∴直线n 经过点E （0，4），点F （43，0），在Rt △EOF 中，∵tan ∠FEO=FO EO =4334=3 ∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，Rt △HOF 中，∵sin ∠HFO=HO FO， ∴HO= sin ∠HFO·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，∵点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，∴连接NF 并延长，则直线NF ⊥直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k ≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③又∵直线NF ⊥直线l ，∴设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2（k ≠0）, 将点()1,0N -与A （m ，n ）代入y=1k -x+b 2中， 2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤ ④-⑤得：-n=1k +m k，⑥ 联立方程③与方程⑥，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴点A 的坐标为（22411k k k --+，2421k k -+）；又∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是⊙F∴NB·NA=即NA= 解得：∴[m-(-1)]2+(n-0)2)2，即(m+1)2+n 2=10，把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得k=-3或k=13；当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7；当k=13时，m=-2，n=3， ∴点A 的坐标为（-2，3），把点A （-2，3）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=13x+113． ∴直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113．【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k 互为负倒数的关系是解题的关键．28.如图，二次函数23y x bx =++的图像与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点()1,0C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（53，89）；（310 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；（3）设点C 关于BD 的对称点为C′，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N′，设C′（p ，q ），利用点R 到点C 和点C′的距离相等以及点N′到点C 和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F 坐标，再利用点F 和点G 关于直线BC 对称，结合BC 的表达式可求出点G 坐标，最后得到AG 的长.【详解】解：（1）∵抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入23y x bx =++得0=1+b+3，解得b=-4，故答案为：-4；（2）由（1）可得抛物线解析式为：243y xx =-+，当x=0时，y=3，∴A 的坐标为（0，3），当y=3时得2343x x =-+，解得x 1=0，x 2=4，∴点B 的坐标为（4，3），∵()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为（2，-1），设BD 与x 轴的交点为M ，作CH ⊥AB 于H ，DG ⊥CM 于G ，∴tan ∠ACH= tan ∠OAC=13，根据勾股定理可得BC=322BD=25∴22BC CD +∴∠BCD=90°，∴tan ∠CBD=13， ∴∠ACH=∠CBM ，∵∠HCB=∠BCM=45°，∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB ，即∠ACB=∠CMD ，Q 在CD 上方时：若CQD ACB ∠=∠，则Q 与M 点重合，∵243y x x =-+中，令y=0，解得：x=1或3，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥x 轴，过点C 作CL ⊥QM 于点L ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，可得：AB=4，BC=，设CN=x ，则BN=，在△ABC 中，2222AC CN AB BN -=-，即()22224x x -=-，解得：x=∴cos ∠ACN=CN AC 设直线BD 的表达式为：y=mx+n ，将B ，D 代入得：3412m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：25m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 的表达式为y=2m-5，令y=0，则x=52，即点M （52，0），设点Q 坐标为（a ，2a-5），则QK=5-2a ，CM=32， ∵∠ACB=∠CMD ，∠ACB=∠CQD ，∴∠CMD=∠CQD ，即CQ=CM=32,∴cos ∠CQD=cos ∠ACB=QL CQ =,∴QL=10，QM=5，CL=5，在△CQM 中，1122CM KQ QM CL ⋅=⋅，即32KQ ⋅=KQ=65，∴910=, ∴Q （1910，65-），设直线CQ 表达式为：y=sx+t ，将点C 和点Q 代入，0619510s t s t =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：4343s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则CQ 表达式：4433y x =-+，联立： 2443343y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得5389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点P 坐标为（53，89），综上：点P 的坐标为（3，0）或（53，89）；（3）设点C 关于BD 的对称点为C′，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N′， ∴R （3，1），设C′（p ，q ），由题意可求得：直线AC 表达式为：y=-3x+3，直线BD 表达式为：y=2x-5，直线BC 的表达式为：y=x-1，令-3x+3=2x-5，解得：x=85，则y=95-， ∴点N′（85，95-），∵点C 和C′关于直线BD 对称，∴CR=C′R=12CN′=C′N′=5=，则有()()22231p q -+-=，22289555p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222262501618110555p p q q p p q q ⎧-+-+=⎪⎨-+++=⎪⎩①②， ①-②得：12p q =-③，代入①，解得：65q =-或0（舍），代入③中，得：175p =，解得：17565p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点C′（175，65-）， ∵N′（85，95-），求得直线C′N′的表达式为：1733y x =-， ∵点F 在x 轴上，令y=0，则x=7，∴点F （7，0），又∵点F 和点G 关于直线BC 对称，BC ：y=x-1，连接CG ，可得∠BCF=45°=∠BCG ， ∴∠FCG=90°，∴CG=CF=6,∴点G 的坐标为（1,6），又A （0，3），∴AG=【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，知识点较多，难度较大，解题时要注意分类讨论，画图相应图形，利用数形结合思想解答.。

2020年常州市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年常州市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．22．（2分）（2020•常州）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（）A．2√2B．±2√2C．2D．±25．（2分）（2020•常州）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1 6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF ＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组：（1）x x−1+21−x =2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6． 21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A ．2．（2分）（2020•常州）计算m 6÷m 2的结果是（）A ．m 3B ．m 4C ．m 8D ．m 12 【解答】解：m 6÷m 2＝m 6﹣2＝m 4．故选：B ．3．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆柱B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C ．4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（）A ．2√2B ．±2√2C ．2D ．±2 【解答】解：8的立方根是√83=√233=2，故选：C ．5．（2分）（2020•常州）如果x ＜y ，那么下列不等式正确的是（）A ．2x ＜2yB ．﹣2x ＜﹣2yC ．x ﹣1＞y ﹣1D ．x +1＞y +1【解答】解：A 、∵x ＜y ，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．8．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD=√2，∵S△ABD=12BD⋅AE=2，BD=√2，∴AE＝2√2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A（m，√2），则D（m﹣2√2，3√2），∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k=√2m＝（m﹣2√2）×3√2，解得m＝3√2，∴k=√2m＝6．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是k＞0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，√3）．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C（2，√3），故答案为：（2，√3）．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝12．【解答】解：连接CG ，在正方形ACDE 、BCFG 中， ∠ECA ＝∠GCB ＝45°， ∴∠ECG ＝90°，设AC ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝2√2，CG =√2， ∴tan ∠GEC =CG EC =12，故答案为：12．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6√2，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．【解答】解：如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ．∵DG ⊥BF ，BT ⊥BF ，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3√2，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH=BTBF=DGBF=13，∴THBH =13，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组：（1）x x−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．【解答】解：（1）方程两边都乘以x ﹣1得：x ﹣2＝2（x ﹣1），解得：x ＝0，检验：把x ＝0代入x ﹣1得：x ﹣1≠0，所以x ＝0是原方程的解，即原方程的解是：x ＝0；（2）{2x −6＜0①−3x ≤6②，∵解不等式①得：x ＜3，解不等式②得：x ≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x ＜3．21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得： 2000×15100=300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是13；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种， ∴P （和为奇数）=46=23．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．【解答】证明：（1）∵EA ∥FB ， ∴∠A ＝∠FBD ， ∵AB ＝CD ， ∴AB +BC ＝CD +BC ，即AC ＝BD ，在△EAC 与△FBD 中， {EA =FB∠A =∠FBD AC =BD， ∴△EAC ≌△FBD （SAS ）， ∴∠E ＝∠F ；（2）∵△EAC ≌△FBD ， ∴∠ECA ＝∠D ＝80°， ∵∠A ＝40°，∴∠E ＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E 的度数为60°．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22，解得：{x =8y =6．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m 千克苹果，则购买（15﹣m ）千克梨，依题意，得：8m +6（15﹣m ）≤100，解得：m ≤5．答：最多购买5千克苹果．25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x （x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．（1）求a 的值及正比例函数y ＝kx 的表达式；（2）若BD ＝10，求△ACD 的面积．【解答】解：（1）把点A （a ，4）代入反比例函数y =8x （x ＞0）得， a =84=2， ∴点A （2，4），代入y ＝kx 得，k ＝2， ∴正比例函数的关系式为y ＝2x ，答：a ＝2，正比例函数的关系式为y ＝2x ；（2）当BD ＝10＝y 时，代入y ＝2x 得，x ＝5， ∴OB ＝5，当x ＝5代入y =8x 得，y =85，即BC =85， ∴CD ＝BD ﹣BC ＝10−85=425，∴S △ACD =12×425×（5﹣2）＝12.6， 26．（10分）（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．（1）点F 到直线CA 的距离是 1 ；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为π12；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ，在△ABC 和△CDF 中， {∠BAC =∠FCD∠ABC =∠CDF AC =CF，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC=√3EF=√3，EH=√32，CH=√3EH=32，在Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=√1+x2，∴OH＝CH﹣OC=32−√1+x2，在Rt△EOH中，则有x2＝（√32）2+（32−√1+x）2，解得x=√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC=1+(73)2=43，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2−43=23．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F（−4√33，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF=4√3 3∴tan∠FEO=OFOE=√33，∴∠FEO＝30°，∴OH=12OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2√2，EN•NH＝4√5，∴NH=√10，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN=√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10， ∴△MNH 是等腰直角三角形， ∵MN 的中点K （0，2）， ∴KN ＝HK ＝KM =√5， ∴H （﹣2，3），把H （﹣2，3），M （1，4）代入y ＝kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113，当k ＜0时，同法可知直线i 经过H ′（2，1），可得直线l 的解析式为y ＝﹣3x +7．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y ＝﹣3x +7．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y ＝x 2+bx +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点C （1，0），且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b ＝ ﹣4 ；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若∠CQD ＝∠ACB ，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +3的图象过点C （1，0）， ∴0＝1+b +3， ∴b ＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=CDBC=√232=13=tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD ＝∠ACB ， ∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点， ∴0＝x 2﹣4x +3， ∴x 1＝1，x 2＝3， ∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ， ∴CF ＝CQ ， ∴∠CFD ＝∠CQD ， ∴∠CQD ＝∠ACB ， ∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1）， ∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5， ∴点F （52，0），∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{y =−12x +12y =2x −5，解得{x =115y =−35，∴点H 坐标为（115，−35），∵FH ＝QH ， ∴点Q （1910，−65），∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x2−4x +3，解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89，∴点P （53，−89）；综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0）， ∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3， ∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35），∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95，∴CH ＝HN ，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝KF，∴点E的横坐标为−1 5，∴点E（−15，185），∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG=√12+(6−3)2=√10．。

2020年江苏省常州中考数学试卷附答案解析版

数学试卷第 1 页（共 6 页）数学试卷第 2 页（共 6 页）2 △ABD 绝密★启用前2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数学注意事项：1. 本试卷共 6 页.全卷满分 120 分.考试时间为 120 分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2 的相反数是（）7.如图， AB 是 O 的弦，点C 是优弧 AB 上的动点（ C 不与 A 、B 重合），CH ⊥ AB ，垂足为 H ，点 M 是 BC 的中点．若 O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是（）A .3B .4C .5D .68. 如图，点 D 是OABC 内一点， CD 与 x 轴平行， BD 与 y 轴平行， BD =，∠ADB = 135︒ ， S = 2 ．若反比例函数 y = k ( x ＞0) 的图像经过 A 、 D 两点，则kx的值是（）A . 2B .4C . 3D .6A . - 1 2B .1 C . 2D . -22 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．上．）2.计算m 6 ÷ m 2 的结果是（）9.计算： | -2 | +(π -1)0 = ．A. m 3B. m 4C. m 8D. m 1210.若代数式 1有意义，则实数 x 的取值范围是．3. 右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆柱B .三棱柱C .四棱柱D .四棱锥 4.8 的立方根是（） x -111. 地球半径大约是6 400 km ，将6 400 用科学记数法表示为．12.分解因式： x 3- x =．13. 若一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围是． 14. 若关于 x 的方程 x 2 + ax - 2 = 0 有一个根是 1，则a = ．A .2 B. ±2 C. ±2 D .215.如图，在△ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 BC 、 AB 于点 E 、 F ．若△AFC 是5. 如果 x ＜y ，那么下列不等式正确的是（）等边三角形，则∠B =°．A . 2x ＜2 y C . x -1＞y -1B . -2x ＜- 2 y D . x + 1＞y + 16. 如图，直线a 、b 被直线c 所截， a ∥b ， ∠1 = 140︒ ，则∠2 的度数是（）A . 30︒B . 40︒C . 50︒D . 60︒16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形 ABCD 中， AB = 2 ，∠DAB = 120︒ ．如图，建立平面直角坐标系 xOy ，使222 2 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号⎩ 得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．17. 如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC = 2BC ，分别以 AC 、BC 为边在线段 AB 的同侧作正方形 ACDE 、BCFG ，连接 EC 、EG ，则tan ∠CEG =．（2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回），再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率．23.（本小题满分 8 分）已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA //FB ，EA = FB ，AB = CD ．（1）求证： ∠E = ∠F ；18.如图，在△ABC 中， ∠B = 45︒, AB = 6 ， D 、 E 分别是 AB 、（2）若∠A = 40︒ ， ∠D = 80︒ ，求∠E 的度数．AC 的中点，连接 DE ，在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F 、G ，连接 BF 、DG ．若 BF = 3DG ，且直线 BF 与直线 DG 互相垂直，则 BG 的长为．三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分 6 分）先化简，再求值： (x + 1)2 - x (x + 1) ，其中 x = 2 ． 20.（本小题满分 8 分）解方程和不等式组：（1） x + 2= 2 ；x -1 1 - x ⎧2x - 6 < 0, （2） ⎨-3x 6.21.（本小题满分 8 分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2 000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.（本小题满分 8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是；数学试卷第 3 页（共 6 页）24.（本小题满分 8 分）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共 15 千克，且总价不超过 100 元，那么最多购买多少千克苹果？25.（本小题满分 8 分）如图，正比例函数 y = kx 的图像与反比例函数 y =8( x ＞0) 的图x像交于点 A (a , 4) ．点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点 D ．（1）求a 的值及正比例函数 y = kx 的表达式；（2）若 BD = 10 ，求△ACD 的面积．26. （本小题满分 10 分）如图 1 ，点 B 在线段 CE 上， Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC = ∠CEF = 90︒ ， ∠BAC = 30︒ ， BC = 1 ．（1）点 F 到直线CA 的距离是；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30︒ ，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．数学试卷第 4 页（共 6 页）2数学试卷第 5 页（共 6 页）数学试卷第 6 页（共 6 页）①请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为；②如图 2，在旋转过程中，线段CF 与 AB 交于点O ，当OE = OB 时，求OF 的长．27.（本小题满分 10 分）如图 1， I 与直线a 相离，过圆心 I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交 I 于 P 、Q 两点（ Q 在 P 、H 之间）．我们把点 P 称为 I 关于直线a 的“远点”，把 PQ ⋅ PH 的值称为 I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为(0, 4)，半径为 1 的 O 与两坐标轴交于点 A 、 B 、C 、 D ．① 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m ，则 O 关于直线 m 的“ 远点” 是点（填“ A ”、“ B ”、“ C ”或“ D ”）， O 关于直线m 的“特征数”为；28.（本小题满分 10 分）如图，二次函数 y = x 2 + bx + 3 的图像与 y 轴交于点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B ，抛物线过点C (1, 0) ，且顶点为 D ，连接 AC 、 BC 、 BD 、CD ．（1）填空： b =；（2）点 P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于 1，直线 PC 交直线 BD 于点Q ．若∠CQD = ∠ACB ，求点 P 的坐标；（3）点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F ，点 F 关于直线 BC 对称的点为G ，连接 AG ．当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长．②若直线n 的函数表达式为 y = 3x + 4 ，求 O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点 M (1, 4) ，点 F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，为半径作 F ．若 F 与直线l 相离，点 N (-1, 0) 是 F 关于直线l 的“远点”，且 F 关于直线l 的“特征数”是4 式．，求直线l 的函数表达2 5 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．2 的相反数是-2 ，故选D．2.【答案】B【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解：m6 ÷m2 =m6-2 =m4 ．故选：B．【考点】同底数幂除法3.【答案】C【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C．【考点】由三视图判断几何体4.【答案】D【解析】解：根据立方根的定义，由23 = 8 ，可得8 的立方根是2 故选：D．【考点】立方根．5.【答案】A【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、由x＜y 可得：2x＜2 y ，故选项成立；B、由x＜y 可得：-2x＞- 2 y ，故选项不成立；C、由x＜y 可得：x -1＜y -1 ，故选项不成立；D、由x＜y 可得：x + 1＜y + 1，故选项不成立；故选A.【考点】不等式的性质6.【答案】B2 2 2 【解析】先根据邻补角相等求得∠3 ，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．解： ∠1 + ∠3 = 180︒ ， ∠1 = 140︒ ，∴∠3 = 180︒ - ∠1 = 180︒ -140︒ = 40︒ . a ∥b ，∴∠2 = ∠3 = 40︒ ．故答案为B ．【考点】平行线的性质7. 【答案】A【解析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知 MH = 1BC ，当 BC 为直径时长2度最大，即可求解．解：∵CH ⊥ AB ，∴∠BHC = 90︒ . 在 Rt △BHC 中，点 M 是 BC 的中点，∴ MH = 1BC . BC 为 O 的2弦，∴当 BC 为直径时， MH 最大， O 的半径是 3，∴ MH 最大为 3．故选：A ．【考点】直角三角形斜边中线定理8. 【答案】D【解析】作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作AF ⊥ x 轴于点 F ，计算出 AE 长度，证明△BCD ≌△AOF ，得出 AF 长度，设出点 A 的坐标，表示出点 D 的坐标，使用 x D y D = x A y A ，可计算出k 值．作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作 AF ⊥ x 轴于点 F . ∠ADB = 135︒ ，∴∠ADE = 45︒ ，∴△ADE 为等腰直角三角形. BD =， S ABD = 2 ，∴ S= 1BD ⋅ AE = 2 ，即 AE = 2 ，∴ DE = AE = 2 .△△ ABD 2BC = AO ，且 BC //AO ，CD //OF ，∴∠BCD = ∠AOF ，∴△BCD ≌△AOF ，∴ AF = BD =，∴ y D = 3 . 222m = (m - 2 2 ) ⋅ 3 ，解得：m = 3，∴k = 3 2 ⨯= 62 2设点A(m, 2 ) ，D(m - 2 2,3 2 ) ，∴2故选：D．【考点】反比例函数与几何图形的综合二、9.【答案】3【解析】根据绝对值和0 次幂的性质求解即可．原式= 2 1 = 3 ．故答案为：3．【考点】绝对值和0 次幂的性质．10.【答案】x ≠ 1【解析】分式有意义时，分母x -1 ≠ 0 ，据此求得x 的取值范围．解：依题意得：x -1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 ，故答案为：x ≠ 1 ．【考点】分式有意义的条件11.【答案】6.4 ⨯103【解析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a ⨯10n 的形式，其中1≤a ＜10 ，n 是比原整数位数少1 的数. 6 400=6.4 ⨯103.故答案为：6.4 ⨯103.【考点】科学记数法的表示方法12.【答案】x(x + 1)(x -1)【解析】解：原式=x(x2-1) =x(x + 1)(x -1)3) 13. 【答案】k ＞0【解析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．解：一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，∴ k ＞0 ．故答案为k ＞0 ．【考点】一次函数增减性与系数的关系14. 【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义，把 x = 1 代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可．解：把 x = 1 代入方程 x 2 + ax - 2 = 0 得1 + a - 2 = 0 ，解得a = 1 ．故答案是：1．【考点】一元二次方程的解15. 【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到∠B = ∠BCF ，再利用等边三角形的性质得到∠AFC = 60︒ ，从而可得∠B . 解： EF 垂直平分 BC ， ∴ BF = CF ， ∴∠B = ∠BCF ， △ACF 为等边三角形， ∴∠AFC = 60︒ ，∴∠B = ∠BCF = 30︒ .故答案为：30.【考点】垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质16. 【答案】(2,【解析】根据菱形的性质可知 AD = AB = CD = 2 ， ∠OAD = 60︒ 由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．解：四边形 ABCD 为菱形，AB = 2 ，∴ AD = AB = CD = 2 ，AB//CD ， ∠DAB = 120︒ ，∴∠DAO = 60︒ .在 Rt △DOA 中， sin 60︒= OD = AD 3 ，∴OD = 23 ，∴点C 的坐标是(2, ．故答案为： (2, ．【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质17. 【答案】 12【解析】设 BC = a ，则 AC = 2a ，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、∠GCD = ECD = 45︒ ，进而说3)3)2a 2 2a 2 明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：设 BC = a ，则 AC = 2a . 正方形 ACDE ，∴ EC == 2 2a ，∠ECD = 1 ∠ACD = 45 ， 2同理： CG = 2a ，∠GCD = 1 ∠BCD = 45 ∴tan ∠CEG = CG = = 1 ．故答案为 1． 2 CE 22【考点】正方形的性质和正切的定义18. 【答案】4 或 2【解析】分当点 F 在点 D 右侧时，当点 F 在点 D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.解：如图，当点 F 在点 D 右侧时，过点 F 作 FM //DG ，交直线 BC 于点 M ，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线DE 于点 N ， D , E 分别是 AB 和 AC 中点，AB = 6 ，∴ DE ∥BC ，BD = AD = 3 2 ，∠FBM = ∠BFD ，∴ 四边形 DGMF 为平行四边形，则 DG = FM ， DG ⊥ BF ， BF = 3DG ， ∴∠BFM = 90︒ ，∴tan ∠FBM=FM = 1 =tan ∠BFD ，∴ BN = 1， ∠ABC = 45︒ = ∠BDN ，∴△BDN 为等腰直角三角形， BF 3 FN 3∴ BN = DN = BD = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，FB = GM = 6 ， BF = BN 2 + NF 2 =3 ，∴ FM = 1BF = 10 ， 3∴ BM = = 10 ，∴ BG = 10 - 6 = 4 ；(2a )2 + (2a )2 2 10 BF 2 + FM 292 + 32 10当点 F 在点 D 左侧时，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线 DE 于 N ，过点 B 作 BM //DG ，交直线 DE 于 M ，延长 FB 和 DG ，交点为 H ，可知： ∠H = ∠FBM = 90︒ ，四边形 BMDG 为平行四边形，∴ BG = MD ，BM = DG ， BF = 3DG ，∴tan ∠BFD =BM = DH = BN = 1，同理可得： △BDN 为等腰直角三角 BF FH FN 3形，BN = DN = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，∴ BF = = 3 ，设 MN = x ，则 MD = 3 - x ，FM = 9 + x ，在 Rt △BFM 和 Rt △BMN 中，有 FM 2 - BF 2 = MN 2 + BN 2 ，即(9 + x )2- (3 10 )= x 2 + 32 ，解得： x = 1 ，即 MN = 1 ，∴ BG = MD = ND - MN = 2综上： BG 的值为 4 或 2.故答案为：4 或 2.【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理三、19.【答案】解： (x + 1)2 - x (x + 1)= x 2 + 1 + 2x- x 2 - x⎩= x + 1 将 x = 2 代入，原式= 3【解析】完全平方公式和单项式乘多项式，具体解题过程参照答案.【考点】整式的混合运算20.【答案】（1） x + 2= 2 ，去分母得： x －2=2x －2 ，解得x = 0 .经检验 x = 0 是分式方程的解. x -1 1 - x⎧2x - 6＜0，① （2） ⎨-3x ≤6，② 由①得： x ＜3 ，由②得： x ≥- 2 ，则不等式组的解集为-2≤x ＜3 . 【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【考点】分式方程与解不等式组21.【答案】（1）100（2）打乒乓球的人数为100 ⨯ 35% = 35 人，踢足球的人数为100 - 25 - 35 -15 = 25 人；补全条形统计图如图所示：（3）2000 ⨯ 15100= 300 人．【解析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量.（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图.（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000 即可求出结果.【考点】条形统计图，扇形统计图，样本容量，利用样本估计总体22.【答案】（1）1 3（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6 种，其中抽到的 2 支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2 支签上签号的和为奇数的概率为：4=2.6 3【解析】（1）由概率公式即可得出答案. 共有3 个号码，∴抽到1 号签的概率是1，故答案为：1.3 3 （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．【考点】列表法与树状图法23.【答案】（1） AE//BF ，∴∠A =∠DBF ， AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，即AC =BD ，又 AE =BF ，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E =∠F .（2）∴△ACE≌△BDF ，∴∠D =∠ACE = 80︒， ∠A = 40︒，∴∠E = 180︒-∠A -∠ACE = 60︒. 【解析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF ，即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠D =∠ACE = 80︒，再利用三角形内角和定理求出结果.【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和⎩ ⎩ S 24. 【答案】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意，得：⎧x + 3y = 26 ，解得： ⎧x = 8，⎨2x + y = 22 ⎨ y = 6答：每千克苹果售价 8 元，每千克梨 6 千克.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意，得： 8a + 6(15 - a )≤100 ，解得： a ≤5 ，∴a 最大值为 5，答：最多购买 5 千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意列出 x 、 y 的方程组，解之即可.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答．【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用25. 【答案】（1）已知反比例函数解析式为 y =8，点 A (a , 4) 在反比例函数图象上，将点 A 坐标代入，解得xa = 2 ，故 A 点坐标为(2, 4) ，又 A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为 y = kx ，将点 A (2, 4) 代入正比例函数解析式中，解得k = 2 ，则正比例函数解析式为 y = 2x ．故a = 2 ； y = 2x ．2 x (b , 0) C 8 （）根据第一问的求解结果，以及 BD 垂直轴，我们可以设 B 点坐标为，则点坐标为(b , ) 、D 点 b坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，则2b = 10 ，解得b = 5 ，故点 B 的坐标为(5, 0) ，D 点坐标为(5,10) ，C 点坐8 标为(5, ) ，则在△ACD 中，= 1 ⨯ ⎛10 - 8 ⎫ ⨯ (5 - 2) = 63 ．故△ACD 的面积为 63 ．5 △ACD 2 5 ⎪ 5 5 ⎝ ⎭【解析】（1）已知反比例函数解析式，点 A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点 A 的坐标后，点 A 同时在正比例函数图象上，将点 A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设 B 点坐标为(b , 0) ，则 D 点坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．【考点】解正比例函数及反比例函数解析式，待定系数法26. 【答案】（1）1（2）①线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图 3 中的阴影所示：3 3⎛ 3 ⎫2在 Rt △CEF 中， ∠ECF = 30︒，EF = 1，∴CF = 2 ， CE = ，由旋转的性质可得： CF = CA = 2 ，CE = CG = ， ∠ACG = ∠ECF = 30︒ ，230π ⨯(3 )2∴ S=（S+ S ）－（S+ S ）= S －S= 30π ⨯ 2 -= π；故答阴影π 案为： 12CEF.扇形ACF ACG扇形CEG 扇形ACF扇形CEG36036012②作 EH ⊥ CF 于点 H ，如图 4，在 Rt △EFH 中， ∠F = 60︒，EF = 1，∴ FH = 1 ， EH =3， 2 21 3 3 3 ∴CH =2 - = ，设OH = x ，则OC = - x ， OE 2 = EH 2 + OH 2= ⎪ + x 2 = + x 2 ，2 2 23⎝ 2 ⎭34⎛ 3⎫2OB = OE ，∴OB 2 = + x 2 ，在 Rt △BOC 中， OB 2 + BC 2 = OC 2 ,∴ + x 2 + 1 = - x ⎪，解得：4 x = 1 ，∴OF = 1 + 1 = 2．4 ⎝ 2 ⎭6 2 6 3【解析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF = ∠ECF = 30︒ ，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点 F 到直线CA 的距离即为 EF 的长，于是可得答案.∠BAC = 30︒，∠ABC = 90︒，∴∠ACB = 60︒， Rt△ABC≌Rt△CEF ，∴∠ECF =∠BAC = 30︒，EF =BC = 1 ，∴∠ACF = 30︒，∴∠ACF =∠ECF = 30︒，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF = 1；故答案为：1.（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30︒的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图 3 中，先解Rt△CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S阴影=（SCEF+S扇形ACF）－（SACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积.②作EH ⊥ CF 于点H ，如图4，先解Rt△EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH =x ，则CO 和OE2 都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt△BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【考点】旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识27.【答案】（1） O 关于直线m 的“远点”是点D ， O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE = 2 ⨯ 5 =10 .②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O 于点P、Q ，直线n 的函数表达式为y = 3x + 4 ，当x = 0 时，y = 4 ；当y = 0 时，x =-4 3，∴直线n 经过点335 2E （0，4），点F （-4 3 ，在 Rt △EOF 中， 4 FO ，∴∠FEO = 30︒ ，，0） 3tan ∠FEO = = 3 =EO43∴∠EFO = 60︒ ，在 Rt △HOF 中， sin ∠HFO = HO ，∴ H O = FOsin ∠HFO ⋅ FO = 2 ，∴ PH = HO + OP = 3 ，∴ PQ ·PH = 2 ⨯ 3 = 6 ，∴ O 关于直线n 的“特征数”为 6；（2）如下图，点 F 是圆心，点 N (-1, 0) 是“远点”，∴连接 NF 并延长，则直线 NF ⊥ 直线l ，设 NF 与直线l 的交点为点 A （m ，n ），设直线l 的解析式为 y = kx + b （k ≠ 0），将点 M (1, 4) 与 A （m ，n ）代入 y = kx + b 中， ⎧⎪4=k + b 1① ②-① 1⎨n = mk + b ②⎩⎪ 1得： n - 4 = mk - k ，③又直线 NF ⊥ 直线l ，∴设直线 NF 的解析式为 y = - 1x + b （k ≠ 0），将点1 k 2⎧0= 1+ b ④1 ⎪ k2 1 mN (-1, 0) 与 A （m ，n ）代入 y = - x + b 中， ⎨ k m ④-⑤得： -n = + k k ，⑥联立方程③与方 ⎪n = - + b 2 ⑤⎧n - 4 = mk - k ⎪⎩k⎧ k 2 - 4k -1 m =⎪ ⎪ k 2 + 1 ∴ k 2 - 4k -1 4 - 2kF 程⑥，得： ⎨-n = 1 + m 解得： ⎨ 4 - 2k ，点 A 的坐标为( k 2 + 1 ， 2 + 1 ) ；又关于 ⎩⎪ k k ⎪n = ⎩ k k 2 + 1直线l 的“特征数”是4 ， F 的半径为，∴ NB ·NA = 4 ，即2 24 ⋅ NA = ，解得： NA = 10 ，35 2 5 ⎪5 10 ⎨⎧⎪m = k 2- 4k -12∴⎡⎣m-(-1)⎤⎦2+(n-0)2=(10)2，即(m +1)2 +n2=10 ，把⎪⎪n =⎩k +1代入，解得k =-3 或k = 1 ；4 - 2k 3k 2+ 1当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A（2，1）与点M (1, 4)代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y =-3x + 7 ；当k =1时，m=-2，n=3，∴点A 的坐标为（-2，3），把点A（-2，3）与点3M (1, 4)代入y =kx +b 中，解得直线l 的解析式为y =1 x +11 ．∴直线l 的解析式为y =-3x + 7 或1 3 3y =1x +11.3 3【解析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O于点P、Q ，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO = 60︒，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可.（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b，用待定系数法得到⎧⎪4=k +b1①，再根据两条直1⎨n =mk +b ②⎩⎪ 1线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为y =-1x +b ，用⎧0= 1+b ④k 2⎧n - 4 =mk -k⎪k 2待定系数法同理可得⎨m，消去b1和b2，得到关于m、n ⎪的方程组⎨-n =1+m；根据⎪n =-+b2 ⑤⎩⎪k k⎩⎪kF 关于直线l 的“特征数”是4 ，得出NA =，再利用两点之间的距离公式列出方程(m +1)2⎧⎪m =+n2= 10 ，把⎨k 2- 4k -1k 2+ 1 代入，求出k 的值，便得到m、n 的值即点A 的坐标，再根据待定⎪n =4 - 2k⎩⎪k2+1系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．【考点】一次函数与圆的综合28.【答案】（1）-42 5 2 ⎛ 5 ⎫2 ⎝ a - + 2a - 5 2 ⎪⎭ ( ) 2 ⎩ ⎩ 1 2 （2）由（1）可得抛物线解析式为： y = x 2 - 4x + 3 ，当 x = 0 时， y = 3 ，∴ A 的坐标为（0，3），当y = 3 时得3 = x 2 - 4x + 3 ，解得 x = 0 ， x = 4 ，∴点 B 的坐标为（4，3）， y = x 2 - 4x + 3 = ( x - 2)2-1 ，∴顶点 D 的坐标为（2，-1），设 BD 与 x 轴的交点为 M ，作CH ⊥ AB 于 H ，DG ⊥ CM 于G ，∴tan ∠ACH = tan ∠OAC = 1，根据勾股定理可得 BC = 3 3， CD = ，BD = 2 ，∴ BD = ，∴∠BCD = 90︒ ，∴tan ∠CBD = 1，∴∠ACH = ∠CBM ， 3∠HCB = ∠BCM = 45︒ ，∴∠ACH + ∠HCB = ∠CBM + ∠MCB ，即∠ACB = ∠CMD ， Q 在CD 上方时：若∠CQD = ∠ACB ，则Q 与 M 点重合， y = x 2 - 4x + 3 中，令 y = 0 ，解得： x = 1 或 3，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时 P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥ x 轴，过点C 作CL ⊥ QM 于点 L ，过点 A 作 AN ⊥ BC 于点 N ，可得： AB = 4，BC = 3 2, AC =，设CN = x ，则BN = 3 - x ，在△ABC 中， AC 2 - CN 2 = AB 2 - BN 2 ，即( 10 )2- x 2 = 42 - (3 - x )2，解得：x = ，∴cos ∠ACN =CN= AC 5 ，设直线 BD 的表达式为： y = mx + n ，将 B , D 代入得：5⎧ 3 = 4m + n ，解得： ⎧ m = 2 ，∴直线 BD 的表达式为 y = 2m - 5 ，令 y = 0 ，则 x = 5 ，即点 M50），⎨-1 = 2m + n Q⎨n = -5QK = 5 - 2a （，2 2 CM = 3设点坐标为（a ，2a - 5），则， 2， QM = ， 2 BC 2+ CD 210 2 2CQ 2 - KQ 2 5 ⎛ 8 ⎫2 ⎛ 9 ⎫21 - 5 ⎪ + - 5 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭( , ∠ACB = ∠CMD ，∠ACB = ∠CQD ，∴∠CMD = ∠CQD ，即CQ = CM = 3，2∴cos ∠CQD = cos ∠ACB = QL =5 ，∴QL = 3 5 ， QM = 3 5 ， CL = 3 5 在△CQM 中， CQ 5 10 10 101 CM ⋅ KQ = 1 QM ⋅ CL ，即 3 ⋅ KQ = 3 5 ⋅ 3 5，解得： KQ = 6 ，∴CK = = 9 ， 2 2 2 5 55⎧ 0 = s + t 10 ⎧s = - 4 ∴Q 19 , - 6) ，设直线CQ 表达式为： y = sx + t ，将点C 和点Q 代入， ⎪ ⎪ 3，解得：，（ 5⎨- 6 = 19 s + t ⎨ 410 ⎧ 4 4⎪⎩ ⎧ x = 5 5 10⎪ t = ⎩ 3 则CQ 表达式为： y = - 4 x + 4 ，联立： ⎪ y = - x + 3 3 ⎪ ，解得 3 5 8 ，即点 P 坐标为( , )，综上： 3 35 8点 P 的坐标为（3，0）或( , ) .3 9⎨ ⎪⎩ y = x 2 - 4x + 3⎨ ⎪ y = - 8 3 9 ⎩ 9（3）设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，∴ R （3，1），设C （' p ，q ），由题意可求得：直线 AC 表达式为： y = -3x + 3 ，直线 BD 表达式为：y = 2x - 5 ，直线 BC 的表达式为： y = x -1 ，令-3x + 3 = 2x - 5 ，解得： x = 8 ，则 y= - 9 ，∴点 N ' 8 - 9) ，点C 和C ' 关于5 5 5 513 10直线 BC 对称，∴CR = C 'R = 2BD = ， CN ' = C 'N ' = = ，则有 5 ⎪32 + 12 10 + + ⎪ 2 ( p - 3)2+ (q -1)2=( 5 )2， ⎛ p - 8 ⎫ 2⎛ 9 ⎫2 q ⎧ = ⎛ 3 10 ⎫ ，即⎪ p 2 - 6 p + q 2 - 2q + 5 = 0① 16 18 11 ，①-② 5 ⎪ 5 ⎪ 5 ⎪ ⎨ p 2 - p + q 2 + q + = 0② ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩⎪5 5 5⎧ p = 17 得： p = 1 - 2q ③，代入①，解得： q = - 6 或 0（舍），代入③中，得： p = 17 ，解得： ⎪ 5 ，即点⎨5 5 ⎪q = - 6⎩ 5C17 6 8 91 7 x y = 0 （' , - 5 ) ， N （' 5 , - ) ，求得直线C 'N ' 的表达式为： y = 5 5 x - ， 3 3点 F 在轴上，令，则x = 7 ，∴点 F （7，0），又点 F 和点G 关于直线BC 对称， BC ：y = x -1 ，连接CG ，可得∠BCF = 45︒ = ∠BCG ，∴∠FCG = 90︒ ，∴CG = CF = 6 ，∴点G 的坐标为（1, 6），又 A （0，3），∴ AG 的长为 = .【解析】（1）根据待定系数法求解即可.解：抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入 y = x 2 + bx + 3 得0 = 1 + b + 3 ，解得b = -4 ，故答案为： -4 .（2）分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解.（3）设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，设C （' p ，q ），利用点 R 到点C 和点C ' 的距离相等以及点 N ' 到点C 和点C ' 的距离相等，求出点C ' 的坐标，从而得到C 'N ' 直线的解析式，从而求出点 F 坐标，再利用点 F 和点G 关于直线 BC 对称，结合 BC 的表达式可求出点G 坐标，最后得到 AG 的长.【考点】二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质。

常州市中考数学试题分类解析专题图形的变换

2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题4：图形的变换锦元数学工作室编辑一、选择题1. （江苏省常州市2005年2分）如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体的形状是【】A、正方体B、长方体C、三棱柱D、圆锥【答案】C。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。

所给答案中只有三棱柱的俯视图为三角形，故选C。

2. （江苏省常州市2005年2分）下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是【】A、③④②①B、②④③①C、③④①②D、③①②④【答案】C。

【考点】平行投影【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序：从早晨到傍晚物体的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长。

所以正确的是③④①②。

故选C。

3. （江苏省常州市2005年2分）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是【】A、2B、3C、4D、5【答案】B。

【考点】几何体的表面积，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据图示逐层算出露出的面积加以比较即解：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1，∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5。

假如上面一层没有立方体的话，第二层露出的面积为225=2.522⋅⋅，这两层加起来的面积为：7。

不符合题意。

假如上面一层有立方体的话，第二层露出的面积为2222422244+⋅，这两层加起来的面积为：6.75。

假如再上面一层没有立方体的话，第三层露出的面积为115=1.2522⋅⋅，这三层加起来的面积为：8。

符合题意。

∴立方体的个数至少是3。

故选B。

4. （江苏省常州市2006年2分）图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在【】A．P区域 B．Q区域 C．M区域 D．N区域【答案】B。

2020年江苏省常州市中考数学试卷(有详细解析)

2020年江苏省常州市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.2的相反数是()A. −2B. −12C. 12D. 22.计算m6÷m2的结果是()A. m3B. m4C. m8D. m123.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥4.8的立方根为()A. 2√2B. ±2√2C. 2D. ±25.如果x<y，那么下列不等式正确的是()A. 2x<2yB. −2x<−2yC. x−1>y−1D. x+1>y+16.如图，直线a、b被直线c所截，a//b，∠1=140°，则∠2的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB=135°，S△ABD=2.若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是()A. 2√2B. 4C. 3√2D. 6二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：|−2|+(π−1)0=______．10.若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是______．11.地球的半径大约为6400km.数据6400用科学记数法表示为______．12.分解因式：x3−x=_________13.若一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是______．14.若关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，则a=______．15.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=______°.16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是______．17.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．18.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解方程和不等式组：(1)xx−1+21−x=2；(2){2x−6<0−3x≤6．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2．21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．(1)本次抽样调查的样本容量是______；(2)补全条形统计图；(3)该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．(1)搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是______；(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EA=FB，AB=CD．(1)求证：∠E=∠F；(2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？(x>25.如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=8x0)的图象交于点A(a,4).点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．(1)求a的值及正比例函数y=kx的表达式；(2)若BD=10，求△ACD的面积．26.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．(1)点F到直线CA的距离是______；(2)固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法).该图形的面积为______；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长．27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I 关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28.如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C(1,0)，且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．(1)填空：b=______；(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标；(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案和解析1. A解：2的相反数是−2．2. B解：m 6÷m 2=m 6−2=m 4．3. C解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．4. C解：8的立方根是√83=√233=2，5. A解：∵x <y ，∴2x <2y ，故本选项符合题意；B 、∵x <y ，∴−2x >−2y ，故本选项不符合题意；C 、∵x <y ，∴x −1<y −1，故本选项不符合题意；D 、∵x <y ，∴x +1<y +1，故本选项不符合题意；6. B解：∵∠1+∠3=180°，∠1=40°，∴∠3=180°−∠1=180°−140°=40°∵a//b ，∴∠2=∠3=40°．解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB=90°，∵点M是BC的中点．BC，∴MH=12∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，8.D解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA//BC，OA=BC，∴∠AOM=∠CNM，∵BD//y轴，∴∠CBD=∠CNM，∴∠AOM=∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB=∠AMO，∴△AOM≌△CBD(AAS)，∴OM=BD=√2，BD⋅AE=2，BD=√2，∵S△ABD=12∴AE=2√2，∵∠ADB=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，(x>0)的图象经过A、D两点，∵反比例函数y=kx∴k=√2m=(m−2√2)×3√2，解得m=3√2，∴k=√2m=6．9.3解：|−2|+(π−1)0=2+110.x≠1解：依题意得：x−1≠0，解得x≠1，11.6.4×103解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．12.x(x+1)(x−1)解：x3−x，=x(x2−1)，=x(x+1)(x−1)．13.k>0解：∵一次函数y=kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k>0．14.1解：∵关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，∴把x=1代入方程得：1+a−2=0，解得：a=1，15.30解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°．16.(2,√3)解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，∴CD=AD=AB=2，∵∠DAB=120°，∴∠OAD=60°，Rt△AOD中，∠ADO=30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C(2,√3)，17.12解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA=∠GCB=45°，∴∠ECG=90°，设AC=2，BC=1，∴CE=2√2，CG=√2，∴tan∠GEC=CGEC =12，18.4解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG//BT，∵AD=DB，AE=EC，∴DE//BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG=DT，DG=BT，∠BDH=∠ABC=45°，∵AD=DB=3√2，∴BH=DH=3，∵∠TBF=∠BHF=90°，∴∠TBH+∠FBH=90°，∠FBH+∠F=90°，∴∠TBH=∠F，∴tan∠F=tan∠TBH=BTBF =DGBF=13，∴THBH =13，∴TH=1，∴DT=TH+DH=1+3=4，∴BG=4．19. 解：(1)方程两边都乘以x −1得：x −2=2(x −1)，解得：x =0，检验：把x =0代入x −1得：x −1≠0，所以x =0是原方程的解，即原方程的解是：x =0；(2){2x −6<0 ①−3x ≤6 ②， ∵解不等式①得：x <3，解不等式②得：x ≥−2，∴不等式组的解集是：−2≤x <3．20. 解：(x +1)2−x(x +1)=x 2+2x +1−x 2−x=x +1，当x =2时，原式=2+1=3．21. 100解：(1)本次抽样调查的总人数是：25÷25%=100(人)，则样本容量是100；故答案为：100；(2)打乒乓球的人数有：100×35%=35(人)，踢足球的人数有：100−25−35−15=25(人)，补全统计图如下：(3)根据题意得：2000×15100=300(人)，答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22. 13解：(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P (和为奇数)=46=23．23. 证明：(1)∵EA//FB ，∴∠A =∠FBD ，∵AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，即AC =BD ，在△EAC 与△FBD 中，{EA =FB ∠A =∠FBD AC =BD，∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E =∠F ；(2)∵△EAC≌△FBD ，∴∠ECA =∠D =80°，∵∠A =40°，∴∠E =180°−40°−80°=60°，答：∠E 的度数为60°．24. 解：(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22，解得：{x =8y =6．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．(2)设购买m 千克苹果，则购买(15−m)千克梨，依题意，得：8m +6(15−m)≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．25.解：(1)把点A(a,4)代入反比例函数y=8x(x>0)得，a=84=2，∴点A(2,4)，代入y=kx得，k=2，∴正比例函数的关系式为y=2x，答：a=2，正比例函数的关系式为y=2x；(2)当BD=10=y时，代入y=2x得，x=5，∴OB=5，当x=5代入y=8x 得，y=85，即BC=85，∴CD=BD−BC=10−85=425，∴S△ACD=12×425×(5−2)=12.6，26.1 π12解：(1)如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．∴∠ACB=60°，∠FCE=∠BAC=30°，AC=CF，∴∠ACF=30°，∴∠BAC=∠FCD，在△ABC和△CDF中，{∠BAC=∠FCD ∠ABC=∠CDF AC=CF，∴△ABC≌△CDF(AAS)，∴FD=BC=1，故答案为1；(2)线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S 阴=S △EFC +S 扇形ACF −S 扇形CEH −S △AHC =S 扇形ACF −S 扇形ECH =30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12． (3)如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H.设OB =OE =x ．在Rt △ECF 中，∵EF =1，∠ECF =30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32，在Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=√1+x 2，∴OH =CH =OC =32−√1+x 2，在Rt △EOH 中，则有x 2=(√32)2+(32−√1+x 2)2，解得x =√73或−√73(不合题意舍弃)， ∴OC =(√73)=43， ∵CF =2EF =2，∴OF =CF −OC =2−43=23．27. D 20解：(1)①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数=DB⋅DE=2×5=20，故答案为D，20．②如图1−1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F(−4√33,0)，交y轴于E(0,4)，∴OE=4，OF=4√33∴tan∠FEO=OFOE =√33，∴∠FEO=30°，∴OH=12OE=2，∴PH=OH+OP=3，∴⊙O关于直线n的“特征数”=PQ⋅PH=2×3=6．(2)如图2−1中，设直线l的解析式为y=kx+b．当k>0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN=2√2，EN⋅NH=4√5，∴NH=√10，∵N(−1,0)，M(1,4)，∴MN=√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10，∴△MNH 是等腰直角三角形，∵MN 的中点K(0,2)，∴KN =HK =KM =√5，∴H(−2,3)，把H(−2,3)，M(1,4)代入y =kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113，当k <0时，同法可知直线i 经过H′(2,1)，可得直线l 的解析式为y =−3x +7．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y =−3x +7．28. −4解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +3的图象过点C(1,0)，∴0=1+b +3，∴b =−4，故答案为：−4；(2)∵b =4，∴抛物线解析式为y =x 2−4x +3∵抛物线y =x 2−4x +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ， ∴点A(0,3)，3=x 2−4x ，∴x 1=0(舍去)，x 2=4，∴点B(4,3)，∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴顶点D 坐标(2,−1)，如图1，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE ⊥AB 于E ，设BD 与x 轴交于点F ，∵点A(0,3)，点B(4,3)，点C(1,0)，CE ⊥AB ，∴点E(1,3)，CE =BE =3，AE =1，∴∠EBC =∠ECB =45°，tan∠ACE =AE EC =13，∴∠BCF =45°，∵点B(4,3)，点C(1,0)，点D(2,−1)， ∴BC =√9+9=3√2，CD =√1+1=√2，BD =√(4−2)2+(3+1)2=2√5， ∵BC 2+CD 2=20=BD 2，∴∠BCD =90°，∴tan∠DBC =CD BC =√23√2=13=tan∠ACE ， ∴∠ACE =∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB =∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB =∠CFD ，又∵∠CQD =∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，∴0=x 2−4x +3，∴x 1=1，x 2=3，∴点P(3,0)；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF =QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF =QH ，∴CF =CQ ，∴∠CFD =∠CQD ，∴∠CQD =∠ACB ，∵CH ⊥BD ，∵点B(4,3)，点D(2,−1)，∴直线BD 解析式为：y =2x −5，∴点F(52,0)， ∴直线CH 解析式为：y =−12x +12，∴{y =−12x +12y =2x −5，解得{x =115y =−35，∴点H 坐标为(115,−35)， ∵FH =QH ， ∴点Q(1910,−65)，∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x 2−4x +3，解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89， ∴点P(53,−89)；综上所述：点P 的坐标为(3,0)或(53,−89)； (3)如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A(0,3)，点C(1,0)，∴直线AC 解析式为：y =−3x +3，∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为(85,−95)，∵点H 坐标为(115,−35)，∴CH 2=(115−1)2+(35)2=95，HN 2=(115−85)2+(−35+95)2=95，∴CH =HN ，∴∠CNH=45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN=NF，∠ENB=∠FNB=45°，∴∠ENF=90°，∴∠ENM+∠FNM=90°，又∵∠ENM+∠MEN=90°，∴∠MEN=∠FNM，∴△EMN≌△NKF(AAS)∴EM=NK=95，MN=KF，∴点E的横坐标为−15，∴点E(−15,185)，∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1=6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC=CG=6，∠BCF=∠GCB=45°，∴∠GCF=90°，∴点G(1,6)，∴AG=√12+(6−3)2=√10．。

2020年部编人教版江苏省各市中考分类精析专题6函数的图像与性质

专题6：函数的图像与性质江苏泰州锦元数学工作室编辑一、选择题1. （2020年江苏常州2分）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是【】 A ．1y x =-B ．1y x =C ．2y x =D ．2y x=-2. （2020年江苏常州2分）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为﹣3；（2）当1<x<22-时，y ＜0；（3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是【】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．03. （2020年江苏淮安3分）若反比例函数ky x=的图象经过点（5，﹣1）．则实数k 的值是【】A ．5-B ．15-C ．15D ．54. （2020年江苏南京2分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k 1x 的图像与反比例函数2k y x=的图像没有公共点，则【】 (A) k 1+k 2<0 (B) k 1+k 2>0 (C) k 1k 2<0 (D) k 1k 2>05. （2020年江苏苏州3分）已知二次函数2y x 3x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程2x 3x m 0-+=的两实数根是【】 A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3【答案】B 。

6. （2020年江苏苏州3分）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数ykx=(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为【】A．12 B．20 C．24 D．327. （2020年江苏宿迁3分）下列三个函数：①y=x+1；②1yx=；③2y x x1=-+．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有【】A．0 B．1 C．2 D．38. （2020年江苏徐州3分）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是【】A ．y=2x+8B ．y=﹣2+4xC ．y=﹣2x+8D ．y=4x9. （2020年江苏徐州3分）二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为【】A ．（－3，－3）B ．（－2，－2）C ．（－1，－3）D ．（0，－6）10. （2020年江苏扬州3分）方程2x 3x 10+-=的根可视为函数y x 3=+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是【】 A ．010<x <4 B ．011<x <43 C ．011<x <32 D ．01<x <12二、填空题1. （2020年江苏常州2分）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A （0，﹣2）和点B（1，0），则k= ▲ ，b= ▲ ．2. （2020年江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数1yx=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数kyx=的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA，则k= ▲ ．3. （2020年江苏淮安3分）二次函数y=x 2+1的图象的顶点坐标是 ▲ ．4. （2020年江苏连云港3分）若正比例函数y ＝kx （k 为常数，且k≠0）的函数值y 随着x 的增大而增减小，则k 的值可以是 ▲ ．（写出一个即可）5. （2020年江苏南通3分）反比例函数ky x=的图象经过点（1，2），则k= ▲ 。

2020年江苏省常州中考数学试卷-答案

OD 在 Rt△DOA 中， sin 60=
3 ，OD
3 ，点 C 的坐标是 (2, 3) ．故答案为： (2,
3) ．
AD 2
【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质
1 17.【答案】
2
【解析】设 BC a ，则 AC 2a ，然后利用正方形的性质求得 CE、CG 的长、GCD ECD 45 ，进而说
2020 年江苏省常州市初中学业水平考试
数学答案解析
一、 1.【答案】D 【解析】根据相反数的概念解答即可．2 的相反数是 2 ，故选D． 2.【答案】B 【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解： m6 m2 m62 m4 ．故选：B．【考点】同底数幂除法 3.【答案】C 【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C．【考点】由三视图判断几何体 4.【答案】D 【解析】解：根据立方根的定义，由 23 8 ，可得 8 的立方根是 2 故选：D．【考点】立方根． 5.【答案】A 【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、由 x＜y 可得：2x＜2 y ，故选项成立；B、由 x＜y 可得： 2x＞ 2 y ，故选项不成立；C、由 x＜y 可得： x 1＜y 1 ，故选项不成立；D、由 x＜y 可得： x 1＜y 1，故选项不成立；故选A. 【考点】不等式的性质 6.【答案】B
1 腰直角三角形. BD 2 ， S△ ABD 2 ， S△ABD 2 BD AE 2 ，即 AE 2 2 ， DE AE 2 2 . BC AO ，且 BC //AO ，CD//OF ，BCD AOF ，△BCD≌△AOF ， AF BD 2 ， yD 3 2 .

常州市2001-2020年中考数学试题分类解析专题5：数量和位置变化

2001-2020年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题5：数量和位置变化一、选择题1. （江苏省常州市2002年2分）若点P (1－m，m)在第二象限，则下列关系式正确的是【】A. 0<m<1B.m<0C.m>0D. m>1【答案】D。

【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征，解不等式组。

【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。

因此，∵点P (1－m，m)在第二象限，所以1－m＜0，m＞0，解得m＞1。

故选D。

2. （江苏省常州市2003年2分）某人骑车外出，所行的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系如图所示，现有下列四种说法：①第3小时中的速度比第1小时中的速度快；②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢；③第3小时后已停止前进；④第3小时后保持匀速前进。

其中说法正确的是【】（A）②、③ （B）①、③ （C）①、④ （D）②、④【答案】A。

【考点】函数的图象。

【分析】根据路程s与时间t的函数关系图象可知，相同时间所走路程不相同，3小时后，路程没有变化，可以判断三点的大小及行驶的状态：根据函数图象可知，前三个小时，每段的图象都是直线，是一次函数，每段中都是匀速运动，函数图象的倾斜角越大说明速度大，3小时以后路程随着时间的增加不变，因而第3小时后已停止前进；因而正确的说法是：②③。

故选A。

3. （江苏省常州市2005年2分）某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点,进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示：给出以下3个判断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则上述判断中一定正确的是【】A、①B、②C、②③D、①②③【答案】A。

2020年江苏省常州中考数学试卷含答案-答案在前

2020年江苏省常州市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．2的相反数是2-，故选D ． 2.【答案】B【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解：62624m m m m -÷==．故选：B ．【考点】同底数幂除法 3.【答案】C【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C ．【考点】由三视图判断几何体 4.【答案】D【解析】解：根据立方根的定义，由328=，可得8的立方根是2故选：D ．【考点】立方根． 5.【答案】A【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A 、由x y ＜可得：22x y ＜，故选项成立；B 、由x y ＜可得：22x y --＞，故选项不成立；C 、由x y ＜可得：11x y --＜，故选项不成立；D 、由x y ＜可得：11x y ++＜，故选项不成立；故选A .【考点】不等式的性质 6.【答案】B【解析】先根据邻补角相等求得3∠，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．解：13180∠+∠=︒ ，1140∠=︒，3180118014040∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.a b ∥，2340∴∠=∠=︒．故答案为B ．【考点】平行线的性质 7.【答案】A【解析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知12MH BC =，当BC 为直径时长度最大，即可求解．解：CH AB ⊥∵，90BHC ∴∠=︒. 在Rt BHC △中，点M 是BC 的中点，12MH BC ∴=.BC 为O 的弦，∴当BC 为直径时，MH 最大，O 的半径是3，MH ∴最大为3．故选：A ．【考点】直角三角形斜边中线定理 8.【答案】D【解析】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F ，计算出AE 长度，证明BCD AOF ≌△△，得出AF 长度，设出点A 的坐标，表示出点D 的坐标，使用D D A A x y x y =，可计算出k 值．作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F .135ADB ︒∠= ，45ADE ︒∴∠=，ADE ∴△为等腰直角三角形.BD ，2S ABD =△，122ABD S BD AE ∴=⋅=△，即AE =，DE AE ∴==.BC AO = ，且//BC AO ，//CD OF ，BCD AOF ∴∠=∠，BCD AOF ∴≌△△，AF BD ∴==，D y ∴=.设点(A m ，(D m -，(m =-⋅，解得：m =，6k ∴==故选：D ．【考点】反比例函数与几何图形的综合二、 9.【答案】3【解析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可．原式213== ．故答案为：3．【考点】绝对值和0次幂的性质． 10.【答案】1x ≠【解析】分式有意义时，分母10x -≠，据此求得x 的取值范围．解：依题意得：10x -≠，解得1x ≠，故答案为：1x ≠．【考点】分式有意义的条件 11.【答案】36.410⨯【解析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 是比原整数位数少1的数.36 400=6.410⨯.故答案为：36.410⨯. 【考点】科学记数法的表示方法 12.【答案】(1)(1)x x x +-【解析】解：原式2(1)(1)(1)x x x x x =-=+-13.【答案】0k ＞【解析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．解：一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，0k ∴＞．故答案为0k ＞．【考点】一次函数增减性与系数的关系 14.【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义，把1x =代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可．解：把1x =代入方程220x ax +-=得120a +-=，解得1a =．故答案是：1．【考点】一元二次方程的解 15.【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到B BCF ∠=∠，再利用等边三角形的性质得到60AFC ∠=︒，从而可得B ∠. 解：EF 垂直平分BC ，BF CF ∴=，B BCF ∴∠=∠，ACF △为等边三角形，60AFC ∴∠=︒，30B BCF ∴∠=∠=︒.故答案为：30.【考点】垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质16.【答案】【解析】根据菱形的性质可知2AD AB CD ===，60OAD ∠=︒由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．解：四边形ABCD 为菱形，2AB =，2AD AB CD ∴===，AB//CD ，120DAB ∠=︒ ，60DAO ∴∠=︒.在Rt DOA △中，sin 60=OD AD ︒=OD ∴=∴点C 的坐标是．【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质 17.【答案】12【解析】设BC a =，则2AC a =，然后利用正方形的性质求得CE CG 、的长、45GCD ECD ∠==︒，进而说明ECG △为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：设BC a =，则2AC a =. 正方形ACDE ，EC ∴=，1452ECD ACD ∠=∠=，同理：CG =，1452GCD BCD ∠=∠= 1tan 2CG CEG CE ∴∠===．故答案为12．【考点】正方形的性质和正切的定义 18.【答案】4或2【解析】分当点F 在点D 右侧时，当点F 在点D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.解：如图，当点F 在点D 右侧时，过点F 作//FM DG ，交直线BC 于点M ，过点B 作BN DE ⊥，交直线DE 于点N ，,D E 分别是AB 和AC 中点，AB =，DE BC ∴∥，BD AD ==FBM BFD ∠=∠，∴四边形DGMF 为平行四边形，则DG FM =，DG BF ⊥ ，3BF DG =，90BFM ∴∠=︒，tan FBM==tan BF 1=3D FM BF ∴∠∠，13BN FN ∴=，45ABC BDN ∠=︒=∠ ，BDN ∴△为等腰直角三角形，3BN DN ∴===，39FN BN ∴==，6FB GM ==，B F = ，13M BF F ∴=10BM =∴=，1064BG ∴=-=；当点F 在点D 左侧时，过点B 作BN DE ⊥，交直线DE 于N ，过点B 作//BM DG ，交直线DE 于M ，延长FB 和DG ，交点为H ，可知：90H FBM ∠=∠=︒，四边形BMDG 为平行四边形，BG MD ∴=，BM DG =，3BF DG = ，1tan 3BM DH BN BF FH FN BFD ==∴=∠=，同理可得：BDN △为等腰直角三角形，3BN DN ==，39FN BN ∴==，BF =∴=MN x =，则3MD x =-，9FM x =+，在Rt BFM △和Rt BMN △中，有2222FM BF MN BN -=+，即()(22293x x +-=+，解得：1x =，即1MN =，2BG MD ND MN ∴==-=综上：BG 的值为4或2.故答案为：4或2.【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理三、19.【答案】解：2(1)(1)x x x +-+2212x x x x =++--1x =+将2x =代入，原式3=【解析】完全平方公式和单项式乘多项式，具体解题过程参照答案. 【考点】整式的混合运算 20.【答案】（1）2211x x x+=--，去分母得：x 2=2x 2－－，解得0x =.经检验0x =是分式方程的解. （2）26036x x -⎧⎨-⎩＜，①≤，②由①得：3x ＜，由②得：2x -≥，则不等式组的解集为23x -≤＜.【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【考点】分式方程与解不等式组 21.【答案】（1）100（2）打乒乓球的人数为10035%35⨯=人，踢足球的人数为10025351525---=人；补全条形统计图如图所示：（3）152000300100⨯=人．【解析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求.出本次抽样调查的样本容量.（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图. （3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果. 【考点】条形统计图，扇形统计图，样本容量，利用样本估计总体 22.【答案】（1）13（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：4263=. 【解析】（1）由概率公式即可得出答案. 共有3个号码，∴抽到1号签的概率是13，故答案为：13. （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．【考点】列表法与树状图法23.【答案】（1）AE//BF ，A DBF ∴∠=∠，AB CD = ，AB BC CD BC ∴+=+，即AC BD =，又AE BF = ，ACE BDF SAS ∴≌（△△），E F ∴∠=∠. （2）ACE BDF ∴≌△△，80D ACE ∴∠=∠=︒，40A ∠=︒ ，18060E A ACE ∴∠=︒-∠-∠=︒. 【解析】（1）根据已知条件证明ACE BDF ≌△△，即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到80D ACE ∠=∠=︒，再利用三角形内角和定理求出结果. 【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和24.【答案】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意，得：326222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：86x y =⎧⎨=⎩，答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15)a -千克，由题意，得：()8615100a a +-≤，解得：5a ≤，a ∴最大值为5，答：最多购买5千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意列出x 、y 的方程组，解之即可. （2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15)a -千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答．【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用 25.【答案】（1）已知反比例函数解析式为8y x=，点4(),A a 在反比例函数图象上，将点A 坐标代入，解得2a =，故A 点坐标为(2,4)，又A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y kx =，将点()2,4A 代入正比例函数解析式中，解得2k =，则正比例函数解析式为2y x =．故2a =；2y x =．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(),0b ，则C 点坐标为8(,b b、D 点坐标为(),2b b ，根据10BD =，则210b =，解得5b =，故点B 的坐标为(5,0)，D 点坐标为(5,10)，C 点坐标为8(5,5，则在ACD △中，()186********ACD S ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△．故ACD △的面积为635．【解析】（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(),0b ，则D 点坐标为(),2b b ，根据10BD =，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．【考点】解正比例函数及反比例函数解析式，待定系数法 26.【答案】（1）1（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt CEF △中，301ECF EF ∠=︒= ，，2CF ∴=，CE =，由旋转的性质可得： 2CF CA ==，CE CG ==，30ACG ECF ∠=∠=︒，()223030236036012CEF ACG ACF CEG ACF CEGS S S S S S S πππ⨯⨯-=∴=++== 阴影扇形扇形扇形扇形（）－（）－；故答案为：12π.②作EH CF ⊥于点H ，如图4，在Rt EFH △中，601F EF ∠=︒= ，，12FH ∴=，EH =13222CH ∴=-=，设OH x =，则32OC x =-，22222234OE EH OH x x =+=+=+⎝⎭，OB OE = ，2234OB x =∴+，在Rt BOC △中，2222233,142OB BC OC x x ⎛⎫∴++=- ⎝+=⎪⎭，解得：16x =，112263OF =+=∴．【解析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得30ACF ECF ∠=∠=︒，即CF 是ACB ∠的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案.30BAC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，60ACB ∴∠=︒，Rt ABC Rt CEF ≌△△，30ECF BAC ∴∠=∠=︒，1EF BC ==，30ACF ∴∠=︒，30ACF ECF ∴∠=∠=︒，CF ∴是ACB ∠的平分线，∴点F 到直线CA 的距离1EF ==；故答案为：1.（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30︒的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt CEF △求出CF 和CE 的长，然后根据CEF ACG ACF CEG S S S S S =++ 阴影扇形扇形（）－（）即可求出阴影面积.②作EH CF ⊥于点H ，如图4，先解Rt EFH △求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH x =，则CO 和2OE 都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt BOC △中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【考点】旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识27.【答案】（1）O 关于直线m 的“远点”是点D ，O 关于直线m 的“特征数”为·2510DB DE =⨯=. ②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交O 于点P Q 、，直线n 的函数表达式为4y =+，当0x =时，4y =；当0y =时，x =，∴直线n 经过点04E （，），点0F （），在Rt EOF △中，34FO tan FEO EO ∠=== ，30FEO ∴∠=︒，60EFO ∴∠=︒，在Rt HOF △中， sin HF OOO H F ∠=， sin 2HO HFO FO ∴=∠⋅=，3PH HO OP ∴=+=，·236PQ PH ∴=⨯=，O ∴ 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，∴连接NF 并延长，则直线NF ⊥直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A m n （，），设直线l 的解析式为10y kx b k =+≠（），将点()1,4M 与A m n （，）代入y kx b =+中，114=k b n mk b ⎧+⎪⎨=+⎪⎩①②②-①得：14n mk k -=-，③又直线NF ⊥直线l ，∴设直线NF 的解析式为210y x b k k=-+≠（），将点()1,0N -与A m n （，）代入21y x b k =-+中，2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤④-⑤得：1k n mk -=+，⑥联立方程③与方程⑥，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴点A 的坐标为2224142()11k k k k k ---++，；又F 关于直线l 的“特征数”是，F，·NB NA ∴=，即NA ⋅=，解得：NA =()()22210m n ∴--+-=⎡⎤⎣⎦，即()22110m n ++=，把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得3k =-或13k =；当3k =-时，21m n ==，，∴点A 的坐标为21（，），把点21A （，）与点()1,4M 代入1y kx b =+中，解得直线l 的解析式为37y x =-+；当13k =时，23m n =-=，，∴点A 的坐标为23-（，），把点23A -（，）与点()1,4M 代入1y kx b =+中，解得直线l 的解析式为11133y x =+．∴直线l 的解析式为37y x =-+或11133y x =+.【解析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交O 于点P Q 、，首先判断直线n 也经过点04E （，），在Rt EOF △中，利用三角函数求出60EFO ∠=︒，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可.（2）连接NF 并延长，设直线l 的解析式为1y kx b =+，用待定系数法得到114=k b n mk b ⎧+⎪⎨=+⎪⎩①②，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为21y x b k=-+，用待定系数法同理可得2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤，消去1b 和2b ，得到关于m n 、的方程组41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩；根据F 关于直线l的“特征数”是，得出NA =()22110m n ++=，把222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，求出k 的值，便得到m n 、的值即点A 的坐标，再根据待定系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．【考点】一次函数与圆的综合 28.【答案】（1）4-（2）由（1）可得抛物线解析式为：243y x x =-+，当0x =时，3y =，A ∴的坐标为03（，），当3y =时得2343x x =-+，解得10x =，24x =，∴点B 的坐标为43（，），()224321y x x x =-+=-- ，∴顶点D 的坐标为21-（，），设BD 与x 轴的交点为M ，作CH AB ⊥于H ，DG CM ⊥于G ，1tan tan 3ACH OAC ∴∠=∠=，根据勾股定理可得BC =，CD =，BD =BD ∴=，90BCD ∴∠=︒，1tan 3CBD ∴∠=，ACH CBM ∴∠=∠，45HCB BCM ∠=∠=︒ ，ACH HCB CBM MCB ∴∠+∠=∠+∠，即ACB CMD ∠=∠，Q 在CD 上方时：若CQD ACB ∠=∠，则Q 与M 点重合，243y x x =-+ 中，令0y =，解得：1x =或3，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为30（，），即此时P 的坐标为30（，）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK x ⊥轴，过点C作CL QM ⊥于点L ，过点A 作AN BC ⊥于点N ，可得：4A A B BC C ==，，设CN x =，则BN x =，在ABC △中，2222AC CN AB BN -=-，即()22224x x -=--，解得：x =，cos ACN CN AC ∴∠==BD 的表达式为：y mx n =+，将,B D 代入得：3412m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：25m n =⎧⎨=-⎩，∴直线BD 的表达式为25y m =-，令0y =，则52x =，即点205M （，），设点Q 坐标为25a a -（，），则52QK a =-，32CM =，QM =，ACB CMD ACB CQD ∠=∠∠=∠ ，，CMD CQD ∴∠=∠，即32CQ CM ==，cos cos CQD A CQ CB QL ∴∠=∠==QL ∴=，QM =，CL =CQM△中，1122CM KQ QM CL ⋅=⋅，即32KQ ⋅=65KQ =，910K C =∴=，196,105Q ∴-（，设直线CQ 表达式为：y sx t =+，将点C 和点Q 代入，0619510s t s t =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：4343s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则CQ 表达式：4433y x =-+，联立：2443343y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得5389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点P 坐标为58(,)39，综上：点P 的坐标为30（，）或58(,39.（3）设点C 关于BD 的对称点为C '，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N '，31R ∴（，），设C p q '（，），由题意可求得：直线AC 表达式为：33y x =-+，直线BD 表达式为：25y x =-，直线BC 的表达式为：1y x =-，令3325x x -+=-，解得： 85x =，则95y =-，∴点89(,55N -'，点C 和C '关于直线BC对称，12CR C R BD ∴='==，CN C N ='=''=，则有为()()22231p q -+-=，2228955p q ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222262501618110555p p q q p p q q ⎧-+-+=⎪⎨-+++=⎪⎩①②，①-②得：12p q =-③，代入①，解得：65q =-或0（舍），代入③中，得：175p =，解得：17565p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点17,565C '-（，8,59)5N '- （，求得直线C N ''的表达式为：1733y x =-，点F 在x 轴上，令0y =，则7x =，∴点70F （，），又点F 和点G 关于直线BC 对称，1BC y x =-：，连接CG ，可得45BCF BCG ∠=︒=∠，90FCG ∴∠=︒，6CG CF ∴==，∴点G 的坐标为1,6（），又03A （，），AG ∴的长=【解析】（1）根据待定系数法求解即可.解：抛物线过点10C （，），∴将10C （，）代入23y x bx =++得013b =++，解得4b =-，故答案为：4-. （2）分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解.（3）设点C 关于BD 的对称点为C '，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N '，设C p q '（，），利用点R 到点C 和点C '的距离相等以及点N '到点C 和点C '的距离相等，求出点C '的坐标，从而得到C N ''直线的解析式，从而求出点F 坐标，再利用点F 和点G 关于直线BC 对称，结合BC 的表达式可求出点G 坐标，最后得到AG 的长.【考点】二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质数学试卷第1页（共6页）数学试卷第2页（共6页）绝密★启用前2020年江苏省常州市初中学业水平考试数学注意事项：1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3.作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2的相反数是（）A .12-B .12C .2D .2- 2.计算62m m ÷的结果是（） A .3mB .4mC .8mD .12m 3.右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A .圆柱B .三棱柱C .四棱柱D .四棱锥 4.8的立方根是（）A .B .2± C.± D .2 5.如果x y ＜，那么下列不等式正确的是（） A .22x y ＜B .22x y --＜C .11x y --＞D .11x y ++＞6.如图，直线a 、b 被直线c 所截，a b ∥，1140∠=︒，则2∠的度数是（）A .30︒B .40︒C .50︒D .60︒7.如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是（） A .3 B .4 C .5D .68.如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y轴平行，BD =，135ADB ∠=︒，2ABD S =△．若反比例函数()0ky x x=＞的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（）A.B .4 C. D .6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．） 9.计算：021||() -+-=________． 10.若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是________． 11.地球半径大约是6 400 km ，将6 400用科学记数法表示为________． 12.分解因式：3=x x -__________．13.若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是__________．14.若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．15.如图，在ABC △中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，120DAB ∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy，使的毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------数学试卷第3页（共6页）数学试卷第4页（共6页）得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是________．17.如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠=________．18.如图，在ABC △中，45,B AB ∠=︒=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为________．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分6分）先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2x =． 20.（本小题满分8分）解方程和不等式组：（1）2211x x x +=--；（2）260,3 6.x x -<⎧⎨-⎩21.（本小题满分8分）为了解某校学生对球类运动喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2 000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 22.（本小题满分8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.（本小题满分8分）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．24.（本小题满分8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.（本小题满分8分）如图，正比例函数y kx =的图像与反比例函数()80y x x=＞的图像交于点(),4A a ．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D ．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式；（2）若10BD =，求ACD △面积．26.（本小题满分10分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt ABC C F Rt E ≌△△，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定ABC △，将CEF △绕点C 按顺时针方向旋转30︒，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．的的数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________； ②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．27.（本小题满分10分）如图1，I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），O 关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F为半径作F ．若F 与直线l 相离，点()1,0N -是F 关于直线l 的“远点”，且F 关于直线l的“特征数”是，求直线l 的函数表达式．28.（本小题满分10分）如图，二次函数23y x bx =++的图像与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点()1,0C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效---------------- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________。

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2001-2020年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1. （2001江苏常州2分）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例y=mnx(m,n是常数，且mn≠0)图象的是【】A． B. C. D.【答案】A。

【考点】一次函数（正比例函数）和系数与的关系。

【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”判断出m、n的符号，再根据一次函数的性质进行判断：①当mn＞0，m，n同号，y=mnx的图象经过1，3象限；同正时y=mx+n的图象过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限。

②当mn＜0时，m，n异号，y=mnx的图象经过2，4象限；则y=mx+n的图象过1，3，4象限或2，4，1象限。

结合所给图象，只有选项A符合当mn＜0时，m，n异号，y=mnx的图象经过2，4象限，y=mx+n的图象过2，4，1象限。

故选A。

2. （2001江苏常州2分）已知反比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A（x1,y1）,B(x2,y2)，且x1＜x2，则y1－y2的值是【】A．正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定【答案】D。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵自变量所在象限不定，∴在x1＜x2时，相应函数值的大小也不定。

若x1、x2同号，则y1－y2＜0；若x1、x2异号，则y1－y2＞0。

故选D。

3. （江苏省常州市2002年2分）若抛物线y=x2－6x＋c的顶点在x轴上，则c的值是【】A. 9B. 3C.-9D. 0【答案】A。

【考点】二次函数的性质。

【分析】当抛物线顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式求解即可：∵抛物线y=x 2－6x ＋c 的顶点在x 轴上，a=1，b=－6，c=c ，∴顶点纵坐标为0，即241c 6 041⨯⨯-=⨯，解得c=9。

故选A 。

4. （江苏省常州市2002年2分）已知一次函数y=k 1+b ，y 随x 的增大而减小，且b>0，反比例函数y=2k x中的k 2与k 1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是【】A B C D【答案】C 。

【考点】反比例函数和一次函数的性质。

【分析】根据一次函数的性质，y 随x 的增大而减小，则k 1＜0，且b ＞0与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴一次函数图象过一、二、四象限，故A 和B 错误；又∵反比例函数y=2k x中的k 2与k 1值相等，k 2＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限。

故选C 。

5. （江苏省常州市2003年2分）已知圆柱的侧面积是26cm π，若圆柱底面半径为)(cm x ，高为)(cm y ，则关于x 的函数图象大致是【】【答案】【考点】反比例函数的应用。

【分析】根据题意有：2=100xy ππ，化简可得50=y x，故x 与y 之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义x 与y 应大于0，其图象在第一象限。

故选B 。

6. （江苏省常州市2004年2分）关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是【】（A ）图象必经过点（﹣2，1）（B ）图象经过第一、二、三象限（C ）当21>x 时，0<y （D ）y 随x 的增大而增大【答案】C 。

【考点】一次函数的性质。

【分析】将四个选项分别验证即可得出结论：A 、将（－2，1）代入21y x =-+中得左边=1，右边=－2×（－2）+1=5≠左边，选项错误；B 、根据正比例函数的性质，=20k <-时，图象经过一、二、四象限，选项错误；C 、直线21y x =-+与x 轴的交点为（12 ，0），当x ＞12时，y ＜0，选项正确； D 、根据一次函数的性质，=20k <-，y 随x 的增大而增减小，选项错误。

故选C 。

7. （江苏省常州市2007年2分）若二次函数22y ax bx a 2=++-（a b ，为常数）的图象如下，则a 的值为【】A ．2-B ．C ．1D【答案】D 。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】由图象可知：抛物线与y 轴的交于原点，∴a 2＋2=0，解得。

由抛物线的开口向上，得a ＞0。

D 。

8. （江苏省常州市2008年2分）若反比例函数k 1y=x-的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是【】A.－1B.3C.0D.－3【答案】B 。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据题意列出不等式确定k 的范围，再找出符合范围的选项：根据题意k －1＞0，则k ＞1。

故选B 。

9. （江苏省常州市2010年2分）函数2y x=的图象经过的点是【】 A.（2，1） B.（2，－1） C.（2，4） D. 1(,2)2-【答案】A 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】在曲线上的点的坐标一定会使方程（函数关系式）的左右两边相等，反之不在曲线上。

因此，满足2y x=的只有（2，1）。

故选A 。

10. （江苏省常州市2010年2分）如图，一次函数122y x =-+的图象上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为a （0＜a ＜4且a≠2），过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为C 、D ，△AOC、△BOD的面积分别为S 1、S 2，S 1与S 2的大小关系是【】A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定【答案】A 。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，直角三角形面积公式，代数式大小比较。

【分析】代数式比较大小，可以采用求差法，求商法、求倒法等，本题采用求差法，求出S 1和S 2，求差即可：∵A 点在一次函数122y x =-+的图象上，且它的横坐标为a ，∴它的纵坐标为1。

∴S 1 ＝12×2×1=1。

又∵B 点在一次函数122y x =-+的图象上，且它的横坐标为a （0＜a ＜4且a≠2）， ∴它的纵坐标为122x -+。

∴S 2 ＝12a （－12a+2）＝－14a 2+a 。

∴S 1－ S 2＝14(a －2)2。

∵0＜a ＜4且a≠2，∴S 1－ S 2＝14(a －2)2>0。

∴S 1＞S 2。

故选A 。

11. （2011江苏常州2分）已知二次函数512-+-=x x y ，当自变量x取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取1-m 、1+m 时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足【】 A ．1y ＞0、2y ＞0 B ．1y ＜0、2y ＜0 C ．1y ＜0、2y ＞0 D ．1y ＞0、2y ＜0 【答案】B ．【考点】二次函数，不等式。

2155550-051010m m m ><m <-+-+⇒【分析】自变量取时对应的值大于，即 5555155155110012<m <<m <y <y <---+-+∴-+∴ ，，，。

故选B 。

12. （2012江苏常州2分）已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 分别取2，3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【】 A. 321y y y << B. 123y y y << C. 213y y y << D. 312y y y << 【答案】 B 。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-知，它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。

根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y 值相等。

由于二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-在对称轴x=2左侧，y 随x 的增大而减小，而0＜1＜2，因此，123y y y <<。

故选B 。

二、填空题1. （江苏省常州市2002年1分）写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限： ▲ . 【答案】1=y x-（答案不唯一）。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数()=0ky k x≠的性质：当0k ＞时，图象分别位于第一、三象限；当0k ＜时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的图像不经过第一、第三象限，∴反比例函数()=0k y k x ≠的系数0k ＜即可，如1=y x-。

2. （江苏省常州市2006年2分）已知反比例函数()0≠=k xky 的图像经过点（1，2-），则这个函数的表达式是 ▲ 。

当0x <时，y 的值随自变量x 值的增大而 ▲ （填“增大”或“减小”）【答案】2y x=-；增大。

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质。

【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数则可。

再根据k 值的正负确定函数的增减性：∵反比例函数()0ky k x=≠的图像经过点（1，－2），∴()=12=2k ⨯--。

∴这个函数的表达式是2y x=-。

又∵=20k <-，当0x <时，y 的值随自变量x 值的增大而增大。

3. （江苏省常州市2007年2分）已知一次函数y kx b =+的图象经过点A （0，－2），B （1，0），则b =▲ ，k = ▲ ．【答案】－2；2。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】将A （0，－2），B （1，0）代入y kx b =+，得20b k b -=⎧⎨=+⎩，解得22b k =-⎧⎨=⎩。

4. （江苏省常州市2007年2分）二次函数2y ax by c =++的部分对应值如下表：二次函数2y ax by c =++图象的对称轴为x = ▲ ，x 2=对应的函数值y = ▲ ．【答案】1；－8。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由表格的数据可以看出，x=－3和x=5时y 的值相同都是7，∴可以判断出，点（－3，7）和点（5，7）关于二次函数的对称轴对称， ∴对称轴为35x =12-+=。

又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，而x=0时，y=－8， ∴x=2时，y=－8。

5. （江苏省常州市2008年2分）过反比例函数()ky=k 0x>的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，如果垂线段与x 、y 轴所围成的矩形面积是6，那么该函数的表达式是 ▲ ，若点A(－3，m)在这个反比例函数的图象上，则m= ▲ . 【答案】6y=x；－2。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义。

【分析】利用矩形面积S=|k|和k ＞0可确定出k 的值，从而求得函数的解析式。

再将点A 的坐标代入求得m 的值即可：过图象上的点（x ，y ）的垂线段与x 、y 轴所所作构成的矩形面积是6可知：|k|=6。

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