江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研数学试题扫描版含答案

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2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测(12月) 数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测（12月）数学试题一、填空题1．设集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，若{}4A B ⋂=，则x =______ . 【答案】4【解析】由{}4A B ⋂=，所以4A ∈，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，因为{}4A B ⋂=，所以4A ∈，故4x =. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到4A ∈是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.2．已知复数131iz i-=+，则复数z 的虚部为________. 【答案】2【解析】先由复数的除法运算，化简131iz i-=+，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为()()()()13113143121112-----====--++-i i i i z i i i i ，所以其共轭复数为12z i =-+，因此其虚部为：2 故答案为：2 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，熟记共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型. 3．函数()f x =的定义域是________.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，可得：12log 100x x ->⎧⎪⎨⎪>⎩，即12log 10x x >⎧⎪⎨⎪>⎩，解得：102x <<.即函数()f x =的定义域为10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4．设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的______条件. 【答案】充分不必要条件【解析】先由两直线垂直求出2a =±，再根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】若直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直，则14-⨯=-aa ，解得：2a =±；所以由“2a =”能推出“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”，由“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”不能推出“2a =”；即“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________．【答案】4【解析】试题分析：因为，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+2p =3，所以，2p=2，焦点到准线的距离为p=4. 【考点】抛物线的定义，抛物线的几何性质。

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题(解析版)

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3【答案】D【分析】首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 【详解】{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分；当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要，故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（） A ．114B ．5C ．72D ．1【答案】A【分析】利用向量共线的坐标运算计算即可. 【详解】由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-，解得114m =4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（）A ．43B ．8C ．63D ．83【答案】C【分析】根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 【详解】因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=，则3a =（） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±，判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2πC ．:2πD ．5:12π【答案】B【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2a CC a OC '==，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =，所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)，则λ=A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2【答案】C【分析】根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 【详解】因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-，两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅，代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=，解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<，同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<，所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<，设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增，所以c a b <<，故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.【答案】CD【分析】根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确. 故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0【答案】ACD【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2b aa b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确；故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//，且//m n ，则αβ⊥【分析】根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α，又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//，且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（）A ．图形关于原点成中心对称B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2【答案】ACD【分析】根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程，故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误；C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确.【点睛】本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________【答案】【分析】根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果.【详解】因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-，则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内；当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==故最短的弦长为=故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】【详解】试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 【答案】97282187【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其【详解】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ，所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=，解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 【详解】设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==，则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-，令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=，令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=，从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值.【答案】(1)221.43x y += (2)32k =±【分析】（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-，联立方程组22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -=，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2 (1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.【答案】(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii i i x y x yb a y b x x x∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X ===则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】 (2)6【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =.解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得15sin 4A = 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠ 所以115sin sin 28ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以15sin sin 8CDB ADB ∠=∠=，因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D π【答案】(1)证明见解析； (2)34. 【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ，所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =，则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =，则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =，则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],1-∞【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。

高三数学12月联考答案页

2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。

江苏省高邮市2020届高三上学期12月阶段性学情调研数学试题 Word版含解析

【详解】，，，
由基本不等式得
当且仅当时，即当时,等号成立,
因此，函数最小值为 .
故答案为：。
【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值,解题的关键在于将函数解析式配凑，考查计算能力,属于中等题。
13.已知的面积为，，且，则的值为________。
利用复数的除法将复数表示为一般形式，即可得出该复数的虚部。
【详解】，因此,复数的虚部为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数虚部的计算，同时也考查了复数除法的计算，考查计算能力，属于基础题.
3.设向量 , ,若，则实数的值为_______。
【答案】
【解析】
【分析】
根据共线向量的坐标表示得出关于实数的方程，解出即可.
【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题的求解，涉及圆的几何性质和对称思想的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
11。在平行四边形中，已知，，，，则 ________。
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形,将、利用向量、表示，结合等式计算出的值，并利用向量、表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值.
因此，三棱锥的体积为。
故答案为： .
【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，一般要找出合适的底面和高来进行计算，考查计算能力，属于中等题。
8。在△ABC中，sinA：sinB:sinC=2：3：4，则sinC=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由sinA：sinB：sinC=2:3：4及由正弦定理，得a：b：c=2：3:4,不妨设a=2，b=3，c=4，由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出．

高三数学2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题解析

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3答案：D首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 解：{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A利用充分条件和必要条件的定义判断.解：因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分；当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要，故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（） A ．114B ．5C ．72D ．1答案：A利用向量共线的坐标运算计算即可. 解：由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-，解得114m =故选：A.4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（）A ．43B ．8C ．63D ．83答案：C根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 解：因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=，则3a =（） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-答案：C设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.解：根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±，判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2π C ．:2π D ．5:12π答案：B作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解. 解：作出过正方体的对角面的截面，如图所示，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2aCC a OC '==，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =，所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)，则λ=（） A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 解：因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-，两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅，代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=，解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<答案：A 构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 解：由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<，同理323ln 2ln 2ln 32ln 3=<=，即ln 2ln 323<，所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<，设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增，所以c a b <<，故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.答案：CD根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.解：解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确.故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0答案：ACD根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 解：因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2b a a b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确；故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//，且//m n ，则αβ⊥ 答案：BD根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.解：对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α，又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//，且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（） A ．图形关于原点成中心对称 B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2答案：ACD根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 解：A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程，故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误； C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确. 故选：ACD .本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________答案：根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果. 解：因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-，则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内；当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==，故最短的弦长为==.故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】解：试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 答案：97282187根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其相应概率，列出分布列求解. 解：因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ，所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=，解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 答案：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 解：设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==，则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-，令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=，令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.答案：(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2].（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)由图象可知，()f x 的最大值为2，最小值为2-，又0A >，故2A =，周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=，从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值. 答案：(1)221.43x y += (2)32k =±（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNS OA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，因为右顶点A 到右焦点2F 的距离为1，即1a c -=，所以1c =，则b所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA =根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-，联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -==，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2(1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn答案：(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；(2)由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.答案：(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可. (1)解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii ii x y x yb a y b x xx∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X === 则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长.答案： (2)6（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =. (1)解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得sin A 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠所以1sin sin 2ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以sin sin CDB ADB ∠=∠=，因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D (2)若1A C 与平面11CC D D 所成角为3π，求锐二面角1C AA D --的余弦值. 答案：(1)证明见解析； 3【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ，所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =，则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =，则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =，则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：(1)答案见解析 (2)(],1-∞（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增；②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=， 0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。

江苏省高邮市2020届高三数学上学期12月阶段性学情联合调研试题(含解析)

江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．己知全集U ＝{﹣1，0，2}，集合A ＝{﹣1，0}，则U A ð＝．答案：{2}考点：补集及其运算解析：∵全集U ＝{﹣1，0，2}，集合A ＝{﹣1，0}， ∴U A ð＝{2}． 2．己知复数3iz i=+(i 为虚数单位)，复数z 虚部为．答案：34考点：复数解析：(3)13134443(3)(3)i i i i z i i i i -+====+++-，故虚部为34． 3．设向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，若a r ∥b r，则实数k 的值为．答案：1考点：向量平行的坐标运算解析：∵向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，且a r ∥b r，∴3(2)0k k ---=，解得k ＝1．4．函数()f x ＝2ln x x -的单调减区间为．答案：(22，+∞) 考点：利用导数研究函数的单调性解析：∵()f x ＝2ln x x -，∴2112()2x f x x x x-'=-=，当()0f x '<时，22x >，故原函数的单调减区间为(22，+∞)．5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于．答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．6．己知偶函数()f x 在[0，＋∞)单调递减，5()2f ＝0，若(21)f x -＞0，则x 的取值范围是．答案：(34-，74) 考点：函数的单调性与奇偶性解析：由于函数()f x 是偶函数，且5()2f ＝0，则5()2f -＝0，又()f x 在[0，＋∞)单调递减，故()f x 在(﹣∞，0]单调递增，∴当5522x -<<时，()0f x >，要使(21)f x -＞0，则552122x -<-<，解得3744x -<<，故x 的取值范围是(34-，74)． 7．如图，己知棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，则三棱锥M —A 1AB 的体积．答案：43考点：棱锥的体积解析：1M A AB 114222323V =⨯⨯⨯⨯=—． 8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝．答案：154考点：正弦定理、余弦定理解析：∵sin A：sin B：sin C＝2：3：4，∴a：b：c＝2：3：4，设a＝2x，b＝3x，c＝4x，∴22222249161 cos C22234a b c x x xab x x+-+-===-⋅⋅，∴sinC＝21151()4--=．9．己知等比数列{}n a的前n项和为n S，若3S＝7，6S＝63，则789a a a++＝．答案：448考点：等比数列的性质解析：∵3S＝7，6S＝63，则6356S S-=，∴2263963()564487S SS SS--===，即789a a a++＝448．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为x＋y﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为．73 2考点：对称点求法，两点间距离公式的计算解析：设点Q与点O关于直线x＋y﹣6＝0对称，连接PQ，则PQ﹣2即为所求最小值，首先求得点Q(6，6)，则PQ22(63)[6(2)]73-+--=∴PQ﹣2732732．l1．在平行四边形ABCD中，己知AB＝6，AD＝5，CP2PD=u u u r u u u r，AP CPu u u r u u u rg＝﹣18，则AD BPu u u r u u u rg ＝．答案：15考点：平面向量的数量积解析：∵21222AP CP (AD DP)CP (AD AB)(AB)AB AD AB 3339⋅=+⋅=+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r又AP CP u u u r u u u rg＝﹣18，AB ＝6，AD ＝5， ∴222AB AD 61839-⋅-⨯=-u u u r u u u r ，故2AB AD 103⋅=u u ur u u u r ，∴222AD BP AD (BC CP)AD (AD AB)AD AB AD 33⋅=⋅+=⋅-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r251015=-=． 12．己知x ∈(0，3)，则28132x y x x-=+-的最小值为．答案：72考点：基本不等式解析：2812123232x y x x x x-=+=++--， ∵(3)3x x -+=，∴3133x x-+= ∴2812121322()()32323233x x xy x x x x x x --=+=++=+++---1732177663(3)62x x x x -=++≥+=-，当且仅当x ＝1时，取“＝”．13．己知△ABC ＋1，AC ＝且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为．答案：1-考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B +＝1， ∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=， ∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ， ∴3sinC ＝sinB(sinA ﹣cosA)，故3cb＝sinA ﹣cosA ，∵△ABC ＋1，则1)sin Ac b =，代入上式得：sin A cos A =-，∵b ＝AC ＝，∴21sin A sin A cos A 2=-，即221tan A tan A 2tan A 1-=+，解得tan A 1=．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是．答案：(-∞，34)U (1，+∞) 考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ，故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点，当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x k x--=，即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即(-∞，34)U (1，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）若函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象经过点(0，且相邻的两条对称轴之间的距离为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当x ∈[﹣1，5]时，()g x 的值域．解：(1)Q 函数()f x 图像的两条相邻对称轴之间的距离为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=，又2T πω=，6πω∴=.()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x Q 的图象经过点(0,3)，(0)2sin 3(0)2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=，∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+(2) Q 将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象，由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g()x 的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[3,2]66x ππ-∈-. 综上，当[1,5]x ∈-时，g()x 的值域为[3,2]-.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．证明:（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB 又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC 所以PB //平面AEC（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I 所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥ ,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I 所以AE ⊥平面PCD 17．（本题满分14分）如图①，某半径为lm 的圆形广告牌，安装后其圆心O 距墙壁1.5m.为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架．如图②，支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN ，线段PA ，线段PB 构成．其中点P 为广告牌的最低点，且为弧MN 中点，点A ，B 在墙面上，PA 垂直于墙面．兼顾美观及有效支撑，规定弧、所对圆心角及PB 与墙面所成的角均为θ，θ∈[12π，512π]．经测算，PA 、PB 段的每米制作费用分别为a 元、2a 元，弧MN 段侮米制作费用为3a 元．（1）试将制作一个支架所需的费用表示为θ的函数；（2）求制作支架所需费用的最小值．解：（1）在扇形OMN 中，劣弧MN 的长度为θ在Rt PAB V 中，3sin 2sin PA PB θ==，所以所需费用()332322sin a a f a θθθ=++，5,1212ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()232cos 2sin cos '332a f a a θθθθ-=-=⎝⎭()()222cos 1cos 122cos cos 32322sin θθθθθ-⋅+--==-⎭当124ππθ≤<时，()'0f θ<，()f θ在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；当7412ππθ<≤时，()'0f θ>，()f θ在区间7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；所以当4πθ=时，()f θ有最小值9324a a π+答：所需费用的最小值9324a a π+元．18．（本题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(1，32)，离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值；（3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．解:（1）设椭圆的焦距为2c .312Q 椭圆过点（，），离心率为12∴229141a b +=，12c a = 解得2,3a b ==则椭圆的方程为22143x y +=.(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254313x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴直线l 的斜率313138514k =-- （3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213kk ∴= 19．（本题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ≠2x )，且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =或x =当0x <<x >时，()'0f x >x <<时，()'0f x <所以()f x 单调递增区间为240,a a a ⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭，24,a a a ⎛⎫+-+∞ ⎪⎪⎝⎭单调递减区间为2244,a a a a a a ⎛⎫--+-⎪⎝⎭ （3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于121212()()()()f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+ 221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-20．（本题满分16分）若数列{}n b 满足21212n n n b b b +->=(n N *∈)，则称{}n b 为“螺旋递增数列”．（1）设数列{}n c 是“螺旋递增数列”，且12c =，21214n n c c +-=(n N *∈)，求2020c ；（2）设数列{}n a 是“螺旋递增数列”，其前n 项和为n S ，求证：{}n S 中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{}n d 是“螺旋上升数列”，且11d =，21212n n d d +-=+(n N *∈)，记数列21n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的n 项和为nT ．问是否存在实数t ，使得1()()0n nt T t T -+<对任意的n N *∈恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）12124-+=n n c c Θ，21=c ，}{12-n c 是以21=c 为首项4为公比的等比数列，12111224---=⨯=∴n n n c c ，201920192=∴c ，∵数列{}n c 是“螺旋递增数列”，2019201920202==∴c c（2）由数列{}n a 是“螺旋递增数列”得n n a a 212=-，故2122221n n n n S S S S ----=-，∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列；（注：给出具体三项也可）假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列，则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即321+++==k k k a a a ，当*21,k m m N =-∈时，22122++==m m m a a a ，① 当*2,k m m N =∈时，322212+++==m m m a a a ，②由数列{}n a 是“螺旋递增数列”得3222122+++<=<m m m m a a a a ，③ ①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. （3）∵21212n n d d +-=+，11d =，{}21n d -∴是以11d =为首项2为公差的等差数列，()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“螺旋递增数列”，故21221n n d d n -==-，()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭，①当()*2n k k N =∈时，2132435462121222111111n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L133521211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭L ，13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭，又()10n nt T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立，213t ∴-≤<.②当()*21n k k N =-∈时，2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫==-=-=-- ⎪-+⎝⎭1111,142423k k ⎡⎫=--∈⎪⎢-+⎣⎭，[)13,1nT ∴-∈--，又()10n nt T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立，113t ∴-≤<.综上①②，存在满足条件的实数t ，其取值范围是11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟） 21A ．（本小题满分10分）己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·（1)求实数a ，b 的值：（2）求矩阵A 的逆矩阵．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422211b a ，所以⎩⎨⎧=+=-422222b a 所以⎩⎨⎧==12b a ．（2）31112)det(=-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32313131323131311A ．21B.（本小题满分10分）己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合若直线l 的极坐标方程sin()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)己知P 为曲线C:4cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin )4(πθ-＝22，则 22ρsinθ－22ρcosθ＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2) 因为P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cosθ，y ＝3sinθ上一点，所以P 到直线l 的距离24)cos(524sin 3cos 4++=+-=ϕθθθd所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 的最大值为22922．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上点，满足1(01)BP BB λλ=≤≤u u u r u u u r（l ）若14λ=，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (2)若二面角P 一A 1C －B 的余弦值为7618，求λ的值．解：以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)，P(1，0，2λ)． (1) 由λ＝41得，CP →＝），，（2111-，A 1B →＝(1，0，－2)，A 1C →＝(0，1，－2)，设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B ，→＝0，n 1·A 1C ，→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2z 1＝0，y 1－2z 1＝0.不妨取z 1＝1，则x 1＝y 1＝2，从而平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(2，2，1)．设直线PC 与平面A 1BC 所成的角为θ，则sinθ＝|cos 〈CP →，n 1〉|＝|CP ，→·n 1|CP ，→|·|n 1||＝91，所以直线PC 与平面A 1BC 所成的角的正弦值为91. (2) 设平面PA 1C 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， A 1P →＝(1，0，2λ－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C ，→＝0，n 2·A 1P ，→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－2z 2＝0，x 2＋（2λ－2）z 2＝0.不妨取z 2＝1，则x 2＝2－2λ，y 2＝2，所以平面PA 1C 的法向量为n 2＝(2－2λ，2，1)．则cos 〈n 1，n 2〉＝9－4λ34λ2－8λ＋9. 因为二面角PA 1CB 的余弦值为1867，所以9－4λ34λ2－8λ＋9＝1867，化简得20λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝21或λ＝109- Θ0≤λ≤1 21=∴λ23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px(p > 0)的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q. （1)求p 的值；（2)求四边形APBQ 的而积S 的最小值．解答：（1）设AB 方程为2px Ay =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pAy p --=所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为1x Ay =+0A ≠，()33,Q x y由214x Ay y x=+⎧⎨=⎩得2440y Ay --=， 12124,4y y y y A =-+=所以()212|41AB y y A =-=+ 令1x =-，则2y A =-，所以21,H A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P AA ⎛⎫- ⎪⎝⎭PF 方程为2112A x y A-=+ 由221124A x y Ay x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140A y y A ---=，所以324y A-=-，32y A =，代入24y x =，得23x A = 所以()2,2Q A A Q 到直线AB的距离为21d =P 到直线AB的距离为22d =所以四边形APBQ 的面积()5321221122A S AB d d A +=+==令20A t =>，则()52241t S t +=()()()432132't t S x t +-=当23t<<时，()'0S x<，()S x单调递减当23t>时，()'0S x>，()S x单调递增所以，当23t=时，()2S x有最小值5527，()S x。

江苏省高邮市2025届高三数学上学期12月学情调研考试试题

2025届高三数学上学期12月学情调研考试试题测试时间: 120 分钟试卷满分: 150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )1.已知集合A=,x∈R}，B= , 则A∩B= ( )A. [2,3]B. (2,3]C. {2,3}D.{3}2.“"m=-2”是“直线l1: mx+4y+4=0与直线l2: x+my+1=0平行”的 ( )A.允分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D，既不充分也不必要条件3.已知向量=(3,2),=(2m-1,3),若与其线，则实数m= ( )A.11/4B. 5C. 7/2D.14. (提示:邮中、一中做题①，其他学校做题②)①若椭圆号:+=1(a>b>0)的离心率为短轴长为6，则椭圆的焦距为( )A. 4B. 8C. 6D. 8②己知等比数列{a n,}满意a5-a1=8，a6-a4=24, 则a3= ( )A.3B. -3C. ID. -15.我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是f(x)= ( )A. B. C. D.6.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.π:6B.π:2C.π:2D.5π:12.7.已知向量满意==1，=，=，若=λ(λ∈R)，则λ= ( )A.3B.-2C.3或-2D. -3或28.已知实数a,b,c∈(0,e)，且2a=a2，3b=b3, 5c=c5，则( )A. c<a<bB. a<c<bC. b<c< aD. b<a<c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.)9.已知i为虚数单位，复数Z满意Z(2+i)=i10，则下列说法正确的是( )A.复数的虚部为IB.复数Z的共轭复数为 -C.复数z的模为D.复数在复平面内对应的点在其次象限.10.已知正实数a,b满意a+b=2，则下列不等式恒成立的是( )A. ab≤lB.+≥3+2 c.+≥ D. lna.lnb≤011.已知互不相同的两条直线m，n和两个平面a,β，下列命题正确的是( )A.若m//a, a∩β=n, 则m//nB.若m⊥a,n⊥β,且m⊥n，则a⊥βC.若m⊥a,n//B, 且m⊥n，则a//βD.若m⊥a,n//β，且m//n，则a⊥β12.下列关于L型椭圆C:x2+=1的几何性质描述正确的是( )A.图形关于原点成中心对称B.-4≤y≤4C.其中一个顶点坐标是(0,-2)D.曲线上的点到原点的距离最大值为2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. )13.已知圆C: x2+y2=4,直线l:y=kx-k+1,(k∈R),则直线I被圆C截得的最短弦长为______________14.已知cos()=,a∈(0, )，则sina =______________15.甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球竞赛，已知每局竞赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p,且各局竞赛结果相互独立.当竞赛实行5局3胜制时，甲用4局赢得竞赛的概率为.现甲、乙进行7局竞赛,实行7局4胜制，则甲获胜时竞赛局数x的数学期望为_____________16.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)= lnx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是_____________四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17. (本小题满分10分)已知函数f(x)= Asin(x+)(A>0，>0,| |<)的部分图象如图.(1) .求函数f(x)的解析式;(2).将函数f(x)的图象上全部点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，当πx∈[-,π]时，求g(x)值域.18. (本小题满分12分) (提示:邮中、一中做题①，其他学校做题②)①已知椭圆C:+=1(a>b>0)上的点到左、右焦点F1、F2的距离之和为4，且右顶点A到右焦点F2的距离为1.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y= kx与椭圆C交于不同的两点M，N,记MNA的面积为S,当S=3时求k的值.②设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满意4S n=(a n +1)2(1)证明数列{a n}为等差数列，并求其通项公式;(2)求数列{a n .3n}的前n项和T n19. (本小题满分12分)击鼓传花，也称传彩球，是中国民间嬉戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人起先传花(依次不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表: .x 1 2 3 4 5y 2 2 3 4 4(1)女性人数)与组号x (组号变量x依次为1, 2, 3, 4, 5, ... 具有线性相关关系，请预料从第几组起先女性人数不低于男性人数;（参考公式：）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.20. (本小题满分12分)已知在平面四边形ABCD中，AB=1, BD=2, BC=，DB为∠ADC的角平分线(1)若cosA=，求BDC的面积;(2)若CD-AD=4，求CD长.21. (本小题满分12分)如图，在四棱台ABCD- A1B2C2D1中,底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面C1CD,D，且CC1=CD= DD1.=2(1)证明: A1D1⊥平面CC1D.D1(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为，求锐二面角C-AA1-D的余弦值.22. (本小题满分12分)己知函数f(x)= xe mx (其中e 为自然对数的底数)(1)探讨函数f(x)的单调性;(2)当m=1时，若f(x)≥lnx+ ax:+ 1恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1. D2.A3.A4.C5.B6.C7.C8.A9.CD 10.ACD 11.BD 12.ACD13. 22 14.1010 15.9728/2187 16.)1(21e e + 17.解：（1）由图象可知， 2A =，. .........1分周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， ..........3分从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-，. .........5分()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， ..........6分（2）由题意可得)6sin(2)(π-=x x g ..........8分],6[ππ-∈x ]65,3[6πππ-∈-∴x]2,3[)(-∴的值域为x g ..........10分18.①（1）解：由题意42=a ，2=a ..........1分又右顶点A 到右焦点2F 的距离为1，即1=-c a ，所以1=c ..........2分则b ==..........3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=...........4分（2）解：设1122(,),(,)M x y N x y ，且2OA = 依据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-，..........7分联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = ..........9分因为AMN 的面积为3，可得334122||2221=+=-k k y y ，解得23±=k ...........12分 18.②解：（1）()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+ 2211422n n n n n a a a a a --∴=-+- ()()1120n n n n a a a a --∴+--=()10,22n n n a a a n ->∴-=≥所以数列{}n a 为等差数列，11,1,21n n a a n ==∴=-.--------------------6分（2）()()()12211333213313233213nn n n n T n T n n +=⨯+⨯++-⋅=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-()122236n n T n +∴-=-⋅-，()1133n n T n +∴=-⋅+-----------------------12分19.（Ⅰ）由题可得()11234535x =⨯++++=，∑=∧==++++=5151,3544322i i i y x y 522222211234555i i x ==++++=∑．则2.136.03,6.055512251=⨯-=-==--=∧∧==∧∑∑x b y a xxy x yx b i ii ii …………4分31952.16.0,2.16.0≥≥++=∴∧x x x y 时，当 ∴预料从第7组起先女性人数不低于男性人数．…………6分（Ⅱ）由题可知X 的全部可能取值为0，1，2，3，215)0(3936===C C X P 2815)1(391326===C C C X P 143)2(392316===C C C X P 841)3(3933===C C X P …………10分则X 的分布列为1)(=∴X E …………12分20. (1)在三角形ABD 中，由41cos =A 得415sinA = 由正弦定理可得ADB AB A BD ∠=sin sin ,即ADBA ∠=sin 1sin 2 所以815sin 21sin ==∠A ADB ...............2分因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以815sin sin =∠=∠ADB CDB ，故87sin 1cos 2=∠-=∠CDB CDB在三角形BCD 中由余弦定理得CDB DB CD DB CD BC ∠⋅⋅-+=cos 2222所以030722=--CD CD ,解得舍）或(256-==CD CD . ..............5分所以41538152621sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆CDB DB DC BDC S ...............6分 (2) 设4,-==x AD x CD 则在三角形ABD 中由余弦定理可得)4(414)42cos 2222--+-=⋅-+=∠x x DB DA AB DB DA ADB （在三角形CDB 中由余弦定理可得xx DB DC CB DB DC CDB 41942cos 2222-+=⋅-+=∠ ...............9分因为CDB ADB ∠=∠cos cos所以xx x x 4194)4(414)4(22-+=--+-，解得舍）或(256==x x综上所述CD 的长为6. ...............12分21.（1）如图，在梯形D D CC 11中，因为2211111====D C DD CD CC ，作11DH D C ⊥于H ，则11=H D ，所以11cos 2DD H ∠=，所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得321=DC ，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面D D CC 11且交于1DD ，所以1DC ⊥平面11AA D D ，…………2分因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DCDC D =，所以AD ⊥平面D D CC 11；…………4分（2）连结11AC ，由（1）可知，11A D ⊥平面D D CC 11，以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面D D CC 11，所以1AC 在平面D D CC 11内的射影为1D C ，所以1AC 与平面D D CC 11所成的角为11ACD ∠，即113A CD π∠=，在11Rt ACD △中，因为321=C D ，所以611=D A ，…………6分则()10,0,0D ，)0,0,6(1A ，)3,1,0(D ，)3,3,0(C ，)0,4,0(1C ，所以)3,1,0(1=D D ,)0,0,6(11=A D ，)0,4,6(11-=C A ，)3,3,6(1-=C A 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =，则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，⎩⎨⎧==+0603x z y令3y =，则0x =，z =，故(0,3,m =，…………8分设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =，则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎨⎧=++-=+-0336046c b a b a ,令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，…………10分所以6cos ,23m n m n m n⋅===，故锐二面角1C AA D --…………12分 22.解：（1）()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增；②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f xm ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减 ()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增11 ()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减.------------- -------------3分（2）由题意知ln 1x x a e x +≤-在()0+∞，上恒成立()2'2ln 1ln (),x x x x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln xh x x e x =+()()'212x h x x x e x =++，()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调增()121110,10e h e h e e e ⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，()001,1,0x h x e ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭使，即()'00g x = ()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调减；()()()'00,,0,x x g x g x ∈>单调增 ()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-，0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()111,ln ln x m x xe m x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭则，()()0+m x ∞在，上单调增 000011ln ,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤--------------------------12分。

江苏省高邮市2024届高三下学期期初学情调研测试数学

2023-2024学年第二学期高三年级期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}*,,,A x y x y y x =∈≤N ，(){},6B x y x y =+=，则A B ⋂中元素个数（）A.2B.3C.4D.62.已知复数5i z =+，则25z z -=（）A. B.C. D.3.已知(3,1),(2,1)a b =-= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（）A.()2,1-- B.()2,1 C.()3,1- D.11,510⎛⎫ ⎪⎝⎭4.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（）A.35石B.48石C.61石D.74石5.已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（）A.34+ B.32+ C.3422+ D.34+6.定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（）A.(2,1)B.(2,1)-- C.(2,1)- D.(2,1)-7.已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（）A.3181B.59C.3181-D.59-8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,M N 为圆229x y +=上两点，点()1,2A ，且AM AN ⊥，则线段MN 的长的取值范围是（）A.44⎡+⎣B.-C.44⎡+⎣D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了解高三学生的体重情况，采用分层随机抽样的方法从高三800名学生中抽取了一个容量为80的样本．其中，男生平均体重为64千克，方差为124；女生平均体重为48千克，方差为140，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（）A.样本为该学校高三的学生B.每一位学生被抽中的可能性为110C.该校高三学生平均体重58千克D.该校高三学生体重的方差为19010.已知0ω>，函数()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期π2T =，则4ω=；B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π6后得到()cos 2g x x =的图象；C.若()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是511,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D.若()f x 在区间[]0,π上有两个零点，则ω的取值范围是47,33⎛⎤⎥⎝⎦；11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别是棱11B C ，1BB 的中点，点P 是侧面11ADD A 内一点（含边界）．若//BP 平面1D EF ，则下列说法正确的有（）A.点P 的轨迹为一条线段B.三棱锥1P D EF -的体积为定值C.1B P 的取值范围是⎤⎦D.直线BP 与1D F 所成角的余弦值的最小值为255三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上．12.()521x x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________．13.如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为4和5，圆台的高为9，则该球的表面积为________．14.已知离散型随机事件,A B 发生的概率()0.6P A =，()0.5P B =，若()0.6P A B =，事件A ，B ，A B +分别表示A ，B 不发生和至少有一个发生，则()()P A A B +=________，()()()PA B A B ++=________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足2222cos R bc A b c +=+．（1）求A 的大小；（2）若a =5π12B =，求ABC 的面积．16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//EF AD，AF ==，120EAD ∠=︒，平面ADFE ⊥平面ABCD．（1）求证：BD CF ⊥；（2）求平面BDF 与平面BCF 所成角的余弦值．17.已知圆221:4320F x y x ++-=和定点2(2,0)F ，Q 是圆1F 上任意一点，线段2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ，设动点P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设(3,0),(3,0)A B -，过2F 的直线l 交曲线E 于M ，N 两点（点M 在x 轴上方），设直线AM 与BN的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．18.某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三级，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为111,,623，若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为111,,632，已知第1关的难度为Ⅰ．（1）求第3关的难度为Ⅲ的概率；（2）用n P 表示第n 关的难度为Ⅲ的概率，求n P ；（3）设1126(2)nn n n a n P P +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=≥，记23()n f n a a a =+++ ，且()f n λ≥对任意*2,N n n ≥∈恒成立，求实数λ的最大值．19.设函数2()(2)e 24(0)x f x x ax ax a =--+>．（1）若1a =，求函数()f x 图象在0x =处的切线方程；（2）若()f x 在1x =处取得极小值，求()f x 的单调区间；（3）若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围．2023-2024学年第二学期高三年级期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}*,,,A x y x y y x =∈≤N ，(){},6B x y x y =+=，则A B ⋂中元素个数（）A.2B.3C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】利用交集定义求解即可.【详解】由题意得()()(){}3,3,4,2,5,1A B ⋂=，显然元素个数为3，故选：B2.已知复数5i z =+，则25z z -=（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】将5i z =+代入利用复数的乘法运算可得2515i z z -=-+=.【详解】由5i z =+可得()()()22555i 5i 55i i 15i z z z z -=-=++-=+=-+，则2515i z z -=-+==.故选：B3.已知(3,1),(2,1)a b =-= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（）A.()2,1-- B.()2,1 C.()3,1- D.11,510⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量公式求解即可.【详解】由题意，向量a 在向量b方向上的投影向量为()()2232112,12,121a b b b b⋅-⨯+⨯⋅=⋅=--+.故选：A4.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（）A.35石B.48石C.61石D.74石【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的定义结合求和公式得出正一品的俸粮数，进而得出正二品分得的俸粮数.【详解】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列{}n a ，由题意，{}n a 是以13-为公差的等差数列，且()51545133052S a ⨯=+⨯-=，解得187a =．故正二品分得俸粮的数量为()3121361a a =+⨯-=（石）．故选：C5.已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（）A.3224+ B.3222+ C.3422+ D.34+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数1a >，0b >，由3a b +=，得(1)2a b -+=，因此2112112113[(1)]()(3)(31212122b a a b a b a b a b -++=-++=++≥+=---，当且仅当211-=-b a a b，即14a -==-所以211a b +-的最小值为3222+.故选：B6.定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（）A.(2,1)B.(2,1)-- C.(2,1)- D.(2,1)-【答案】D 【解析】【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.【详解】由题意得函数(2)1y f x =-+是奇函数，则()y f x =关于()2,1--对称，另知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，故()y g x =关于(2,1)-对称，故选：D7.已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（）A.3181B.59C.3181-D.59-【答案】C 【解析】【分析】利用两角余弦的和差公式结合二倍角公式求解即可.【详解】由题意得()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，又1tan tan 4αβ=，则4co s si s n sin 1co αβαβ=，解得4cos cos 9αβ=，9sin sin 1αβ=，故()5cos cos 9cos sin sin ααβββα-+==，则()()231cos 222cos 181αβαβ-=--=-，故选：C8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,M N 为圆229x y +=上两点，点()1,2A ，且AM AN ⊥，则线段MN 的长的取值范围是（）A.44⎡+⎣B.-C.44⎡+⎣D.【答案】D 【解析】【分析】易知以,AM AN 为邻边作平行四边形AMPN 为矩形，由平面向量可证明2222OA OP ON OM +=+ ，再由MN AP =可得其取值范围.【详解】以,AM AN 为邻边作平行四边形AMPN ，由AM AN ⊥可得四边形AMPN 为矩形，如下图所示：2222222222OA OP ON NA OM MP ON NA ON NA OM MP OM MP+=+++=++⋅+++⋅ 22222ON OM NA NA MN =+++⋅ 22222cos ON OM NA NA MN MNA =++-∠22ON OM =+ ，可得222299OA OP ON OM +=+=+ ，解得229913OP OA =+-= ，即OP = ，即P 点轨迹是以()0,0的圆，易知MN AP OP OA =≤+=AP OP OA ≥+=，所以线段MN 的长的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：本意关键在于利用平面向量证明2222OA OP ON OM +=+ 求得OP = ，再结合圆上点到定点距离最值问题求得结果.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了解高三学生的体重情况，采用分层随机抽样的方法从高三800名学生中抽取了一个容量为80的样本．其中，男生平均体重为64千克，方差为124；女生平均体重为48千克，方差为140，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（）A.样本为该学校高三的学生B.每一位学生被抽中的可能性为110C.该校高三学生平均体重58千克D.该校高三学生体重的方差为190【答案】BCD【解析】【分析】根据样本以及总体的定义可判断A 错误；利用抽样比可判断B 正确；利用男生、女生的平均体重和方差可分别计算出样本的平均值和方差，由此估计总体均值及方差可判断CD 正确.【详解】由分层抽样方式可得总体为该学校高三的学生，样本是抽取的80名学生，即A 错误；由抽样比为80180010=可得每一位学生被抽中的可能性为110，即B 正确；由男生、女生体重以及男女人数之比为5:3可得抽取样本学生平均体重为536448585353⨯+⨯=++，因此可由样本估计总体求得该校高三学生平均体重58千克，即C 正确；由男、女生样本方差可求得总体样本方差为()()222531246458140485819088s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦，由样本方差为190可估计该校高三学生体重的方差为190，即D 正确；故选：BCD10.已知0ω>，函数()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期π2T =，则4ω=；B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π6后得到()cos 2g x x =的图象；C.若()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是511,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D.若()f x 在区间[]0,π上有两个零点，则ω的取值范围是47,33⎛⎤⎥⎝⎦；【答案】AC 【解析】【分析】利用周期公式可判断A 正确；由平移规则可求判断B 错误；由余弦函数图像性质可得π12ππ22πππ2π,Z 26ππ2π,Z 6k k k k ωωω⎧-≤⨯⎪⎪⎪+≥-+∈⎨⎪⎪+≤∈⎪⎩，解不等式可判断C 正确；根据零点个数可求得3ππ5ππ262ω+≤<，即可得ω的取值范围是47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得D 错误.【详解】对于A ，若()f x 的最小正周期π2T =，可得2ππ2T ==ω，可得4ω=，即A 正确；对于B ，当2ω=时，可得()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()f x 的图象向右平移π6后得到()πππcos 2cos 2666g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即B 错误；对于C ，由0ω>可知若()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可得ππππ,π6266x ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭ωωω，因此需满足π12ππ22πππ2π,Z 26ππ2π,Z 6k k k k ωωω⎧-≤⨯⎪⎪⎪+≥-+∈⎨⎪⎪+≤∈⎪⎩，解得2714236k k ωω≤⎧⎪⎨-+≤≤-+⎪⎩；显然当1k =时符合题意，即可得511,36⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ω，所以C 正确；对于D ，当[]0,πx ∈时，,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，若()f x 在区间[]0,π上有两个零点，可得3ππ5ππ262ω+≤<，解得4733ω≤<；即ω的取值范围是47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以D 错误；故选：AC11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别是棱11B C ，1BB 的中点，点P 是侧面11ADD A 内一点（含边界）．若//BP 平面1D EF ，则下列说法正确的有（）A.点P 的轨迹为一条线段B.三棱锥1P D EF -的体积为定值C.1B P的取值范围是⎤⎦D.直线BP 与1D F【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：通过证明面BMN ∥面1D EF 可得点P 的轨迹；对于B ：根据P 到平面1D EF 的距离为定值来判断；对于C ：利用面积法来判断；对于D ：建立空间直角坐标系，求出线线角的余弦，然后求最小值即可.【详解】对于A ：取1,AD DD 的中点分别为,N M ，由正方体的性质易得1//,//D E BN MN EF ，又1D E ⊄面BMN ，BN ⊂面BMN ，EF ⊄面BMN ，MN ⊂面BMN ，所以1//D E 面BMN ，//EF 面BMN ，又1D E EF E ⋂=，1,D E EF ⊂面1D EF ，所以面//BMN 面1D EF ，又//BP 平面1D EF ，点P 是侧面11ADD A 内一点（含边界）．，所以点P 的轨迹为线段MN ，A 正确；对于B ：1D EF V 的面积为定值，因为//BP 平面1D EF ，所以点B 到平面1D EF 的距离为定值，则点P 到平面1D EF 的距离h 为定值，所以1113P D EF D EF V S h -=⋅ 为定值，B 正确；对于C：113B M B N ===，MN ==，所以点1B 到MN的距离342d ==>，C 错误；对于D ：如图建立空间直角坐标系，设(),0,1P x x -，01x ≤≤，又()()()12,2,0,0,0,2,2,2,1B D F ，所以()()12,2,1,2,2,1BP x x FD =---=--，所以1cos ,BP FD ==令3x t -=，则3,23x t t =-≤≤，所以===当112t =，即1x =时，211962t t ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭取最大值2115962224⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，则1cos ,BP FD 取最小值255=，即直线BP 与1D F ，D 正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上．12.()521x x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________．【答案】20-【解析】【分析】利用展开式求出所有含3x 的项即可得出系数为20-.【详解】由二项式定理可知展开式中含有3x 的项为()()131********55552C 1C 12C C 20x x x x x x x⋅-+⋅-=--=-，所以可得展开式中3x 的系数为20-.故答案为：20-13.如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为4和5，圆台的高为9，则该球的表面积为________．【答案】164π【解析】【分析】取得圆台轴截面利用勾股定理求出外接球半径R =，即可得出该球的表面积.【详解】取圆台轴截面如下图所示：易知12124,5,9O A O B O O ===，设外接球O 的半径为2,R OO x =，利用勾股定理可得22211OO O A R +=，且22222OO O B R +=，即可得()2222945x x -+=+，解得4,x R ==所以该球的表面积为24π164πS R ==；故答案为：164π14.已知离散型随机事件,A B 发生的概率()0.6P A =，()0.5P B =，若()0.6P A B =，事件A ，B ，A B +分别表示A ，B 不发生和至少有一个发生，则()()P A A B +=________，()()()P A B A B ++=________．【答案】①.23②.12##0.5【解析】【分析】根据题意，由概率的乘法公式可得()P AB ，进而求出()P A B +，由条件概率公式计算可得答案．【详解】根据题意，()0.6P A =，则()P A 1()10.60.4P A =-=-=，又由(|)0.6P A B =，()P B 0.5=，则()P AB P =（B ）(|)0.3P A B =，则()()()P A B P A P B +=+()0.40.50.30.6P AB -=+-=，由于A B +表示A ，B 至少有一个发生，则()A A B ⊆+，同时，A B +表示A ，B 至少有一个不发生，则有()()A B A B AB AB +⋂+=+，则()0.42(|())()0.63P A P A A B P A B +===+，又()()()()()()0.60.3P A B P AB P AB P AB P AB P AB +=++=+=，，()()()()()()()0.31(|)0.62P AB AB P AB P AB P A B A B P A B P A B ++++====++．故答案为：23；12．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足2222cos R bc A b c +=+．（1）求A 的大小；（2）若a =5π12B =，求ABC 的面积．【答案】（1）π6A =；（2）4+.【解析】【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理，求得sin A ，即可求得A ；（2）根据三角形内角和定理求得C ，再结合余弦定理求得,b c ，利用面积公式求解即可.【小问1详解】在锐角ABC 中，2222cos R bc A b c +=+．22222cos R b c bc A a ∴=+-=，1,sin 2sin 2a R a A A ∴==∴=，又A 为锐角，π6A ∴=.【小问2详解】5ππ,126a B A === ，π5π5ππ,61212C b c ⎛⎫∴=-+=∴= ⎪⎝⎭，由余弦定理得22282cos (2b c bc A b =+-=，28(2b ∴=+，211sin sin 422ABC S bc A b A ∴===+△．16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//EF AD ，AF ==，120EAD ∠=︒，平面ADFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：BD CF ⊥；（2）求平面BDF 与平面BCF 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）根据平行线性质结合余弦定理可得2AE =，进而可得AF EF ⊥，再根据面面垂直的性质可得AF ⊥平面ABCD ，结合线面垂直的性质与判定证明即可；（2）以A 为原点，,,AB AD AF的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，再根据面面角的向量方法求解即可.【小问1详解】证明：因为//,120EF AD EAD ∠=︒，所以60AEF ∠=︒．因为AF ==，所以由2222cos 60AF AE EF AE EF =+-⋅⋅︒得2AE =．因为22213AF EF AE +=+=，所以AF EF ⊥．因为//EF AD ，所以AF AD ⊥．因为平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE 平面ABCD AD =，AF ⊂平面ADFE ，所以AF ⊥平面ABCD ．因为BD ⊂平面ABCD ，所以AF BD ⊥，连接AC ，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，因为AF 、AC 相交，且AF 、AC ⊂平面AFC ，所以BD ⊥平面AFC ．因为CF ⊂平面AFC ，所以BD CF ⊥．【小问2详解】由（1）知AB ，AD ，AF 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AF的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),B D C F，(2,2,0),((0,2,0)BD BF BC =-=-=，设平面BDF 的一个法向量为()111,,m x y z =由0m BD m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：111122020x y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =112y z ==得2)m =．设平面BCF 的一个法向量为()222,,n x y z =，由0n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：2222020x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令22z =，则2x =，得n =．70cos ,||||10m n m n m n ⋅〈〉==⋅．设平面BDF 与平面BCF 所成角为θ，由图可知θ为锐角，即70cos 10θ=，所以平面BDF 与平面BCF 所成角的余弦值为7010．17.已知圆221:4320F x y x ++-=和定点2(2,0)F ，Q 是圆1F 上任意一点，线段2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ，设动点P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设(3,0),(3,0)A B -，过2F 的直线l 交曲线E 于M ，N 两点（点M 在x 轴上方），设直线AM 与BN 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1）22195x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）画出图形由垂直平分线以及圆半径性质可得P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再根据椭圆定义及焦点坐标可求得其标准方程；（2）设出直线l 的方程并于椭圆联立，写出12,k k 的表达式并利用韦达定理代入12k k 整理变形可求得1215k k =.【小问1详解】圆1F 的标准方程为22(2)36x y ++=，所以圆心1(2,0)F -，半径为6；由题意得2PQ PF =，如下图所示：可得121126|4PF PF PF PQ F F +=+==，即可知P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆．设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>则26,24,a c ==所以3,2,===a cb ，即曲线E 的方程为22195x y +=；【小问2详解】如下图所示：易知()22,0F ，(3,0),(3,0)A B -分别为椭圆的左、右顶点；可设l 的方程是2x my =+，设()()1122,,,M x y N x y 联立222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225920250m y my ++-=，()()22Δ20100590m m =++>，则1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++．可得()()1212112121212121222225135925355559m y y my k y x my y y m k x y my y my y y m y m -⨯----+=⨯===-+++⨯++22222222225205159595925255555959m m m y y m m m m m y y m m -⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭+===--++++可得12k k 为定值15．18.某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三级，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为111,,623，若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为111,,632，已知第1关的难度为Ⅰ．（1）求第3关的难度为Ⅲ的概率；（2）用n P 表示第n 关的难度为Ⅲ的概率，求n P ；（3）设1126(2)nn n n a n P P +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=≥，记23()n f n a a a =+++ ，且()f n λ≥对任意*2,N n n ≥∈恒成立，求实数λ的最大值．【答案】（1）718（2）1221556n n P -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭（3）37【解析】【分析】（1）根据各关难度等级，利用独立事件乘法概率公式计算可得结果；（2）利用递推关系式()11111(2)23n n n P P P n --=+-≥可证明25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，可得通项公式1221556n n P -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭；（3）易知1126221221556556nn n n a -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，利用裂项相消可求得23561()25116n n f n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=-⎢⎥⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ，再由函数单调性可得37≤λ，即可得出λ的最大值为37.【小问1详解】由第1关的难度为Ⅰ可知，第2关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为111,,623，第3关的难度是Ⅲ的概率为111111763233218P =⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由题意可得，n P 表示第n 关的难度为Ⅲ的概率，1n P -表示第n 1-关的难度为Ⅲ的概率，则()11111(2)23n n n P P P n --=+-≥，整理可得1212565n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据题意得10P =所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为16的等比数列，可得1221556n n P -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即1221556n n P -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【小问3详解】由（2）知1221556n n P -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭可得1126221221556556nnn n a -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11115112221221111155655666n n n n--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此23()nf n a a a =+++ 1223151111112111111111111666666n n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-++-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 561513252111166n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⨯⎢⎥⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；易知()f n 单调递增，所以min 513()(2)3127136f n f ==-⨯=-；()f n λ≥ 对任意*2,N n n ≥∈恒成立，只需满足37≤λ，即λ的最大值为37．19.设函数2()(2)e 24(0)x f x x ax ax a =--+>．（1）若1a =，求函数()f x 图象在0x =处的切线方程；（2）若()f x 在1x =处取得极小值，求()f x 的单调区间；（3）若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）32y x =-（2）单调递减区间为(ln 4,1)a ，单调递增区间为(,ln 4)a -∞和(1,)+∞（3）22e e e ,,244∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求出切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，得到1x =或ln 4a ，分ln 41a <，ln 41a =和ln 41a >三种情况，结合函数单调性得到e04a <<时满足要求，从而得到函数的单调区间；（3）转化为12e x xa =有两个不为2的实数根，构造函数()x x h x e=，求导得到其单调性和值域情况，从而得到1102e a <<，且2122ea ≠，求出答案.【小问1详解】1a =时，2()(2)e 24x f x x x x =--+，()()e (2)e 44(1)e 4x x x f x x x x =+--+=--'，∴切线斜率(0)3k f '==，又(0)2f =-∴切线方程为：23y x +=，即32y x =-．【小问2详解】()()(1)e 44(1)e 4x x f x x ax a x a '=--+=--，令()0f x '=，得1x =或ln 4a ．①当ln 41a <，即e 04a <<时，令()0f x '<，得ln 41a x <<；令()0f x '>，得ln 4x a <或1x >，所以()f x 在区间(ln 4,1)a 上单调递减，在区间(,ln 4)a -∞和(1,)+∞上单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，此时符合题意；②当ln 41a =，即e 4a =时，()()(1)e 40x f x x a =--≥'，所以()f x 在区间R 上单调递增，所以()f x 在1x =处不取极值，此时不符合题意；③当ln 41a >，即e 4a >时，令()0f x '<，得1ln 4x a <<；令()0f x '>，得1x <或ln 4x a >，所以()f x 在区间(1,ln 4)a 上单调递减，在区间(,1)-∞和(ln 4,)a +∞上单调递增，所以()f x 在1x =处取得极大值，此时不符合题意．综上所述，()f x 的单调递减区间为(ln 4,1)a ，单调递增区间为(,ln 4)a -∞和(1,)+∞．【小问3详解】因为()2()(2)e 24(2)e 2x x f x x ax ax x ax =--+=--，所以2x =是()f x 的一个零点．因为()f x 恰有三个零点，所以方程e 20x ax -=有两个不为2的实数根，即方程12ex x a =有两个不为2的实数根．令()x x h x e =，所以1()e x x h x -'=，令()0h x '<，得1x >；令()0h x '>，得1x <，所以()h x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，当(,1]x ∈-∞时，()h x 的值域为1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；当(1,)x ∈+∞时，()h x 的值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以1102e a <<，且2122e a ≠，所以2e a >，且2e 4a ≠，所以a 的取值范围是22e e e ,,244∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛，求解参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

2020年江苏省扬州市高邮中学高三数学理联考试题含解析

2020年江苏省扬州市高邮中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】考查函数的定义域、在上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数，，解得且，该函数的定义域为，排除B、D选项.当时，，，则，此时，，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2. 以下有关命题的说法错误的是A．命题“若”的逆否命题为“若x≠l，则x2 -3x+2≠0”B．“x=2”是“x2 -5x+6=0”的充分不必要条件C．若p为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：参考答案：C3. 是三角形的一个内角，且，则方程所表示的曲线为（）A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线参考答案：C4. 平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（）（A）一条直线（B）一个圆（C）一个椭圆（D）双曲线的一支参考答案：答案：A解析：设与￠是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A5. 已知集合A={（x，y）|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={（x，y）|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{x|0≤x≤1}C．{（1，2）} D．?参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义，列方程组求出x、y的值即可．【解答】解：集合A={（x，y）|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={（x，y）|y=2x，0≤x≤10}，由，解得，其中0≤x≤1；∴集合A∩B={（1，2）}．故选：C．6. 锐角△ABC的面积为，BC＝ 4 CA＝ 3 则角C的大小为________A.B. C.D.参考答案：B7. 在中，D为BC中点，若，，则的最小值是( )(A) (B) (C) (D)参考答案：D8. 命题“若，则”的逆否命题是（）A．“若，则” B．“若，则”C．“若x，则”D．“若，则”参考答案：C9. 已知命题“”，命题“”，若命题均是真命题，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：C10. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为A．－4 B．4 C．－2 D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为_____________.参考答案：略12. 下列四个命题：①直线与圆恒有公共点；②为△ABC的内角，则最小值为；③已知a，b是两条异面直线，则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与a，b都垂直；④等差数列{}中，则使其前n项和成立的最大正整数为2013;其中正确命题的序号为。

江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷(含解析)

江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若两条直线与互相垂直，则实数a 的值为( )D.62．抛物线的焦点到点的距离为( )3．已知数列中，且，则为( )4．设函数在处存在导数为3，则( )A.1B.3C.6D.95．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数m 的值为( )A.D.6．已知等差数列的前n 项和为，，，则使得不等式成立的最大的n 的值为( )A.9B.10C.11D.12，，是它的两个焦点，O 为坐标原点，P是双曲线右支上一点，( )8．已知椭圆，P 是椭圆C 上的点，，分别是椭圆C 的左右焦点，若恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )2310x y +-=450ax y +-=628x y =(2,5){}n a 11a =12()2nn n a a n a *+=∈+N 10a ()f x 1x =()()Δ01Δ1lim 3Δx f x f x→+-=2221:2160C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 2±{}n a n S 60a <490a a +>0n S <214y -=1F 2F 12cos F PF ∠=()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F c -()2,0F c 122PF PF ac ⋅≤A. B. C. D.二、多项选择题9．下列说法正确的有( )A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大；B.直线必过定点；C.直线与直线D.斜率为3，且在y 轴上的截距为2的直线方程为.10．下列求导运算正确的是( )A. C. D.11．已知点在抛物线的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于、两点，则( )A.抛物线C 的方程是B.C.当12．对于正项数列，定义：的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前n 项和为，则下列关于数列的描述正确的有( )A.数列为等比数列 B.数列为等差数列D.记为数列的前n 项和，则的焦距为14．已知为等比数列，公比，，，成等差数列，则通项公式________.⎫⎪⎪⎭)1,1-⎛ ⎝(1⎤-⎦230x ky k +-+=(3,2)-2410x y --=2x y -=32y x =±11x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭)1lg x x'=()1kx b k '+=+()21tan cos x x'=(1,0)M -()2:20C y px p =>()11,A x y ()22,B x y 24y x=121x x =3AF = AMF BMF=∠{}n a n G =}n a {}n a 3n n G ={}n a n S {}n a {}n a {}n a 2025=n T 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭34n T <212y m +=-{}n a 1q ≠1a =1a 22a 3a n a =15．已知平面内的动点P 到两定点，的距离的最大值为________.16．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数k 的最小值为________.四、解答题17．已知等差数列的前n 项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前10项和.18．已知圆C 的圆心在直线上且与y 轴相切于点.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点且被圆C截得的弦长为19．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线l 为曲线的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.20．已知数列，，，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前n 项和.21．在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8.（1）求点A 的轨迹方程；（2）记的左、右焦点分别为、，过定点的直线l 交于P 、Q 两点.若P 、Q 两点满足，求直线l 的方程.22．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；(2,0)A B PA PB =460x y -+={}n a 14a =132n n a a +=-*n ∈N (1)27n k a n -≥-{}n a n S 3423a a =+749S ={}n a {}n b ,2,n n na nb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n b 10T 50x y --=(0,2)M -(1,0)P -3()2f x x x =+-()y f x =(1,0)()y f x ={}n a 12a =25a =2144n n n a a a ++=-12n n n b a a +=-{}n b n n c nb ={}n c n S xOy ()1,0M -()1,0N ),(y x A MA NA ΓΓ1F 2F ()0,1Γ1212()()33PF PF QF QF +⋅+=-2222:1(0)x y E a b a b+=>>31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）直线交E 于A ，B 两点，C ，D 为E 上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的取值范围.0x y +-=ACBD CD AB ⊥ACBD参考答案1．答案：C解析：由题意可知，两条直线斜率乘积为-1，则解得故选C 2．答案：B解析：由抛物线的焦点，焦点到点故选B.3．答案：D解析：，即，两边同时除以得：，，令，则是首项为，公差为1的等差数列，则，即，则故选：D 4．答案：A解析：由题意可得，则.综上所述，答案选择：A.5．答案：D解析：圆，可化为，圆心，半径；圆可化为2(134a-⋅-=-6a =-28x y =(0,2)F ∴=1n a +=()122n n n a a a ++=1122n n n n a a a a +++=1n n a a +1221n n a a ++=21n a -=n b =11n n b +-={}n b 1122b a ==2(1)1n b n n =+-=+21nn a =+n a =102101==+0(1)(1)lim3x f x f x ∆→+∆-=∆0(1)(1)1lim 3133x f x f x ∆→+∆-=⨯=∆2221:2160C x y mx m +-+-=221:()16C x m y -+=1(,0)C m 14r =222:20C x y y +-=，心，半径；因为与，解得故选：D.6．答案：C解析：根据题意，数列是等差数列，设其公差为d ，由等差数列的性质，可得，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，所以使得的最大的n 为11，故选：C.7．答案：A 解析：设点P 坐标为，，由题意可知，，，则，，.在中，由余弦定理可得：222:(1)1C x y +-=2(0,1)C 11r =1C C 21C r =3=m =±{}n a 67490a a a a +=+>60a <70a >760d a a =->{}n S 6n ≤{}n S 6S 6n ={}n S ()111116111102a a S a +==<()()112126712602a a S a a +==+>0n S <(),p p x y 0p x >29a =24b =222c a b =+3a =2b =c =26a =12F PF △22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠==即.因为因为，所以，故选：A8．答案：B解析：设，，，因为，所以，又，所以时，取得最大值，恒成立，则，变形得，又，故解得，故选：B.9．答案：BC解析：对于A，当斜率为，故A错误；对于B，将直线化为，35-=512cos F PF∠=12F PF∠=121212111sin22F PFS PF PF F PF F=∠=△41552⨯=⨯214y-=22914ppyx⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭====()00,P x y221yb=0a x a-≤≤2220021xy ba⎛⎫=-⎪⎝⎭()()22222222222120000000022,,11x bPF PF c x y c x y x c y x c b x b ca a⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=-+=-+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b>>2210ba->220x a≤≤22x a=12PF PF⋅22222221ba b c a ca⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭122PF PF ac⋅≤222a c ac-≤2e2e10+-≥0e1<< 1e1-≤<︒230x ky k+-+=(2)30k y x-++=则，解得，即直线必过定点，故B 正确；对于C ，将直线化为，则这两平行直线间的距离为故C 正确；由斜截式方程的定义可知斜率为3，且在y 轴上的截距为2的直线方程为，故D 错误.故选：BC.10．答案：AD解析：由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A ，对B，对C ，，C 错误；对D ，故选：AD.11．答案：ABD解析：对于A 选项，抛物线C 的准线方程为在抛物线的准线上，则，可得，所以抛物线C 的方程为，A 对；2030y x -=⎧⎨+=⎩23y x =⎧⎨=-⎩230x ky k +-+=(3,2)-20x y -=240x y -=d ==32y x =+11x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭(lg )x '=()kx b k '+=222sin cos sin (tan )cos cos x x x x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭x =(1,0)-2:2(0)C y px p =>12p-=-2p =24y x =对于B 选项，抛物线C 的焦点为，若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为，联立，可得，，则，所以，B 对；对于C 选项，因为，即，则，因为，可得，则，则对于D 选项，所以(1,0)F 1x my =+214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=216160m ∆=+>124y y =-2221212(4)14416y y x x -=⋅==3AF FB =()()11221,31,x y x y --=-123y y -=12224y y y m +=-=22y m =-22212233(2)124y y y m m =-=-⨯-=-=-2m =12122112x x my my ++=++++()()2121441413m y y m ⎛⎫=++=+=⨯+= ⎪⎝⎭111AM y k x ==+BM =()()()122112121222222(2)AM BM y my y my y y k k my my my my ++++=+=++++所以，D 对.故选：ABD.12．答案：BCD解析：由已知可得，所以，①当时，②，由①-②得即时，，当时，由①知，满足，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故A 错误，B 正确；因为，故C 正确；，所以故选：BCD.13．答案：5解析：由于椭圆焦距为，所以，解得.故答案为5.解析：由，，成等差数列，且得，解得或，又，所以，所以..()()1212121222()880(2)(2)44my y y y m mmy my my my ++-+===++++AMF BMF ∠=∠112333n n n n a a a G n-+++== 11233•3n n n a a a n -+++= 2n ≥2112133(1)3n n n a a a n ---+++=-⋅ 11133(1)3(21)3n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅2n ≥21n a n =+1n =13a =21n a n =+{}n a ()1(2)2n n n a a S n n +==+n =+202322025=+=1111(2)22n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭111111113231232411242(1)(2)n n T n n n n n n +⎛⎫=-+-++-+-=-< ⎪-++++⎝⎭ =1020m m ->->210(2)122m m m ---=-=5m =13n -13a 22a 3a 1a =222131114343430a a a a q a a q q q =+⇔⋅=+⇔-+=1q =3q =1q ≠3q =1132n n a -=⋅13n -解析：设动点为，由题意得，即轨迹是半径为的圆，根据圆心到直线的距离，可知点P到此直线的最大距离为解析：因为，故，设，则，，是首项为3，公比为3的等比数列，故，，，即，即的最大项为，则故17．答案：（1）；（2）；解析：（1）依题意，设数列的公差为d，因为，所以，解得：.所以.(,)P x yPAPB==2283x y x+-=2243x y⎛⎫-+=⎪⎝⎭r=4,03⎫⎪⎭3460x y-+=2d423d r+=+=132n na a+=-()1131n na a+-=-1n nb a=-13n nb b+=1113b a=-={}n b3nnb=131nn na b=+=+()127nk a n-≥-327nk n⋅≥-k≥n=}n c mc273273mmmm-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩m≤≤k≥21na n=-21,2,n nn nbn-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数121409T={}na3472349a aS=+⎧⎨=⎩11712(2)33767492a d a dS a d+=++⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩112ad=⎧⎨=⎩1(1)12(1)21na a n d n n=+-=+-=-（2）因为，所以，所以18．答案：（1）；（2）或解析：（1）圆C 的圆心在直线上且与y 轴切于点，设圆心坐标为，则，解得，，圆心，半径，故圆的方程为.（2）.当l 的斜率不存在时，l 的方程为，不满足条件当l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为，即故，解得或所以直线方程为或.19．答案：（1）；（2），切点为解析：（1）由，得，所以所以曲线在点处的切线方程为，即（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，,2,n n n a n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数21,2,n n n n b n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数1212910T b b b b =++++ 241024101252172(1517)(222)=++++++=+++++++ 21225(117)224513641409212⨯+-=+=+=-22(3)(2)9x y -++=0y =4340x y ++= 50x y --=(0,2)M -∴(,)C a b 502a b b --=⎧⎨=-⎩3a =2b =-∴(3,2)C -3r MC ===22(3)(2)9x y -++= L ==2=1x =-4d =(1)y k x =+0kx y k -+=2d 0k =k =0y =4340x y ++=440x y --=4y x =(1,4)--3()2f x x x =+-2()31f x x '=+2(1)3114f '=⨯+=()y f x =(1,0)04(1)y x -=-440x y --=3000(,2)x x x +-200()31f x x '=+320000(2)(31)()y x x x x x -+-=+-320000(2)(31)x x x x -+-=-⋅+3022x =-01x =-所以，切点为，所以所求的切线方程为即过原点的切线方程为，切点为20．答案：（1）证明见解析；（2）；解析：（1）证明：因为，所以，即，又所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）得，则则，，两式相减得，所以21．答案：（1）；（2）或解析：（1）设，化简可得所以A 的轨迹方程为（2）由题设过定点的直线l 方程为，将其与联立有：，消去y 得：因l 交于P 、Q 两点，则解得：.2(1)3(1)14f '-=⨯-+=(1,4)--44(1)y x +=+4y x =(1,4)--12n n c n -=⋅(1)21n n S n =-+2144n n n a a a ++=-21122(2)n n nn a a a a+++-=-12n n b b +=12121b a a =-=≠2={}n b 12n n b -=12n n c n -=⋅01231122232422n n S n -=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 12312122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 2112222(1)21n n n n S n n --=++++-⨯=-⨯- (1)21n n S n =-+221(1)8y x x -=≠±21y x =+21y x =-+(,A x y 81y x =-2218y x -=221(1)8y x x -=≠±()0,11y kx =+221(1)8y x x -=≠±2211(1)8y kx y x x =+⎧⎪⎨-=≠±⎪⎩22(8)290k x kx ---=Γ2228044(8)(9)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--->⎪⎩((()3,k ∈---设，，则由韦达定理有：又，，则，同理，又因为，所以又所以，解得，则直线l 的方程为：或.；（2）解析：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，又点，解得.（2）由，解得设直线的方程为，设，.由得.由，故()11,P x y ()22,Q x y 12x x +=12298x k -⋅=-1(3,0)F -2(3,0)F 12111122(,)(2,2)PF PF PO x y x y +==--=-- 12222222(,)(2,2)QF QF QO x y x y +==--=-- 1212()()33PF PF QF QF +⋅+=- 12124()33x x y y +=-212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++=22222988184433888k k kk k ⎛⎫----+=⋅=- ⎪---⎝⎭2k =±21y x =+21y x =-+213y +=960343⎛ ⎝2222:1x a E y b+=2a =31,2P ⎛ ⎝229194144b b +=+=b =213y +=221430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩x y ===CD y x n =+()33,C x y ()44,D x y 22143y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22784120x nx n ++-=22264474(3)48(7)0n n n ∆=-⨯⨯-=->n <<又，的交点在A ，B 之间，故因为直线又四边形的面积当所以四边形面积的取值范围为.AB CDn <<4x -=ACBD 1122S AB CD =⨯==n <<S <≤ACBD 960343⎛ ⎝。

江苏省扬州高邮市2020届高三数学上学期开学考试试题理及参考答案

江苏省扬州高邮市2020届高三数学上学期开学考试试题理填空题：本大题共14小题，毎小题5分，共70分。

请把答案写在答题纸相应位置。

1.设集合4 = {2,4},B={2,6,8}，则=B A Y ▲ . 2.命题“1>x ∀，都有2>12+x 的否定是 ▲ .3.设R a ∈，则命题1:≤a p ,命题1:2≤a q ,则p 是q 的 ▲ 条件.(填“充要” “充分不必要” “必要不充分” “既不充分又不必要”）. 4.矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1003的特征值为 ▲. 5.函数)1(log 21)(4--=x x f 的定义域为 ▲ . 6.己知89,32==ba,则ab 的值是 ▲ . 7.在平面直角坐标系xOy 中，将函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移)2<<0(πϕϕ个单位长度后.得到的图象经过坐标原点，则ϕ的值为 ▲. 10.已知31)3cos(=-πx ，则)3(sin )252cos(2x x -+-ππ的值为 ▲ .11.已知函数xxe e xf --=)(，对任意的0<)()2(]),3,3[x f kx f k +--∈恒成立，则x 的取值范围为▲ .12.在锐角ABC ∆中，2tan =A ,点D 在边BC 上，且ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4, 过D 作DE 丄AB 于E, DF 丄AC 于F,则DF DE ⋅的值是 ▲. 13.设*∈N ω且10≤ω则使函数x y ωsin =在区间]3,4[ππ上不单调的ω的个数是 ▲ .14.己知R ∈ω，函数122)(,1>),2(2log 1<|,13|)(2-+-=⎩⎨⎧-+=m x x x g x x x x x f ,若函数m x g f y -=)]([有4个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ .二、解答本大题共6小题，共计90分。

请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届江苏省高邮市高三上学期12月学情联合调研考试英语试卷及答案

2020届高邮市高三上学期12月学情联合调研考试英语试卷2019.12★祝考试顺利★第Ⅰ卷(选择题，共85分)第一部分听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the woman's problem?A. She missed her class today.B. She didn't sleep well last night.C. Her dog keeps barking•2.What will the man do?A. Water the plants.B. Check the mailbox.C. Bring in the dog.3. What will the man probably do next?A. Have a talk with his neighbor.B. Listen to some music.C. Turndown the music4. When will the train leave the station?A.At3：45p.m.B.At4：00p.m.C.At5：15p.m.5. Who is wearing a black hat?A. Mike.B. Sam.C. John.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6. When did the woman come to China?A. At the age of five.B. At the age of fifteen.C. At the age oftwenty-four.7. What nationality is the woman?A. French.B. American. C . English.听第7段材料，回答第8至10题。

江苏省扬州高邮市2020届高三数学上学期开学考试试题理(扫描版)

江苏省扬州高邮市2020届高三数学上学期开学考试试题理（扫描版）2020届高三年级阶段性学情调研数学试题(参考答案) 2019.09一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题纸相应位置．．．．．．．． 1． {2,4,6,8} 2．1x ∃>，有212x +≤ 3．必要不充分 4． 3和1 5．(1，3]6． 32 7．6π 8．(],3-∞ 9． 24 10． 53 11．1(1,)2- 12．15 13． 3 14．5,1{0}7⎛⎫⎪⎝⎭U 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：(1)Θ角α的终边上有一点5551cos ,55252sin ====∴αα ……2分 54555522cos sin 22sin =⨯⨯==∴ααα ……4分 5315521cos 22cos 22-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=αα ……6分 5153542cos 2sin =-=+∴αα ……7分 (2) 由)2020πβπα，（），，（∈∈得)2,2(ππβα-∈- ……8分 1010)sin(=-βαΘ 10103)1010(1)(sin 1)cos(22=-=--=-∴βαβα……10分则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---== ……12分因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分 16．解（1）由p 为真命题知， ∆=16-8m≤0解得m≥2,所以m 的范围是[2,+∞)，……2分由q 为真命题知，2m -1>1,m>1，……4分取交集得到[2,+∞).综上， m 的范围是[2,+∞)。

……6分（2）由（1）可知，当p 为假命题时，m<2;……8分q 为真命题，则2m-1>1解得：m>1 则m 的取值范围是（1,2）即A={m|1<m<2},……10分而A ⊆B,可得，2211132t t -≤⎧⎨-≥⎩……12分解得：111t -≤≤ 所以，t 的取值范围是[11,1]- ……14分 17.解：（1）在△ABC 中，因为)sin )(sin ()sin (sin C B b c B A a +-=+，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，所以))(()(b c c b b a a -+=+． …… 3分即ab c b a -=-+222，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得21cos -=C ． …… 5分又因为0πC <<，所以32π=C ． …… 7分（2）因为43)3sin(cos )(-+⋅=πx x x f =43cos 23cos sin 212-+⋅x x x 43)12(cos 432sin 41-++=x x =)32sin(21π+x …… 10分 )32sin(21)(π+=A A f 由（1）可知32π=C ，且在△ABC 中，π=++C B A 所以30π<<A ，即πππ<+<323A …… 12分所以1)32sin(0≤+<πA ，即21)(0≤<A f 所以(A)f 的取值范围为]21,0( …… 14分18.解：(1) 在Rt ABE ∆中，由题意可知018,45AB ABE =∠=，则18AE =． ………2分在Rt APE ∆中，189tan 168AE APE AP ∠===，在Rt BPF ∆中tan 2BF BF BPF BP ∠== 4分因为，所以，于是98219182BF BF +==--所以34BF =………6分答：18AE km =34BF km =……7分（2）在Rt △PAE 中，由题意可知APE α∠=，则16cos a PE α=．同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，则2sin PF α=．令1082()8cos sin f PE PF a ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，π02α<<， ………………………………9分则332222108sin 2cos 64sin cos ()2cos sin sin cos f a a ααααααααα⎛⎫-⎛⎫'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分令()0f α'=，得1tan 4α=，记01tan 4α=，0π02α<<，当0(0,)αα∈时，()0f α'<，()f α单调减；当0(,)2παα∈时，()0f α'>，()f α单调增．所以1tan 4α=时，()f α取得最小值， …………………………………13分此时1tan 1644AE AP α=⋅=⨯=，8tan BP BF α==．…………………………15分所以当AE 为4km ，且BF 为8km 时，成本最小． ……………………16分19．解：(1) 对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则2()2g x = 2x 无解故()sin g x x =不是“依赖函数”；…3分 (2) 因为1()2x f x -=在[m ，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n --=+= ……5分由n>m>0，故20n m m =->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分(3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x ，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a = ……11分从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时， max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20．解：（1）()()22'222x f x x a x a a e ⎡⎤=+-+-⎣⎦ 因为()f x 在0x =处的切线方程为10x y +-=所以()()22'02101f a a f a b ⎧=-=-⎪⎨=+=⎪⎩， ………………2分解得10a b =⎧⎨=⎩所以()()21x f x x e =-………………3分（2）()g x 的定义域为()0,+∞()'x k g x x-= ①若0k ≤时，则()'0g x >在()0,+∞上恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，无极值 …………5分 ②若0k >时，则当0x k <<时，()'0g x <，()g x 在()0,k 上单调递减；当x k >时，()'0g x >，()g x 在(),k +∞上单调递增；所以当x k =时，()g x 有极小值2ln k k k -，无极大值． …………7分(3)因为()0f x =仅有一个零点1，且()0f x ≥恒成立，所以()g x 在()0,+∞上有仅两个不等于1的零点． ……8分①当0k ≤时，由(2)知， ()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上至多一个零点，不合题意，舍去②当20k e <<时，()()()min 2ln 0g x g k k k ==->，()g x 在()0,+∞无零点③当2k e =时，()0g x ≥，当且仅当2x e =等号成立，()g x 在()0,+∞仅一个零点 ……11分④当2k e >时，()()2ln 0g k k k =-<，()0g e e =>，所以()()0g k g e ⋅<，又()g x 图象不间断，()g x 在()0,k 上单调递减故存在()1,x e k ∈，使()10g x =…………13分又()()22ln 1g k k k k =-+下面证明，当2x e >时，()2ln 10h x x x =-+> ()2'x h x x-=>0， ()h x 在()2,e +∞上单调递增 ()()2230h x h e e >=->所以()()22ln 10g k k k k =⋅-+>，()()20g k g k ⋅<又()g x 图象在()0,+∞上不间断，()g x 在(),k +∞上单调递增，故存在()22,x k k ∈，使()20g x = …………15分综上可知，满足题意的k 的范围是()2,e +∞……16分2020届高三年级阶段性学情调研数学试题(附加部分) 2019.0921．解（1）11323M -⎡=-⎢⎢⎢⎢⎣ 2313⎤-⎥⎥⎥⎥⎦………………4分（2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,,x y 在矩阵MN 对应的变换作用下得到点(),,x y则12⎡⎢⎣0021x y ⎡⎤⎤⎢⎥⎥⎦⎣⎦=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，……………6分解得002323y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因为22001,x y -=所以22221,33y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得223y x -=，所以2C 的方程为22 3.y x -=……………10分22．解（1）消去参数t得到6y =+，故曲线1C60y -+= ………2分22232cos 3ρρθ-=，由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩ 得到()222323x y x +-=，即2213x y +=,故曲线2C 的普通方程为2213x y +=………5分（2）设点P的坐标为),sin θθ，点P 到曲线1C 的距离3cos sin 62d θθ-+== ………8分所以，当()cos 1θϕ+=-时，d 的值最小，所以点P 到曲线1C的最小距离为62. ………10分 23．答案：（1）取AD 、BC 的中点O E ，连接OP ，OE .因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -， (4,4,0)BD =-u u u r ，(2,0,2)PD =-u u u r .……2分设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即440220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩. 令1x =，则1y =，2z =.于是(1,1,2)=n .……4分平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .……5分由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π.……6分（2）由题意知2(1,2,)2M -，(2,4,0)D ，2(3,2,)2MC =-u u u u r . 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||26sin |cos ,|||||MC MC MC α⋅===u u u u r u u u u r u u u u r <>n n n …8分. 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为26.……10分 24．解（1）.一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同()114739281843C C P A C ∴=== ()12133P A ⇒=-= ……4分（2）.由题意可知ξ所有可能的取值为：2,3,4，5()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====； ()28392815843C P C ξ====……8分 ξ∴的分布列为：ξ 2 3 4 5则()234521217321 Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=答：随机变量ξ的期望是8521……10分(无表扣1分)。

高三试卷数学-江苏省高邮市2024届高三上学期期初学情调研测试数学试卷及参考答案

2023-2024学年第一学期高三期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3A =，{}1>=x x B ，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,32.已知命题:14,:12p x q x -<<-<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)4,+∞B ．[)4,0-C ．(]0,4D ．(],4-∞-4.若0 , 0>>>>d c b a ，则一定有（）A ．db c a >B ．c bd a >C ．db c a <D ．cb d a <5.函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加游泳；②若甲参加体操，则丙参加足球；③若丙没有参加体操，则甲参加体操．下列说法正确的为（）A.丙参加了体操 B.乙参加了体操C.丙参加了足球 D.甲参加了足球7.设函数1)(2--=mx mx x f ，若对于任意的{}, 21 ≤≤∈x x x 4)(+-<m x f 恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．0≤m B ．350<≤m C ．35<m D ．350<<m8.若实数a ，,b c 满足6182,a ac ==25b =，则a ，,bc 的大小关系是（）A ．a b c>>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知全集U ，集合B A ,是U 的子集，且B B A = ，则下列结论中正确的是（）A ．AB A = B ．AC B C U U ⊆ C.∅=)(A C B U D ．UB C A C U U =)()( 10.下列说法正确的是（）A ．函数()1f x x =+与()2g x =是同一个函数B ．若函数()f x 的定义域为[0,3]，则函数(3)f x 的定义域为[0,1]C ．已知命题2:0,0p x x ∀>≥，则命题p 的否定为20,0x x ∃><D ．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则4为函数()f x 的一个周期11.已知0 , 0>>b a 且2=+b a ，则下列式子中正确的是（）A ．122≥+b a B ．223221+≥+b a C ．212>-b a D ．22≤+b a 12.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A ．(0)0f =B ．(1)1f -=-C ．()f x 为偶函数D ．若1(2)2f =，则11()232f -=-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.已知集合A ={}21,1a a +-，若3A ∈，则实数a 的值是__________.14.若关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为{}12|x x x x <<，且2115x x -=，则a 的值是__________.15.满足()()()2f x y f x f y xy -=+-的一个函数解析式是()f x =__________.16.已知函数224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩，若关于x 的方程()()24430f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知集合305x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2760B x x x =-+<，{}C x x a =>，全集为实数集R .（1）求A B ，()R C A B ；（2）如果A C =∅ ，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知命题p ：04,22≠+-∈∀t x x R x ，命题p 为假命题时实数t 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合{}|231,B t m t m =-<<+若B x ∈是A x ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19.（12分）（1）当1>x 时，求14-+x x 的最小值；（2）已知0 , 0>>b a 且11111=+++b a ，求b a +2的最小值．20.（12分）如图，在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD ，其中ECD ∆是边长为2的正三角形，BCD ∆是以BDC ∠为直角的等腰三角形.（1）证明：AB ∥平面CDE ；（2）若平面ACE 与平面BDE ，求线段AB 的长度．21.（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选20只小白鼠，随机地将其中10只分配到试验组，另外10只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为22.523.225.826.527.530.132.634.334.835.6试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为16.518.018.819.219.820.221.622.823.623.9（i ）求20只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，P （K 2≥k ）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63522.（12分）根据人教2019版必修一87P 页的13题介绍：函数()f x 的图象关于点(,)P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．设函数()log ,2a xf x x =+0a >且1a ≠，（1）利用上述结论，求函数()f x 的对称中心；（2）若对于[]2,3,x ∀∈不等式()()42120x x a x f f ⎡⎤++-≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围.高三期初学情调研测试参考答案1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.D 9.AC 10.BCD11.ABD12.ACD13.2-14.2515.2x （答案不唯一）16.57919-≤<-a 17.解：（1）053≤--x x ()(){}53,53,05053<≤=∴<≤∴⎩⎨⎧≠-≤--∴x x A x x x x --------------2分{}61<<=x x B --------------3分{}61<<=∴x x B A --------------5分()[)()3,16,5 =B A C R --------------7分（2）,5A C a =∅∴≥ --------------10分18.解：（1）法一：若命题p 为真命题时，则0<∆，即2,04162>∴<-t t 或2-<t 因命题p 为假命题，所以t 范围为22≤≤-t []2,2-=∴A --------------4分法二：由题意得，04,22=+-∈∃t x x R x 为真命题，22,0416,02≤≤-∴≥-∴≥∆∴t t []2,2-=∴A --------------4分（2） B x ∈是A x ∈的充分不必要条件B ∴是A 的真子集--------------6分当132+≥-m m 时，即4≥m ,此时B =∅，满足B 是A 的真子集.--------------8分当132+<-m m 时，即4<m B 是A 的真子集⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-<∴212324m m m ，121≤≤∴m --------------11分综上，m 的范围是[)1,14,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦--------------12分19．解：（1）01,1>-∴>x x 5142114114=+≥+-+-=-+∴x x x x （当且仅当3=x 时取等号）所以14-+x x 的最小值为5.……………………………………………………5分（2）根据题意0 , 0>>b a 且11111=+++b a ，则()()[]()()22111122111123111111231122=++⨯++≥+++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=-+++=+a b b a a b b a b a b a b a b a （当且仅当2,22==b a 时取等号）所以b a +2的最小值为22.……………………………………………………12分20.（1）证明：取CD 中点F ，连接EF CDE ∆ 是等边三角形，EF CD∴⊥,,ECD BCD ECD BCD CD EF ECD ⊥=⊂ 平面平面平面平面平面EF BCD∴⊥平面……………………………………………………2分又AB BCD⊥ 平面//EF AB∴……………………………………………………4分,EF CDE AB CDE ⊂⊄ 又平面平面//AB CDE∴平面……………………………………………………5分（2）解：过点B 作BP CD ∥，以B 为坐标原点，分别以BP ，BD ，BA的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，AB a=设则()0,0,A a ，()0,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，(1,E ，故()2,2,AC a =- ，(CE =- ，()0,2,0BD= ，(1,BE =．设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z =，则111112200m AC x y az m CE x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得()2m a =-．……………………………………………7分设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，则22222020n BD y n BE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令2x =，得)1n =- ．………………9分设平面ACE 与平面BDE 的夹角为θ，则219cos cos ,,19n m m n n m θ⋅=<>==a ∴=AB ∴=……………………………………………………12分21．解：（1）根据题意可得X ＝0，1，2，又P （X ＝0）=100102202=938，P （X ＝1）=101101202=1019，P （X ＝2）=102100202=938，∴X 的分布列为：X 012P9381019938……………………………………………………3分∴E （X ）=0×938+1×1019+2×938=1；…………………………………………5分（2）（i ）20个数据从小到大排列后，中位数m 即为第10位和第11位数的平均数，第10位数为23.2，第11位数为23.6，∴m =23.2+23.62=23.4，……………………………………………………7分∴补全列联表为：m<m≥合计对照组2810实验组8210合计101020……………………………………………………8分（ii ）由（i ）可知2=20×(2×2−8×8)210×10×10×10=7.200＞3.841，…………………………10分∴能有95%的把握认为药物对小白鼠生长有抑制作用．……………………………12分22.解：（1）()(),f x m n 设的对称中心为，()y f x m n ∴=+-为奇函数()()f x m n f x m n ∴-+-=-++恒成立log log 222x m x mn aa x m x m -++∴+=-++++恒成立……………………………………2分()222222m x n a m x -∴=+-恒成立()()()2222212021022220n n a x m m a n a n m m a ∴-+-+=⎧-=⎪∴⎨⎪-+=⎩恒成立0,1n m ∴==-()()1,0.f x ∴-的对称中心为……………………………………………………5分（2）()()1,0,f x - 的对称中心为()()20f x f x ∴+--=[]()()[]()()2,3,42122,3,4232x x x x f a f x x x x f a f ⎡⎤∈+≤--⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴∀∈+≤-+⎢⎥⎣⎦恒成立恒成立……………………………7分()()1,log 0,2xa f x ax >=+∞+当时在单调递增，[]()2,3,4232x x x x a ∴∀∈+≤-+有恒成立[]232,3,42x x a x x -∴∀∈≤+恒成立[]11231,52122071271120tx t y t t t t a a a =-∈==≥++++∴≤>∴ 令无解…………………………9分()()01,log 0,2xa f x ax <<=+∞+当时单调递减，[]()2,3,4232x x x x a ∴∀∈+≥-+有恒成立[]232,3,42x x a x x -∴∀∈≥+恒成立[]1231,57212712770171tx t y t t t ta a a =-∈==≤-++++∴≥-<<∴-<令71a -≤<综上：……………………………………………12分。

江苏省高邮市2020学年度第一学期高三数学期中调研测试卷

江苏省高邮市2020学年度第一学期高三数学期中调研测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2()U U A B A C B ===I ,则集合等于A ． {1，2，3，4，5}B ． {1， 3}C ． {1，2，3}D ． {4，5}2．在等差数列{}n a 中，3114a a +=，则此数列的前13项之和等于A ．13B ．26C ．52D ．1563．函数221()2x xy -+=的单调递增区间是A ．(,1]-∞B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[1,2] 4．下列函数中，周期为π并且是奇函数的是A ．cos 2y x =B ．cos(2)2y x π=+ C ．tan 2y x = D ．2cos y x =5．函数3()og f x l x =，则19(og 2)f l --的值是A ．2B ．2C ．22D．3og l 6．已知向量||||a bp a b =+r ru r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是A． B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[0,2]7．命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0且A 是B 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是A ．(4,)+∞B ．[)4,+∞C ．(,4)-∞-D ．(],4-∞-8．在△ABC中，如果g g g sin l a l c l B l -==-，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 9．函数3()|og |f x l x =在区间[,]a b 上的值域为[0,1]，则b a -的最小值为A ．2B ．1C ．13D ．232020.11.1810．设定义域为R 的函数()f x 对于任意的x 都有(2)()2f x f x +≥+和(1)()1f x f x +≤+且()1f x =，则(2006)f 的值为A ．2020B ．2020C ．2020D ．2020二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，只填结果，不要过程） 11．不等式21≥-xx 的解集为 ▲ ; 12．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，若53sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2πα ▲ ;13．命题“若a b >，则22a b >”的否命题为 ▲ ；14．已知函数()(1)(45)f x a x a =++-在区间[]0,2内的函数值有正有负，则实数a 的取值范围是 ▲ ；15．数列{}n a 的首项为21=a ，且*1121()()2n n a a a a n N +=+++∈L ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S = ▲ ； 16．给出以下结论：①存在角α使得3tan cot 2αα+=-成立； ②存在,αβ，使得sin sin ,cos cos αβαβ>>同时成立； ③通项公式为sin()2n na x π=+的数列的前n 项和为n S ，则2008=0S ； ④12,x x 为实数，当12sin 2sin 2x x -取得最大值时，12x x -的最小值为2π；其中成立的结论的序号是____▲_____.（注：把你认为正确的命题的序号都填上．．．．．．．．．．．．．．．）三、解答题：本大题5个小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17．（本小题12分）已知正项．．数列{}*1()n a n N +∈为等比数列，且11a =，37a =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求213211a a a a ++-- (109)1a a +-的值．18．（本小题14分）已知121||1,||2,e e e ==u r u u r u r 与2e u u r 的夹角为90︒，12122,2a ke e b e ke =+=+r u r u u r r u r u u r .（1）若a b ⊥r r，求实数k 的值；（2）若a r 与b r同向，求实数k 的值.19．（本小题14分）已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-（1）求函数)(x f 的单调减区间；（2）指出函数)(x f 的图象如何由sin y x =的图象变化而得；（3）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值，并求出相应的x 值.20．（本小题14分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤100)x ≤（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油)3602(2x +升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 21．（本小题16分）已知二次函数2()f x ax x =+（a R ∈）. （1）当０＜a ＜12时，(sin )f x （x R ∈）的最大值为54，求()f x 的最小值. （2）对于任意的x R ∈，总有|(sin cos )f x x |1≤．试求a 的取值范围.（3）若当*n N ∈时，记1231nin i aa a a a ==++++∑L ，令1=a ，求证：312()ni nif i =<<∑成立.[参考答案]说明：1、本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。

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数学参考答案试卷（Ⅰ）一、填空题：1．{2} 2． 3．1 4．))+∞+∞或5．8 6． 37,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．4389． 448 102 11．15 12．72 13．)1-14．34k <或1k > 二、解答题：15．解：(1) 函数()f x 图像的两条相邻对称轴之间的距离为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=, 又2T πω=，6πω∴=. .........................................2分 ()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x 的图象经过点，(0)2sin )2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=， .............................4分∴函数()f x 的解+析式为()2sin()63f x x ππ=+...............................6分 (2) 将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象,由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g()x 的解+析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-； .............10分当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[66x ππ-∈.综上，当[1,5]x ∈-时，g()x 的值域为[. ...............................14分16．证明:（1）连接BD 交AC 于O ,因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB …………………4分又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC所以PB //平面AEC ………………7分（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ,所以PA CD ⊥ ………………9分因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥ …………11分,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =所以AE ⊥平面PCD …………14分 17.解：（1）在扇形OMN 中，劣弧MN 的长度为θ在Rt PAB 中，3sin 2sin PA PB θθ==， ……4分所以所需费用()332a f a θθ=+，5,1212ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……6分（2）()'3f a θ==⎝⎭==-⎭……9分当124ππθ≤<时，()'0f θ<，()f θ在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；当7412ππθ<≤时，()'0f θ>，()f θ在区间7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；所以当4πθ=时，()f θ有最小值9324a a π+……13分答：所需费用的最小值9324a a π+元． ……14分 18.解:（1）设椭圆的焦距为2c .312椭圆过点（，），离心率为12∴229141a b +=,12c a =解得2,a b ==……………3分则椭圆的方程为22143x y +=. ……………4分(2) 设点1122(,),(,)M x y N x y1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴= ……………6分代入坐标，可得121221(1)525x x y y⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l的斜率8514k ==-- ……………10分（3）直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++ ……………12分又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213k k ∴= ……………16分 19.解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x =-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=……3分（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间； ……5分②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间； ……6分③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =或x =当0x <x >时，()'0f x >x <<时，()'0f x < 所以()f x单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭……8分（3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，……………………………………………9分不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于 121212()()()()f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+， …………………………………13分令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减， ……………………………15分所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥- ……………………………………16分20.解：（1）12124-+=n n c c ，21=c ，}{12-n c 是以21=c 为首项4为公比的等比数列，12111224---=⨯=∴n n n c c ，201920192=∴c ，∵数列{}n c 是“螺旋递增数列”，2019201920202==∴c c ∴. …………………4分（2）由数列{}n a 是“螺旋递增数列”得n n a a 212=-，故2122221n n n n S S S S ----=-,∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列； ……………6分（注：给出具体三项也可）假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列，则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即321+++==k k k a a a ，当*21,k m m N =-∈时, 22122++==m m m a a a ，① 当*2,k m m N =∈时, 322212+++==m m m a a a ，②由数列{}n a 是“螺旋递增数列”得3222122+++<=<m m m m a a a a ，③①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. …………10分（3）∵21212n n d d +-=+,11d =,{}21n d -∴是以11d =为首项2为公差的等差数列，()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“螺旋递增数列”，故21221n n d d n -==-，()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭, ……………12分①当()*2n k k N =∈时,2132435462121222111111n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 133521211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++⎪⎝⎭11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭,13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭,又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 213t ∴-≤<. …………………14分②当()*21n k k N =-∈时,2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫==-=-=-- ⎪-+⎝⎭1111,142423k k ⎡⎫=--∈⎪⎢-+⎣⎭,[)13,1nT ∴-∈--, 又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 113t ∴-≤<.综上①②, 存在满足条件的实数t ，其取值范围是11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. ………………16分数学试卷（Ⅱ）21.（本题满分10分）解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422211b a ， ……………………2分所以⎩⎨⎧=+=-422222b a 所以⎩⎨⎧==12b a ． ……………………4分（2）31112)det(=-=A ， ……………………6分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32313131323131311A ． ……………………10分22.（本题满分10分）解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin )4(πθ-＝22，则22ρsin θ－22ρcos θ＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝4， ……………………3分所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋4＝0. …………………5分(2) 因为P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ上一点，所以P 到直线l 的距离24)cos(524sin 3cos 4++=+-=ϕθθθd ……………………8分所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 的最大值为229 ……………………10分23. （本题满分10分）解：以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)，P(1，0，2λ)． ……………………1分 (1) 由λ＝41得，CP →＝），，（2111-，A 1B →＝(1，0，－2)，A 1C →＝(0，1，－2)，设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2z 1＝0，y 1－2z 1＝0.不妨取z 1＝1，则x 1＝y 1＝2，从而平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(2，2，1)． ……………………3分设直线PC 与平面A 1BC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈CP →，n 1〉|＝|CP →·n 1|CP →|·|n 1||＝91，所以直线PC 与平面A 1BC 所成的角的正弦值为91. ……………………5分 (2) 设平面PA 1C 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， A 1P →＝(1，0，2λ－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·A 1P →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－2z 2＝0，x 2＋（2λ－2）z 2＝0.不妨取z 2＝1，则x 2＝2－2λ，y 2＝2，所以平面PA 1C 的法向量为n 2＝(2－2λ，2，1)．则cos 〈n 1，n 2〉＝9－4λ34λ2－8λ＋9.因为二面角PA 1CB 的余弦值为1867，所以9－4λ34λ2－8λ＋9＝1867， ……………………8分化简得20λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝21或λ＝109- 0≤λ≤1 21=∴λ ……………………10分 24. （本题满分10分）解答：（1）设AB 方程为2px Ay =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pAy p --=所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p = ……2分（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为1x Ay =+0A ≠，()33,Q x y由214x Ay y x=+⎧⎨=⎩得2440y Ay --=， 12124,4y y y y A =-+=所以()212|41AB y y A -=+ ……4分令1x =-，则2y A =-，所以21,H A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭PF 方程为2112A x y A-=+ 由221124A x y Ay x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140A y y A ---=，所以324y A-=-，32y A =，代入24y x =，得23x A = 所以()2,2Q A A ……6分 Q 到直线AB的距离为21d =P 到直线AB的距离为22d =所以四边形APBQ 的面积()5321221122A S AB d d A +=+== ……8分令20A t =>，则()52241t S t +=()()()432132't t S x t +-=当203t <<时，()'0S x <，()S x 单调递减当23t >时，()'0S x >，()S x 单调递增所以，当23t =时，()2S x 有最小值5527，()S x ……10分。