2018-2019北京四中初三数学第一次月考
2018-2019学年北京市第四中学初三第一学期统一练习(二) 数学试卷(含答案)
北京四中2018-2019 学年度第一学期初三数学统一练习（二）数学试卷一、选择题（每小题2分，满分16分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．23．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣3，﹣4）4．如图，AC是⊙O的直径，B，D是圆上两点，连接AB，BC，AD，BD．若∠CAB＝55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°5．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．16．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB 上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7二、填空题（每题2分，共16分）9．已知锐角α满足tanα＝，则α＝°．10．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是．11．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1）的二次函数表达式．12．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐那么BC＝．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题17．（5分）计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．（5分）如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tan C 的值．19．（5分）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是，顶点坐标是．2y的取值范围是．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为，点B的对应点E的坐标为．21．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．22．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．23．（5分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（5分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sin A＝，求PC的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．（8分）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段P A绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的一个三角形是，∠ACQ＝°．（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q 两点即为同族点．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题1．解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x＝1，故选：A．2．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tan A＝＝；故选：C．3．解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3），故选A．4．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠ACB＝35°，∴∠ADB＝∠ACB＝35°．故选：C．5．解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．6．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：C．7．解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，得：，解得：，即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，故选：B．8．解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．二、填空题（每题2分，共16分）9．解：∵tanα＝，∴α＝30°．故答案为：30．10．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DCE＝75°，∴∠BAD＝∠DCE＝75°，故答案为：75°．11．解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1），∴a＜0，c＝﹣1，∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．12．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为1：16，故答案为：1：16．13．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．14．解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（﹣1，0），由对称轴x＝1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0），当y＞0时，x的取值范围是为﹣3＜x＜1，故答案是﹣3＜x＜1．15．解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN＝2.5，∴BC＝2MN＝5．故答案为5．16．解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠P AB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠P AN＝90°，∴∠ABM＝∠P AN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1三、解答题17．解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．18．解：∵△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AB＝2BD，∴BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝15﹣6＝9，∴AD＝，∴tan C＝．即tan C的值是．19．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3．所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交点的坐标为（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（0，﹣3），（1，﹣4）；2；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．故答案为：当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．20．解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）由（1）得：点A的对应点D的坐标为：（1，3），点B的对应点E的坐标为：（2，1）．故答案为：（1，3），（2，1）．21．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．22．（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED．∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，∴∠AEC＝∠BDA．又∵∠DAC＝∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）∵△ABD∽△CAE，∴＝，∴AE＝•BD＝×2＝．23．解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x ＝150，∴AD ＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD 约为240米． 24．解：（1）本题答案不唯一，如：以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图所示． ∴A （﹣4，0），B （4，0），C （0，6）． 设这条抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣4）（x +4）． ∵抛物线经过点C ， ∴﹣16a ＝6．∴a ＝﹣∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+6，（﹣4≤x ≤4）．（2）当x ＝1时，y ＝，∵4.4+0.5＝4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．25．解：（1）∵PC 是圆O 的切线， ∴∠PCA ＝∠B ．∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∴∠A +∠B ＝90°． ∵PD ⊥AB ，∴∠A +∠AED ＝90°． ∴∠AED ＝∠B ． ∵∠PEC ＝∠AED ， ∴∠PCE ＝∠PEC ．（2）如图所示，过点P 作PF ⊥AC ，垂足为F ．∵AB ＝10，sin A ＝，∴BC ＝AB •＝6．∴AC ＝＝8．∵DE ＝，sin A ＝，∴AE ＝．∴EC ＝AC ﹣AE ＝8﹣＝．∵PC ＝PE ，PF ⊥EC ，∴EF ＝．∵∠AED ＝∠PEF ，∠EDA ＝∠EFP ， ∴△AED ∽△PEF ．∴，．解得：EP ＝．∴PC ＝．26．解：（1）把A （0，3）代入y ＝mx 2﹣2mx +m +4得m +4＝3，解得m ＝﹣1，所以抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 所以B （﹣1，0）；（3）抛物线C 2：y ＝a （x ﹣1）2﹣1（a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣1）， 因为抛物线C 2与线段AB 恰有一个公共点，则开口向上，当抛物线C 2与线段AB 的公共点为B 点时，a 最小，把B （﹣1，0）代入y ＝a （x ﹣1）2﹣1得4a ﹣1＝0，解得a ＝；当抛物线C 2与线段AB 的公共点为A 点时，a 最大，把A （0，3）代入y ＝a （x ﹣1）2﹣1得a ﹣1＝3，解得a ＝4，所以a的取值范围为≤a≤4．27．【解答】解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠P AF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠P AF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC（SAS）∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案为：△PQC，90；（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠F AP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠F AP＝∠CPQ，由旋转可得，P A＝PQ，∴△AFP≌△PCQ（SAS），∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴∴；（3）如图，当P在CB的延长线上时，∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC（SAS），∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQ P，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠AP A，∴AC＝PC，且AQ＝PQ，CQ＝CQ∴△ACQ≌△PCQ（SSS）∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．综上所述，线段CQ的长为2或8．28．解：（1）①∵点A的坐标为（﹣3，1），∴3+1＝4，点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，0+4＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴点A的同族点的是R，S；故答案为：R，S；②∵点B在x轴上，∴点B的纵坐标为0，设B（x，0），则|x|＝4，∴x＝±4，∴B（﹣4，0）或（4，0）；故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；（2）①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）．点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，则|x|+|y|＝x﹣y＝3．∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．即点N在右图中所示的正方形CDEF上．∵点E的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上，∴﹣3≤n≤3．②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，∵PN＝，∠PCN＝∠CPN＝45°，∴PC＝2，∴OP＝1，观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N 两点为同族点，再根据对称性可知，m≤﹣1也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤﹣1或m≥1．。
2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷-含详细解析
2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷副标题题号四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y = -2（x - 3尸一 4的顶点坐标（）B. (—3,—4)2.3.4.5. A. (-3,4)C. (3,-4)如图，在中，ZC = 90°. AB = 10, AC = 8,siM 等于（）A・5D. (3,4)如图,在ZMBC 中，DE//BC,。
£分别与施,AC 相交于点若4D = 4, DB = 2.则 DE ： 8C 的值为（）A -3C.-若为（一4,无），3（—1,无），C （2,），3）为二次函数y = —（x + 2）2 + 3的图象上的三点,则无，光，％小关系是（）A. yi<y 2< 无B. y 3< y 2< yiC. y 3 <y±< y 2D・ y 2<yi< >3如图是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平而直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为10也.此时水面到桥供的距离是4小.则抛物线的表达式为（）B.-C.；D •:6.7.A 25 2A. y = —x^B.y = _%2C.y = _&/如图，己知匕1 =匕2,若再增加一个条件不一定能使结论△ADEdABC 成立，则这个条件是（）A. Z.D = l B B・X c・X 己知函^y = ax 2+bx+c （a*0）的图象如图.给出下列4个结论：①abc > 0: @b 2 > 4ac: @4a + 2b + c > 0:④2Q + b=0只中正确的有（）个・A. 1B. 2C. 3D. y D.48.二次函数y = ax 2 +bx 的图象如图所示，若一元二次方程。
亍+ bx +m-l = 0有两个不相等的实数根，则整数力的最小值为（）A.O D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在AtZk/BC 中，ZC = 90°. BC = 4. tanA =贝UC =10.若当 = ：,则？=11.如图是一位同学设计的用手电简来测量某古城瑙高度的示意图.点户处放一水平的平面镜，光线从点A 出 发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，己知CD LBD.测得= 2米.BP = 3米.PD = 12米.那么该古城墙的高度CD 是______米.12.抛物线y = —2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是______13.已知二次函fty = x -x+im- 1的图象与］轴有公共点，则〃，的取值范围是214.如图，抛物线y=a”与直线、=故+。
2018-2019学年北京四中九年级(上)期中数学模拟试卷(二)含答案解析
2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学模拟试卷（二）一、选择题：1．（3分）（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：162．（3分）（2018秋•香洲区期末）已知反比例函数y的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（3分）（2018秋•西城区校级期中）已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2B．C．4D．84．（3分）（2016•攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或45．（3分）（2019•阿城区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．7cos35°C．7tan35°D．6．（4分）（2008•大兴安岭）对于抛物线y（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）7．（3分）（2018秋•西城区校级期中）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正确的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①③B．①②③C．④⑤⑥D．①③⑤8．（3分）（2018秋•西城区校级期中）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月9．（3分）（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．＜m＜2D．＜m＜2 10．（4分）（2018秋•西城区校级期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1二、填空题11．（3分）（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝．12．（3分）（2015•岳池县模拟）如果关于x的二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k＝．13．（3分）（2008秋•番禺区期末）小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1＝﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2＝（精确到0.1）．14．（3分）（2009•连云港模拟）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB＝44米，∠A ＝45°，AC1＝4米，点D2的坐标为（﹣13，﹣1.69），则桥架的拱高OH＝米．15．（3分）（2016•聊城模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是．16．（3分）（2007•丽水）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．（精确到1米）三、简答题（共8个题，共78分）17．（8分）（2018秋•西城区校级期中）解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0（用因式分解法）（2）（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2．18．（8分）（2018秋•富顺县期中）.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．19．（8分）（2014•伊春模拟）已知二次函数y x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．20．（8分）（2012•厦门模拟）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2x+c a ＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值．21．（12分）（2014秋•横县期中）某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式．（2）设商场老板每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式；（3）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？22．（5分）（2018秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且，．求证：△ACD∽△ECF．23．（10分）（2019•沂南县模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．2．（3分）（2018秋•香洲区期末）已知反比例函数y的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点P（2，﹣3），∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜0，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C．3．（3分）（2018秋•西城区校级期中）已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2B．C．4D．8【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，则y x＝2﹣1．故选：B．4．（3分）（2016•攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或4【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2ax﹣a2＝0，得：4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，∴a﹣1＝0，或a+4＝0，解得：a＝1或﹣4，故选：C．5．（3分）（2019•阿城区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．7cos35°C．7tan35°D．【解答】解：在Rt△ABC中，cos B，∴BC＝AB•cos B＝7cos35°，故选：B．6．（4分）（2008•大兴安岭）对于抛物线y（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）【解答】解：∵抛物线y（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选：A．7．（3分）（2018秋•西城区校级期中）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正确的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①③B．①②③C．④⑤⑥D．①③⑤【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴∵EF∥AB∴△CEF∽△CAB∴∴，∴，则①③⑤正确，②④⑥错误故选：D．8．（3分）（2018秋•西城区校级期中）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月【解答】解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，故选：D．9．（3分）（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．＜m＜2D．＜m＜2【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，设方程的两根为a、b，则a+b＞0，ab1＞0，而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为＜m＜2．故选：D．10．（4分）（2018秋•西城区校级期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），∴y2＞y3＞y1，故选：D．二、填空题11．（3分）（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【解答】解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．12．（3分）（2015•岳池县模拟）如果关于x的二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k＝1．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴有且只有一个交点，∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，∴k＝1．故答案为：1．13．（3分）（2008秋•番禺区期末）小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1＝﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2＝2.5（精确到0.1）．【解答】解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x＝﹣1，设函数的另一根为x，则1，解得x＝2.5．14．（3分）（2009•连云港模拟）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB＝44米，∠A ＝45°，AC1＝4米，点D2的坐标为（﹣13，﹣1.69），则桥架的拱高OH＝7.24米．【解答】解：设抛物线D1OD8的解析式为y＝ax2，将x＝﹣13，y＝﹣1.69代入，解得a∵横梁D1D8＝C1C8＝AB﹣2AC1＝36m∴点D1的横坐标是﹣18，代入y x2里可得y＝3.24又∵∠A＝45°，∴D1C1＝AC1＝4m∴OH＝3.24+4＝7.24m．15．（3分）（2016•聊城模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1＝3，2×0，∴点A2的坐标是（3，），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（），∴点A3的坐标是（5，），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5＝7，2×0，∴点A4的坐标是（7，），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×3﹣1，…，∴A n的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵当n为奇数时，A n的纵坐标是，当n为偶数时，A n的纵坐标是，∴顶点A2n+1的纵坐标是，∴△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．故答案为：（4n+1，）．16．（3分）（2007•丽水）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是18米．（精确到1米）【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y＝8，把y＝8代入y x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝818（米）．三、简答题（共8个题，共78分）17．（8分）（2018秋•西城区校级期中）解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0（用因式分解法）（2）（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣4）（x+2）＝0，可得x﹣4＝0或x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）方程整理得：x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得x﹣3＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4．18．（8分）（2018秋•富顺县期中）.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，∴2，得，b＝﹣4，∵抛物线y＝x2+bx+c过点C（0，3），∴c＝3，∴此抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）证明：设y1＝x2﹣4x+3，y2＝﹣2x+1，则y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣（﹣2x+1）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，∴y1＞y2，∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．19．（8分）（2014•伊春模拟）已知二次函数y x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．【解答】解：（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC＝2，OB＝6，AB＝2，BC＝2，∴S△ABC AC•OB2×6＝6，△ABC的周长＝AC+AB+BC＝2+22．20．（8分）（2012•厦门模拟）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2x+c a ＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值．【解答】解：（1）∵x2x+c a＝0有两个相等的实数根，∴△＝（）2﹣4（c a）＝0，整理得a+b﹣2c＝0 ①，又∵3cx+2b＝2a的根为x＝0，∴a＝b②，把②代入①得a＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形；（2）a，b是方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根∴△＝m2﹣4×（﹣3m）＝0，即m2+12m＝0，∴m1＝0，m2＝﹣12．当m＝0时，原方程的解为x＝0（不符合题意，舍去），∴m＝﹣12．21．（12分）（2014秋•横县期中）某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式．（2）设商场老板每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式；（3）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），由题意得，解得．故y＝﹣4x+360（40≤x≤90）；（2）由题意得，p与x的函数关系式为：p＝（x﹣40）（﹣4x+360）＝﹣4x2+520x﹣14400，（3）当P＝2400时，﹣4x2+520x﹣14400＝2400，解得：x1＝60，x2＝70，故销售单价应定为60元或70元．22．（5分）（2018秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且，．求证：△ACD∽△ECF．【解答】证明：∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，又∵，∴△ACB∽△ECD，∴∠A＝∠E，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠ECD﹣∠BCD，即∠ACD＝∠ECF，∴△ACD∽△ECF．23．（10分）（2019•沂南县模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．【解答】解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，，∴Rt△ADG≌Rt△ABE，∴∠AGD＝∠AEB，∵∠HBG＝∠EBA，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴DG＝BE，∵∠APD＝90°，∴AP＝DP，∵AG＝2，∴PG，∴DG＝DP+PG，∵DG＝BE，∴BE．。
2018年10用北京四中初三上月考数学试题及答案
20. （5 分）2014 年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016 年建成，现已成为 青岛北部一个重要的旅游景点，为了测量古城“潮海”门的高度，在数学课 外实践活动中，小明分别在如图所示的 A，B 两点处，利用测角仪对“潮海” 门的最高点 C 进行了测量，测得∠A=30°，∠CBD=45°，若 AB=22 米，求“潮 海”门的最高点 C 到地面的高度为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：
3 （第 7 题图）
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2018-2019 学年度第一学期北京四中初三数学统一练习（一）
7. 二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示，给出下列结论：
① abc 0 ； ② 2a + b = 0 ； ③ a − b + c 0 ；④ b2 − 4ac 0 ．
（1）求这个二次函数的解析式． （2）连接 BC，求线段 BC 的长． （3）若点 P 在 x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，
请直接写出符合条件的所有点 P 的坐标．
23. （10 分）抛物线 y = − 1 x2 + 2 x +1 的顶点为 D，它与 x 轴交于 A，B 两点（点 33
A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A,B,C,D 的坐标； （2）求直线 BC 的解析式； （3）求△BCD 的面积； （4）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使△PBC 面积为 1？若存在，
m 的取值范围是（
A． − 25 m 3 4
C． −2 m 3
）
B． − 25 m 2 4
初三第一次月考数学试卷4
初三第一次月考数学试卷3 初三第一次月考数学试卷3总分150分时间120分钟_.9.27 成绩_________一.选择题(每题3分,共42分)1.式子成立的条件是( )A.≥3B.≤1C.1≤≤3D.1＜≤32.和是同类二次根式的是( )( A) ( B) (C)( D)3.对于任意实数,下列等式成立的是( )A.B. C.D.4.已知,,则与的关系是( )A.B.C. D.5.等于( )(A) 2 (B) (C) (D)6.的算术平方根是( )A.6B.－6C.D.7.如果1≤≤,则的值是( )A.B.C. D.18.下列方程中,无论取何值,总是关于的一元二次方程的是( )(A)(B)(C)(D)9.要使分式的植为0,则应该等于( )(A)4或1(B)4(C)1(D)或10.若与互为倒数,则实数为( )(A)±(B)±1(C)±(D)±11. 关于的一元二次方程有实数根,则( )(A)＜0(B)＞0(C)≥0(D)≤012.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(_shy; )(A)平行四边形_shy;(B)等边三角形_shy; (C)矩形_shy; (D)等腰梯形13．四边形ABCD的对角线交于O点,能判定四边形是正方形的条件是( )(A)AC=BD,AB=CD,AB∥CD.(2)AD∥BC,∠A=∠C.(C)AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.(D)AO=CO,BO=DO,AB=BC.14.如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形的周长为( )．(A)9 (B)6 (C)3 (D)二.填空(答案填在后面的答案纸上)(每题4分,共24分)1.最简根式和是同类二次根式,则a= _________2．一元二次方程化为一般形式为:,二次项系数为: ,一次项系数为: ,常数项为: .3.已知平行四边形ABCD中,AB=14cm,BC=16cm,则此平行四边形的周长为_____cm.4.正方形的对称轴有＿＿＿条.5.( )( )=_______6._______________三.计算 1.选用合适的方法解下列方程 (每题4分,共12分).(1) (2) (3)_2-4_-5=02.解方程2(用配方法)(4分)3.计算(1) (2) (每题4分,共8分)4.化简:(每题5分,共10分) (1)(2)先化简,再求值:,其中,四.(本题8分)观察下列各式:, ,请你将猜到的规律用含有自然数n的代数式表示出来并证明你的猜想.五.(12分)写出命题〝角平分线上的点到角两边的距离相等〞的逆命题,这个逆命题是真命题吗?请证明你的判断逆命题:图形已知:求证:证明六.(6分)如图,把边长为2 cm的正方形剪成四个大小.形状完全一样的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并把你的拼法画图示意:(1)不是正方形的菱形:(2)不是正方形的矩形:(3)不是矩形和菱形的平行四边形:七.(6分)在□ABCD中,已知AC.BD相交于点O,两条对角线的和为30cm, △OCD的周长为20cm,求AB的长．八.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45_ordm;.翻折梯形ABCD,使点B重合于点D, 折痕分别交边AB.BC于点F.E.若AD=2,BC=8.(如图)(6分)求:(1)BE的长.(2)CD:DE的值.九.如图是规格为8_8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:(本题满分12分)⑴ 请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(－2,4),B点坐标为(－４,2);⑵ 在第二象限内的格点上画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是, △ABC的周长是(结果保留根号);⑶ 画出△ABC以点C为旋转中心.旋转180°后的△A′B′C, 连结AB′和A′B, 试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形, 并说明理由.自我评价: 总结与反思:。
2019北京四中初三(上)月考数 学
2019北京四中初三（上）月考数 学（考试时间：120分钟，试卷满分：100分）班级： 学号： 姓名：一、选择题（本题共16分,每小题2分)1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A. ()2,3B. ()2,3-C. ()2,3-D. ()2,3--3. 若将抛物线y ＝5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A. B.C.D.4. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，根据图象可得a ，b ，c 与0的大小关系是（ ）A. , ,B. , ,C. , ,D. , ,5. 如图, 在△ABC 中, ∠B =40°, 将△ABC 绕点A 逆时针旋转, 得到△ADE ，点D 恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数为（ ）A. 70°B. 80°C. 90°D.100°6. 以原点为中心，把点P （1，3）顺时针旋转90°，得到的点P ′的坐标为（ ）A.B.C. D.7. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线x =1对称；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于3．其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 抛物线2y ax bx c =++经过点（－2，0），且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②；③若, 则 时的函数值小于时的函数值; ④点不在此抛物线上． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个开口向下, 且与y 轴的交点坐标为(0, 1)的抛物线的表达式: . 10. 已知抛物线的对称轴是x =n , 若该抛物线过A (－2, 5), B (4, 5) 两点, 则n 的值为 . 11. 点A (-3, y 1), B (2, y 2) 在抛物线y =x 2-5x 上, 则y 1______y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）12. 如图, 直线1y kx n =+ (k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于A(-1,0)，B(2,-3) 两点，则关于x 的方程2=kx n ax bx c +++的解为 . 13. 如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是_______.14. 如图，在△ABC 中，∠CAB =70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′的度数是______________.15. 如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为h =20t -5t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s ．（第14题图） （第15题图）16. 如图, 已知△ABC 中, ∠C =90°， AC =BC = 将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB ′C ′的位置, 连接BB ′，则BB ′的长为 ，连接C ′B, 则C ′B 的长为 .1x =0ac >1640a b c ++=0m n >>1x m =+1x n =-(,0)2ca-－23二、解答题（本题共68分）17. (5分) 已知抛物线的顶点为(－1，2)，且经过点(0，4)，求抛物线的解析式.18. (8分) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示．(1) 对称轴方程为____________；(2) 当x 时，y 随x 的增大而减小； (3) 求函数解析式.19. (5分) 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 是格点三角形 (顶点在网格线的交点上).(1) 先作△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1, 再把△A 1B 1C 1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，请在图中画出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2；(2) 可以看出△A 2B 2C 2与△ABC 关于某点成中心对称, 直接写出对称中心的坐标 ．20. (5分) 如图, 等腰Rt △ABC 中， BA =BC ，∠ABC =90°， 点D 在AC 上, 将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后， 得到△CBE .(1) ∠DCE 的度数为_____________; (2) 若AB =4， CD =3AD ， 求DE 的长．21. (6分) 已知二次函数()233y kx k x =-++图象的对称轴为：直线2x =．(1) 求该二次函数的表达式；(2) 画出该函数的图象，并结合图象直接写出： ①当y ＜0时，自变量x 的取值范围； ②当0≤ x ＜3时，y 的取值范围是多少？22. (5分) 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ． (1) 求证：△AEC ≌△ADB ；(2) 若AB =2， ∠BAC =45°， 当四边形ADFC 是平行四边形时，求BF 的长．23. (6分) 秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形．水面宽度AB =10m, 桥拱最高点C 到水面的距离为6m ． (1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m ，宽度是4m ，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m ，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．24. (5分)如图, 直线l :2y x m =-+与x 轴交于点A (2-, 0), 抛物线:与x 轴的一个交点为B (点B 在点A 的左侧). 过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D . (1) 求m 的值和点B 的坐标；(2) 将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B ，D 的对应点分别为点E ，F ． ①点F 的坐标为____________；②将抛物线沿x ．轴．向右平移使它经过点F ，此时得到的抛物线记为，直接写出抛物线的表达式．25. (10分) 抛物线223y x x =-++的顶点为D ， 它与x 轴交于A ，B 两点 (点A 在点B 的左侧)， 与y 轴交于点C ．(1) 求顶点D 的坐标；1C 243y x x =++1C 2C 2C(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCD的面积；(4)当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在；请说明理由.26. (6分) 已知抛物线G： (k为常数).k=时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；(1) 当3P x y.(2) 若记抛物线G的顶点坐标为(,)①分别用含k的代数式表示x，y，②请在①的基础上继续用含x的代数式表示y，③由①②可得, 顶点P的位置会随着k的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数(3) 小明想进一步对 (2) 中的问题进行如下改编：将 (2) 中的抛物线G改为抛物线H:(k为常数), 其中N为含k的代数式, 从而使这个新抛物线H满足:无论k取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上. 请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式: (用含k的代数式表示), 它的顶点=+(a,b为常数,a≠0)中, a= ,b= .所在的一次函数图象的表达式y ax b27. (7分) 在正方形ABCD中, 点P是直线BC上的一点, 连接AP, 将线段PA绕点P顺时针旋转90°, 得到线段PE, 连接CE.(1) 如图1, 点P在线段CB的延长线上.①请根据题意补全图形；②用等式表示BP和CE的数量关系，并证明.(2) 若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为图1 备用图。
2018-2019北京四中 初三数学一模 几何综合汇编
1（2019+++延庆+++一模）（1）∵∠ADC =60°，DA=DC ∴△ADC是等边三角形∴∠DAC =60°,AD=AC．∵∠ABC=120°,BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC=60°∴∠DAC =∠DBC =60°∵∠AOD =∠BOC ∠ADB=180°-∠DAC-∠AOD∠ACB=180°-∠DBC-∠BOC ∴∠ADB=∠ACB（2）结论：DH=BH+BC在HD上截取HE=HB∵AH⊥BD ∴∠AHB=∠AHE=90°∵AH =AH ∴△ABH≌△AEH ∴AB=AE,∠AEH=∠ABH=60°∴∠AED=180°-∠AEH=120°∴∠ABC=∠AED=120°∵AD=AC, ∠ADB=∠ACB ∴△ABC≌△AED ∴DE=BC ∵DH=HE+ED ∴DH=BH+BC2（2019+++房山+++一模）（1）解: 依题意，∠CAB=45°∵∠BAD=α∴∠CAD=45α︒-∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE ∴∠DBE=∠CAD=45α︒-……………………………… 2分（2）解：①补全图形如图……………………… 4分②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB-EA EC……………… 5分证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.∵∠ACB=90°∴∠ACF=∠BCE∵CA=CB，∠CAF =∠CBE ∴△ACF≌△BCE………… 6分∴AF=BE，CF=CE ∵∠ECF=90°∴EF EC即AF -EA EC ∴EB -EA…………………… 7分3（2019+++通州+++一模）（1）连接AE∵点B关于射线AD的对称点为E∴AE=AB，BAF EAFα∠=∠=∵ABC △是等边三角形 ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=︒ ∴602EAC α∠=︒-，AE AC =………1分∴()1180602602ACE αα∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦ ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=……………2分另解：借助圆 （2）AF EF CF -=证明：如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF ……………3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠ ∴60ABC AFC ∠=∠=︒ ∴△FCG 是等边三角形 ∴GF =FC ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形 ∴BC AC =，60ACB ∠=︒∴ACG BCF α∠=∠= 在△ACG 和△BCF 中CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ACG ≌△BCF∴AG BF =……………5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ∴BF EF =……………6分 ∴AF AG GF -= ∴AF EF CF -=………………7分 另一种证法：作60FAH ∠=︒交FC 的延长线于点H ，连接BF4（2019+++平谷+++一模） （1）∠BCD =120°－α （2）解：方法一：延长BA 使AE=BC ，连接DE 由（1）知△ADC 是等边三角形 ∴AD=CD ∵∠DAB +∠DCB =∠DAB +∠DAE =180°∴∠DAB =∠DAE ∴△ADE ≌△CDB ∴BD=BE ∴BD=AB+BC 方法二：延长AB 使AF=BC ，连接CF∠BDC =∠ADE ∵∠ABC =120° ∴∠CBF =60°∴△BCF 是等边三角形 ∴BC=CF ∵∠DCA =∠BCF =60°∴∠DCA +∠ACB =∠BCF +∠ACB 即∠DCB =∠ACF ∵CA=CD ∴△ACF ≌△DCB ∴BD=AF ∴BD=AB+BC （3）AC ，BD 的数量关系是：2AC BD 位置关系是：AC ⊥BD 于点P5（2019+++门头沟+++一模）（1）补全图形（如图1）…………… 1分 证明：略………… 3分（2）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF +OE OP …… 4分 证明：如图2，作PQ ⊥PO 交OB 于Q∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 又∵OC 平分∠AOB ，∠AOB =90° ∴∠4=∠5=45°又∵∠5+∠6=90° ∴∠6=45° ∴∠4=∠6 ∴PO =PQ ∴△EPO ≌ △FPQ …………… 5分 ∴PE =PF ，OE =FQ 又∵OQ =OF +FQ =OF +OE又∵OQ ∴OF+OE …………… 6分（3）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF- OE …………… 7分6（2019++石景山+++一模） （1）补全的图形如图1所示 （2）△ABC 是等边三角形∴AB BC CA ==，60ABC BCA CAB ∠=∠=∠=︒由平移可知ED ∥BC ，ED =BC ……… 2分60ADE ACB ∴∠=∠=︒ 90GMD ∠=︒ 2DG DM DE ∴==…… 3分DE BC AC == DG AC ∴= AG CD ∴=……… 4分（3）线段AH 与CG 的数量关系：AH = CG ……… 5分 如图2，连接BE ，EF,ED BC =ED ∥BC BEDC ∴四边形是平行四边形 BE CD CBE ADE ABC ∴=∠=∠=∠， GM ED 垂直平分EF DF ∴= DEF EDF ∴∠=∠ ED ∥BCBFE DEF BFH EDF ∴∠=∠∠=∠， BFE BFH ∴∠=∠BF BF = BEF BHF ∴△≌△………… 6分BE BH CD AG ∴===AB AC = AH CG ∴=……… 7分7（2019+++西城+++一模）D8（2019+++燕山+++一模）(1)①补全的图形如图的所示………1分 ②证明：∵∠ADE ＝∠B ＝90°∴∠EDC ＋∠ADB ＝∠BAD ＋∠ADB ＝90° ∴∠EDC ＝∠BAD ……………3分 (2)①CE BD ……………4分 ②想法1：如图，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ∴∠F ＝90° 在△ADB 和△DEF 中，∠B ＝∠F ＝90°，∠EDC ＝∠BAD ，AD ＝DE ∴△ADB ≌△DEF ∴AB ＝DF ，BD ＝EF ∵AB ＝BC ∴DF ＝BC 即DC ＋CF ＝BD ＋DC ∴CF ＝BD ＝EF ∴△CEF 是等腰直角三角形∴CECF BD ……………7分 想法2：证明：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF∵∠B ＝90°，AB ＝BC ∴DF BD ∵AB ＝BC ，BF ＝BD ∴AB －BF ＝BC －BD 即AF ＝DC 在△ADF 和△DEC 中AF ＝DC ，∠BAD ＝∠EDC ，AD ＝DE ∴△ADF ≌△DEC∴CE＝DF BD ……………7分 想法3：证明：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF∵∠B ＝90°∴DF 在Rt △ABD 和Rt △CBF 中 ∠ABD ＝∠CBF ＝90°，AB ＝BC ，BD ＝BF ∴△ABD ≌△CBFFABECD∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF ∵AD＝DE ∴DE＝CF∵∠EDC＝∠BAD ∴∠EDC＝∠BCF ∴DE∥CF∴四边形DFCE为平行四边形∴CE＝DF BD……………7分9（2019+++丰台+++一模）10（2019+++密云+++零模）（1）补全图形AD与BE的数量关系为AD=BE（2）∵∠ACB=∠DCE= 60°∴∠ACD=∠BCE 又∵AC=BC,CD=CE ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE, ∠CBE=∠CAD=60°∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60°在Rt AFB∆中，AFAB=∴ABDB AH O DBA1已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H （1）求证：ADB ACB ∠=∠（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明 2已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC(1) 如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE . 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示)(2) 如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE . ①依题意补全图2 ②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明AA3如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射 线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并 延长，交射线AD 于点F（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系， 并证明 4在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P （1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示） （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系 （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系5如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转 中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明 （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系6如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G （1）依题意补全图形 （2）求证：AG = CD（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等 式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明PPEECCBBOOAADB A7如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC .将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC 上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF(1) 求证：FB=FD(2) 点H 在边BC 上，且BH=CE ，连接AH 交BF 于点N①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论②连接CN .若AB =2，请直接写出线段CN 长度的最小值8如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点 D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC(1) ① 依题意补全图1② 求证：∠EDC ＝∠BAD (2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为 ② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ．想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形．……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想(一种方法即可)备用图AB C D 图1 D C B A9在ABC ∆中，090=∠ACB ，AC=BC ，D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE交CB 的延长线于点F（1）求证:BF=CE（2）若CE=AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明10已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE（1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系（2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F ，用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明图2D C BA 图1ABC D。