材力讲稿第3章扭转3.1
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
材料力学 第三章 扭转 PPT课件
§3.1扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算、扭转和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
材料力学(I)第三章
{M e }Nm
6
{M e }Nm 2π
{n} r
min
103
{P}kw 103 60 3 {P}kw 9.5510 2π{n} r {n} r
min
min
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，
而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。
a。
5
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即
该轮所传递的功率为 {a }rad {P}kw {M e }Nm 103 {t}s
{M e }Nm rad 103
s
60 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
§3-1 概述 §3-2 纯剪切.薄壁圆筒的扭转 §3-3 圆轴扭转时的应力 §3-4 圆轴扭转时的变形
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
§ 3- 1 概 述
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力
偶Me作用下发生扭转。
Me Me
第三章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
14
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
6
{M e }Nm 2π
{n} r
min
103
{P}kw 103 60 3 {P}kw 9.5510 2π{n} r {n} r
min
min
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，
而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。
a。
5
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即
该轮所传递的功率为 {a }rad {P}kw {M e }Nm 103 {t}s
{M e }Nm rad 103
s
60 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
§3-1 概述 §3-2 纯剪切.薄壁圆筒的扭转 §3-3 圆轴扭转时的应力 §3-4 圆轴扭转时的变形
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
§ 3- 1 概 述
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力
偶Me作用下发生扭转。
Me Me
第三章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
14
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第三章 扭转
材力第3章_扭转
材料力学
第3章 扭转
第3章 扭转 扭转的概念和实例 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 切应力互等定理 剪切胡克定律 圆轴扭转时的应力与强度计算 圆杆扭转时的变形及刚度条件 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
返回目录
工程问题中， 工程问题中，有很多杆件是受扭转的
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
机械传动机构中，很多轴类零件是受扭构件。 机械传动机构中，很多轴类零件是受扭构件。
π
2
2 2
2 2
2
2
1
2 1
2
= 0.78
可见，采用空心轴可以节省材料。 原因：实心轴心部材料应力较小，其 作用没有得到充分发挥。
§3.5 圆轴扭转时的变形
返回目录
一、扭转角 ——两个横截面绕轴线的相对转角
由前面的推导得： 由前面的推导得：
dφ T = d x GIp
l
T dφ = dx GIp
P 7.5 T = Me = 9549 = 9549 = 716.2 N⋅ m n 100
2. 实心轴直径 d1 T 16×T τ max = = ≤ [τ ] 3 Wt1 π d1
16×T 16× 716.2×103 N⋅ mm d1 ≥ 3 =3 = 45 m m 2 π[τ ] π × 40N/mm 3. 空心轴外径 D2 T 16×T τ max = = ≤ [τ ] 3 4 Wt 2 π D2 (1−α )
+
∑M (F) = 0
x
T − Me = 0
例题 3-1
已知： 主动轮 的输入功率 PA＝36kW，从动轮 已知： 主动轮A的输入功率 ， B、C、D输出功率分别为 PB＝PC＝11kW，PD 输出功率分别为 ， ＝14kW，转速 ＝300 r/min。 ，转速n＝ 。 画出轴的扭矩图。 试：画出轴的扭矩图。
第3章 扭转
第3章 扭转 扭转的概念和实例 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 切应力互等定理 剪切胡克定律 圆轴扭转时的应力与强度计算 圆杆扭转时的变形及刚度条件 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
返回目录
工程问题中， 工程问题中，有很多杆件是受扭转的
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
机械传动机构中，很多轴类零件是受扭构件。 机械传动机构中，很多轴类零件是受扭构件。
π
2
2 2
2 2
2
2
1
2 1
2
= 0.78
可见，采用空心轴可以节省材料。 原因：实心轴心部材料应力较小，其 作用没有得到充分发挥。
§3.5 圆轴扭转时的变形
返回目录
一、扭转角 ——两个横截面绕轴线的相对转角
由前面的推导得： 由前面的推导得：
dφ T = d x GIp
l
T dφ = dx GIp
P 7.5 T = Me = 9549 = 9549 = 716.2 N⋅ m n 100
2. 实心轴直径 d1 T 16×T τ max = = ≤ [τ ] 3 Wt1 π d1
16×T 16× 716.2×103 N⋅ mm d1 ≥ 3 =3 = 45 m m 2 π[τ ] π × 40N/mm 3. 空心轴外径 D2 T 16×T τ max = = ≤ [τ ] 3 4 Wt 2 π D2 (1−α )
+
∑M (F) = 0
x
T − Me = 0
例题 3-1
已知： 主动轮 的输入功率 PA＝36kW，从动轮 已知： 主动轮A的输入功率 ， B、C、D输出功率分别为 PB＝PC＝11kW，PD 输出功率分别为 ， ＝14kW，转速 ＝300 r/min。 ，转速n＝ 。 画出轴的扭矩图。 试：画出轴的扭矩图。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第三章 扭转3.1-3.3
T T
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
材料力学第3章扭转部分课件详解
Me
Me
扭转(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P1000(N.m)
E
O1 ρ
a
的一个角度.
ρ
b
D
G
T
d
D' G' O2
b
dx
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变
r
tan r
GG' EG
rd
dx
扭转(Torsion)
二、物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
扭转(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
Me
9
549
p kw
n r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
扭转(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
dy
τ
τx
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
dx
其矩为( dy dz) dx
扭转(Torsion)
0301材力-扭转
0.5 0.6 对脆性材料，[ ]= 0.8 1.0
例2：由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90 mm, 壁厚t=2.5 mm,材料为45号钢。使用时最大扭矩T=1.5 kNm, 60 MPa ，试校核AB轴的强度。 T 解： A B d 90 2 2.5
§3-1 扭转的概念
1.扭转变形
受扭杆件的力学模型特征
受力特点：
外力偶的作用面与 杆件轴线垂直；
Tk
Tk
变形特点：
横截面之间绕杆件的 轴线产生相对角位移。
具有上述特征的变形 称为扭转变形。 工程上，把承受扭转 变形的杆件称为“轴 （Shaft）”。
横截面之间的相对角位移Φ，称为扭转角。
2．名词：
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
3、扭矩的计算
m Me A m T
B
B
取截面左侧研究 Me
x
Mx 0
x
T Me 0 T M e
取截面右侧研究
Me
A T T
O
Me
Me
M
x
0
+
扭矩图
x
T M e 0
T M e
Tk
Tk
扭转角：两截面之间的相对转角,用 表示。
注意：(与截面相对位置有关）
剪切角（剪应变）：杆件表面纵向直线的转角，
用 γ 表示。
注意：(与截面相对位置无关）
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
1、外力偶矩的计算 根据动力学知识： 力偶作功 = 功率 乘以 时间 运动学知识： 2 n n 60 30
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
大学课程材料力学第三章_扭转(上)课件
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
材料力学课件三章扭转
r
令
Wp =
τmax
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
Ip =
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
应力分布
GIp
供 参 考
rad=
N·m·mm GPa·mm4
二、刚度条件
单位长度 扭转角
dϕ MT = θ= （ rad/m ） d x GIp
度/米（°/m） 米 ）
dϕ MT 180 θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
[θ] 值 一 般 为 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴
( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
横截面上各点处， 横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力τ ，沿周向大 小不变， 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 扭矩方向一致 横截面上分布力的合成为扭矩
τ
τ
∫
∴ ∴
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = M T
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = M T
例:
功率为200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200 ，转速为1200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
令
Wp =
τmax
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
Ip =
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
应力分布
GIp
供 参 考
rad=
N·m·mm GPa·mm4
二、刚度条件
单位长度 扭转角
dϕ MT = θ= （ rad/m ） d x GIp
度/米（°/m） 米 ）
dϕ MT 180 θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
[θ] 值 一 般 为 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴
( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
横截面上各点处， 横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力τ ，沿周向大 小不变， 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 扭矩方向一致 横截面上分布力的合成为扭矩
τ
τ
∫
∴ ∴
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = M T
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = M T
例:
功率为200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200 ，转速为1200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
材料力学课件扭转
用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。
但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，
还要注意加上成本和构造上的要求等因素。
§3-5 扭转变形 扭转刚度计算
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) 来度量。
Me
AD BC
Me
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单 位长度扭转角)为 d T 可知，杆的相距 l
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16
14
1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16Me πd13
2,max
T2 Wp2
Me Wp2
16Me
πD23 1 4
2. 求D2/d1和二轴重量之比。
由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
抗扭—材料力学第3章讲解
γ
m
R
dx
m
l
观察变形：纵向线倾斜了一微小角度， 变成斜直线；
周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
23
平面假设：横截面 变形后仍为平面；
1. 变形几何关系：
γ
m
AC BD
dx ldγO NhomakorabeaC
AD B
dx
ρ R
m
24
dx
O
O
ρ RE
F
A
γC
C´
G
G´ d
H
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比μ是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关 系（推导详见后面章节）：
G E
2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
22
§3–4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
2. 物理关系：
虎克定律： G
G
G d
dx
27
G
d
dx
剪应力在横截面上的分布
28
3. 静力学关系：
T A( dA)
A
G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
记 Ip A 2dA
Ip 横截面的极惯性矩
m
m
轴：工程中以扭转为主要变形的构件称为轴。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
4
§3–2 外力偶矩的计算
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杆受扭时的内力的计算
【例3-1】图示传动轴上，经由A轮输入功率10kW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5kW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B C
A
D
第三章 扭 转
杆受扭时的内力的计算
解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
D C
M0
转角 ，用 表示。
薄壁圆轴表面上每个格子的直
角的改变量，称为 切应变。
用 表示 。
A
D
横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的。
C
'
'
第三章 扭 转
薄壁圆轴的扭转
静力关系
切应力
d A r T
c
B D
应力 与切应变 成正比。
即
G
其中G是材料的剪切弹性模量。
单位：MPa、GPa.
D
且
E G 2(1 )
第三章 扭 转
薄壁圆轴的扭转
剪切胡克定律
G
拉压胡克定律
E
第三章 扭 转
扭转的概念及外力偶矩的计算
M0
M0 外力偶矩 ——扭力矩
M0
构件特征：等圆截面直杆——圆轴。 受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。 变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对 转动，称为扭转角。
第三章 扭 转
扭转的概念及外力偶矩的计算
PA 10 M A 9.549 9.549 0.3183(kNm) n 300 PB 2 M B 9.549 9549 63.7(Nm) n 300
M C 95.5(Nm),
B C
M D 159.2(Nm),
A II III D
I
I
II
III
第三章 扭 转
外加力偶矩与功率和转速的关系
功
力偶矩 角位移
每分钟 的转数
W M0 s 2πn M0 ω M 0 P t 60 t
功率
角速度
时间
60 P(kW) P M0 9.549 (kN m) 2πn(r / min) n
第三章 扭 转
二、杆受扭时的内力计算
第三章 扭 转
连接汽轮机和发电 机的传动轴将产生扭 转
第三章 扭 转
工程中承受扭转变形的构件
日常生活中也常见到 一些受扭转变形的构件
第三章 扭 转
扭转的概念及外力偶矩的计算
一、扭转的概念及 外力偶矩的计算
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
材料力学
第三章 扭 转
第三章 扭 转
工程中承受扭转变形的构件
对称扳手拧紧镙帽
第三章 扭 转
工程中承受扭转变形的构件
扳手拧紧镙帽
第三章 扭 转
工程中承受扭转变形的构件
传动轴
汽车传动轴
第三章 扭 转
工程中承受扭转变形的构件
汽车方向盘的转向轴
第三章 扭 转
工程中承受扭转变形的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
T
n （+） n n （-）
T
T
截面2-2上的内力：
T
２
n
MA １
１
２
MC
T2 MB
２
三章 扭 转
杆受扭时的内力的计算
扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。
MA １
１
２
MC
MB
T1 M A
２
（+） （-） 扭矩图
T2 M C
第三章 扭 转
dz
dy
dy
x
dx
z
M
z
0 : (dx dz) dy (dy dz) dx 0
切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线 的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。
第三章 扭 转
薄壁圆轴的扭转
剪切胡克定律 A
C
实验证明：当切应力不超过 材料的比例极限 p 时，切
（AD段）
因此将A、D轮的位置更换不合理。
第三章 扭 转
三、薄壁圆轴的扭转
第三章 扭 转
薄壁圆轴的扭转
薄壁圆轴------壁厚远小于其平均半径
M0 M0
薄壁圆轴扭转试验 预先在圆筒的表面画上等间距
的纵向线和圆周线，从而形成
一系列的方格子。
观察到的现象 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。
第三章 扭 转
扭矩T-图
（+）
（-）
63.7N m 159.2N m
Tmax 159.2(Nm)
（在CA段和AD段）
第三章 扭 转
杆受扭时的内力的计算
将A、D轮的位置更换，则 B C
A D
63.7
（-）
159 .2
扭矩T-图
Tmax 318.3( N m)
318 .3
A
T
T 2 A0
A0=πr02, r0 平均半径，δ壁厚
n
M0
t c d
几何关系
a t b
r0φ l tgγ
c
a b
r0
M0
小变形条件 c
tgγ γ
φr0 γ l
n
切应变
d
l
d
第三章 扭 转
薄壁圆轴的扭转
y
薄壁圆轴纵截面上的切应力
dx
dz
杆受扭时的内力的计算 I
MB
T1 M B 63.7(Nm)
I
T1
II
MB MC
III II
T2
T2 M B M C 159.2(Nm)
T3
T3 M D 159.2(Nm)
III
MD
绘出扭矩图：
第三章 扭 转
杆受扭时的内力的计算
B
C
A D
159.2N m
杆受扭时的内力的计算
MA １
１
２
MC
已知圆轴受外力偶矩作
用，匀速转动。则
２ MB 用截面法求内力：
M A M B MC 0
MA １
１
1
MC MB
T1
T1
1
T1 M A M B MC
第三章 扭 转
杆受扭时的内力的计算
扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。 扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。
薄壁圆轴的扭转
（1）
A
A D C D B C
B
（2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形， 绕轴线产生相对转动。 设想 薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面， 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
第三章 扭 转
薄壁圆轴的扭转 M0
A B
薄壁圆轴两端截面之间相对
转动的角位移，称为 相对扭