动态规划从入门到精通共45页文档
第3章动态规划法
算法设计与分析 2
问题的分解
将待求解问题分解为若干子问题，通过子问题的解得 到原问题的解，这是问题求解的有效途径。但是如何 实施分解？ 分治策略的基本思想是将规模为n的问题分解为k个规 模较小的子问题，各子问题相互独立但与原问题求解 策略相同。并不是所有问题都可以这样处理。 问题分解的另一个途径是将求解过程分解为若干阶段 （级），依次求解每个阶段即得到原问题的解。通过 分解得到的各子阶段不要求相互独立，但希望它们具 有相同类型，而且前一阶段的输出可以作为下一阶段 的输入。这种策略特别适合求解具有某种最优性质的 问题。 贪心法属于这类求解策略：对问题P(n)，其求解过程 中各贪心选择步骤构成决策序列D=<D1,D2,..Dk>。Di 的最优性仅依赖于D1,D2,..Di-1。贪心法不保证决策 序列D最后求出解的最优性。
算法设计与分析 8
MultiStage_Graph算法复杂度
G用邻接矩阵表示，对于S2到S5的主循环执行 n次。为求满足wjr+cr=min{wji+ci|<j,i>是G的边} 的r，最多要求n-1次比较。因此时间复杂性为 O(n2)。除输入G，输出P外，要求附加存储空 间c、D。 如果G采用邻接表表示，求满足最小性的节点r 仅对属于G的边<j,r>访问一次，此算法的时间 复杂性应该为O(n+e)（e为G的边数）。 一般地，为避免递归过程中的重复计算，每个 子问题首次处理时将结果保存以备查。在上面 的过程中，每一次求得的cj都必须记录下来。
算法设计与分析 5
一个多段图例子
阶段4: C(7,t)=w(7,t)=8 ，C(8,t)=w(8,t)=4 记 D(u,v)是G中起点为 u,终点为v的最短路径，C(u,v) 阶段 3: C(4,t)=min{w(4,7)+C(7,t), w(4,8)+C(8,t)}=12 是该路径上各边权的和。设 D(s,t)= <s,vi1,vi2…vik-1,t>，vir C(5,t)=min{w(5,7)+C(7,t), w(5,8)+C(8,t)}=10 属于Vr （r=1,2..k-1），则D(vi1 ,t)= <vi1,vi2,…vik-1,t>是从 C(6,t)=min{w(6,7)+C(7,t), w(6,8)+C(8,t)}=8 vi1出发到 t的最短路径，D(vi2,t)= <vi2,…vik-1,t>是从vi2出 阶段 2: C(1,t)=min{w(1,4)+C(4,t), w(1,5)+C(5,t)}=19 发到 t的最短路径等等。设 u属于 Vi，有： C(2,t)=min{w(2,4)+C(4,t), w(2,5)+C(5,t), w(2,6)+C(6,t)}=17 C(u,t)=min{w(u,v)+C(v,t)} (4.1) C(3,t)=min{w(3,5)+C(5,t), w(3,6)+C(6,t)}=13 v∈Vi+1 阶段1: C(s,t)=min{w(s,1)+C(1,t), w(s,2)+C(2,t), w(s,3)+C(3,t)}=16 算法设计与分析 沿求解中带下划线的项回溯，得最短路径解： D(s,t)= <s,3,5,8,t>6
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
动态规划(完整)
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理
§7.3 动态规划应用举例
例 求解最短路问题
A1 2 Q 4 3 A3 A2 6 3 7 4 B1 1 4 2 4 4 1 5 6 B2 3 B3 3 3 C2 C1 3 4 T
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
分阶段的最短路径
• • • • • • • Ⅳ ： C1—T Ⅲ --Ⅳ : B1—C1—T Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ： Q—A2—B1—C1—T Q--A3—B1—C1—T Q--A3—B2—C2—T 3 4 7
决策为 xk 时的指标，则它就是第 k 段指标函
数，简记为vk 。 （2）过程指标函数（也称目标函数） 用f(sk , xk)表示第k子过程的指标函数。表
示处于第 k 段 sk 状态且所作决策为xk时，
从 sk 点到终点的距离。由此可见， f(sk , xk)
不仅跟当前状态 sk 有关，
还跟该子过程策略 pk(sk) 有关,严格说来，应
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
（1）阶段指标函数（也称阶段效应）
用vk(sk , xk)表示第 k 段处于状态 sk且所作
资规划, 排序问题和生产过程的最优控制
等问题;
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将 问题改造成符合动态规划求解要求的形式, 要涉及以下概念: (1)阶段 (3)决策与策略 (2)状态 (4)状态转移方程
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
运筹学动态规划
运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。
动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。
动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。
动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。
动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。
例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。
动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。
此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。
然而，动态规划方法也存在一些局限性。
首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。
其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。
综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。
动态规划
2018/10/18
23
V1
V2 2
9 7 4 3
V3
V4
V5
6
2 4
6 5
9
4 2
3
7
1
3 2
7
4
11 11 1 5
3
10
12
5 6
8
8
11
5
5段图
2018/10/18 24
例6.6 0/1背包问题（向后处理策略）
设fi(x)是KNAP(1,i,X)的最优解。 则，fn(M) = KNAP(1,n,M)
2018/10/18 2
可行解：从问题开始阶段到最后阶段的一个合 理的决策序列都是问题的一个可行解。 目标函数：用来衡量可行解优劣的标准，通常 以函数形式给出。
最优解：能够使目标函数取极值的可行解。 多阶段决策过程的最优化问题就是：求能够获 得问题最优解的决策序列——最优决策序列。
2018/10/18
2018/10/18 1
讨论这一性质的问题： 任一阶段i以后的行为仅依赖于i阶段的过程状态，而 与i阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关（与此相 反的问题如回溯等）。
最优化问题： 每一决策都附有一定的“成本”，决策序列的成本是 序列中所有决策的成本之和。 设从阶段i到阶段i-1有pi种不同的选择，则从阶段0至阶 段n共有p1p2……pn种不同的路径（每条路路径对应一个 决策序列）。 问：这些路径里面，哪一条的成本的最小？ ——如何求取最优决策序列？
3 s 0 1 v2
1 2 2 v3
3 0 2 t
此时，问题存在最优的决策序列： s-3->v2-2->v3-3->t 但最优性原理不一定成立：最优决策序列上的 任一子决策序列不相对于当前子问题最优。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
动态规划入门详解
通过金矿模型介绍动态规划对于动态规划，每个刚接触的人都需要一段时间来理解，特别是第一次接触的时候总是想不通为什么这种方法可行，这篇文章就是为了帮助大家理解动态规划，并通过讲解基本的01背包问题来引导读者如何去思考动态规划。
本文力求通俗易懂，无异性，不让读者感到迷惑，引导读者去思考，所以如果你在阅读中发现有不通顺的地方，让你产生错误理解的地方，让你难得读懂的地方，请跟贴指出，谢谢！----第一节----初识动态规划--------经典的01背包问题是这样的：有一个包和n个物品，包的容量为m，每个物品都有各自的体积和价值，问当从这n个物品中选择多个物品放在包里而物品体积总数不超过包的容量m时，能够得到的最大价值是多少？[对于每个物品不可以取多次，最多只能取一次，之所以叫做01背包，0表示不取，1表示取]为了用一种生动又更形象的方式来讲解此题，我把此题用另一种方式来描述，如下:有一个国家，所有的国民都非常老实憨厚，某天他们在自己的国家发现了十座金矿，并且这十座金矿在地图上排成一条直线，国王知道这个消息后非常高兴，他希望能够把这些金子都挖出来造福国民，首先他把这些金矿按照在地图上的位置从西至东进行编号，依次为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，然后他命令他的手下去对每一座金矿进行勘测，以便知道挖取每一座金矿需要多少人力以及每座金矿能够挖出多少金子，然后动员国民都来挖金子。
题目补充1：挖每一座金矿需要的人数是固定的，多一个人少一个人都不行。
国王知道每个金矿各需要多少人手，金矿i需要的人数为peopleNeeded[i]。
题目补充2：每一座金矿所挖出来的金子数是固定的，当第i座金矿有peopleNeeded[i]人去挖的话，就一定能恰好挖出gold[i]个金子。
否则一个金子都挖不出来。
题目补充3：开采一座金矿的人完成开采工作后，他们不会再次去开采其它金矿，因此一个人最多只能使用一次。
题目补充4：国王在全国范围内仅招募到了10000名愿意为了国家去挖金子的人，因此这些人可能不够把所有的金子都挖出来，但是国王希望挖到的金子越多越好。
动态规划PPT学习教案
15
第一节 动态规划的基本 概念和基本方程
6、阶段指标、指标函数和最优指标函数 （1）衡量某阶段决策效益优劣的数量指标，称为
阶段指标，用vk(Sk,dk)表示第k阶段的阶段指标。 在不同的问题中，其含义不同。它可以是距离、 利润、成本等。 在引例中，用dk=vk(Sk,dk)表示在第k阶段由点Sk 到点Sk+1=dk(Sk)距离。如d2(B3,C1)=6。
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第一节 动态规划的基本 概念和基本方程
S1 A，S2 B1, B2, B3 ，S3 C1,C2,C3 ，S4 D1, D2
（2）状态应具有无后效性（即马尔可夫性）。即如果某 阶段状态给定，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段 以前各阶段状态的影响。 3、决策与决策变量。在某阶段对可供选择状态的决定（ 或选择），称为决策。描述的变量称为决策变量。常用 dk(Sk)表示第k阶段处于状态Sk时的决策变量，它是状态 变量的函数。决策变量允许取值的范围，称为允许决策集 合，常用Dk(Sk)表示。显然dk（Sk）∈Dk(Sk)。 如在引例的第二阶段中，若从B1出发，D2（B1）={C1, C2, C3}如果决定选取B1 C2，则d2（B1）= C2。
A→B1→C2→D3→E 其长度为12。 显然，这种方法是不经济的，特别是当阶段数很多，各 阶段可供的选择也很多时，这种解法甚至在计算机上完 成也是不现实的。
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7
第一节 动态规划的基本 概念和基本方程
由于我们考虑的是从全局上解决求A到E的最短路问题，
而不是就某一阶段解决最短路线，因此可考虑从最后一阶段 开始计算，由后向前逐步推至A点：
C
2
min
C2D1 C2 D2
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
动态规划从入门到精通
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。