2014年山东省高考理科数学试卷及答案【word版】
2014年山东高考理科数学试题含答案(Word版)(卷)
山东理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += （A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4)（3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 （5）已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）42（C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为3，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 1.3.。
2014年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2014年全国高考理科数学试卷山东卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=（A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4) （3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C ）2 （D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）1 （B ）8 （C ）12 （D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望。
2014年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）22．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）），），，＜）∪（4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是．＞=，故32∫（x|=87．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）=8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）），，＜9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a22=0作可行域如图，，解得：化目标函数为直线方程得：由图可知，当直线2a+b=2的最小值为10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）±x±y=0的方程为+的离心率为：，的方程为﹣的离心率为：，的离心率之积为，，±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．，再根据中，∵•A=时，有=AC=××=故答案为：．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．面积的，=．故答案为：．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．+=，15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．的定义可知，，﹣﹣＞d=，或﹣222，三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．（，，﹣），可得•=msin2x+ncos2x，（，=（sin2x+cos2x2x+）+=2k，，）﹣，17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，，﹣的法向量=的法向量=CD AM，=，）（，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量=，|==所成的角（锐角）的余弦值为18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．+，+=×））×=+．）﹣=×））×=；×=×））×=；×+×=；×=×+1×+2×+3×+4×+6×=．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．=，，化为1==++．﹣++=1=．﹣++=1+=Tn=20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．当且仅当e，21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．，，，的左侧时，=p方程为联立方程，消去得的解为，直线，的方程为，即联立方程=的坐标为，点=，。
2014年高考数学山东卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 i a -与2i b +互为共轭复数，所以2a =，1b =，所以()()22i 2i 34i a b +=+=+. 2. 解析 {}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214x B y y x y y==∈=剟，所以{}{}{}131413A B x x y y x x =-<<=<剟 .评注 本题考查绝对值不等式的解法，指数函数的性质以及集合的运算.本题的易错点是绝对值不等式的求解.3. 解析 要使函数()f x 有意义，需使()22log 10x ->，即()22log 1x >，所以2log 1x >或2log 1x <-.解之得2x >或102x <<.故()f x 的定义域为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.4. 解析 因为“方程30x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程30x ax b ++=的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程30x ax b ++=没有实根. x y a a <5 解析 因为x ya a <，01a <<，所以x y >，所以33x y >.6. 解析 由34,y x y x=⎧⎨=⎩得0x =或2x =或2x =-（舍）.所以()232402142404S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.评注 本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.7. 解析 由题图可知，第一组和第二组的频率之和为()0.240.1610.40+⨯=，故该实验共选取的志愿者有20500.40=人.所以第三组共有500.3618⨯=人，其中有疗效的人数 为18612-=.8. 解析 ()1,2,3,2.x x f x x x -⎧=⎨-<⎩…如图，作出()y f x =的图像，其中()2,1A ，则12OA k =. 要使方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则函数()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点，由图可知，112k <<. 评注 本题考查方程的根与函数图像间的关系，考查学生利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力.9. 解析 作出不等式组10,230x y x y --⎧⎨--⎩……表示的平面区域（如图中的阴影部分）.由于0a >，0b >，所以目标函数z ax by =+在点A ()2,1处取得最小值，即2a b +=解法一：())2222222520444a b a aa +=+=-+=-+…，即22a b +的最小值为4.2a b +=2=，即22a b +的最小值为4.评注 本题考查线性规划与最值问题、考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思)想的应用能力.10. 解析 设椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e 和2e ，则1e =2e =.因为12e e ⋅==414b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以b a =.故双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=，即0x =. 11. 解析 1x =，014302n x =→-+=→=，212423103n x =→-⨯+=-<→=， 22343304n x =→-⨯+=→=，2344430n =→-⨯+>→输出3n =.12. 解析 由tan AB AC A ⋅=，π6A =，得ππcos tan 66AB AC =，即πtan26π3cos6AB AC ==，所以11211sin 22326ABCS AB AC A =⋅=⨯⨯=△.13. 解析 如图，设1ABD S S =△，2PAB S S =，E 到平面ABD 的距离为1h ，C 到平面PAB 的距离为2h ，则212S S =，212h h =，11113V S h =，22213V S h =，所以11122214V S h V S h ==.评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.EDCAP14. 解析 ()626123166C C rrrr r rr r b T axab x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233r -=，则3r =.所以3336C 20a b =，即1ab =.所以2222a b ab +=…，即22a b +的最小值为2.评注 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理理论证及运算求解能力.15. 解析 函数()g x =2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分.由题意可知，对任意0x I ∈，都有()()()0002h x g x f x +=，即()()00,x f x 是点()()0,x h x 和点()()0,x g x 的中点，又()()h x g x >恒成立，所以直线()3f x x b =+与半圆()g x =0b >.即0,2,b >⎧>解之得b >所以实数b 的取值范围为()+∞.评注 本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处：①不能正确理解“对称函数”的定义，造成题目无法求解；②忽视()()h x g x >的隐含条件：直线()3f x x b =+与半圆相离，且直线()3f x x b =+在y 轴上的截距0b >.16. 解析 （I ）由题意知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b .因为()y fx =的图像经过点π12⎛ ⎝，2π,23⎛⎫-⎪⎝⎭，所以ππsin cos ,664π4π2sin cos ,33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩即1,212,2m n ⎨⎪-=-⎪⎩解得m =1n =.（II ）由（I ）知()π2cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由题意知()()π2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设()y g x =的图像上符合题意的最高点为()0,2x ，由题意知2011x +=，所以00x =，即到点()0,3的距离为1的最高点为()0,2.将其代入()y g x =得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.由2ππ22πk xk -剟，k ∈Z ，得πππ2k x k -剟，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .17. 解析 （I ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ，又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//CD C D ，11=CD C D ，可得11//C D MA ，11C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11AA DD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（II ）解法一：连接AC ，MC ，由（I ）知//CD AM 且CD AM =，所以四边形AMCD 为平行四边形.可得BC AD MC ==，由题意60ABC DAB ∠=∠=，所以MBC △为正三角形，因此22AB =BC =，CA CB ⊥.以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角MAA 1C 1D 1DB 1CB坐标系C xyz -.所以)0,0A，()0,1,0B，(1D ，因此1,02M ⎫⎪⎪⎝⎭，所以112MD ⎛=- ⎝，111,02D C MB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面11C D M 的法向量(),,x y z =n ， 由1110,0,D C MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,y y -=+-=可得平面11C D M的一个法向量()=n .又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量.因此111cos ,CD n CD CD ⋅==n n. 所以平面11C D M 和平面ABCD .解法二：由（I ）知平面11C D M平面ABCD AB =，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接1D N .由1CD ⊥平面ABCD ，可得1D N AB ⊥，因此1D NC ∠为二角面1C AB C --的平面角.在RtBNC △中，BC =1，60NBC ∠=，可得CN =所以1ND=.在1Rt DCN △中，11CN cos D NC D N ∠==. 所以平面11C D M 和平面ABCD. B 118. 解析 （I ）记1A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分” ()0,1,3i =，则()312P A =，()113P A =，()01111236P A =--=；记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分” ()0,1,3i =，则()315P B =，()135P B =，()01311555P B =--=.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意，30100103D A B A B A B A B =+++，由事件的独立性和互斥性，()()()()()()3010010330100103P D P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B =+++=+++= ()()()()()()()()30100103P A P B P A P B P A P B P A P B +++=1111131132535656510⨯+⨯+⨯+⨯= 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. （II ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥，得()()0011106530P P A B ξ===⨯=， ()()()()1001100111131135656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()111312355P P A B ξ===⨯=，()()()()30033003111123255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()()()311331131311114253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()3311162510P P A B ξ===⨯=.可得随机变量ξ的分布列为：MNA 1B 1C 1D 1C BDA所以数学期望111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解析 （I ）因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-. （II ）()()()()()1111441111121212121n n n n n n n n b a a n n n n ---+⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数，为偶数.()121121n n n T n -⎛⎫++- ⎪= ⎪+⎝⎭或. 评注 本题考查等差数列的通项公式，前n 项和公式和数列的求和，分类讨论的思想和运算求解能力、逻辑推理能力.20. 解析 （I ）函数()y f x =的定义域为()0,+∞.()()()()2423232e 2e 2e 21e 2e x x x x x x kx k x x x x f x k x xx x x x -----⎛⎫'=--+=-= ⎪⎝⎭ 由0k …可得e 0x kx ->，所以当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞.（II ）.由（I ）知，当0k …时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点；当0k >时，设函数()e x g x kx =-，[)0,x ∈+∞.因为()ln e e e x x k g x k '=-=-，当01k <…时，当()0,2x ∈时，()e 0x g x k '=->，()y g x =单调递增， 故()f x 在()0,2内不存在两个极值点；当1k >时，得()0,ln x k ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递减，()ln ,x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =的最小值为()()ln 1ln g k k k =-.函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，当且仅当()()()00,ln 0,20,0ln 2.g g k g k ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩解得2e e 2k <<. 综上所述，函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭.评注 本题考查了导数在研究函数的单调性和极致问题的应用，考查了分类讨论思想的运用以及学生的逻辑推理能力和运算求解能力，难度较大，在解决问题（II ）时极易发生分类讨论不全面或运算求解的错误.21. 解析 （I ）由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()(),00D t t >，则2,04p t FD +⎛⎫⎪⎝⎭.因为FA FD =，由抛物线的定义知322p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t +=解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（II ）(i)由（I ）知()1,0F ，设()00,A x y ()000x y ≠，()(),00D D D x x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +.故直线AB 的斜率02AB y k =-. 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程 得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-.设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =，当204y ≠时，000022002044444E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AB 的方程为()0002044y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得()020414y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F .（ii ）由(i)知直线AE 过焦点()1,0F ，所以()000011112AE AF FE x x x x ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭.设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故001x m y -=，设()11,B x y ，直线AB 的方程为()0002y y y x x -=--，由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线方程得2008840y y x y +--=.所以 0108y y y +=-，可求得101000844y y x x y x =--=++，所以点B 到直线AE 的距离为414x d ⎫+===. 则ABE △的面积001142162S =x x ⎫⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭…，当且仅当001x x =，即01x =时等号成立.所以ABE △的面积的最小值为16.评注 本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大，很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点时定点的确定.。
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
2014年山东高考理科数学试题和答案
2014年山东省高考理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）24（C ）2（D ）47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+29.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）210.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年高考山东卷理科数学真题及解析
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<<。
4.答案：A 5答案：D解析:,01xya a a x y <<<∴>Q 排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
6.答案：D 解析：34x x =Q ，()()()324422x x x x x x x -=-=+-Q第一象限()23241428404x x xx -=-=-=⎰7.答案：C解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450÷=500.361818612⨯=-=8.答案：B解析：画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。
9.答案：B 解析：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。
10.答案：A解析：()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a ba b a -==+==-∴==∴=∴=±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年-高考试卷及答案解析-数学-理科-山东(精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=A.54i -B.54i +C. 34i -D.34i +2.设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =A.[0,2]B.(1,3)C. [1,3)D.(1,4)3.函数()f x = A.1(0,)2 B.(2,)+∞ C. 1(0,)(2,)2+∞ D.1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是 A.221111x y >++ B.22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y > D.22x y >舒张压/kPa6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. B. C. 2 D.47.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A.1B.8C. 12D.188.已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 A.1(0,)2 B.1(,1)2 C. (1,2)（D ）(2,)+∞9.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为A.5B.4 D.210.已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之2C 的渐近线方程为A.0x = 0y ±= C. 20x y ±= D.20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .12.在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅= ，当6A π=时，ABC ∆的面积为 . 13.三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 14.若24()bax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 . 15.已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知向量(,cos2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.17.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（1）求证：111//C M A ADD ；（2）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，B 1C 1D 1A 1DC B M A甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令114(1)n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . （20.（本小题满分13分） 设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. （Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.21.本小题满分14分）学科网在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>y x =被椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN ∆面积的最大值.参考答案1.答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数， ()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.答案：C解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=3.答案：C解析：()22log 10x ->,2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-,2x ∴> 或102x ∴<>。
2014年山东高考理科数学试题及详细解析
2014年山东高考理科数学试题及详细解析D（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 200.450÷=500.361818612⨯=-=8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2 答案：B解析：画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。
9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B解析：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫==。
10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）2=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A解析：()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年山东省高考理科数学试卷及答案【word版】
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a（A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）210.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014山东省数学(理)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案学科网一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为学科网共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少学科网有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f=有两学科网个不相等的实根，则实数k的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，学科网答案须填在题中横线上。
2014年全国高考-山东卷理科数学试题及答案
2014年全国高考理科数学试卷山东卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=（A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4) （3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞ （D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根 （D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x ya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C ）2 （D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）1 （B ）8 （C ）12 （D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5 （B ）4（C（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离2C 的渐近线方程为（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅= ，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠= ，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望。
2014年高考数学真题(山东卷)理科精编解析word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,理1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由a-i与2+b i互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+b i)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.2.(2014山东,理2)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=().A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)答案:C解析:由题意,得A={x||x-1|<2}={x|-1<x<3},B={y|y=2x,x∈[0,2]}={y|1≤y≤4},所以A∩B=[1,3).3.(2014山东,理3)函数f(x)=√(log2x)-1的定义域为().A.(0,12) B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞)答案:C解析:要使函数有意义,应有(log2x)2>1,且x>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<12.所以函数f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞).4.(2014山东,理4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是().A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.5.(2014山东,理5)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是().A.1x2+1>1y2+1B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y3答案:D解析:由a x<a y(0<a<1),可得x>y.又因为函数f(x)=x3在R上递增,所以f(x)>f(y),即x3>y3.6.(2014山东,理6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().A.2√2B.4√2C.2D.4答案:D解析:由{y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=∫20(4x-x3)d x=(2x2-14x4)|2=(2×22-14×24)-0=4.7.(2014山东,理7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().A.6B.8C.12D.18答案:C解析:设样本容量为n,由题意,得(0.24+0.16)×1×n=20,解得n=50.所以第三组频数为0.36×1×50=18.因为第三组中没有疗效的有6人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.8.(2014山东,理8)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是().A.(0,12) B.(12,1)C.(1,2)D.(2,+∞)答案:B解析:画出f(x)=|x-2|+1的图象如图所示.由数形结合知识,可知若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点.所以函数g(x)=kx的图象应介于直线y=12x和y=x之间,所以k的取值范围是(12,1).9.(2014山东,理9)已知x,y满足约束条件{x-y-1≤0,2x-y-3≥0,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2√5时,a2+b2的最小值为().A.5B.4C.√5D.2 答案:B解析:约束条件{x-y-1≤0,2x-y-3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=2√5,则b=2√5-2a , 所以a 2+b 2=a 2+(2√5-2a )2=5a2-8√5a+20=5(a -4√55)2+4,即当a=45√5,b=25√5时,a 2+b 2有最小值4.10.(2014山东,理10)已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ).A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案:A解析:由题意,知椭圆C 1的离心率e 1=√a 2-b 2a,双曲线C 2的离心率为e 2=√a 2+b 2a.因为e 1·e 2=√32,所以√(a 2-b 2)(a 2+b 2)a 2=√32,即(a 2-b 2)(a 2+b 2)a 4=34,整理可得a=√2b.又双曲线C 2的渐近线方程为bx±ay=0, 所以bx±√2by=0,即x±√2y=0.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,理11)执行下面的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .答案:3解析:输入x=1,12-4+3≤0,则x=2,n=1;返回22-8+3≤0,则x=3,n=2; 返回32-12+3≤0,则x=4,n=3;返回42-16+3>0,则输出n=3,结束.12.(2014山东,理12)在△ABC 中,已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A ,当A=π6时,△ABC 的面积为 . 答案:16解析:由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A ,可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=tan A. 因为A=π6,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·√32=√33, 即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=23. 所以S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗|·sin A=12×23×12=16. 13.(2014山东,理13)三棱锥P-ABC 中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D-ABE 的体积为V 1,P-ABC 的体积为V 2,则V 1V 2= .答案:14解析:由题意,知V D-ABE =V A-BDE =V 1,V P-ABC =V A-PBC =V 2.因为D ,E 分别为PB ,PC 中点, 所以S △BDE S △PBC=14.设点A 到平面PBC 的距离为d ,则V 1V 2=13S △BDE ·d 13S △PBC·d =S △BDE S △PBC=14.14.(2014山东,理14)若(ax 2+b x)6的展开式中x 3项的系数为20,则a 2+b 2的最小值为 .答案:2解析:(ax 2+b x)6的展开式的通项为T r+1=C 6r (ax 2)6-r ·(b x)r=C 6r a 6-r b r x 12-3r,令12-3r=3,得r=3.由C 6r a 6-r b r =C 63a 3b 3=20,得ab=1. 所以a 2+b 2≥2ab=2×1=2.15.(2014山东,理15)已知函数y=f (x )(x ∈R ).对函数y=g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y=h (x )(x ∈I ).y=h (x )满足:对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )=√4-x 2关于f (x )=3x+b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是 . 答案:(2√10,+∞) 解析:由已知得ℎ(x )+√4-x 22=3x+b , 所以,h (x )=6x+2b-√4-x 2. h (x )>g (x )恒成立,即6x+2b-√4-x 2>√4-x 2恒成立, 整理得3x+b>√4-x 2恒成立.在同一坐标系内,画出直线y=3x+b 及半圆y=√4-x 2(如图所示),当直线与半圆相切时,√1+3=2,所以|b|=2√10.故b 的取值范围是(2√10,+∞).三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2014山东,理16)已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y=f (x )的图象过点(π12,√3)和点(2π3,-2). (1)求m ,n 的值;(2)将y=f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g (x )的图象,若y=g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g (x )的单调递增区间.分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于m ,n 的方程组,利用此方程组即得m ,n 的值.在第(2)问中,通过图象平移知识,可得含参数φ的g (x )的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为1,可确定最高点的坐标,代入可求出g (x )确定的解析式,从而求出单调区间. 解:(1)由题意知f (x )=a ·b =m sin 2x+n cos 2x.因为y=f (x )的图象过点(π12,√3)和(2π3,-2), 所以{√3=msin π6+ncos π6,-2=msin 4π3+ncos 4π3,即{√3=12m +√32n ,-2=-√32m -12n ,解得m=√3,n=1.(2)由(1)知f (x )=√3sin 2x+cos 2x =2sin (2x +π6).由题意知g (x )=f (x+φ)=2sin (2x +2φ+π6). 设y=g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2),由题意知x 02+1=1,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g (x )得sin (2φ+π6)=1,因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g (x )=2sin (2x +π2)=2cos 2x ,由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z ,得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y=g (x )的单调递增区间为[kπ-π2,kπ],k ∈Z .17.(本小题满分12分)(2014山东,理17)如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M 是线段AB 的中点.(1)求证:C 1M ∥平面A 1ADD 1;(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1=√3,求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.分析:在第(1)问中,可考虑线面平行的判定定理,即从平面A 1ADD 1中找一条线与C 1M 平行,显然可找线AD 1,再通过证明四边形AMC 1D 1为平行四边形来达到求证目的.在第(2)问中,方法一:可以点C 为原点建立空间直角坐标系,求出平面C 1D 1M 和平面ABCD 的法向量,则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值.方法二:平面C 1D 1M 即为平面ABC 1D 1,则平面C 1D 1M 与平面ABCD 所成角的棱为AB ,又已知CD 1⊥平面ABCD ,故可过C 向棱AB 作垂线,垂足为N ,连接D 1N ,则可证∠D 1NC 为二面角的平面角,进而在Rt △D 1CN 中求∠D 1NC 的余弦值即可.(1)证明:因为四边形ABCD 是等腰梯形,且AB=2CD , 所以AB ∥DC. 又由M 是AB 的中点, 因此CD ∥MA 且CD=MA. 连接AD 1,在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 因为CD ∥C 1D 1,CD=C 1D 1, 可得C 1D 1∥MA ,C 1D 1=MA , 所以四边形AMC 1D 1为平行四边形. 因此C 1M ∥D 1A ,又C 1M ⊄平面A 1ADD 1,D 1A ⊂平面A 1ADD 1, 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)解法一:连接AC ,MC ,由(1)知,CD ∥AM 且CD=AM ,所以四边形AMCD 为平行四边形. 可得BC=AD=MC , 由题意∠ABC=∠DAB=60°, 所以△MBC 为正三角形, 因此AB=2BC=2,CA=√3, 因此CA ⊥CB.以C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.所以A (√3,0,0),B (0,1,0),D 1(0,0,√3). 因此M (√32,12,0),所以MD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,-12,√3),D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,12,0).设平面C 1D 1M 的一个法向量n =(x ,y ,z ), 由{n ·D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·MD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x -y =0,√3x +y -2√3z =0,可得平面C 1D 1M 的一个法向量n =(1,√3,1). 又CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)为平面ABCD 的一个法向量.因此cos <CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n |=√55. 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为√55.解法二:由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD=AB ,过C 向AB 引垂线交AB 于N ,连接D 1N. 由CD 1⊥平面ABCD ,可得D 1N ⊥AB , 因此∠D 1NC 为二面角C 1-AB-C 的平面角. 在Rt △BNC 中,BC=1,∠NBC=60°, 可得CN=√32.所以ND 1=√CD 12+CN 2=√152. 在Rt △D 1CN 中,cos ∠D 1NC=CND 1N=√32√152=√55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为√55.18.(本小题满分12分)(2014山东,理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其他情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13;对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.分析:第(1)问中,恰有一次落在乙上可分为两种情况,第①种,从A 击球落在乙上,从B 击球没落在乙上;第②种,从B 击球落在乙上,从A 击球没落在乙上,将①②两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率.第(2)问中,根据事件的独立性与互斥性,可得出,①得0分情形为A ,B 处都不得分;②得1分情形为A 处得1分B 处不得分或A 处不得分B 处得1分;③得2分情形为A ,B 两处各得1分;④得3分情形为A 处得3分B 处得0分或A 处得0分B 处得3分;⑤得4分情形为A 处得3分B 处得1分或A 处得1分B 处得3分;⑥得6分情形为A ,B 两处都得3分,共6种情形.列出小明得分之和ξ的分布列便可求出期望.解:(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3),则P (A 3)=12,P (A 1)=13,P (A 0)=1-12−13=16;记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3), 则P (B 3)=15,P (B 1)=35,P (B 0)=1-15−35=15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意,D=A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3, 由事件的独立性和互斥性,P (D )=P (A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3) =P (A 3B 0)+P (A 1B 0)+P (A 0B 1)+P (A 0B 3)=P (A 3)P (B 0)+P (A 1)P (B 0)+P (A 0)P (B 1)+P (A 0)P (B 3) =12×15+13×15+16×35+16×15=310, 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得 P (ξ=0)=P (A 0B 0)=16×15=130, P (ξ=1)=P (A 1B 0+A 0B 1)=P (A 1B 0)+P (A 0B 1)=13×15+16×35=16, P (ξ=2)=P (A 1B 1)=13×35=15,P (ξ=3)=P (A 3B 0+A 0B 3)=P (A 3B 0)+P (A 0B 3)=12×15+15×16=215, P (ξ=4)=P (A 3B 1+A 1B 3)=P (A 3B 1)+P (A 1B 3)=12×35+13×15=1130, P (ξ=6)=P (A 3B 3)=12×15=110.可得随机变量ξ的分布列为:所以数学期望E (ξ)=0×130+1×16+2×15+3×215+4×1130+6×110=9130. 19.(本小题满分12分)(2014山东,理19)已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .分析:第(1)问中可利用等差数列知识,用首项与公差表示出前n 项和,再根据S 1,S 2,S 4成等比数列求出首项,从而求得a n .求第(2)问时,可结合第(1)问中a n 的结果得出b n 的通项公式,最后对项数n 按奇数和偶数两种情况讨论并求出b n 的前n 项和T n . 解:(1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2, S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12, 由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12), 解得a 1=1,所以a n =2n-1. (2)b n =(-1)n-14n a n a n+1=(-1)n-14n(2n -1)(2n+1) =(-1)n-1(12n -1+12n+1).当n 为偶数时,T n =(1+13)−(13+15)+…+(12n -3+12n -1)−(12n -1+12n+1)=1-12n+1=2n2n+1.当n 为奇数时,T n =(1+13)−(13+15)+…-(12n -3+12n -1)+(12n -1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1.所以T n ={2n+22n+1,n 为奇数,2n2n+1,n 为偶数. (或T n =2n+1+(-1)n -12n+1).20.(本小题满分13分)(2014山东,理20)设函数f (x )=e x x 2-k (2x+lnx)(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时,求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.分析:第(1)问中可先求出f (x )的导函数f'(x ),再解不等式f'(x )>0和f'(x )<0,即可确定f (x )的单调区间.第(2)问中,根据第(1)问结论可知k ≤0时不适合第(2)问,故k>0,再具体讨论k 值,要使f (x )在(0,2)内有两个极值点,则f (x )在(0,2)内必须出现增减增或减增减,即导函数f'(x )出现正负正或者负正负.据此可列出不等式,最后求得k 的取值范围. 解:(1)函数y=f (x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=x 2e x -2xe x x 4-k (-2x 2+1x ) =xe x -2e x x 3−k (x -2)x 2=(x -2)(e x -kx )x 3.由k ≤0可得e x -kx>0,所以当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,函数y=f (x )单调递减,x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,函数y=f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,当k ≤0时,函数f (x )在(0,2)内单调递减, 故f (x )在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g (x )=e x -kx ,x ∈[0,+∞). 因为g'(x )=e x -k=e x -e ln k ,当0<k ≤1时,当x ∈(0,2)时,g'(x )=e x -k>0,y=g (x )单调递增, 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x ∈(0,ln k )时,g'(x )<0,函数y=g (x )单调递减, x ∈(ln k ,+∞)时,g'(x )>0,函数y=g (x )单调递增. 所以函数y=g (x )的最小值为g (ln k )=k (1-ln k ). 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当{g (0)>0,g (lnk )<0,g (2)>0,0<lnk <2,解得e <k<e 22.综上所述,函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为(e ,e 22).21.(本小题满分14分)(2014山东,理21)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有|FA|=|FD|.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C 的方程;(2)若直线l 1∥l ,且l 1和C 有且只有一个公共点E , ①证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.分析:在第(1)问中,可设D (t ,0),然后根据抛物线定义以及|FA|=|FD|建立t 与p 的关系,再由△ADF 为正三角形求出p 的值,即得C 的方程.在第(2)问中,利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标,再设出A 点,利用与F 点关系求出点D ,从而确定l 的斜率.根据l 1与抛物线只有一个交点知,联立l 1与抛物线方程便只有一解.求出点E 坐标,从而求得AE 直线方程,结合方程特点,确定l 1过定点.最后利用点到直线的距离公式与基本不等式,可求出△ABE 面积的最小值.解:(1)由题意知F (p 2,0),设D (t ,0)(t>0),则FD 的中点为(p+2t4,0). 因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+p 2=|t -p 2|, 解得t=3+p 或t=-3(舍去). 由p+2t4=3,解得p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D (x D ,0)(x D >0), 因为|FA|=|FD|,则|x D -1|=x 0+1. 由x D >0得x D =x 0+2,故D (x 0+2,0).故直线AB 的斜率k AB =-y02.因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y=-y 02x+b , 代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8b y 0=0, 由题意Δ=64y 02+32b y 0=0,得b=-2y 0. 设E (x E ,y E ),则y E =-4y 0,x E =4y 02.当y 02≠4时,k AE =y E -y 0x E -x 0=-4y 0+y 04y 02-y 024=4y 0y 02-4, 可得直线AE 的方程为y-y 0=4y 0y 02-4(x-x 0), 由y 02=4x 0,整理可得y=4y 0y 02-4(x-1), 直线AE 恒过点F (1,0).当y 02=4时,直线AE 的方程为x=1,过点F (1,0). 所以直线AE 过定点F (1,0).②由①知直线AE 过焦点F (1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x 0+1)+(1x 0+1)=x 0+1x 0+2.设直线AE 的方程为x=my+1, 因为点A (x 0,y 0)在直线AE 上,故m=x 0-1y 0. 设B (x 1,y 1),直线AB 的方程为y-y 0=-y02(x-x 0),由于y 0≠0, 可得x=-2y 0y+2+x 0,代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8-4x 0=0. 所以y 0+y 1=-8y 0,可求得y 1=-y 0-8y 0,x 1=4x 0+x 0+4. 所以点B 到直线AE 的距离为 d=|4x 0+x 0+4+m (y 0+8y 0)-1|√1+m 2=0√x =4(√x 0√x ). 则△ABE 的面积S=12×4(√x 0x ·(x 0+1x 0+2)≥16, 当且仅当1x 0=x 0,即x 0=1时等号成立. 所以△ABE 的面积的最小值为16.。
2014年高考(山东卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014山东，理1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )．A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 答案：D解析：由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1. 所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.2．(2014山东，理2)设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )． A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4) 答案：C解析：由题意，得A ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}， 所以A ∩B ＝[1,3)．3．(2014山东，理3)函数()f x =的定义域为( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(2，＋∞)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞)答案：C解析：要使函数有意义，应有(log 2x )2＞1，且x ＞0， 即log 2x ＞1或log 2x ＜－1， 解得x ＞2或102x <<. 所以函数f (x )的定义域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)．4．(2014山东，理4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )．A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案：A解析：因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．(2014山东，理5)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )．A ．221111x y >++ B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin y D ．x 3＞y 3 答案：D解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增， 所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.6．(2014山东，理6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A． B． C ．2 D ．4 答案：D 解析：由34y x y x =⎧⎨=⎩，，解得x ＝－2或x ＝0或x ＝2， 所以直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为230(4)d S x x x =⎰－2422401122220444x x ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．(2014山东，理7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．A ．6B ．8C ．12D ．18 答案：C解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n ＝20，解得n ＝50. 所以第三组频数为0.36×1×50＝18. 因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12.8．(2014山东，理8)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 答案：B解析：画出f (x )＝|x －2|＋1的图象如图所示．由数形结合知识，可知若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数g (x )与f (x )的图象应有两个不同的交点．所以函数g (x )＝kx 的图象应介于直线12y x =和y ＝x 之间，所以k 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 9．(2014山东，理9)已知x ，y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值a 2＋b 2的最小值为( )．A ．5B ．4CD ．2 答案：B 解析：约束条件10,230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝2b a =，所以()222222252054a b a a a a ⎛+=+=-=+ ⎝⎭，即当a =b =a 2＋b 2有最小值4. 10．(2014山东，理10)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为22221x y a b+=，双曲线C 2的方程为22221x y a b -=，C 1与C 2的离心率之积为2，则C 2的渐近线方程为( )．A ．0x =B 0y ±=C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案：A解析：由题意，知椭圆C 1的离心率1e a=，双曲线C 2的离心率为2e =因为12e e ⋅=，=即2222434a b a b a (-)(+)=，整理可得a =.又双曲线C的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以0bx =，即0x =.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2014山东，理11)执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为__________．答案：3解析：输入x ＝1,12－4＋3≤0， 则x ＝2，n ＝1；返回22－8＋3≤0，则x ＝3，n ＝2； 返回32－12＋3≤0，则x ＝4，n ＝3；返回42－16＋3＞0，则输出n ＝3，结束．12．(2014山东，理12)在△ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当π6A =时，△ABC 的面积为__________．答案：16解析：由tan AB AC A ⋅=，可得cos tan AB AC A A =.因为π6A =，所以3AB AC ⋅= 即23AB AC =.所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅12112326=⨯⨯=. 13．(2014山东，理13)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则12V V ＝__________.答案：14解析：由题意，知V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1， V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为P B ，P C 中点， 所以14BDE PBC S S ∆∆=. 设点A 到平面PBC 的距离为d ，则12113143BDE BDE PBC PBCS d V S V S S d ∆∆∆∆⋅===⋅. 14．(2014山东，理14)若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为__________．答案：2解析：62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()626123+166=C C rr r r r r rr b T ax a b xx ---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 令12－3r ＝3，得r ＝3.由633366C C 20r r r a b a b -==，得ab ＝1.所以a 2＋b 2≥2ab ＝2×1＝2.15．(2014山东，理15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )．y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是()g x =f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是__________．答案：)∞解析：3x b =+，所以，()62h x x b =+h (x )＞g (x )恒成立，即62x b +>整理得3x b +>恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b及半圆y =(如图所示)，当直线与半圆相2=，所以b =故b的取值范围是()+∞．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．(本小题满分12分)(2014山东，理16)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩，，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩解得m =n ＝1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知2011x +=，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0＜φ＜π，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .17．(本小题满分12分)(2014山东，理17)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且1CD =，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．分析：在第(1)问中，可考虑线面平行的判定定理，即从平面A 1ADD 1中找一条线与C 1M 平行，显然可找线AD 1，再通过证明四边形AMC 1D 1为平行四边形来达到求证目的．在第(2)问中，方法一：可以点C 为原点建立空间直角坐标系，求出平面C 1D 1M 和平面ABCD 的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值．方法二：平面C 1D 1M 即为平面ABC 1D 1，则平面C 1D 1M 与平面ABCD 所成角的棱为AB ，又已知CD 1⊥平面ABCD ，故可过C 向棱AB 作垂线，垂足为N ，连接D 1N ，则可证∠D 1NC 为二面角的平面角，进而在Rt △D 1CN 中求∠D 1NC 的余弦值即可．(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ， 所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点， 因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1， 可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形． 因此C 1M ∥D 1A ，又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解法一：连接AC ，MC ，由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形． 可得BC ＝AD ＝MC ，由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C －xyz .所以)A，B (0,1,0)，(1D ．因此1,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1122MD ⎛=-- ⎝，111,022D C MB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由1110,0,D C MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,y y -=+-= 可得平面C 1D 1M的一个法向量()=n ．又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,5CD CD CD ⋅==n n n所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5.解法二：由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接D 1N . 由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN=.所以1ND==在Rt△D1CN中，11cosCND NCD N∠===所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)18．(本小题满分12分)(2014山东，理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．分析：第(1)问中，恰有一次落在乙上可分为两种情况，第①种，从A击球落在乙上，从B击球没落在乙上；第②种，从B击球落在乙上，从A击球没落在乙上，将①②两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率．第(2)问中，根据事件的独立性与互斥性，可得出，①得0分情形为A，B处都不得分；②得1分情形为A处得1分B处不得分或A处不得分B 处得1分；③得2分情形为A，B两处各得1分；④得3分情形为A处得3分B处得0分或A处得0分B处得3分；⑤得4分情形为A处得3分B处得1分或A处得1分B处得3分；⑥得6分情形为A，B两处都得3分，共6种情形．列出小明得分之和ξ的分布列便可求出期望．解：(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则()312P A=，()113P A=，()01111236P A=--=；记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则()315P B=，()135P B=，()01311555P B=--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝1116530⨯=， P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝1113135656⨯+⨯=， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝131355⨯=， P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝11112255615⨯+⨯=， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝131111253530⨯+⨯=，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝1112510⨯=.可得随机变量ξ所以数学期望()91012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．(本小题满分12分)(2014山东，理19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令-114(1)n n n n nb a a +=-，求数列{b n }的前n 项和T n . 分析：第(1)问中可利用等差数列知识，用首项与公差表示出前n 项和，再根据S 1，S 2，S 4成等比数列求出首项，从而求得a n .求第(2)问时，可结合第(1)问中a n 的结果得出b n 的通项公式，最后对项数n 按奇数和偶数两种情况讨论并求出b n 的前n 项和T n .解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋212⨯×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋432⨯×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)11144(1)(1)2121n n n n n n nb a a n n --+=-=-(-)(+)111(1)2121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当n 为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以22,,212,.21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数 1211=21n n n T n -⎛⎫++(-) ⎪+⎝⎭或. 20．(本小题满分13分)(2014山东，理20)设函数()2e 2=ln x f x k x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．分析：第(1)问中可先求出f (x )的导函数f ′(x )，再解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0，即可确定f (x )的单调区间．第(2)问中，根据第(1)问结论可知k ≤0时不适合第(2)问，故k ＞0，再具体讨论k 值，要使f (x )在(0,2)内有两个极值点，则f (x )在(0,2)内必须出现增减增或减增减，即导函数f ′(x )出现正负正或者负正负．据此可列出不等式，最后求得k 的取值范围．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．()242e 2e 21=x x x x f x k x x x -⎛⎫'--+ ⎪⎝⎭ 323e 2e 22e ==x x x x k x x kx x x x-(-)(-)(-)-. 由k ≤0可得e x －kx ＞0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减，故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减，x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当00,ln 0,200ln 2g g k g k ()>⎧⎪()<⎪⎨()>⎪⎪<<⎩，，解得2e e<2k <. 综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21．(本小题满分14分)(2014山东，理21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 分析：在第(1)问中，可设D (t,0)，然后根据抛物线定义以及|F A |＝|FD |建立t 与p 的关系，再由△ADF 为正三角形求出p 的值，即得C 的方程．在第(2)问中，利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标，再设出A 点，利用与F 点关系求出点D ，从而确定l 的斜率．根据l 1与抛物线只有一个交点知，联立l 1与抛物线方程便只有一解．求出点E 坐标，从而求得AE 直线方程，结合方程特点，确定l 1过定点．最后利用点到直线的距离公式与基本不等式，可求出△ABE 面积的最小值．解：(1)由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设D (t,0)(t ＞0)，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为|F A |＝|FD |， 由抛物线的定义知322p p t +=-， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由234p t +=，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D ＞0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1.由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率02AB y k =-. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设E (x E ，y E )，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E AE E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y =-－－， 由200=4y x ，整理可得0204(1)4y y x y =-－，直线AE 恒过点F (1,0)． 当204y =时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)． 所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝000011(+1)1+2x x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1， 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故001x m y -=. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=-－， 由于y 0≠0， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=. 所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，1004+4x x x =+. 所以点B 到直线AE 的距离为d =4⎫==. 则△ABE的面积001142162S x x ⎫⎛⎫=⨯⋅++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当001x x =，即x 0＝1时等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为16.。
山东高考理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += （A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =I （A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4) （3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞U （D ）1(0,][2,)2+∞U（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根学科网（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 （5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是 （A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）42（C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为学科网 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.（12）在ABC∆中，已知tanAB AC A⋅=u u u r u u u r，当6Aπ=时，ABC∆的面积为. （13）三棱锥P ABC-中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ABE-的体积为1V，P ABC-的体积为2V，则12VV=.（14）若24()baxx+的展开式中3x项的系数为20，则22a b+的最小值为. （15）已知函数()()y f x x R=∈.对函数()()y g x x I=∈，定义()g x关于()f x的“对称函数”为()()y h x x I=∈，()y h x=满足：对任意x I∈，两个点(,())x h x，(,())x g x关于点(,())x f x对称.若()h x是2()4g x x=-()3f x x b=+的“对称函数”，且()()h x g x>恒成立，则实数b的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）已知向量(,cos2)a m x=r，(sin2,)b x n=r，设函数()f x a b=⋅r r，且()y f x=的图象过点(3)12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的学科网距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=o ，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望. （19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . （20）（本小题满分13分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.（21）（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，学科网交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.。
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2014年高考山东卷理科数学真题
及参考答案
一．选择题：本大题共
10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b
a ,,是虚数单位，若i a 与bi 2互为共轭复数，则2）（bi a （A ）i 45
(B)
i 45 (C) i 43 (D) i 43答案：D 2.设集合},]2,0[,2{},21{x y y B x x A x 则B
A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
答案：C
3.函数1)
(log 1
)(22x x f 的定义域为(A))2
10(， (B) )2(， (C) ),2()210(， (D) )2[]210(，，答案：C
4. 用反证法证明命题“设
,,R b a 则方程02b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是
(A)方程02b ax x
没有实根 (B)方程02b ax x 至多有一个实根(C)方程02b ax x
至多有两个实根 (D)方程02b ax x 恰好有两个实根答案：A
5.已知实数
y x,满足)10(a a a y x ，则下列关系式恒成立的是(A)11
1122y x (B) )1ln()1ln(22y x (C) y x sin sin (D) 33y x 答案：D
6.直线x y
4与曲线2x y 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4。