江苏省南通一中2018届高三专题复习之函数中的取点问题(无答案)
江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题(解析版)
1．.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.2．.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，直线过定点，若恒成立，可行域在直线下面，当直线过时，有最小值，最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3．.【解析】分析：由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用诱导公式得.点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.4．.【解析】分析：先证明为等比数列，求得，，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由，得，为等比数列，，，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.5．.【解析】分析：设甲食物重，乙两食物重，则，混合物重，利用线性规划可得结果.详解：点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 6．.【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8．.【解析】分析：函数恰有个零点，等价于与有个交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：在两图象有一个交点，在上有两个交点，只需在有一个交点即可，画出两函数图象，如图，由图可得，，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10．.【解析】分析：在斜中，，结合可得，利用基本不等式可得结果.又在中，，，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11．证明见解析.【解析】分析：设直线的方程为，，，则, 将代入，得，利用韦达定理,.详解：当与轴垂直时，此时点与点重合，从而，，.当点与点不重合时，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，则.点睛：探索定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.12．(1) .(2) 这台收割机使用年，可使年均收益最大.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到函数关系记使用年，年均收益为（元），利用基本不等式求最值即可解析：（Ⅰ）依题意，当，；，，即，解得，所以.（Ⅱ）记使用年，年均收益为（元），则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.13．(1) 函数的定义域为.(2) 当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.详解：（1）过点作，垂足为.在中,所以故所以据题意，，所以且当点重合于点时，所以函数的定义域为.（2）由（1）可知，当且仅当时，不等号取等号又故答：当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.14．(1) .(2) .试题解析：（1）设直线与轴的交点是，依题意，即,,,,即………①因为圆过两点，所以线段的中点的坐标为又………②由①和②得，所以圆心坐标为故所求圆方程为15．(1) .(2) .(3) .【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）是方程的两个正根，可得，则可化为，令，可得在上单调递增，所以；（3）对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，讨论的范围，令的最小值不小于零，可得到实数的取值范围.（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.16．(1) .(2)3个，证明见解析.详解：（1），则（2）不妨设，由令，原问题转化为关于的方程①最多有多少个解.下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解当时，考虑函数，则如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解当时，如果如果为奇数，则方程①变为显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①如果为偶数，则方程①变为，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个这样，最多有个正数满足方程①对于，同理可以证明，方程①最多有个解.综上所述，集合中的元素个数最多有个.再由（1）可知集合中的元素个数最多有个.点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.17．(1) .(2)分布列见解析，.共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.18．(1) .(2) 分布列见解析，.详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 19．(1) .(2) .详解：（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以，因为，所以，即，解得所以的长为.（2）因为，所以，又，故据图可知，二面角大小的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．(1) ，.(2) ①证明见解析. ②证明见解析.【解析】分析：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，；(2) 设求得,,利用斜率公式消去、可得直线的斜率为；②设点的横坐标分别为，求得，，根据中点坐标公式化简即可的结果.详解：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，②设点的横坐标分别为由①知，直线的方程为：令得，又直线的方程为：令得，所以所以是线段的中点.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．。
江苏高一数学基本初等函数中的零点问题分析含答案
江苏高一数学基本初等函数中的零点问题分析含答案一、题型特征与解答方法函数的零点，即是能让函数f (x )＝0成立时的x 的值，注意零点不是坐标点。
学习中要注意记住下面这个关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 零点存在性定理对于零点问题来说，运用非常灵活，是绝对要记住、理解并会运用的。
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系对于非二次函数形式的函数零点，一般会涉及分离参数、换元等等，需要根据图像单调性分析，区间内零点存在与否遵循零点存在性定理。
下面这道解答题，是一道老题，但近年以来一直是热点备考题型，2018年1月徐州高一期末、2018年10月无锡月考均出现在考卷上，变形题也非常多，这道题目不仅仅是考察根的问题，主要还用到换元、分类讨论等等方法，综合性很强，值得学习研究。
★已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在闭区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设xx g x f )()(=。
（1）求b a ,的值；（2）不等式02)2(≥∙-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围。
（3）方程03122)12(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x xk f 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围。
解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．（2）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+， 化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值范围是]1,(-∞．（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x ，令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ． 记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ② 解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．二、例题精炼题型一 二次函数零点问题此类问题主要是考察零点存在性定理的理解和直接运用，或者利用数形结合判断根的个数，或者利用图形判断根的大小，涉及参数问题一般是根据根的分布条件计算参数或根据参数范围讨论根的个数。
江苏2018届高考数学总复习专题2.4函数图象与方程试题含解析
专题2.4 函数图象与方程【三年高考】1．【2017高考江苏】设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是▲ ． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．2. 【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4【考点定位】函数与方程2．【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．4．【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5．【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】 试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.6．【2016高考天津文数】已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________. 【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥，因此的取值范围是12[,)33考点：函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7．【2015高考上海，理7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+==⇒=⇒-=⇒=8.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是______.【答案】{}|11x x -<≤【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集{}|11x x -<≤9. 【2015高考天津，文8】已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为________. 【答案】2【解析】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为12x +=-;当02x ≤≤ 时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--= ,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x > 时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为x =综上可得函数y ()()f x g x =-的零点的个数为2.10.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是__________.【答案】7,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<. 初等函数经过四则运算后的函数为背景，考查图象的变换或者根据函数解析式，通过考察函数的性质来判断函数图象；其次是方程的根或函数零点的问题.从近几年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．具体对函数图象的考查，主要包括三个方面，“识图”、“作图”、“用图”，其中包含函数图象的变换（平移、伸缩、对称）以及从已知图象提取信息的能力.对方程的考查，实质是对函数与方程思想的考查.一是借助有关基本初等函数的图象，把方程根的问题转化为求函数图象交点问题，把根的个数问题转化为函数图象交点个数问题；二是通过建立函数关系式，把方程问题转化为讨论函数性质的问题；三是直接解方程.所以函数图象与方程式密不可分的整体，方程问题最终归根于一“算”二“看”，所谓“算”就是通过代数的方程，经过对方程的等价变形，直到得到结果位置；所谓“看”就是数形结合，把根转化为交点问题处理，预测2018年仍然会有函数图象与方程的题目出现，而且会加大对函数图象和性质的考查力度，同学们在复习时要多加注意，多总结多质疑．预测2018年高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题，将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题．【2018年高考考点定位】高考对函数图象与方程的考查有二种主要形式：一是考察基本初等函数的图象、图象变换和提取信息能力；二是通过研究函数图象的交点，进而得方程根的分布. 【考点1】作函数图象 【备考知识梳理】（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 的图像的画法：先画0x ≥时()y f x =，再将其关于y 对称，得y 轴左侧的图像.()f x 的图像画法：先画()y f x =的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去.()()f a x f a x +=-Þ()y f x =的图象关于x =a 对称；()()f a x f a x +=--Þ()y f x =的图象关于(a,0）点对称. ()y f x =的图象关于轴对称的函数图象解析式为(y f x =-）；关于y 轴对称的函数解析式为(-y f x =）；关于原点对称的函数解析式为-(-y f x =）. (3)熟记基本初等函数的图象，以及形如1y x x=+的图象x +1x【规律方法技巧】 画函数图象的方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【考点针对训练】1.已知函数()|lg |f x x =.若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】(3，＋∞)【解析】画出|lg |y x =的图象如图：∵0a b <<，且()()f a f b =，∴|lg ||lg |a b =且01,1a b <<<，∴lg lg a b -=即1ab =，∴22,(0,1)y a b a a a =+=+∈，∵2y a a =+在(0,1)上为减函数，∴2131y >+=， ∴2a b +的取值范围是(3,)+∞.2．函数()21log f x x =+和()12xg x +=在同一直角坐标系下的图像大致是下列图象中的 ．【答案】（D ）【考点2】识图与辨图 【备考知识梳理】1．通过分析函数解析式特征，定性研究函数具有的性质或者经过的特殊点，从而判断函数大致图象．2. 根据已知图象，通过分析函数图象特征，得出函数具有的某些特征，进而去研究函数． 【规律方法技巧】 2. 识图常用方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．【考点针对训练】1..函数()cos xx y x e ππ=-≤≤的大致图象为④②③①【答案】① 【解析】令xe x xf cos )(=，则)()(cos )cos(x f e x e x x f xx -=-=-=--，即函数的图像关于原点对称，排除选项③,④;当2π=x 时，02)2(>=ππf ，排除选项②；所以选①.2．在下列A 、B 、C 、D 四个图象中，大致为函数)(22R ∈-=x x y x的图象的是 ．【答案】A【解析】首先注意到函数)(22R ∈-=x x y x是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，因此排除B 和D ，再当x=5时，y=25-52=7>0,故排除C ，从而选A ． 【考点3】判断方程根的个数有关问题 【备考知识梳理】方程()0f x =的根的个数等价于函数()y f x =的图象与轴的交点个数，若函数()y f x =的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题． 【规律方法技巧】 函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【考点针对训练】1.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数的取值范围是【答案】33[,]22- 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，则有1m =，所以1()22xxf x =-，可以作出的图象（如图1），再由图像变换可以得到图2. 3()(,),1,2()3()[,),1,2f x xg x f x x ⎧∈+∞>⎪⎪=⎨⎪-∈-+∞≤⎪⎩“函数()y g x t =-有且只有一个零点”等价于“函数1()y g x =与函数2y t =只有一个交点”，数形结合可以得到33[,]22t ∈-2．设函数*),1,[,1)(N n n n x n x f ∈+∈-=，函数x x g 2log )(=，则方程)()(x g x f =实数根的个数是_____________个. 【答案】2【考点4】与方程根有关问题 【备考知识梳理】（１）方程()0f x =有实根Û函数()y f x =的图象与轴有交点Û函数()y f x =有零点．（２）如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c (a b)∈，，使得f (c)= 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根 【规律方法技巧】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【考点针对训练】 1.已知函数3|lg()|,0()64,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩，关于x 的函数2()()3y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的范围为 .【答案】19]4【解析】如图作出函数()f x 的图象，(0)4f =因此只有在04m <<时直线y m =与()y f x =的图象有四个交点，所以要满足关于x 的函数2()()3y f x bf x =-+有8个不同的零点，则方程230t bt -+=在(0,4]上有两个不等实根，22120443030042b b b ⎧∆=->⎪-+≥⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得194b ≤．2.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于___________________. 【答案】6【解析】函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6．【两年模拟详解析】1. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数()24,0,3,0,x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】【解析】与相切时 （正舍），与相切时 ，与不相切.由图可知实数的取值范围为2．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，关于x 的方程()f x m =（m ∈R ）有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 则1234x x x x 的取值范围为 ． 【答案】（0,1）【解析】函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩的图象如图所示，关于x 的方程()f x m =恰有四个互不相等的实根1234,,,x x x x ，即函数()y f x =的图象与直线m y =有四个不同的交点，则10<<m ，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为1234x x x x <<<.当0>x 时，由对数函数的性质知2324log log x x =-，341x x =，当0<x 时，由22y x x =--的对称性知122x x +=-，又120x x <<，则120x x ->->，12()()2x x -+-=，所以2121212()()0()()[]12x x x x x x -+-<=--<=，所以，123401x x x x <<，故答案为(0,1).3．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】已知定义在R 上的函数f (x )存在零点，且对任意m ,n ∈R 都满足f [m ·f (m )＋f (n )]＝f 2(m )＋n ，若关于x 的方程|[()]3|f f x -＝1－log a x （a ＞0,a ≠1）恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________【答案】a ＞3【解析】∵f (x )存在零点，∴令f (x 0)＝0 ∴令m ＝x 0 ∴f [x 0·f (x 0)＋f (n )]＝f 2(x 0)＋n ∴f [ f (n )]＝n ∴|3|x -＝1－log a x 恰有三个不同的根，∴函数y=log a x 与函数y ＝1－|3|x -有三个不同的交点，因此log 3113aa a <>⇒>且．4．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ． 【答案】7【解析】由题意作出()y f x =在区间[]2,4-上的图像，与直线1y =的交点共有7个，故函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为75．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(－1－21e ，2) 【解析】令1x x y e -=，则2x xy e-'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e -=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e-=∈因此要使函数g (x )恰有3个零点，须2a <且211a e --<，即实数a 的取值范围为(－1－21e，2)6．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .【答案】0a <或2a >7．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若函数31()12x f x e x x =+--的图象上有且只有两点12,P P ，使得函数3()+mg x x x=的图象上存在两点12,Q Q ，且1P 与1Q 、2P 与2Q 分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是 ▲ .3 【答案】{22e e-} 【解析】由题意得)()(x f x g =有且只有两交点，即y m =与21(0)2x y xe x x x =--≠有两零点，因为(1)101xy x e x x '=+--=⇒=-，或0=x ，由图可知211+-=-e m 时满足条件.8．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】设0x 是函数()2xf x x =+的零点，且()0,1x k k ∈+，k Z ∈，则k= . 【答案】-1【解析】易知函数)(x f 单调递增，且0211010<-=->=)(,)(f f ,所以根据零点存在定理知，在区间（-1，0）之间有一个零点，故k=-1.9．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数()3|log |,034,3x x f x x x <≤⎧=⎨-+>⎩，若a<b<c 且()()()f a f b f c ==，则()2cab +的取值范围是 . 【答案】（27,81） 【解析】函数f(x)的图像如上图，结合图像并由已知a<b<c 且()()()f a f b f c ==，所以431<<<<<<c b a 31且b a 33log log =，解得ab=1,则()2cab +c 3=,),(43∈c ,所以),(81273∈c .故()2cab +的取值范围是（27,81）10．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________ 【答案】1(1,1)e+【解析】10,(),()0, 1.xx xx f x xe f x e xe x e'≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e'≤∈；当10x -<≤时，()[1,)f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e'>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e+【一年原创真预测】1.已知函数()y f x =是定义域为R ，且(1)f x -关于1x =对称. 当0x ≥时，，若关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=（a R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________________.又∵函数(1)f x -关于1x =对称，所以函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=，a ∈R 有且仅有6a x f =)(，a ∈R 共有且仅有6四个不同的实数根，所以必须且只需方程a x f =)(，a ∈R 有且仅有2个不同实数根，由图可知10≤<a 或【入选理由】本题主要考查函数零点与方程根之间的关系，以及零点判定定理的应用,体现了分类讨论和数形结合的数学思想,意在考查学生的分析和计算能力.函数零点，方程的根是高考考查的重点与难点，故选此题.2.已知函数⎩⎨⎧≤≤≤≤-+=-ex e nx x x x f 2,107|,1|)(，x x x g 2)(2-=，设a 为实数，若存在实数m ，使0)(2)(=-a g m f ，则实数a 的取值范围为________________.【答案】]3,1[-【解析】当07≤≤-x 时，]6,0[1)(∈+=x x f ，当e x e ≤≤-2时，]1,2[ln )(-∈=x x f ，故]6,2[)(-∈x f ，所以只需要]6,2[)(2-∈a g 即313212≤≤-⇒≤-≤-a a a【入选理由】本题主要考查函数的性质、方程的根等基础知识，意在考查学生转化与化归能力.将方程的根转化为函数的值域问题，此题构思较好，难度不大，故选此题．3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=)0(211)0(23)(2x x x x f x ，若关于x 的方程0)(=-tx x f 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围为 . 【答案】()+∞,2【解析】⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=)0(211)0(23)(2x x x x f x 的图像如图所示，显然当0<t 时，直线tx y =与)(x f 的图像只有一个交点；当0>t 时，直线tx y =与)(x f 的图像在第一象限一定存在一个交点，若直线tx y =与)(x f 的图像有三个交点，则直线tx y =与)(x f 的图像在第三象限有两个交点；先研究直线tx y =与)(x f 的图像在第三象限的相切情况；设直线tx y =与)(x f 的图像在第三象限相切于点()b a ,，则斜线方程为)()211(2a x a a y --=---，代入)0,0(，得22211a a =+，解得2-=a ，此时2=t ；所以直线tx y =与)(x f 的图像有三个交点，则2>t.【入选理由】本题考查转化与化归、数形结合的思想方法，将方程0)(=-tx x f 恰有3个不同的实数根转化为两个函数)(x f y =与tx y =的图象有3个交点.，意在考查数形结合的数学思想,学生的分析和计算能力.给出方程的根的个数，求参数的范围，像这一类题比较少见，故选此题.。
江苏省南通第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
江苏省南通第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.2． 复数i i -+3)1(2的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351-【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．3． 已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=4． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72 C． D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．5． 二项式(1)(N )n x n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．6． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 7． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.658． 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 9． 函数的定义域为（ ）ABC D10．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如下：由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 11．已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,}2- D ．{}212．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞；②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.15．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．16．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。
南通市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
B．（0，+∞）
C．（﹣9，+∞） D．（﹣∞，﹣9） ） D．484
8． 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求取出的这些卡片 不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为（ A．232 B．252 C．472
9． 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对任意的 x R ，有 f ( x 2) f ( x) f (1) ，且当
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．
三、解答题
19．已知等差数列{an}满足 a2=0，a6+a8=10． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和．
20．如图，椭圆 C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率 e=
，且椭圆 C 的短轴长为 2．
）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 4． 如图，函数 f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜ 称中心是（ ） ）的图象过点（0， ），则 f（x）的图象的一个对
A．（﹣
，0）
B．（﹣
，0）
C．（
，0）
D．（
，0）
5． 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜ ）
三、解答题
19． 20． 21． 22． 23． 24．
第 6 页，共 6 页
21．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=3，且 2Sn=an+1+2n． （1）求 a2； （2）求数列{an}的通项公式 an； （3）令 bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
【全国百强校】江苏省南通中学高三高考小题专题复习数学练习：函数的图象
一、填空题：（共 12 题，每题 5 分）
4
1、函数 y x 3 的图象是
．
①
②
③
④
2、若 y f ( x) 为偶函数，则下列点的坐标在函数图象上的是
．
① (a, f ( a))
② (a, f (a))
③ ( a, f ( a))
④ ( a, f ( a))
3、将函数 y 2 x 的图象向左平移一个单位，得到图象 C1，再将 C1 向上平移一个单位得到图
.
12、定义在区间（－ ∞，＋ ∞）上的奇函数 f ( x) 为增函数，偶函数
象与 f ( x) 的图象重合、设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：
① f (b) f ( a) g (a) g( b)
② f (b) f ( a)
③ f ( a) f ( b) g(b) g ( a)
④ f (a) f ( b)
13、如图 ,已知底角为 450 的等腰梯形 ABCD, 底边 BC 的长为 7,腰长为 2 2 ,当一条平行于
AB 的直线 L 从左至右移动时 ,直线 L 把梯形分成两部分 ,令 BF=x, 试写出左边部分的面积 y
与 x 的函数解析式 ,并画出大致图象、 yAED1B
C
F
5
x
O
5
1
象 C2，则 C2 的解析式为
．
4、当 a 0 时，函数 y ax b 和 y bax 的图象只可能是
．
5、已知 f x 是偶函数 ,且图象与 x 轴有 4 个交点 ,则方程 f x 0 的所有实根的和是
．
6、当 a＞ 0 且 a≠１时，函数 f (x)= ax－ 2－ 3 必过定点
．
7、已知函数 f(x) 是 R 上的增函数 ,A(0, － 1)、B((3,1) 是其图象上的两点 ,那么 |f(x+1)| <1 的解集
【全国百强校】江苏省南通中学高三高考小题专题复习数学练习：函数的单调性与奇偶性
南通中学数学高考小题专题复习练习函数的单调性与奇偶性考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束。
将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题：（共12题，每题5分）1、函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 ．2、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ．3、函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ．4、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 的单调递减区间为 ．5、下面说法正确的选项为 ．①函数的单调区间可以是函数的定义域②函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间③具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称④关于原点对称的图象一定是奇函数的图象6、若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ． 7、函数()f x 在R 上增函数，图象过(2,2),(1,2)A B --，则不等式|(2)|2f x -<的解集________．8、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围__________. 9、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 10、下列函数具有奇偶性的是 ． ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y .11、已知8)(32009--+=xb ax x x f ，10)2(=-f ，则(2)f = . 12、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若 方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数、函数的单调性与奇偶性1．2b ≤- 2． 1---=x y 3．]0,21[-和),21[+∞ 4．]1,2[-提示：函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[- 5．①③ 6. 12 提示：12(),()()2112xx xf x a a f x f x --=+=+-=--- 21121()21122112122x x x x x x a a a a ⇒+=-+⇒=-==----故7．(0,3) 8．a>12 9. 13＜x ＜23提示：由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜2310．①④提示：①定义域),0()0,(+∞⋃-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数、 ②定义域为}21{不关于原点对称.该函数不具有奇偶性、 ③定义域为R ，关于原点对称，且x x x x x f +≠-=-44)(，)()(44x x x x x f +-≠-=-，故其不具有奇偶性、 ④定义域为R ，关于原点对称， 当0>x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=+-=---=-；当0<x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=---=+-=-；当0=x 时，0)0(=f ；故该函数为奇函数、 故填①④11．-26提示： 已知)(x f 中xb ax x -+32005为奇函数，即)(x g =x b ax x -+32005中)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f 、 12．-8 提示：:因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设123x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-１３．221)1()1()]([)(++=++=+==x x x x f x f f x g 、)()()(x f x g x G λ-=λλ--++=22422x x x )2()2(24λλ-+-+=x x)()(21x G x G -)]2()2([2141λλ-+-+=x x )]2()2([2242λλ-+-+-x x22121212()()[(2)]x x x x x x λ=+-++-由题设当121-<<x x 时， 0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++>-++4211)2(2221x x ， 则4,04≤≥-λλ 当0121<<<-x x 时， 0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++<-++4211)2(2221x x ， 则4,04≥≥-λλ 故4=λ.。
南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．π2． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．（￢p ）∨q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）3． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）A ．5B ．3C ．2 D．4． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．15． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A ．-5B ．-4 C.-2 D ．3 6． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC === ,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）7． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B = （ ） A ．{2,1,1}-- B ．{1,1,2}- C ．{1,1}- D ．{2,1}-- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．9． 方程x= 所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分10．设集合（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知，则tan2α=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个二、填空题13．函数()x f x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 .14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．15．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 16．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中,,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠= , 四 边形绕着直线AD 旋转一周.（1）求所成的封闭几何体的表面积； （2）求所成的封闭几何体的体积.18．（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．19．（本题12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且2sin a B ．111] （1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC ∆的面积．20．已知函数()2ln f x x bx a x =+-.（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()00f x '>．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.22．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．23．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．2．【答案】B【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，可推出￢p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．3．【答案】D【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．4．【答案】C【解析】考点：指数函数的概念． 5． 【答案】B 【解析】试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31y 22x z =+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 6． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时， ()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象. 7． 【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?1123+22622创创?15=，故选C ．4646101011326E VD CBA8． 【答案】C【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B = {1,1}-，故选C ． 9． 【答案】C【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），表示的曲线为双曲线的一部分；故选C ．【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．10．【答案】B【解析】解：集合A中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜， 集合B 中的解集为x ＞，则A ∩B=（，+∞）． 故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．【答案】C 【解析】解：∵，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．12．【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ； ∴A ⊆B ∩C={0，2}∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B ．二、填空题13．【答案】2e 【解析】试题分析：()(),'xxxf x xe f x e xe =∴=+ ，则()'12f e =，故答案为2e .考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.14．【答案】 （，） ．【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2=1，① ∵点A （2，0），点B （0，3）， ∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b 时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C 的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【答案】816．【答案】49【解析】解：==7a4=49．故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．三、解答题17．【答案】（1）(8π+；（2）203π． 【解析】考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积. 18．【答案】（1）332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）．【解析】试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，⇒ 223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为.考点：三角函数的图象与性质. 19．【答案】（1）3π=A ；（2）337=∆ABC S . 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理AaB b sin sin =及b B a 3sin 2=，便可求出A sin ，得到A 的大小；（2）利用（1）中所求A 的大小，结合余弦定理求出bc 的值，最后再用三角形面积公式求出1sin 2ABC S bc A ∆=值.试题解析：（1）由b B a 3sin 2=及正弦定理A a B b sin sin =，得23sin =A .…………分 因为A 为锐角，所以3π=A .………………分（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得3622=-+bc c b ，………………分又8=+c b ，所以328=bc ，………………分所以3372332821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC .………………12分 考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.20．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】试题解析： （1）()2af'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；（2）22626()6ln '()21x x f x x x x f x x x x--=--⇒=--=，因为函数()f x 的定义域为0x >，令(23)(2)3'()02x x f x x x +-==⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，（3）当1a =时，函数2()ln f x x bx x =+-，21111()ln 0f x x bx x =+-=，22222()ln 0f x x bx x =+-=，两式相减可得22121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，所以12120121212ln ln 2'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+ 212121221221122112211121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦设211xt x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，∴2222214(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，∴()0h t >，又2110x x >-，所以0'()0f x >．考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 21．【答案】（1）x y 82=；（2）964. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218k k x x +=+，22212188k k x x +-=.12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。
江苏省南通市第一中学2018届高三数学模拟练习题一(无答案)
南通市第一中学2018届高三数学模拟练习题一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð ．2. 已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位．若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ．5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ．6. 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，B ＝45°，则BC 的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ．12．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________． 14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x 2－1－x 2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足：QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证： △PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形(B ，C 全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①： 以l 1为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②： 以l 2为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与l 1或l 2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； (2) 设l 1的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19. (本小题满分16分)设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且q ≠1，d ≠0.记c i ＝a i ＋b i (i ＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c 1，c 2，c 3不是等差数列；(2) 设a 1＝1，q ＝2.若数列c 1，c 2，c 3是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； (3) 数列c 1，c 2，c 3，c 4能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，ABDOC（第21—A 题）点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．（1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．（第22题）。
南通市一中2018-2019学年上学期高一数学期末考试卷附答案详析
南通市一中2018-2019学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆AB ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2- C ．3(1,)2D ．3(,3)23．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( ) A ．B ．10C ．D ．44．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．设函数f （x ）（x ⊆R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．32C ．0D ．12-6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15B ．15C ．6D ．67．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为 （ ） A ．3-B ．6-C ．2-D ．83-8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S >9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x x x ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜010．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2⊆D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.12．已知,αβ都是锐角，21sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=_____. 13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f（2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.14．已知向量a r=（2，sinθ），br =（1，cosθ），若a r ⊆br，则221sin cos θθ+的值为______． 15．⊆ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ⊆R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B U 、()RA B ⋂ð；（2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．18．已知函数()261fx x x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（⊆）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值； （⊆）求6sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围.21．如图，有一块矩形草坪ABCD，AB=100m，BC=503m，欲在这块草屏内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且⊆EOF=90°.（1）设⊆BOE=α，试求⊆OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.22．已知a⊆R，函数f（x）=x2﹣2ax+5.（1）若a>1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2| 1对x⊆[13，12]恒成立，求实数a的取值范围.解析南通市一中2018-2019学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆A B ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误；对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2 D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算.3．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( )A ．B ．10C ．D ．4【答案】C【解析】试题分析：()2223369a b a ba ab b +=+=+⋅+r r rr rr r r ,,所以.【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.4．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由()2f x ﹣2f （x ）=0，得f （x ）=0或f （x ）=2，根据函数f （x ）是分段函数，再分类讨论求解. 【详解】 因为()2f x ﹣2f （x ）=0，所以f （x ）=0或f （x ）=2，当x <0时，f （x ）1x=<0，∴()0f x ≠且()2f x ≠， 当0x ≥时，f （x ）=|x ﹣2|，令f （x ）=0得，x =2；令f （x ）=2得，x =4或0， 综上：方程()2f x ﹣2f （x ）=0的根的个数是3个，故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数与方程问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 5．设函数f （x ）（x ⊆R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．32C ．0D ．12-【答案】A【解析】由函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .，将问题转化为11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 再求解. 【详解】因为函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x . 所以11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 又当0x π≤<时，f （x ）=0， 所以506f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以1155511sin 0666622πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求值问题，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题. 6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15 B ．15C ．6D ．6【答案】C【解析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解. 【详解】 ∴3m =2n =k ，∴m =log 3k ，n =log 2k ， ∴32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2， ∴k 2=6， 又0k>Q∴6k =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为 （ ） A ．3- B ．6-C ．2-D ．83-【答案】B【解析】如图建立坐标系，()()()0,23,2,0,2,0AB C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v， ()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y y ∴⋅+=--⋅--=+-u u u v u u u v u u u v()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B ．点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用．坐标法后得到函数关系，求函数的最小值．向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法．8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S >【答案】A【解析】由题意得,弧AQ 的长度与AP 相等,利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积12,S S ,比较其大小,即可求得答案. 【详解】设线段OP 与圆O 交于点B ,Q 直线l 与圆O 相切,∴ OA AP ⊥ ∴12AOP S OA AP =⋅⋅V 又Q »12AOQ S AQ OA =⋅⋅扇形,»AQ AP = ∴AOP AOQ S S =V 扇形∴ AOP AOQ AOB AOB S S S S -=-V 扇形扇形扇形即12S S = 故选:A. 【点睛】本题考查了求阴影部分的之间关系,解题关键是掌握扇形面积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x x x ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜0【答案】C【解析】根据分段函数的单调性；首先使各段单调递减a +1≤0、a ＜0，再使整体单调递减32(1)1a ++…，解不等式组即可.【详解】根据题意，若函数22(1)401()1a x a x x f x xx ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+2（a +1）x +4递减，有a +1≤0， 当x ＞1时，f （x ）=a x 为减函数，必有a ＜0，综合可得：10032(1)1a a a +⎧⎪<⎨⎪++⎩„…，解可得﹣2≤a ≤﹣1；故选：C ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意使函数整体单调递减，属于易错题.10．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2⊆D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070【答案】D【解析】根据代数式的结构，探究f （2﹣x ）+f （x ）=-4，得到函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，令12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ，再用倒序相加法求解. 【详解】∴f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sin π（2﹣x ）﹣3+x +sin πx ﹣3=2﹣x ﹣sin πx ﹣3+x +sin πx ﹣3=﹣4， ∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称， 设12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ， 则f （40352018）+f （40342018）+…+f （22018）+f （12018）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018）+f （40352018）]=4035×（﹣4）， ∴S =﹣2×4035=﹣8070， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性及倒序相加法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.【答案】{1，3}【解析】先根据韦恩图，得到阴影部分表示的集合为U N M I ð再求解. 【详解】因为集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，由韦恩图得，阴影部分表示的集合为U N M I ð所以{}1,3UNM ⋂=ð 故答案为：{1，3} 【点睛】本题主要考查了集合中的韦恩图，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 12．已知,αβ都是锐角，21sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=_____. 【答案】264+ 【解析】试题分析： 因为,αβ都是锐角，221sin cos ,cos(),(0,)2223(0,)sin()22αααβαβππαβαβ=∴=+=+∈∴+∈∴+=Q则cos cos[()]cos()cos sin()sin 12322622224ββααβααβαα=+-=++++=⨯+⨯=进而得到结论为264+ 【考点】本题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用．点评：解决该试题的关键是构造角的思想，注意已知中角的范围的限制，对于求解函数值的正负号，有着关键性的作用．13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．已知向量a r=（2，sinθ），br =（1，cosθ），若a r ⊆br，则221sin cos θθ+的值为______． 【答案】23. 【解析】由向量共线为载体，建立关于角θ的三角函数关系式，借助三角恒等变形可求解本题答案 【详解】(2,sin ),(1,cos )a b θθ==r r ，a b rr ∥sin 2cos tan 2θθθ⇒=⇒=()22222222tan 421tan 2423sin sin cos sin cos cos θθθθθθθθ====+++++ 【点睛】通过向量共线去得出关于θ的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．15．⊆ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.【答案】52-【解析】由点M 是边BC 的中点，得到12AM =u u u u r（AB AC +u u ur u u u r ），又BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，再用数量积公式求解. 【详解】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =u u u u r（AB AC +u u ur u u u r ）， 又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以12AM BC ⋅=u u u u r u u u r （AB AC +u u u r u u u r ）⋅（AC AB -u u u r u u u r ）12=（22AC AB -u u u r u u u r ）52=-，故答案为：52-. 【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ⊆R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 【答案】103π【解析】根据题意，令f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，解得零点为x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∴Z ），易知相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π，再根据f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点，来确定b ﹣a 的最小值. 【详解】因为函数f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，令f （x ）=0，则2sin （2x 3π-）﹣1=0，所以s in （2x 3π-）12=，解得：x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∴Z ），因为相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π， 所以若f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点， 则b ﹣a 的最小值为21034333πππ⨯+⨯=，故答案为：103π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的零点，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B U 、()RA B ⋂ð；（2）若A B A =I，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}RA B x x =-<<Ið；(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B U 的值，由补集定义可得{|1R A x x =<ð或7}x >，进而由交集的定义计算可得()RA B ⋂ð，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：∴、当A =∅时，有123m m ->+，∴当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=， 又{|1R A x x =<ð或7}x >，则(){|21}RA B x x =-<<Ið；（2）根据题意，若A B A =I ，则A B ⊆，分2种情况讨论：∴当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ∴当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 18．已知函数()261fx x x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（⊆）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值； （⊆）求6sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）11,32-；（2）（∴）3；（∴）3226+ . 【解析】（1）令()2610f x x x =+-=，解一元二次不等式即可.（2）由α为锐角，得13sin α=.（∴）利用诱导公式将原式化简再求值. （∴）由两角和的正弦公式求解. 【详解】 （1）令()2610f x x x =+-=，解得13x =或12x =-，所以函数的零点是13 和12- .（2）因为α为锐角， 所以13sin α=. （∴）()()()132tan cos tan cos sin sin sin cos sin πααααπααααπα+⋅-⋅===⋅⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭. （∴） 由α为锐角，所以223α=cos ， 所以13221322632326sin πα+⎛⎫+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭.. 【点睛】本题主要考查了函数的零点，三角函数化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1-，f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1]. 【解析】（1）根据()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，得到f （x ）是奇函数， 则f （x ）+f （﹣x ）=0，恒成立，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为x 2（a 2﹣1）=0求解.根据a 的值，f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），再利用复合函数的单调性确定单调区间.（2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，转化为k 11x x +=--x ，在[2，3]上有解，再求得g （x ）11x x +=--x ，x ∴[2，3]值域即可. 【详解】（1）因为()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，所以f （x ）为奇函数， 所以f （x ）+f （﹣x ）=0，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以1﹣a 2x 2=1-x 2，即x 2（a 2﹣1）=0，所以a =﹣1或a =1（舍去），所以f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），定义域为（﹣∞，﹣1）U （1，+∞）. 所以f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间. （2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，即11x x +=-x +k ，得k 11x x +=--x ， 令g （x ）11x x +=--x ，x ∴[2，3]， 则g （x ）=121x +--x 在x ∴[2，3]上单调递减，且f （2）=1，f （3）=﹣1， 所以k 的取值范围是[﹣1，1]. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性及对数方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围. 【答案】（1）22；（2）[1242-，1242+].【解析】(1)根据题意设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-，22），表示出向量+u u u r u u u r OC OD 的坐标，再利用模的公式求解.（2）设OC=u u u r（cosα，sinα），E （0，12-），D （12，0），分别表示出向量CE u u u r 与向量DE u u u r 的坐标，由数量积公式得到CE DE ⋅uur uuu r 22=sin （α4π+）14+，再用三角函数的图象和性质求解. 【详解】(1)设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22-，22）， ∴OC OD +=u u u r u u u r （t 22-，22），2+u u u r u u u r OC OD =（t 22-）212+，（0≤t ≤1）， ∴t 22=时，OC OD +u u u r u u u r 的最小值为22. （2）设OC=u u u r（cosα，sinα），0≤α32π≤，E （0，12-），D （12，0），∴CE =u u u r （﹣cosα，12--sinα），DE =uuu r （12-，12-），∴12CE DE ⋅=u u u r u u u r cosα12+sinα1242+=sin （α4π+）14+，∴032πα≤≤， ∴4π≤α744ππ+≤， ∴sin （α4π+）∴[﹣1，1]，∴22sin （α4π+）14+∴[1242-，1242+].∴CE DE ⋅uur uuu r的取值范围是：[1242-，1242+].【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100m ，BC =503m ，欲在这块草屏内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且⊆EOF =90°.（1）设⊆BOE =α，试求⊆OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]；（2）当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000（2+1）元.【解析】（1）在Rt∴BOE 中，求得50OE cos α=，在Rt∴AOF 中，求得500F sin α=，再根据∴EOF =90°，利用勾股定理求得2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，然后求得周长.结合图形，当点F 在点D 时，角α最小，点E 在点C 时，角α最大，求得定义域.（2）根据题意，铺路总费用最低，则∴OEF 的周长l 的最小，即求l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∴[6π，3π]，的最小值. 【详解】（1）在Rt∴BOE 中，OB =50，∴B =90°，∴BOE =α∴50OE cos α=， 在Rt∴AOF 中，OA =50，∴A =90°，∴AFO =α，∴500F sin α=， 又∴EOF =90°，∴2222505050()()EFOE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，∴l =OE +OF +EF 505050cos sin cos sin αααα=++， 即l ()501sin cos cos sin αααα++=，当点F 在点D 时，角α最小，此时求得6πα=；当点E 在点C 时，角α最大，此时求得3πα=，故此函数的定义域为[6π，3π]； （2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求∴OEF 的周长l 的最小值即可， 由（1）得，l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∴[6π，3π]， 设si nα+cosα=t ，则212t sin cos αα-⋅=，所以()()2501501100112αααα+++===--sin cos t l t cos sin t ， 因为α∴[6π，3π]，所以5712412πππα≤+≤，所以13sin cos 2sin [,2]42t πααα⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，所以311212t -≤-≤-， 从而121311t +≤≤+-， 当4πα=，即BE ＝50时，()10021min l =+，∴当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000（2+1）元.【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了建立函数和运算求解的能力，属于中档题. 22．已知a ⊆R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； （2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ⊆[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤.【解析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∴[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∴f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，∴f （x ）在[1，a ]上单调递减，∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∴[13，12]恒成立， 令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]， 所以g （x ）max =g （25）258=，所以258a ≥. 令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]， 所以h （x ）min =h （12）=7，所以7a ≤.综上：2578a ≤≤. 【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。
江苏省南通中学高考数学复习 小题专题 函数综合练习(含解析)
南通中学数学高考小题专题复习练习函数综合训练一、填空题(共12题，每题5分）1、 函数1lg y x x =-+的定义域为2、当x∈（1,2）时,不等式()21log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围是 .3、已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数,且函数()8+=x f y 为偶函数，则 f （7） 与 f （10）的大小关系为 .4 、函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为 ． 5、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是6、已知定义在实数集上的奇函数f （x )始终满足f (x +2)=－f （x ），且当0≤x ≤1时，f (x ）=x ，则)215(f 的值等于 7、函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为8、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞上单调递增，又()30f -=，则()0xf x > 的解集为 .9、若方程ln 620x x -+=的解为0x ，则不等式0x x ≤的最大整数解是 。
10、 已知函数()f x 是偶函数,并且对于定义域内任意的x ，满足()()12f x f x +=-,若当23x <<时，()f x x =,则()f x 是以_________为最小正周期的周期函数，且()2003.5f =_______．11、定义在R 上的偶函数f (x ）满足(1)()f x f x +=-,且在［－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x ）的判断:① f （x )是周期函数；② f (x ）关于直线x =1对称；③ f （x ）在［0，1]上是增函数;④ f (x )在［1，2］上是减函数；⑤ f （2）= f (0）.其中正确判断的序号为___（写出所有正确判断的序号)。
2018届江苏高考数学专题练习---函数
2018届江苏高考数学专题练习——函数1. 已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 ．2. 设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(2x x x x x f ，则满足2))((2))((a f a f f =的的取值范围为 ．3. 已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x R ∀∈恒成立，则2m a b +-= ．*4. 已知函数f (x )＝e x -1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ． 5. 已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6xx 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是 ．*6. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是 .7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为20am ⎡⎤⎣⎦，，则实数a 的取值范围是 . *8. 若存在实数，使不等式2e 2e 10x x a +≥-成立，则实数的取值范围为 ．9. 设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩，，若关于的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数的取值范围是 ．*10. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ．11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ．12. 若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 . 13. 已知实数x ，y 满足约束条件若不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，则实数m 的最大值是 . 14.函数f (x )＝1lg x＋2－x 的定义域为________.15.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为________. 16.设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的最大值为________.17.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝3，则a ＝________.18.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________.19.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.20.已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________. 21.设函数,则满足的a 的取值范围_______.(类2)（注：“*”为难题）2018届江苏高考数学专题练习——函数参考答案1. 【答案】（1,2）.【解析】1()4102x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，由2220234x x x x x ⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩得1<x<2. 2.3.4. 【答案】(－∞，0)∪1，+∞)．5.6. 【答案】102m -≤<.【解析】法一：由题意得：当0m ≥时，函数2()222f x x mx =+-的对称轴02m-≤，且(0)1f =-， 所以，此时()f x 在[]0,1上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞没有零点.所以，0m ≥不符合 题意．当0m <时，函数2()221f x x mx =+-的对称轴02m->，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1 上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞至多有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点，则要求012221020m m m ⎧<-≤⎪⎪+-≥⎨⎪+>⎪⎩，解之可得102m -≤<.综上：102m -≤<7.8. 【答案】[1,)-+∞【解析】2e 2e 10x x a +≥-2221212,(0),21 1.xx xe a t t t t t a e e-⇒≥=-=>-≥-∴≥- 9. 【答案】()1,72⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭.【解析】当1a ≤-，函数()f x 有最大值2a -，此时24a a ->， 解得0a <，又因为1a ≤-，所以1a ≤-；当12a -<≤，函数()f x 有最大值2，此时24a >解得12a <，又12a -<≤，所以112a -<< 当2a >，函数()f x 无最大值，因为取不到33a a -，所以334a a a ->即370a a ->解得0,a <<或a>又因为2a >，所以a >；综上所述，的取值范围是()1,72⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭.10. 【答案】(1，2]．【解析】f (f (x ))＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点． 11. 【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．12. 【答案】{2}13. 【答案】2513【解析】作出线性约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，显然，A (2，3)，B (3，3)，令目标函数z=y x ，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，从而1≤z ≤32.不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，也就是m ≤222()x y x y ++恒成立，令u=222()x y x y ++，则u=1+222xyx y +=1+2x y y x+=1+21z z +1≤z ≤32，当1≤z ≤32时，2≤1z +z ≤136，从而1213≤21z z+≤1，所以2513≤1+21z z+≤2，于是m ≤2513，即实数m 的最大值为2513.14.(0，1)∪(1，2]15. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.16.解析 函数f (x )图象的对称轴x ＝－a －22，则函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a －22上单调递减， 在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a －22，＋∞上单调递增，所以2≤－a －22，解得a ≤－2. 17. e 或1e18. 画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0<a <1. 答案 (0，1)19. 依题意，不等式f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (ln t )＋f (－ln t )＝2f (|ln t |)≤2f (1)，即f (|ln t |)≤f (1)，又|ln t |≥0，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，因此有|ln t |≤1，－1≤ln t ≤1，1e ≤t ≤e ，即实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e .20.解析 利用等价转化思想求解.函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，即方程f (x 2)＋f (k －x )＝0只有一解.又f (x )是R 上的奇函数，且是单调函数，所以f (x 2)＝－f (k －x )＝f (x －k )，即x 2－x ＋k ＝0只有一解，所以Δ＝1－4k ＝0，解得k ＝14.21.。
江苏省南通中学高考数学复习小题专题函数及其表示方法练习(含解析)
南通中学数学高考小题专题复习练习函数及其表示方法一、填空题（共12题，每题5分）1、若函数2()2f x x x =-，则)3(f =________．2、点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________．3、下列各组中的两个函数是同一函数的为________． ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 4、已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x =________．5、已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．6、若函数 1 (<1)()(1)x x f x x +⎧=⎨≥⎩2x ，则(1)f -=______. 7．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =________．8、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 .9、集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.10、若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .11、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满、 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .12.设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为 时,22αβ+有最小值为南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式、函数及其表示方法1．3 ； 2．（2，-1） ； 3．（4） ； 4． - 3 ； 5．π+1 ； 6．0；7.234π- 8．提示：327223,(72)32f p q =⨯∴=+ 9． 4 ;10．()()a b c a b c *+=+*; 11．1920(),*20x y x N =⨯∈ ； 12．1-，1/2． 13.显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时， PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
预备知识：
函数的零点：函数
)(x f 的零点⇔方程0)(=x f 的实数根⇔函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标．
函数零点存在性定理：若函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条不间断的曲线，且
0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点．
函数零点存在性定理（加强）：若函数
)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条不间断的曲线，且函数)(x f y =在区间),(b a 上单调，又0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有且只有唯一零点．
常用不等式：
，x
x x x x x x x x e x x x x x 1ln ,11ln ,ln ,21ln ,1ln ,ln ,1ln ->-≥<<≤<-≤ )1(11),0(,,12<-≤>>>+≥x x
e x x e x e x e x x x x 典型例题：
例1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e a 1,
0，求证：函数ax x x f -=ln )(有两个零点．
变式1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e a 1,
0，求证：函数)0(,ln )(>+-=b b ax x x f 有两个零点．
变式2 已知函数
)0(,)(>-=λλx e x f x ，求证：函数)(x f 在区间)0(∞+，有且只有
一个零点．
变式3 已知函数
x e x x f )-1)(2（=，求证：当1<a 时，存在()+∞∈,0x ，使得 函数
1)(+>ax x f ．
课堂小结：
课后作业：
1．设⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e a 1,
0，求证：函数x a x x f +=ln )(有两个零点．
2．已知函数f (x )＝a ＋xlnx (a ∈R )，求证：当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0e a 时f (x )有两个零点．
3．
已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2.证明：对任意给定的正数a ， 总存在正数m ，使得当x ∈(m ，＋∞)时，恒有f (x )>g (x )成立．
4．已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.
若01,1a b <<＞
，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.
5．已知函数)2(),1(ln )1)(>--+=a x a x x x f （，求证：函数)(x f 有三个零点．。