高三复习专题 函数的图像(含答案)
【高三数学专题复习】三角函数图像性质(含解析)
专题2 三角函数的图象和性质【老师预测】（1） 三角函数的图象和性质是历年高考中的必考知识点，在高考中，客观题和解答题均会出现，大多以中、低档题为主，主要集中考查三角函数的周期、图象、单调性、值域或最值几个方面，解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图象及其性质，避免失分。
（2）函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质是高考中的必考知识点，在高考中，主要集中考查图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正余弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换、向量结合起来综合考查，需多加强数形结合思想的应用意识。
【知识精讲】一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 二、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法与变换 （1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图. 2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 【典例精练】考点一 三角函数的定义域例1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的定义域为________________． 【解析】由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 故答案为：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z 例2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 【方法点睛】(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的要求； (2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值例3．．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.故答案为：⎣⎡⎦⎤π3，π例4．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．【解析】令t ＝sin x . ∵|x |≤π4∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 【方法点睛】三角函数值域或最值的3种求法 (1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解；(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求． 考点三 三角函数的图象与性质例5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________. 【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称 ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0 ∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|＜π2∴θ＝π3.故答案为：π3例6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 【解析】由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又∵x ∈[0，π]∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 故答案为：⎣⎡⎦⎤0，π4 例7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3. ∴ω＝32.故答案为：32【方法点睛】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． 考点四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换例8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.【解析】由题意可得f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，因为函数y ＝f (x )的图象过原点，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 故答案为：3π4.例9．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为 3sin 2()3y x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ. ∵所得的函数为偶函数∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z) ∵0＜φ＜π2∴k ＝－1，得φ＝5π12.故答案为：5π12.【方法点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种作法【注】 平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 考点五 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________.【解析】由题图知A ＝1，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π＝2πω，得ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，所以φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z)或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)(舍去，因为f (0)＜0)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π3＝32. 故答案为：32. 例11．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为______． 【解析】∵0＜x ＜π，ω＞0 ∴ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，ωπ＋π3， 又∵函数当且仅当x ＝π12时取得最大值∴⎩⎨⎧ωπ＋π3≤5π2，πω12＋π3＝π2，解得ω＝2.故答案为：2.【方法点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中参数的方法（1）求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；（2）求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；（3）求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：作业：【名校新题】一、填空题1．（2019·常州第一中学高三月考）将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()f x 的图像，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值为____． 【解析】由题意，将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()()sin 2sin 2266f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，若函数()f x 是偶函数，则262k ππϕπ-+=+，即26k ππϕ=--，k Z ∈，所以3πϕ=， 故答案为：3π．2．（2019·南京二模）若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______. 【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为2π，所以2==2.ππωω∴，所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 因为函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin(=10,36ππϕϕπϕ+<<∴=Q ），.所以()f x =2sin(2)6x π+，所以()2sin()426f πππ=+=3．（2019·高邮期初模拟）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【解析】0x πQ ≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点. 故答案为：3.4．（2018·江苏高考真题）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 故答案为：6π-. 5．（2019·启东中学开学考试）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32， 故答案为：32． 6．（2019·高邮开学考试）设*N ω∈且10ω≤则使函数sin y x ω=在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调的ω的个数是______.【解析】由于函数在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故在区间(,)43ππ上有对称轴，由sin y x ω=，有πππ2π,(),()2k x k k Z x k Z ωω+=+∈=∈，故ππππ2,()43k k Z ω+<<∈，由于0>ω，故有42,()332k k Z k ωω<+⎧⎪∈⎨>+⎪⎩，即3342,()0102k k k Z ωω+<<+∈<≤∴Q 1,2k =，求得5,8,9ω=. 故答案为：3.7．（2019·苏锡常第二次调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为_______．【解析】因为函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称， 所以cos 123ππω⎛⎫⨯-=± ⎪⎝⎭，所以()23k k Z ππωπ⨯-=∈. 解得：()223k k Z ω=+∈，又0>ω， 所以当0k =时，ω最小且为23.故答案为：23.8．（2019·常州期末）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________.【解析】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝k 1π+π2,k 1∈Z ,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣π2．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为π2． 故答案为：π2．9．（2019·镇江考前模拟）若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点( 2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭故答案为：1.10．（2019·南通3月联考）已知角ϕ的终边经过点(12)P -，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则()π12f 的值为____．【解析】角ϕ终边经过点()1,2P -，则sin5ϕ==-，cos 5ϕ==∵()f x 两条相邻对称轴之间距离为3π∴23T π=，即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x ϕ=+sin sin cos cos sin 12444f ππππϕϕϕ⎛⎛⎫⎛⎫∴=+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：. 11．（2019·南京一模）设函数π()sin()3f x x ω=+，其中0>ω．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．【解析】()f x 取零点时x 满足条件()3k x k Z ππωω=-+∈，当0x >时的零点从小到大依次为 123258,,333x x x πππωωω===，所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得：54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 12．（2018·无锡期中）已知定义在区间[,]44ππ-上的函数()2sin cos (0)f x a x x b a =+<的最大值为4，最小值为52，则________.a b ⋅= 【解析】因为()()2sin cos sin2f x a x x bf x a x b =+=+，x ,44ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 所以2x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],f x a b a b ∈+-+, 从而35394.2131644a a b ab a b b ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪∴=-⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩， 故答案为：3916-. 13．（2019·盐城期中）若函数()sin3(01)f x x m m =-<<的所有正零点构成公差为d (d ＞0)的等差数列，则d ＝_______．【解析】设第一个正零点为0x ，则第三个正零点为02x d +，由题意得00π3(2)3π.6x d x d +-=∴= 故答案为：6π.14．（2019·徐州期中）已知函数()sin()f x x π=-223，若12()()4f x f x ⋅=-，且[]12,,x x ππ∈-，则12x x -的最大值为______．【解析】1212()()2sin(2)2sin(2)433f x f x x x ππ⋅=-⨯-=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ-⨯-=-令1sin(2)3x π-＝1，2sin(2)13x π-=-，则11(2)223x k πππ=++，21(2)223x n πππ=-+.∴12x x -＝1(22)2k n πππ-+＝1[2()]2k n ππ-+＝1(2)2m ππ+，m ，n ，k 都是整数∵[]12,,x x ππ∈- ∴[]122,2x x ππ-∈-， ∴12x x -的最大值为13(2)22πππ+=. 故答案为：32π. 15．（2019·苏北四市期末）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为：12．16．（2019·海门第二次调研）将函数f(x)=sin2x 的图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间[0，π2]上的值域为_____________. 【解析】由题得y=g （x ）=sin2(x −π6)=sin(2x −π3), 因为0≤x ≤π2,∴0≤2x ≤π,∴−π3≤2x −π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x −π3)≤1.所以函数y=g(x)的值域为[−√32,1].故答案为：[−√32,1].17．（2018·江苏泰州中学高三月考）将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图像仍过点(3π，则ϕ的最小值为__________．【解析】将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>）得到sin 2()y x ϕ=-，代入点(3π得：2sin(2)23πϕ=- ，因为0ϕ>，所以当22=33ππϕ-时，第一个正弦值为2的角，此时6π=ϕ. 故答案为：6π. 18．（2019·常州期中）将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的x 1、x 2有|x 1−x 2|min =π3，则φ=______． 【解析】因为函数f(x)=sin2x 的周期为π，函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后, 得到函数g(x)sin(2x −2φ)的图象．满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的可知，f (x 1)、g(x 2)一个取最大值一个取最小值 因为x 1−x 2|min =π3， 若x 1=π4，x 2=7π12，f(x)在x 1=π4取最大值，g(x)在x 2=7π12取得最小值，sin(2×7π12−2φ)=−1， 此时φ=−π6，不合题意， x 1=3π4，x 2=5π12， f(x)在x 1=3π4取最小值，g(x)在x 2=5π12，取得最大值，sin(2×5π12−2φ)=1，此时φ=π6，满足题意．故答案为：π6．二、解答题19．（2019·扬州调研）已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间；（2）若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z. ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)． （2）由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点． 由（1）知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2， 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3，∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解． ∴实数m 的取值范围为(－2,1]．20．（2019·连云港调研）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点． （1）求f (x )的解析式；（2）将函数f (x )图象上所有点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域．【解析】（1）∵函数f (x )的最小正周期为π. ∴2πω＝π，解得ω＝2. 又点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点， ∴A ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. （2）由题意得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，2x ＋5π6∈⎝⎛⎭⎫11π6，17π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈(－1,2]， 故g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域为(－1,2]．。
第10讲 函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1， 【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0， 【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，
高考数学复习重点知识专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)
高考数学复习重点知识专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数||()122x xx f x =+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】函数图像的识别，通常利用性质+排除法进行判断： 利用函数的奇偶性排除B ，利用特殊点的坐标排除A 、C. 【详解】 由||()22x xx f x -=+，得()f x 的定义域为R ，(0)0f =，排除A 选项． 而||()()22x xx f x f x --==+，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除B 选项．()1141421,1152522f f ⎛⎫====< ⎪⎝⎭+，排除C 选项． 故选：D ．2．（2021·浙江·高三月考）函数sin 2x y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断当3,22x x ππ==的符号，可排除AC ，求导，判断函数在()0,π上的单调性，可排除D ，即可得出答案. 【详解】解：由()()sin 02x y f x x x==≠得，1310,0223f f ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除AC ， ()2cos sin 2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，当0πx <<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在()0,π上递减， 所以()()00g x g <=在()0,π上恒成立， 即()2cos sin 02x x xf x x-'=<在()0,π上恒成立， 所以函数()f x 在()0,π上递减，故排除D. 故选：B.3．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知215()sin ,()42f x x x f x π⎛⎫+⎪⎭'=+ ⎝为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】求出导函数，判断导函数的奇偶性，再利用特殊值即可得出选项. 【详解】22co 151()si s n424f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-，∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D.又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2021·浙江·高二开学考试）函数())ln cos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】确定奇偶性，可排除两个选项，然后确定函数在3[,2]2ππ上的单调性可再排除一个选项，从而得正确选项． 【详解】())cos())cos ()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-，()f x 是奇函数，排除AB ，在3[,2]2x ππ∈时，由复合函数单调性知)y x =是增函数，且)0y x =>，又cos y x =增函数，且cos 0y x =>，所以)cos y x x =是增函数，而y x =是增函数，所以()f x 是增函数，排除D ． 故选：C ．5．（2021·浙江金华·高三月考）函数|ln()|x ay x a +=-的图象，不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的定义域、值域以及特殊值对四个选项中的函数图像一一分析即可判断.【详解】对于A ，当0a =时，ln xy x=，其定义域为{}0,1x x x >≠，且0y >恒成立，故A 正确； 对于B ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a >-时，0y >，当x a <-时，0y <，故B 正确；对于C ，由函数定义域可知，0a >，当1x a -=时，函数无意义，且0y ≥恒成立，故C 正确；对于D ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a <-时，0y <，但图中0y >，不满足条件，故D 错误； 故选：D.6．（2021·全国·高三专题练习）函数2x y π=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由02x <<时()0f x >，排除B 和C ；再探究出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 【详解】当02x <<时，sin 02x π>，所以()sin02xy f x π==>，故排除B 和C ；又(2)(2)sinsin()22x xf x f x ππ--===，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．7．（2021·天津市新华中学高三月考）函数23sin ()x x x x x f x e e--=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性排除A,D,再根据(1)0f >，排除C 即得解. 【详解】解：根据题意，23sin ()x x x x x f x e e--=+，其定义域为R ，有23sin ()()x xx x xf x f x e e---==+，则函数f (x )为偶函数，排除A ，D ， 3sin11(1)01f e e-=>+，排除C ， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证. 8．（2021·全国·高三专题练习）函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性()()f x f x -=-；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解. 【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为2e 12e 1()1cos cos cos e 1e 1e 1x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-++⎛⎫=+⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，并且()()00e 1e e 1e ()cos cos cos e 1e e 1ex x xx x xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A C ，；当()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =，而cos 0x =的根是2x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，可排除D . 故选:B 【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.9．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分析函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()()2322sin log sin log f x x x x x x ππ=⋅⋅=⋅，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()22sin log sin log f x x x x x f x ππ-=-⋅-=⋅=-，函数()f x 为奇函数，排除AC 选项；当01x <<时，0x ππ<<，()sin 0x π>，则()0f x <，排除D 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠， 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x 时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．（2022·全国·高三专题练习）函数()122cos cos 4421x x f x x x ππ+-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先将()f x 的解析式化简，然后判断()f x 的奇偶性，再根据()f π的取值特点判断出对应的函数图象. 【详解】因为()12221cos cos 2442121x x x x f x x x x x x x ππ+⎫⎫--⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅⋅+⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222121cos sin cos22121x x x x x x x --=⋅-=⋅++， 所以()()()2112cos 2cos22112x xx x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++且定义域为R 关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，排除A 和C ；由()21cos2021f ππππ-=>+，排除B ， 故选：D ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数()ln |||sin |,(f x x x x ππ=+-≤≤且0)x ≠的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据解析式判断奇偶性，在0x π>>上0x +→有()f x →-∞，利用导函数，结合函数图象分析0x π>>内极值点的个数，即可确定正确函数图象. 【详解】函数()ln |||sin()|ln |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，(x ππ-≤≤且0)x ≠是偶函数，A 不合要求． 当0x π>>时，()ln sin f x x x =+：当0x +→，()f x →-∞，C 不合要求；而1()cos 0f x x x'=+=时，1,cos y y x x==-在0x π>>上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点. D不合要求，B 符合要求.故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x ，()g x 满足()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】依题意得()()()221=4x x f x g x e e --⋅，根据奇偶性定义知()h x 为奇函数，再结合特征点即可得答案． 【详解】因为()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得()()()()11=,=22x x x xf x e eg x e e --+- 所以()()()221=4x x f x g x e e --⋅，则()()()22sin 4cos 2=x xx x h x f x g x e e π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅- ()h x 定义域为{}0x x ≠因为()()224cos x xxh x h x e e --==--，故()h x 是奇函数，则B ，D 错；当02x π<<时，()224cos 0x xxh x e e -=>-，则C 正确，故选：C 【点睛】思路点睛：函数图象的识别可以以下方面入手： （1）从函数定义域判断； （2）从函数单调性判断； （3）从函数奇偶性判断； （4）从函数特征点判断．14．（2021·湖南·长郡中学二模）函数sin cos 4411()x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题首先可通过()()f x f x -=-判断出函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，然后取04x π<≤，通过sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断出此时()0f x <，即可得出结果.【详解】 因为sin cos cos sin 44441111()()x x x x f x f x ee e e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝==-⎭⎝⎭，x ∈R ，所以函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，当04x π<≤，442x πππ<+≤，sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411x x e e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411()0x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝，B 错误，故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查函数图像的判断，在判断函数的图像的时候，可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性、函数值的大小、是否过定点等函数性质来判断，考查数形结合思想，是中档题.15．（2021·福建龙岩·高一期末）已知函数()cos6x xxf x e e -=-，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】 对于函数()cos6x xxf x e e-=-，0x x e e --≠，解得0x ≠，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()()cos 6cos6x xx xx xf x f x e e e e----==-=---，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项， 当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，60,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos60x >且0x x e e -->，此时，()0f x >，排除A 选项. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.16．（2021·湖北武汉·高一期末）函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()333222()()222222x xx x x x x xx x x x f x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(32()2222x x x xx x x x x y f x --+-===++，故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 17．（2021·全国·高三专题练习（理））函数()x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的奇偶性，以及当0x >时，()f x 的符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 设())lng x x =，对任意的x ∈Rx x >≥-0x >，则函数()g x 的定义域为R ，())ln xxg x x-==)()lnx g x ==-=-，所以，函数())ln g x x =为奇函数，令())ln0g x x ==1x =1x =-，所以，10x -≥，可得1x ≤1x =-可得()2211x x +=-，解得0x =. 所以，函数()x x f x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222x x x xf x f xg x g x --++-==-=--，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，)ln ln10x >=，220x x -+>，所以，()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.18．（2021·全国全国·高三月考（理））已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--⋅-=-+⋅-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎣⎦， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.19．（2020·全国全国·模拟预测（文））函数()()ee sin 32xx xf x -+⋅=在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除A,再结合π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除C ，最后讨论函数在对应区间内的零点个数即可得答案. 【详解】∵()()()()()e e sin 3e e sin 322xx xx x f f xx x --+⋅-+⋅==-=--，∴()f x 是奇函数，排除A ．当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ．由()0f x =得sin30x =，又15153,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴30x =或π±或2π±，∴()f x 在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查了函数的奇偶性，考查数形结合思想，属于基础题．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.20．（2020·山西·河津中学高三月考（理））函数(),()sin f x x g x x x ==+，则()()()h x f x g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由()h x 为偶函数，故排除选项B ，当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数，()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D ，从而可得出()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C ，得到答案.【详解】()(sin )h x x x x =+，则()()()()sin sin h x x x x x x x h x -=---=+=，所以()h x 为偶函数，故排除选项B. 当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数.()1cos 0g x x '=+≥恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D. 设120x x <<，则()()120f x f x <<，()()120g x g x << 则()()()()()()121122g g h x h x f x x f x x -=-()()()()()()()()11121222g g g g f x x f x x f x x f x x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+-由条件()10f x >，()()12g g 0x x -<，则()()()()112g g 0f x x x -<()2g 0x >，()()120f x f x -<，则()()()()212g 0x f x f x -<所以()()()()()()()()112212g g g 0f x x x x f x f x -+-<，即()()12h x h x < 因此()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.。
专题导数图像(有答案)
1．函数的图象如图1所示，则的图象可能是（D）2．函数的部分图象大致为( D ).3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点( B ) 个 B2个 .C3个 .个4．当时，函数的图象大致是（B ）\5．.已知在R上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为( B )A． B．C． D．6．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( C )A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)（6）（7）7．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如下图所示，则( D )A．极大值为，极小值为 B．极大值为，极小值为C．极大值为，极小值为 D．极大值为，极小值为8．设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为( D )9．当a>0时，函数f(x)＝(x2－2ax)e x的图象大致是( B )10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)11．[2013·浙江高考]已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( B )12．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( D )A．B．－C．D．－或13．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ D ）A B CD14．已知其导函数的图象如图，则函数的极小值是（D ）A B． C． D．c15．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( A )个 B2个 .C3个 .个16．设函数的图像如左图，则导函数的图像可能是下图中的（D）17．设函数在定义域内可导，的图像如右图，则导函数的图像可能是（ C ）18．是的导函数，的图像如右图所示，则的图像只可能是（ D ）19．设函数在R上可导,其导函数,且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（ C ）20．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（ C）21．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( C )．A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值22．已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( D )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)23．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)下面四个图象中，的图象大致是 ( C )24．函数的导函数的部分图象为（D ）A B CD25．函数的图象大致为（A）。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数的图像及其应用(二)(含解析)
《函数的图像及其应用》（二）考查内容：主要涉及利用函数图像研究函数的性质、利用函数图像解不等式等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数3211,0()32,0x x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则2(3)(2)f x f x ->的解集为（ ） A ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(3,1)- C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,3)-2．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ） A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞3．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-4．已知在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()2f x x x =-，则关于x 的不等式()()2f f x ≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．[]3,3-D ．[]4,4-5．已知函数()f x 是定义在[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()31xf x ≥-的x 的取值范围是( )A ．[)(]1,00,1-B ．[](]4,20,1--C ．[][]4,22,4-- D ．[)[]1,02,4-6．函数()[](),y f x x ππ=∈-的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅≥的解集为( )A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．][,0,22πππ⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．0,22ππ⎧⎫⎡⎤-⋃⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪C ．[1,-∪D ．[1,-∪1] 8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[2,0]-B ．[4,0]-C ．[2,1]-D ．[4,1]-9．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞D ．4[,)3-+∞10．已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(2⎤-⎦B ．(2⎤-⎦C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-11．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()210f x ->的解集为（ ）A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),53,-∞-+∞D ．()(),33,-∞-+∞12．设函数2()min{|2|,,|2|}f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．下列说法错误的是 A ．函数()f x 为偶函数B ．若[1,)x ∈+∞时，有(2)()f x f x -≤C ．若x ∈R 时，(())()f f x f x ≤D ．若[]4,4x ∈-时|()2|()f x f x -≥二．填空题13．如图所示，已知奇函数()y f x =在y 轴右边部分的图像，则()0f x >的解集为_________．14．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若|()|f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是__________15．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.16．设()(),()()0f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为__ 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题：（1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．18．已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≤；（2）当[2,2]x ∈-时，|()||1|f x a ≥+有解，求实数a 的取值范围.19．已知函数()()20f x x a x a =-+>． （1）解不等式()2f x a ≥；（2）若函数()f x 的图象与直线2y a =围成的图形的面积为6，求实数a 的值．20．已知函数()()()()22102201log 1x x f x x x x x ⎧+≤⎪=-+<≤⎨⎪>⎩（1）画出()y f x =的简图，并指出函数值域；（2）结合图象，求当()1f x >时，x 的取值范围．21．设函数()121f x x x =+--.（1）画出()y f x =的图象；（2）当(],0x ∈-∞时，()f x ax b ≤+，求-a b 的最大值.22．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且[)0,x ∈+∞时，()[]()222,0,11,1,x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.（1）求(),0x ∈-∞时()f x 的解析式；（2）在如图坐标系中作出函数()f x 的大致图象；（3）若不等式()f x k ≤恰有5个整数解，求k 的取值范围.《函数的图像及其应用》（二）解析1.【解析】当0x <时，()321132f x x x =-，()2f x x x '=- ()0,0x f x ∴'，()f x 单调递增，且0x →时，()0f x →，∴()0f x <当0x ≥时，()xf x e =单调递增，且()()01f x f ≥=因此可得()f x 单调递增，()()232f x f x ∴->可转化为232xx ->解得31x -<<，故选B 项.2.【解析】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 3.【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <；由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >； 又()y xf x =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号 故不等式()0xf x <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C4.【解析】因为()y f x =是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()2f x f x x x =-=+。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =， 因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（ ）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ． 考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点 【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项， 又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图， 显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0， 则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ， 由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数， 当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=， 分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点， 即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用 考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元 【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确； 综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆 当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆 故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确 综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题 考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩， 所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->， 解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.5517.52101010I I --==， 则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =， 两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ． 考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =， 所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭， 综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元 故答案为：200, 10000元。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质2含解析
三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.函数y＝lgcos x的定义域为( )A. (2k π，＋2kπ)(k∈Z)B. (－＋2k π，＋2kπ)(k∈Z)C. (k π，＋kπ)(k∈Z)D. (－＋k π，＋kπ)(k∈Z)2.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上的全部点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最终得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3.将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A. B.C. D.4.函数y＝cos－2x的单调递增区间是()A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)5.函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.6.函数在定义域内零点的个数为A. 3B. 4C. 6D. 77.下列函数中最小值为8的是（）A. B. C . D.18.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象的一条对称轴是直线，则ω的最小值为．9.函数的单调减区间为（）A. B.C. D.10.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】9.【答案】A10.【答案】解：（1），∴函数的最小正周期为．令，得，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为，（2），．，且在上单调递增，，即．3。
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
高中数学高考总复习---三角函数的图像及性质巩固练习题(含答案解析)(基础、提高)
高中数学高考总复习---三角函数的图像及性质巩固练习题（含答案解析）（基础、提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016浙江高考）设函数，则的最小正周期A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关2.函数是（）(A)周期为的奇函数(B)周期为的奇函数(C)周期为的偶函数(D)周期为的偶函数3.函数的单调递增区间为（）(A)(B)(C)(D)4.（2016全国新课标Ⅱ）函数的部分图像如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）5.的单调递增区间是（以下）（）(A)[](B)[](C)[](D)[]6.函数的最小值和最大值分别为（）(A)－3，1(B)－2，2(C)－3，(D)－2，7.若函数的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（）(A)(B)(C)(D)二、填空题8.的最小正周期为，其中，则.9.函数的最大值为________．10.（2015上海高考）已知函数f（x）=sin x．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m N*），则m的最小值为．11．函数为增函数的区间________.三、解答题12.已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.13.（2015重庆模拟）已知的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及A，x0的值；（Ⅱ）求f（x）在上的取值范围．14.设函数,其中向量，,且函数的图象经过点，（1）求实数m的值；（2）求函数的最小值及此时x的值的集合.15.设函数f(x)＝的图像关于直线x＝π对称，其中为常数，且(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像经过点，求函数f(x)的值域．【参考答案与解析】1.【答案】B【解析】,其中当b=0时，，显然最小正周期为T=π；当时，，显然最小正周期为T=2π.所以的最小正周期与b有关，而c不影响周期。
北京四中 高考数学总复习：知识梳理_函数的图象(基础)
函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。
6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。
【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点． (2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。
届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用(共58张PPT)
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例 1] 作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|； [解] 作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图 象中 x≥0 的部分，加上 y＝12x 的图象中 x>0 部 分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象， 如图中实线部分．
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； [解] (2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移 1 个 单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可 得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图． (3)因为 y＝2xx－－11＝2＋x－1 1，故函数图象可 由 y＝1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图．
(2)伸缩变换：
f(ωx) ． y＝f(x)―0―<AA>―<1―，1，―横横―坐坐―标―标不―不变―变，―，纵―纵―坐坐―标标―伸缩―长―短为―为原―原来―来的―的―AA倍―倍→ y＝ Af(x) ．
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝－f(x) ； y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝ f(－x)； y＝f(x)―关―于―原――点―对―称→y＝ －f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉―y轴y―轴右―左边―边的―图―图， ―象―保翻―留折―y到轴―左―右边―边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的 留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段
AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，
左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是
专题 函数的图像变换结论总结(练习及答案)高三数学总复习
第88讲 函数的图像变换结论总结一、点的变换设(),P x y ，则它1．关于x 轴对称的点为(),x y -．2．关于y 轴对称的点为(),x y -．3．关于原点对称的点为(),x y --．4．关于直线y x =对称的点为(),y x ．5．关于直线y x =-对称的点为(),y x --．6．关于直线y b =对称的点为(),2x b y -．7．关于直线x a =对称的点为()2,a x y -．8．关于直线y x a =+对称的点为(),y a x a -+．9．关于直线y x a =-+对称的点为(),a y a x --．10．关于点(),a b 对称的点为()2,2a x b y --．11．按向量(),a b 平移得到的点为(),x a y b ++．二、曲线的变换曲线(),0F x y =按下列变换后所得的方程：1．按向量(),a b 平移，得到(),0F x a y b --=．2．关于x 轴对称，得到(),0F x y -=．3．关于y 轴对称，得到(),0F x y -=．4．关于原点对称，得到(),0F x y --=．5．关于直线x a =对称，得到()2,0P a x y -=．6．关于直线y b =对称，得到(),20F x b y -=．7．关于点(),a b 对称，得到()2,20F a x b y --=．8．关于直线y x =对称，得到(),0F y x =．9．关于直线y x a =+对称，得到(),0F y a x a -+=．10．关于直线y x a =-+对称，得到(),0F a y a x --=．11．纵坐标不变，横坐标变为原来的a 倍，得到方程,0x F y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 12．横坐标不变，纵坐标变原来的b 倍，得到方程,0y F x b ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 三、两个函数的图像性质1．左右平移：()()0y f x a a =±>的图像可由()y f x =的图像向左()+或向右()-平移a 个单位得到．2．()()0,0y f mx a m a =±>>的图像可由()y f mx =的图像向左()+或向右()-平和多a m个单位而得到． 3．上下平移：()()0y f x b b =±>的图像可由()y f x =的图像向上()+或向下()-平移b 个单位而得到．4．()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称，换句话说：()y f x =与()y g x =若满足()()f x g x =-，则它们关于0x =对称．5．()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于x 轴对称，换句话说：()y f x =与()y g x =若满足()()f x g x =-，则它们关于0y =对称．6．()y f x =--的图像与()y f x =的图像关于原点对称．7．()y f x =的图像可如此得到()y f x =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方，其余不变．（下翻上）8．()y f x =的图像：保留()y f x =的图像在y 轴右侧的部分，并沿y 轴翻折到y 轴左边部分代替原y 轴左边部分．（去左翻右）9．()y f x a =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称． 10．()y f a x =-与()y f x b =-关于直线2a b x +=对称． 11．()y f x =与()2y a f x =-关于直线y a =对称，换种说法：()y f x =与()y g x =若满足()()2f x g x a +=，则它们关于点(),a b 对称．12．()y f x =与()22y b f a x =--关于点(),a b 对称，换种说法：()y f x =与()y g x =，若满足()()22f x g a x b +-=，则它们关于点(),a b 对称．13．()1y f x -=与()y f x =关于直线y x =对称．14．()1y f x -=--的图像与()y f x =的图像关于直线y x =-对称．15．函数()y f a mx =+的图像与()y f b mx =-的图像关于直线2b a x m -=对称． 16．函数()y f x =与()a x f a y -=-的图像关于直线x y a +=成轴对称．17．伸缩变换：()()0y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍而得到．18．()()0y f kx k =>的图像，可将()y f x =的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1k而得到． 四、单个函数的图像性质1．对任意x ，()()f x f a x =-⇔()y f x =的图像关于直线2a x =对称． 2．对任意x ，()f x a +是偶函数⇔()y f x =关于x a =对称．3．对任意x ，()()f x a f b x +=-()y f x ⇔=的图像关于直线2a b x +=对称． 4．若函数()y f x =对定义域中的任意x 的值，都满足()()f a mx f b mx +=-，则函数()y f x =的图像关于直线2a b x +=对称．5．若函数()y f x =对定义域中的任意x ，都满足()()f a mx f b mx +=-，则函数()y f mx =的图像关于直线2a b x m+=对称． 6．对任意x ，()()0f x f a x +-=⇔()y f x =的图像关于点,02a ⎛⎫⎪⎝⎭对称． 7．对任意x ，()f x a +是奇函数⇔()y f x =关于(),0a 对称．8．对任意x ，()()0f x a f b x ++-=()y f x ⇔=的图像关于点,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称． 9．若函数()y f x =对定义域中的任意x 的值，都满足()()0f a x f b x ++-=，则函数()y f x =的图像关于点,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称． 10．若函数()y f x =对定义域中的任意x ，都满足()()0f a mx f b mx ++-=，则函数()y f mx =的图像关于点,02a b m +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称． 11．()y f x =的图像关于点(),a b 对称⇔对任意的x ，()()2f a x f a x b ++-=；更一般地：若()()f a x f b x c ++-=，则()y f x =的图像关于点,22a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称． 12．若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数()y f x =是周期函数，且2b a -是一个周期．13．若()f x 有两个对称中心(),0a 和(),0b ，则函数()y f x =是周期函数，且2b a -是一个周期．14．若()f x 以x a =为对称轴，且以(),0b 为对称中心，则函数()y f x =是周期函数，则4b a -是函数()f x 的一个周期．15．若()()f x A f x B +=+，则()f x 是周期函数，B A -是它的一个周期．16．对于非零数学A ，若函数()y f x =满足()()f x A f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A ．17．若函数()y f x =对任意实数x ，都有()()f x A f x B M +++=，则函数()y f x =必有一个周期为2B A -．18．对于非零常数A ，函数()y f x =满足()()1f x A f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A ． 19．对于非零常数A ，函数()y f x =满足()()1f x A f x +=-，则函数()y f x =的一个周期为2A ．20．对于非零常数A ，函数()y f x =满足()()()11f x f x A f x -+=+，则函数()y f x =的一个周期为2A ．21．对于非零常数A ，函数()y f x =满足()()()11f x f x A f x ++=-，则函数()y f x =的一个周期为4A ． 22．对于非零常数A ，函数()y f x =满足()()()2f x A f x f x A +=++，则函数()y f x =的一个周期为6A ．五、直线一般式的对称问题对称轴方程为0Ax By C ++=，则1．点(),A x y 与(),B x y ''关于直线0Ax By C ++=对称，则()()222222A Ax By C x x A B B Ax By C y y A B ++⎧'=-⎪⎪+⎨++⎪'=-⎪⎩+． 2．函数()y f x =与()()222222B Ax By C A Ax By C y f x A B A B ++++⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭关于直线0Ax By C ++=成轴对称．3．(),0F x y =与()()222222,0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭关于直线0Ax By C ++=成轴对称．。
高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)
4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________； （2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 课堂练习1、 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、 函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 考点二 三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间 解 （1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期． 解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________． 解析 要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________． 解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间． 又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______． 解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π， 所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
函数的图象(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向12 函数的图象【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． （2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．(1)若()()f m x f m x +=-恒成立，则()y f x =的图像关于直线x m =对称.(2)设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()y f x m =-与()y f m x =-(0)m >的图象关于直线x m =对称.(3)若()()f a x f b x +=-，对任意x ∈R 恒成立，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称. (4)函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称. (5)函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称. (6)函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）； 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y f x -=与()y f x =的图像关于y x =对称. （3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到.1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像. 【详解】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln sin f x x x =+B ．()ln cos f x x x =-C ．()ln cos f x x x =+D ．()ln sin f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A,D;利用特殊值可判断C;结合三角函数性质以及函数的奇偶性，可判断B. 【详解】对于A ，()ln sin ,0f x x x x =+≠，()ln sin ()f x x x f x -=--≠，即()ln sin ,0f x x x x =+≠不是偶函数，不符合题意；对于C, ()ln cos ,0f x x x x =+≠，()πln πcos π=ln π11f =+-<，不符合题意； 对于D ，()ln sin ,0f x x x x =-≠，()ln sin ()f x x x f x -=-+≠，不符合题意； 对于B ，()ln cos ,0f x x x x =-≠，()ln cos ()f x x x f x -=--=， 故()f x 为偶函数，结合函数cos y x =的性质，可知B 符合题意， 故选:B3．（2022·浙江·三模）函数1sin 22x xxy -+=+在区间[,]-ππ上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】直接由特殊点通过排除法求解即可. 【详解】 当0x =时，12y =，排除C 选项；当2x π=-时，0y =，排除B 、D 选项.故选：A.4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．5．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】根据,,0a b 的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当0a b >>时，A 正确；当0b a >>时，B 正确； 当0a b >>时，D 正确；当0b a >>时，无此选项． 故选：ABD ．1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数()2222x xx xf x -+=+的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x xx xf x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC 即可得解. 【详解】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象关于原点对称，函数是奇函数， 1x >时()0f x >， 据此，ln ()||xf x x =定义域不符合，排除A; 若 ()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，则1x >时，()0f x <，不符合图象，故排除B ；若()()1(0)e 1e (0)x x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩，则当x 趋向于0+时，1()e x x f x -=趋向于1-，当x 趋向于0-时，()(1)e xf x x =+趋向于1，不符合图象，故排除C; 故选：D3．（2022·湖北·模拟预测）函数()[]()0,1y f x x =∈对任意()10,1a ∈，由()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列{}n a 均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由题可得()n n f a a >，进而可得函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，即得. 【详解】由题可知()()*1n n a f a n +=∈N ，1n n a a +>，∴()n n f a a >，故函数()f x 满足()f x x >，即函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，故排除BCD. 故选：A.4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()2ln1(),cos x x f x a R x a+=∈+的图像如图所示，则实数a 的值可能是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域分析即可 【详解】由题意，2210x x x x x x +->-=-≥，故210x x +->，分子一定有意义.又根据图象可得，当23x π=时分式无意义，故此时分母为0，故2cos 03a π+=，即102a -+=，12a =故选：C5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））函数sin 22cos x xy x=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 设()sin 22cos x x f x x =-，分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 设()sin 22cos x xf x x=-，则对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则()()()()sin 2sin 22cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，则sin 20x >，所以()0f x >，排除C ．故选：A ．7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数， 与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()44f ππ=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．8．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()()2()ln 1cos 3f x x x x ϕ=++⋅+.则当[0,]ϕπ∈时，()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】首先设()()2ln 1g x x x =+，得到()g x 为奇函数，再分别令0,,2πϕπ=，依次判断选项即可.【点睛】设()(2ln 1g x x x =+，定义域为R ，()()((()2222ln 1ln 1ln 10g x g x x x x x x x +-=++-+=+-=， 所以()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.当0ϕ=时，cos3y x =为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项B 可能. 当ϕπ=时，()cos 3cos3y x x π=+=-为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =-+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以选项A 可能. 当2ϕπ=时，cos 3sin 32y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为偶函数，(2()ln 1sin3f x x x x =-+⋅为偶函数.因为()20033f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，，所以选项C 可能. 故选：D9．（2022·吉林·三模（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x=A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A 【解析】 【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值． 【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x=>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数 故选：A ．10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =【答案】A 【解析】 【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ．11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．22cos ()ln 2cos xf x x x +=+-B ．32cos ()ln 2cos xf x x x+=-C ．32sin ()ln 2sin xf x x x+=+-D ．22sin ()ln2sin xf x x x+=-【答案】B 【解析】 【分析】观察图象确定函数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项. 【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，由图象可得(2)0f <，对于函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-，因为()()()222cos 2cos ()lnln ()2cos 2cos x xf x x x f x x x+-+-=-+=+=---，所以函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-为偶函数，A 错，对于函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-，()32sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-+=-+， 所以函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-为奇函数，又32sin 2(2)2ln02sin 2f +=+>-，与图象不符，故C 错误， 对于函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-，()22sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-=-+， 所以函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-为奇函数，又22sin 2(2)2ln02sin 2f +=>-，与图象不符，故D 错误， 对于函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-，因为()32cos ()ln()2cos x f x x f x x +-=-=--， 所以函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-为奇函数，且32cos 2(2)2ln02cos 2f +=<-，与图象基本相符，B 正确， 故选：B.12．（2022·四川眉山·三模（理））四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（ ） A ．类似递增的双曲线 B ．类似递增的对数曲线 C ．类似递减的指数曲线 D ．是一条S 形曲线【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可得1311y x -=++，()0x >，整理得341y x -=++，()0x >，再根据函数的变换规则判断可得； 【详解】解：依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >， 即()31333 114111x x y x x x +--=+=+=++++，()0x >， 由3y x -=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >， 因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线； 故选：A13．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称， 所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.15．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A16．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解.【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =， 于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒ 而,,r H v 2323H v r π是常数， 所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A1．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A.2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x x y x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+ 【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 3．（2021·天津·高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.4．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5．（2020·天津·高考真题）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6．（2020·浙江·高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．（2017·全国·高考真题（文））函数y ＝1＋x ＋2sin x x 的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.10．（2015·浙江·高考真题（文））函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【详解】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．（2018·浙江·高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．12．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<， 得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.13．（2017·全国·高考真题（文））函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【详解】由题意知，函数sin 21cos x y x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．（2015·安徽·高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像。
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2020·浙江·高一期末）已知函数()1,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，则函数()()()112f x f x g x ++-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】写出函数()g x 的解析式，由此可得出函数()g x 的图象. 【详解】()1,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，则()1f x x =-，所以，()()()1,1112110,11221,1x x x x f x f x g x x x x --≤-⎧++--++-⎪===-<<⎨⎪-≥⎩， 因此，函数()g x 的图象如D 选项中的图象. 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．但关键还是要确定函数的解析式.2．（2020·江西·南昌二中高三月考（理））函数5sin()()x f x π-=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先对解析式进行化解，根据函数的奇偶性定义判断出函数是奇函数，可以排除BC 两项，再判断当函数的自变量当0x +→时，函数值，y →-∞即可解得.【详解】5sin()()x f x π-=()()f x f x -==-,故函数是奇函数，排B 、C ，当0x +→时，函数值y →-∞.故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势判断函数图像问题，属于中档题目，函数图像问题一般要用到函数的奇偶性、单调性、变化趋势等，解题中需要结合函数图像的特点灵活处理.3．（2021·江西·南昌市第十七中学高二月考（文））已知函数()()()1sin ,f x x x π=-则函数在[]1,3-上的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】运用排除法，由()(2)f x f x -=，可得()y f x =的图象关于直线1x =对称，当(1,2)x ∈时，所以()0,f x <可排除得选项. 【详解】由()()()()()()(2)21sin 21sin 21sin f x x x x x x x f x ππππ-=---=--=-=⎡⎤⎣⎦， 得()y f x =的图象关于直线1x =对称，故排除BC ， 当(1,2)x ∈时，()sin 0x π<，所以()0,f x <故排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常由函数的奇偶性，单调性，特殊点的函数的正负排除选项，属于中档题.4．（2021·全国·高三月考）函数()2sin 12x e x f x x +=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由()00f >，函数不具有奇偶性，以及0x >时，函数值大于0，结合选项即可得解． 【详解】解：()02sin 0020102e f +==>+，则可排除A ；又函数()2sin 12x e xf x x +=+不具有奇偶性，则可排除C ；当0x >时，sin 0x e x +>，2102x +>，则可排除B ．故选：D ． 【点睛】本题考查已知函数解析式，利用函数性质确定函数图象，常用排除法进行解题，属于中档题．5．（2021·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（ ）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xxy e =【答案】C 【分析】利用函数值恒大于等于0，排除选项A 、B 、D ，则答案可得. 【详解】当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而A 选项中，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 2sin 20xxy e =<，故排除A ； 当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而B 选项中，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2cos20x xy e=<，故排除B ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而D 选项中，当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0x xy e=<，故排除D ； 因此，C 选项正确； 故选：C . 【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.6．（2021·湖北·钟祥市实验中学高二月考）函数cos(π)()e e x xx f x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据定义域排除B ，根据(1)0f <排除A ，当1(0,)2x ∈时，()0f x >，当13()22x ∈，时，()0f x <，排除D 项，得到答案. 【详解】由e e 0x x --≠，解得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故排除B 项. 因为()cos[π()]cos(π)()()e e (e e )x x x xx x f x f x ------===----，所以函数()f x 为奇函数， 又1111cos π1(1)0e e e e f ---==<--，故排除A 项. 设()e e x x g x -=-，显然该函数单调递增，故当0x >时，()(0)0g x g >=，则当1(0,)2x ∈时，cos(π)0y x =>，故()0f x >，当13()22x ∈，时，cos(π)0y x =<，故()0f x <，所以排除D 项. 故选:C. 【点睛】本题考查了图像的识别，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．（2020·浙江·高三专题练习）已知函数()2sin 6241x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律，代入特殊值判断，即可得到答案． 【详解】解：函数2sin(6)2cos62()4141x x xx x x f x π+==--， 2cos(6)2cos6()()4141x x xx x xf x f x ---∴-==-=---， ()f x ∴为奇函数，故图象关于原点对称，故排除B 和D ，2sin(6)2cos62()4141x x xx x x f x π+==--， 可知当62x k ππ=+，即12x k ππ=+时，()0f x =当0x >时，12x π=时，()0f x =，从左到右()f x 第一个零点为12π，因为02412ππ<<，取24x π=，得()0f x >，则C 选项正确.故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，零点等排除.8．（2019·全国·三模（文））函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确.【详解】1.11.1ln |1.1|(1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()2f e ---==，1ln 22<=，2<，1()12f ∴-.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.9．（2019·全国·高三月考（理））已知函数()y f x =图象如下，则函数解析式可以为（ ）A ．()()()sin 2ln 1f x x x π=+B ．()()2sin 222xxx x f x π-=-C ．()()()sin 222x x f x x π-=-D ．()()()sin 222x x f x x π-=+【答案】C 【分析】根据图象可知函数()y f x =为偶函数，且定义域为R ，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的定义域为R ，且为偶函数.对于A 选项，()()()sin 2ln 1f x x x π=+的定义域为{|0}x x ≠，不合乎题意；对于B 选项，令220x x --≠，得0x ≠，则函数()()2sin 222x xx x f x π-=-的定义域不为R ，不合乎题意；对于C 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=-的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=--=-=，该函数为偶函数，合乎题意； 对于D 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=+的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=-+=-+=-，该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：C.【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题.10．（2020·湖北·武汉二中高二期中）下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】 首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】 ∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选:C.【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.11．（2020·云南·昆明一中高三月考（文））函数()()12xx f x x e -=-的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的定义域计算出导函数()f x '的正负，由此判断函数()f x 的单调性并判断出图象.【详解】因为定义域{}|2x x ≠，所以()2233()0(2)x x x f x x e --+'=<-，所以()f x 在(),2-∞和()2,+∞上单调递减，故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析.12．（2020·全国·模拟预测（理））(5分)函数cos ()cos x x f x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．13．（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以为（ ）A ．21()x f x x +=B ．()2ln 2()x f x x += C ．33()x f x x += D ．ln ()x f x x= 【答案】A【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案．【详解】选项B 根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除；选项C 根据图象x 趋向于-∞，函数值为负，与C 矛盾故排除；选项D 函数图象在第三象限，0x <，与D 的定义域矛盾，故排除；由此可得只有选项A 正确；故选:A.【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题.14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22cos xe x xf x x +=，则()f x 的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性得函数为偶函数，故排除B ，C ，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，排除A 得答案.【详解】因为()22cos xe x xf x x +=，定义域为{}0x x ≠， 所以()()()()()2222cos cos x xe x x e x xf x f x x x --+-+-===-， 所以()f x 为偶函数，所以排除B ，C 选项. 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，所以排除A 选项. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15．（2021·山东省实验中学高三月考）函数()cos f x x x=-( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数f (x )定义域，排除两个选项，再取特殊值得解.【详解】∵令g (x )=2cos x x -，x >0时，x 2是递增的，cos x 在(0,π)上递减，则有g (x )在(0,π)上单调递增，而(0)1,(1)1cos10g g =-=->，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0g x =，()f x ∴中0,x R x x ∈≠，排除C 、D ， ∵2x π=时()0f x >，排除B ，所以选A.故选：A【点睛】给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手.16．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）函数()22()6log ||f x x x =-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，然后根据x →+∞时的函数值确定出正确选项.【详解】因为()()()2222()6log ||6log ||()f x x x x x f x -=---=-=，且定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数，所以排除C ，D ；又因为当x →+∞时，y →+∞，所以排除A .故选:B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.17．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项； 22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''. 对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 18．（2021·广东广州·高二期中）已知函数()f x =，则其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【分析】通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除C D 、.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.【详解】()f x的定义域为0x≠,22cos()()xf x f x-====-所以()f x为奇函数，则C D、排除若0x>,且0x→，则cos1)0,()x x f x→+→∴→+∞若0x<,且0x→，则cos1),()x x f x→→-∞∴→-∞f>，(0f-<，011<<，1)0<.故选：A【点睛】判断图像类问题，主要考虑以下几点：函数的定义域；函数的奇偶性；函数的单调性；图像中的特殊值.并且通常用到排除法.19．（2020·浙江·诸暨中学高三月考）函数sin lnxy x e x=+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据0x >、0x <分类讨论sin ln x y x e x =+的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1、当0x >时，sin ln x y x e x =+，即1cos (ln )x y x e x x '=++，令1()(ln )x g x e x x=+，则1()ln (2)x xe g x e x x x '=+-， ∴1x >时，()0g x '>即()g x 单调递增，故()(1)g x g e >=，∴此时，cos ()cos 0y x g x x e '=+>+>，即y 在(1,)x ∈+∞单调递增，故排除D 选项；2、当0x <时，sin ln()x y x e x =+-，令()ln()x g x e x =-，则1()[ln()]x g x e x x'=-+， ∴1()(1)0e g e e e-'-=->，1(1)0g e -'-=-<，故0(,1)x e ∃∈--有00001()[ln()]0x g x e x x '=-+=即001ln()x x -=-，所以000001()ln()x x e g x e x x e =-=-<，∴在1x <-上010()()g x g x e<<<，而sin [1,1]x ∈-，故sin ln()x y x e x =+-在1x <-上一定有正有负，则有B 正确；故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论20．（2020·湖南常德·高三期末（文））函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象大致为 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】排除法，求出函数的定义域可排除A 、B ，函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象可由函数()11ln x x e e g x x +-+=的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数()11ln x x e e g x x+-+=的单调性，从而可得出结论．【详解】 解：由ln 10x +≠得10x +≠且11x +≠，即1x ≠-且0x ≠，∴函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的定义域为()()()11,00,-∞--+∞，故A 、B 错；又函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象可由函数()11ln x x e e g x x+-+=的图象向左平移一个单位得到， ∵0x >时，()11ln x x e e g x x +-+=，()()1121ln ln x x e e x x g'x x +-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 由()'0g x =得1ln 0x x -=，令()1ln h x x x=-， ∵()11h =-，()12ln 202h =->， ∴存在实数()01,2x ∈，使得()00h x =，又函数()1ln h x x x=-在()0,∞+上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，函数()g x 单调递增；∴函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+在()0,∞+上的单调性应是先递减后递增， 故C 错，D 对；故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的性质与图象，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题．。
2023届高考数学《函数的图像》思维拓展练习题(含答案解析)
2023届高考数学《函数的图像》思维拓展练习题（含答案解析）1、若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)C [作出函数f (x )的图像如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )＞0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )＞0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．]2、(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2)C [作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图像如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图像于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图像可得b 的取值范围是(1，2)．]3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（－x 2），x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x ＞－1，若f (x )在区间[m ,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．[－8，－1] [作出函数f (x )的图像，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2(－x 2)单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2(－x 2)＝2，解得x ＝－8；当x ＞－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23＜2，f (－1)＝－1，故所求实数m 的取值范围为[－8，－1]．]4、已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)设f (x )图像上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x ,2－y )在h (x )的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．5、设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i＋y i )＝________.－19m [∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称， ∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m 2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m 2×(－17)×2＝－17m ，∴∑mi ＝1(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .] 6、已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示，由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．一、选择题1、已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是( )A B C DB [y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥1，2－2x ，x ＜1，易知函数y ＝|f (x )|的图像的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.]2、(2019·沈阳市质量监测(一))函数f (x )＝x 2－1e |x |的图像大致为( )A BC DC [因为y ＝x 2－1与y ＝e |x |都是偶函数，所以f (x )＝x 2－1e |x |为偶函数，排除A ，B ，又由x →＋∞时，f (x )→0，x →－∞时，f (x )→0，排除D ，故选C.]3、下列函数中，其图像与函数y ＝ln x 的图像关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )B [法一：设所求函数图像上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图像上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图像上也在所求函数的图像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.]4、对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C [若23x ≤log a x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上恒成立，则0＜a ＜1，利用数形结合思想画出指数函数与对数函数图像(图略)，易得log a 13＋1≥23×13，解得13≤a ＜1，故选C.]5、函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0C [函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c >0，∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图像知f (0)>0，∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－b a >0，∴a <0.故选C.]二、填空题1、已知函数y ＝f (x ＋1)的图像过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图像关于x 轴的对称图形一定过点________．(4，－2) [因为函数y ＝f (x ＋1)的图像过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图像一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图像关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．]2、如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)，∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.]8.函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图像如图所示，那么不等式f (x )sin x ＜0的解集为________．(－π，－1)∪(1，π) [由题意知，在(0,4]上，当0＜x ＜1时，f (x )＞0，当1＜x ＜4时，f (x )＜0.由f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数可知，当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当－4＜x ＜－1时，f (x )＞0.g (x )＝sin x ，在[－4,4]上，当0＜x ＜π时，g (x )＞0；当π＜x ＜4时，g (x )＜0；当－π＜x ＜0时，g (x )＜0，当－4＜x ＜－π时，g (x )＞0.∴f (x )sin x ＜0⇔⎩⎨⎧ f (x )＞0，sin x ＜0或⎩⎨⎧f (x )＜0，sin x ＞0，则f (x )sin x ＜0在区间[－4,4]上的解集为(－π，－1)∪(1，π)．]三、解答题1、画出下列函数的图像．(1)y ＝e ln x ；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．[解] (1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x ＝x (x ＞0)，所以其图像如图所示．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝x －122－94；当x ＜2，即x －2＜0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －12）2－94，x ≥2，－（x －12）2＋94，x ＜2.这是分段函数，每段函数的图像可根据二次函数图像作出(其图像如图所示)．2、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.。
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
[必刷题]2024高三数学下册函数图像专项专题训练(含答案)
![[必刷题]2024高三数学下册函数图像专项专题训练(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/75dfbd2803768e9951e79b89680203d8cf2f6a7f.png)
[必刷题]2024高三数学下册函数图像专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = 2x^3 3x^2 12x + 5，则f(x)的图像在x 轴上的截距个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若函数g(x) = (1/2)^x 的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新函数图像对应的函数表达式为（）A. g(x+1) + 3B. g(x1) + 3C. (1/2)^(x1) + 3D. (1/2)^(x+1) 33. 已知函数h(x) = |x 2|，则h(x)的图像在x=2处（）A. 连续B. 断开C. 不可导D. 可导4. 下列函数中，图像关于y轴对称的是（）A. y = x^3 4xB. y = x^2 + 3C. y = 2^x 1D. y = |x| 25. 已知函数f(x) = (1/3)^x 在区间（0，+∞）上的图像是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增6. 若函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，2），则该函数的图像与x轴的交点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 已知函数f(x) = (x 1)^2，则f(x)的图像在x=1处（）A. 取得最小值B. 取得最大值C. 斜率为0D. 斜率不存在8. 下列函数中，图像关于原点对称的是（）A. y = x^3 + 1B. y = x^2 1C. y = 3^x 1D. y = |x| + 19. 已知函数g(x) = log_2(x 1)，则g(x)的定义域为（）A. x > 1B. x < 1C. x ≠ 1D. x ∈ R10. 若函数f(x) = |x| 2在区间（∞，0）上的图像是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增二、判断题：1. 函数y = 3x^3 4x的图像是中心对称图形。
2022年高考数学核心考点专题训练专题8 函数的图象及应用(含解析)
2022年高考数学核心考点专题训练专题8函数的图象及应用一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.设函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f'(x)的图象可能为( )A. B. C. D.2.设函数f(x)=xln1+x1−x，则函数f(x)的图象可能为( )A. B.C. D.3.已知函数f x=8x−4−e,x≤1−lnx,x>1，记g x=f x−ex−a，若g x存在3个零点，则实数a的取值范围是()A.−2e,−32eB.−2e,−eC.−32e,−eD.−e,−12e4.已知如下六个函数：y=x，y=x2，y=lnx，y=2x，y=sinx，y=cosx，从中选出两个函数记为f x和g x，若F x=f x+g x的图像如图所示，则F x=A.x2+cosxB.x2+sinxC.2x+cosxD.2x+sinx5.如图，函数f x的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f x≥x2−a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是()．A.a|−2≤a<0B.a|−2<a<0C.a|0≤a<1D.a|−2≤a<16.已知函数f(x)=2x|log2x|x≤0x>0，若a<b<c，且满足f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围为()A.(−∞,−1]B.(−∞,0]C.[−2,0]D.[−4,0]7.如图所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l // l1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC两边相交于F，D两点，设弧FG的x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动带l2，则函数y=f(x)图象大致是()A. B. C. D.8.如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S'(t)的图像大致为A. B. C. D.9.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x−1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2．则不等式(x+1)f(x)>0的解集是A.(−3,−1)∪(1,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=4−x−1，g(x)=x2+2x,x<0log2(x+1),x≥0，若g(f(a))≤3，则实数a的取值范围为()A.−12,12B.−3,−2∪0,12C.−12,−2∪0,8D.−2,8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.若函数y=f(x)图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M,N]是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对[M,N]与[N,M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=e x,x<0,x2−4x,x>0,则此函数的“和谐点对”有_______对．12.已知函数f(x)=|x−1|+|x+1|−12|x|，若函数g(x)=f(x)−b恰有四个零点，则实数b的取值范围是________．13.已知函数f(x)=|log2|1−x||(a>0，且a≠1)，若x1<x2<x3<x4，且f x1=f x2=f x3=f x4，则1x1+1x2+1x3+1x4=__________．14.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=≤x≤2)−1,(x>2)，若关于x的方程[f(x)]2+ af(x)+b=0，a,b∈R，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_____________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.已知函数f x=sinωx+φ+bω>0,0<φ<π的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f x的图象先向右平移π3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．(1)求f x(2)若对任意x∈f x2−af x+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．16.已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[−1,1]上，函数y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．17.已知①函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)，周期是π2；②函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A> 0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的图像如图所示；在以上两个条件中选择一个解答下列问题．(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分．)(1)求f(x)的解析式，以及x∈−π12f(x)的值域；(2)将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数g(x)的图像，若|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，求m的取值范围．专题8函数的图象及应用一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）18.设函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f'(x)的图象可能为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，若f(x)为偶函数，则其导数f'(x)为奇函数，分析选项：可以排除B、D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，分析选项：可以排除A，C符合；故选：C．19.设函数f(x)=xln1+x1−x，则函数f(x)的图象可能为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数f(x)=xln1+x1−x的定义域为(−1,1)，由f(−x)=−xln1−x1+x=xln1+x1−x=f(x)，得f(x)为偶函数，排除A，C；又f(12)=12ln1+121−12=12ln3>0，排除D．故选：B．20.已知函数f x=8x−4−e,x≤1−lnx,x>1，记g x=f x−ex−a，若g x存在3个零点，则实数a的取值范围是()A.−2e,−32eB.−2e,−eC.−32e,−eD.−e,−12e【答案】C【解析】解：结合函数f(x)={|8x−4|−e,x⩽1−1nx,x>1与y=ex+a的图像，若g x=f x−ex−a存在三个零点，则y=ex+a在点12,−e上方，在1,0下方∴−e<12e+ae+a<0解得：−32e<a<−e故选C．21.已知如下六个函数：y=x，y=x2，y=lnx，y=2x，y=sinx，y=cosx，从中选出两个函数记为f x和g x，若F x=f x+g x的图像如图所示，则F x=A.x2+cosxB.x2+sinxC.2x+cosxD.2x+sinx【答案】D【解析】解：由图象可知，函数F(x)过定点(0,1)，当x>0时，F(x)>1，为增函数，当x<0时，F(x)>0或，F(x)<0交替出现，因为y=2x的图象经过点(0,1)，且当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1，若为y=cosx，当x=0时，y=1，2x+cosx不满足过点(0,1)，所以只有当F(x)=2x+sinx才满足条件，故选：D．22.如图，函数f x的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f x≥x2−a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是()．A.a|−2≤a<0B.a|−2<a<0C.a|0≤a<1D.a|−2≤a<1【答案】A【解析】解：f x=２ｘ+２,ｘ⩽０−ｘ+２,ｘ>０，不等式f x≥x2−a等价于a⩾x2−f x，设g(x)=x2−f(x)=x2−2x−2 ,x≤0x2+x−2 ,x>0，x≤0，g'(x)=2x−2<0，函数单调递减，x>0，g'(x)=2x+1>0，函数单调递增，又g(0)=−2，g(1)=1+1−2=0，g(−1)=1+2−2=1，要使a≥g(x)只有1个整数，那么a取值范围是−2⩽a<0．故选A．23.已知函数f(x)=2x|log2x|x≤0x>0，若a<b<c，且满足f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围为()A.(−∞,−1]B.(−∞,0]C.[−2,0]D.[−4,0]【答案】B【解析】解：由函数f x=2x,x≤02x,x>0，作出函数的图象；结合函数f x=2x,x≤02x,x>0图象可得a∈−∞,0,12≤b<1<c≤2,由f(a)=f(b)=f(c)可得−log2b=log2c，从而bc=1．所以abc=a∈−∞,0．故选B．24.如图所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l // l1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC两边相交于F，D两点，设弧FG的x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动带l2，则函数y=f(x)图象大致是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3=23；当x=π3时，∠FOG=π3，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA−(AE+AD)=32×1=23−2.如图，又当x=π3时，图中y0=13(23=>23−2．故当x=π3时，对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D.25.如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S'(t)的图像大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】【试题解析】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选：A26.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x−1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2．则不等式(x+1)f(x)>0的解集是A.(−3,−1)∪(1,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x−1)，可得g(x+1)=f(x)，即f(x)为g(x)向左平移一个单位得到．故由g(x)是偶函数，可得f(x)关于直线x=−1对称；又由g(x)在区间[0,+∞)上是增函数，可得f(x)在区间[−1,+∞)上是增函数；由g(x)有一个零点为2，可得f(x)有一个零点为1，结合图象，可得f(x)>0的解集为−∞,−3∪1,+∞，f(x)<0的解集为−3,1，(x +1)f(x)>0即x +1>0f x >0或x +1<0f x <0,解得x >1或−3<x <−1，故不等式解集为(−3,−1)∪(1,+∞)．故选A ．27.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=4−x −1，g(x)=x 2+2x,x <0log 2(x +1),x ≥0，若g(f(a))≤3，则实数a 的取值范围为()A.−12,12B.−3,−2∪0,12C.−12,−2∪0,8D.−2,8【答案】C【解析】由g(x)≤3可得，当x <0时，x 2+2x⩽3，得−3⩽x <0，当x⩾0时，log 2(x +1)⩽3，得0⩽x⩽7，故g(x)≤3的解为{x|−3⩽x⩽7}∴g(f(a))≤3的解即−3≤f(a)≤7的解，函数f(x)=4−x −1,x >00, x =0−4+x +1,x <0作出f(x)的图象如下，∵f(12)=−7，f(8)=−3，∴f(−12)=7，∴当a ∈[−12,−2]∪[0,8]时，g(f(a))≤3.故选C ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）28.若函数y =f(x)图象上不同两点M ，N 关于原点对称，则称点对[M,N]是函数y =f(x)的一对“和谐点对”(点对[M,N]与[N,M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=e x ,x <0,x 2−4x,x >0,则此函数的“和谐点对”有_______对．【答案】2【解析】作出函数f(x)={e x,x<0,x2−4x,x>0的图象，f(x)的“和谐点对”数可转化为y1=e x(x<0)和y2=−x2−4x(x<0)的图象的交点个数(如图)．由图象知，函数f(x)有两对“和谐点对”．29.已知函数f(x)=|x−1|+|x+1|−12|x|，若函数g(x)=f(x)−b恰有四个零点，则实数b的取值范围是________．,2【解析】由题意，分段函数f x的解析式为f x=x, x⩾1−12x, 0⩽x<1+12x, −1⩽x<032x, x<−1，其图像如下图所示：由图像可知，当b∈时，方程f x=b有4个交点，此时函数g x=f x−b=0恰有四个零点．,2．30.已知函数f(x)=|log2|1−x||(a>0，且a≠1)，若x1<x2<x3<x4，且f x1=f x2=f x3=f x4，则1x1+1x2+1x3+1x4=__________．【答案】2【解析】因为f(x)=|log a|x−1||a>0且a≠1，所以f(x)的图象关于x=1对称，又因为x1<x2<x3<x4且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，所以x1<x2<1<x3<x4，故log a|x1−1|=−log a|x2−1|,−log a|x3−1|=log a|x4−1|，即(x1−1)(x2−1)=1,(x3−1)(x4−1)=1，解得x1x2=x1+x2,x3x4=x3+x4，所以1x1+1x2+1x3+1x4=x1+x2x1x2+x3+x4x3x4=1+1=2．故答案为2．31.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=≤x≤2)−1,(x>2)，若关于x的方程[f(x)]2+ af(x)+b=0，a,b∈R，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_____________．【答案】(−14,1)∪(−12,−14)【解析】作出f(x)的函数图象如图所示：令f(x)=t，显然，当t=0时，方程f(x)=t有三个解，当0<t<14时，方程f(x)=t有四个解，当t=14或−1<t<0时，方程f(x)=t有两解，当t≤−1或t>14时，方程f(x)=t无解．∵关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，∴关于t的方程t2+at+b=0，t∈R有两根，不妨设为t1,t2，且t1=14,0<t2<14或−1<t1<0，0<t2<14∴t1+t2∈(14,12)或者t1+t2∈(−1,14)；又∵−a=t1+t2，∴a∈(−14,1)∪(−12,−14)，故答案为：(−14,1)∪(−12,−14)三、解答题（本大题共3小题，共30分）32.已知函数f x=sinωx+φ+bω>0,0<φ<π的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f x的图象先向右平移π3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．(1)求f x(2)若对任意x∈f x2−af x+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由题意f(x)=+φ)+b(ω>0,0<φ<π)，其周期为T=π2×2=π，故T=2πω=π，即得ω=2.将f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=sin (2(x−π3)+φ)+b+2．即y=sin (2x+φ−2π3)+b+2，由题设条件得φ−2π3=π2+kπ，即φ=7π6+kπ, k∈Z，因为0<φ<π，当k=−1时满足条件，即φ=π6，又函数f x的图像经过坐标原点，即得sin (φ−2π3)+b+2=0，故b=−1.故f(x)=sin (2x+π6)−1．(2)因为x∈[0,π4]，故2x+π6∈[π6,2π3]，故sin (2x+π6)∈[12,1]，f(x)∈[−12,0]．设t=f(x)∈[−12,0]，即t2−at+a+1⩽0恒成立．即g(t)=t2−at+a+1的最大值小于等于零即可．故满足：g(−12)⩽0g(0)⩽0,+12a+a+1⩽0+1⩽0，解得a⩽−1．故实数a的取值范围为−∞,−1．已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[−1,1]上，函数y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．【答案】解：(1)由f(0)=1，可设f(x)=ax2+bx+1(a≠0)，故f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1−(ax2+bx+1)=2ax+a+b，又f(x+1)−f(x)=2x，所以2a=2a+b=0，解得a=1b=−1，故f(x)=x2−x+1．(2)由题意，得x2−x+1>2x+m，即x2−3x+1>m，对x∈[−1,1]恒成立．令g(x)=x2−3x+1(x∈[−1,1])，则问题可转化为g(x)min>m．又g(x)在[−1,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=−1，故m<−1．所以m的取值范围为(−∞,−1)．33.已知①函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)，周期是π2；②函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A> 0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的图像如图所示；在以上两个条件中选择一个解答下列问题．(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分．)(1)求f(x)的解析式，以及x∈−π12f(x)的值域；(2)将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数g(x)的图像，若|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，求m的取值范围．【答案】解：选择条件 ①解答如下(1)f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx=32sin2ωx+12(cos2ωx+1)=sin(2ωx+π6)+12由T=2π2ω=π2，解得ω=2，所以函数f(x)=sin(4x+π6)+12因为x∈[−π12,7π24]，所以−π64x+π6≤4π3，≤sin(4x+π6)+12≤32，即函数f(x)在x∈[−π12,7π24](2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y=sin(2x+π6)+12，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，得y=sin[2(x+π3)+π6]+12=sin(2x+5π6)+12，最后将整个函数图象向上平移32个单位后，得到g(x)=sin(2x+5π6)+12+32=sin(2x+5π6)+2因为|g(x)−m|<1，所以g(x)−1<m<g(x)+1，∵|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，∴当x∈[0,5π12]时，g(x)−1<m<g(x)+1恒成立，所以只需[g(x)−1]max<m<[g(x)+1]min，转化为求g(x)的最大值与最小值当x∈[0,5π12]时，2x+5π6∈[5π6,5π3]，所以g(x)max=g(0)=12+2=52，g(x)min=g(π3)=−1+2=1，从而[g(x)−1]max=32，[g(x)+1]min=2，即32<m<2，所以m的取值范围是(32,2)选择条件 ②解答如下：(1)由己知A=32−(−12)2=1，k=32+(−12)2=12，∵T2=π3−π12=π4，∴T=π2，∴ω=2πT=4，∴f(x)=sin(4x+φ)+12，过点(π12,32)，且|φ|<π2，∴4×π12+φ=π2，∴φ=π6，∴f(x)=sin(4x+π6)+12因为x∈[−π12,7π24]，所以−π64x+π6≤4π3，≤sin(4x+π6)+12≤32，即函数f(x)在x∈[−π12,7π24](2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y=sin(2x+π6)+12，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，得y=sin[2(x+π3)+π6]+12=sin(2x+5π6)+12，最后将整个函数图象向上平移32个单位后，得到g(x)=sin(2x+5π6)+12+32=sin(2x+5π6)+2，因为|g(x)−m|<1，所以g(x)−1<m<g(x)+1∵|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，∴当x∈[0,5π12]时，g(x)−1<m<g(x)+1恒成立，所以只需[g(x)−1]max<m<[g(x)+1]min，转化为求g(x)的最大值与最小值当x∈[0,5π12]时，2x+5π6∈[5π6,5π3]，所以g(x)max=g(0)=12+2=52，g(x)min=g(π3)=−1+2=1，从而[g(x)−1]max=32，[g(x)+1]min=2，即32<m<2所以m的取值范围是(32,2)。
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专题四 函数的图像、函数与方程一、基本初等函数1.五种幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图像值域奇偶性单调性2.指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域值域过定点 当x ＞0时， ；x ＜0时，当x ＞0时，；x ＜0时，性质在R 上是 函数在R 上是函数3.对数函数的图象与性质log a y xa >10<a <1图象定义域 值域_________定点过点单调性在(0，＋∞)上是函数在(0，＋∞)上是函数函数值当x >1时，y >0；当x >1时，y <0；考点一：知式选图1．【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为sin21cos xy x =- A． B ．C ．D ．2.【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x =++A B C D3．(2016·浙江，3，易)函数y ＝sin x 2的图象是( )解．D [考向1]y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C.当x ＝时，y ＝sin x 2＝0，据此可排除B ，故选D.π4．(2016·课标Ⅰ，9，中)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )5．(2014·浙江，8，易)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )ABC D5．D [考向1]方法一：分a ＞1，0＜a ＜1两种情形讨论．当a ＞1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0＜a ＜1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a 递增较慢，所以选D.6．(2012·湖北，6，中)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )(排除法)：当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A ，C ；当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，排除D.故选B.7.(2015·浙江，5)函数f (x )＝cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(x －1x)8.(2013·山东，9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解．D [考向1]y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C.当x ＝时，y ＝sin x 2＝0，据此可排除B ，故选D.π9. (2016·山东省实验中学模拟，3)函数f (x)＝的图象可能是( )sin xln （x ＋2）解．A [考向1]由题意知∴x ＞－2且x ≠－1，故排除B ，D.{x ＋2＞0，ln （x ＋2）≠0，)由f (1)＝＞0，可排除C ，故选A.sin 1ln 310．函数y ＝|x ＋1|的大致图象为( )(12)解析：选B 该函数图象可以看作偶函数y ＝|x |的图象向左平移1个单位得到的．(12)11．函数y ＝的大致图象是( )log2|x |xA B C D 解析：选C 由于＝－，所以函数y ＝是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函log2|－x |－xlog2|x |xlog2|x |x数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.12.【2017课标1，文9】已知函数，则()ln ln(2)f x x x =+-A ．在（0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减()f x ()f x考点二：利用函数的图象研究方程根的个数13. (2011·课标全国，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个解：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.14.(2015·安徽，14)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解：函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－.1215．(2016·浙江金华模拟，4)用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若f (x )＝min 的图象关于直线{|x |，|x ＋t |}x ＝－对称，则t 的值为( )12A ．－2B ．2C ．－1D ．1解．D [考向2]由图知t ＝1.16．(2012·北京，5，易)函数f (x )＝x －的零点个数为( )12(12)x解．B 令f (x )＝x －＝0，得x ＝，求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数，如图所示．12(12)x 12(12)x由图可知，两函数图象有1个交点，故选B.17．(2013·天津，7，中)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：B 易知函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝＝的根的个数⇔函12x (12)x数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两(12)x个函数图象有两个交点，故选B.18．(2015·湖南，14，中)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 因为y ＝f (x )有两个零点，所以|2x －2|－b ＝0有两个实根．即|2x －2|＝b 有两个实根．令y 1＝|2x －2|，y 2＝b ，则y 1与y 2的图象有两个交点．由图可知b ∈(0，2)时，y 1与y 2有两个交点．【答案】 (0，2)判断函数零点个数的常见方法(1)方程法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点；(2)图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数；(3)将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．考点三：由函数图像求参数范围19.(2013·课标Ⅰ，12)已知函数f (x )＝若≥ax ，则a 的取值范围是( ){－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.)|f （x ）|A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0]【解析】 (1)＝其图象如图．|f （x ）|{x 2－2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.)由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤，则a ≤0，|f （x ）|且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对x <0恒成立，所以a ≥－2.综上，－2≤a ≤0，故选D.数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解．B 设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象，两个函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3.此时两函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点，综上，共有两个零点．21.函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间上有零点，则实数a 的取值范围是( )(12，3)A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.D.[2，52)[2，103)解：令f (x )＝0，则a ＝.x 2＋1x令g (x )＝，则g ′(x )＝1－.x 2＋1x1x 2当x ∈时，g ′(x )＜0，当x ∈(1，3)时，g ′(x )＞0，(12，1)∴g (x )在上单调递减，在(1，3)上单调递增，∴g (x )的值域为，∴a 的取值范围是.(12，1)[2，103)[2，103)22.已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝若函数g (x )＝f (x )－x －a 有两个不同的零点，则实数{2－x －1，x ≤0，f （x －1），x >0，)a 的取值范围是________．【解析】 当x ≤0时，f (x )＝2－x －1.当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，f (x )在(0，＋∞)是周期为1的函数，如图，若函数g (x )＝f (x )－x －a 有两个不同的零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点故a ＜1.【答案】 (－∞，1)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．考点四：比大小23.(2016·课标Ⅰ，8，中)若a >b >0，0<c <1，则( )解．B [考向4]对于选项A ，log a c ＝，log b c ＝，∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能lg c lg a lg clg b 确定lga ，lgb 的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项B ，∵0<c <1，∴y ＝log c x 为减函数，又a >b >0，∴logc a <log c b ；对于选项C ，利用y ＝x c 在第一象限内是增函数，即可得到a c >b c ；对于选项D ，由0<c <1知，y ＝c x 在R 上为减函数，易得c a <c b ，故选B.24．(2014·天津，4，易)设a ＝log 2π，b ＝log π，c ＝π－2，则( ) 12A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ． c >b >a解．C [考向4]∵a ＝log 2π>1，b ＝log π<0，c ＝π－2＝>0，但c <1，∴b <c <a .121π225．(2013·课标Ⅱ，8，易)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b解．D [考向3]a ＝log 32<log 33＝1，c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D.26.(2014·辽宁，3)已知a ＝2－，b ＝log 2，c ＝log ，则( )13131213A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解：由a ＝2－知0<a <1，而b ＝log 2<0，c ＝log >1，∴c >a >b .1313121327.(2012·重庆，7)已知a ＝log 23＋log 2，b ＝log 29－log 2，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )33A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c解．B 因为a ＝log 23＋log 2＝log 23 ＝log 23＞1，3332b ＝log 29－log 2＝log 23 ＝a .33c ＝log 32＜log 33＝1.∴a ＝b ＞c .28.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f ，b ＝f (log 25)，(l og 0.53)c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a∵f (x )是偶函数，∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1，在[0，＋∞)上单调递增，a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 5)，c ＝f (0)＝f (log 1)．又log21<log23<log25，∴c<a<b.。