高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例教学案新人教B版必修
高中数学新课标人教B版目录
1.2应用举例
实习作业
本章小结
阅读与欣赏第二章2．1 2．2 2．3数列数列等差数列等比数列本章小结阅读与欣赏第三章3．1 3．2 3．3 3．4 3．5不等式不等关系与不等式均值不等式一元二次不等式及其解法不等式的实际应用二元一次不等式（组）与简单线性规划问题本章小结附录后记部分中英文词汇对照表高中数学（B版）选修1－1第一章1．1常用逻辑用语命题与量词
3.1指数与指数函数
3.2对数与对数函数
3.3幂函数
3.4函数的应用(Ⅱ
实习作业
本章小结
阅读与欣赏
对数的发明
对数的功绩
附录1科学计算自由软件──SCILAB简介附录1部分中英文词汇对照表
后记
高中数学(B版必修二
第一章立体几何初步
1.1空间几何体
实习作业
1.2点、线、面之间的位置关系
本章小结
阅读与欣赏
高中数学人教B版教材目录高中数学(B版必修一
第一章集合
1.1集合与集合的表示方法
1.2集合之间的关系与运算
本章小结
阅读与欣赏
聪明在于学习,天才由于积累──自学成才的华罗庚第二章函数
2.1函数
2.2一次函数和二次函数
2.3函数的应用(Ⅰ
2.4函数与方程
本章小结(1
阅读与欣赏
函数概念的形成与发展
第三章基本初等函数(Ⅰ
第二章第三章第四章推理与证明数系的扩充与复数的引入框图高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 1．3 1．4 1．5基本不等式绝对值不等式的解法绝对值的三角不等式不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1柯西不等式2．2 2．3 2．4排序不等式平均值不等式(选学最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章3．1 3．2数学归纳法与贝努利不等式数学归纳法原理用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例应用案巩固提升课件新人教B版必修3
第一章 算法初步
5．m 是一个正整数，对于两个正整数 a，b，如果 a－b 是 m 的倍数，则称 a，b 对模 m 同余，用符号 a≡b(Mod m)表示， 则下列各式中不正确的为( ) A．12≡7(Mod 5) B．21≡10(Mod 3) C．34≡20(Mod 2) D．47≡7(Mod 40) 解析：选 B.逐一验证，对于 A，12－7＝5 是 5 的倍数；对于 B， 21－10＝11 不是 3 的倍数；对于 C，34－20＝14 是 2 的倍数； 对于 D，47－7＝40 是 40 的倍数，故选 B.
第一章 算法初步
12．已知多项式 p(x)＝3x5＋9x4＋x3＋kx2＋4x＋11，当 x＝3 时 值为 1 616，则 k＝________． 解析：由秦九韶算法，得 p(x)＝((((3x＋9)x＋1)x＋k)x＋4)x＋11. 则当 x＝3 时， p(3)＝(((((9＋9)×3＋1)×3)＋k)×3＋4)×3＋11 ＝(495＋3k＋4)×3＋11 ＝9k＋1 508＝1 616， 所以 k＝12. 答案：12
第一章 算法初步
解：(1)加法运算次数为 n，乘法运算次数为 1＋2＋3＋…＋n ＝n（n2＋1），所以共需 n＋n（n2＋1）＝n（n2＋3）(次)． (2)加法运算次数为 n 次，乘法也为 n 次，共需 2n 次．
第一章 算法初步
[B 能力提升] 11．若 int(x)是不超过 x 的最大整数(如 int(4.3)＝4，int(4)＝4)， 则下列程序的目的是( )
第一章 算法初步
9．求 324，243，135 的最大公约数． 解：(324，243)→(81，243)→(81，162)→(81，81)，故 81 是 324 与 243 的最大公约数． 又(135，81)→(54，81)→(54，27)→(27，27)， 故 27 是 81 与 135 的最大公约数． 所以 324，243，135 的最大公约数为 27.
高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修3
2．用更相减损之术求得 68 和 86 的最大公约数是( )
A．2
B．4
C．6
D．16
解析：选 A.由更相减损之术得，86－68＝18，68－18＝50，50
－18＝32，32－18＝14，18－14＝4，14－4＝10，10－4＝6，
6－4＝2，4－2＝2，故 68 和 86 的最大公约数是 2.
秦九韶算法的步骤
当 x＝5 时，求多项式 f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 的值． 解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 ＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7， v0＝2， v1＝2×5－5＝5， v2＝5×5－4＝21， v3＝21×5＋3＝108， v4＝108×5－6＝534， v5＝534×5＋7＝2 677. 所以 f(5)＝2 677.
复习课件
高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必 修国古代数学中的算法案例课 件新人教B版必修3
第一章 算法初步
1．3 中国古代数学中的算法案例
第一章 算法初步
1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法． 2. 掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤．
v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397. 所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
再求 49 与 133 的最大公约数： 133－49＝84， 84－49＝35， 49－35＝14， 35－14＝21， 21－14＝7， 14－7＝7. 所以 147，343，133 的最大公约数是 7. 所以每瓶最多装 7 g.
人教B版高中数学必修三《第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例》_6
1.3 案例2 秦九韶算法一、基本信息教材：人教版，必修3第一章“算法初步”的第3节“算法案例”中的秦九韶算法.二、教材分析为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容.秦九韶算法既能体现新课程、新理念、新课标，又可以结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣.三、学情分析从学生的认知基础看，学生在已经学习了程序框图、算法语句的相关知识，积累了研究算法的基本方法与初步经验.学生的基础较好，能够在一节课中掌握框图和算法语句.从学生的思维发展看，高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题.但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构秦九韶算法中的循环结构有一定的困难.四、教学目标【知识与技能】1、了解秦九韶算法的计算过程.2、理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.【过程与方法】1、模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.2、了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.【情感、态度与价值观】1、通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.2、通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”.3、充分认识信息技术对数学的促进.五、教学重点和难点重点：理解秦九韶算法的思想.难点：用循环结构表示算法步骤.六、教学方法学生探究、教师引导.七、教学流程八、教学过程1、逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路【思考1】求当5=x 时，求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 的值.学生自己提出一般的解决方案：将5=x 代入多项式进行计算即可.教师点评：上述算法一共做了10次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂.缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.设计意图：使学生在自己操作的过程中体会求多项式值的一般思路方法.【思考2】如果让计算机来做这件事情，那么有没有更高效的算法?（这里有一个知识，就是对于计算机而言，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此，这里所说的高效，具体是指，能否减少乘法的次数？）教师引导学生分析、推理：如果有同学这样想：可以先计算2x 的值，然后依次计算x x *2，x x x **)(2，x x x x ***))((2的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.那么，老师可以不做点评，可以紧接着让学生来做：例2、求多项式54232)(2345+++++=x x x x x x f 当2=x 时的值？分析：如果还按照刚才的说法的话，有同学会很自然想到这样来处理：先计算2x ，然后再去计算24x ；接着再去计算x x ⋅2，在此基础上去计算)(22x x ⋅，……,依此进行下去，这样一共进行了8次乘法，5次加法运算；那么，对于例2，是否还有别的方法呢？引导学生继续来观察，发现，在54232)(2345+++++=x x x x x x f 中，代数式x x x x x ++++23454232中，都有x ，因此，还可以x x x x x x x x x x )14232(42322342345++++=++++，也是，依此进行下去， 54232)(2345+++++=x x x x x x f 可变形为5)1)4)2)32(((()(+++++=x x x x x x f ，这样再看这种处理，一共进行了5次乘法，5次乘法运算.很显然，比上一种方法少了3次乘法运算.这时，老师可以再次返回到开始，重新带领学生来认识问题“求当5=x 时，求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 的值. ”，我们还可以这样来处理：1)1)1)1)1((((1)(2345+++++=+++++=x x x x x x x x x x x f 或者=+++++=155555)(2345x f15)15)15)15)15((((+++++，这样来看，一共进行了4次乘法，5次加法. 问题：同学们来比较分析一下，两种处理方式，哪一种更好？为什么？【分析】虽然也是进行的乘法与加法次数与前一种都一样. 但是，很显然，还是后面一种解法更好一些.因为它更具有通性通法. 这也是“算法”思想的体现，因为算法考虑的是这一类问题的处理方式.教师点评：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，因此第二种做法更快地得到结果.设计意图：帮助学生改进方法，感受算法思想，从而提高计算效率.【思考3】能否探索更好的方法，来解决任意多项式的求值问题？刚才提高计算效率的方法只对求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值而言的，那么再举一例：求多项式54232)(2345+++++=x x x x x x f ，当2=x 时的值？教师引导学生解答：利用思考2总结出来的方法，每次计算利用上一次结果.想要解决这一问题，可以将原式变形如下：54232)(2345+++++=x x x x x x f5)14232(234+++++=x x x x x5)1)4232((23+++++=x x x x x5)1)4)232(((2+++++=x x x x x5)1)4)232(((2+++++=x x x x x5)1)4)2)32((((+++++=x x x x x将2=x 代入上式，从内往外依次计算73221=+⨯=v162272=+⨯=v3642163=+⨯=v7312364=+⨯=v设计意图：用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法，进一步探索具有一般意义的算法. 算法：就是按照一定规则，解决某一类问题的明确的有限的步骤.【思考4】一个n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的值？教师引导学生解答：将原式变形得0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--01211)(a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++=---……011))(((a x a x a x a n n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-求多项式的值时，类推练习的方法.首先计算最内层括号内的一次多项式的值，即：n a v =011-+=n n a x a v然后由内往外逐层计算一次多项式的值，即212-+=n a x v v323-+=n a x v v……01a x v v n n +=-教师点评：上述方法为秦九韶算法.这样,求n 次多项式)(x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人.先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所.他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家.早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》.《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类.其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.设计意图：这里将问题由特殊上升到一般，得出用秦九韶算法求多项式的值的一般方法，说明秦九韶算法的通用性.同时，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献.2 、将“算法”提升到“程序框图”的层面【思考1】观察上述秦九韶算法中的n 个一次式.在秦九韶算法中反复执行的步骤是什么，应该用什么结构来实现？教师引导学生分析：观察秦九韶算法的数学模型，计算k v 时要用到1-k v 的值.若令n a v =0可以得到下面的递推公式：⎩⎨⎧⋅⋅⋅=+==--),,3,2,1(10n k a x v v a v k n k k n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.（《必修三》P15：对于重复操作的步骤，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来勾走循环结构）由秦九韶的概念得出算法步骤如下：第一步：输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步：将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n .第三步：判断i 是否大于或等于0，若是，输入i 次项的系数i a ，1,-=+=i i a vx v i ；否则，输出多项式的值v .（第一步，输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n .第三步，判断i 是否大于或等于0，若是，执行第四步；否则，输出多项式的值v .第四步，输入i 次项的系数i a ，1,-=+=i i a vx v i ；返回第三步.）（说明：在处理具体算法案例时，提倡先通过“算法分析写算法步骤，再根据算法步骤画程序框图，然后根据程序框图编制程序，最后可创造条件在计算机上验证算法.”）即：通过算法分析，写算法步骤——画程序框图——编制程度——上机验证【思考2】 怎样用程序框图表示秦九韶算法？教师引导学生分析： 由算法步骤画出程序框(如下页图)教师点评：用程序框图表示秦九韶算法中的循环过程中，最重要的部分是找出循环体.在画框图的过程中，计数变量的初始值也要注意，这是画框图时候的小技巧.设计意图：由以上“算法”转化为“程序框图”.就是一种十分重要的数学思想.由此发现，“算法”与“程序框图”它们既是研究问题的不同方面，又是相互依存、相互联系的，在一定条件下可以由“算法”画出“程序框图”：由“程序框图”写出“算法”.3 、【思考1】由以上程序框图对应写出程序：第一步 INPUT nINPUT n aINPUT x另一种写法：INPUT “n ，n a ，x ”；n ，n a ，x评析： 如果不注意输入语句的格式，则写出的程序，计算机就不会执行或输出错误的信息，这是很多学生常犯的错误.第二步 n a v =1-=n i评析：学生在写赋值语句时常常一句给出多个变量赋值，这也是错误的.第三步 WHILE 0>=iINPUT “i a ”； i aa x v v +=*1-=i iWENDPRINT vEND教师点评：根据程序框图及前面提到的循环结构，递推公式.引导学生选对循环语句写出程序，问题就会迎刃而解.设计意图：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.4、课堂小结知识内容：秦九韶算法的特点及其程序设计.思想方法：算法思想，化归思想.设计意图：使学生对知识有一个系统的认识，突出重点，抓住关键，培养概括能力.5、作业1）1、用秦九韶算法计算多项式5432)(245++++=x x x x x f当x=2的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_ __,_ __课后小结把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题, 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题.通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，理解算法的含义；通过模仿、操作、探索、经历、设计程序框图表达解决问题的过程，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.同时通过电脑操作，让学生自我去探索，及时验证自己的程序是否可行，及时获得成就感，激发学生学习兴趣，也符合新课程的理念.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 1.3 中国古代数学中的算法案例》01
我国宋代数学家秦九韶计算多项式形函数的函数值的方法。
课前预习
学生预习提纲
学生疑问
二、例题部分：
例1、用等值算法求下列两个正整数的最大公约数:
180,36 20216,88
例2、用秦九韶算法求多项式函数 在 时的值。
解：
∴
课堂测评
学生预习提纲
学生疑问
【初级基础题】
145与232的最大公约数是
A、145 B、19C、29 D、32
【中级基础题】
用秦九韶算法求多项式函数 在 时的值，应该把多项式函数写成
【提升题】
用秦九韶算法求多项式函数 在 时的值。
板书记录
学习重点
理解等值算法，辗转相除法，割圆术和秦九韶算法
学习难点
为算法编写程序
学法指导
分析实例，理解概念
课前预习
学生预习提纲
学生疑问
一、知识点部分：
1、求两个正整数最大公约数的算法：
（1）更相减损之术：等值算法
①（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4）
∴16和12的最大公约数是。
②（78,36）→（36,42）→（36,6）→（30,6）→（24,6）
→（18,6）→（12,6）→（6,6）
∴78和36的最大公约数是。
（2）辗转相除法：
①（288，123）→（42，123）→（42，39）→（3，39）
∴288和123的最大公约数是。
②（72，12021（）→（）
∴72和12021大公约数是24。来自2、割圆术：刘徽在《九章算术》中求圆周率的方法。采用正多边形的面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率。
抚顺市望花高级中学学案
高中数学 第一章算法1.3中国古代数学中的算法案例教案 新人教B版必修3
1．3中国古代数学中的算法案例一、教学目标：1、了解中国古代数学中求两个正整数的最大公约数的算法、割圆术算法及秦九韶算法2、通过对三种算法的学习，更好的理解将要解决的问题算法化的思维方式，并注意理解推导割圆术的操作步骤二、教学重点和难点：教学重点：了解“更相减损术”、“割圆术”算法及秦九韶算法教学难点:体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题三、教学方法和手段：教师指导学生学习，以学生自学为主四、教学过程：1、引导学生对学过的知识进行回顾，使学生理清知识网络，并指明中国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，有自己的鲜明特色2、求两个正整数的最大公约数的算法——辗转相除法，更相减损之术（等值算法）例1求78和36的最大公约数法一辗转相除法步骤：计算出78÷36的余数为6，再将前面的余数36作为新的被除数，36÷6=6余数为0，则此时除数6即为78和36的最大公约数理论依据：a=nb+r→r=a-nb，得a、b与b、r有相同的公约数即（78，36）→（6，36），36能被6整除，余数为0。
法二更相减损之术（等值算法）指导学生阅读书p27-28页，总结步骤，归纳出算法：S1输入两个正整数a、b（a）b）；S2如果a≠b，执行S3，否则执行S5；S3将a-b赋予r；S4若b〉r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把r赋予a，重新执行S2；S5输出最大公约数b。
程序：a=input（“a=”）；b=input（“b=”）；while a<>bif a>b；a=a-b；elseb=b-a；endendprint（%io（2），a，b）总结：辗转相除法步骤较少；更相减损之术（等值算法）虽然有些步骤较长，但运算简单，易懂。
练习：用等值算法求下列两数的最大公约数，并用辗转相除法验证3、割圆术——估计圆周率的近似值阅读书p28-29页步骤：第一，从半径为l的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形。
数学人教B版必修3第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例课件
由于
A
n=6;
x=1;
o
1
hn xn
C
s=6*sqrt(3)/4;
D
for i=1:1:5 h=sqrt(1-(x/2)^2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
B
x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2);
end
print(%io(2),n,s);
三、概念形成
概念3.秦九韶算法
已知
r = m MOD n m =n
S1：给定两个正数m，n。
S2：计算m 除以n所得的余数r。
S3：m=n，n=r。
S4：若r=0，则m，n的最大公 约数等于m；否则，返回S2。
n =r
r=0?
No
Yes
输出：m
结束
三、概念形成
概念1.求两个正整数的最大公约数 开始
辗转相除法的Siclab程序
m=input("m="); n=input("n="); if m<n
三、概念形成
概念1.求两个正整数的最大公约数
（2）更相减损术
例如：求78和36的最大公约数。
解： （78，36）
（42，36）
（6，36）
（6，30）
（6，24）
（6，18）
（6，12）
（6，6）
所以，78和36的最大公约数为6。 此种算法称为“等值算法”。
三、概念形成
概念1.求两个正整数的最大公约数
三、概念形成
概念3.秦九韶算法
比如一个5次多项式为
求当
时的函数值，要用多少次乘法，多少次加法？
分析：用刚才的方法，计算
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高中数学人教B版教材目录高中数学（B版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累──自学成才的华罗庚第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程本章小结（1）阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）实习作业本章小结阅读与欣赏对数的发明对数的功绩附录1科学计算自由软件──SCILAB简介附录1部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体实习作业1．2点、线、面之间的位置关系本章小结第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例本章小结附录参考程序第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性实习作业本章小结阅读与欣赏附录随机数表第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用本章小结阅读与欣赏后记高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质数学建模活动本章小结阅读与欣赏第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用本章小结阅读与欣赏第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例实习作业本章小结阅读与欣赏第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列本章小结阅读与欣赏第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修1-1选修1－1扉页本册导引编写人员版权页目录第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联结词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线级其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修1-2封面扉页编写人员版权页本册导引目录第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法本章小结阅读与欣赏复平面与高斯第四章框图4.1 流程图4.2 结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-1选修2-1扉页本册引导编写人员版权页目录第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联结词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 两个向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-2选修2-2版权页编写内容本册引导目录第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与冥函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-3选修2-3扉页本册导引版权页目录编写人员第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3 二项式定理1.3.2 杨辉三角本章小结第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记。
《中国古代数学中的算法案例》---(进位制)说课稿(人教B版必修3)
《进位制》说课稿各位老师：大家好!我叫***，来自**。
我说课的题目是《进位制》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。
下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用必修三模块所讲授的都是一些数学思想方面的问题，这对提高学生的数学素养很有帮助。
就单独的算法初步这一内容，则是为了提高学生有条理地处理和解决问题的能力，并能理解计算机的某些基本语言中的算法（数学）成分。
2 教学的重点和难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计二、教学目标分析1．知识与技能目标：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2．过程与方法目标：学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
3．情感,态度和价值观目标领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
三、教学方法与手段分析1．教学方法：基于本节课内容的特点和学生认知的最近发展区，我以探究式互动教学法为主，范例教学为辅，利用课件、实物投影等媒体辅助教学。
2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。
四、学法分析在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
五、教学过程分析㈠问题引入提出问题：我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?（由此问题激起学生们对下面所要学习内容的兴趣，使教学能够进行得更加顺利）（二）导入新知1.介绍进位制2.例1 把二进制数110011(2)化为十进制数（二进制与十进制的转换）设计意图：由学生熟悉的十进制数出发，以二进制为例类比十进制数的表示法体会“二进制转十进制”的算法原理，为得到“k进制转十进制”的算法程序作铺垫；3.提出问题：如何得到十进制数12个位和十位上的数字？设计意图：引导他们得到“除10取余法”，并用除法算式表示，再通过类比修改算式得到“除2取余法”，进而推广得到“除K取余法”，从而解决十进制转化为k进制的问题，这样使学生从解决个别案例入手，进而获得解决一类问题的方法3.例2 把89化为二进制数.4. 例3利用除k取余法把89转换为5进制数设计意图：为了使学生的算法思想得到提升，进一步从理论上加以完善，我设计了此环节。
高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修30718252
5.用更相减损之术求 80 和 36 的最大公约数. 【解】 (80,36)→(44,36) →(8,36)→(8,28) →(8,20)→(8,12) →(8,4)→(4,4)， 所以 80 与 36 的最大公约数为 4.
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a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04，
a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67，
a2＝0.5
v3＝v2x＋a2＝0.468 27，
a1＝1
v4＝v3x＋a1＝0.906 35，
a0＝1
v5＝v4x＋a0＝0.818 73，
所以 f(－0.2)＝0.818 73.
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教材整理 3 秦九韶算法 阅读教材 P30～P31，完成下列问题. 1.把一元 n 次多项式 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 改写为 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 令 vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k， 则递推公式为：vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k， 其中 k＝1,2，…，n.
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教材整理 2 割圆术 阅读教材 P28～P29，完成下列问题. 用圆内接正多边形面积逐渐逼近 圆面积 的算法是计算圆周率的近似值.
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我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率 π 是( )
A.准确值
B.近似值
C.循环小数
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1.3 中国古代数学中的算法案例预习课本P27～32，思考并完成以下问题 (1)如何求两个数的最大公约数？(2)秦九韶算法的原理是什么？[新知初探]1．“更相减损之术”更相减损之术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便为两个原数的最大公约数．2．割圆术割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的方法．3．秦九韶算法把一元n 次多项式函数P (x )＝a n x n＋a n －1xn －1＋…＋a 1x ＋a 0改写：P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n xn －1＋a n －1xn －2＋…＋a 1)x ＋a 0 ＝((a n xn －2＋a n －1xn －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0， 令v k ＝(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k ，则递推公式为⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k 其中k ＝1,2，…，n .这样求一元n 次多项式P (x )的值就转化为求n 个一次多项式的值，这种求n 次多项式值的方法就叫做秦九韶算法．[小试身手]1．用更相减损术求98与63的最大公约数时，需做减法的次数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共进行6次减法．2．225与150的最大公约数是( ) A ．15 B ．30 C ．45D ．75解析：选D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75)，所以225与150的最大公约数是75. 3．已知多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( )A ．－1972B.1972C.1832D ．－1832解析：选A ∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12，∴f (－2)＝－1972.4．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π的实际值． 解析：用割圆术法求出的是π的不足近似值． 答案：小于求最大公约数[典例] 求261和[解] 319－261＝58，(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，所以319与261的最大公约数是29.“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤第一步，给定两个正整数m ，n (m >n )． 第二步，计算m －n 所得的差k .第三步，比较n 与k 的大小，其中大者用m 表示，小者用n 表示． 第四步，若m ＝n ，则m ，n 的最大公约数等于m ；否则，返回第二步． [活学活用]1．用更相减损之术求36与135的最大公约数，需做减法的次数是________． 解析：(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→(18,9)→(9,9)，故共进行了6次减法运算．答案：62．求378与90的最大公约数．解：法一：378－90＝288，288－90＝198，198－90＝108，108－90＝18，90－18＝72，72－18＝54，54－18＝36，36－18＝18，∴378与90的最大公约数是18.法二：378＝90×4＋18，90＝18×5，∴378与90的最大公约数是18.用秦九韶算法求多项式的值[典例] 764时的值．[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1 397.所以当x＝2时，多项式的值为1 397.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题(1)要正确将多项式的形式进行改写．(2)计算应由内向外依次计算．(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．[活学活用]用秦九韶算法写出当x＝3时，f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．解：因为f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，所以f(3)＝391.[层级一学业水平达标]1．78与36的最大公约数是( )A．24 B．18C．12 D．6解析：选D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6)．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时应把f(x)变形为( ) A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11解析：选D f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11.3．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，则f(10)的值为________．解析：由秦九韶算法，得f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.答案：7564．求168,54,264的最大公约数．解：为简化运算，先将三个数用2约简为84,27,132.由更相减损之术，先求84与27的最大公约数．84－27＝57,57－27＝30,30－27＝3，27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18,18－3＝15， 15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3， 故84与27的最大公约数是3. 再求3与132的最大公约数．易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3. 故84,27,132的最大公约数是3， 即168,54,264的最大公约数是6.[层级二 应试能力达标]1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．2．用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1, 当x ＝3时的值时，先算的是( )A ．3×3B ．0.5×35C ．0.5×3＋4D ．(0.5×3＋4)×3解析：选C 把多项式表示成如下形式：f (x )＝((((0.5x ＋4)x ＋0)x －3)x ＋1)x －1, 按递推方法，由内往外，先算0.5x ＋4的值．3．4 830与3 289的最大公约数为( ) A ．23 B ．35 C ．11D ．13解析：选A 4 830＝1×3 289＋1 541； 3 289＝2×1 541＋207； 1 541＝7×207＋92； 207＝2×92＋23；92＝4×23； ∴23是4 830与3 289的最大公约数． 4．根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )A ．v 2＝a n x ＋a n －1B ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C ．v 2＝(a n x ＋a n －1)xD．v2＝a n x＋a n－1x解析：选B 根据秦九韶算法知v0＝a n，v1＝a n x＋a n－1，v2＝v1x＋a n－2＝(a n x＋a n－1)x＋a n－2.5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________．解析：先求128－48的值，即128－48＝80.答案：128－48＝806．117与182的最大公约数等于________．解析：(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.答案：137．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．解析：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.f1＝a n；k＝1，f2＝f1x0＋a n－1；k＝2，f3＝f2x0＋a n－2；…；归纳得第k次f k＋1＝f k x0＋a n－k.故A处应填a n－k.答案：a n－k8．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列赋值语句正确的是( )A．s＝a＋1 B．a＋1＝sC．s－1＝a D．s－a＝1解析：选A 赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，故B、C、D均不正确．2．在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时，操作如下：(98,56)→(56,42)→(42,14)→(28,14)→(14,14)．由此可知两数的最大公约数为( ) A．98 B．56C．14 D．42解析：选C 由更相减损术可知两数最大公约数为14.3．阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是( )A．该框图只含有顺序结构、条件分支结构B．该框图只含有顺序结构、循环结构C．该框图只含有条件分支结构、循环结构D．该框图包含顺序结构、条件分支结构、循环结构解析：选D 阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构，故选D.4．如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x ≤－2，0，－2＜x ≤3，的值的程序2x ，x ＞3框图，在①②③处应分别填入的是()A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x，y ＝0 C ．y ＝0，y ＝2x，y ＝ln(－x ) D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2x解析：选B 当x >－2不成立时，有x ≤－2，则①处填入y ＝ln(－x )； 当x >－2成立时，若x >3成立，则y ＝2x，则②处填入y ＝2x； 若x >3不成立，即－2<x ≤3，则y ＝0， 则③处填入y ＝0.5．由下面循环语句可知输出的结果是( ) i ＝0；S ＝0；while S ＜＝20 S ＝S ＋i ； i ＝i ＋1；endprint %io 2，i ； A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C 程序执行的功能是S ＝1＋2＋3＋…＋i ，当i ＝6时，S ＞20，终止循环，此时输出的i ＝7.6．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2, 第二次输入的a 的值为1.2, 则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2, 0.2B ．0.2, 0.8C ．0.8, 0.2D ．0.8, 0.8解析：选C 当a ＝－1.2时，执行第一个循环体，a ＝－1.2＋1＝－0.2＜0再执行一次第一个循环体，a ＝－0.2＋1＝0.8, 第一个循环体结束，输出；当a ＝1.2时，执行第二个循环体，a ＝1.2－1＝0.2, 输出．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＞0，－1，x ＝0，x ＋1，x ＜0，写f {f [f (2)]}的算法时，下列哪些步骤是正确的( )S1 由2＞0，得f (2)＝0；S2 由f (0)＝－1，得f [f (2)]＝f (0)＝－1； S3 由－1＜0，得f (－1)＝－1＋1＝0， 即f {f [f (2)]}＝f (－1)＝0. A ．S1 B ．S2 C ．S3D ．三步都对解析：选D 以上三步遵循由内向外的计算顺序，计算结果正确，所以三步都对． 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B 第一次运行：S ＝0＋(－1)1×1＝－1<3；第二次运行：n ＝2，S ＝－1＋(－1)2×2＝1<3；第三次运行：n ＝3，S ＝1＋(－1)3×3＝－2<3；第四次运行：n ＝4，S ＝－2＋(－1)4×4＝2<3；第五次运行：n ＝5，S ＝2＋(－1)5×5＝－3<3；第六次运行：n ＝6，S ＝－3＋(－1)6×6＝3，满足S ≥3.故输出n 的值为6，故选B.9．若如图所示的程序框图输出的S 的值为126，则条件①为()A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤8解析：选B 由题知，第一次循环后，S ＝2，n ＝2；第二次循环后，S ＝6，n ＝3；第三次循环后，S ＝14，n ＝4；第四次循环后，S ＝30，n ＝5；第五次循环后，S ＝62，n ＝6；第六次循环后，S ＝126，n ＝7，满足了S ＝126，循环结束，所以条件①为n ≤6.10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“①”处应填写的是()A ．n ＝n －1B ．n ＝n －2C ．n ＝n ＋1D ．n ＝n ＋2解析：选C 因为起始n ＝1，输出的n ＝4，所以排除A 、B.若“①”处填n ＝n ＋1.则S ＝11－2＝－1，n ＝2，判断－1≠2，继续循环；S ＝11－－1＝12，n ＝3，判断12≠2，继续循环；S ＝11－12＝2，n ＝4，判断2＝2，则输出n 的值为4，故选C.11．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6的值，当x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．124C ．－845D ．220解析：选D 依据秦九韶算法有v 0＝a 6＝3，v 1＝v 0x ＋a 5＝3×(－4)＋5＝－7，v 2＝v 1x ＋a 4＝－7×(－4)＋6＝34，v 3＝v 2x ＋a 3＝34×(－4)＋79＝－57，v 4＝v 3x ＋a 2＝－57×(－4)＋(－8)＝220，故选D.12．执行如图所示的程序框图，若输出S ＝49，则输入整数n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．8或9解析：选D 在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10.若n＝8或n ＝9，此时10≤n 不成立，退出循环，输出S ＝49，因此n ＝8或n ＝9，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．下列程序运行后输出的结果为________．解析：当x ＝5时，y ＝－20＋3＝－17， 所以最后输出的x －y ＝5－(－17)＝22. 答案：2214．用秦九韶算法求多项式P (x )＝8x 4－17x 3＋7x －2，当x ＝21的值时，需把多项式改写为________．解析：根据秦九韶算法的原理可知，把多项式改写为P (x )＝(((8x －17)x ＋0)x ＋7)x －2.答案：P (x )＝(((8x －17)x ＋0)x ＋7)x －215．定义某种运算⊗，S ＝a ⊗b 的运算原理如下图所示，则0⊗(－1)＝________；设f (x )＝(0⊗x )x －2⊗x ，则f (1)＝________.解析：因为0＞－1， 故S ＝0⊗(－1)＝|－1|＝1.又因为，0＜1，故0⊗1＝0.而2＞1， 故2⊗1＝1.故f (1)＝(0⊗1)×1－2⊗1 ＝0－1＝－1. 答案：1 －116．执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为12 016，那么判断框中实数a 的取值范围是________．解析：当1≤a <2时，输出的S 值为11＋1＝12；当2≤a <3时，输出的S 值为121＋12＝13；当3≤a <4时，输出的S 值为131＋13＝14；…；当2 015≤a<2 016时，输出的S 值为12 016.答案：[2 015,2 016)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求72,120,168的最大公约数．解：由更相减损之术，得168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24，48－24＝24，故120和168的最大公约数是24.而72－24＝48,48－24＝24，故72和24的最大公约数也是24，所以72,120,168的最大公约数是24.18．(本小题满分12分)编写一个程序，输出使1＋4＋7＋…＋i≥300成立的最小的正整数i.解：程序如下：S＝0；i＝1；while S＜300S＝S＋i；i＝i＋3；endprint%io2，i－3；19．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以当x＝3时，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)的值为21 324.20．(本小题满分12分)某公司为激励广大员工的积极性，规定：若推销产品价值在10 000元之内的年终提成5%；若推销产品价值在10 000元以上(包括10 000元)，则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f (x )的算法的程序框图．解：程序框图如下图所示：21.(本小题满分12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着边线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式并画出程序框图．解：函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，212－x ，8<x ≤12.程序框图如图所示：22．(本小题满分12分)给出30个数1,2,4,7,11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)．(1)请在图中①处和②处填上合适的语句，使之能完成算法功能；(2)根据程序框图写出程序．解：(1)①处应填i≤30，②处应填p＝p＋i.(2)程序如下：。