(完整)年湖南省衡阳市中考数学试题及答案,推荐文档
衡阳中考试题数学及答案
衡阳中考试题数学及答案一、选择题1. 已知x + 3 = 7，则x的值是多少？A. 3B. 4C. 6D. 7答案：C2. 若a = 2，b = -3，则a - b的值为多少？A. -1B. 1C. 5D. -5答案：D3. 如果m + n = 10，且m - n = 4，则m和n的值分别为多少？A. m = 7, n = 3B. m = 3, n = 7C. m = 8, n = 2D. m = 6, n = 4答案：A4. 已知直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A二、填空题1. 已知一个边长为5cm的正方形的面积是__________平方厘米。
答案：252. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，它的体积是__________立方厘米。
答案：603. 设x = 3，y = 4，则x² + y² = ________。
答案：254. 一个数加上5等于12，这个数是__________。
答案：7三、解答题1. 某商店以原价200元出售一件衣服，现在正在打折活动，折扣为20%，请问该衣服现在的售价是多少？解答：折扣为20%表示该衣服现在的价格是原价的80%。
所以，200元 * 80% = 160元。
该衣服现在的售价是160元。
2. 某图书馆有中文书籍3000本，英文书籍2000本，若要将这些书籍按照比例存放在两个书架上，并且两个书架上的书籍总数要一样多，那么每个书架应该分别放置多少中文书籍和英文书籍？解答：两个书架上的书籍总数为3000 + 2000 = 5000本。
根据比例，中文书籍占总数的3/5，即3000/5000 * 3/5 = 1800本。
同理，英文书籍占总数的2/5，即2000/5000 * 2/5 = 800本。
所以，每个书架应该分别放置1800本中文书籍和800本英文书籍。
2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析
2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A．+237元B．﹣237元C．0元D．﹣474 元2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）A．B．C．D．5．（3分）计算（x3）2的结果正确的是（）A．x6B．x6C．x5D．x96．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×1067．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0D．a≥0，b≥08．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）A．B．C．D．10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2．则S甲2和S乙2的大小关系是（）测试次数 1 2 3 4 5甲 5 10 9 3 8乙8 6 8 6 7A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（）A．反证法B．比较法C．综合法D．分析法12．（3分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x x＜x1＜x2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第象限．14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．15．（3分）已知x＝5，则代数式﹣的值为．16．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．20．（6分）解不等式组：．21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87 a98 60%九87 86 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．22．（8分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A．（1）求点A的坐标．（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．（1）求教学楼AB的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．（1）求证：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．25．（10分）[问题探究]（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD＝PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．[迁移探究]（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP 的数量关系，并说明理由．26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A．+237元B．﹣237元C．0元D．﹣474 元【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．【解析】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作﹣237元，故选：B．2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．【解析】解：A、∵1+2＝3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＝8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5＜10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5＞6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D．3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解析】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解析】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意．故选：B．5．（3分）计算（x3）2的结果正确的是（）A．x6B．x6C．x5D．x9【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．【解析】解：原式＝＝×x3×2＝x6．故选：B．6．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×106【分析】利用科学记数法的法则解答即可．【解析】解：7358万＝73580000＝7.358×107，故选：A．7．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0D．a≥0，b≥0【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．【解析】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，故选：D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．【解析】解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；故选：C．9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到x+y＝35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相应的方程组．【解析】解：由题意可得，，故选：C．10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2．则S甲2和S乙2的大小关系是（）测试次数 1 2 3 4 5甲 5 10 9 3 8乙8 6 8 6 7A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．【解析】解：图表数据可知，甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；即甲的波动性较大，即方差大，∴S甲2＞S乙2，故选：A．11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（）A．反证法B．比较法C．综合法D．分析法【分析】根据反证法证明命题的方法判断．【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，这种证明方法是反证法，故选：A．12．（3分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x x＜x1＜x2【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察图象可得答案．【解析】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，如图：由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第三象限．【分析】根据第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．【解析】解：点P（﹣3，﹣2）在第三象限，故答案为：三．14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．【分析】根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率．【解析】解：∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是＝，故答案为：．15．（3分）已知x＝5，则代数式﹣的值为．【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解析】解：原式＝﹣＝＝＝，当x＝5时，原式＝＝，故答案为：．16．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是5．【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．【解析】解：设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一个根为5．故答案为：5．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．【分析】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB＝＝10，则AB•CD＝AC•BC＝S，所以×10CD＝×8×6，则△AOBr＝CD＝，于是得到问题的答案．【解析】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，，∵AB•CD＝AC•BC＝S△AOB∴×10CD＝×8×6，解得CD＝，∴r＝CD＝，故答案为：．18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10．【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解析】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．【分析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．【解析】解：原式＝3+2+（﹣2）＝3+2﹣2＝3．20．（6分）解不等式组：．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解析】解：，解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞2，∴原不等式组的解集为：2＜x≤4．21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87 a98 60%九87 86 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝84，b＝100，c＝80%；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；（2）利用样本估计总体即可．【解析】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84；九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100；九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为×100%＝80%，即c＝80%；故答案为：84，100，80%；（2）500×＝200（人），答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．22．（8分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A．（1）求点A的坐标．（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；（2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．【解析】解：（1）解方程组（x＞0），得，∴点A的坐标为（3，4）；（2）设点D的坐标为（x，0）．由题意可知，BC是OA的垂直平分线，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝，∴D（，0），OD＝．23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．（1）求教学楼AB的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．【分析】（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出结论；（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE＝30°，从而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．【解析】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM•tan∠DBM＝24×＝24（米），∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．答：教学楼AB的高度为25.6米；（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，∴tan∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°＝30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CE﹣CE＝48米，∴DG＝ED•tan60°＝48（米），∴48÷4＝12（秒），∴经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．（1）求证：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论．（2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．【解析】（1）证明：∵D是弧AC的中点，∴，∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，∴，∴，∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠B＝90°，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝，∴tan∠ADE＝，设AE＝x，则DE＝2x，∵DF＝AF＝，∴EF＝2x﹣，∵AE2+EF2＝AF2，∴x＝2，∴AD＝＝2，∴AB＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．25．（10分）[问题探究]（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD＝PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．[迁移探究]（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①根据正方形的性质证明△DCP≌△BCP，即可得到结论；②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，可得PM＝PN，证明四边形AMPN是矩形，推出∠MPN＝90°，证明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，进而可得结论；③作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，证明AQ＝BE，BE＝EF即可得出结论；．（2）先证明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC 是平行四边形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四边形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ＝OP；理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，∴∠P AE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴P A＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于点M，则QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE＝EF，∴AQ＝OP；（2）解：AQ＝CP；理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1；（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E（t，﹣t+3﹣m），可得DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），运用二次函数的性质即可求得答案；（3）分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0），∴a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．（2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．∵y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，∴E（t，﹣t+3﹣m），∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵B′C′∥BC，∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，∵DE∥y轴，∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，∵∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），∵﹣＜0，∴当t＝时，DF取得最大值（+m），此时点D的坐标为（，）．（3）存在．当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P，如图，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，∴△BOM≌△COA（SAS），∴∠MBO＝∠ACO，∵∠CBO＝45°，∴∠CBP+∠MBO＝45°，∴∠CBP+∠ACO＝45°，设直线BM的解析式为y＝k′x+b′，则，解得：，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1，联立，得，解得：（舍去），，∴P（﹣，）；当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P，由对称得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，∴∠MCM′＝90°，∴M′（2，3），则直线BM′的解析式为y＝﹣3x+9，联立，得：，解得：（舍去），，∴P（2，3）；综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，点P的坐标为（﹣，）或（2，3）．。
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷（真题）一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．3395．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a 6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤18．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，359．（3分）（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝．14．（3分）（2022•衡阳）计算：＝．15．（3分）（2022•衡阳）计算：+＝．16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为．17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．25．（10分）（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2022•衡阳）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P 从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；（3）求S与t的函数关系式；（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E 运动路径的长．2022年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．【点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，∴a＝3.39，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．5．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．【解答】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a7，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（a m）n＝a mn是解题的关键．6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是【分析】根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D选项．【解答】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，∴a≥1，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．8．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．【点评】本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．9．（3分）（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．则表示为：故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【分析】先证明CD＝AD＝y，过D点作DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【解答】解：过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴，∴，∴y＝，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6，故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明△ABC∽△AED 是解本题的关键．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝（x+1）2．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．14．（3分）（2022•衡阳）计算：＝ 4 ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（3分）（2022•衡阳）计算：+＝ 2 ．【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：+＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为23 ．【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了4πcm．（结果保留π）【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝4π，故答案为：4π．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为10.2 m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）【分析】首先证明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF＝AE＝10，Rt△BFG中，sin∠BFG＝，∴＝，∴BG＝5＝5×1.732≈8.66，∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a＝1，b＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）＝a2﹣b2+2ab+b2＝a2+2ab，将a＝1，b＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是120 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为90 度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率＝即可求出答案，进而补全条形统计图；（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求出相应人数即可；（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）调查学生总数为36÷30%＝120（人），选择“E．数学园地设计”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），故答案为：120，补全统计图如下：（2）360°×＝90°，故答案为：90；（3）1200×＝300（人），答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为＝．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进阶为y元/个，由题意可得：，解得，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，∴w随a的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，∴a≤1.5（40﹣a），解得a≤24，∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．【分析】（1）把A（3，1）代入y＝可得m＝3，即得反比例函数关系式为y ＝，从而B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），分三种情况：①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，，可得M（，）或（﹣，﹣）；②以CM、ON为对角线，同理可得M （，）或（﹣，﹣）；③以CN、OM为对角线，同理可得M（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2）．【解答】解：（1）把A（3，1）代入y＝得：1＝，∴m＝3，∴反比例函数关系式为y＝；把B（﹣1，n）代入y＝得：n＝＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，∴，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；②以CM、ON为对角线，同理可得：，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；③以CN、OM为对角线，同理可得：，解得或，∴M（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2），综上所述，M的坐标是（，）或（﹣，﹣）或（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2）．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，。
2022年湖南省衡阳市中考数学试题及答案解析
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2的绝对值是( )A. −2B. 2C. 12D. −122.石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是( )A.B.C.D.3.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A. 可回收物B. 其他垃圾C. 有害垃圾D. 厨余垃圾4.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是( )A. 0.339B. 3.39C. 33.9D. 3395.下列运算正确的是( )A. a2+a3=a5B. a3⋅a4=a12C. (a3)4=a7D. a3÷a2=aA. “任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是137.如果二次根式√a−1有意义，那么实数a的取值范围是( )A. a>1B. a≥1C. a<1D. a≤18.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数(单位：人)分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 38，39B. 35，38C. 42，39D. 42，359.不等式组{x+2≥12x<x+3的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.10.下列命题为假命题的是( )A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形11.在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236)( )A. 0.73mB. 1.24mC. 1.37mD. 1.42m12.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB//CD，AC平分∠DAB.设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.因式分解：x2+2x+1=______ ．14.计算：√2×√8=______．15.计算：2aa+2+4a+2=______．16.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN 交CB于点D，连接AD.若AC=8，BC=15，则△ACD的周长为______．17.如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______cm.(结果保留π)18.回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m，∠BDG=30°，∠BFG=60°.已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为______m.(结果精确到0.1m.参考数据：√3≈1.732)三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.先化简，再求值．(a+b)(a−b)+b(2a+b)，其中a=1，b=−2．20.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．21.为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①(要求在条形图上方注明人数)；(2)图②中扇形C的圆心角度数为______度；(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；(4)计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．22.冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融(Sℎuey Rℎon Rℎon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，反比例函数y=m的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于A(3,1)，xB(−1,n)两点．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．24.如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．25.如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM//y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB 于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位)，点P运动时间为t(秒)．(1)当点M与点B重合时，求t的值；(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等；(3)求S与t的函数关系式；(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：|−2|=2，故选：B．根据绝对值的定义，可直接得出−2的绝对值．本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2.【答案】A【解析】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．根据主视图的定义和画法进行判断即可．本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3.【答案】C【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4.【答案】B【解析】解：339000万=3390000000=3.39×109，∴a=3.39，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】D【解析】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式=a7，故该选项不符合题意；C选项，原式=a12，故该选项不符合题意；D选项，原式=a，故该选项符合题意；故选：D．根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握(a m)n=a mn 是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A．根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D选项．本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由题意得：a−1≥0，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．8.【答案】C【解析】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：{x+2≥1①2x<x+3②，解①得x≥−1，解②得x<3．则表示为：故选：A．首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；故选：C．根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．11.【答案】B【解析】解：设下部的高度为x m，则上部高度是(2−x)m，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，∴2−xx =x2，解得x=√5−1或x=−√5−1(舍去)，经检验，x=√5−1是原方程的解，∴x=√5−1≈1.24，故选：B．设下部高为x m，根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．12.【答案】D【解析】解：过D点作DE⊥AC于点E．∵AB//CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACD=∠CAD，则CD=AD=y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE=CE=12AC=3，∠AED=90°，∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD =ABAE，∴6y =x3，∴y=18x，∵在△ABC中，AB<AC，∴x<6，故选：D．先证明CD=AD=y，过D点作DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明△ABC∽△AED是解本题的关键．13.【答案】(x+1)2【解析】解：x2+2x+1=(x+1)2，故答案为：(x+1)2．本题运用完全平方公式进行因式分解即可．本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．14.【答案】4【解析】解：原式=√2×8=√16=4．故答案为：4原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.【答案】2【解析】解：2aa+2+4a+2=2a+4a+2=2(a+2)a+2=2，故答案为：2．根据同分母分式的加法计算即可．本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．16.【答案】23【解析】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+15=23．故答案为：23．根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD=BD，进而可得△ACD的周长．本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．17.【答案】4π【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，即120π×6180=4π，故答案为：4π．根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可．本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．18.【答案】10.2【解析】解：∵∠BFG=60°，∠BDG=30°，∴∠DBF=60°−30°=30°，∴∠DBF=∠BDF，∴DF=BF=AE=10，Rt△BFG中，sin∠BFG=BGBF，∴BG10=√32，∴BG=5√3=5×1.732≈8.66，∴BC=BG+CG=8.66+1.5≈10.2(m)．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．首先证明BF=DF=10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19.【答案】解：(a+b)(a−b)+b(2a+b)=a2−b2+2ab+b2=a2+2ab，将a=1，b=−2代入上式得：原式=12+2×1×(−2)=1−4=−3．【解析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a=1，b=−2代入计算即可．本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．20.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，{AB=AC ∠B=∠C BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．【解析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD=AE．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21.【答案】12090【解析】解：(1)调查学生总数为36÷30%=120(人)，选择“E.数学园地设计”的有120−30−30−36−6=18(人)，故答案为：120，补全统计图如下：(2)360°×30120=90°，故答案为：90；(3)1200×30120=300(人)，答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；(4)在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为220=110．(1)从两个统计图中可得样本中选择“B.七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率=频数总数即可求出答案，进而补全条形统计图；(2)求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；(3)求出样本中参与“A.测量”所占的百分比，进而估计总体中“A.测量”的百分比，求出相应人数即可；(4)用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．22.【答案】解：(1)设冰墩墩的进价为x 元/个，雪容融的进阶为y 元/个，由题意可得：{15x +5y =1400x +y =136， 解得{x =72y =64， 答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；(2)设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进(40−a)个，利润为w 元，由题意可得：w =28a +20(40−a)=8a +800，∴w 随a 的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，∴a ≤1.5(40−a)，解得a ≤24，∴当a =24时，w 取得最大值，此时w =992，40−a =16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．【解析】(1)根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；(2)根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．23.【答案】解：(1)把A(3,1)代入y =m x 得：1=m 3，∴m =3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B(−1,n)代入y =3x 得：n =3−1=−3，∴B(−1,−3)，将A(3,1)，B(−1,−3)代入y =kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y =x −2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y =x −2；(2)在y =x −2中，令x =0得y =−2，∴C(0,−2)，设M(m,3m )，N(n,n −2)，而O(0,0)，①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M(√3,√3)或(−√3,−√3)；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m=n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M(√3,√3)或(−√3,−√3)；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：{0+n =m +0−2+n −2=0+3m，解得{m =2+√7n =2+√7或{m =2−√7n =2−√7， ∴M(2+√7,√7−2)或(2−√7,−√7−2)，综上所述，M 的坐标是(√3,√3)或(−√3,−√3)或(2+√7,√7−2)或(2−√7,−√7−2)．【解析】(1)把A(3,1)代入y =m x 可得m =3，即得反比例函数关系式为y =3x ，从而B(−1,−3)，将A(3,1)，B(−1,−3)代入y =kx +b 即可得一次函数的关系式为y =x −2；(2)在y =x −2中得C(0,−2)，设M(m,3m )，N(n,n −2)，而O(0,0)，分三种情况：①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，{0+0=m +n −2+0=3m+n −2，可得M(√3,√3)或(−√3,−√3)；②以CM 、ON 为对角线，同理可得M(√3,√3)或(−√3,−√3)；③以CN 、OM 为对角线，同理可得M(2+√7,√7−2)或(2−√7,−√7−2)．本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．24.【答案】解：(1)直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE=90°，∵AD//OE，∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOE=∠EOB，∵OD=OB，OE=OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)，∴∠OBE=∠ODE=90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；(2)设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴AB=2r=6，∴BC=AC+AB=2+6=8，由(1)得：△DOE≌△BOE，∴DE=BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，∴82+BE2=(4+DE)2，∴64+DE2=(4+DE)2，∴DE=6，∴DE的长为6．【解析】(1)连接OD，理由切线的性质可得∠ODE=90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE=∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；(2)设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用(1)的结论可得DE=BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．25.【答案】解：(1)当x=0时，y=−2，∴C(0,2)，当y=0时，x2−x−2=0，(x−2)(x+1)=0，∴x1=2，x2=−1，∴A(−1,0)，B(2,0)，设图象W的解析式为：y=a(x+1)(x−2)，把C(0,2)代入得：−2a=2，∴a=−1，∴y=−(x+1)(x−2)=−x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=−x2+x+2(−1≤x≤2)；(2)由图象得直线y=−x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y=−x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=−x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，−x+b=−x2+x+2，x2−2x+b−2=0，Δ=(−2)2−4×1×(b−2)=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；(3)∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN//OB，△CNM∽△BOC，∵PN//y轴，∴P(1,0)；如图3，CN//OB，△CNM∽△BOC，当y =2时，x 2−x −2=2，x 2−x −4=0，∴x 1=1+√172，x 2=1−√172， ∴P(1+√172,0)；如图4，当∠MCN =90°时，△OBC∽△CMN ，∴CN 的解析式为：y =x +2，∴x +2=x 2−x −2，∴x 1=1+√5，x 2=1−√5(舍)，∴P(1+√5,0)，综上，点P 的坐标为(1,0)或(1+√172,0)或(1+√5,0)．【解析】(1)令x =0和翻折的性质可得C(0,2)，令y =0可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出图象W 的解析式；(2)利用数形结合找出当y =−x +b 经过点C 或者y =−x +b 与y =x 2−x −2相切时，直线y=−x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y=−x+b经过点C(0,2)时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y=−x+b与y=x2−x−2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ=0，即可求出b值．综上即可得出结论；(3)先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM=90°或∠MCN=90°，分别画图可得结论．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)利用数形结合找出直线y=−x+b与新图象恰好有三个不同的交点的情况；(3)分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．26.【答案】解：(1)M与B重合时，如图1，∵PQ⊥AB，∴∠PQA=90°，∴PA=1AB=2，2∴t=2；(2)①当0≤t≤2时，∵AM=2t，∴BM=4−2t，∵△APQ≌△BMF，∴AP=BM，∴t=4−2t，∴t=4；3②当2<t≤4时，∵AM=2t，∴BM=2t−4，∵△APQ≌△BMF，∴AP=BM，∴t=2t−4，∴t=4；综上所述，t的值为4或43；(3)①0≤t≤2时，如图2，在Rt△APQ中，PQ=√32t，∴MQ=32t，∴S=12PQ⋅MQ=12×√32t×32t=3√38t2；②当2<t≤4时，如图3，∵BF=t−2，MF=√3(t−2)，∴S△BFM=12BF⋅MF=√32(t−2)2，∴S=S△PQM−S△BFM=−√38t2+2√3t−2√3；∴S={3√38t2(0≤t≤2)−√38t2+2√3t−2√3(2<t≤4)；(4)连接AE，如图4，∵△PQE为等边三角形，∴PE=√32t，在Rt△APE中，tan∠PAE=PEPA =√32tt=√32，∴∠PAE为定值，∴点E的运动轨迹为直线，∵AP=t，∴AE=√AP2+PE2=(√32=√72t，当t=2时，AE=√7，当t=4时，AE=2√7，∴E点运动路径长为2√7−√7=√7．【解析】(1)由直角三角形的性质可得出答案；(2)分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2<t≤4时，由全等三角形的性质得出关于t的方程，解方程可得出答案；(3)分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2<t≤4时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；(4)连接AE，由直角三角形的性质得出∠PAE为定值，则点E的运动轨迹为直线，求出AE 的长，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论是解题的关键．。
湖南省衡阳市中考数学试卷(含答案和解析)
湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．B．C．2D．﹣2﹣2．下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为（）A．2.5×10﹣5B．2.5×105C．2.5×10﹣6D．2.5×1064．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．85．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟6．下列运算结果准确的是（）A．x2+x3=x5B．x3•x2=x6C．x5÷x=x5D．x3•（3x）2=9x57．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．下列因式分解中，准确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）A．B．C．D．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD 的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米11．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18 D．3612．下列命题是真命题的是（）A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．函数中，自变量x的取值范围是_________ ．14．化简：（﹣）= _________ ．15．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为_________ ．16．甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：=10.5，=10.5，=0.61，=0.50，则成绩较稳定的是_________ （填“甲”或“乙”）．17．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_________ ．18．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m= _________ n（填“＞”“＜”或“=”号）．19．分式方程=的解为x= _________ ．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为_________ ．三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，b=﹣2．22．小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本实行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这个年（365天）达到优和良的总天数．23．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．24．学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．25．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．26．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．27．（10分）（2014•衡阳）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．28．（10分）（2014•衡阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？2014年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2014•衡阳）﹣2的倒数是（）C．2D．﹣2A．B．﹣考点：倒数．分析：根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．解答：解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）（2014•衡阳）下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）（2014•衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为（）A．2.5×10﹣5B．2.5×105C．2.5×10﹣6D．2.5×106考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选：C．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（3分）（2014•衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选C．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．5．（3分）（2014•衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟考点：函数的图象．分析：A．从4分钟到8分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报；B.4分钟时散步到了报栏，据此知公共阅报栏距小明家200米；C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米；D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟．解答：解：A．小明看报用时8﹣4=4分钟，本项错误；B．公共阅报栏距小明家200米，本项正确；C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米，本项正确；D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确．故选：A．点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．6．（3分）（2014•衡阳）下列运算结果正确的是（）A．x2+x3=x5B．x3•x2=x6C．x5÷x=x5D．x3•（3x）2=9x5考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式．分析：根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据单项式乘单项式，可判断D．解答：解：A、指数不能相加，故A错误；B、底数不变指数相加，故B错误；C、底数不变指数相减，故C错误；D、x3（3x）2=9x5，故D正确；故选：D．点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．7．（3分）（2014•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．解答：解：不等式组由①得，x＞1，由②得，x≥2，故不等式组的解集为：x≥2，在数轴上可表示为：故选：A．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．8．（3分）（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．解答：解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；②x2+4x+4=（x+2）2；正确；③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；故正确的有1个．故选：C．点评：此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．9．（3分）（2014•衡阳）如图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据几何体组成，结合三视图的观察角度，进而得出答案．解答：解：根据立方体的组成可得出：A、是几何体的左视图，故此选项错误；B、是几何体的三视图，故此选项正确；C、是几何体的主视图，故此选项错误；D、是几何体的俯视图，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．10．（3分）（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．11．（3分）（2014•衡阳）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18 D．36考点：弧长的计算．分析：根据弧长的公式l=进行计算．解答：解：设该扇形的半径是r．根据弧长的公式l=，得到：12π=，解得r=18，故选：C．点评：本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．12．（3分）（2014•衡阳）下列命题是真命题的是（）A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形考点：命题与定理．分析：利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题．故选D．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2014•攀枝花）函数中，自变量x的取值范围是x≥2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．14．（3分）（2014•衡阳）化简：（﹣）=2．考点：二次根式的混合运算．分析：首先将括号里面化简，进而合并，即可运用二次根式乘法运算法则得出即可．解答：解：（﹣）=×（2﹣）=×=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．15．（3分）（2014•衡阳）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为10．考点：矩形的性质．分析：根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴OA=OB，∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，∴BD=2BO=10，故答案为：10．点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．16．（3分）（2014•衡阳）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：=10.5，=10.5，=0.61，=0.50，则成绩较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．考点：方差．分析：根据方差的定义，方差越小数据越稳定．解答：解：因为S甲2=0.61＞S乙2=0.50，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．故答案为：乙．点评：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17．（3分）（2014•衡阳）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．考点：圆周角定理．分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．18．（3分）（2014•衡阳）若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m=＜n （填“＞”“＜”或“=”号）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1•m=k，﹣2•n=k，解得m=﹣k，n=﹣，然后利用k＞0比较m、n的大小．解答：解：∵P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴﹣1•m=k，﹣2•n=k，∴m=﹣k，n=﹣，而k＞0，∴m＜n．故答案为：＜．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．19．（3分）（2014•衡阳）分式方程=的解为x=2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x2=x2﹣x+2x﹣2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．（3分）（2014•衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为21007．考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可．解答：解：∵点M0的坐标为（1，0），∴OM0=1，∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0，∴△OM0M1是等腰直角三角形，∴OM1=OM0=，同理，OM2=OM1=（）2，OM3=OM2=（）3，…，OM2014=OM2013=（）2014=21007．故答案为：21007．点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．（6分）（2014•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，b=﹣2．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先利用平方差公式和整式的乘法计算，再合并化简，最后代入求得数值即可．解答：解：原式=a2﹣b2+ab+2b2﹣b2=a2+ab，当a=1，b=﹣2时原式=1+（﹣2）=﹣1．点评：此题考查代数式求值，注意先利用整式的乘法化简，再代入求得数值．22．（6分）（2014•衡阳）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数；（2）利用轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，即可得出答案；（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可．解答：解：（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）；（2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，如图所示：；（3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32，∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365=292（天）．∴估计该市一年达到优和良的总天数为292天．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（6分）（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．24．（6分）（2014•衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．解答：解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．答：这两年的年平均增长率为20%．点评：考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．25．（8分）（2014•衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．考点：列表法与树状图法；二元一次方程的应用．分析：（1）首先由题意可得：2x+y=15，继而求得y与x之间的关系式；（2）根据每种奖品至少买1件，即可求得所有可能的结果；（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：2x+y=15，∴y=15﹣2x；（2）购买方案：x=1，y=13；x=2，y=11，x=3，y=9；x=4，y=7；x=5，y=5；x=6，y=3，x=7，y=1；∴共有7种购买方案；（3）∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：．点评：本题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（8分）（2014•衡阳）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．考点：旋转的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．点评：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．27．（10分）（2014•衡阳）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB的解析式，再由点的坐标求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出结论；（2）由三角函数值表示CO的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作DF⊥AB于F由三角函数值就可以求出DO，DF的值，进而得出结论．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=x+3．∴直线AB∥直线y=x．∵A（﹣4，0）、B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=5．∴sin∠BAO=，tan∠DCO=．作PE⊥AO，∴∠PEA=∠PEO=90°∵AP=t，∴PE=0.6t．∵OD=0.6t，∴PE=OD．∵∠BOC=90°，∴∠PEA=∠BOC，∴PE∥DO．∴四边形PEOD是平行四边形，∴PD∥AO．∵AB∥CD，∴四边形ACDP总是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∴tan∠DCO=tan∠BAO=．∵DO=0.6t，∴CO=0.8t，∴AC=4﹣0.8t．∵四边形ACDP为菱形，∴AP=AC，∴t=4﹣0.8t，∴t=．∴DO=，AC=．∵PD∥AC，∴∠BPD=∠BAO，∴sin∠BPD=sin∠BAO=．作DF⊥AB于F．∴∠DFP=90°，∴DF=．∴DF=DO．∴以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．点评：本题考查了待定系数法求函数的将诶相似的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的性质是关键．28．（10分）（2014•衡阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？考点：二次函数综合题．分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣2x﹣6．如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）=﹣2x2﹣6x．S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA=（﹣2x2﹣6x）×3∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3（x+）2+∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2；过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16m2+4．。
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．﹣2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339B．3.39C．33.9D．3395．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a 6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤18．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39B．35，38C．42，39D．42，359．（3分）（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝．14．（3分）（2022•衡阳）计算：＝．15．（3分）（2022•衡阳）计算：+＝．16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为．17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA 的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．25．（10分）（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2022•衡阳）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；（3）求S与t的函数关系式；（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．2022年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．﹣【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．【点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339B．3.39C．33.9D．339【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，∴a＝3.39，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．【解答】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a7，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（a m）n＝a mn是解题的关键．6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是【分析】根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D选项．【解答】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，∴a≥1，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．8．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39B．35，38C．42，39D．42，35【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．【点评】本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．9．（3分）（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．则表示为：故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【分析】先证明CD＝AD＝y，过D点作DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【解答】解：过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴，∴，∴y＝，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6，故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明△ABC∽△AED是解本题的关键．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝（x+1）2．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．14．（3分）（2022•衡阳）计算：＝4．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（3分）（2022•衡阳）计算：+＝2．【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：+＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为23．【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD 的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了4πcm．（结果保留π）【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝4π，故答案为：4π．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为10.2m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）【分析】首先证明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF＝AE＝10，Rt△BFG中，sin∠BFG＝，∴＝，∴BG＝5＝5×1.732≈8.66，∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a＝1，b＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）＝a2﹣b2+2ab+b2＝a2+2ab，将a＝1，b＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是120人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为90度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率＝即可求出答案，进而补全条形统计图；（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求出相应人数即可；（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）调查学生总数为36÷30%＝120（人），选择“E．数学园地设计”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），故答案为：120，补全统计图如下：（2）360°×＝90°，故答案为：90；（3）1200×＝300（人），答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为＝．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进阶为y元/个，由题意可得：，解得，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，∴w随a的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，∴a≤1.5（40﹣a），解得a≤24，∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．【分析】（1）把A（3，1）代入y＝可得m＝3，即得反比例函数关系式为y＝，从而B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y ＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），分三种情况：①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，，可得M（，）或（﹣，﹣）；②以CM、ON为对角线，同理可得M（，）或（﹣，﹣）；③以CN、OM为对角线，同理可得M（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2）．【解答】解：（1）把A（3，1）代入y＝得：1＝，∴m＝3，∴反比例函数关系式为y＝；把B（﹣1，n）代入y＝得：n＝＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣2；（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设M（m，），N（n，n﹣2），而O（0，0），①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，∴，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；②以CM、ON为对角线，同理可得：，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；③以CN、OM为对角线，同理可得：，解得或，∴M（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2），综上所述，M的坐标是（，）或（﹣，﹣）或（2+，﹣2）或（2﹣，﹣﹣2）．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA 的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，。
(精品中考卷)湖南省衡阳市中考数学真题及答案
2022年衡阳市初中学业水平考试试卷数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1. －2的绝对值是（ ） A. －2B. 2C.12D. 12-2. 石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示，它的主视图是（）A. B. C. D.3. 下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. 可回收物B. 其他垃圾C. 有害垃圾D. 厨余垃圾4. 为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是（ ）A. 0.339B. 3.39C. 33.9D. 3395. 下列运算正确的是（ ） A. 235a a a +=B. 3412a a a ⋅=C. ()437aa =D.32a a a ÷=6. 下列说法正确的是（）A. “任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是137. a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 1a ≥C. 1a <D. 1a ≤8. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 38，39B. 35，38C. 42，39D. 42，359. 不等式组2123x x x +≥⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.10. 下列命题为假命题的是（）A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形11. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m . 1.414≈，1.732≈2.236≈）A. 0.73mB. 1.24mC. 1.37mD. 1.42m12. 如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠.设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.） 13. 因式分解：221x x ++=_________.14. =_________. 15. 计算：2422a a a +=++_________. 16. 如图，在ABC △中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD .若8AC =，15BC =，则ACD △的周长为_________.17. 如图，用一个半径为6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm .（结果保留π）18. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10m AE =，30BDG ∠=︒，60BFG ∠=︒.已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则大雁雕塑BC 的高度约为_________m .（结果精确到0.1m . 1.732≈）三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本小题满分6分）先化简，再求值.()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-. 20.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =.21.（本小题满分8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是_________人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为_________度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率.22.（本题满分8分）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元.（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23.（本小题满分8分）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点.（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标. 24.（本小题8分）如图，AB 为O 的直径，过圆上一点D 作O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作OE AD ∥交CD 于点E ，连接BE .（1）直线BE 与O 相切吗？并说明理由； （2）若2CA =，4CD =，求DE 的长. 25.（本小题10分）如图，已知抛物线22y x x =--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C .（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值； （3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC △相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.26.（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM △与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P 运动时间为t （秒）.（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值； （2）当t 为何值时，APQ △与BMF △全等； （3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长.2022年衡阳市初中学业水平考试试卷解析数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）∵AC 平分DAB ∠，∴BAC CAD ∠=∠，∴ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形， 过D 点做DE AC ⊥于点E .则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒， ∵BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒， ∴ABC AED △∽△，∴AC ABAD AE=，∴63x y =， ∴18y x=， ∵在ABC △中，AB AC <， ∴6x <，故y 关于x 的函数图像是D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）131415 16 17 18 ()21x + 42234π10.218.【解析】∵30BDG ∠=︒且60BFG ∠=︒， ∴30DBF BFG BDG ∠=∠-∠=︒， ∴DBF BDG ∠=∠， 即10m BF DF AE ===.∴sin 608.66m BG BF ︒=⋅=≈，∴8.66 1.510.2m BC BG GC BG DA =+=+=+≈， 故答案为10.2m .三、解答题（本大题共8小题，19-20每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 解：原式222222a b ab a b ab =-++=+， 将1a =，2b =-代入式中得： 原式()21212143=+⨯⨯-=-=-.20. 证明：∵AB AC =，∴ABC △为等腰三角形， ∴B C ∠=∠， 又∵BD CE =，∴在ABD △和ACE △中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△， ∴AD AE =.21. 答：（1）因为参与B 活动的人数为36人，占总人数30%，所以总人数3612030%==人，则参与E 活动的人数为：120303630618----=人； 补全统计图如下：（2）扇形C 的圆心角为：3036090120⨯︒=︒； （3）最喜爱“测量”项目的学生人数是：301200300120⨯=人；（4）列表如下：第一项 第二项AB C D E A ——ABAC AD AE B BA ——BCBD BE C CA CB ——CDCE D DA DB DC ——DEEEAEBECED——或者树状图如下：所以，选中B 、E 这两项活动的概率为：()2100%10%20BE P =⨯=选中. 22.（1）解：设冰墩墩进价为x 元，雪容融进价为y 元. 得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩，∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元.（2）设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，设利润为w ， 得关于利润解析式()2820408800w a a a =+-=+， ∵0a >，所以利润随a 增大而增大，又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 得()3402a a ≤-，解得24a ≤.∴当a 取24时利润取得最大值为992.23.（1）解：将()3,1A 代入反比例函数解析式求得，3m =，即反比例函数解析式为3y x=，将A 代入反比例函数解析式中求得3n =-，即()1,3B --，将A ，B 代入y kx b =+，求得1k =，2b =-得2y x =-，综上反比例函数解析式为3y x=，一次函数解析式为2y x =-. （2）由题2OC =，且四边形OCNM 为平行四边形，且OC 固定， ∴M ，N 横坐标相同，设3,M t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2N t t -， ∵OC MN =即()322t t--=，解得t =，∴M或(.24.（1）证明：连接OD .∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠， 且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠， 在ODE △与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ODE OBE △≌△，∴90OBE ODE ∠=∠=︒， ∴直线BE 与O 相切.（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE =.25. 解：（1）由翻折可知：()0,2C .令220x x --=，解得：11x =-，22x =，所以，()1,0A -，()2,0B ，设图象W 的解析式为()()12y a x x =+-，代入()0,2C ，解得1a =-， 所以解析式为()2212y x x x =-++-≤≤. （2）2b =或3b =（3）如图1，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，()1,0P ； 如图2，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 点纵坐标为2，222x x --=，解得1x =2x =；所以P ⎫⎪⎪⎭；如图3，当90NCM ∠=︒时，OBC CMN △∽△，此时，直线CN 的解析式：2y x =+；联立方程组：222y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得11x =，21x =-（舍），所以()1P .因此，综上所述：P 点坐标为()1,0或⎫⎪⎪⎭或()1.26. 解：（1）M 与B 重合时，∵60A ∠=︒，∴122PA AB ==，∴2t =.（2）①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴42t t =-，∴43t =. ②当24t <≤， ∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =.∴4t =或43t =. （3）①当02t ≤≤时，PQ =，∴32MQ t =，∴2PQM S S ==△.②当24t <≤时，∵2BF t =-，)2MF t =-，∴22)BFM S t =-△，∴2PQM BFM S S S =-=+-△△，∴22,0224t S t ≤≤=⎪+-<≤⎪⎩.（4）连接AE .∵PQE △为正三角形，∴PE =，在Rt APE △中，tan PE PAE PA ∠=== ∴PAE ∠为定值.∴E 的运动轨迹为直线，AE ==， 当2t =时AE =，当4t =时AE = ∴E的运动路径长为=.。
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2019年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数 学一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）01．2-的倒数是【 B 】A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 02．下列图案中不是轴对称图形的是【 A 】A ．B ．C ．D ．03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。
我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了 2.5PM 监测指标，“ 2.5PM ”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物。
2.5微米即0.0000025米。
用科学记数法表示0.0000025为【 C 】A ．52.510-⨯ B ．52.510⨯ C ．62.510-⨯ D ．62.510⨯ 04．若一个多边形的内角和是900o，则这个多边形的边数为【 C 】A ．5B ．6C ．7D ．805．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。
如图描述了小明在散步过程中 离家的距离S （米）与散步所用的时间t （分）之间的函数关系。
根据图象，下列信息错误的是【 A 】 A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟06．下列运算结果正确的是【D】A．235x x x+= B．326x x x=g C．55x x x÷= D．()23539x x x=g07．不等式组10840xx-⎧⎨-⎩＞≤的解集在数轴上表示为【A】A． B． C． D．08．下列因式分解中正确的个数为【C】①()3222x xy x x x y++=+；②()22442x x x++=+；③()()22x y x y x y-+=+-。
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【B】A． B．C． D．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度1:1.5i=，则坝底AD的长度为【D】A．26米 B．28米 C．30米 D．46米11．圆心角为120o，弧长为12π的扇形半径为【C】A．6 B．9 C．18 D．3612．下列命题是真命题的是【D】A．四条边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。
衡阳中考数学试题及答案
衡阳中考数学试题及答案一、选择题1. 设函数 f（x）= |x - 4| + 2，当x ≥ 4 时，f（x）的值等于（）A. x - 2B. x + 2C. 2D. 4 - x2. 在抛物线 y = 2x^2 - 3x - 2 的图象上，点 P（a, -10）为切点，则实数 a 的值为（）A. 3B. -3C. 1D. -13. 在平面直角坐标系中，点 A（1, 3）和点 B（-2, 4）关于原点 O 的对称点记为 C，点 A 和 C 的中点记为 D，则线段 BD 的斜率为（）A. -2B. 1C. 2D. -14. 已知 x = 2^(-2t) + 2^(-t)，则当 t = 0 时，x 的值等于（）A. 0B. 0.5C. -1D. 15. 若正整数 a 和 b 满足 a^2 - b^2 = 35，则 a 的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题6. 某公司在去年全年的销售额为 600 万元，今年增长了 25%，则今年全年的销售额为 __________万元。
7. 在平面直角坐标系中，点 P(a, -2) 与点 Q(-2, b) 是关于原点 O 对称的点，则 a + b 的值为 __________。
8. 有一篮子里有红、黄、蓝三种颜色的球，红球占总数的 20%，黄球占总数的 30%，蓝球占总数的 50%。
已知篮子中一球为红色的概率是 1/3，则篮子中蓝球的数目为 __________个。
9. 一辆汽车原来是满油状态，已知全程共耗油 35 升，第一部分耗油与第二部分耗油的比值为 1:2，那么第一部分行程的长度是全程长度的 __________。
10. 若 y = kx 是函数 y = x^2 的图象上的一条弦，且弦与 x 轴的交点横坐标分别为 1 和 2，则实数 k 的值为 __________。
三、解答题11. 【解答】已知函数 f（x）= mx + 2，当 x = 3 时，f（x） = 4。
2022年湖南省衡阳市中考数学真题(解析版)
2022年衡阳市初中学业水平考试试卷数学一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.-2的绝对值是（）A.2B.12C.12- D.2-【答案】A【解析】【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，故选：A．2.石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【详解】解：从正面看过去，看到上下共三个矩形，所以主视图是：故选A【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3.下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（）A.可回收垃圾B.其他垃圾C.有害垃圾D.厨余垃圾【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A ．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，B ．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，C ．既是中心对称又是轴对称图形，D ．是轴对称图形但不是中心对称图形，故选C ．【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键．4.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是（）A.0.339B.3.39C.33.9D.339【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解： 339000万用科学记数法可表示为910a ⨯，3.39,a \=故选B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5.下列运算正确的是（）A.235a a a += B.3412a a a ⋅= C.()437a a = D.32a a a÷=【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算出各项的结果，再进行判断即可．【详解】解：A.2a 与3a 不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意；B.34347a a a a +==⋅，故此选项错误，不符合题意；C.()434123a a a ⨯==，故此选项错误，不符合题意；D.3232a a a a -÷==，故此选项计算正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．6.下列说法正确的是（）A.“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B.调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C.抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D.十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是13【答案】A【解析】【分析】由三角形的内角和定理可判断A ，由抽样调查与普查的含义可判断B ，C ，由简单随机事件的概率可判断D ，从而可得答案．【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件，表述正确，故A 符合题意；调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B 不符合题意；抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C 不符合题意；十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是13，与三种灯的闪烁时间相关，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的内角和定理的含义，掌握“以上基础知识”是解本题的关键．7.如果二次根式a 的取值范围是（）A.1a > B.1a ≥ C.1a < D.1a ≤【答案】B【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【详解】根据题意知1a -≥0，解得1a ≥，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．8.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.38，39B.35，38C.42，39D.42，35【答案】C【解析】【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】解：∵42出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是42；把这些数从小大排列为35，38，39，42，42，所以中位数是39，故选：C ．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.不等式组2123x x x +≥⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】2123x x x +≥⎧⎨<+⎩①②解不等式①得：1x ≥-解不等式②得：3x <不等式组的解集为13x -≤<．故选：A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.下列命题为假命题的是（）A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形【答案】C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．C 、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意．D 、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型．11.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m 1.414≈，1.732≈2.236≈）A.0.73mB.1.24mC.1.37mD. 1.42m【答案】B【解析】【分析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得1,22x =求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则上部长为（2-x ）m ，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴1,22x -=∴1 1.24x =»，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ，故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．12.如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（）A . B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先证明CD AD y ==，过D 点做DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∽△△，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【详解】解：∵AB CD ∥，∴ACD BAC ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴BAC CAD ∠=∠，∴ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形，过D 点做DE AC ⊥于点E ．则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒，∵BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒，∴ABC AED ∽△△，∴AC AB AD AE =，∴63x y =，∴18y x =，∵在ABC 中，AB AC <，∴6x <，故选D ．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明ABC AED ∽△△是解本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题）13.因式分解：2a 2a 1++=____．【答案】()2a 1+．【解析】【详解】试题分析：直接应用完全平方公式即可：()22a 2a 1a 1++=+．14.＝_____．【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】4==．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．15.计算：2422a a a +=++_________．【答案】2【解析】【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分．【详解】解：2422a a a +++242a a +=+()222a a +=+2=【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．16.如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若8AC =，15BC =，则ACD △的周长为_________．【答案】23【解析】【分析】由作图可得：MN 是AB 的垂直平分线，可得,DA DB =再利用三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：由作图可得：MN 是的垂直平分线，,DA DB ∴= 8AC =，15BC =，81523,ACD C AC CD AD AC CD BD AC BC \=++=++=+=+=V 故答案为：23【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．17.如图，用一个半径为6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm ．（结果保留π）【答案】4π【解析】【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物的高度为12064180ππ⨯⨯=（cm ）．故答案为：4π．【点睛】本题考查了弧长公式：180n R l π⋅⋅=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．18.回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10m AE =，30BDG ∠=︒，60BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则大雁雕塑BC 的高度约为_________m ．（结果精确到0.1m ．参考数据： 1.732≈）【答案】10.2【解析】【分析】先根据三角形外角求得30DBF BDG ∠=∠= ，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE =10m ，再解直角三角形求得BG 即可求解．【详解】解：∵30BDG ∠=︒且60BFG ∠=︒，∴30DBF BFG BDG ∠=∠-∠=︒，∴∠=∠DBF BDG ，即10m BF DF AE ===．∴sin 608.66m BG BF ︒=⋅=≈，∴8.66 1.510.2m BC BG GC BG DA =+=+=+≈，故答案为：10.2m ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．三、解答题（本大题共8个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.先化简，再求值：()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-．【答案】2a 2ab +，3-【解析】【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算．【详解】解：原式222222a b ab b a ab =-++=+，将1a =，2b =-代入式中得：原式()21212143=+⨯⨯-=-=-．【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20.如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明ABD ACE △≌△，从而得AD AE =．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．21.为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C 的圆心角度数为_____度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A ，B ，C ，D ，E 五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B ，E 这两项活动的概率．【答案】（1）120，见解析（2）90（3）300人（4）见解析，10%【解析】【分析】（1）由B 的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）用C 的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案；（3）用样本估计总体进行计算即可；（4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．【小问1详解】因为参与B 活动的人数为36人，占总人数30%，所以总人数36120 30%==人，则参与E活动的人数为：120303630618----=人；补全统计图如下：故答案为：120；【小问2详解】扇形C的圆心角为：3036090 120⨯︒=︒，故答案为：90；【小问3详解】最喜爱“测量”项目的学生人数是：301200300 120⨯=人；答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；【小问4详解】列表如下：第一项第二项A B C D E A——AB AC AD AEB BA——BC BD BEC CA CB——CD CED DA DB DC——DEE EA EB EC ED——或者树状图如下：所以，选中B 、E 这两项活动的概率为：()2100%10%20BE P =⨯=选中.【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．22.冰墩墩（Bing Dwen Dwen ）、雪容融（Shuey Rhon Rhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个（2）冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元【解析】【分析】（1）设冰墩墩进价为x 元，雪容融进价为y 元，列二元一次方程组求解；（2）设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，利润为w 元，列出w 与a 的函数关系式，并分析a 的取值范围，从而求出w 的最大值．【小问1详解】解：设冰墩墩进价为x 元/个，雪容融进价为y 元/个．得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩．∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．【小问2详解】设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，利润为w 元，则()2820408800w a a a =+-=+，∵0a >，所以w 随a 增大而增大，又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，得()1.540a a ≤-，解得24a ≤．∴当24a =时，w 最大，此时4016a -=，824800992w =⨯+=．答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．23.如图，反比例函数my x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于()3,1A ，()1,B n -两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为3y x=，一次函数解析式为2y x =-（2）M或(【解析】【分析】（1）分别将(3,1)A ，(1,)B n -代入反比例函数解析式，即可求得m ，n 的值，再将A ，B 两点坐标代入一次函数解析式，求得k ，b 的值；（2）若四边形OCNM 是平行四边形，则//MN OC ，且MN OC =，即M N y y OC -=，由此进行求解．【小问1详解】解：将点(3,1)A ，(1,)B n -代入m y x=，得131m m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得33m n =⎧⎨=-⎩，∴点(1,3)B --，反比例函数的解析式为3y x=；将点(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+，得133k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为2y x =-．【小问2详解】解：将0x =代入2y x =-，得2y =-，∴(0,2)C -，∴2OC =．若四边形OCNM 是平行四边形，则//MN OC ，且2MN OC ==，设3(,)M t t，(,2)N t t -，则3(2)2M N MN y y t t=-=--=，解得t =∴M或(．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．24.如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．（1）直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；（2）若2CA =，4CD =，求DE 的长．【答案】（1）相切，见解析（2）6DE =【解析】【分析】（1）先证得：90ODC ODE ∠=∠=︒，再证ODE OBE ≌，得到90OBE ODE ∠=∠=︒，即可求出答案；（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，即可求得半径，再在直角三角形CBE 中，利用勾股定理222BC BE CE +=，求解即可．【小问1详解】（1）证明：连接OD ．∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠，且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠，在ODE 与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ODE OBE ≌，∴90OBE ODE ∠=∠=︒，∴直线BE 与O 相切．【小问2详解】设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE =【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．25.如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2212y x x x =-++-≤≤（2）2b =或3b =（3）存在，()1,0或117,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或()1+【解析】【分析】（1）先求出点A 、B 、C 坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b 值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形的性质分∠CNM =90°和∠NCM =90°讨论求解即可．【小问1详解】解：由翻折可知：()0,2C .令220x x --=，解得：11x =-，22x =，∴()1,0A -，()2,0B ，设图象W 的解析式为()()12y a x x =+-，代入()0,2C ，解得1a =-，∴对应函数关系式为()()12y x x =-+-=22x x -++()12x -≤≤．【小问2详解】解：联立方程组22y x by x x =-+⎧⎨=-++⎩，整理，得：2220x x b -+-=，由△=4-4（b-2）=0得：b =3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b =2或b =3时，直线y x b =-+与图象W 有三个交点；【小问3详解】解：存在．如图1，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 与C 关于直线x =12对称，∴点N 的横坐标为1，∴()1,0P ；如图2，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 点纵坐标为2，由222x x --=，解得11172x =，212x =（舍），∴N 的横坐标为12，所以117,02P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；如图3，当90NCM ∠=︒时，OBC CMN △∽△，此时，直线CN 的解析式为2y x =+，联立方程组：222y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得11x =+21x =-（舍），∴N 的横坐标为1+，所以()1P +，因此，综上所述：P 点坐标为()1,0或117,02⎛⎫⎪⎪⎝⎭或()1+．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．26.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值；（2）当t 为何值时，APQ 与BMF 全等；（3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长．【答案】（1）2t =（2）4t =或43t =（3）())22330283248t t S t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩（4【解析】【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可；（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；（3）利用面积公式计算即可，需要根据M 在B 点左边和右边分类讨论；（4）先确定E 点的运动轨迹是一条直线，再根据24t ≤≤求点E 运动路径的长．【小问1详解】M 与B 重合时，∵60A ∠=︒，∴122PA AB ==，∴2t =.【小问2详解】①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴42t t =-，∴43t =.②当24t <≤，∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =.∴4t =或43t =.【小问3详解】①当02t ≤≤时，32PQ t =，∴32MQ t =，∴2338PQM S S t ==△.②当24t <≤时，∵2BF t =-，)2MF t =-，∴23(2)2BFM S t =-△，∴238PQM BFM S S S t =-=-+-△△，∴22,028248t t S t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩.【小问4详解】连接AE.∵PQE V 为正三角形，∴32PE t =，在Rt △APE中，32tan 2t PE PAE PA t ∠===，∴PAE ∠为定值.∴E的运动轨迹为直线，72AE t ==，当2t =时AE =，当4t =时=AE ∴E的运动路径长为-=【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．。
2023年湖南省衡阳市中考数学真题(含解析)
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D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．【详解】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；D.是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D 不合题意．故选择B ． 【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．5. 计算2312x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果正确的是（）A. 6xB. 614xC. 514x D. 9x 【答案】B【解析】【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果． 【详解】解：()236322112124x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键． 6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A. 77.35810⨯B. 37.35810⨯C. 4735810⨯D. 67.35810⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．据此可得出结果．【详解】7358万77.3581735800000=⨯=，故选：A ．【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定a 的值以及n 的值是本题的关键．7. =A. 0,0a b >>B. 0,0a b <<C. 0,0a b ≤≤D. 0,0a b ≥≥【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得0 abab≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，0,0a b∴≥≥，故选：D．【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．8. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. AB＝CDB. AB∥CDC. ∠A＝∠CD. BC＝AD【答案】A【解析】【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A、当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、当BC∥AD，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（）A.35,4294x yx y+=⎧⎨+=⎩B.94,4235x yx y+=⎧⎨+=⎩的C. 35,2494x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 94,2435x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】 【分析】根据等量关系“鸡的只数+兔的只数35=”和“2⨯鸡的只数4+⨯兔的只数94=”即可列出方程组．【详解】解：设有x 只鸡，y 只兔，由题意可得：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲与2S 乙的大小关系是（）A. 22S S >甲乙B. 22S S <甲乙C. 22S S =甲乙D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案．【详解】解：甲的平均数为51093875++++=， 甲的方差为()()()()()222222157107973787 6.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲， 乙的平均数为8686775++++=， 乙的方差为()()()()()222222187678767770.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲， ∵0.8 6.8<，∴22S S >甲乙．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，…n x 的平均数为()121n x x x x x =++，则方差()()()2222121 n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60︒”．假设三角形没有一个内角小于或等于60︒，即三个内角都大于60︒．则三角形的三个内角的和大于180︒，这与“三角形的内角和等于180︒”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60︒．上述推理使用的证明方法是（）A. 反证法B. 比较法C. 综合法D. 分析法【答案】A【解析】【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于60︒，即三个内角都大于60︒．则三角形的三个内角的和大于180︒，这与“三角形的内角和等于180︒”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60︒．以上步骤符合反证法的步骤．故推理使用的证明方法是反证法．故选：A ．【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．12. 已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（）A. 3124x x x x <<<B. 1342x x x x <<<C. 1234x x x x <<<D. 3412x x x x <<<【答案】B【解析】【分析】把12x x ，看做是直线y m =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，把34x x ，看做是直线y n =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线y m =与抛物线223y x x =+-交于A 、B 两点，直线y n =与抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13. 在平面直角坐标系中，点()3,2P --所在象限是第________象限．【答案】三【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：()3,2P --的横坐标为负数，纵坐标为负数，()3,2P ∴--在第三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++，第二象限(,)-+，第三象限(,)--，第四象限(,)+-．14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________．【答案】14##0.25 【解析】 【分析】根据公式333912=+计算即可． 【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球， ∴取出红球的概率是33139124==+， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 15. 已知5x =，则代数式2324416x x ---的值为________． 【答案】13【解析】【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +--+-+ ()()31244x x x -=-+ 34x =+ 5x =333145493∴===++x 故答案为：13【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．16. 已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是________．【答案】5【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1220c x x a⋅==-，根据该方程一个根为4-，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意可得：1,,20a b m c ===-，∴1220c x x a⋅==-， ∵该方程一个根为4-，令14x =-，∴2420x -=-，解得：25x =．故答案：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两根为1x ，2x ，则12cx x a ⋅=，12b x x a+=-． 17. 如图，在Rt ABC △中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==．以点C 为圆心，r 为半径作圆，当所作的圆与斜边AB 所在的直线相切时，r 的值为________．【答案】245【解析】【分析】根据勾股定理，得10AB ==，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB 边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．【详解】∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴10AB ==，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB 边上的高， ∴1122AB r AC BC ⨯=⨯, ∴8624105AC BC r AB ⨯⨯===， 故答案：245． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键． 18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．【答案】10【解析】【分析】先求出正五边形的外角为72︒，则1272∠=∠=︒，进而得出36AOB ∠=︒，即可求解．【详解】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角360725︒==︒， ∴1272∠=∠=︒，∴18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒， ∴共需要正五边形的个数3601036︒==︒（个）， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19. 计算：()321-+-⨯【答案】3【解析】【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．【详解】解：()321-++-⨯322=+-3=【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键．20. 解不等式组：()40213x x x -≤⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 【答案】24x <≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：()40213x x x -≤⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解不等式①得：4x ≤解不等式②得：2x >∴不等式组的解集为：24x <≤【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A ：6070x ≤<；B ：7080x ≤<；C ：8090x ≤<；D ：90100x ≤≤），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C 组中的数据为：84，84，88．九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a________，b=________，c=________．（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．【答案】（1）84，100，80%；（2）200人【解析】【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．【小问1详解】解：∵一共抽取八年级学生15人，∴中位数是排序后的第8个数据，∵1+5=6，∴第8个数据落在C组，∴a第八名学生成绩，即84a=；∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，∴100b=，∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，∴12100%80%15c=⨯=；故答案为：84，100，80%；【小问2详解】解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：665002001515+⨯=+（人），答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．22. 如图，正比例函数43y x =的图象与反比例函数12(0)y x x =>的图象相交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）分别以点O 、A 为圆心，大于OA 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B 和点C ，作直线BC ，交x 轴于点D ．求线段OD 的长．【答案】（1）()3,4A（2）256OD =【解析】【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；（2）由题意可得：CD 垂直平分OA ，连接AD ，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AD OD =，设(),0D m ，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．【小问1详解】 解：解方程组4312y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得121233,44x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩， ∵0x >，∴()3,4A ；【小问2详解】解：由题意可得：CD 垂直平分OA ，连接AD ，如图，则AD OD =，设(),0D m ，则()22234m m =-+，解得256m =， ∴256OD =． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的尺规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30︒，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．（1）求教学楼AB 的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB ．【答案】（1）教学楼AB 的高度为25.6米（2）无人机刚好离开视线EB 的时间为12秒【解析】【分析】（1）过点B 作BG DC ⊥于点G ，根据题意可得：,DC AC AB AC ⊥⊥，AC =30FDB ∠=︒，通过证明四边形GCAB 为矩形，得出BG AC ==tan 3024DG BG =⋅︒=米，最后根据线段之间的和差关系可得CG AB CD DG ==-，即可求解；（2）连接EB 并延长，交DF 于点H ，先求出24EG CG CE =-=米，进而得出BD BE =，则60BEG BDG ∠=∠=︒，则tan 60DH DE =⋅︒=米，即可求解．【小问1详解】解：过点B 作BG DC ⊥于点G ，根据题意可得：,DC AC AB AC ⊥⊥，AC =30FDB ∠=︒，∵DC AC ⊥，AB AC ⊥，BG DC ⊥，∴四边形GCAB 为矩形，∴BG AC ==∵DF DC ⊥，BG DC ⊥，∴DF BG ∥，∴30DBG FDB ∠=∠=︒，∴tan 3024DG BG =⋅︒=米，∵CD 长为49.6米，∴49.62425.6CG AB CD DG ==-=-=（米），答：教学楼AB 的高度为25.6米．【小问2详解】解：连接EB 并延长，交DF 于点H ，∵ 1.6CE =米，25.6CG =米，∴24EG CG CE =-=米，∵24DG EG ==米，BG DC ⊥，∴BD BE =，∴903060BEG BDG ∠=∠=︒-︒=︒，48DE DG EG =+=米，∴tan 60DH DE =⋅︒=（米），∵无人机以/秒的速度飞行，∴离开视线EB 12=（秒）， 答：无人机刚好离开视线EB 的时间为12秒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．24. 如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．（1）求证：AF DF =．（2）若5,sin 25AF ABD =∠=，求O 的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】（1）根据D 是AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，得到CD DA AH ==,得到ADH DAC ∠=∠即可得证．（2）根据sin 5AD ABD AB∠==，设,5AD AB x ==，运用勾股定理，得到BD ==，结合sin 5DE ABD BD ∠==，得到2DE x =，运用勾股定理，得到4BE x ==，从而得到5,22AE x EF ED DF DE AF x ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，Rt AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【小问1详解】∵D 是AC 的中点，∴CD DA =，∵DE AB ⊥，AB 是O 的直径， ∴DA AH =，∴CD DA AH ==，∴ADH DAC ∠=∠，∴AF DF =．【小问2详解】∵DE AB ⊥，AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒，∵sin 5AD ABD AB ∠==，设,5AD AB x ==，∴BD ==，∵sin 5DE ABD BD ∠==， ∴2DE x =，∴4BE x ==， ∴5,22AE x EF ED DF DE AF x ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭， Rt AEF 中，222AF AE EF =+，∴22255222x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2x =或0x =（舍去），∴510AB x ==，∴O 的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键．25. （1）[问题探究]如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外），连接PD PB 、．①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段AO 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形ABCD 换成菱形ABCD ，且60ABC ∠=︒，其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，90DPQ ∠=︒，理由见解析；③AQ =，理由见解析；（2）AQ CP =，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质证明DCP BCP ≅，即可得到结论；②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点M 、N ，如图，可得PM PN =，证明四边形AMPN 是矩形，推出90MPN ∠=︒，证明()Rt Rt HL DPN QPM ≅，得出DPN QPM ∠=∠，进而可得结论；③作PE AO ⊥交AB 于点E ，作EF OB ⊥于点F ，如图，证明AQ BE =，BE =即可得出结论； （2）先证明PQ PB =，作∥PE BC 交AB 于点E ，EG AC ∥交BC 于点G ，如图，则四边形PEGC 是平行四边形，可得EG PC =，,APE BEG 都是等边三角形，进一步即可证得结论．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴,45CD CB DCA BCA =∠=∠=︒，∵CP CP =，∴DCP BCP ≅，∴PD PB =；②DPQ ∠的大小不发生变化，90DPQ ∠=︒；证明：作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点M 、N ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，PM PN =，∴90MPN ∠=︒，∵,PD PQ PM PN ==，∴()Rt Rt HL DPN QPM ≅，∴DPN QPM ∠=∠，∵90QPN QPM ∠+∠=︒，∴90QPN DPN ∠+∠=︒，即90DPQ ∠=︒；③AQ =；证明：作PE AO ⊥交AB 于点E ，作EF OB ⊥于点F ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF 是矩形，∴45,PAE PEA EF OP ∠=∠=︒=，∴PA PE =，∵PD PB =，PD PQ =，∴PQ PB =，作PM AE ⊥于点M ，则,QM BM AM EM ==，∴AQ BE =，∵90,45EFB EBF ∠=︒∠=︒，∴sin 45EF BE ==︒，∴AQ =；（2）AQ CP =；证明：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴,,AB BC AC BD DO BO =⊥=，∴ABC 是等边三角形，AC 垂直平分BD ，∴60,BAC PD PB ∠=︒=，∵PD PQ =，∴PQ PB =，作∥PE BC 交AB 于点E ，EG AC ∥交BC 于点G ，如图，则四边形PEGC 是平行四边形，60GEB BAC ∠=∠=︒，60AEP ABC ∠=∠=︒，∴EG PC =，,APE BEG 都是等边三角形，∴BE EG PC ==，作PM AB ⊥于点M ，则,QM MB AM EM ==，∴QA BE =，∴AQ CP =．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．26. 如图，已知抛物线223y ax ax =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，过B 、C 两点作直线．（1）求a 的值．（2）将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于B '、C '两点．在直线B C ''上方的抛物线上是否存在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线BP 的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =-（2）存在31524D ⎛⎫⎪⎝⎭，，理由见详解 （3）存在点P ，直线BP 的解析式为39y x =-+或113y x =-+． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；（2）设B C ''与y 轴交于点G ，设2(,23)D t t t -++，过点D 作DE y ∥轴交B C ''于点E ，作DF B C''⊥于点F ，先证明DEF 是等腰直角三角形，再表示出DE 的长度，根据二次函数的性质即可得出结果； （3）分两种情况讨论，当点P 在直线BC 下方时，与当点P 在直线BC 上方时．【小问1详解】解：抛物线223y ax ax =-+与x 轴交于点()1,0A -， 得230a a ++=，解得：1a =-；【小问2详解】 解：存在31524D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，理由如下： 设B C ''与y 轴交于点G ，由（1）中结论1a =-，得抛物线的解析式为223y x x =-++，当0y =时，1213x x =-=，，即(10)(30)(03)A B C -，，，，，， OB OC =，90BOC ∠=︒，即BOC 是等腰直角三角形，45BCO ∴∠=︒，B C BC ''∥，45BCO B GO '∴∠=∠=︒，设2(,23)D t t t -++，过点D 作DE y ∥轴交B C ''于点E ，作DF B C ''⊥于点F ，45DEF B GO '∴∠=∠=︒，即DEF 是等腰直角三角形，设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入(30)(03)B C ，，，， 得303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的解析式为3y x =-+，将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，得直线B C ''的解析式为3y x m =-+-，(3)E t t m ∴-+-，，2223923(3)324DE t t t m t t m t m ⎛⎫=-++--+-=-++=--++ ⎪⎝⎭，当32t =时，DE 有最大值94m +，此时2DF DE =也有最大值，31524D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 【小问3详解】解：存在点P ，理由如下：当点P 在直线BC 下方时，在y 轴上取点(0,1)H ，作直线BH 交抛物线于（异于点B ）点P ，由（2）中结论，得45OBC ∠=︒，1,,90OH OA OB OC BOH COA ∴===∠=∠=︒，()≌SAS BOH COA ∴，OBH ACO ∴∠=∠，45PBC ACO PBC OBH OBC ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴，设直线BP 的解析式为11y k x b =+，代入点(30)(01)B H ，，，， 得111301k b b +=⎧⎨=⎩，解得11131k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故直线BP 的解析式为113y x =-+； 当点P 在直线BC 上方时，如图，在x 轴上取点()10I ，，连接CI ，过点B 作BP CI ∥交抛物线于点P ，∴PBC BCI ∠=∠，∴190OI OA OC OC COI COA ===∠=∠=︒，，，()COI COA ∴≌SAS ，OCI ACO ∴∠=∠，45PBC ACO BCI OCI OCB ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴，设直线CI 的解析式为22y k x b =+，代入点(10)(03)I C ，，，， 得22203k b b +=⎧⎨=⎩，解得2233k b =-⎧⎨=⎩， 故设直线CI 的解析式为33y x =-+，BP CI ∥，且过点(30)B ，, 故设直线BP 的解析式为3y x n =-+，∴033n =-⨯+，解得9n =，∴直线BP 的解析式为39y x =-+．综上所述：直线BP 的解析式为39y x =-+或113y x =-+． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．。
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2021 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数学一、选择题〔本大题共12个小题，每题 3分，总分值 36分。
在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目 要求的。
〕 01．2的倒数是【 B 】 A ．1B ． 1C ．2D．222 A 】02．以下图案中不是轴对称图形的是【A ．B ．C ．D ． 03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。
我国新修订的?环境空气质量标准?中增加了PM 监测指标，“ PM 〞是指大气中危害健康的直径小于或等于 微米的颗粒物。
微米即 米。
用科学记数法表示 为【C 】A ． 105B ． 105C ． 106D ．10604．假设一个多边形的内角和是 900o，那么这个多边形的边数为【 C 】A ．5B ．6C ．7D ．805．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。
如图描述了小明在散步过程中离家的距离S 〔米〕与散步所用的时间 t 〔分〕之间的函数关系。
根据图象，以下信息错误的选项是【 A 】A ．小明看报用时 8分钟B ．公共阅报栏距小明家 200米C ．小明离家最远的距离为 400米D ．小明从出发到回家共用时 16分钟 06．以下运算结果正确的选项是【 D 】A ．x 2x 3 x 5 B ．x 3gx 2x 6C ．x 5xx 52D ．x 3g3x9x 5x ＞07．不等式组1 的解集在数轴上表示为【A 】8 ≤4xA ．B ．08．以下因式分解中正确的个数为【C ．D ．】①x 32xyxxx 22y ；②x 24x 42③x 2y 2xyxy 。
x2； A ．3个 B ．2个 C ．1个 D．0个09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，那么下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【B 】A ．B ．C ．D ．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽 10米，坝高12 米， 斜坡AB 的坡度i ，那么坝底AD 的长度为【 D 】A ．26米B ．28米C ．30米D．46米11．圆心角为120o ，弧长为12的扇形半径为【C】A ．6B．9D C．18D．3612．以下命题是真命题的是【】 A ．四条边都相等的四边形是矩形 B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题〔本大题共 8个小题，每题 3分，总分值 24分。
(完整word)2019年湖南省衡阳市中考数学试题(含答案),推荐文档
2019年衡阳市初中学业水平测试试卷数 学31. -的绝对值是43 34 4 A. — B.— C. — D.—44331 2. --------------------- 如果分式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x 1A.X 1B.X 1C.全体实数D.x 13.2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球 65000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月 L2点Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示 65000公里为公里.4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是考生注意: 、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，满分36分）A.0.65 X 105C.6.5X 104A. 8a 3b 计算正确的是5ab2 \3B.(a )a 5 AF 交CD 于点E ,且 c_C.a 78BE XAF ,a 2 D.a 2/ BED=40°,则/a a 3A 的度数是C.80°D.90°5.下列各式6.如图，已知 AB //CD,B •线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C 相等的角是对顶角D.矩形的对角线互相平分且相等2x 3x9•不等式组的整数解是x 42A. 0B. -1C. -2D. 110•国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区 会各界的努力，2018年底贫困人口减少至 1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得12.如图，在直角三角形 ABC 中，/ C=90°, AC=BC E 是AB 的中点，过点E 作AC 与BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点ABC 的重叠部分面积为 S,则S 关于t 的函数图象大致为、填空题（本大题共22016年底有贫困人口 9万人，通过社A.9(1 2x)B.9(1 x)21C.9(12x)D.9(1 x)2111.如图一次函数 y 1kx b （ k 0）的图象与反比例函数y 2m（ m 为常数且m 丰0）的图象都经过 A （-1, 2） , B x（2,-1）,结合图象，则不等式kx bm 的解集是 xA.x 1B. 1 x 0C.x 1 或 0 x 2D. 1 x 0 或 x 2F ,四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点 C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDE 卩和厶6个小题，每小题 3分，满分18分）13.因式分解：2a 8 __________14.在一个不透明布袋里装有 3个白球、2个红球和a 个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别，若从该布袋里任 1 个球，该球是黄球的概率是，则a 等于2 -----------------------------------------------------------一 3 = _____ .x 1 x 11 x17•已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ____________ . 218.在平面直角坐标系中，抛物线y x 的图象如图所示•已知A 点坐标为(1, 1),过点A 作AA 1// x轴交抛物线于点A 1,过点A 1作A 1A 2 / OA 交抛物线于点 A 2,过A 2作A 2A 3 / x 轴交抛物线于点 A 3,过A 作A 3A 4 / OA 交抛物线于点 A 4, 依次进行下去，则点 A 2019的坐标为________________________ .三、解答题(本大题共 8个小题，19-20每题6分，21-24每题8分，25题10分，26题12分，满分66分) 19. (本题6分)13.—()| 3 2| tan60 ( 2019)220. (本题6分)某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程： A.绘画；B 唱歌；C 演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选的课程情况进行了统计，并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请结合统计图的信息，解决下列问题(1) 这次学校抽查的学生人数是意摸出1 15. . 27 16. 计(2) 将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人?21. （本题8分）关于x的一元二次方程x2 3x k 0有实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m 1）x2 x m 3 0与方程x2 3x k 0有一个相同的根, 求此时m的值.22. （本小题8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A处的仰角为60° .已知坡面CD=10米，山坡的坡度i 1 : . 3 （坡度i是指坡面的沿铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考数据:23. （本题8分）如图，点A,B,C在半径为8的圆O上，过点B作BD // AC ,交OA延长线于点D，连接BC ,且/ BCA= / OAC=30（1）求证: BD是圆O的切线；（2）求图中阴影部分的面积24. （本题8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等•（1）求购买1个A商品和1个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？25. （本题10分）如图，二次函数y x2 bx c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上的一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当P点在线段OB （点P不与0、B点重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：△ MNB的面积是否存在最大值？若存在，求此时点的坐标；若不存在，请说明理由26. (本题12分)如图，在等边厶ABC中，AB=6cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t( s) •过点P作PEL AC与点E,连接PQ交AC于点D,以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时，△ BPQ为直角三角形；(2)是否存在某一刻t，使点F在/ ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由•(3)求DE的长；(4)取线段BC的中点M，连接PM,将厶BPM沿直线PM翻折，得△ B PM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值•参考答案、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D D B B C B B C C、填空题18. ( 1010,10102) 三、解答题 19. 原式=8 2 3 .3 1 920. (1)40(2)如右图4(3)解：100010040故该校1000人中报D 约有100人21.解.(1)由一元二次方程x 2 3x k 0有实根，则判别式9 4k 0 k -4(2)k 的最大整数为2，所以方程x 2 3x 20的根为1和2.2 2由方程x 3x k 0与一元二次方程(m 1)x x m 3 0有一个相同根，则232213.2a 82(a 2)( a 2)14.515.2 316. 117. 6 3课程况的条形统计圏(m 1) 1 1 m 3 0 即m 或(m 1) 2 2 m 3 0，即m 1 ；当m 1 时,23m 1 0不合题意，故m -222.解：设楼房AB的高为x米则EB亍，由坡度i 1：，3则坡面CD的铅直高度为5米坡面的水平宽度为5力米，所以 5 . 3 10 3x 「3(x 5),3 解得x 15 5 3 23.7米 OB AC,Q BD PAC OB BD ，而B 在圆上，所以BD 为圆的切线要15元，买一个 B 商品需要5元。
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷和答案
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷和答案一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．﹣2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．可回收物B．其他垃圾C．有害垃圾D．厨余垃圾4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是（）A．0.339B．3.39C．33.9D．3395．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a 6．（3分）下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是7．（3分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1 8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动（单位：人）分别是：35，38，42，42（）A．38，39B．35，38C．42，39D．42，35 9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下），等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，AC 平分∠DAB．设AB＝x，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：x2+2x+1＝．14．（3分）计算：＝．15．（3分）计算：+＝．16．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连接AD．若AC＝8，BC＝15．17．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）18．（3分）回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE ＝10m，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）三．答案题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝120．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且BD＝CE．求证：AD ＝AE．21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查根据以上信息，答案下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，E这两项活动的概率．22．（8分）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，求点M的坐标．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，请说明理由．26．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F（平方单位），点P运动时间为t（秒）．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；（3）求S与t的函数关系式；（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时答案一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【知识点】绝对值．【答案】解：|﹣2|＝2，故选：B．2．【知识点】简单组合体的三视图．【答案】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．3．【知识点】中心对称图形；轴对称图形．【答案】解：A．既不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．4．【知识点】科学记数法—表示较大的数．【答案】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，∴a＝2.39，故选：B．5．【知识点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【答案】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并；B选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a；故选：D．6．【知识点】列表法与树状图法；三角形内角和定理；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；随机事件．【答案】解：A选项，三角形内角和为180°；B选项，全国中学生人数众多，故该选项不符合题意；C选项，抽样调查的样本容量越大，故该选项不符合题意；D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等；故选：A．7．【知识点】二次根式有意义的条件．【答案】解：由题意得：a﹣1≥0，∴a≥4，故选：B．8．【知识点】众数；中位数．【答案】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，42，众数为42，中位数为39，故选：C．9．【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【答案】解：，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．则表示为：故选：A．10．【知识点】命题与定理．【答案】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题；故选：C．11．【知识点】黄金分割；近似数和有效数字．【答案】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣，经检验，x＝，∴x＝﹣3≈1.24，故选：B．12．【知识点】动点问题的函数图象．【答案】解：过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝4，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴，∴，∴y＝，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6，故选：D．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．【知识点】因式分解﹣运用公式法．【答案】解：x2+2x+3＝（x+1）2，故答案为：（x+5）2．14．【知识点】二次根式的乘除法．【答案】解：原式＝＝＝2．故答案为：415．【知识点】分式的加减法．【答案】解：+＝＝＝2，故答案为：7．16．【知识点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【答案】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．故答案为：23．17．【知识点】弧长的计算．【答案】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，即＝2π，故答案为：4π．18．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【答案】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF＝AE＝10，Rt△BFG中，sin∠BFG＝，∴＝，∴BG＝3＝5×6.732≈8.66，∴BC＝BG+CG＝8.66+4.5≈10.2（m）．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．三．答案题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．【知识点】整式的混合运算—化简求值．【答案】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）＝a2﹣b7+2ab+b2＝a2+2ab，将a＝1，b＝﹣5代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝5﹣4＝﹣3．20．【知识点】全等三角形的判定与性质．【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．21．【知识点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【答案】解：（1）调查学生总数为36÷30%＝120（人），选择“E．数学园地设计”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），故答案为：120，补全统计图如下：（2）360°×＝90°，故答案为：90；（3）1200×＝300（人），答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为＝．22．【知识点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【答案】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y 元/个，由题意可得：，解得，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，∴w随a的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的4.5倍，∴a≤1.6（40﹣a），解得a≤24，∴当a＝24时，w取得最大值，40﹣a＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润．23．【知识点】反比例函数综合题．【答案】解：（1）把A（3，1）代入y＝3＝，∴m＝3，∴反比例函数关系式为y＝；把B（﹣1，n）代入y＝n＝＝﹣3，∴B（﹣5，﹣3），将A（3，7），﹣3）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；答：反比例函数关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣4；（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣2），设M（m，），N（n，而O（0，∵四边形OCNM是平行四边形，∴CM、ON为对角线，，解得或，∴M（，）或（﹣，﹣）；24．【知识点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直线与圆的位置关系．【答案】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC7，∴r2+45＝（r+2）2，∴r＝8，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝3+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC6+BE2＝CE2，∴42+BE2＝（6+DE）2，∴64+DE2＝（3+DE）2，∴DE＝6，∴DE的长为2．25．【知识点】二次函数综合题．【答案】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴C（8，2），当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣8）（x+1）＝0，∴x3＝2，x2＝﹣4，∴A（﹣1，0），5），设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（8，2）代入得：﹣2a＝7，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜4）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，x2﹣2x+b﹣4＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣7）＝0，∴b＝3，综上，b的值是5或3；（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图4，CN∥OB，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图5，CN∥OB，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，0）；如图4，当∠MCN＝90°时，∴CN的解析式为：y＝x+2，∴x+2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），∴P（1+，5），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+．26．【知识点】四边形综合题．【答案】解：（1）M与B重合时，如图1，∵PQ⊥AB，∴∠PQA＝90°，∴PA＝AB＝2，∴t＝2；（2）①当2≤t≤2时，∵AM＝2t，∴BM＝6﹣2t，∵△APQ≌△BMF，∴AP＝BM，∴t＝4﹣2t，∴t＝；②当6＜t≤4时，∵AM＝2t，∴BM＝3t﹣4，∵△APQ≌△BMF，∴AP＝BM，∴t＝2t﹣7，∴t＝4；综上所述，t的值为4或；（3）①0≤t≤4时，如图2，在Rt△APQ中，PQ＝t，∴MQ＝t，∴S＝t＝；②当8＜t≤4时，如图3，∵BF＝t﹣3，MF＝，∴S△BFM＝BF•MF＝，∴S＝S△PQM﹣S△BFM＝﹣；∴S＝；（4）连接AE，如图5，∵△PQE为等边三角形，∴PE＝t，在Rt△APE中，tan∠PAE＝，∴∠PAE为定值，∴点E的运动轨迹为直线，∵AP＝t，∴AE＝＝＝t，当t＝6时，AE＝，当t＝4时，AE＝6，∴E点运动路径长为2﹣＝．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试题及答案(WORD版)
2020 年衡阳市初中学业水平考试试题数学、选择题 （本大题 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分 ）在每个小题给出的四个选项中，只 有一个是符合要求的．） 5 6 6B ． 3.1× 105 元C ．3.2×106元D ． 3.18× 106元【答案】 C3． （ 2020湖南衡阳， 3，3 分）如图所示的几何体的主视图是（答案】 A1． （2020 湖南衡阳， 1，3 分） 1的相反数是1A ．B ．55【答案】 D2． （ 2020 湖南C ．-51D ．－5元用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（ 2，3 分）某市在一次扶贫助残活动中， 共捐款 3185800 元，将 3185800A ．3.1×106元A ．B ．C ．D ．【答案】 B4． （2020 湖南衡阳， 图形的是（ ）4，3 分）下列几个图形是国际通用的交通标志， 其中不是中心对称 5．D ．2020 湖南衡阳，5，3 分） 列计算，正确的是（ 236 A ． 2x 2 8x 6B ．a 6a 2a 3 C ． 3a 2 2a 2 6a 2D ．306． 2020 湖南衡阳， 6，3 分） 函数 y x 3中自变量 x1x 的取值范围是7． A ． x ≥－3B ． x【答案】 B≥－3且 x 1 C ． x 1 D ． x 3且 x 17，3 分）下列说法正确的是（1A ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是 ”表示抽奖 100 次就一定会中奖100B ．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上C ．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为 61D ．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是 6 的概率是13【答案】 D8． （2020 湖南衡阳， 8， 3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 MNPO 的顶点 P 坐标是（ 3， 4），则顶点 M 、 N 的坐标分别是（ ）A ．M （5， 0），N （8， 4）B ．M （4，0），N （8，4）C ．M （5，0），N （7， 4）D ．M （4，0），N （7，4） 【答案】 A9． （2020 湖南衡阳， 9，3 分）如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1：3 ，堤 高 BC=5m ，则坡面 AB 的长度是（ ）A ．10mB ．10 3 mC ．15mD ． 5 3m 【答案】 A10．（ 2020 湖南衡阳， 10，3 分）某村计划新修水渠 3600 米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效 1.8 倍，结果提前 20 天完成任务，若设原计修水渠 x 米，则下面所列方程正确的是） [21 世纪教育网3600 36003600 3600 3600 3600A ．B ． 20C ．20x 1.8x1.8x xx 1.8x3600 3600D ． 20x 1.8x【答案】 C二、填空题 （本大题 8 个小题，每小题3 分，满分 24 分 ）11．（ 2020 湖南衡阳， 11，3 分）计算12 3．【答案】 3 312．（ 2020 湖南衡阳， 12，3 分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 ．21世纪教育网1【答案】122213．（2020 湖南衡阳， 13，3 分）若m n 2，m n 5，则m2 n2的值为．【答案】 1014．（ 2020湖南衡阳， 14，3 分）甲乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在 6 天众每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1、；乙： 1、0、2、1、 0、2．则甲、乙两台机床中性能较稳定的是．【答案】乙15．（2020湖南衡阳， 15，3分）如图，一次函数 y kx b 的图象与 x 轴的交点坐标为 （2，0），则下列说法：① y 随 x 的增大而减小；② b >0 ；③关于 x 的方程 kxb 0 的解【答案】 ①②③16．（ 2020湖南衡阳， 16，3 分）如图，⊙ O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G ，∠ EOD =40 则∠FCD 的度数为 ．【答案】 818．（ 2020 湖南衡阳，CD ，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x ，△ ABP的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图所示，那么△ ABC 的面积是 ．为 x 2 ．其中说法正确的有（把你认为说法正确的序号都填上）【答案】 2017．（ 2020 湖南衡阳， ABC 折叠，使点 17，3 分） C 与点 A 重合，如图所示，在△ ABC 中，∠ B=90°， AB=3，AC=5，将△【答案】 10三、解答题 （本大题共有 9 个小题， 19．（ 2020 湖南衡阳， 19，6 分） 满分 66 分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． ） 1．先化简，再求值． 2x 1 x x 2 ，其中 x 解】原式 = x 222x 1 x2x =2x 21，18，3 分）如图所示，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC ， [来源:21 世纪教育网 ]11当x 时，原式 = 22222 1 31= +1=x 3≤ 0， ① 20．(2020湖南衡阳， 20，6分)解不等式组 3x x 3 102 2x 1 1 ② ，并把解集在数轴上表示出来．【解】 由①得 x ≤3，由②得 x 2 ，不等式组的解集为 2 x ≤3．解集在数轴上表 示为21．( 2020 湖南衡阳， 21，6 分)如图，在△ ABC 中， AD 是中线，分别过点 B 、C作 AD 及其延长线的垂线 BE 、 CF ，垂足分别为点 E 、F ．求证： BE=CF ．【证明】∵在△ ABC 中， AD 是中线，∴BD=CD ，∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ，∴∠CFD ＝∠BED ＝90° ，在△ BED 与△CFD 中， ∵∠ BED ＝∠ CFD ，∠ BDE ＝∠ CDF ， BD ＝ CD ，∴△ BED ≌△ CFD ，∴ BE= CF ．22．( 2020湖南衡阳， 22，6分)李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2020元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、 乙两种蔬菜各种植了多少亩？【 解 】 设 李 大 叔 去 年 甲 种 蔬 菜 种 植 了 x 亩 ， 乙 种 蔬 菜 种 植了 y 亩 ， 则，解得x 6，，答李大叔去年甲种蔬菜种植了 18000 y 4菜种植了 4 亩．23．( 2020 湖南衡阳， 23， 6 分)我国是世界上严重缺水的国家之一， 2020 年春季以来，我省遭受了严重的旱情，某校为了组织“节约用水从我做起”活动，随机调查了本校120 名同学家庭月人均用水量和节水措施情况，如图 10、图 11 是根据调查结果做出的统计图的一部分．请根据信息解答下列问题： (1) 图 10中淘米水浇花所占x y 10， 2000x 1500y6 亩，乙种蔬的百分比为；(2)图 10 中安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为；(3)补全图 11(4)如果全校学生家庭总人数为 3000 人，根据这 120 名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量是多少吨？图 10图 11【解】 (1)15 ﹪； (2)108°；(3) 120－ 10－41－33－16=20，如下图：(4)(30×1＋41×2＋20×3＋33×4＋16×5)÷ 120=3.2 3.2×3000=9600(吨)答：全校学生家庭月用水总量是 9600 吨．24．( 2020湖南衡阳， 24， 8分)如图，△ ABC 内接于⊙ O，CA=CB，CD∥AB 且与OA 的延长线交与点 D．(1)判断 CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；(2)若∠ ACB=120 °，OA=2，求 CD 的长．【解】 (1) CD 与⊙O 的位置关系是相切，理由如下：作直径 CE，连结 AE．∵CE 是直径，∴∠ EAC＝ 90°，∴∠ E＋∠ ACE= 90°，33x∵CA=CB ，∴∠ B ＝∠ CAB ，∵ AB ∥ CD ，∴∠ ACD ＝∠ CAB，∵∠ B＝∠ E，∠ ACD＝∠ E，［来源:21世纪教育网］∴∠ ACE ＋∠ ACD= 90°，即∠ DCO= 90°， ∴OC ⊥D C ，∴CD 与⊙ O 相切．（2）∵CD ∥AB ，OC ⊥D C ，∴ OC ⊥A B ， 又∠ ACB=120 °，∴∠ OCA ＝∠ OCB= 60°，∵ OA=OC ，∴△ OAC 是等边三角形， ∴∠ DOA=60 °，DC ∴在 Rt△DCO 中， DCtan DOA = 3 ，OC∴DC= 3 OC= 3 OA=2 3 ．25．（ 2020湖南衡阳， 25， 8分）如图，已知 A ， B 两点的坐标分别为 A （0， 23），B （2，0）直线 AB 与反比例函数 y m的图像交与点 C 和点 D （ -1， a ）．x（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）求∠ ACO 的度数；（3）将△ OBC 绕点 O 逆时针方向旋转 α角（ α为锐角），得到△ OB ′C ′，当 α为多少度 时 OC ′⊥ AB ，并求此时线段 AB ′的长．解】（1）设直线 AB 的解析式为 y kx b，将 A （0，2 3） ，B （2，0）代入解析式 y kx b 中，得b 2 3,，解得2k b 03, 23．∴直线 AB 的解析式为 y 3x 2 3 ；将 D-1， a ）代入 y 3x3 3 ，∴点 D 坐标为（ -1 ， 3 3 ），将 D （-1，33 x3 3 ）代入 y m 中得 mx∴反比例函数的解析式为 y在Rt△ AOB 中，tanABO AO2 3= 3 ，∴ ABO 60 ，OB 2∴∠ ACO= ABOCOE 30．[ 来源:21 世纪教育网 ](3) 如图，∵ OC ′⊥ AB ，∠ ACO =30°， ∴ = ∠COC ′=90 °－ 30°=60°，∠ BOB ′= =60°，∴∠ AOB ′=90°－∠ BOB ′=30°，∵ ∠ OAB=90°－∠ ABO=30°， ∴∠ AOB ′= ∠OAB ， ∴ AB ′= OB ′=2．答：当 α为 60 度时 OC ′⊥AB ，并求此时线段 AB ′的长为 2．26．( 2020湖南衡阳， 26，10分)如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，AB=m(m>4)，点 P是 AB 边上的任意一点(不与 A 、B 重合)，连结 PD ，过点 P 作 PQ ⊥PD ，交直线 BC 于 点 Q ．(1)当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若 不存在，说明理由；(2)连结 AC ，若 PQ ∥AC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示)(3)若△ PQD 为等腰三角形，求以 P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积 S 与m 之间的函 数关系式，并写出 m 的取值范围．y(2)解方程组y3x 2 3, 3 3 得x3 x 1 3 y 1133 过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M ，则在 Rt △OMC 中，CM3 ， OM 3，∴ tan COMCMOM，∴ COM 30 ，∴点 C 坐标为( 3，22BQ，∴ BQ 4162 ．4m2∴∠ BPQ=∠ADP ，又∠ B=∠A=90°，∴△ PBQ ≌△ DAP ， ∴ PB=DA=4， AP=BQ= m 4 ，∴以 P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为： S 四边形PQCD = S 矩又∠ B=∠ A=90°， ∴△，∴∠ BPC=∠ADP ， PBPBC ∽△ DAP ，∴∴10 AP 4 4 AP长 2 或 8．(2) 如下图，∵ PQ ∥ AC ，∴∠ BPQ=∠ BAC ，∵∠BPQ=∠ADP AB BC∠B=∠DAP=90°，∴△ ABC ∽△ DAP ，∴，DA APAP 2 或 8，∴存在点 P 使得点 Q 与点 C重合，出此时 AP 的 ∴∠4AP ，BAC=∠ADP，又 ∴AP16．解】 (1) 假设当 m=10 时，存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合(如下图)，∵PQ ⊥PD ∴∠DPC=90°，∴∠ APD ＋∠ BPC=90°， 又∠ ADP ＋∠ APD =90° ∵PQ ∥ AC ，∴∠ BPQ=∠BAC ，∵∠ B=∠ B ，∴△ PBQ ∽△ABC ，(3)由已知 PQ ⊥PD ，所以只有当 DP =PQ 时，△ PQD 为等腰三角形(如图)，2211AB DA AP PB BQ 22形 ABCD－S △ DAP － S △QBP = DA11 =4m 4 m 44 m 4 =16(4< m ≤8)．1 2 727．（ 2020湖南衡阳， 27，10 分）已知抛物线 y x 2mx 2m ．22（1）试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）如图，当该抛物线的对称轴为直线 x =3时，抛物线的顶点为点 C ，直线 y=x －1 与抛物线交于 A 、B 两点，并与它的对称轴交于点 D ．①抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由；②平移直线 CD ，交直线 AB 于点 M ，交抛物线于点 N ，通过怎样的平移能使得 C 、D 、 M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．解(1) 2=m4172 2m m4m 7 = m 24m 43=2m 23 ，∵不22管m 为何实数， 总有 2m 2 ≥0，∴ 2= m 2 3> 0，无论m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点．（2）∵ 抛物线的对称轴 为直线 x=3， ∴m 3抛物线的解析式为 y 12 x 3x 5 1 x3 2 22 ，顶点 C 坐标为（ 3， －2），2 2 =2yx 1,x 1 1 x 2 7 A 的坐标为（解方程组 1 2 5 ，解得 或 ，所1，0）、B y 2x 3x 5y 1 0 y 2 622的坐标为（ 7， 6），∵ x 3时 y= x － 1= 3－ 1= 2，∴ D 的坐标为（ 3，2），设抛物线的 对称轴与 x 轴的交点为 E ，则 E 的坐标为（ 3，0），所以 AE=BE=3，DE=CE=2， ① 假设抛物线上存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形， 则 AP 、CD 互相垂直平分且相等，于是 P 与点 B 重合，但 AP=6，CD=4，AP ≠CD ，故抛物线上不存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形．② （Ⅰ）设直线 CD 向右平移n 个单位（n >0）可使得 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析式为 x=3 n ，直线 CD 与直线 y=x － 1 交于点 M （3 n ，2 n ），又∵ D 的坐标为（ 3，2）， C 坐标为（ 3，－ 2），∴ D 通过向下 平移 4 个单位得到 C ．∵ C 、 D 、 M 、 N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形．（ⅰ）当四边形 CDMN 是平行四边形，∴ M 向下平移 4 个单位得 N ， ∴N 坐标为（ 3 n ， n 2），15 1 25 又 N 在抛物线 y1x 23x5 上，∴ n 2 13n 23 3 n5， 2222解得 n 1 0 （不合题意，舍去）， n 2 2，（ⅱ）当四边形 CDNM 是平行四边形，∴ M 向上平移 4 个单位得 N ，∴ N 坐标为（ 3 n ， n又 N 在抛物线 y12 5上，∴ 12 5222 2解得n 1 1 17 (不合题意，舍去），n 2 1 17 ，位，可使得 C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．（Ⅱ） 设直线 CD 向左平移 n 个单位（ n >0）可使得 C 、D 、M 、N 行四边形，则直线 CD 的解析式为 x=3 n ，直线 CD 与直线 y=x －1 交于点 M （3 n ， 2 n ），又∵ D 的坐标为（ 3，2）， C 坐标为（ 3，－2），∴D 通过向下平移 4个单位 得到 C ．∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形， 形 CDNM 是平行四边形． （ⅰ）当四边形 CDMN 是平行四边形，∴∴N 坐标为（ 3 n ， 2 n ）， 15 又 N 在抛物线 y x 23x 上，∴22为顶点的四边形是平 ∴四边形 向下平移 CDMN 是平行四边形或四边 4 个单位得 N ， 1 n3 252，解得 n 1 0 （不合题意，舍去）， n 2不合题意，舍去），ⅱ）当四边形 CDNM 是平行四边形，∴∴N 坐标为（ 3 n ， 6 n ）， 12向上平移 4 个单位得 N ， 解得 n 1 1 17 ， n 2 1综上所述， 直线 CD 向右平移 5 上，∴ 6 n 1 3 22 17 （不合题意，舍去），2 或（ 1 17 ）个单位或向左平移 5，2， 1 17 ）个单。
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2-的绝对值是()A．2-B．2C．12D．12-【分析】根据绝对值的定义，可直接得出2-的绝对值．【解答】解：|2|2-=，故选：B．2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是()A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是() A．可回收物B．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是()A ．0.339B ．3.39C ．33.9D ．339【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【解答】解：339000万93390000000 3.3910==⨯，3.39a ∴=，故选：B ．5．（3分）下列运算正确的是()A ．235a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．347()a a =D ．32a a a÷=【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的乘法判断B 选项；根据幂的乘方判断C 选项；根据同底数幂的除法判断D 选项．【解答】解：A 选项，2a 与3a 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B 选项，原式7a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式a =，故该选项符合题意；故选：D ．6．（3分）下列说法正确的是()A ．“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B ．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C ．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D ．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是13【分析】根据三角形内角和定理判断A 选项；根据普查与抽样调查判断B 选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C 选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D 选项．【解答】解：A 选项，三角形内角和为180︒，故该选项符合题意；B 选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C 选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D 选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A ．7．（3a 的取值范围是()A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围．【解答】解：由题意得：01-a ≥，即1a ≥，故选：B ．8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是()A ．38，39B ．35，38C ．42，39D ．42，35【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．9．（3分）不等式组2123xx x+⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是()A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：2123xx x+⎧⎨<+⎩①②，解①得1x-，解②得3x<．则表示为：故选：A．10．（3分）下列命题为假命题的是()A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A 是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C 是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D 是真命题，不符合题意；故选：C ．11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m ．参考数据： 1.414≈，1.732≈ 2.236)(≈)A ．0.73mB ．1.24mC ．1.37mD ．1.42m【分析】设下部高为xm ，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为x m ，则上部高度是(2)x m -，雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴22x x x -=，解得1x =或1x =-（舍去），经检验，1x =-是原方程的解，1 1.24x ∴=-≈，故选：B ．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，//AB CD ，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为()A ．B ．C ．D ．【分析】先证明CD AD y ==，过D 点作DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【解答】解：过D 点作DE AC ⊥于点E ．//AB CD ，ACD BAC ∴∠=∠，AC 平分DAB ∠，BAC CAD ∴∠=∠，ACD CAD ∴∠=∠，则CD AD y ==，即ACD ∆为等腰三角形，则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ∴===，90AED ∠=︒，BAC CAD ∠=∠ ，90B AED ∠=∠=︒，ABC AED ∴∆∆∽，∴AC AB AD AE=，∴63x y =，18y x ∴=， 在ABC ∆中，AB AC <，6x ∴<，故选：D ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：221x x ++=2(1)x +．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．14．（3=4．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式4===．故答案为：415．（3分）计算：2422a a a +=++2．【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++242a a +=+2(2)2a a +=+2=，故答案为：2．16．（3分）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若8AC =，15BC =，则ACD ∆的周长为23．【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD BD=，进而可得ACD∆的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，AD BD∴=，ACD∴∆的周长为：81523AC CD AD AC CD BD AC BC++=++=+=+=．故答案为：23．17．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了4πcm．（结果保留)π【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120︒的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120︒所对应的弧长，即12064 180ππ⨯=，故答案为：4π．18．（3分）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10AE m=，30BDG∠=︒，60BFG∠=︒．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为10.2m．（结果精确到0.1m．参考数据： 1.732)≈【分析】首先证明10BF DF==，在Rt BFG∆中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．【解答】解：60BFG∠=︒，30BDG∠=︒，603030DBF∴∠=︒-︒=︒，DBF BDF∴∠=∠，10DF BF AE∴===，Rt BFG∆中，sin BGBFGBF∠=，∴3102BG=，5 1.7328.66 BG∴==⨯≈，8.66 1.510.2()BC BG CG m∴=+=+≈．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）先化简，再求值．()()(2)a b a b b a b+-++，其中1a=，2b=-．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把1a=，2b=-代入计算即可．【解答】解：()()(2)a b a b b a b+-++2222a b ab b=-++22a ab=+，将1a=，2b=-代入上式得：原式2121(2)=+⨯⨯-14=-3=-．20．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =．求证：AD AE =．【分析】由“SAS ”可证ABD ACE ∆≅∆，可得AD AE =．【解答】证明：AB AC = ，B C ∴∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=．21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是120人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率=频数总数即可求出答案，进而补全条形统计图；（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求出相应人数即可；（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）调查学生总数为3630%120÷=（人)，选择“E．数学园地设计”的有120303036618----=（人)，故答案为：120，补全统计图如下：（2）30 36090120︒⨯=︒，故答案为：90；（3）301200300120⨯=（人)，答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为21 2010=．22．（8分）冰墩墩(Bing Dwen)Dwen、雪容融(Shuey Rhon)Rhon分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，由题意可得：1551400136x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；（2）设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进(40)a -个，利润为w 元，由题意可得：2820(40)8800w a a a =+-=+，w ∴随a 的增大而增大，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，1.5(40)a a ∴-，解得24a ，∴当24a =时，w 取得最大值，此时992w =，4016a -=，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．23．（8分）如图，反比例函数m y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于(3,1)A ，(1,)B n -两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【分析】（1）把(3,1)A 代入m y x =可得3m =，即得反比例函数关系式为3y x=，从而(1,3)B --，将(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+即可得一次函数的关系式为2y x =-；（2）在2y x =-中得(0,2)C -，设3(,M m m ，(,2)N n n -，而(0,0)O ，由CM 、ON 中点重合列方程组可得M 或(M ，．【解答】解：（1）把(3,1)A 代入m y x =得：13m =，3m ∴=，∴反比例函数关系式为3y x =；把(1,)B n -代入3y x=得：331n ==--，(1,3)B ∴--，将(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+得：313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的关系式为2y x =-；答：反比例函数关系式为3y x=，一次函数的关系式为2y x =-；（2）在2y x =-中，令0x =得2y =-，(0,2)C ∴-，设3(,)M m m，(,2)N n n -，而(0,0)O ， 四边形OCNM 是平行四边形，CM ∴、ON 的中点重合，003220m n n m +=+⎧⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，M ∴或(；24．（8分）如图，AB 为O 的直径，过圆上一点D 作O 的切线CD 交BA 的延长线于点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．（1）直线BE 与O 相切吗？并说明理由；（2）若2CD=，求DE的长．CA=，4【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得90∠=︒，然后利用平行线和等腰三角形ODE的性质可得OE平分DOB∆≅∆，最后利∠=∠，进而可证DOE BOE∠，从而可得DOE EOB用全等三角形的性质即可解答；（2）设O∆中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论 的半径为r，先在Rt ODC可得DE BE=，最后在Rt BCE∆中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE与O相切，理由：连接OD，相切于点D，CD与O∴∠=︒，ODE90，AD OE//∠=∠，∴∠=∠，DAO EOBADO DOE，=OD OA∴∠=∠，ADO DAO∴∠=∠，DOE EOB=，，OE OE=OD OB∴∆≅∆，()DOE BOE SASOBE ODE∴∠=∠=︒，90是O的半径，OB相切；∴直线BE与O（2）设O的半径为r，在Rt ODC ∆中，222OD DC OC +=，2224(2)r r ∴+=+，3r ∴=，26AB r ∴==，268BC AC AB ∴=+=+=，由（1）得：DOE BOE ∆≅∆，DE BE ∴=，在Rt BCE ∆中，222BC BE CE +=，2228(4)BE DE ∴+=+，2264(4)DE DE ∴+=+，6DE ∴=，DE ∴的长为6．25．（10分）如图，已知抛物线22y x x =--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作//PM y 轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN ∆与OBC ∆相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令0x =和翻折的性质可得(0,2)C ，令0y =可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出图象W 的解析式；（2）利用数形结合找出当y x b =-+经过点C 或者y x b =-+与22y x x =--相切时，直线y x b =-+与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y x b =-+经过点(0,2)C 时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b 值；②当y x b =-+与22y x x =--相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式△0=，即可求出b 值．综上即可得出结论；（3）先确定BOC ∆是等腰直角三角形，分三种情况：90CNM ∠=︒或90MCN ∠=︒，分别画图可得结论．【解答】解：（1）当0x =时，2y =-，(0,2)C ∴，当0y =时，220x x --=，(2)(1)0x x -+=，12x ∴=，21x =-，(1,0)A ∴-，(2,0)B ，设图象W 的解析式为：(1)(2)y a x x =+-，把(0,2)C 代入得：22a -=，1a ∴=-，2(1)(2)2y x x x x ∴=-+-=-++，∴图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式为：22(12)y x x x =-++-<<；（2）由图象得直线y x b =-+与图象W 有三个交点时，存在两种情况：①当直线y x b =-+过点C 时，与图象W 有三个交点，此时2b =；②当直线y x b =-+与图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数图象相切时，如图1，22x b x x -+=-++，2220x x b -+-=，△2(2)41(2)0b =--⨯⨯-=，3b ∴=，综上，b 的值是2或3；（3）2OB OC == ，90BOC ∠=︒，BOC ∴∆是等腰直角三角形，如图2，//CN OB ，CNM BOC ∆∆∽，//PN y 轴，(1,0)P ∴；如图3，//CN OB ，CNM BOC ∆∆∽，当2y =时，222x x --=，240x x --=，1x ∴=2x =，P ∴，0)；如图4，当90MCN ∠=︒时，OBC CMN ∆∆∽，CN ∴的解析式为：2y x =+，222x x x ∴+=--，11x ∴=+，21x =-（舍)，(1P ∴+，0)，综上，点P 的坐标为(1,0)或117(2，0)或(1+0)．26．（12分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM ∆与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒)．（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值；（2）当t 为何值时，APQ ∆与BMF ∆全等；（3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t 时，求点E 运动路径的长．【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；（2）分两种情况：①当02t 时，②当24t <时，由全等三角形的性质得出关于t 的方程，解方程可得出答案；（3）分两种情况：①当02t 时，②当24t <时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；（4）连接AE ，由直角三角形的性质得出PAE ∠为定值，则点E 的运动轨迹为直线，求出AE 的长，则可得出答案．【解答】解：（1）M 与B 重合时，如图1，PQ AB ⊥ ，90PQA ∴∠=︒，122PA AB ∴==，2t ∴=；（2）①当02t 时，2AM t = ，42BM t ∴=-，APQ BMF ∆≅∆ ，AP BM ∴=，42t t ∴=-，43t ∴=；②当24t <时，2AM t = ，24BM t ∴=-，APQ BMF ∆≅∆ ，AP BM ∴=，24t t ∴=-，4t ∴=；综上所述，t 的值为4或43；（3）①02t 时，如图2，在Rt APQ ∆中，32PQ =，32MQ t ∴=，211322228S PQ MQ t ∴=⋅=⨯⨯=；②当24t <时，如图3，2BF t =-，2)MF t =-，213(2)22BFM S BF MF t ∆∴=⋅=-，238PQM BFM S S S ∆∆∴=-=-+-；2233(02)834)8t S t t ⎧⎪⎪∴=⎨⎪-+-<⎪⎩；（4）连接AE ，如图4，PQE ∆为等边三角形，PE ∴=，在Rt APE ∆中，332tan 2t PE PAE PA t ∠===，PAE ∴∠为定值，∴点E 的运动轨迹为直线，AP t =，72AE ∴===，当2t =时，AE =，当4t =时，AE =E ∴点运动路径长为-=．。
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x +1⎩2015 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数学考生注意：1、本学科试卷共三道大题，满分120 分，考试时量120 分钟。
2、本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B 铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框。
直接在试卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题3 分，满分36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算(-1)0+-2的结果是（ D ）．A．－3 B．1 C．－1 D．32.下列计算正确的是（ A ）．A. a +a = 2a B．b 3 ⋅b3 = 2b 3 C．a 3 ÷a =a 3 D．(a5)2=a73.如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（C ）．C．D．4.若分式 x-2的值为0，则x的值为（ C ）．x +1A．2 或－1 B．0 C．2 D．－15.函数y =中自变量x的取值范围为（ B ）．A. x ≥ 0B. x ≥-1C. x >-1D. x > 16.不等式组⎧x≥-2的解集在数轴上表示为（ B ）．⎨x < 1A.B．C．D．7.已知等腰三角形的两边长分别是5 和6，则这个等腰三角形的周长为（ D ）．A．11 B．16 C．17 D．16 或17A. B．3 8 2 8. 若关于 x 的方程 x 2 + 3x + a = 0 有一个根为－1，则另一个根为（ B ）．A ．－2B ．2C ．4D ．－39．下列命题是真命题的是（ A ）．A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．对角线相等的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形10. 在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ C ）． A ．50 元，30 元B ．50 元，40 元C ．50 元，50 元D ．55 元，50 元11. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米．设绿地的宽为 x 米，根据题意，可列方程为（ B ）． A ． x (x -10)= 9002 ⎣ x + (x +10)⎦ = 900B ． x (x +10)= 900C ． 10 (x +10)= 900D ．12. 如图，为了测得电视塔的高度 AB ，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD ，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30°，再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60°，则这个电视塔的高度 AB （单位：米）为（ C ）．A ． 50C ． 50 +1B ．51 D ．101二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分．） 13．在－1，0，－2 这三个数中，最小的数是－2．14．如图，已知直线 a ∥ b ，∠1＝120°，则∠2 的度数是 60°．15．计算： - = 2 ． 16．方程 1=3 的解为 x = -1 ．x x - 217. 圆心角为 120°的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为3（结果保留）．18. 如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB ，选取可以直达 A 、B 两点的点 O 处，再分别取OA 、OB 的中点 M 、N ，量得 MN ＝20m ，则池塘的宽度 AB 为 40m ． 19．已知 a + b = 3 ， a - b = -1 ，则 a 2 - b 2 的值为－3．320.如图，△ A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n+1，都是等腰直角三角形．其中点A1，A2，…，A n在x 轴上，点B1，B2，…，B n，在直线y =x上．已知OA1= 1 ，则OA2015的长为22014 ．三、解答题（本大题共8 个小题，满分60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分6 分）先化简，再求值a(a-2b)+(a+b)2 ，其中a =-1 ，b=．解：原式＝a2 - 2ab +a2 + 2ab +b2＝2a2 +b2∵a =-1 ，b =∴ 2a2 +b2 ＝2+ 2 ＝4．22．（本小题满分6 分）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质揣测．体质揣测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格“的百分比为 40%．（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格“等级的学生有16 人．（3）若该校九年级有400 名学生，估计该校九年级体质为“不合格“等级的学生约有128 人．23．（本小题满分6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B11；（2）把△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，22点C2在AB 上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．解：（1）△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为（6，2）．24．（本小题满分6 分）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从 4 名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．解：画树状图如下所示：第一名主持人：男①男②女①女②第二名主持人：男② 女① 女②男① 女① 女②男① 男② 女②男① 男② 女①共有12 种可能出现的结果，其中“恰好为一男一女”的有8 种；∴P＝8＝ 2 ．12 325．（本小题满分8 分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4 微克/毫升的持续时间为多少小时？解：（1）由图象可知，当0 ≤x ≤ 4 时，y 与x 成正比例关系，设y =kx ．由图象可知，当x = 4 时，y = 8 ，∴ 4k = 8 ，解得：k = 2 ；∴y = 2x (0 ≤x ≤ 4)又由题意可知：当4 ≤x ≤ 10 时，y 与x 成反比，设y =m ．x由图象可知，当x = 4 时，y = 8 ，∴ m = 4 ⨯ 8 = 32 ；∴y =32 (4 ≤x ≤ 10)x即：血液中药物浓度上升时y = 2x (0 ≤x ≤ 4)；血液中药物浓度下降下y = 32 (4 ≤x ≤ 10)．x（2）血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升即：y ≥ 4∴ 2x ≥ 4 且32≥ 4 ，解得 x ≥ 2 且 x ≤ 8 ；x∴ 2 ≤ x ≤ 8 ，即持续时间为 6 小时． 26．（本小题满分 8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 、D 为半圆 O 的三等分点，过点 C 作 CE ⊥AD ，交 AD 的延长线于点 E ．（1） 求证：CE 为⊙O 的切线；（2） 判断四边形 AOCD 是否为菱形？并说明理由．解：（1）证明：连接 OD ，∵点 C 、D 为半圆 O 的三等分点，∴∠BOC 1BOD＝ ∠12又 ∠BAD ＝ ∠BOD2 ∴∠BOC ＝∠BAD∴AE ∥OC∵AD ⊥EC∴OC ⊥EC∴CE 为⊙O 的切线．（2）四边形 AOCD 是菱形；理由如下：∵点 C 、D 为半圆 O 的三等分点∴∠AOD ＝∠COD ＝60°∵OA ＝OD ＝OC∴△AOD 和△COD 都是等边三角形∴OA ＝AD ＝DC ＝OC ＝OD ∴四边形 AOCD 是菱形．27．（本小题满分 10 分）如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y = x +1 相交于 A 、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为2，连结 AM 、BM ．（1） 求抛物线的函数关系式；（2） 判断△ABM 的形状，并说明理由；（3） 把抛物线与直线 y = x 的交点称为抛物线的不动点． 若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（ m ，2m），⎩ ⎨ 当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？解：（1）∵点 A 是直线 y = x +1 与 x 轴的交点，∴A 点为（－1，0）∵点 B 在直线 y = x + 1 上，且横坐标为 2，∴B 点为（2，3）∵过点 A 、B 的抛物线的顶点 M 在 y 轴上，故设其解析式为： y = ax 2 + c∴ ⎧a + c = 0 ⎨4a + c = 3 ，解得： ⎧a = 1 ⎩c = -1∴抛物线的解析式为 y = x 2 -1 ．（2）△ABM 是直角三角形，且∠BAM ＝90°．理由如下：作 BC ⊥ x 轴于点 C ，∵A （－1，0）、B （2，3）∴AC ＝BC ＝3，∴∠BAC ＝45°；点 M 是抛物线 y = x 2 - 1 的顶点，∴M 点为（0，－1）∴OA ＝OM ＝1，∵∠AOM ＝90°∴∠MAC ＝45°；∴∠BAM ＝∠BAC ＋∠MAC ＝90°∴△ABM 是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（ m ， 2m ），则其解析式为 y = (x - m )2+ 2m ．∵抛物线的不动点是抛物线与直线 y = x 的交点，∴ (x - m )2+ 2m = x化简得： x 2 - (2m +1)x + m 2 + 2m = 0∴ ∆ ＝ ⎣- (2m +1)⎦2- 4 ⨯1⋅ (m 2 + 2m )＝-4m + 1 当-4m +1 ≥ 0 时，方程 x 2 - (2m +1)x + m 2 + 2m = 0 总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 ∴ m ≤ 1．4 28．（本小题满分 10 分）如图，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，点 P 为 OA 边上任意一点（与点 O 、A 不重合），连结 CP ，过点 P 作 PM ⊥CP 交 AB 于点 D ，且 PM ＝CP ，过点 M 作 MN ∥OA ，交 BO 于点 N ，连结 ND 、BM ，设 OP ＝ t ．（1） 求点 M 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2） 试判断线段 MN 的长度是否随点 P 的位置的变化而改变？并说明理由；（3） 当t 为何值时，四边形 BNDM 的面积最小．解：（1）如图，作 ME ⊥ x 轴于点 E ，则∠MEP ＝∠POC ＝90°∵PM ⊥CP ，∴∠CPM ＝90°；∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°∴∠MPE＝∠PCO，∵PM＝CP∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝t∴OE＝4＋t；∴点M 的坐标为（4＋t，t）．（2）线段MN 的长度不变．理由如下：由题意知：OA＝OB＝4，∴点B 坐标为（4，4），∴直线OB 的解析式为y=x ∵MN∥OA，点M 为（4＋t，t），点N 的坐标为（t，t）∴MN＝(4 +t )-t ＝4，即线段MN 的长度不变．（3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°∴△DAP∽△POC，∴ AD=AP，OP OC ∵OP＝t ，OC＝4，∴AP＝4－t∴AD=4 - t，∴AD＝t (4 - t)，t 4 4t (4 - t)＝t2 - 4t +16∴BD＝4- 44∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD∵S 四边形BNDM＝1MN ⋅ BD 2∴S＝1t2 - 2t + 8 2∵ t = 1> 0 ，∴S 有最小值，2且当t =--22⨯12= 2 时，S 最小值＝6．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。