计算机在材料科学复习题1-19题的答案

式中，为材料的密度kg m3 ; c为材料的比热容J kg K ;
t为时间s; x , y , z分别是材料沿x, y, z方向的热导率W m K ; Q Qx, y, z,t是物体内部的热源密度W kg。
7．当无内热源及稳态时热量平衡方程可简化为何方程？当在某个方向上温度变 化为零时热量平衡方程可简化为何方程？当在某两个方向上温度变化为零时 即一维情况下，稳态热量平衡方程中场变量 T 的通解是怎样的？
更普遍情况下的导热微分方程。
6．三维瞬态温度场的热量平衡方程是怎样的？它是根据什么导出的？方程中各 项的物理意义如何?
答：三维维瞬态温度场的热 平衡方程是：
c
T t
x
T x
y
T y
z
T z
Q
0
它是根据能量守恒定律，平行六面体中单位时间内 增加的热
量＝单位时间内净流入的热 量。
15. 掌握求近似值语句 N 的用法。
答：“N”是 Mathematic a 的函数，表示求近似值，可以指定有效位数。
如： N[Pi, 18] 为： 3.14159265358979324
16、掌握画图语句 Plot 的用法 答： Mathematica 具有强大而灵活的作图能力。 一般的二维图形（一元函数作图）： 如：Plot[ Sin[x], {x, -2Pi, 2Pi}]
j
1
2
1 l
2
T i,
j
1 2
1 2
T i,
j
1
1
22
Ti,j1 2源自1 2T i,j
1
1
22
1 l 2
Ti, j1 2Ti, j Ti, j1
将(1),(2)代入二维拉普拉斯方程中，得到：
1
(l)2 Ti1, j 4Ti, j Ti1, j Ti, j1 Ti, j1 0
0.5,0
y
0.5
T (x,0.5) 200x
T (0.5, y) 200y
0.5
7 89
4 56
1 23
0
0.5
x,i
解：
边界条件给出边界各点的温度
内部各点满足拉普拉斯方程 －>差分方程：
Ti, j
1 4
Ti1, j
Ti1, j
Ti, j1 Ti, j1
写出 1－9 各点的方程，解此线性方程组得出其温度
LinearSolve[{{3,-2,1},{1,10,-1}, {-3,-2,1}},{6,2,0}] －－求一个由方程式的解组成的向量
1 1, , 4
2
也可以写成： 3 21
m 1 10 1 ; 3 21
b={6,2,0}；（在指令后加上“；”，表示运算但不显示结果。） LinearSolve[m,b]
答：计算机模拟是指建立研究对象的数学模型或描述模型并在计算机上加以体现和试验。 材料科学中，可用于数值模拟的物理场有：温度场、应力场、浓度场。
3．数学模型的定义是什么？按照不同的分类方法数学模型的分类情况怎样？数 学模型的根本作用是什么？
答：数学模型的定义是：利用数学语言对某种事物（系统）的特征和数量关系建立起来 的符号系统。
10．离散化网格的选择方法有哪些？ 答：离散化网格的选择方法有：物理划分法和几何划分法
11. 差分的组成有哪几类？分别是怎样定义的？ 答：
① 一阶向前差分：把函数 f(x)在每个小区间上 X K , X K1 的变化量 fk1 fk 称为 f(x)
在 X K 的一阶向前差分。记为： fk fk1 fk f (xk1) f (xk )
6
8
x ,y
, x 2, y 0
5
5
18、掌握求解线性方程组语句 LinearSolve 的用法。 答： 用 Mathematic a 相应功能解方程 如：Solve[{3x1-2x2+x3==6,x1+10x2-x3==2, -3x1-2x2+x3==0},{x1,x2,x3}] -－解包含三个变量的方程组 1 x1 1, x2 , x3 4 2
答：
1、当无内热源及稳态时热量平衡方程可简化 为：
c
T t
x
T x
y
T y
z
T z
0
2、当在某个方向上如 z 方向上的温度变化为零时热量平衡方程可简化为：
c
T t
x
T x
y
T y
Q
0
3、当在某两个方向上如 y 和 z 方向上温度变化为零时热量平衡方程可简化为：
c T T Q 0 t x x
b.热流边界条件：
y
0,0
x
L1 ,
T y
qw
c.绝热边界条件：
x
L1,0
y
T L2 , x
0
d.给定温度边界条件：
L2
k
绝热
i, j 1
Tf
i 1, j i, j i 1, j
i, j 1
0 L1
y L2,0 x L1,T Tw
qw
x,i
设Δx=Δy＝Δl, Ti,j 表示结点(i,j)处的温度，以差分代替微分，以差商代替微商， 建立差分方程。
② 二阶向前差分 ：对一阶向前差分再取一次差分称，记为：
2 fk (fk ) fk1 fk ( fk2 fk1) ( fk1 fk ) fk2 2 fk1 fk
③ 一阶向后差分： fk fk fk1 f (xk ) f (xk1)
④ 二阶向后差分： 2 fk (fk ) fk fk1
上的关系是否仍成立？如果不成立，则应分别写成何式？
答：当划分网格时
x，y
轴两方向步长均匀且相等时，Ti, j
1 4
Ti1, j
Ti1, j
Ti, j1 Ti, j1
当划分网格时 x，y 轴两方向步长均匀但不相等时，以上关系不成立，应写成：
2T
x2
1 x 2
Ti1, j 2Ti, j Ti1, j
学模型的根本作用是 ：将客观事物抽象化、简单化、可推理化，使得人们可用（数 学）逻辑的方法来预见、分析、推理、解决待确定的问题。
4．建立数学模型的基本步骤如何？常用的数学建模方法有哪些？ 答：建立数学模型的基本步骤： a.建模准备－确立建模课题，进行建模筹划。 b.建模假设－建立模型最关键的一步。 c.构造模型－构造出刻画实际问题的模型。 d.模型求解－借助计算机完成对模型的求解。 e.模型分析－对模型求解的数值结果进行分析。 f.模型检验－回到实际中去对模型进行检验。 g.模型应用－将其用于解决实际问题。 常用的数学建模方法：理论分析法、模拟方法、类比分析法
5．固体的导热方程是怎样的？方程中各项物理量的名称和意义如何？
答：
qx
T x
式中，qx是x 方向的热流密度W m2 ;是材料的热导率W m K ;
T x 是x方向上的温度梯度K m; 负号表示传热的方向与温度梯
度 的 方 向 相 反 。根 据F o u rier方 程 ， 可 以 运 用 能 量 守恒 原 理 推 导 出
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
-1
2
4
6
Mathematica 也可以同时作出不同的函数。 如：Plot[ {Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}, {x, -2Pi, 2Pi} ]
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
2
4
6
-1
17、掌握求解代数方程语句 Solve 的用法。 答：Solve 命令还可以用来求方程组的解。 如：Solve[{2x+y==4,x2+y2==4},{x,y}]
2T
x2
2Ti, j x 2
1 l
2
T i
1, 2
j
T i
1
,
j
2
1 l
2
T i
1 2
1 2
,
j
T i
1
1
,
j
22
T i
1 2
1 2
,
j
T i
1
1
,
j
22
1 l 2
Ti1, j 2Ti, j Ti1, j
2T
y 2
2Ti, j y 2
1 l
2
Ti
,
j
1 2
T i,
2T 1
y2 y 2 Ti, j1 2Ti, j Ti, j1
13. 掌握如何运用有限差分法求解具体的二维稳态导热问题。
答：二维、无内热源时的稳态热传导微分方程为： 2T x2
2T y 2
0
四个边上的边界条件分别为：
Y,j
a.对流边界条件：
Tw
x
0,0
y
L2 ,
T x
k(T
Tf )
稳态热量平衡方程中场变量 T 的通解是：（答案不确定，仅供参考）
Ti, j
1 4
Ti1, j
Ti1, j
Ti, j1 Ti, j1
8．求解热量平衡方程的定解条件有哪几类？他们各自的物理意义和数学表达式 是怎样的？
答：求解热量平衡方程的定解条件有初始条件和边界条件两大类，边界条件又可分为： 第一类边界条件（即绝热边界条件）；第二类边界条件（即热流边界条件）；第三类 边界条件（即对流边界条件）。初始条件又叫给定温度边界条件。
分布。
T={6.25,12.5,18.75,12.5,25.,37.5,18.75,37.5,
56.25}
--通过差分法将二维拉普拉斯方程（微分方程）简化为代数方程组
14. 数学软件 Mathematica 具有哪些功能？ 答： ① 将符号运算、数值计算与图形显示结合在一起的数学软件 ② 它提供了功能强大的程序设计语言，可以定义用户需要的各种函数。