(完整word版)高中数学人教版必修三+选修1-1综合测试3(2)

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高中数学人教版选修1-1阶段质量检测(三) Word版含解析

阶段质量检测（三）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．下列各式正确的是( )．( α)′＝α(α为常数)．( )′＝．( )′＝．(－)′＝－－解析：选由导数运算法则易得，注意选项中的α为常数，所以( α)′＝.．下列函数中，在(，＋∞)内为增函数的是( )．＝．＝．＝－．＝－解析：选只有中′＝＞在(，＋∞)内恒成立．．一质点的运动方程为＝＋(＝ )，则＝时的瞬时速度为( )．．．．解析：选＝′()＝，∴当＝时，＝＝.．若函数＝()的导函数在[，]上是减函数，则＝()在[，]上的图象可能是( )解析：选由导数的几何意义可知，当导函数单调递减时，原函数随自变量的增加，切线的斜率逐渐变小．．若曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程是－＋＝，则( )．＝－，＝．＝，＝．＝－，＝－．＝，＝－解析：选∵′＝＋，∴曲线＝＋＋在(，)处的切线方程的斜率为，切线方程为－＝，即－＋＝.∴＝，＝.．对于上的可导函数()，若(－)′()≥，则必有( )．()＋()＞()．()＋()＜()．()＋()≤()．()＋()≥()解析：选①若′()不恒为，当＞时，′()≥，当＜时，′()≤，∴()在(，＋∞)上为增函数，(－∞，)上为减函数，∴()＞()，()＜()，即()＋()＞()．②当′()＝恒成立时，()＝()＝()，∴()＋()＝()．综合①②可知，()＋()≥()．．函数＝－在[－]上的最大值为( )．．－．．－解析：选′＝－＝(－)，列表：单调递增单调递减单调递增．已知()＝＋，∈，则导函数′()是( )．仅有极小值的奇函数．仅有极小值的偶函数．仅有极大值的偶函数．既有极小值也有极大值的奇函数解析：选∵′()＝＋，∈，∴′()是偶函数．令()＝＋，则′()＝－，∈.由′()＝，得＝.又∈时′()>；∈时′()<，∴∈时()即′()仅有极大值．．(天津高考)设函数()＝＋－，()＝＋－.若实数，满足()＝，()＝，则( )。

(完整word)数学必修三综合测试题[含答案解析],推荐文档

数学必修三综合测试题一、选择题1．算法的三种基本结构是（）A ．顺序结构、模块结构、条件分支结构B ．顺序结构、条件结构、循环结构C ．模块结构、条件分支结构、循环结构D ．顺序结构、模块结构、循环结构2. 一个年级有12个班，每个班有学生50名,并从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）A.分层抽样B.抽签抽样C.随机抽样D.系统抽样3. 某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员（）A.3人B.4人C.7人D.12人4.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表.则样本在区间（－∞，50）上的频率为( )A.0.5B.0.25C.0.6D.0.75、把二进制数)2(111化为十进制数为 ( )A 、2B 、4C 、7D 、8 6. 抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 ( )A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品7. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.( )A.21B.31 C.41 D.不确定 8.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不胜的概率是( ) A. 21 B.65 C.61 D.32 9．某银行储蓄卡上的密码是一种4位数号码,每位上的数字可在0到9中选取,某人只记得密码的首位数字,如果随意按下一个密码,正好按对密码的概率为( )A ． 4101 B. 3101 C.2101 D.101 10. 甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为（）①甲队的技术比乙队好 ②乙队发挥比甲队稳定③乙队几乎每场都进球 ④甲队的表现时好时坏A.1B.2C.3D.411．已知变量a ,b 已被赋值，要交换a, b 的值，应采用下面（）的算法。

2020-2021人教版数学1-1章末综合测评3

2020-2021学年人教A版数学选修1-1章末综合测评3章末综合测评(三)（时间:120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列导数运算正确的是(）A．错误!错误!＝1＋错误!B．（2x）′＝x2x－1C．（cos x）′＝sin x D．(x ln x)′＝ln x＋1D［错误!错误!＝1－错误!；(2x)′＝2x ln 2；（cos x）′＝－sin x；(x ln x）′＝ln x＋1，故选D．］2．曲线y＝f（x）＝x3－3x2＋1在点（2，－3）处的切线方程为（）A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2C[因为y′＝f′（x)＝3x2－6x,则曲线y＝x3－3x2＋1在点（2，－3）处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y ＝－3.］3．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝错误!gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为错误!，在t＝2的瞬时速度为v2，则错误!和v2关系为（)A．错误!〉v2B．错误!<v2C．v＝v2D．不能确定C[错误!＝错误!＝错误!＝2g，又s′（t)＝gt，∴v2＝2g.故错误!＝v2。

］4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是（)A．错误!B．错误!C．错误!，错误!D．错误!，错误!A[f（x）的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝2x－错误!＝错误!，当0〈x≤错误!时，f′（x)≤0，故f（x)的单调递减区间为错误!.］5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈［0,1]）的最大值是（）A．1 B．错误!C．0 D．－1A[f′（x）＝3－12x2,令f′（x)＝0，则x＝－错误!（舍去）或x ＝错误!,f（0）＝0，f(1)＝－1，f错误!＝错误!－错误!＝1,∴f（x)在［0，1］上的最大值为1.]6．函数f(x）＝x3＋ax2＋3x－9,已知f(x）在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2 B．3C．4 D．5D［f′（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0，∴3×(－3)2＋2a×（－3)＋3＝0，∴a＝5.］7．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′（x)的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能的是（)D[D中若上面图象为函数，其左侧导数应大于0，不合题意；若下面图象为函数，其x〈0时有单调递减区间,其相应导数应小于0，也不合题意，故D不可能，故选D．]8．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数:y1＝17x2，生产成本y2（万元）是产量x（千台)的函数：y2＝2x3－x2（x〉0)，为使利润最大，应生产(）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台A[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6），令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．］9．设函数f（x）＝x3＋ax2，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0）)处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(）A．(0，0) B．(1，－1）C．(－1,1) D．（1，－1)或(－1,1）D［由题易知,f′（x）＝3x2＋2ax,所以曲线y＝f（x)在点P(x0,f(x0)）处的切线的斜率为f′(x0)＝3x20＋2ax0，又切线方程为x＋y ＝0，所以x 0≠0，且错误!解得a ＝±2，x 0＝－错误!。

高中数学选修1-1综合测试(含详细答案)

选修1—1综合测试时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．答案：D2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()A．0个B．2个C．3个D．4个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误．答案：B3．设椭圆的标准方程为x2k－3＋y25－k＝1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是()A．4<k<5 B．3<k<5 C．k>3 D．3<k<4解析：由题意知，k －3>5－k >0，解得4<k <5. 答案：A4．已知f (x )＝3x 5－5x 3，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－1,1)解析：∵f ′(x )＝15x 4－15x 2，令f ′(x )＝15x 4－15x 2≤0，可得－1≤x ≤1. ∴f (x )的单调递减区间为(－1,1)．答案：D5．已知条件p ：|x －1|<2，条件q ：x 2－5x －6<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：命题p ：－1<x <3，记A ＝{x |－1<x <3}，命题q ：－1<x <6，记B ＝{x |－1<x <6}， ∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．答案：B6．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．则下列判断正确的是( )A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．綈p ∧q 为真命题D ．綈p ∨綈q 是假命题解析：易知p 假，q 真，从而可判断得C 正确．答案：C7．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A8．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A ．k <13B ．0<k ≤13 C ．0≤k <13D ．k ≤13解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥0，f ′(4)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f ′(0)≤0，解得k ≤13.答案：D9．设x ，y ∈R 满足x ≤2，y ≤3，且x ＋y ＝3，则z ＝4x 3＋y 3的最大值为( )A ．24B ．27C ．33D ．45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤3，y ＝3－x ，得0≤x ≤2.∵z ＝4x 3＋y 3＝4x 3＋(3－x )3＝3x 3＋9x 2－27x ＋27，∴z ′＝9x 2＋18x －27.令z ′＝9x 2＋18x －27＝0，可得x ＝1或x ＝－3. ∵z 在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增， ∴z 在x ＝1时取极小值，z (1)＝12. ∵z (0)＝27，z (2)＝33，故当x ＝2时，z max ＝33. 答案：C10．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，故b ＝3.因此a ＋b ＝7，选C. 答案：C11．落在平静水面上的石头，使水面产生同心圆形波纹，在持续一段时间内，若最外一圈波的半径r (单位：米)与时间t (单位：秒)的函数关系是r ＝8t ，则在2秒末扰动水面面积的变化率为( )A ．512π米2/秒B ．256π米2/秒C ．144π米2/秒D ．72π米2/秒解析：根据题意，可知最外一圈波的面积与时间的关系为S ＝64πt 2，故在t ＝2时的导数值，即S ′|t ＝2＝128πt |t ＝2＝256π.答案：B12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如右图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a . ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a .∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a . ∴1<ca ≤3，即1<e ≤3. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．命题p ：∃m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是________，此命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 为特称命题，所以綈p 是全称命题，∴綈p 是∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0没有实数根．∵m ≥2或m ≤－2时，Δ≥0，即该方程有实数根，所以p 真，綈p 假．答案：∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0没有实数根假14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ∈(1,2)，则其中一条渐近线的斜率取值范围是________．解析：e ＝a 2＋b 2a ∈(1,2)，解得0<ba <3，又双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，故其中一条渐近线的斜率取值范围是(0，3)或(－3，0))．答案：(0，3)或(－3，0)15．若f (x )＝ax 3－x 2－x ＋1在(1,2)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )在(1,2)上是减函数， ∴f ′(x )＝3ax 2－2x －1≤0，x ∈(1,2)， ∴a ≤2x ＋13x 2在x ∈(1,2)时恒成立，令u ＝2x ＋13x 2＝23x ＋13x 2 ＝13[(1x ＋1)2－1]，1x ∈(12，1)． ∴512<u <1.∴a ≤512，即所求a 的取值范围是(－∞，512]．答案：(－∞，512]16．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4，得k ＝－1或2，当k ＝－1时，x 2－4x ＋4＝0有两个相等的实数根，不合题意．当k ＝2时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215. 答案：215三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a <0.(1)若p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)∵方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴3－t >t ＋1>0.解得－1<t <1.(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴{t |－1<t <1}是不等式t 2－(a －1)t －a <0解集的真子集．解方程t 2－(a －1)t －a ＝0得t ＝－1或t ＝a .①当a >－1时，不等式的解集为{t |－1<t <a }，此时，a >1.②当a ＝－1时，不等式的解集为∅，不满足题意．③当a <－1时，不等式的解集为{t |a <t <－1}，不满足题意．综上，a >1.18．(12分)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．解：(1)取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0n ·BB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)．故cos n ，A 1C → ＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.19．(12分)某单位用2 160万元购买了一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)． ∴f ′(x )＝48－10 800x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当10<x <15时，f ′(x )<0. ∴当x ＝15时，f (x )取最小值，f (15)＝2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．20．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝43a .(1)求该椭圆的离心率．(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程．解：(1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1| ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a . 得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3.由|MP |＝|MQ |得k MN ＝－1.即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.21．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，故当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ；由f ′(x )<0，解得－a <x <a .故当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．(2)因为f (x )在x ＝－1处取得极大值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0.所以a ＝1.所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，又f (－3)＝－19<－3，f (3)＝17>1，结合f (x )的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．22．(12分)(2014·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p . 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22 ＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。

人教版数学选修1-1综合测试题

高二数学(sh ùxu é)选修(xu ǎnxi ū)1－1质量(zh ìli àng)检测试题(shìtí)（卷）2018.1姓名(x ìngm íng)：座号：班级：分数：一，（选择题共60分）题号 123456789101112答案1. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（）A. B.C.24y x =-或24x y =D. 或2. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（） A.B.C.22110084x y += 或 D. 221259x y +=或3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（） A. B.C.D.4. 已知函数，则＝A. B.C. D. 5. 已知，，，则函数在处的导数值为（）A.B. C.D.6. 已知两定点，，曲线上的点P 到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A. B.C. D.7. 设是椭圆上的点， 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则的值为A. 10B. 8C. 6D. 4 8、已知圆与抛物线的准线相切，则为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9、已知双曲线－＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（） A 、30º B 、45º C 、60ºD 、90º10 .若曲线在点处的切线方程为，则A. B.C. D. 不存在11．曲线y=2x 2+1在点P （-1，3）处的切线方程为（） A ．y=-4x-1 B. y=-4x-7 C. y=4x-1 D.4x+712. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过1F 作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高中数学数学人教版选修1-1A文综合练习3 试题

数学人教版选修1-1(A 文) 综合练习3(简单逻辑、椭圆、双曲线）考试时间：90分钟满分：100分一、选择题。

（本大题共16题，每题3分，总共48分） 1、命题“,A B A A B B ⋃=⋂=则”的否命题是（）A 、,AB A A B B ⋃≠⋂≠则 B 、,A B B A B A ⋂=⋃=则C 、,A B B A B A ⋂≠⋃≠则D 、,A B A A B B ⋃≠⋂则＝2、已知命题甲：()()0x m y n --<，命题乙：x m y n ><且，则甲是乙的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、下列那个命题的逆命题是真命题：（）A 、 a b ac bc >>若，则B 、|3|124x x -><<若，则C 、 220a b a b >>>若，则 D、2|3|12x x -><<若4、已知22,0,,p x y x y x y +=命题：若满足则全为0.；11q a b a b>>命题：若，则。

给出下列四个复合命题：⑴p q ∧，⑵p q ∨，⑶p ⌝，⑷q ⌝，其中真命题的个数为：（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、双曲线221169x y-=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（）A.16 B ．18 C ．21 D ．266、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（） A 、6 B 、4 C 、8 D 、2 7、椭圆2225161x y +=的焦点坐标为（）A 、（-3，0）B 、1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、3,020⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,020⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、30,20⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,20⎛⎫ ⎪⎝⎭8、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（）A、34 C、2 D 、129、椭圆长轴上的两端点()()123,0,3,0A A -，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（）A 、22198x y += B 、2219x y += C 、2213632x y += D 、22136x y += 10、．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率为（）A ．14 B． C． D ．1211、双曲线2233m x my -=的一个焦点为()0,2，则m 的值是（）A ．1-B ．1 C． D12、若双曲线22221x y a b -=与()222210x y a b a b-=->>的离心率分别为12,e e ，则当,a b 变化时，2212e e +的最小值是（）A． B ．4 C．．313、已知椭圆的焦点为()11,0F -和()21,0F ，点P 在椭圆上的一点，且12F F 是12PF PF 和的等差中项，则该椭圆的方程为（）A 、221169x y += B 、2211612x y += C 、22143x y += D 、22134x y +=14、双曲线2214x y k+=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围为（） A 、(),0-∞ B 、()12,0- C 、()3,0- D 、()60,12--15、椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为（） A 、52 B 、58 C 、518D 、512 16、设双曲线Ｃ：2214x y -=的右焦点为Ｆ，直线ｌ过点F 且斜率为ｋ，若直线ｌ与双曲线Ｃ的左右两支都相交，则直线ｌ的斜率的取值范围（）Ａ、1122k k ≤-≥或Ｂ、1122k k <->或Ｃ、1122k -<<Ｄ、1122k -≤≤二、填空题（本大题一共7个小题，每题4分，共计28分） 17、命题：,0x R x ∀∈>的否定是________________18、平面内有两个顶点21,F F 和一动点M,设命题甲：21MF MF -是定值；命题乙：点M 的轨迹是双曲线。

人教版数学高二数学选修1-1第3章综合素质检测

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( ) A.2516 B.258 C.254 D.252 2．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线( )A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 5．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 的单调区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 6．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋27．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20B ．9C ．－2D ．28．已知f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( ) A ．4x ＋3B ．4x －1C ．4x －5D ．4x －39．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x ＋4 C ．y ＝－x D ．y ＝－x ＋2 11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )12．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴，直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B ．π2 C ．2π2D.12(2＋π)2二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．14．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．15．曲线y ＝－13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－53处的切线的倾斜角为________． 16．函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)、Q (－1，12)．求：(1)曲线在点P 处，点Q 处的切线斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．18．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,2]时，y ＝f (x )的图象在直线5x ＋2y －c ＝0的下方，求c 的取值范围．20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．21．(本题满分12分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.(1)求m 与n 的关系表达式． (2)求f (x )的单调区间．22．(本题满分14分)若t 为大于－2的常数，求函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，t ]上的最值．1[答案] B[解析] y ′＝2ax ＋a 2＋1，∵y ′|x ＝1＝2a ＋a 2＋1＝1， ∴a 2＋2a ＝0，a ＝0或a ＝－2，又∵a ≠0，a ＝－2，y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －542＋258， ∴函数的最大值为258，故选B.2[答案] C[解析] y ′＝(x 3)′＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33，切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，故选C. 3[答案] A[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．因为y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1.而x ＝1时y ＝1，故l 方程为4x －y －3＝0. 4[答案] B[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )<0，故单调递减． 5[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1) ＝3(x ＋1)2≥0对x ∈R 恒成立，所以f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 在R 上为增函数，故选A. 6[答案] B[解析] 把答案代入验证，排除A 、C 、D ，故选B. 7[答案] C[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9，又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C. 8[答案] A[解析] ∵f (x －1)＝2x 2－x ，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝2(t ＋1)2－(t ＋1)＝2t 2＋3t ＋1， ∴f (x )＝2x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝4x ＋3，故选A. 9[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 10[答案] A[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .11[答案] D[解析] 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.12[答案] A[解析] y ＝x sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2处切线为y ＝－x ，所围成的三角形面积为π22. 13[答案] ⎝⎛⎭⎫22，＋∞[解析] f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ，令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ， ∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，由题意得a －2a 3<0，又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22. 14[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15[答案] 135°[解析] y ′|x ＝－1＝－1，所以k ＝－1，即倾斜角为135°. 16[答案] [－2,1)[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值条件为⎩⎨⎧a <1，10－a 2>1，f (1)≥f (a ).所以－2≤a <1.17[解析] ∵－1＝1t －2， ∴t ＝1 ∴y ＝11－x ，∴y ′＝1(1－x )2.(1)当P 为切点时，k 1＝y ′|x ＝2＝1，当Q 为切点时，k 2＝y ′|x ＝－1＝14.(2)当P 为切点时，方程为x －y －3＝0；当Q 为切点时，x －4y ＋3＝0.18[解析] 显然a ≠0(否则f (x )＝b 与题设矛盾)，由f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]得，x ＝0.(1)当a >0时，列表：由上表知，f (x )在f (x )在[0,2]上是减函数．且当x ＝0时，f (x )有最大值，从而b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3， ∵a >0，∴f (－1)>f (2)，从而f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.(2)当a <0时，用类似的方法可判断当x ＝0时，f (x )有最小值，当x ＝2时，f (x )有最大值，从而f (0)＝b ＝－29，f (2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2. 综上，a ＝2、b ＝3或a ＝－2、b ＝－29. 19[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.所以f (x )＝13x 3－52x 2＋4x .(2)由题设知f (x )<－12(5x －c )，即c >23x 3－5x 2＋13x .设Q (x )＝23x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x ＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.所以Q (x )max ＝Q (2)＝343，所以c >343.20[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax，解得a ＝e2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)．21[解析] (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ，∵x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴3m －6(m ＋1)＋n ＝0，∴n ＝3m ＋6.(2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3(x －1)[mx －(m ＋2)]＝3m (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋2m＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m . ∵m <0，∴1＋2m<1，令f ′(x )>0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0，∴1＋2m<x <1，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤1＋2m ，1，令f ′(x )<0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0，∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0，∴x >1或x <1＋2m，故函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 和(1，＋∞)． 22[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．①当t ∈(－2，－1)时，f (x )在区间[－2，t ]上单调递增．所以f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .②当t ∈[－1,1]时，f (x )在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t )上单调递减．由f (t )≥f (1)＝－2＝f (－2)知f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2.③当t ∈(1，＋∞)时，f (x )在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t )上递增，所以f (x )的最小值为f (－2)，f (1)中较小者．因为f (－2)＝f (1)＝－2，所以f (x )min ＝－2.令f (t )＝2，即t 3－3t －2＝0○，据f (－1)＝2知t ＝－1是○式的一个根．所以t 3－3t －2＝(t ＋1)(t 2－t －2)＝(t ＋1)2(t －2)，所以t ＝2也为○式的根，即f (2)＝2.由f (x )的单调性知，当t ∈(1,2]时，f (x )max ＝f (－1)＝2，当t ∈(2，＋∞)时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .综上，f (x )min ＝－2.f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，t ∈[－1，2]，t 3－3t ，t ∈(－2，－1)∪(2，＋∞).[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f (x )最大值，最小的为f (x )最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．。

高中数学人教A版选修1-1 章末综合测评3 Word版含答案

章末综合测评(三) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f (x )＝α2－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin α B ．cos α C ．2α＋sin αD ．2α－sin α【解析】 f ′(x )＝(α2－cos x )′＝sin x ，当x ＝α时，f ′(α)＝sin α. 【答案】 A2．若曲线y ＝1x 在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎪⎫12，－2 【解析】 y ′＝－1x 2，由－1x 2＝－4，得x 2＝14，从而x ＝±12，分别代入y ＝1x ，得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.【答案】 B3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，归纳可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )【解析】观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．【答案】 D4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0【解析】由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2.故选B.【答案】 B5．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不存在【解析】因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)，故选A.【答案】 A6．过点(0,1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( )【导学号：26160104】 A ．2x ＋y －1＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2， ∴y ′|x ＝3＝－12，故与切线垂直的直线斜率为2，所求直线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.故选D. 【答案】 D7.已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则y ＝f (x )( )图1A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取得极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值【解析】在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．【答案】 C8．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＞13 B ．a ≥13 C ．a ＜13D ．a ≤13【解析】 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 【答案】 B9．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50【解析】设内接矩形的长为x ，则宽为25－x 24，∴S 2＝x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫25－x 24＝y ， ∴y ′＝50x －x 3.令y ′＝0，得x 2＝50或x ＝0(舍去)，∴S 2max ＝625，即S max ＝25.【答案】 C10．函数y ＝ln xx 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2D.103【解析】 y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2，令y ′＝0，得x ＝e. 当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0. 故y极大值＝f (e)＝e －1.因为在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.【答案】 A11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)>2f (1)C ．f (0)＋f (2)≤2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)【解析】 ①若f ′(x )不恒为0，则当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．所以f (2)>f (1)，f (1)<f (0)，即f (0)＋f (2)>2f (1)．②若f ′(x )＝0恒成立，则f (2)＝f (0)＝f (1)，综合①②，知f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】 D12．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )＞－xf ′(x )，则一定有( )A ．函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为增函数 B ．函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数 C ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数 D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数【解析】设G (x )＝xf (x )，则G ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，故G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上递增，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．【解析】令f ′(x )＝1x －1＞0，解不等式即可解得x ＜1，注意定义域为(0，＋∞)．所以0＜x ＜1.【答案】 (0,1)14．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9. 【答案】 915．若函数f (x )＝ln|x |－f ′(－1)x 2＋3x ＋2，则f ′(1)＝________. 【解析】当x >0时，f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x ＋2， ∴f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3， ∴f ′(1)＝1－2f ′(－1)＋3.当x <0时，f (x )＝ln(－x )－f ′(－1)x 2＋3x ＋2， ∴f ′(x )＝－1－x －2f ′(－1)x ＋3＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2， ∴f ′(1)＝8. 【答案】 816．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x <m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】记f (x )＝x 3－x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，所以当x ∈[－1,2]时，[f (x )]max ＝2，所以m >2. 【答案】 (2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1与直线l ：4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；【导学号：26160105】(2)若直线l 2⊥l 1，且l 2也过点P 0，求直线l 2的方程．【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l 2⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 2的斜率为－14.∵l 2过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 2的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.18．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．19．(本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，求g (x )的单调区间和最小值．【解】由题意知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x ， ∴g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.20．(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知 f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)可知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．(本小题满分12分)(2016·秦皇岛高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点，f ′(1)＝0，曲线y ＝f (x )在原点处的切线与直线y ＝2x ＋3的夹角为135°.(1)求f (x )的解析式；【导学号：26160106】(2)若对于任意实数α和β，不等式|f (2sin α)－f (2sin β)|≤m 恒成立，求m 的最小值．【解】 (1)由题意，有f (0)＝c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 且f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，①又曲线y＝f(x)在原点处的切线的斜率k＝f′(0)＝b，而直线y＝2x＋3与此切线所成的角为135°，所以2－b1＋2b＝－1.②联立①②解得a＝0，b＝－3，所以f(x)＝x3－3x.(2)|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立等价于|f(x)max－f(x)min|≤m，由于2sin α∈[－2,2]，2sin β∈[－2,2]，故只需求出f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的最值，而f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1，列表如下：max min max min的最小值为4.。

人教版高中数学选修三一章综合测试.docx

高中化学学习材料唐玲出品第1章综合测试(时间90分钟，满分100分)第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本题包括18小题，每小题3分，共54分，每小题只有1个选项符合题意)1．下列叙述中正确的是( )A．除零族元素外，短周期元素的最高化合价在数值上都等于该元素所属的族序数B．除短周期外，其他周期均有18个元素C．副族元素中没有非金属元素D．碱金属元素是指ⅠA族的所有元素2．2008年9月25日21时10分，“神舟七号”顺利升空，并实施首次空间出舱活动。

飞船的太阳能电池板有“飞船血液”之称，我国在砷化镓太阳能电池研究方面处于国际领先水平，下列有关说法正确的是( )A．砷元素符号为As，位于元素周期表中第四周期ⅤA族B．酸性：砷酸＞磷酸C．镓元素符号为Ga，单质不能与水反应D．碱性：Ga(OH)3＜Al(OH)33．下列表示式错误的是( )A．Na＋的电子排布图：↑↓1s ↑↓2s↑↓↑↑↑↑2pB．Na＋的结构示意图：C．Na的电子排布式：1s22s22p63s1D．Na的简化电子排布式：[Ne]3s1A．四种元素都是第三周期的元素B．工业上常用石灰乳吸收D的单质制取漂白粉C．A、D两元素形成的化合物是A元素在自然界中的最主要存在形式D．C元素的单质称为硅石，是制作光缆的主要材料5．下列说法中正确的是( )A．任何一个能层最多只有s、p、d、f四个能级B．用n表示能层序数，则每一能层最多容纳电子数为2n2C．核外电子运动的概率分布图(电子云)就是原子轨道D．电子的运动状态只可从能层、能级、轨道3个方面进行描述6．以下电子排布式是基态原子的电子排布的是( )A．1s22s12p1B．1s22s22p5C．1s22s22p53s1D．1s22s22p53s2 7．下列电子排布图能表示氧原子的最低能量状态的是( )A.↑↓1s ↑↓2s↑↓↑↑2pB.↑↓1s ↑↓2s↑↓↑↓2pC.↑↓1s ↑↓2s↑↓↑↓↑↓2pD.↑↓1s ↑↓2s↑↑2p8．主族元素A和B可形成组成为AB2型的离子化合物，则A、B两原子的最外层电子排布分别为( )A．n s2，n p2和n s2n p4B．n s1和n s2n p4C．n s2和n s2n p5D．n s1和n s29．下列四种元素中，其单质氧化性最强的是( )A．原子含有未成对电子最多的第二周期元素B．位于周期表中第三周期ⅢA族的元素C．原子最外层电子排布为2s22p4的元素D．原子最外层电子排布为3s23p3的元素10．A、B、C均为短周期元素，A、B同周期，A、C的最低价离子分别为A2－和C－，B2＋和C－具有相同的电子层结构，下列说法中正确的是( )A．C元素的最高正价为＋7价B．原子半径：A>B>CC．离子半径：A2－>C－>B2＋D．还原性：A2－<C－11．已知X、Y是主族元素，I为电离能，单位是kJ·mol－1。

(完整word版)数学必修三和选修1-1期末练习题

数学必修三和选修1-1文科试题一、选择题1、已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要2、若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<使”是假命题，则实数a 的取值范围为A.13a ≤≤B.11a -≤≤ C ．33a -≤≤ D ．13a -≤≤ 3、中心点在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是（） A.13422=+y x B. 14322=+y x C . 1422=+y x D . 1422=+y x 4、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）.Ａ．3 B ．9 C ．17 D ．515、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 6、设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （）A ． 2eB ． eC ． ln 22D ．ln 27、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．32B ．33C ．12D ．138、已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 9、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （）A ． 1B ．21C ． 21- D ． 1- 10、某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取 20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少人（）A ．8，15，7B ．16，2，2C ．16，3，1D ．12，3，511、双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 12、在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中不放回地任取2枝，至少取到1枝次品的概率是( )A. B. C. D.二、填空题13、已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ，则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是。

2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：3章试卷 Word版含答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C)A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析：依据瞬间速度的意义，可得3 s 末的瞬时速度是v ＝s ′||t ＝3＝（－1＋2t ）t ＝3＝5.2．在(a ，b )内f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的(C) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：该题一般都认为是选A ，依照教科书上的结论：“一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，假如在这个区间内y ′>0，那么y ＝f (x )为这个区间内的增函数；假如在这个区间内y ′<0，那么y ＝f (x )为这个区间内的减函数．”导致错误的缘由是没有精确理解上述这段话的规律关系，事实上这是一个充分非必要条件．例如，函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)是单调递增的，然而却有f ′(x )＝0.3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数(C) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2πC.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D.()2π，3π解析：求导得，y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x cos x ，于是，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2时，y ′＞0.4．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是(B)A ．m >0B ．m <0C ．m >1D ．m <1解析：求导得y ′＝e x＋m ，由于e x>0，若y ＝e x＋mx 有极值则必需使y ′图象有正有负，故m <0.5．函数f (x )＝x 2＋x －ln x 的零点的个数是(A)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝2x 2＋x －1x＝0，得x ＝12或x ＝－1＜0(舍去)．当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )递减；当x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )递增．则f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋ln 2＞0为f (x )的最小值，所以无零点． 6. 过曲线y ＝x ＋1x2(x >0)上横坐标为1的点的切线方程为(B)A ．3x ＋y －1＝0B ．3x ＋y －5＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：∵y ′＝x 2－2x （x ＋1）x 4＝－x 2－2xx 4，∴该切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3.故所求的切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －5＝0，故选B.7．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如下图所示，则f (x )的图象只可能是(D)解析：如题图可知，f ′(x )在前半段递增，后半段递减，这表明f (x )先递增幅度大，后递增幅度小. 8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为(A) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0解析：与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x －y －3＝0.9．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(B)A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：曲线切线的斜率等于曲线该点处的导数值k ＝tan α＝3x 2－1≥－1，解得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是(D)A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)解析：∵当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，即[f (x )g (x )]′＞0，∴当x ＜0时，f (x )g (x )为增函数，又g (x )是偶函数且g (3)＝0，∴g (－3)＝0， ∴f (－3)g (－3)＝0故当x ＜－3时，f (x )g (x )＜0；由于f (x )g (x )是奇函数，当x ＞0时， f (x )g (x )为增函数，且f (3)g (3)＝0，故当0＜x ＜3时，f (x )g (x )＜0. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________．解析：直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，将y ＝x －1代入抛物线方程得ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a ＝0，则a ＝14.答案：14点评：本题亦可利用导数的几何意义求解，但解题过程较长．12．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：依题意，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝62＋4×3a ≤0，∴a ≤－3.答案：(－∞，－3]13．化简：f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x －cos x ＝________．解析：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ＋sin x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3＋sin π3，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，于是f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎫x －π614．假如函数y ＝f (x )的导函数的图象如下图所示，给出下列推断：(1)函数y ＝f (x )在区间(3，5)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； (3)函数y ＝f (x )在区间(－3，2)内单调递增；(4)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值；(5)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有微小值．则上述推断中正确的序号是________________．解析：依据导数与单调性的关系可知(3)成立．答案：(3)三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．(2021·韶关二模)(12分)设函数f (x )＝ax 3－(a ＋b )x 2＋bx ＋c ，其中a >0，b 、c ∈R ，若f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，求f (x )的单调区间．解析： (1)由f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，得a ＝b . 故f (x )＝ax 3－2ax 2＋ax ＋c .由f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝0，得x 1＝13，x 2＝1.列表：由表可得，函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，13及(1，＋∞)，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤13，1. 16．(12分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆的月租金为2 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为2 800元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1) 当每辆车的月租金定为2 800元时，未租出的车辆为2 800－2 00050＝16，所以，这时租出的车为84辆．(2)设未租出车的有x辆，租赁公司的月收益为y元，则每辆车的月租金为(2 000＋50x)元，由题意得，y ＝(2 000＋50x)(100－x)－150(100－x)－50x，即y＝－50x2＋3 100x＋185 000，则y′＝－100x＋3 100，由y′＝0，得x＝31.由于函数只有一个极值点，所以x＝31为所求．所以当每辆车车月租金定为3 550元时，租赁公司月收益最大，为233 050元．17．(14分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线y＝－3x －2，试求函数的极大值与微小值的差．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由于f(x)在x＝2处有极值，所以f′(2)＝0，即12＋4a＋b＝0.①由于f′(1)＝－3，所以2a＋b＋3＝－3.②由①②，得a＝－3，b＝0.所以f(x)＝x3－3x2＋c.令f′(x)＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2.当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，所以f(0)是极大值，f(2)是微小值，所以f(0)－f(2)＝4.18．(14分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值．(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．由于f(x)在x＝3处取得极值，所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.经检验知，当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1.当a＜1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数；当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．19．(14分) 已知函数f(x)＝6ln x(x＞0)和g(x)＝ax2＋8x－b(a，b为常数)的图象在x＝3处有公共切线．(1)求a的值；(2)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的极大值和微小值；(3)若关于x的方程f(x)＝g(x)有且只有3个不同的实数解，求b的取值范围．解析：(1)因f′(x)＝6x，g′(x)＝2ax＋8，依题意，得f′(3)＝g′(3)，解得a＝－1.(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝6ln x＋x2－8x＋b.则F′(x)＝6x＋2x－8＝0，得x＝1或x＝3.∴当0＜x＜1时，F′(x)＞0，F(x)单调递增；当1＜x＜3时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；当x＞3时，F′(x)＞0，F(x)单调递增．∴F(x)的极大值为F(1)＝b－7；F(x)的微小值为F(3)＝b－15＋6ln 3.(3)依据题意，F(x)＝f(x)－g(x)＝6ln x＋x2－8x＋b的图象应与x轴有三个公共点．即方程f(x)＝g(x)有且只有3个不同的实数解的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧F（1）＞0，F（3）＜0.解得7＜b＜15－6ln 3.∴b的取值范围为(7，15－6ln 3)20．(14分)设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(常数a，b满足0<a<1，b∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间、极值；(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－3a)·(x－a)，令∴f则当x＝a时，f(x)微小＝b－43a3，当x＝3a时，f(x)极大＝b.(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，∵0＜a＜1，∴对称轴x＝2a＜a＋1，∴f′(x)在[a＋1，a＋2]上单调递减．∴f′max＝－(a＋1)2＋4a(a＋1)－3a2＝2a－1，f′min＝－(a＋2)2＋4a(a＋2)－3a2＝4a－4.依题设，|f′(x)|≤a⇔|f′max|≤a，|f′min|≤a，即|2a－1|≤a，|4a－4|≤a.解得，45≤a≤1，又0＜a＜1，∴a的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1.章末过关检测卷(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列求导运算正确的是(B)A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2， (log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2(－sin x )．2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为(C)A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(0，2)D ．(－∞，0) 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＜0，得0＜x ＜2，即函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的减区间为(0，2)．3．函数y ＝ax 3＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝(D) A.18 B.14 C.1627 D.427 解析：可设切点为(x 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝ax 30＋1，3ax 20＝1，解得a ＝427. 4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝(D) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：依题意，得f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.5．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程为(A)A ．x ＋πy －π＝0B ．πx ＋y －π＝0C ．x －πy －π＝0D ．πx －y －π＝0 解析：先求导，y ′＝（sin x ）′x －x ′sin x x 2＝x cos x －sin x x 2，依据导数的几何意义得到切线的斜率 k ＝y ′|x ＝π＝－1π，代入直线的点斜式方程，得y －0＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.6．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x 2－5x ＋4(－1≤x ≤1)的最大值为10，最小值为－94；②函数f (x )＝2x 2－4x ＋1(－2＜x ＜4)的最大值为1，最小值为－1； ③函数f (x )＝x 3－12x (－3＜x ＜3)的最大值为16，最小值为－16； ④函数f (x )＝x 3－12x (－2＜x ＜2)既无最大值，也无最小值．其中正确命题的个数有(B)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别计算四个函数的最值，得知③④正确．7．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为(D) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)，由于点(－1，0)在切线上，可解得 x 0＝0或－2，代入可验证D 正确．8．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如右图所示[其中f ′(x )是函数f (x )的导函数]，则y ＝f (x )的图象大致是下面四个图象中的(C)解析：由函数y ＝xf ′(x )的图象可知：当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增．9．若0＜x ＜π2，则2x 与3sin x 的大小关系(D)A ．2x ＞3sin xB ．2x ＜3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关解析：令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x .当cos x >23时，f ′(x )＜0；当cos x ＝23时，f ′(x )＝0；当cos x <23时，f ′(x )＞0.即当0＜x ＜π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3＞0.故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关． 10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D)A.94e 2 B ．3e 2 C ．e 2D.e 22解析：可以求得切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，则得切线与两坐标轴的交点分别是(1，0)以及(0，－e 2)，所以，所求三角形的面积为e 22.11．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为(A)A ．－3B ．0C ．1D ．3解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题可知f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋2b 1a＋c ＝0，∴3a ＋2ba＋c ＝0，∴ac ＋2b ＝－3，故选A. 12．曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为(C)A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |，得⎝⎛⎭⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎫x 0－2x 032＋(x 30－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率为3x 20＝3，故直线l 的倾斜角为60°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．y ＝x cos x 在x ＝π3处的导数值是__________．解析：直接计算，即知所求的导数值为12－36π.答案：12－36π14．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是____________、__________．解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0. 故f (x )的极大值、微小值分别为 f (－1)＝3，f (1)＝－1，而f (－3)＝－17，f (0)＝1.故函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3，0]上的最大值、最小值分别是3、－17. 答案：3 －17 15．若曲线y ＝h (x )在点P (a, h (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则h ′(a )与0的大小关系是h ′(a )________0(填“>”、“<”、“＝”)．解析：∵曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处的切线的斜率为h ′(a )，而已知切线方程为2x ＋y ＋1＝0，即斜率为－2，故h ′(a )＝－2，∴h ′(a )＜0.答案：<16．已知函数f (x )＝3x ＋ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由题可知，函数f (x )＝3x ＋ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f ′(x )＝3（x ＋2）－（3x ＋a ）（x ＋2）2＝6－a（x ＋2）2在(－2，＋∞)上小于零，解得a ＞6.答案：(6，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]的最值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3＞0， ∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1，1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )min ＝－12； x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.18．(12分)已知曲线f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋3在x ＝－1处的切线恰好与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．解析：∵f (－1)＝2，∴曲线y ＝f (x )上的切点为A (－1，2)． ∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1，∴f ′(－1)＝2.∴切线方程为y －2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋4.设抛物线上的切点为B (x 0，y 0)，明显抛物线上的切点在抛物线的上支．抛物线上支的方程为y ＝2px ，则y ′＝2p 2x ， ∴y ′|x ＝x 0＝2p2x 0＝2，得p ＝8x 0.① 又∵点B 在切线上，∴2px 0＝2x 0＋4.② 由①②求得p ＝16，x 0＝2，∴y 0＝8. 故所求抛物线方程为y 2＝32x ，所求的切点为(2，8)．19．(12分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ，并求f (x )的单调区间．解析：依题意有f (1)＝－2，f ′(1)＝0，而f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋c ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－2c －3.从而f ′(x )＝3x 2＋2cx －(2c ＋3)＝ (3x ＋2c ＋3)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－2c ＋33.由于f (x )在x ＝1处取得极值，故－2c ＋33≠1，即c ≠－3.(1)若－2c ＋33<1，即c >－3，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2c ＋33时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2c ＋33和[1，＋∞)；单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1.(2)若－2c ＋33＞1，即c ＜－3，同上可得，f (x )的单调增区间为(]－∞，1，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2c ＋33，＋∞；单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1，－2c ＋33.20．(12分)已知函数f (x )＝23x ⎝⎛⎭⎫x 2－3ax －92(a ∈R )． (1)若函数f (x )图象上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，求m 的值； (2)若函数f (x )在(1，2)内是增函数，求a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3. 则过P (1，m )的切线斜率为 k ＝f ′(1)＝－1－4a .又∵切线方程为3x －y ＋b ＝0， ∴－1－4a ＝3.即a ＝－1.∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .∵P (1，m )在f (x )的图象上，∴m ＝－13.(2)∵函数f (x )在(1，2)内是增函数，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3≥0对于一切x ∈(1，2)恒成立，即4ax ≤2x 2－3，∴a ≤x 2－34x，由于x 2－34x在(1，2)上单调递增，∴x 2－34x ∈⎝⎛⎭⎫－14，58，即a ≤－14. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 21．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ，f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＞0，得x ＜－1，或x ＞2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2，0]上不单调， ∴－a ∈(－2，0)，即0＜a ＜2. 又∵在(－2，－a )上，f ′(x )＞0，在(－a ，0)上，f ′(x )＜0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化状况如下表：∴f (x )在[－2，0]上有唯一的极大值点x ＝－a . ∴f (x )在[－2，0]上的最大值为f (－a )．∴当x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，等价于f (－a )＜g (a )． ∴－13a 3＋a －22×a 2＋2a 2－3＜g (a )．∴16a 3＋a 2－3＜16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4＜0，解得1＜a ＜4.综上所述，a 的取值范围是(1，2)．22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝（x －a ）（x ＋a ）x.∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，当x ＞a ，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1)则g ′(x )＝2x 2－x －1x .∵当x ＞1时，g ′(x )＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x ＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴g (x )＞g (1)＝16＞0.即23x 3－12x 2－ln x ＞0， ∴12x 2＋ln x ＜23x 3，故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1. 0＜x ＜1是0＜x 2＜1的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若0＜x ＜1，则0＜x 2＜1；若0＜x 2＜1，则0＜x ＜1或－1＜x ＜0，所以0＜x ＜1是0＜x 2＜1的充分不必要条件．2．双曲线x 22－y 24＝－1的渐近线方程为(A)A ．y ＝±2xB ．x ＝±2yC ．y ＝±22xD ．x ＝±22y解析：渐近线方程为y x ＝±22，即y ＝±2x .3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为(C)A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(1，0)或(－1，－4)D ．(2，8)或(－1，－4)解析：设点P 0的坐标为(x 0，y 0)，依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝y 0，f ′（x 0）＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋x 0－2＝y 0，3x 20＋1＝4，解得，x 0＝1，y 0＝0，或者x 0＝－1，y 0＝－4. 即P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．4．在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于(B) A.12 B.22 C.32 D.25解析：由已知有b ＝c ，∴e ＝c a ＝22.5．函数f (x )＝13x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增函数，(－1，1)上为减函数，则f (1)的值为(A)A.13B ．1 C.73D ．－1 解析：依题意，f ′(－1)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，∴a ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋1，则f (1)＝13.6．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为(B)A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0B ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋4＞0C ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0D ．∃x 0∉R ，x 20－2x 0＋4＞0 解析：由于全称命题的否定是特称命题．7．如右图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为(B)A ．y 2＝32x B ．y 2＝3xC ．y 2＝92x D ．y 2＝9x解析：如下图所示，过点A ，B 分别作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N .设准线与x 轴的交点为E ，则|AM |＝|AF |＝3，|BN |＝|BF |＝12|BC |，于是，∠BCN ＝30°，所以，|AC |＝6，即点F 为AC 的中点，所以CF ＝3，因而p ＝|EF |＝32，得到抛物线的方程是y 2＝3x .8．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为(D)A ．±1B ．－1C ．1D ．0解析：依题意可设f (x )＝x 4－2x 2＋c ，易知c ＝－5.令f ′(x )＝4x 3－4x ＝0，得x ＝0，±1，可以证明，当f (x )取得极大值－5时，x ＝0.9．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎦⎤33，22B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎣⎡⎭⎫33，1D.⎣⎡⎦⎤32，22解析：由于|PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，依题意，得2c 2≤a 2≤3c 2，解得，33≤e ≤22.10．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于零的可导函数，且满足f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0，则当a ＜x ＜b 时有(B)A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a ) 解析：由f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0得， f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2＞0，即⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）g （x ）′＞0，则函数f （x ）g （x ）在区间(a ，b )上递增，所以f （a ）g （a ）＜f （x ）g （x ）＜f （b ）g （b ），即f (x )g (a )＞f (a )g (x )．11．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是(A)A ．－19B ．－1 C.19 D.12解析：由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝（2a ）2－（2c ）2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝9，∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c(c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是(B)A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2abc，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝⎝⎛⎭⎫c －a 2c ·⎝⎛⎭⎫c ＋a 2c ＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca＝ 3.选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．椭圆4x 2＋y 2＝64的焦点坐标为______________________，离心率为__________．解析：将椭圆方程4x 2＋y 2＝64化为标准方程y 264＋x 216＝1，得a ＝8，b ＝4，c ＝a 2－b 2＝43，∴焦点坐标为(0，43)，(0，－43)，离心率e ＝c a ＝32.答案：(0，43)，(0，－43) 3214．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上最大值为________，最小值为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－6x －12＝0得，x ＝2或x ＝－1(舍去)．由于f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，所以，f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (2)＝－15. 答案：5 －1515．双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为(2，0)，则此双曲线的方程是______________________．解析：由于c ＝2，ca＝2，所以，a ＝1，b ＝3，则x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝116．设m ∈Z ，n ∈Z ，有四个命题：(1)∀n ，n 2≥n ；(2)∀n ，n 2＜n ；(3)∀n ，∃m ，m 2＜n ；(4)∃n ，∀m ，mn ＝m .其中真命题的序号是__________(把你认为符合的命题序号都填上)．解析：通过举反例可以否定(2)、(3)；对于(1)，分n ≥0，n ＜0，即可证明；对于(4)，存在n ＝1.所以，填(1)、(4)．答案：(1)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：f (x )＝43x 3－2mx 2＋(4m －3)x －m在(－∞，＋∞)上单调递增．若(綈p )∧q 为真，求m 得取值范围．解析：p 真时，m ＞2.q 真时，f ′(x )＝4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1，2]．18．(12分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解析：本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.② ∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b ＝1，③ 联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax(a ＞0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0，3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解析：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (a ＞0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x ＞0)，∵a ＞0，由F ′(x )＞0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )＜0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0＜x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0＜x 0≤3)恒成立，即a ≥⎝⎛⎭⎫12x 20＋x 0max，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a max ＝12.20．(12分)设函数f (x )＝－x 3＋3x ＋2分别在x 1、x 2处取得微小值、极大值．xOy 平面上点A 、B 的坐标分别为(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))，该平面上动点P 满足P A →·PB →＝4，点Q 是点P 关于直线y ＝2(x －4)的对称点．(1)求点A 、B 的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程．解析：(1)令f ′(x )＝(－x 3＋3x ＋2)′＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－1，当x ＜－1时，f ′(x )＜0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以，函数在x ＝－1处取得微小值，在x ＝1取得极大值，故x 1＝－1，x 2＝1，f (－1)＝0，f (1)＝4，所以，点A 、B 的坐标为A (－1，0)，B (1，4)． (2) 设P (m ，n )，Q (x ，y )， P A →·PB →＝(－1－m ，－n )·(1－m ，4－n )＝m 2－1＋n 2－4n ＝4，k PQ ＝－12，所以y －nx －m ＝－12，又知PQ 的中点在y ＝2(x －4)上，所以y ＋n 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2－4，消去m ，n 得(x －8)2＋(y ＋2)2＝9.21．(12分)在实数集R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(x ＋a )(1－y )，若f (x )＝x 2，g (x )＝x ，若F (x )＝f (x )⊗g (x )． (1)求F (x )的解析式．(2)若F (x )在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．(3)若a ＝53，F (x )的图象上是否存在两点，使得过这两点的切线相互垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．解析：(1)F (x )＝(x 2＋a )(1－x )＝－x 3＋x 2－ax ＋a .(2)∵F ′(x )＝－3x 2＋2x －a ，由于当x ∈(－∞，＋∞)上时，F (x )单调递减，∴ F ′(x )＝－3x 2＋2x －a ≤0在x ∈(－∞，＋∞)上恒成立．∴ Δ＝4－12a ≤0, 解得：a ≥13.∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，＋∞. (3)若a ＝53时，F (x )＝－x 3＋x 2－53x ＋53，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是F (x )曲线上的任意两点，∵ F ′(x )＝－3x 2＋2x －53＝－⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －132＋43＜0， ∴ F ′(x 1)F ′(x 2)＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x 1－132＋43·⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x 2－132＋43＞0.∴ F ′(x 1)F ′(x 2)＝－1不成立．∴F (x )的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线相互垂直． 22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4，1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解析：(1)依据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由于e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4，1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，得－5＜m ＜5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m5，x 1x 2＝4m 2－205.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝（y 1－1）（x 2－4）＋（y 2－1）（x 1－4）（x 1－4）（x 2－4）. 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4)＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2（4m 2－20）5－8m （m －5）5－8(m －1)＝0，即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

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金沙中学高二文科数学复习试卷3一、选择题： 1. 设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”中假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.样本1210,,,a a a L的平均数为a ,样本110,,b b L 的平均数为b,则样本11221010,,,,,,a b a b a b L 的平均数为A. a b +B. ()12a b + C. 2()a b + D. 110()a b + 3. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i ix y （i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确．．．的是 ( ) A ．.y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4. 椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）.A ．5B ．8C ．5或3D ．5或85. 抛物线2y4x=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（）A ．1716B ．1516C ．78D ．06.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（）A ． 4B ．1C ．2D ． 37. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或54B.5或5C.3或3 D.5或538.下列命题是假命题的为 ( ) A ．R x ∈∃，0lg =xeB ．R x ∈∃，x x =tanC ．)2,0(π∈∀x ，1cos tan x x> D ．R x ∈∀，1+>x e x9. 已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线22y px =(0)p >的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( )A ．23B ．25C ．43D ．4510.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积 ( ) A.4π B ．2π C ．π D ．2π12.函数21ln m m x xe --≤对任意的正实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ( ) A ．),1[]0,(+∞-∞Y B ．[0,1] C ．[,2]e e D ．),2[),(+∞-∞e e Y二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是 14.15．若在不等式组02y xx x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是 .16、以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为三、解答题：17. 已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．18.某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（Ⅰ）估计全市学生综合素质成绩的平均值；(Ⅱ) 若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率.19. 如图1，给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 的值，（I ）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（Ⅱ）若视x 为自变量，y 为函数值，试写出函数()y f x =的解析式；（Ⅲ）若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等,则输入x 的值的集合是什么？20. 设有关于x 的一元二次方程2220xax b ++=．（1）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率．（2）若a 是从区间]1,0[+t任取的一个数，b 是从区间],0[t 任取的一个数，其中t 满足32≤≤t ，求方程有实根的概率，并求出其概率的最大值．21. 已知函数x ax x f ln )(+=,其中a 为常数,设e 为自然对数的底数.(Ⅰ)当1-=a 时,求)(x f 的极值;(Ⅱ)若)(x f 在区间],0(e 上的最大值为3-,求a 的值;22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN=⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.开始y输出结束2x ≤？x输入2y x=5x ≤？23y x =-1y x=1图是否是否必修3+选修1-1综合测试一参考答案1.C2.B 3D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.B 10. A 11.D 12.A 15.8π16. ②③ 17、p :0<m <31 q :0< m <15 p 真q 假，则空集；p 假q 真，则1531<≤m 故m 的取值范围为1531<≤m18.(Ⅰ)依题意可知：550.12650.18+750.40+850.22+950.08⨯+⨯⨯⨯⨯=74.6……………3分所以综合素质成绩的的平均值为74.6.……………6分（Ⅱ）设这5名同学分别为a,b,c,d,e,其中设某校的学生会主席为a ，从5人中选出3人，所有的可能的结果为(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,),(,,)a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e b d e c d e ，，，，，，，，共10种，…9分其中含有学生会主席的有(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a b c a b d a b e a c d a c e a d e ，，，，，6种含学生会主席的概率为63105=.……………12分 19.解：（I ）程序框图所使用的逻辑结构是条件结构；………………………………2分（Ⅱ）解析式为：2(2)()23(25)1(5)x x f x x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩………………………………7分（Ⅲ）依题意得22x x x ≤⎧⎨=⎩,或2523x x x <≤⎧⎨-=⎩,或15x x x >⎧⎨=⎩,解得0x =,或1x =,3x =故所求的集合为{0,1,3}．……………………………………………………12分 20.解：(1) 总的基本事件有12个,即a,b 构成的实数对（a,b ）有（0,0），（0,1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）,设事件A 为“方程有实根”，包含的基本事件有（0,0），（1,0），（1,1），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）共9个，所以事件A 的概率为43129)(==A p 5分 21.解: (Ⅰ)当1-=a 时,xxx x f x x x f -=+-=+-=111),ln )(（‘………2分当10<<x 时,;0)('>x f 当1>x 时,.0)('<x f∴)(x f 在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,)(x f ∴的极大值为1)1(-=f ； ………4分(Ⅱ)∵),1[1],,0(,1)('+∞∈∈+=ex e x x a x f①若,1ea -≥则,0)('≥x f 从而)(x f 在(0,e]上增函数，∴max ()f x 01)(≥+==ae e f .不合题意; ………6分②若,1e a -<则由0)('>x f 1a x ⇒+>0,即a x 10-<<,由0)('<x f 1a x⇒+<0,即.1e x a ≤<-从而)(x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上增函数,在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数∴max ()f x ).1ln(1)1(a a f -+-=-=令,3)1ln(1-=-+-a 则ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-2 ∴1a -=2e -,即2e a -=.∵2e -<1e-,∴a =2e -为所求. ………8分22.解:（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12ca=，所以2a c=，3b c=.设椭圆方程为2222143x yc c+=, ………2分由2222240,1,43x yx yc c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x得，224121230y y c-+-=.又因为直线l与椭圆C相切,所以 (4)分………6分又直线:240l x y+-=与椭圆22:143x yC+=相切，由22240,1,43x yx y+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y==，所以3(1,)2P…………8分则2454AP=. 所以3645813547AM AN⋅=⨯=.又22221122(4)(4)AM AN x y x y⋅=-+-+2222221122(4)(4)(4)(4)x k x x k x=-+--+-212(1)(4)(4)k x x=+--21212(1)(4()16)k x x x x=+-++22222641232(1)(416)3434k kkk k-=+-⨯+++2236(1).34kk=++………10分所以223681(1)347kk+=+，解得24k=±.经检验成立.所以直线m的方程为24)4y x=±-. ………12分。