第3单元 共点力作用下物体的平衡

第3单元共点力作用下物体的平衡一、物体的受力分析1．明确研究对象在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体。

在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。

研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力。

2．按顺序找力先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。

3．只画性质力，不画效果力画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。

4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）二、物体的平衡物体的平衡有两种情况：一是质点静止或做匀速直线运动，物体的加速度为零；二是物体不转动或匀速转动（此时的物体不能看作质点）。

理解：对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态．因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止．还需注意，不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个状态，加速度不为零。

由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止．因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于静止状态。

总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态三、共点力作用下物体的平衡1．共点力——几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。

2．共点力的平衡条件在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0或F x合＝0，F y合＝03．判定定理物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。

（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形）【例1如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F1 =10N，F2 =3N而静止，当撤去F1后，木块仍静止，则此时木块受的合力为 AA．0 B．水平向右，3NC．水平向左，7N D．水平向右，7N【例2】氢气球重10 N，空气对它的浮力为16 N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是_____，水平风力的大小是____ （答案：43N 23N）四、综合应用举例1．静平衡问题的分析方法【例3如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球F1F1与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°。

两小球的质量比12m m 为AA ．33B ．32C ．23D ．222．动态平衡类问题的分析方法【例4 重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？（F 1逐渐变小，F 2先变小后变大。

当F 2⊥F 1，即挡板与斜面垂直时，F 2最小）【例5如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。

AB 连线与OB 垂直。

若使带电小球A 的电量加倍，带电小球B 重新稳定时绳的拉力多大？【解析】AOB 与FBT ′围成的三角形相似，则有：AO/G =OB/T 。

说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T 大小不变。

由球A 电量未加倍时这一特殊状态可以得到：T =G cos30º。

球A 电量加倍平衡后，绳的拉力仍是G cos30º。

3．平衡中的临界、极值问题当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）时的转折状态叫临界状态。

可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。

极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端（“极大”、“极小”、“极左”、“极右”）从而把比较隐蔽的临界现象（“各种可能性”）暴露出来，便于解答。

例题分析： 例2、拉力F 作用重量为G 的物体上，使物体沿水平面匀速前进，如图8-2所示，若物体与地面的动摩擦因数为μ，则拉最小时，力和地面的夹角θ为多大？最小拉力为多少？(θ=arcCOS1/（1+μ2）1/2时，Fmin=μG/（1+μ2）1/2)例6如图8-3所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面？(F=G[h（2R-h ）]1/2/（R-h ））【例7跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和物体B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上（如图l —4－3（甲）所示），已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A 静止在斜面上，求物体B 的质量的取值范围。

（物体B 的质量的取值范围是：m (sin θ-μcos θ)≤m B ≤m (sin θ＋μcos θ)）【例8 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F 的推力把一个重量为G 的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。

求墙对木块的正压力大小N 和墙对木块的摩擦力大小f 。

解：当G F 32=时，f =0；当G F 32>时，G F f -=23，方向竖直向下；当GF 32<时，F G f 23-=，方向竖直向上。

4．整体法与隔离法的应用对于连结体问题，如果能够运用整体法，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法，对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法和隔离法相结合的方法。

隔离法：物体之间总是相互作用的，为了使研究的问题得到简化，常将研究对象从相互作用的物体中隔离出来，而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。

整体法：在研究连接体一类的问题时，常把几个相互作用的物体作为一个整体看成一个研究对象的方法叫整体法。

【例9 有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙， OB 竖直向下，表面光滑。

AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。

现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力F N 和摩擦力f 的变化情况是 BA ．F N 不变，f 变大B ．F N 不变，f 变小C ．F N 变大，f 变大D ．F N 变大，f 变小例10图7-1所示，两个完全相同重为G 的球，两球与水平面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。

问当F至少多大时，两球将发生滑动？例11图7-3所示，光滑的金属球B 放在纵截面为等腰三角形的物体A 与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A 的重力是B 的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A 与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？5．“稳态速度”类问题中的平衡【例12物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。

已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v ，且正比于球半径r ，即阻力f=krv ，k 是比例系数。

对于常温下的空气，比例系数k =3.4×10-4Ns/m 2。

已知水的密度3100.1⨯=ρkg/m 3，重力加速度为10=g m/s 2。

求半径r =0.10mm 的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。

解析：雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，方向向上。

当雨滴达到稳态速度后，加速度为0，二力平衡，用m 表示雨滴质量，有mg -krv =0，3/43ρπrm =，求得k g r v 3/42ρπ=，v =1.2m/s 。

6．绳中张力问题的求解【例13】重G 的均匀绳两端悬于水平天花板上的A 、B两点。

静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。

求绳的A 端所受拉力F 1和绳中点C 处的张力F 2。

解：以AC 段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC 所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A 、C 、P 点），但它们必为共点力。

设它们延长线的交点为O ，用平行四边形定则作图可得：ααtan 2,sin 221GF G F ==F 2F F7 解答平衡问题时常用的数学方法 根据平衡条件解答平衡问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，在选择数学方法可针对如下几种情况进行：1、物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角，一般将三力平衡化为二力平衡，对应数学方法：（1）正弦定理：如图6-1所示，则有F 1/sin α=F 2/sin β=F 3/sin γ （2）三角形相似：这种方法应用广泛，具体应用时先画出力的 三角形，再寻找与力的三角形相似的空间三角形，（即具有物理 意义的三角形和具有几何意义的三角形相似）由相似三角形建立 比例关系求解。

2、多力合成时为了便于计算，往往把这些力先正交分解，根据：∑F X =0 ∑F Y =0 求解。

3、动态平衡问题：解析法和图象法。

解析法：对研究对象形的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量变化情况而确定因变量的变化情况。

图象法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况。

【例14】如图所示，在半径为R 的光滑半球面正上方距球心h 处悬挂一定滑轮，重为G 的小球A 用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。

人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析半球对小球的支持力N 和绳子拉力F 如何变化。

解析：小球在重力G ，球面的支持力N ，绳子的拉力F 作用下，处于动态平衡。

任选一状态，受力如图4所示。

不难看出，力三角形ΔFAG ’与几何关系三角形ΔBAO 相似，从而有：h R G N ='， h L GF ='（其中G ’与G 等大，L 为绳子AB 的长度）由于在拉动过程中，R 、h 不变，绳长L 在减小，可见：球面的支持力G h R N =大小不变，绳子的拉力G hLF =在减小。

例15图6-2所示，小圆环重G ，固定的竖直大环半径为R ，轻弹簧原长为L （L ﹤R ）其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ？提示：可利用正弦定律求解或三角形相似法求解例34、如图6-3所示，一轻杆两端固结两个小物体A 、B ，m A =4m B 跨过滑轮连接A 和B 的轻绳长为L ，求平衡时OA 和OB 分别多长？针对训练1．把重20N 的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为 12 N ，则弹簧的弹力为（ ）A ．可以是22N ，方向沿斜面向上B ．可以是2N ．方向沿斜面向上C ．可以是2N ，方向沿斜面向下D ．可能为零2两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连， A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）A．mg，（M－m）g B．mg，MgC．（M－m）g， M g D．（M+m）g，（M－m）g3如图所示，当倾角为45°时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（）A．绳子受的拉力增大B．物林m对斜面的正压力减小C．物体m受到的静摩擦力可能增大D．物体m受到的静摩擦力可能减小4．如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q ，当两环稳定时细绳拉力为（）A．F sinθB．F/sinθC．F cosθD．F/cosθ5．如图所示，一个本块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T．下列关于摩擦力正确的是（）A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于TB．木块A受到的静摩擦力的大小等于TC．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2TD．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T6．如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p0保持不变，则当气体温度升高时（水银不溢出）（）A．管内空气压强恒为（p0十ρgh）(ρ为水银密度）B．管内空气压强将升高C．细线上的拉力将减小D．玻璃管位置降低7．如图（甲）所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点．另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。