共点力作用下物体的平衡典型例题汇总

共点力作用下物体的平衡典型例题

[例1]质量为m的物体，用水平细绳AB拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。

[分析]本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F＝0，即

找准边角关系，列方程求解。

[解]解法一：以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得：

Tcosθ-mgsinθ＝0 （1）N-Tsinθ-mgcooθ＝0 （2）

联立式（1）（2）解得 N＝mg／cosθ

据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为N′＝mg／cosθ

解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：Ncosθ-mg=0 ∴ N＝mg／cocθ

同理 N′=mg／cosθ

[说明]（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种

解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。

（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→

合理巧建坐标系→根据平衡条件

（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。

（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。这一点在解物理题时有时很方便。

［例2]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问

当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。

[分析]本题考察当θ角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选定某特定状态，然后，通过θ角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。

[解]由图2知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且θ↑封闭三角形在变化，当增加到θ’时，由三角形边角关系知N1↓，N2↓。

[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时，可知N1=0，过程中N1一直减小，N2=mg，N2也一直在减小。

[例3]如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？

[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F＝G，这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC，所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解，设两分力为F1、F2，画出的平行四边形如图2所示。

[解]由图2可知：

因为AB、AC能承受的最大作用力之比为

当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为 G m≤F2sin30°＝500N，

[说明]也可取A点为研究对象，由A点受力，用共点平衡条件求解。A点受三个力：悬挂物的拉力F=G，杆的推力F B，绳的拉力F C，如图4所示。根据共点力平衡条件，由

F C sinα=G，F C cosα=F B，

即得

共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。

[例4]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求

（1）物体A所受到的重力；（2）物体B与地面间的摩擦力；

（3）细绳CO受到的拉力。

[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题，据平衡条件∑F x=0，∑F y=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。[解]如图2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得

f-T1sinα=0，N＋T1cosα-m B g=0。

对于定滑轮的轴心O点有T1sinα-T2sin30°=0，

T2cos30°-T1cosα-m A g=0。

因为T1=m A g，得α=60°，解方程组得

（1）T1=40N，物体A所受到的重力为40N；

（2）物体B与地面间的摩擦力 f＝T1sinα=40sin60°≈34.6N；

（3）细绳CO受到的拉力

[说明]

在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定T1与m A g作用在这点上，即构成共点力，使问题得以简化。

例5]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问（1）长为30cm的细绳的张力是多少？（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？（3）角φ多大？

[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。

[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑F x=0，∑F y=0，建立

方程有

μN-Tcosθ=0，N-Tsinθ＝0。

设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=，得B′O的长

为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°。

1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有

Gcosθ+Tsinθ-mg=0，Tcosθ-Gsinθ=0。解得 T≈8N，