第一章 数与式
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数(附答案解析)
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；3.会用科学记数法表示数；4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念．会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，会用平方运算求百以内整数的平方根；5.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题．★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分。
2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养有理数及其相关概念1.整数和分数统称为有理数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）2.正整数、0、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称分数。
3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
4.正数和负数表示相反意义的量。
【注意】0既不是正数，也不是负数。
数轴 1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
数轴是一条直线。
2.所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。
3.数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表第1页共44页。
初中数学基础知识2第1章《数与式第1节》
方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值
第3页
实数的相关概念
1.(2019 山西)-3 的绝对值是
A.-3 B.3
C.-1
3
2.(2016 山西)-1的相反数是
6
A.1 B.-6 C.6
6
3.(2011 山西)|-6|的值是
A.-6
B.-1 C.1
6
6
D.1
3
D.-1
6
D.6
第一章
( C)
A.6.06×104 立方米/时
B.3.136×106 立方米/时
C.3.636×106 立方米/时
D.36.36×105 立方米/时
答案
第5页
第一章
第一节
5.(2017 西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可 燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计, 仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国 陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为 ( C)
a.186×108吨
b.18.6×109吨
c.1.86×1010 吨
d.0.186×1011 吨
答案
第6页
第一章
第一节
6.(2014 西)pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质, 对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科学记数法可表示 为( C )
A.3830×104千瓦
B.383×105千瓦
C.0.383×108千瓦
D.3.83×107千瓦
答案
第 29 页
第一章数与式知识点归纳
第一章数与式知识点归纳第一章数与式一、数的分类数可以分为正整数、负整数、零、正分数、负分数、正有理数、负有理数、正无理数、负无理数和实数。
其中有理数是可以比较大小的数，可以是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。
二、数轴数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数是一一对应的，利用数轴可以比较数的大小，理解实数的相反数和绝对值等概念。
三、绝对值数a的绝对值表示数轴上表示a的点与原点的距离，可以用几何定义或代数定义来表示。
四、相反数和倒数两个数互为相反数当且仅当它们的和为0，互为倒数当且仅当它们的积为1.在非负数的情况下，平方根和立方根的概念也很重要。
五、非负数的性质几个非负数之和为0时，这几个数也必须为0.同时，非负数的平方大于等于0，非负数的倒数也必须是非负数。
六、幂和算术平方根an表示a的n次幂，其中a为底数，n为指数。
算术平方根和立方根的概念也很重要。
七、运算顺序和律运算顺序包括同级从左到右和不同级从高到低，有括号时要从里到外计算。
运算律包括交换律、结合律和分配律。
八、运算法则加法法则包括两数相加和相减，乘法法则包括两数相乘和相除。
减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法。
九、a＞０的性质当a＞0时，(-a)的偶次幂为正，奇次幂为负。
十、有理式有理式是由有理数和变量构成的式子，可以进行加减乘除等运算。
单项式是只有一个变量的代数式，它有一个次数和一个系数。
整式是由多个单项式相加或相减而成的代数式，它有一个最高次数和一个项数。
有理式是整式的分式形式，分式有分子和分母，分母不为零。
多项式是整式的一种，它只有加减运算，没有乘除运算。
乘法公式是代数中常用的公式，包括平方差公式和完全平方公式。
平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积，即（a＋b）（a—b）＝a2－b2.完全平方公式是指一个二次多项式可以写成两个一次多项式的平方和，即（a±b）2＝a2±２a b＋b2.分式是有理式的一种，它由分子和分母组成，分母不为零。
中考数学复习 第一章 数与式 1.2 整式及因式分解课件
【提分必练】
3.有下列代数式： 其中单项式有 ②③，⑧多项式有
①，④整⑦式(zhěnɡ shì)有①②③④⑦⑧ 。(只需填写序号)
第四页，共十三页。
考点3 整式(zhěnɡ shì)的运算
中考说明：
1.了解整数指数幂的意义和基本性质。 2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的整式加法和减法运算； 能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘(xiānɡ chénɡ)仅指一次式之间以及一次式与 二次式相乘(xiānɡ chénɡ))。
【特别提示】
判断一个多项式进行因式分解的结果是否正确，可以从两方面入手，一是直接分解，看与结果是否 一致；二是从结果看，将右边的结果运用整式的乘法展开，看是否与左边相等。
第八页，共十三页。
【知识(zhī shi)延伸】
1.分组分解法：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分 解在各组之间进行。分组时会用到添括号，添括号时要注意(zhù yì)各项符号的变化。 四项式的分组有两种方式：一、三分组和二、二分组。一、三分组主要运用完全平方公 式和平方差公式；而二、二分组既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法 混合使用。
1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式。单独的一个数或一个字 2.代数式求值
(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值。 (2)整体代入法：观察已知条件和所求代数式的关系；将所求代数式变形为与已知条件相关联的代数式 所求代数式中求值。
第二页，共十三页。
3.能推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公
2024数学中考真题诊断练习：第一章 数与式
A－B－D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
刷诊断
6. [2024湖南长沙中考]计算：
−
＋｜－
｜－2 cos 30°－(π－6.8)0.
【解】原式＝4＋ － －1＝3.
1
2
3
4
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15
16
刷诊断
.
16. [2024甘肃武威中考]计算： － ×
【解】原式＝3 －3 ＝0.
1
2
3
4
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12
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16
0(答案不唯一) .
【解析】∵
1
的值为正数，1＞0，∴ x ＋1＞0，∴ x ＞－1，则满足条件的 x
+1
的值可以为0.故答案为0(答案不唯一).
关键点拨
分式的值
分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为负数，则分子、分母
异号；分式的值为0，则分子为0，分母不为0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
－D－A的先后顺序彩排，则候场时间之和为(10＋2＋1)×20＋(10＋1)×10＋
10×10＝470(min)；③按C－A－B－D的先后顺序彩排，则候场时间之和为(10
第一章数与式
3．绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫 做数a的绝对值，记作______．由绝对值的定义可知：一个 正数的绝对值是 _______，一个负数的绝对值是 _________ ___，0的绝对值是____．即|a|＝ 它本身 |a| 它的相反
数
0
应用 若a为有理数，那么－|a|表示的数是什么数？
)时，可考虑利用勾股定理的知识进行解答．
2
2．相反数：只有_______不同的两个数叫做互为相反数， 即：数a的相反数是______，这里a符号 表示任意一个实数． 特别地，0的相反数还是0. 应用 已知m，n互为相反数，那么7－m－n＝____． －a
7
(1)a＋b＝0⇔a，b互为相反数；(2)在数轴上，表示相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等．
第一章 数与式 第一节 实数及其运算
知识点一 实数的分类 1．按实数的定义来分
2．按实数的正负来分
正确区别有理数与无理数是认识实数的一个重点内容．常 见无理数的形式归纳如下：①开方开不尽的数，如 ， － ， ，…；②某些三角函数值，如sin 60°， tan 30°，…；③类似循环小数型，如1.010 010 001…， 4.151 151 115…，…；④π型，如π， ，….
7.062×103
(1)用科学记数法可以表示较大的数也可以表示较小的数； (2)在用科学记数法表示有单位的数时，要先转换计量单 位，然后再确定a和n的值；(3)在取近似数时，一般采用四 舍五入法；(4)从一个数的左边第一个不是0的数字起，到 末尾数字止，所有数字都是这个数的有效数字．
知识点四 实数的大小比较 1．数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点表示 的数_____． 2．性质比较法： 大 ，负数_______0，正数_______负数． (1)正数_______0
数与式(共17张ppt-)
解法
配方法、公式法、因式分解法。
应用
解决生活中的实际问题，如面积、 体积等问题。
不等式与不等式组
定义
用不等号连接起来的式子叫做不等式。不等式中的未知数叫做不 等式的未知数。
解法
比较法、常数代换法、放缩法。
应用
解决生活中的实际问题，如最大最小值问题。
05 应用题
代数式在生活中的应用
代数式在生活中的应用广泛，例如在计算购物时找零、计算时间、距离和速度的关 系等方面。
THANKS
整数与分数
总结词
整数和分数是数的两种重要分类，整数包括正整数、零和负整数，分数则表示整数除法 的结果。
详细描述
整数是数学中非常基础的概念，它包括正整数、零和负整数。整数在日常生活和数学计 算中应用广泛，如表示数量、年龄等。分数则表示整数除法的结果，通常用于表示部分
或比例，如1/2表示一半。
有理数与无理数
等方面。
03
方程还可以用于解决一 些复杂的数学问题，例 如在求解高次方程、求
解不等式等方面。
不等式在决策问题中的应用
01
不等式在决策问题中的应用广泛，例如在比较 商品价格、比较服务水平等方面。
02
不等式也可以用于解决一些实际问题，例如在 比较投资回报、比较生产成本等方面。
03
不等式还可以用于解决一些复杂的数学问题， 例如在求解高次方程、求解不等式等方面。
除法
总结词
除法是乘法的逆运算，表示将一个数分成若干相同的等份。
详细描述
除法是将一个数（或代数表达式）除以另一个数，得到一个新 的数。除法可以转换为乘法运算，即a÷b=a×(1/b)。
指数与根
总结词
指数表示一个数的倍数关系，根表示 一个数的因数关系。
1 数与式 第一章 数与式
得 n ＜ m, 即 n － m ＜ ０, 然 后 由 绝 对 值 的 性 质 , 可 得 n－m |＝－ ( n－m) ＝m－ n． |
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
１ ) ) 第( 题, 根据倒数的定义 , ２ ȵ㊀ ( －２ ˑ － ＝１, ２ １ 故选 ． D． ʑ㊀－２ 的倒数是 － ２ ) , , 故填３ 第( 题 由绝对值的定义可知 ３ － ３的绝对值是它的相反数３ ． ．
(
)
) 第( 题考查立方根的概念． 先变形得 ２ 据立方尽的数 ．
３ ０ ʌ 解析 ɔ 本题考查了 无 理 数 的 概 念 ．４＝２, π ＝１ 均 为 ８＝２,
初中数学知识总结大全 第一章 数与式 (编辑：靳军强)
第一章数与式 (1)1.1 实数 (1)1.2数轴 (1)1.3相反数、绝对值、倒数 (3)1.4平方根与立方根 (4)1.4.1 平方根 (4)1.4.2 立方根 (5)1.5有理数的运算 (5)1.5.1 有理数的加法法则 (6)1.5.2 有理数的减法法则 (6)1.5.3 有理数乘法法则 (6)1.5.4 有理数除法法则 (6)1.5.5 有理数的乘方 (6)1.5.6 有理数比大小 (7)1.6 实数的运算顺序及一般的运算顺序 (7)1.7 实数大小比较的方法 (7)1.8科学计数法、近似数和有效数字 (7)1.9 互逆运算关系 (8)1.10 运算律： (8)1.11 整式的加减及有理式 (8)1.11.2 代数式和有理式、整式和分式 (9)1.11.3 整式、单项式与多项式 (9)1.11.4 整式的加减 (10)1.11.5 整式的乘法 (11)1.11.6 整式的除法 (12)1.11.7 整数指数幂 (12)1.11 分解因式 (13)1.11.1 分解因式 (13)1.11.2 提公共因式法 (14)1.11.3 运用公式法 (14)1.11.4 分组分解法 (15)1.11.5 十字相乘法 (15)第一章数与式1.1 数的划分名称概念及联系备注整数→自然数用来表示物体个数的0、1、2、3……叫做自然数。
按能否被2整除分奇数：不能被2整除的自然数。
如：1、3、5 ……1、数的产生：我们的祖先在生产劳动中，就有了计算的需要。
如：他们出去打猎的时候，要数一数一共出去了多少人，拿了多少件武器；回来的时候，要数一数捕获了多少只野兽等。
这样就产生了数。
一个物体也没用“0”表示。
3、“1”是自然数的单位，任何自然数都是由若干个1组成。
偶数：能被2整除的自然数。
如：2、4、6 ……按因数的个数分备注：这里是因数不是约数质数：只有1和它本身这两个因数的自然数合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数1 只有1个因数。
【数学】中考考点过关-第1章：数与式
方法
命题角度 1 实数的相关概念
1.[2019甘肃兰州A卷]-2 019的相反数是
()
B
解析：B 只有符号不同的两个数互为相反数,则-2 019的相反数是2 019,故选
B.
2.[2019甘肃天水]已知|a|=1,b是2的相反数,则a+b的值为
()
C
A.-3
B.-1 C.-1或-3 D.1或-3
解析：C 由|a|=1,得a=±1.由b是2的相反数,得b=-2,故a+b=-1或-3.故选C.
做同类项.所有的常数项都是同类项.
2.合并同类项:把一个多项式中同类项的系数相加,合并为一项,叫做合
并同类项.
3.去括号法则
(1)括号前是“+”时,括号内各项不变号,如a+(b-c)=⑦ a+b-;
(2)括号前是“-”时,括号内各项变号,如a-(b-c)=⑧ a-c.
简记为:去括号,“+”不变,“-”要变.
加
若a>0,b<0,|a|>|b|,则a+b=+(|a|-|b|);若
法 异号两数相加 a>0,b<0,|a|<|b|,则a+b=-(|b|-|a|);若a,b互为相
反数,则a+b=0.
一个数同0相加 a+0=⑱_a___
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6
实数的运算
运算名称 减法
a-b=a+(-b)
解析：B 7.01万亿=7.01×104×108=7.01×1012.故选B.
5.[2019洛阳一模]目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳
中考数学第一章 数与式
考点帮 分式的运算
考点1 考点2 考点3
考点帮 分式的运算
考点1 考点2 考点3
PART 02
方法帮
方法帮 命题角度 1 分式的值为0的条件
方法帮 命题角度 2 分式的基本性质
方法帮 命题角度 3 分式的化简及求值
方法帮 命题角度 3 分式的化简及求值
方法帮 命题角度 3 分式的化简及求值
考点帮 实数的运算
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
考点帮 实数的运算
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
考点帮 实数的运算
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
考点帮 实数的运算
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
考点帮 实数的大小比较
方法帮 命题角度 3 代数式及其求值
方法帮 命题角度 4 数式规律
方法帮 命题角度 4 数式规律
第三节 分 式
PART 01
考点帮
考点1 分式的概念
考点2 分式的基本性质 考点3 分式的运算
考点帮 分式的概念
考点1 考点2 考点3
考点帮 分式的基本性质
考点1 考点2 考点3
考点帮 分式的运算
考点帮 整式的运算
考点1 考点2 考点3 考点4
考点帮 整式的运算
考点1 考点2 考点3 考点4
考点帮 整式的运算
考点1 考点2 考点3 考点4
考点帮 代数式及其求值
考点1 考点2 考点3 考点4
考点帮 因式分解
考点1 考点2 考点3 考点4
考点帮 因式分解
考点1 考点2 考点3 考点4
第一章 数与式
第一章 数与式一、整式1、代数式：单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式：只含数字与字母的积的代数式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成＿＿＿2a b 。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如c b a 235-是＿＿＿次单项式。
3、多项式：几个单项式的和。
多项式中不含字母的项叫做＿＿＿。
多项式的次数：次数最高的项的次数。
单项式和多项式统称＿＿＿。
①用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
②同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做＿＿＿。
几个常数项也是同类项。
③去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
如2x+(3x-4)=（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
如7x-(2x-3)=4、整式的运算法则：①整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
②整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=∙ ),(都是正整数）（n m a a m n n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-③整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数④注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
1.数与式
第一章 数与式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的b a -a b 距离．例1 解不等式：＞4．13x x -+-解法一：由，得；由，得；01=-x 1=x 30x -=3x =①若，不等式可变为，1<x (1)(3)4x x ---->即＞4，解得x ＜0，24x -+又x ＜1，∴x ＜0；②若，不等式可变为，12x ≤<(1)(3)4x x --->即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若，不等式可变为，3x ≥(1)(3)4x x -+->即＞4， 解得x ＞4．24x -又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 1-x 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式＞4的几何13x x -+-意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习1．若，则x =_________；若，则x =_________.5=x 4-=x 2.如果，且，则b ＝________；若，则c ＝________.5=+b a 1-=a 21=-c 10C |x －1||x －3|图1．1－13.下列叙述正确的是 ________.（1）若，则 （2）若，则 a b =a b =a b >a b >（3）若，则 （4）若，则a b <a b <a b =a b=±4．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；22()()a b a b a b +-=-（2）完全平方公式 ．222()2a b a ab b ±=±+我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式 ；2233()()a b a ab b a b -++=-（3）三数和平方公式 ；2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++（4）两数和立方公式 ；33223()33a b a a b ab b +=+++（5）两数差立方公式 ．33223()33a b a a b ab b -=-+-对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：．22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =．61x -解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =．61x -例2 已知，，求的值．4a b c ++=4ab bc ac ++=222a b c ++解： ．2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=练 习1．填空：（1）（ ）；221111()9423a b b a -=+ （2）；(4m +22)164(m m =++) (3 ) ．2222(2)4(a b c a b c +-=+++)2．若是一个完全平方式，则等于__________212x mx k ++k 3.不论，为何实数，的值________a b 22248a b a b +--+（1）总是正数 （2）总是负数 （3）可以是零 （4）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能0)a ≥够开得尽方的式子称为无理式. 例如 等是无理式，32a b ++，21x ++22x y ++1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，， 一般地，-+，，与互为有理化因式．b b 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，；而对于二次根式的除法，通常先写0,0)a b =≥≥成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1将下列式子化为最简二次根式：（1（2； （3．0)a ≥0)x <解： （1；=（2；0)a =≥（3．20)x x =-<例2．(3解法一： (3÷-解法二： (3÷-例3 试比较下列各组数的大小：（1； （2解： （1），===，===，>．（2）∵=== 又 4＞，2 ∴＋4＞＋2，662.例4 化简：．20042005+⋅-解：20042005+⋅- ＝20042004+⋅-⋅- ＝2004⎡⎤+⋅-⋅⎣⎦ ＝20041⋅- ．例 5 化简：（1；（2．1)x <<解：（1）原式 ==．=2=-2-（2）原式，1x x=-∵，01x <<∴，11x x>> 所以，原式＝．1x x -例 6 已知的值 ．x y ==22353x xy y -+ 解： ∵，2210x y +==++=，1xy == ∴．22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=练 习1．填空：（1＝_____；（2的取值范围是_ _ ___；(x=-x（3）__ ___；-+-=（4）若______ __．x== (5)_____ =2．若，求的值．b =+a b +3．比较大小：2－－（填“＞”，或“＜”）．3541.1.４．分式1．分式的意义形如的式子，若B 中含有字母，且，则称为分式．当M ≠0时，A B 0B ≠AB分式具有下列性质：AB； A A M B B M ⨯=⨯．A A M B B M÷=÷上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．ab c d+2m n pm n p +++例1 若，求常数的值．54(2)2x A Bx x x x +=+++,A B 解： ∵，(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++ ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 ．2,3A B ==例2 （1）试证：（其中n 是正整数）；111(1)1n n n n =-++ （2）计算：；1111223910+++⨯⨯⨯ （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有．11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ （1）证明：∵，11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++ ∴（其中n 是正整数）成立．111(1)1n n n n =-++（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯11111(1()(223910=-+-++-1110=- ＝．910（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111(()()23341n n -+-++-+ ＝，1121n -+ 又n ≥2，且n 是正整数，∴一定为正数，1n ＋1∴＜．1112334(1)n n +++⨯⨯+ 12例3 设，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．ce a=解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝＜1，舍去；或e ＝2．12∴e ＝2．练 习1．对任意的正整数n ，()；1(2)n n =+112n n -+2． 若，则＝_________223x y x y -=+x y 3．正数满足，求的值．,x y 222x y xy -=x y x y-+4．计算．1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯习题1．1A 组1．解不等式：(1) ； (2) ；13x ->327x x ++-< (3) ．116x x -++>２．已知，求的值．1x y +=333x y xy ++3．填空：（1）＝________；1819(2(2+（2，则的取值范围是________；2=a （3________．+=B 组1．填空：（1），，则____ ____；12a =13b =2223352a ab a ab b-=+-（2）若，则____；2220x xy y +-=22223x xy y x y ++=+2．已知：的值．11,23x y == C 组1． a 、b 与0从小到大的顺序为_________. = 2.计算等于_________. 3．解方程．22112(3(10x x x x+-+-=4．计算：．1111132435911++++⨯⨯⨯⨯ 5．试证：对任意的正整数n ，有＜．111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++ 141．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）； （4）．22()x a b xy aby -++1xy x y -+- 解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得＝22()x a b xy aby -++()()x ay x by --（4）＝xy ＋(x －y )－11xy x y -+-＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： （1）；（2）．32933x x x +++222456x xy y x y +--+-－1－2x x图1．2－1－1－211图1．2－2－2611图1．2－3－ay －byx x图1．2－4－11x y图1．2－5解： （1）==32933x x x +++32(3)(39)x x x +++2(3)3(3)x x x +++ =．2(3)(3)x x ++ 或＝＝＝32933x x x +++32(331)8x x x ++++3(1)8x ++33(1)2x ++ ＝ ＝．22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+2(3)(3)x x ++ （2）=222456x xy y x y +--+-222(4)56x y x y y +--+- ==．22(4)(2)(3)x y x y y +----(22)(3)x y x y -++-或=222456x xy y x y +--+-22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+--- =．(22)(3)x y x y -++-3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程的两个实数根是、，则二次三项式20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 就可分解为.2(0)ax bx c a ++≠12()()a x x x x --例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）；（2）．221x x +-2244x xy y +-解： （1）令=0，则解得，221x x +-11x =-21x =-∴=221x x +-(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=．(11x x +-+（2）令=0，则解得，，2244x xy y +-1(2x y =-+1(2x y =--∴=．2244x xy y +-[2(1][2(1]x y x y +-++练习1．多项式的一个因式为_________ 22215x xy y --2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1；（4）．4(1)(2)x y y y x -++-习题1．21．分解因式： （1） ； （2）；31a +424139x x -+（3）； （4）．22222b c ab ac bc ++++2235294x xy y x y +-++-2．在实数范围内因式分解：（1） ； （2）；253x x -+23x --（3）；（4）．2234x xy y +-222(2)7(2)12x x x x ---+3．三边，，满足，试判定的形状．ABC ∆a b c 222a b c ab bc ca ++=++ABC ∆4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。
九年级全册知识点
九年级全册知识点第一章：数与式1.1 整数整数的概念：整数由正整数、0、负整数组成，用符号“+”表示正整数、“-”表示负整数。
整数的运算规则：- 整数的加法：同号相加得同号，异号相加取绝对值大的数的符号，结果的绝对值为两数绝对值的和。
- 整数的减法：减去一个正整数等于加上一个负整数，减去一个负整数等于加上一个正整数，然后按加法运算规则计算。
- 整数的乘法：同号相乘为正，异号相乘为负，结果的绝对值为两数绝对值的积。
- 整数的除法：同号相除为正，异号相除为负，结果的绝对值为两数绝对值的商。
1.2 有理数有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，可以用分数形式表示。
有理数的运算规则：- 有理数的加法与减法：先化为相同分母，再按整数的加法和减法运算规则计算。
- 有理数的乘法：分子乘以分子，分母乘以分母，再约分。
- 有理数的除法：将除法转化为乘法，即转化为分子乘以倒数的形式，然后按乘法运算规则计算。
第二章：代数式与方程式2.1 代数式与项代数式的概念：由数或字母和运算符号组成的表达式称为代数式，可以是一个数，也可以是若干个数和字母的积和和。
项的概念：代数式中用加号或减号连接的数或字母的乘积称为项。
2.2 方程式方程式的概念：两个代数式之间用等号连接的式子称为方程式，它表示两个代数式的相等关系。
解方程的方法：- 移项法：通过移动代数式的位置，将含有未知数的项移到一边，使方程式变为等价方程式，最后求解未知数的值。
- 相消法：利用等式两边相等，则它们的倍数也相等的性质，去掉方程式中的相同项，最后求解未知数的值。
第三章：平面图形的认识3.1 点、线、面的概念- 点：空间中没有长度、宽度和高度，只有位置的概念，用大写字母标记。
- 线：由无数个点连成的路径，没有宽度，用小写字母表示，两点确定一条直线。
- 面：由无数个点和线围成的平坦的二维图形，有长度和宽度。
3.2 角和三角形- 角的概念：由两条射线共同端点组成的图形称为角，用大写字母标记角的顶点。
第一章数与式
第一章数与式第一节实数一、数的分类其中：(1)有理数即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。
(2)无理数共四种形式：5.3030030003…、、π、 sin270数轴（１）三要素：原点、正方向、单位长度。
（２）实数数轴上的点。
三、绝对值（１）几何定义：数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做。
（２）代数定义：＝四、相反数、倒数（１）a、b互为相反数 a＋b＝０（或a＝－b）；（２）a、b互为倒数 a·b＝１（或a＝）。
五、近似数与有效数字、科学计数法近似数:（1）精确到小数位 0.3027(0.01)≈0.30（2）精确到整数位 354000(万位) ≈35万或3.5×105（错误350000,35）科学计数法 : a×10 n （ 1 ≤a＜10，n 整数≥０；（２）a ≥０；（３）≥０（a≥０）。
七、运算顺序、运算律和运算法则1、运算顺序：（1）同级：左→右（2）不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减）（3）有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号）2、运算律：运算律加法乘法交换律a＋b＝b＋a ab＝ba 结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (ab)c＝a(bc) 分配律---------------- (a＋b)c＝ac＋bc 3、运算法则①加法法则：结果两数相加符号绝对值同号取原号相加异号取“大”号相减②减法法则：a－b＝a＋（－b）③乘法法则：结果两数相乘符号绝对值同号得正相乘异号得负④除法法则：a÷b＝ a×或结果两数相除符号绝对值同号得正相除异号得负第二节、整式、分式、二次根式与因式分解一、代数式的分类二、整式（一）、整式的有关概念1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的_____. 2．单项式中的数字因数叫做单项式的；单项式中所有字母的_______叫做单项式的次数．3．多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数的次数就是这个多项式的次数．（二）、整式的运算1.整式的加减（1）同类项与合并同类项所含的_____相同，并且_________________也分别相同的单项式叫做同类项.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的______不变.（2）去括号与添括号①括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号，括号里的各项___________.②括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. （3）整式加减的实质是合并同类项.2.整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m（a+b+c）=____________.多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.3.整式的除法单项式除以单项式，把_______________分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加.三、分式1、定义形如（A、B是整式，且B中含有字母，B______）的式子叫做分式.（1）分式有无意义：B=0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义.（2）分式值为0：A=0且B≠0时，分式的值为0.2、分式的基本性质＝（用于通分）＝（用于约分）（m≠0）通分的关键是确定n个分式的____________.确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先__________，再取系数的最小公倍数，所有不同字母（因式）的_________的积为最简公分母.约分的关键是确定分式的分子与分母中的___________.确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先_________，取系数的___________，相同字母（因式）的_____________的积为最大公因式. 3、分式的运算与求值（运算略）分式的求值方法很多，主要有三种：(1)先化简，后求值；（2）由值的形式直接转化成所求的代数式的值；（3）式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中.解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简.只有双管齐下，才能获得简易的解法.四、因式分解1.因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)__________________________________,这种变形就叫因式分解.(2)因式分解与整式乘法是互逆变形（不是互逆运算）．2．因式分解的常用方法(1)提公因式法（2）公式法 (3)分组分解法（4）十字相乘法3.乘法公式平方差：（a＋b）（a—b）＝ a 2 － b 2完全平方：（a±b）2 ＝a 2±２a b＋ b 24．因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)三分组：如果各项没有公式，那么可以尝试运用分组来分解；(3)四查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．五、平方根、立方根与二次根式（1） a n 叫做 a 的n 次幂，其中， a 叫底数，n叫指数。
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高中数学目录高中数学目录第一章：数与式1.1 数的分类及其表示1.2 数的四则运算1.3 数的倍数和因数1.4 数的整除与公因数、最大公因数1.5 数的分解式1.6 代数式的概念和性质1.7 代数式的化简与展开第二章：方程与不等式2.1 方程的概念和性质2.2 一元一次方程2.3 一元二次方程2.4 二元一次方程组2.5 不等式的概念和性质2.6 一元一次不等式2.7 一元二次不等式2.8 不等式组第三章：函数3.1 函数的概念与表示3.2 常用函数3.3 函数的图像与性质3.4 函数的奇偶性3.5 函数的单调性3.6 函数的最大、最小值及求解问题3.7 函数的复合与反函数第四章：数列与数学归纳法4.1 数列的概念及表示4.2 等差数列4.3 等比数列4.4 求和公式4.5 数学归纳法第五章：三角函数5.1 角的概念和弧度制5.2 三角函数的定义和性质5.3 三角函数的图像及其应用5.4 三角函数的反函数5.5 三角函数的基本方程和解法第六章：解析几何6.1 直线方程与斜率6.2 直线的位置关系及交点6.3 圆的定义与性质6.4 圆的标准方程6.5 圆与直线的位置关系及交点6.6 椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质6.7 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及图像第七章：导数与微积分初步7.1 导数的概念及表示7.2 导函数与导数的基本性质7.3 函数的单调性与极值7.4 函数的图像7.5 常用函数的导数7.6 微积分初步第八章：概率与统计8.1 概率的概念及基本公式8.2 事件的独立性与概率的乘法公式8.3 条件概率及全概率公式8.4 贝叶斯公式8.5 随机变量及概率密度函数8.6 统计数据的分析和处理8.7 常用分布及其应用以上就是高中数学目录的内容，希望对广大学生有所帮助。
有任何疑问或问题可以咨询数学老师或者同学，共同学习，相互进步。
人教版中考第一轮复习九年级第一章：数与式(含答案)
第一章：数与式 1.1：实数考点一：实数的相关概念 实数 ✧实数的分类⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数负分数负有理数负实数零正无理数正整数正有理数正实数实数✧ 实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数 ，左边的点表示的数 。
正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较 ；两个负数，绝对值大的较 。
设a 、b 是任意两实数：若0>-b a 。
则a b ；若0=-b a 。
则b a =；若0<-b a 。
则a b ；数轴： ✧数轴的三要素为 、正方向和单位长度。
数轴上的点与 一 一对应。
相反数、倒数、绝对值 ✧ 实数a 、b 互为相反数，则=+b a 。
实数a 、b 互为倒数，则=ab 。
✧绝对值：()()⎩⎨⎧<≥=00a a a aa 的集合意义是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数的乘方与开方 ✧ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0； ✧ 正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做 。
✧ 若a b =3，则b 叫做a 的立方根。
考点1 正数、负数的意义1.（2019 滨州）2.（2019 云南）若零上8℃记作+8℃，则零下6℃记作 ℃．3.（2019 乐山）某天早晨的气温是℃,到中午升高了℃，晚上又降低了℃.则晚上的温度是 .4.（2019 乐山）4.一定是( )A. 正数B. 负数C.0D.以上选项都不正确 考点2 实数及其分类1．(2019·玉林)下列各数中，是有理数的是( )A ．ΠB ．1.2 C. 2 D.33 2．(2018·重庆)下列四个数中，是正整数的是( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．13．(2018·菏泽)下列各数：－2，0，13，0.020 020 002…，π，9，其中无理数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1（2018巴中）1. 下列各数：，0，，023，，，0.30003……，中无理数个数为（ ）A ． 2个B ． 3个C ．4个D ．5个4．(2019·桂林)若海平面以上1 045米，记作＋1 045米，则海平面以下155米，记作( ) A ．－1 200米 B ．－155米 C ．155米 D ．1 200米考点3 数轴、相反数、绝对值、倒数 5．(2019·威海)－3的相反数是( )A ．－3B ．3 C.13 D ．－136．(2019·德州)－12的倒数是( )A ．－2 B.12 C ．2 D ．17．(2019·遂宁)－|－2|的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．28．(2019·陇南)如图，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是－1，那么点B 表示的数是( )A．0 B．1 C．2 D．39．(2018·攀枝花)如图，实数－3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是( )A．点M B．点N C．点P D．点Q10．(2019·成都)若m＋1与－2互为相反数，则m的值为．考点4 科学记数法和近似数11．(2019·荆门)已知一天有86 400秒，一年按365天计算共有31 536 000秒，用科学记数法表示31 536 000正确的是( )A．3.153 6×106 B．3.153 6×107 C．31.53 6×106 D．0.315 36×10812．(2019·潍坊)“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为( )A．10.02亿 B．100.2亿 C．1 002亿 D．10 020亿13．(2019·烟台)某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为( )A．1.5×10－9秒 B．15×10－9秒 C．1.5×10－8秒 D．15×10－8秒14．(2019·攀枝花)用四舍五入法将130 542精确到千位，正确的是( )A．131 000 B．0.131×106 C．1.31×105 D．13.1×104【能力提升】15．(2019·天水)已知|a|＝1，b是2的相反数，则a＋b的值为( )A．－3 B．－1 C．－1或－3 D．1或－316．(2019·枣庄)点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为( )A．－(a＋1) B．－(a－1) C．a＋1 D．a－117．(2019·泰安)2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为( )A．4.2×109米 B．4.2×108米 C．42×107米 D．4.2×107米第2讲实数的运算【基础过关】考点1 平方根、算术平方根、立方根1．(2018·安顺)4的算术平方根是( )A ．± 2 B. 2 C ．±2 D ．2 2．(2019·烟台)－8的立方根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－2 2 3．(2019·南京)面积为4的正方形的边长是( ) A ．4的平方根 B ．4的算术平方根 C ．4开平方的结果 D ．4的立方根 4．(2019·通辽)16的平方根是( )A ．±4B ．4C ．±2D ．＋2 考点2 实数的大小比较5．(2019·菏泽)下列各数中，最大的数是( )A ．－12 B.14 C ．0 D ．－26．(2019·常德)下列各数中比3大比4小的无理数是( )A.10B.17 C ．3.1 D.1037．(2019·宜昌)如图，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 考点3 实数的运算8．(2019·淄博)比－2小1的数是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 9．(2019·天津)计算(－3)×9的结果等于( )A ．－27B ．－6C ．27D ．6 10．(2019·聊城)计算：(－13－12)÷54＝ ．11．(2019·十堰)计算：(－1)3＋|1－2|＋38.12．(2019·黄石)计算：(2 019－π)0＋|2－1|－2sin45°＋(13)－1.【能力提升】13.(2019·广东)实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )A ．a>bB ．|a|<|b|C ．a ＋b>0 D.ab <014.(2019·贺州)计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39的结果是( )A.1937 B.1939 C.3739 D.383915．(2018·潍坊)用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下3x 2＝，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ．16.64的算术平方根是 。
2022年第一章数与式高中数学第一章数与式第3讲因式分解
【举一反三】
2．（2014·南宁） 分解因式：2a2－ 6a =
2a（a－3） ．
Байду номын сангаас
3．（2014·来宾）
分解因式：25－a2= （5 + a）（5．－a）
4．分解因式：2a2－8=2（a+2）（a－．2）
5．分解因式： 3a2－12ab+12b2 = 3（a－2b）2．
4．公式法：
（1）a2－b2 = （a+ b）（a－b）， （2）a2 +2ab + b2 = （a +b）2 ， （3）a2－2ab+b2= （a－b）2 ． 5．十字相乘法： x2+（p +q）x +pq = （x + p）（x + q）．
6． 因式分解的一般步骤：
一“提”（取公因式），二“套”（公式）， 三“分组”，四“十字”．
第3讲 因式分解
知识梳理
1．因式分解：把一个多项式化成几个整式的积 的形式．这样的式子变形，叫因式分解．分解因 式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
2． 因式分解的方法：
（1）提公因式法，（2）公式法， （3）分组分解法，（4）十字相乘法．
3． 提公因式法：ma +mb+ mc= m（ a + b + c）．
考点3：二次三项式的因式分解 例3．分解因式： x2 －4x－12= （x+2）（x－6）
【举一反三】 6．（2013·株洲）多项式x2+mx+5因式分解得
（x+5）（x+n），则m= 6 ，n= 1 ．
课堂精讲
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第一章 数与式1．1实数【考查重点】1、－3的相反数是 ；2的倒数是 ； 4-的绝对值是 ．2、16的平方根是 ；827的立方根是 ． 3、请写出一个大于－1且小于0的无理数_______________．4、已知一粒大米的质量约为0.000 021千克，这个数用科学记数法表示为 ．5、计算 －2－6的结果是 ．6、对于由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）A ．精确到十分位，有2个有效数字B ．精确到百位，有2个有效数字C ．精确到个位，有2个有效数字D ．精确到千位，有4个有效数字 7、数轴上点A 表示的数是3，点B 到点A 的距离是2，则点B 表示的数是( ) A ． 5 B ． 1 C ． 5或1 D ． 2或－28、观察以下算式：12345314,3110,3128,3182,31244,+=+=+=+=+= …，归纳各计算结果中个位数字的规律，猜测132013+的个位数字是（ ）A ． 0B ． 2C ． 4D ． 8 【典型例题】1、例1（1）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 ． （2）若a 5,2,0,b ab a b ==->+=且则 ． （3）已知实数x ，y 满足()0452=++-y x ，则代数式()2013y x +的值＝ ．2、例2 实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，a -，1-的大小关系是（ ）A ．1a a -<<-B ．a a <-<-1C ．1a a <-<-D ．1a a <-<-3、例3 计算：(1)）（）（）（413121-+--- ；（2）12031227(π2)3-⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭；4、例4先观察下列等式：211211-=⨯；3121321-=⨯；4131431-=⨯；…输入x输出y平方乘以2 减去4若结果大于0否则再计算：1091431321211⨯++⨯+⨯+⨯ ．5、例5 已知a 与 b 互为相反数，c 与d 互为倒数，,2=m 求32122()2()mma b cd m -+-÷的值．6、例6根据右图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的 值为___________．7、例7 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是___________；表示－3和2两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于|m －n |．如果表示数a 和－2的两点之间的距离是3，那么a ＝___________；|a +1|表示 ．(2)若数轴上表示数a 的点位于－4与2之间,求|a －2|＋|a +4|的值；(3)当a 取何值时，|a ＋5|＋|a －1|＋|a －4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．8、随堂训练：计算：（1） （74 －712）÷（－ 78）； （2）121(2)2(3)3-⎛⎫-+⨯-+ ⎪⎝⎭；（3） （－1）2010－|－7 |＋ 9 ×（ 5 －π）0＋1)51(-.1．2整式（一）【考查重点】-5-4-221-334-11、用代数式表示：(1) 一批运动服，原价每套为x 元，现在打9折出售，则每套的售价为________元；(2) 某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是x ，那么该商品现在的价格是__________元；(3) “比m 的平方的3倍大1 的数”是_______________．2、单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ．3、请写出－2ab 3的两个同类项___________； __________．4、计算：_______43=⋅-a a , 2a a a +⋅=________, (a +2)(a －1)=_______． 5、多项式 与m 2＋m －2的和是m 2－2m ． 6、化简（a ＋2）（a －2）－a （a －1）的结果是__________． 7、若3,5==n ma a，则___________32=+n m a ．8、若3=+y x ，1=xy ，则=+22y x ___________．9、如图，从边长为（a ＋4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余 部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）．A ．22(25)cm a a +B．2(315)cm a +C ．2(69)cm a +D ．2(615)cm a +【典型例题】1、例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a 元,则该品牌彩电每台原价应为多少元?2、例2计算：(1) a (a －2b )－(a －b )2 ； (2) 322313()()3x y xy ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭；(3) (3(2)(2)()a b a b ab ab -++÷-.3、例3 先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．4、例4 （1）已知x 2+3x 的值为2，求代数式3x 2+9x –2的值； （2）已知31=-x ，求代数式4)1(4)1(2++-+x x 的值．5、例5 根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：(2a ＋b )( a ＋b ) ＝ 2a 2 ＋3ab ＋b 2，就可以用图1的面积关系来说明． （1）根据图2写出一个等式 ；（2）已知等式：(x ＋p ）(x ＋q ）＝x 2 ＋ (p ＋q ) x ＋ pq ，请你画出一个相应的几何图形加以 说明．6、随堂训练：（1）计算： ①3x 2－［7x －(4x －3)－2x 2］ ； ②)321(4)(5)31(22222+--+-b a b a ab ab b a ；③2(21)(3)(3)x x x +-+- ．（2）已知03822=+-x x ，求)1(212x x +--）（的值．aab a bb 2 ab ab aba 2a 2图1a ab a baabb 图21．3整式（二）【考查重点】1、下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=--B ．21(1)(1)a a a -=+-C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．2223(1)2a a a -+=-+ 2、下列多项式中，能用公式法分解因式的是 （ ）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 23、下列分解因式错误的是（）A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+4、直接写出下列多项式分解因式的结果：（1）3ab 2＋a 2b ＝ ； （2）=-92x ；（3）=-822a ； （4）a 3－4a 2b ＋4ab 2 ＝ ．5、若622=-n m ，且 3=-n m ，则 =+n m ．【典型例题】1、例1把下列各式分解因式：（1）x 2(x –y ) + (y –x ) ； （2）(x 2+y 2)2 – 4x 2y 2 ； （3）(a +1)(a +3) + 1 ．2、例2 给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z = a 2＋ab ，请你任选两个进行减法运算，再将结果分解因式．3、例3写一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式分解；然后将所写的三项式分解因式．4、例4 (1) 20132 –2013能被2012整除吗？为什么？(2) 232–1可以被10和20之间某两个数整除，求这两个数．5、例5 观察猜想如图，观察由四个长方形拼成的大长方形，请根据此图分解因式：pq x q p x +++)(2=pq qx px x +++2 = . 说理验证事实上，也可以用如下方法分解因式：pq x q p x +++)(2=pq qx px x +++2=)()(2pq qx px x +++ = = . 尝试运用把232++x x 分解因式.解：232++x x =12122⨯+++x x ）（=)1)(2(++x x . 请利用上述方法将下列多项式分解因式：（1）1272+-x x ； （2）18)(7)222-+++y y y y （.6、巩固训练：（1）把下列各式分解因式：①()()a b y b a x -+- ； ②2)(9b a +－2)(4b a - ；③3x 2- 6xy + 3y 2 ； ④ (x －y )2 + 4xy ．（2） 计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011911311211．1．4分式【考查重点】1、在65,3,1,3,2,1y x m a y b a x +++π中，分式的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 42、如果把分式2xx y+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍; C ．扩大4倍 D ．缩小2倍 3、要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠ B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >4、化简2244xy yx x --+ 的结果是（ ）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 5、若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ． 1B ． －1C ． ±1D ． 26、计算yx yy x x ---的结果是 ． 7、计算：y x 11-= ；21x x x -=- ； x x x -+--2121＝ ．8、写出一个只含有字母x 的分式（要求：不论x 取任何实数，该分式都有意义） ．【典型例题】1、例1 分式 1322--+x x x的值为0，则x 的值为 （ ）． A ． x =-3 B ． x =3 C ． x =-3或 x =3 D ． x =3或 x =-1 2、例2 计算：（1）aa a -+-21422； ( 2 ) )11(2)2(y x y x xy y x y y x x +÷-⋅---．3、例3 先化简 41)231(2-+÷-+a a a ， 然后请你给a 选取一个合适的值, 再求此时原式的值．4、例4 若1a –1b =4, 则a –2ab –b2a –2b +7ab 的值等于多少？5、例5 （1）已知 31=+x x ，则221xx + ＝ ； （2）某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城 市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条 路实际用了 天；（3）一项工程，甲队单独做要a 天完成，乙队单独做要b 天完成． 甲、乙两队合做完成这 项工程需要（ ）.A ．()a b +天B ． 11()ab+天 C ．aba b +天 D ． 1a b+天6、巩固练习（1） 计算： ① (9a – a ) ÷ a –3a ； ② ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+x x x x x 1211 .（2）先化简，再求值：2422-÷+--x xx x x x ）（，其中x =2013．1．5二次根式【考查重点】1、计算2(3)-的结果是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 2、设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ）A ．ab ＝a ·bB ．a b +＝a ＋bC ．(a )2＝aD ．a b＝a b3、下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A ．24B ．18C ．12D ．94、5是一个无理数，那么5－2的值（ ）A ．在0和1之间B ．在1和2之间C ．在2和3之间D ．在3和4之间 5、使y =2-x 有意义的x 的取值范围是 ． 6、化简3275(0,0)x y x y ≥≥= ．7、计算483-= ；=-⨯263_________． 8、如果320,a b -+-=那么16a b+=___________． 【典型例题】1、例1 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）5x+2 ； (2) 12+x ； （3） xx 1+ .2、例2 如果x x -=-2)2(2，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≤2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ＞23、例3 计算： (1) 3a 12ab ·(–236b )（a ≥0,b ≥0）； (2) 3221412411832+-+；(3) )321)(321(-+； （4） )483814122(22-+．4、例4 若a 、b 两实数在数轴上的相应位置如图，化简 ||a-b +(a+b)2．5、例5 （1）观察和思考：2与下列哪些数相乘，结果是有理数？A ．32B ．22-C ．23+D ．32E ．0答案是（只需填字母）： ；（2）如果一个数与2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）？6、巩固训练 计算下列各题： （1） 52+8－221 ； （2） 6)31122(⨯-；（3）12315520⋅-+ ； （4）()()()2121212---+.7、本节课学习的主要内容是什么？结合课本进行小结和整理.。