高二年级第二次月考数学(理)试卷

高二年级第二次月考数学（理）试卷一、选择题（50分） 1.下列说法错误．．的是（ D ） A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件C ．若命题p ：“x R ∈存在，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∈任意，均有210x x ++≥”D ．若p q 且为假命题，则p 、q 均为假命题.2．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ A ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．关于直线a ,b,c 以及平面M ，N ，给出下面命题： ①若a //M ，b//M, 则a //b ②若a //M, b ⊥M ，则b ⊥a ③若a ⊂M ，b ⊂M,且c ⊥a ，c ⊥b,则c ⊥M ④若a ⊥M, a //N ，则M ⊥N ，其中正确命题的个数为 （ C ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图1，直三棱柱111ABC A B C -侧面11AA B B 是边长为5的正方形，AB BC ⊥，A C 与1BC 成60角，则A C 长 （ D ）A ．13B ．10C． D．5．已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（ C ）A.3716B.115C.2D.36．已知双曲线2215xym -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x=的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ D ）A ．6B．2C ．34D ．3211117．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（ B ）A ．⊥αβ，且m ⊂α B.m ∥n ，且n ⊥β C.⊥αβ，且m ∥α D.m ⊥n ，且n ∥β8．已知a ，b 为异面直线，则下列命题中正确的是 ( C ) （A ）过a ，b 外一点P 一定可以引一条与a ，b 都平行的直线 （B ）过a ，b 外一点P 一定可以作一个与a ，b 都平行的平面 （C ）过a 一定可以作一个与b 平行的平面 （D ）过a 一定可以作一个与b 垂直的平面 9．一圆形纸片的圆心为点O ,点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点.把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与O A 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是（ A ）A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D.圆10.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线O P 分别交于,Q R 两点，其中O 为坐标原点，则2||O P 与||||OQ OR ⋅的大小关系为（ C ）A ．2||||||OP OQ OR <⋅B ．2||||||OP OQ OR >⋅C ．2||||||OP OQ OR =⋅D ．不确定二、填空题（25分）11．已知12,F F 为双曲线C:2211620xy-= 的左、右焦点，点P 在C 上，若19,PF =则2P F = 17 .12．设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__[]1,1-__________13．已知命题:,2102p x ax x ∈++R ≤存在. 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 (1 ,∞)14．直线y ＝x ＋3与曲线1492=-x x y交点的个数为______3_____.15．下列命题中，真命题是 ②③④ （将真命题前面的编号填写在横线上）．①已知平面α、β和直线a 、b ，若a =βα ，α⊂b 且b a ⊥，则βα⊥． ②已知平面α、β和两异面直线a 、b ，若α⊂a ，β⊂b 且β//a ，α//b ，则βα//．③已知平面α、β、γ和直线l ，若γα⊥，γβ⊥且l =βα ，则γ⊥l ．④已知平面α、β和直线a ，若βα⊥且β⊥a ，则α⊂a 或α//a 三、解答题（75分）16.（12分）已知命题p ：在]2,1[∈x 内，不等式220x ax -+<恒成立；命题q ：函数2()23f x x ax a =-+是区间(,1]-∞上的减函数. 若命题“p q 或”是真命题，“p q 且”是假命题，求实数a 的取值范围．解 ： ]2,1[∈x 时，不等式220xax -+<恒成立∴222x a xxx+>=+在[]2,1∈x 上恒成立，令2()g x xx =+max ()(1)3g x g ∴==， 3.a ∴>即若命题p真，则3;a >函数2()23f x x ax a =-+是区间(,1]-∞上的减函数, ∴1a ≥。

即若命题q 真，则1a ≥命题“p q 或”是真命题，“p q 且”是假命题 ∴命题p 与q 一真一假当p 真q 假时31a a a >⎧⇒⎨<⎩无解当p 假q 真时3131a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≥⎩综上所述：13a ≤≤17．（12分）在正方体''''ABCD A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示．（Ⅰ）求证：'AD ∥平面E F G ；（Ⅱ）求证：⊥'C A 平面E F G ； 证明：（Ⅰ）连接'B C . 在正方体''''A B C D A B C D -中，''AB C D =，A B ∥''C D .所以 四边形''ABC D 是平行四边形.所以 'A D ∥'B C .因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点， 所以 F G ∥'B C . 所以 F G ∥'A D . 所以 'AD ∥平面E F G .证明：（Ⅱ）连接'B C . 在正方体''''A B C D A B C D -中，''A B ^平面''B C C B ，'B C Ì平面''B C C B ， 所以 '''A B B C ⊥. 在正方形''B C C B 中，''B C B C ⊥，N MH G FE D'C'B'A'D C B A HGFD'C 'B'A'D C A因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，''''A B B C B = ， 所以 'B C ⊥平面''A B C . 因为 'A C Ì平面''A B C ， 所以 ''B C A C ⊥. 因为 F G ∥'B C ， 所以 'A C F G ⊥.同理可证：'A C E F ⊥.因为 E F Ì平面EFG ，F G Ì平面EFG ，EF FG F = ， 所以 'A C ^平面E F G . 18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y＝2x ＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切， 故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2. 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以·＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. OP ⊥OQ19．（12分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，A B ∥C D ，BC AB ⊥，CD AB2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥； （Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使D F // 平面BCE ？若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆:C22221(0)x y a b ab+=>>的3，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12M B M B ⊥. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由222222519a b b e aa-===-， 得23b a=.依题意△12M B B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. 所以椭圆C 的方程是22194x y+=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线A B 的方程为2x my =+. 将直线A B 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y m y ++-=. 所以1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+.若PM 平分APB ∠，则直线P A ，P B 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . 设(,0)P a ，则有 12120y y x ax a+=--.将112x m y =+，222x my =+代入上式，整理得 1212122(2)()0(2)(2)m y y a y y m y a m y a +-+=+-+-，所以12122(2)()0m y y a y y +-+=.将1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得 (29)0a m -+⋅=.由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =.综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠.21．（14分）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点1()2A m ，，A 点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设00(,)M x y 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦M P ,MQ ,求证：PQ 恒过定点00(2,)x y +-.（3）直线01=++my x 与抛物线交于E ,F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△N EF 为以E F 为斜边的直角三角形.解：（1）由题意可设抛物线的方程为22y px =，则由抛物线的定义可得1212=+p ，即1=p ，所以抛物线的方程为xy 22=.……4分（2）由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设PQ 所在直线方程为中代入x y n my x 2,2=+=得 2220.y m y n --=1212,2,y y m y y n +==-所以其中12,,y y P Q 分别是的纵坐标,1.M PM QM P M Q k k ⊥⋅=-因为，所以即102010201,y y y y x x x x --⋅=---所以1020()() 4.y y y y ++=-,04)(2002121=++++⋅y y y y y y0000(2)2240,2.n m y x n m y x -+++==++即 所以直线PQ 的方程为,200+++=x my my x即0000()2,(2,x m y y x x y =++++-它一定过定点）. …9分（3）假设N （01),2(,)2(,),0000=++-+my x y x y x 在直线点知则由为满足条件的点上，的解，消去x 得0244,06222≥-=∆=+-m my y N 所以存在点满足条件.……14分200002,210,(,)30y x x my x y x my ⎧=+-+=⎨-+=⎩所以是方程组答案一、选择题1-5DACDC 6-10DBCAC 二、填空题11、17 12、【-1,1】 13、（1，+∞） 14、3 15②③④ 三．解答题16、解 ： ]2,1[∈x 时，不等式220x ax -+<恒成立∴222x a xxx+>=+在[]2,1∈x 上恒成立，令2()g x xx =+max ()(1)3g x g ∴==， 3.a ∴>即若命题p真，则3;a >函数2()23f x x ax a =-+是区间(,1]-∞上的减函数, ∴1a ≥。