§2.2 函数的表示法

§2 对函数的进一步认识
课题：2.2 函数的表示法（一）
教学目标：
1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；
2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示
法的优缺点；
3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；
4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情.
教学重点：
函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法
教学难点：
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法.
教学过程：
一、 新课引入
复习提问：函数的定义及其三要素是什么？
函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程
中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段.
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？
答：列表法是、图像法、解析法
二、新课讲解
请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题：
1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？
2. 这三种表示法各有什么优、缺点？
体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们.
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用.
例1、 请画出下列函数的图像.
,0,0
x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩
解：图像为第一和第二象限的角平分线，
如图2-5所示
问1.如何作出函数1y x =-的图像？
2.如何作出函数1y x =-的图像？
3. 如何作出函数23y x =+-的图像？
4.思考：如何由函数y x =的图像得到函数y x a b =++的图像？
5.试求函数y x =与函数y=1的图像围成的图形的面积.
例2、 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表2-5:
(多媒体课件显示)
分析：要让学生明白当信函质量020m <≤时邮资M=1.20是信函质量m 的函数，是一种典型的多对一的函数，可以通过多媒体动画演示让学生体会.
解：邮资M 是信函质量m 的函数，函数图像如图2-6所示
图2-6
函数解析式为：
1.20,020
2.40,2040
3.60
,40604.80,60806.00,80100
m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩ 注：像这样在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数叫分段函数
1. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；
2. 分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；
3. 分段函数的求解策略：分段函数分段解.
4.
例3、 某质点在30s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图2-7.用解析法表示这个函数，并求出9s 时质点的速度.(多媒体课件显示)
解：速度是时间的函数，且在不同的区间上对应这不同的解析式，因此速度是时间的分段函数，我们应当分段处理.
1.当05t ≤≤时，可设 (0)v kt b k =+≠，将（0，10）和（5，15）代入，得
10155b k b =⎧⎨=+⎩
10v t ∴=+
请同学们拿出笔和纸算出 510t ≤≤，1020t ≤≤，2030t ≤≤时所对应的解析式.
∴ 10,053,510()30,1020
390,2030
t t t t v t t t t +≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-+≤≤⎩
由上式可得，t=9s 时，质点的速度是
(9)3927(/
v c m s =⨯= 问1.如何求质点在t=19s 、20s 、0.2s 时的速度呢？
2.求((9))v v 的值；
3.当()27(/)v t cm s =时，对应的时间t 是多少？
3解法1：（分段函数分段解）
①当05t ≤<时，()1027v t t =+= 解得17t =（舍）
②当510t ≤<时，()327v t t == 解得9t =
③当1020t ≤<时，()3027v t =≠ 无解
④当2030t ≤≤时，()39027v t t =-+= 解得21t =
综上可知9t =或21
解法2：（数形结合）由v 与t 图像可知只有510t ≤<和2030t ≤≤时，()27(/)v t cm s =才可能成立，故()39027v t t =-+=或 ()327v t t == 解得9t =或21
三、 思考交流
思考交流中的第1、2题.
四、课堂练习
练习题P31第1、2、3题.
五、课堂小结
师生共同归纳本节主要内容
1. 函数的三种表示法和各自的优缺点；
2. 分段函数及其解法；
3. 函数解析式的求法.
六、布置作业
P34习题2-2 A 组 第1、2题.
课题：§2.2函数表示法（二）-------函数解析式的求法
教学目标：让学生了解函数解析式的求法.
重点：对f的了解，用多种方法来求函数的解析式
难点：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法等方法的运用.
教学过程
例1.求函数的解析式
(1) f（x+1)= x2+x=1 , 求f (x); 答案：f (x)=x2－x＋1（x≠1）
练习1：已知f( x+1)= x+2 ,求f(x) 答案：f (x)=x+1
(2) f (x) = 3x2+1, g (x) = 2x －1 , 求f[g(x)];答案：f[g(x)]＝12x2－12x＋4
练习2：已知：g(x)=x+1,f[g (x)]=2x2+1,求f(x-1) 答案：f(x-1)=2x2-8x+9
(3)如果函数f (x)满足af (x)+f()=ax,x∈R且x≠0,a为常数，且a≠±1,求f (x)的表达式.答案：f (x)= (x∈R且x≠0)
练习3：2f (x) － f (－x) = lg (x+1), 求 f (x).
答案：f(x)= lg(x+1)+lg(1－x) (－1<x<1)
例2.已知f (x)是一次函数，并且满足3f (x+1) - 2f (x-1)＝2x+17,求f (x).
答案：f (x)=2x+7.
练习4：已知f (x)是二次函数，满足f(0)=1且f (x+1) - f (x)＝2x,求f (x)
答案：f (x) = x2- x+1
例3.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y
有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x) 答案：f (x) =x2+x+1
练习5：函数f(x)对任何x∈R恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),已知f(8)=3,
则f(2)=
例4.已知函数y=f(x)的图像如图所示，求f(x)
练习6：已知函数f(x)的图像是由两条射线和开口向下的抛物线组成，求f(x)解析式
例5.已知定义在R上的函数y=f(x)关于直线x=2对称并且x∈[0,2]上的解析式为y=2x-1,则f(x)在x∈[2,4]上的解析式为y=7-2x
练习7：设函数y=f(x)关于直线x=1对称，若当x≤1时，y=x2+1,
则当x>1 时，f(x)= x2-4x+5
课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义.
布置作业：
1、若g(x)=1-2x , f[g(x)] =5-6x (x≠0),求f(x)的值.
2、已知f(x -1 )=x +3 , 求f(x-1)的表达式.
3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足f[g(x)]= g[f(x)] 的x的值为多少？
4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)] = 9x+4,求f(x).
教后反思：。