(修改稿)猜想与验证三角形的内角和教学案例

“让学生在猜想和验证中体验、感悟”---- 《三角形的内角和》教学案例评析与教学反思
数学猜想，是数学中的一种思想与方法，是依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所做出的一种似真的判断，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。

它虽然具有假定性，但假定中必然存在着某些领域的科学性，只要学生将猜想与验证有机地联系在一起，那数学研究就会更加深入，更加完善。

《数学课程标准》明确指出：在教学中，应加强对学生主动进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。

可见，教师必须理解学生的异想天开甚至无理的猜测和想法，学生的猜想过程，也就是他们主动参与数学知识探索的过程，在小学数学教学中，许多规律的发现、性质的得出、思路的形成和方法的创新，也可以由学生通过数学猜想得到，实现数学再创造，通过数学猜想，可以极大地丰富学生的数学理论，这就要求教师鼓励学生主动地去实验操作、观察分析、归纳和概括，建立起关于数学概念、定律、方法的各种猜想，然后用严格的逻辑方法验证并取舍，使学生从小养成“猜想---验证”的良好心理品质。

2007年5月17日，我执教了《三角形的内角和》。

纵观本节课，猜想的提出与验证，方法和结论的得出，都是学生个体主动参与、合作探究的结果。

这样的数学课堂教学过程，充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，既培养了学生的探索精神，又在探究过程中获得了丰富的情感体验。

【教学内容】：义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册（人教版）
【片段1】：创设情境，大胆猜想，导入新课。

师：今天一大早，数学王国的两个三角形就在那儿争吵不休。

一个大的锐角三角形说：“我的内角和大”，一个小的锐角三角形说：“我的内角和才大呢！”，（课件出示）
师：同学们，你们猜一猜到底谁的内角和大呢？
生1：大三角形的内角和大。

生2：小三角形的内角和大。

生3：两个三角形的内角和一样大。

智慧爷爷说：“孩子们，不要争吵了，等我们学习了三角形的内角和，你们就会明白的。

师：今天我们就一起来研究三角形的内角和。

（板书课题：三角形的内角和）
【评析】：在这里，我精心设计了数学王国里的两个三角形的争论，它适合四年级儿童的心理发展特点，同时通过这两个三角形的争论又引发了一个数学问题：谁的内角和大？针对这个问题，又引发了学生的大胆猜测，通过猜想，从而激发起学生想进一步验证正确答案的兴趣和信心，为学生探究新知做好了铺垫。

【片段2】：引导小组合作，自主探究。

多媒体课件出示一个正方形和一个长方形。

如图
师：这是两个什么平面图形？这两个图形有什么联系？
[指名回答]
师：同学们观察得真仔细！请同学们利用学具当中的正方形和长方形纸片动手折一折，将长方形和正方形分成两个完全一样的直角三角形，并思考：这两个完全一样的直角三角形，它们的内角和各是多少度？
[学生们以小组为单位，动手操作，实验，对折，讨论，交流。

]
师：请同学们把自己的发现跟全班同学交流一下。

生1 ：我们小组发现，正方形沿着对角线对折，可以分成两个完全一样的等腰直角三角形，因为正方形的内角和是3600，所以，这个直角三角形的内角和等于3600÷ 2=1800。

生2 ：我们小组发现，正方形沿着对角线对折，可以分成两个完全一样的等腰直角三角形，这个三角形有一个直角等于900，另外两个锐角也相等，都是450。

所以，这个直角三角形的内角和等于900+450+450=1800。

生3 ：我们小组发现，长方形沿着对角线对折，可以分成两个完全一样的直角三角形，因为长方形的内角和是3600，所以，这个直角三角形的内角和等于3600÷ 2=1800。

师：同学们说的真好，那么，是不是任意的一个直角三角形的内角和都是1800呢？
生：我认为任意一个直角三角形的内角和都是1800。

因为我们可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，因为长方形的内角和是3600，所以，其中一个直角三角形的内角和就是360度的一半：3600÷ 2=1800。

师：大家同意他的观点吗？
生：同意。

师：那我们可以得出一个怎样的结论？
生：直角三角形的内角和是180度。

【评析】：在这里，学生在小组中为了完成共同的任务—探究直角三角形的内角和，形成了有明确责任分工的互助性学习，既有助于培养学生的合作精神和竞争意识，又使每个学生都得到了发展。

由于有了学生的动手操作、观察对折、讨论交流和积极发言，使教学不仅仅只是体现一个认知、探究、交流、决策的过程，同时还体现了一个交往与审美的过程。

【片段3】：动手操作，验证猜想。

师：直角三角形的内角和是180度，那么钝角三角形和锐角三角形的内角和是多少度？请同学们猜想一下。

生 1 ：我猜想钝角三角形的内角和可能大于180度，因为它有一个钝角。

锐角三角形的内角和可能小于180度，因为它的三个角都是锐角。

生 2 ：我猜想钝角三角形和锐角三角形的内角和都是180度。

师：哪种猜想正确呢？为了验证我们的猜想，我们该怎么办？请同学们利用学具动手操作，小组合作，看哪个小组想的办法最多？
[学生们以小组为单位，动手操作，实验，讨论，交流，教师给与学生充分的时间。

] 师：下面请同学们交流，看看你们有什么独特的发现？在交流前老师有一个要求：如果你觉得他的发言很精彩，就送上鼓励的掌声。

如果你觉得他的发言不能让你信服，那么你就举手补充，好吗？
生1 ：我们用量角器分别量出∠ 1 、∠ 2 、∠ 3的度数，再求和，发现钝角三角形与锐角三角形的内角和都是 180 度。

（在展示台展示）
生 2 ：我们把三角形的三个角∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 折到一起，拼成了一个平角了。

因为平角等于180度，所以钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。

（展示折的方法）
生 3 ：我们把三角形的三个角∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 剪下来，然后拼在一起，就拼成了一个平角。

因为平角等于180度，所以发现钝角三角形和锐角三角形的内角和都是180度。

（展示剪拼的方法）
生4 ：我们在三角形内画了一条高，就把三角形分成了两个直角三角形，这两个直角三角形的内角和等于1800×2=3600。

当这两个直角三角形拼在一起组成一个新的大三角形时，就去掉了两个直角，所以三角形的内角和=3600－900×2=1800。

（在展示
台展示）
师：同学们真聪明，想出了这么多好办法！通过刚才的实验，我们验证了三角形的内角和是1800。

因此，我们可以肯定地说：任何一个三角形的内角和都是1800 。

（板书）
师：刚才同学们用量、折、拼、画的方法都是将三角形的三个内角转化成我们熟悉的角，这种转化方法是我们学习数学的重要方法，希望同学们在今后的学习中大胆应用。

【评析】：《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的。

从特殊三角形到一般三角形的内角和，对学生来说，是富有挑战性的。

特别是“钝角三角形和锐角三角形的内角和是多少度？”这一开放性的问题，引发了学生思维上的冲突。

学生在这里遇到了困难，发生了争执。

我在这里融入了学生的猜测、验证、推理与交流等数学活动，充分体现了数学学习是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。

我认为，活动是数学教学的基本形式，思考是数学的核心问题。

改善学习方式，重要的是让学生运用已有知识经验，在思考与活动中，经历猜想与验证，体验“再次创造”的过程，从而培养学生的合作交流与动手实践的能力，让学生在猜想与验证中体验、感悟数学学习的快乐与成功。

【片段4】：巩固知识，应用拓展。

师：通过这节课的学习，你还想知道些什么？你有什么收获？还有什么遗憾？
生1 ：我想知道三角形有没有外角？
师：三角形有外角，今后我们会学习了解的。

生2 ：我想知道学习了三角形的内角和有什么用？
师：学习三角形的内角和有什么用？
（请同学们看屏幕！多媒体课件出示问题 1、2，学生观察，尝试解决，指名回答。

）师：现在同学们知道了吧，知道了三角形的内角和，我们就可以解决很多求三角形的一个内角度数的问题。

师：同学们有什么收获？还有什么遗憾？
生1：我知道了不管什么三角形，它的内角和都是1800。

生2：我觉得小组合作探究学习能节省时间，提高学习效率。

生3：通过这节课的学习，我认为做事不仅要有猜想，还要想办法去验证我们的猜想。

生4：我认识了猜想、验证、转化等数学方法，在今后的学习中，我一定要大胆
尝试、应用这些数学方法。

生5：我还有一点儿遗憾，我还想知道其它图形的内角和。

师：这点儿遗憾我们就把它当作课外作业，下课后请同学们自己或与他人协作探究多边形的内角和，好吗？
【评析】：设计练习的目的是让学生对所学的新知加以巩固，从而促使学生综合运用知识，增强观察生活，解决问题的能力。

通过知识的应用，学生不但进一步巩固了所学知识，同时也认识到数学来源于生活，让学生从观察中发现生活中存在的一些数学知识，并能运用这些知识、经验来解决有关的数学问题，让他们感受到身边处处有数学，从而提高了他们学习数学的积极性和兴趣。

【教学反思】：
《数学课程标准》指出:数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动、相互交流与共同发展的过程。

教师是学生数学学习活动的组织者、引导者和合作者，教师要充分利用各种教学资源创造性的使用教材，设计适合学生发展、促进学生自主构建的教学过程，关注学生的情感与态度，帮助学生树立自信，使他们乐学、善学。

这节课我在这方面作了大胆、合理的尝试。

一、形式多样化，内容生活化。

《数学课程标准》指出:学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流。

多样化的学习材料以其生活性、趣味性，更贴近学生的生活经验、知识基础、心理特征、爱好倾向和思维特点，使学生容易形成认知结构，自主建构，深刻领悟数学知识，体验数学知识的实用价值。

在本节课中通过让学生动手操作，量、剪、拼、折、画等实验活动，给学生展示了一个情趣盎然的活动空间，使数学课堂不再枯燥与乏味，而是充满了生动情趣和创造活力。

学生通过大胆猜想，经历动手操作和实践验证，体验、感悟数学学习的快乐与成功。

二、经历猜想验证，体验感悟成功。

《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

数学学习活动应当是一个生动活泼的、生动的和富有个性的过程。

注重学习方式的转变是《课标》的重要理念精髓。

现代数学教学强调学生自主学习，经历体验，自主构建，教师的任务是引导和帮助学生去猜测探索，体验成功，而不是把现成的知识灌输给学生。

本节课中，我首先提供给学生的是不同的情境，让学生自己猜想，动手操作，探索三角形
的内角和，体验三角形内角和的度数，并能从中发现规律，让学生把自己的发现用语言表达出来，这种在操作、思考的基础上得出的全新发现，就是学生的创造。

学生在经历猜测---验证---探索---体验---感悟之后，感受数学的趣味本质，享受成功的喜悦，通过小组活动，讨论交流，学生不仅可以学会知识，还培养了主动探索和团结协作的精神。

1、创设问题情景，以疑激思。

古人云：学起于思，思源于疑。

学生的积极思维往往是由问题开始，又在解决问题中得到发展。

课堂环节中的适时提问：“请同学们猜想一下，钝角三角形和锐角三角形的内角和是多少度？”，猜想本身就是学习的动力，掀起了学生积极思维的小高潮。

2、让学生动起来，以动启思。

著名心理学家皮亚杰说过：“儿童的思维是从动作开始的。

”可见，人的手与脑之间有着非常密切的联系。

本课中，通过让学生动手操作，量、剪、拼、折、画等实验活动，得到的不仅是三角形内角和的知识，也使学生学到了怎样通过已知知识和经验探索未知知识的思维方式与方法，培养了他们主动探索的精神。

让学生在活动中学习，经历猜想，体验验证，感悟成功，是这节课的突出特点。

3、小组合作，自主探究。

任何一项科学研究活动或发明创造都要经历从猜想到验证的过程。

“是否任何三角形的内角和都是1800”，这个猜想如何验证，这正是小组合作的契机。

通过小组内交流，使学生认识到可以通过多种途径来验证，可以量一量、拼一拼、折一折、画一画，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程，然后再小组汇报研究结果以及存在的问题。

这节课中的全班交流教学环节，不仅能使学生畅所欲言、互启互发、共同发展，而且真正体现了“学生是学习的主人，是学习的主体”这一现代教育的主题。

三、注重数学思想渗透，关注数学与生活的联系。

这节课在教学过程中渗透了“转化”、“猜想与验证”等数学思想，学生不仅认识了这些数学思想，而且明白了它们的重要意义，这为学生今后的数学学习做了一个很好的铺垫。

在巩固知识，应用拓展阶段，我出示现实生活中的物体：红领巾和交通警示牌，体现了“数学来源于生活”的理念，同时也突出了“数学注重应用”的理念。

既然数学知识与实际生活联系这么紧密，那么我们就应该做生活的有心人，细心观察，认真分析，从生活中发现数学问题，并能运用所学的数学知识解决生活中的数学问题，让学生真正感受到身边处处有数学，从而提高他们学习数学的积极性和兴趣。