物理光学

2
1 2
z vt z vt
引入中间变量对方程化简，令
对（1）式代换变量，得
2 2 2 E E E E 2 2 2 2 z 2 2 2 2 E E E 2 E v 2 2 2 2 t
k x k cos , k y k cos , k z k cos .
就一般情况而言，平面电磁波可沿空间任意方向传播，因此需 要写出在一般情况下的波函数。 如图所示：电磁波沿空间某一方向传播，在t时刻波面为∑，波 面上任意一点P到坐标原点的距离为r，电波的波函数为
E A cos k r t 式中k 为波矢量，r 为P点的位置矢量。
四、 复数形式的波函数
e i cos i sin ;
cos Re e i ;

E (r, t ) A(r) cos(kr t 0 ) Re A(r) exp[i (k r t 0 )]
ωt项取负 )exp[i(k r 0 )]exp(it )
2 波函数中余弦位相因子cos z vt 决定着电场、磁场随空间、时间 的变化关系。例如：由余弦位相因子可求得在t o时刻、z 0位置为 波峰；在另一时刻t，波峰位于z vt位置，由此可看出波的传播及变 化特点。
2 波函数的多种表达形式 （1）
k
1-1-2/17
3 介质的绝对折射率 电磁波在真空中的速度与在介质中的速度是不等的。为了描述 不同介质中电磁波传播特性的差异，定义了介质的绝对折射率：
n c v
代入c、v各自的表达式，有
c n v
r r 0 0
r 为相对介电常数， r 为相对磁导率。
对除磁性物质以外的大多数物质而言， r 1, 故 n r 这个表达式称麦克斯韦关系。
1 2 3 4
称哈密顿算符
是电荷分布的体密度，j是传导电流密度。从积分式变换到微 分式依据的数学定理，可参见课本后的附录。
三 物质方程 麦克斯韦方程组中共出现两个电场量E、D和两个磁场量B、H。 其中的E、B是基本量，D、H是辅助量。对应的基本量与辅助量 的关系取决于电磁场所在的物质。 在各向同性物质中，有以下关系成立： DE 为介质的介电系数 B H 为介质的磁导率


在物理光学的研究中，主要关注的是光的能量。而理论分析证 明：对光能量起决定作用的是电场强度E。所以将E 的表达式称 为光波的波函数。 我们研究的光波是理想的单色光波，即波的频率为与介质无关 的单一值。由于波的传播速度随介质而异，所以在不同的介质 中，波长有不同的值。真空中波长0与折射率为n的介质中的波 长的关系是 o n
二 平面简谐波 （3）（4）式是平面简谐波的波函数，即我们认定研究的电磁 波为平面简谐波。 1 波函数中各因子的意义
A — 电场的振幅 A — 磁场的振幅
2 z vt — 波的位相
— 波长
定义某一时刻位相相同的各点所形成的包络面为波面。分析位 相因子可知：在任意时刻t时，位相相同的各点必有同一z值， 即各点位于同一垂直于z轴的平面内，波面为一平面，故（3）、 （4）式所表示的波为平面简谐波。
2
两方程变为
这两个偏微分方程称波动方程，它们的解为各种波动，这表明 电场和磁场是以波动的形式在空间传播的，传播速度为v。
五 电磁波 1 电磁波的速度 电磁波在介质中的传播速度取决于介质的介电常数和磁导率， 关系式为：
v 1

当电磁波在真空中传播时，速度为c
c 1
00
2 电磁波谱 电磁波包含许多波长成分，除了我们熟知的无线电波和光波以 外，还包括X射线、射线等。按照波长或频率的顺序把这些电 磁波排列成，称为电磁波谱，如图所示。
§1.1 光的电磁波性质 麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律，它有积分和微分两种 表达形式。 一 积分形式的麦克斯韦方程组 1 静电场和静磁场的麦克斯韦方程组

D d Q
静电场的高斯定理 静电场的环路定律
E dl 0 B d 0
(2) 时空周期性
E ( z, t ) A cos(kz t 0 ).
k 2π

,
2
2 T
t E ( z, t ) A cos[2 ( ) 0 ]. T
波的时间周期性
周期 频率
z
波的空间周期性
空间周期 空间频率
T
1 T

f 1

角频率
引入波矢量k ，它的量值 k 称为波数： 2

利用波的频率、周期、波长、速度的关系： 1 v T 可将电场的波函数写为 z t E A cos2 T
定义角频率 2 ，上式又可变为 E A cos kz t
t
二 微分形式的麦克斯韦方程组 为方便地求解电磁场的某一场量，实际中常使用麦克斯韦方程 组的微分形式。
D B 0
式中 x0 y 0 z 0 x y z
B E t D H j t
2 2 T
空间角频率
k 2f

T
2

时空量联系

k
三、三维平面波
(1) 波函数
波矢k：大小
方向 传播方向
k 2
x



Q
z k r
P

r
z
考虑P点(r)振动，过P点作平面⊥k， 交k于Q点。
( P) (Q) kr ' t 0 k r t 0 ;
电磁波谱
10－4
10－14
10－12
10－10 10－8
10－6
10－2
1
102
λ (m)
射线
X 射线
紫 外 线
红 外 线
微波
无线电波
可见光
紫
蓝
青
绿
黄橙
红
390
500
600
760
λ(nm)
1nm = 10-9 m nm－nanometer
c = 3.0
108
m/s
c
= 7.7 ~ 3.9×1014 Hz
§1.2 平面电磁波 本节根据波动的两个偏微分方程，结合边界条件、初始条件， 得出其中的平面波解－平面波的波函数。 一 沿某一坐标轴方向传播的平面波 所谓平面波，是指电场和磁场在垂直于传播方向的平面内各点 具有相同值的波。 设平面波沿三维坐标系的Z轴正向传播，产生平面波的电磁场波 动方程简化为
2 E 1 E 2 0 2 2 z v t 2 2 B 1 B 2 0 2 2 z v t
H dl I
静磁场的高斯定理
静磁场的环路定律
这一方程组只适用于稳恒场。若电场和磁场是交变场，则其中 的部分表达式不适用
2 交变电磁场的麦克斯韦方程组 麦克斯韦假定在交变电场和交变磁场中，高斯定理依然成立。 变化的磁场会产生涡旋电场，故静电场的环路定律应代之以涡 旋电场场强的环流表达式；对静磁场的环路定律则引入了位移 电流的概念后进行了修改，这样，就得出了适用于交变电磁场 的麦克斯韦方程组。 （1） D d Q
在此条件下，麦克斯韦方程组简化为
E 0 B 0 B E t E B t
1 2 3 4
E B 取第三式的旋度 t 2E 将（4）式代入上式右侧 E 2 t 2 由场论公式，上式左侧可变为 E E E
2
因此（1）式化简为
2 2 E 1 E E 2 4 0 2 2 z v t E 即 0
2
对积分得
g 是的任意矢量函数
E g
再对 积分得 E g d f 2 f1 f 2 f1 z vt f 2 z vt f1、f 2 是z和t的两个任意函数，代表沿Z轴正、负方向传播的两个平面波。
j E
导电物质中，还有 的关系。为电导率。 以上三式合称为物质方程。麦克斯韦方程组与物质方程结合， 构成一组完整的反映电磁场普遍规律的方程组。
四 电磁场的波动性
1.电磁场的传播 用麦克斯韦电磁理论的基本概念，可以将电场和磁场的相互关 系表述为： 空间某区域内有变化的电场，则在临近的区域内印起变化的磁 场；这个变化的磁场又在较远的区域内引起新的变化的电场， 并在更远的区域内引起新的变化的磁场。这个过程持续地继续 下去，变化的电场和变化的磁场交替产生，构成统一的电磁场。 在这种交替产生过程中，电磁场由近及远、以有限的速度在空 间内传播，形成电磁波。 2.电磁场的波动方程 由麦克斯韦方程组可导出关于电场基本量E和磁场基本量B的两 个偏微分方程，从而证明电磁场的波动性。为简化讨论，假设 所讨论的空间为无限大且充满各向同性的均匀介质，故、均 为常数；又设讨论的区域远离辐射源，因此=0，j=0。
由于 E 0，所以
由此可得：
2 E E 2 E 2 E 2 0 t
由相似的数学运算可得到关于B的方程 2 B 2 B 2 0 t
令 v 1

1 2 E 2 v 1 2 B 2 v E 0 2 t 2 B 0 2 t
上式还可进一步简化。 设沿Z轴正向传播的平面波v 0，沿Z轴负向传播的平面波v 0， 则可将f1、f 2 两函数合二为一。 故电波的波函数最终为 E f z vt