高中数学必修三 第一章 算法初步 第1节 算法的概念

A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶，第三步，烧水．第四步，泡面．第五 步，吃饭．第六步，听广播 B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃 饭．第五步，听广播 C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同 时听广播． D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步， 刷水壶
答案：C
例 2：下列描述不能看作算法的是( ) A．解方程 2x－6＝0 的过程是移项和系数化为 1 B．从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机 C．解方程 2x2＋x－1＝0 D．利用公式 S＝πr2 计算半径为 3 的圆的面积时，计算 π×32
解析：因为 A、B、D 三个均有明确的步骤，并且在有限步内能解决问题，而 C 没有给出解决问题的步骤．答案：C
第三步，输出 f(x)．
算法的要求：
1．写出的算法，必须能 解决一类问题 ，并且能 重复使用 ． 2．算法过程要能 一步一步执行 ，每一步执行的操作，必须 确切 ，不能含混不
清，而且经过 有限步后 ．能得出结果．
算法概念的理解 (1)现代意义上的“算法”通常是指用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序 或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成． (2)算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通 常把算法过程称为“数学机械化”，其最大优点是可以让计算机来完成； (3)求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法．
[精解详析] 由算法的特征(有限性、确定性、有序性等) 可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的， 故①错．
[答案] C [一点通] 算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通 常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到 一般的数学思想．
练习：有关算法的描述有下列几种说法：
典型例题：
例 1：下列关于算法的说法，正确的个数是 ( )
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1
B．2
C．3
D．4
[思路点拨] 可以在掌握算法特征的基础上对各个表述逐 一判断，然后再做答．
①对一类问题都有效；
②对个别问题有效；
③计算可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；
④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．
其中描述正确的个数为
()
A．1
B．2
C．3
解析：算法通常是D指．可4 以用计算机来解决的某一类问题的程序
或步骤，所以①正确；②错误．由于程序必须是明确的，有效
的，而且在有限步内完成，所以③④正确．
练习：计算下列各式中 S 的值，能设计算法求解的是( )
111
1
①S＝2＋4＋8＋…＋2100
111
1
②S＝2＋4＋8＋…＋2100＋…
111
1
③S＝2＋4＋8＋…＋2n
(n≥1 且 n∈Hale Waihona Puke * ）A．①②B．①③
C．②③
D．①②③
解析：因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．答案：B
例 3：设计一个算法，求表面积为 16π 的球的体积
提示：首先定票，然后选择合适的交通工具按时到场，验票入场，观看开幕式．
算法的概念：
算法的 概念
由 基本运算 及规定的 运算顺序 所构成的完整的解 题步骤，或者按照要求设计好的 有限 的 确切 的计 算序列，并且这样的步骤或序列能够 解决一类问题
描述算 可以用 自然语言 和 数学语言 加以叙述，也可以借
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
练习：早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡 面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．下列选项中最好的一种算法 是( )
算法如下：
输出 y 值．
S1 输入 x 的值．
S2 当 x≤－1 时，计算 y＝－x2－1；否则执行 S3.
S3 计算 y＝x3.
S4 输出 y.
算法的应用 [一点通] 输入自变量的值，设计算法求对应的函数值时，
如果是分段函数，那么在设计算法时，要对输入的自变量的值
根据已知条件去判断，分类求值．
练习：下面是解决一个问题的算法： S1 输入 x； S2 若 x≥4，转到 S3；否则转到 S4； S3 输出 2x－1； S4 输出 x2－2x＋3. 解 析 ： 所 给 算 法 解 决 的 问 题 是 求 分 段 函 数 f(x) ＝ 当输入 x 的值为______2x_x2_－－时21，x，＋输3出，的数xx＜值≥4最4，小值的为函__数__值_的_．问题，
解析：因为 A 选项共用时间 36 min，B 选项共用时间 31 min， C 选项共用时间 23 min，选项 D 的算法步骤不符合常理．所以 最好的一种算法为 C 选项．
答案：C
例 4：已知函数 y＝x－3，x2－1，x＞－x≤1－1 试设计一个算法输入 x 的值，求对应
的函数值．
[思路点拨] 解答本题的关键是对 x 进行判断，根据 x 的不同范围求出 y，
算法的设计
解：法一：
法二： [思路点拨] 先求球的半径，再求球的体积．
S1 取 S＝16π.
S1 取 S＝16π.
S2 计算 R＝ 4Sπ(由于 S＝4πR2)． S2 计算 V＝43π( 4Sπ)3.
S3 计算 V＝43πR3.
S3 输出运算结果．
S4 输出运算结果．
设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
法的方 助形式语言给出精确的说明，还可以用 框图 直观地
式
显示算法的全貌
想一想2：
已知函数 f(x)＝x2－x＋2. 问题 1：如何求 f(2)．
提示：第一步，令 x＝2，第二步，计算 f(2)＝22－2＋2， 第三步，得 f(2)＝4.
问题 2：能否利用计算机设计一个求当 x 为任何数时 f(x)的值的算法． 提示：可以，第一步，输入 x，第二步，计算 f(x)＝x2－x＋2，
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第一章 算法初步
第1节 算法的概念
想一想1：
第十二届全运会在沈阳开幕，某人想观 看开幕式，通过网络订票成功，然后按时验 票入场，观看完开幕式后退场返回．
问题 1：观看开幕式的过程是明确的吗？ 提示：是明确的． 问题 2：观众定票的方式是唯一的吗？ 提示：不唯一．
问题 3：若你想去观看全运会开幕式，如何设计你的行程．