《第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示1. (必修1P 24练习5改编)若f(x)＝x －x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________，f(n ＋1)－f(n)＝________． 答案：14－2n2. (必修1P 29习题8改编)若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：则f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x 值是________． 答案：3 1解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x ＝1.3. (必修1P 31练习4)下列图象表示函数关系y ＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x 的值都有唯一一个y 与之对应．4. (必修1P 31练习3改编)用长为30cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S(cm 2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，则函数解析式为____________，其函数定义域为______________.答案：S ＝x(15－x) x ∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x>0，15－x>0.5. (必修1P 32习题7改编)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－12x ，x ≥0，1x ，x<0，若f(a)＝a ，则实数a ＝________．答案：23或－1解析：若a ≥0，则1－12a ＝a ，得a ＝23；若a<0，则1a＝a ，得a ＝－1.1. 函数的定义一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．2. 函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法． 4. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5. 映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[备课札记]题型1 函数的概念例1 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数． (1) A ＝B ＝N *，对应法则f ：x →y ＝|x －3|，x ∈A ，y ∈B ；(2) A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：x →y ，这里y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ； (3) A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x →y ，这里y 3＝x ，x ∈A ，y ∈B ；(4) A ＝{(x ，y)|x 、y ∈R }，B ＝R ，对应法则：对任意(x ，y)∈A ，(x ，y)→z ＝x ＋3y ，z ∈B.解：(1) 对于A 中的元素3，在f 的作用下得到0，但0不属于B ，即3在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．(2) 集合A 中的一个正数在集合B 中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3) 由y 3＝x ，即y ＝3x ，因为A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x →y ，符合函数对应．(4) 由于集合A 不是数集，所以此对应法则不是函数． 备选变式（教师专享）下列说法正确的是______________．(填序号) ① 函数是其定义域到值域的映射；② 设A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x －2＋1－x ，x ∈A ，y ∈B ，满足条件的对应法则f 构成从集合A 到集合B 的函数；③ 函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点有且只有1个；④ 映射f ：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x ，则这样的映射f 共有1个． 答案：①④ 解析：②中满足y ＝x －2＋1－x 的x 值不存在，故对应法则f 不能构成从集合A 到集合B 的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中若不含x ＝1的值，则其图象与直线x ＝1没有交点．题型2 函数的解析式例2 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)； (2) 已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lgx ，求f(x)；(3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)． 解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2， ∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x ≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x ≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) 由2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()x ＝2x，② ①×2－②，得3f(x)＝4x －2x ，得f(x)＝43x －23x.(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f(x)＝x 2－x ＋1.变式训练求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x 2－x ＋1，求f(x)； (2) 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f(x)； (3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)． 解：(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ， ∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t 2－3t ＋2， ∴ f(x)＝2x 2－3x ＋2.(2) (配凑法)∵ f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴ f(x)＝x 2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1， ∴ f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(4) (消去法)当x ∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x)，x ∈(－1，1)．题型3 分段函数例3 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．解：(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x ≥1.所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－32，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－34，符合．综上可知，a ＝－34.备选变式（教师专享）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.(1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．解：(1)y ＝⎩⎨⎧2x ()0≤x ≤4，8()4<x ≤8，－2x ＋24()8<x ≤12.(2)y ＝f ()x 的图象如图．1. (2013·扬州期末)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x>0，则f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log 21＝0. 2. (2013·南通一模)定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈(－2，0)时，f(x)＝4x ，则f(2 013)＝________．答案：14解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(－1)＝4－1＝14.3. (2013·连云港期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x [0，1]，则使f(f(x))＝2成立的实数x 的集合为________．答案：{x|0≤x ≤1或x ＝2}解析：当x ∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x [0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x ，要使f(f(x))＝2成立，只需x ＝2.综上，实数x 的集合为{x|0≤x ≤1或x ＝2}．4. (2013·苏南四市一模)已知函数f(x)＝xx ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f ⎝⎛⎭⎫－52－2＝________． 答案：8解析：因为f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4＝4－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4.设g(x)＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4， 则g(－5－x)＝－⎝⎛⎭⎫1x ＋4＋1x ＋3＋1x ＋2＋1x ＋1，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8， 故f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f ⎝⎛⎭⎫－52－2＝8.1. 已知函数f(x)＝alog 2x －blog 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f(2 014)的值为________． 答案：0解析：∵ f ⎝⎛⎭⎫12 014＝alog 212 014－blog 312 014＋2＝ －(alog 22 014－blog 32 014)＋2＝4，∴ f(2 014)＝alog 22 014－blog 32 014＋2＝(－2)＋2＝0.2. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，则满足不等式f(f(x))>1的x 的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x ≤0时，2x ∈(0，1]，f(f(x))＝log 22x ＝x>1，不符合；当0<x ≤1时，log 2x ≤0，f(f(x))＝2log 2x ＝x>1，不符合；当x>1时，log 2x>0，f(f(x))＝log 2(log 2x)>1，解得x>4.3. 集合M ＝{f(x)|存在实数t 使得函数f(x)满足f(t ＋1)＝f(t)＋f(1)}，则下列函数(a 、b 、c 、k 都是常数)：① y ＝kx ＋b(k ≠0，b ≠0)；② y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；③ y ＝a x (0<a<1)；④ y ＝kx(k ≠0)；⑤ y ＝sinx.其中属于集合M 的函数是________．(填序号) 答案：②⑤解析：对于①，由k(t ＋1)＋b ＝kt ＋b ＋k ＋b ，得b ＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t ＋1)2＋b(t ＋1)＋c ＝at 2＋bt ＋c ＋a ＋b ＋c ，得t ＝c 2a ，符合题意；对于③，由a t ＋1＝a t ＋a 1，所以a t ＝a a －1，由于0<a<1，a t ＝a a －1<0，无解；对于④，由k t ＋1＝k t＋k ，无解；对于⑤，由sin(t ＋1)＝sint ＋sin1，取t ＝2k π，k ∈Z ，符合题意．综上，属于集合M 的函数是②⑤.4. 已知f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是⎝⎛⎭⎫－1，13，且对任意α、β∈R 恒有f (sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －13－2(a ＞0)， ∵ 函数f(x)对任意α、β∈R 恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取si nα＝1，cos β＝－1，则f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴ f(1)＝0，∴ a ＝32，∴ f(x)＝32x 2＋x －52.1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；② 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[备课札记]。