向量
向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
向量知识
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b. •向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系
→
M ↔ r = OM = xi + yj + zk ↔ (x, y, z) .
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b. 三角形法则 平行四边形法则
c=a+b
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2.向量与数的乘法 向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量, 它的模 |λa|=|λ||a|, 它的方向当λ>0时与a相同, 当λ<0时与a相反. 当λ=0时, |λa|=0, 即λa为零向量. 当λ=1时, 有1a=a; 当λ=−1时, 有(−1)a =−a.
向量是什么
向量是什么
向量是在空间中运算的一个符号，它表示由大小和方向确定的变量。
这意味着向量是有定
向的，所以它可以描述位置、速度和力大小的方向，因而被广泛用于几何计算和物理运算。
在几何中，向量是有定向的线段，它可以指向任何方向，但是它的长度是固定的。
这对计
算某一点到另一点之间的距离非常有用，因为它表明了路径的方向。
它也可以用来表示向
量角，以帮助确定一个物体到另一个物体之间的方向。
物理上，向量是用来表示大小和方向的力，用于计算运动物体在力学中受到的影响。
位移
向量和加速度向量是最常用的向量，它们可以描述物体的位置和加速度。
动量是一个物体
在某个方向上运动时受到的力，它可以通过质量、速度和方向的向量表示。
向量在很多领域都有广泛的应用，它被广泛用来表示方向、距离和力的方向。
在几何计算
和物理运算中最典型的是三角函数运算，在机器学习和数组计算中以及3D空间中因为向
量的方便描述而被大量使用。
总而言之，向量是非常常见而又重要的基本概念，它可以帮助我们更好地理解空间和物理问题，可以帮助我们解决许多计算问题，而且它的应用还在持续增长。
向量
向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。
类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。
5.零向量：大小为0，方向任意的向量。
在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。
6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。
若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。
7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。
向量的性质与运算解析
向量的性质与运算解析向量是数学中的重要概念，具有许多独特的性质与运算。
本文将对向量的性质与运算进行深入解析，旨在帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的性质1. 向量的定义向量是由大小和方向两个要素组成的量，通常用箭头表示。
向量的起点和终点分别表示向量的作用点和作用方向。
2. 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用 ||v|| 或 |v| 表示。
向量的模为非负实数，若向量的模为零，则该向量为零向量，记作0。
3. 向量的方向角向量的方向角是指向量与某个参考方向之间的夹角，通常用θ 表示。
方向角的取值范围为[0°, 360°)或[0, 2π)。
4. 向量的方向余弦向量的方向余弦是指向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
对于二维向量和三维向量而言，分别有两个和三个方向余弦。
5. 向量的共线与共面若两个向量的方向相同或相反，则称它们为共线向量；若三个向量的起点共线或终点共线，则称它们为共面向量。
6. 向量的平行四边形法则向量运算中，两个向量之和可以使用平行四边形法则进行几何上的解释。
即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，该平行四边形的对角线即表示两个向量之和。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则进行相加。
对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 而言，它们的和 c = a + b = (a₁ + b₁, a₂+ b₂)。
对于三维向量以及更高维向量，加法规则类似。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 而言，它们的差 c = a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
对于三维向量以及更高维向量，减法规则类似。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和实数 k 而言，它们的数量积 c = ka = (ka₁, ka₂)。
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量有关的知识点
向量是数学和物理学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将以“向量有关的知识点”为题，逐步介绍向量的定义、运算、性质以及在几何和物理中的应用。
1.概念定义向量是具有大小和方向的量，可以用有序的数对或坐标表示。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在平面或空间中存在，平面中的向量称为二维向量，而空间中的向量称为三维向量。
2.向量的运算向量的运算包括加法和数乘两种。
向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
向量的数乘是指将一个向量与一个标量相乘，结果是一个新的向量。
3.向量的性质向量有许多重要的性质。
其中，零向量是一个特殊的向量，其大小为0，方向可以是任意的。
两个向量相等当且仅当它们的大小相等且方向相同。
两个向量的数量积等于它们的大小乘以它们夹角的余弦值。
4.向量的几何表示向量可以用几何形状来表示。
在二维平面中，向量可以表示为从原点出发的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在三维空间中，向量可以表示为从原点出发的箭头，箭头的长度、方向和倾斜角度都可以表示向量的大小和方向。
5.向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用。
例如，向量可以表示平面上的直线和线段，两个向量的和可以表示平面上的平行四边形的对角线。
向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断两个向量是否垂直或平行。
6.向量在物理中的应用向量在物理学中起着重要的作用。
例如，速度和加速度是物理学中常用的向量量，它们不仅有大小，还有方向。
物体的位移可以表示为速度向量乘以时间的积。
力也是一个向量，它可以用来描述物体受到的作用力的大小和方向。
本文通过对向量的定义、运算、性质以及在几何和物理中的应用的介绍，希望读者能够对向量有一个清晰的认识。
向量不仅是数学和物理学中的基本概念，还在计算机图形学、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
对向量的深入理解将有助于我们更好地理解和应用相关的知识。
物理学的向量
物理学的向量物理学中的向量是一个重要的概念，它在描述物理现象和解决物理问题中起着关键作用。
本文将介绍向量的定义、性质和应用，以及与向量相关的一些重要定理和原理。
一、向量的定义向量是物理学中用来表示具有大小和方向的物理量的量。
它可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
向量可以用加法和数乘运算进行计算，从而得到新的向量。
二、向量的性质1. 向量的大小和方向是它的本质属性，不受坐标系的影响。
2. 向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的数乘满足分配律和结合律。
4. 向量的零向量是唯一的，它与任何向量相加都不改变向量的大小和方向。
5. 向量的负向量与原向量大小相等，方向相反。
三、向量的应用向量在物理学中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 位移向量位移是描述物体从一个位置到另一个位置的变化，它是一个向量。
位移向量可以用来计算物体的位移大小和方向。
2. 力向量力是物体之间相互作用的结果，它也是一个向量。
力向量可以用来计算物体所受力的大小和方向。
3. 速度和加速度向量速度是物体在单位时间内位移的大小和方向，加速度是速度的变化率。
它们都是向量，可以用来描述物体的运动状态。
4. 动量和力矩向量动量是物体的质量和速度的乘积，是一个向量。
力矩是力对物体施加的转动效果，也是一个向量。
它们在描述物体的运动和力学性质时起着重要作用。
四、向量的重要定理和原理1. 平行四边形法则平行四边形法则是向量加法的几何表示方法，它可以用来计算两个向量的和。
2. 向量的分解向量的分解是将一个向量分解为两个或多个分量的过程，可以简化向量的计算和分析。
3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是两种不同的向量乘法运算，它们在物理学中有着广泛的应用。
内积可以计算两个向量之间的夹角和投影，外积可以计算两个向量之间的垂直分量和面积。
4. 向量的叉积向量的叉积是一种特殊的向量乘法运算，它可以计算两个向量之间的垂直分量和面积。
向量知识点
向量知识点
向量是数学中术语，是指在一个计算机程序中，尖括号中的变量的集合，可以发生变化。
向量可以表示位置、移动的方向和大小，可以作为一个可移动的物体的属性，或作为
在多维空间中的点的属性，最常见的向量层次有二维、三维和四维。
一维向量：一维向量由一个数字决定，它是用一个实数点表示的一维空间中的矢量。
它可以表示对应一维空间中某个特定点的位置和方向，也可以表示一维运动的方向和大小。
三维向量：三维向量是三维空间中的矢量，可以表示某一点的位置、移动的方向和大小，它由三个不同的实数点组成，其中一个实数点是x轴坐标，另一个实数点是y轴坐标，第三个实数点是z轴坐标。
四维空间支撑着涉及重要计算任务的向量。
比如，在动画和图形渲染中，遵循向量乘
法的投射矩阵可以改变三维对象的位置，四维向量可以帮助坐标系被一个只有三维坐标的
变换矩阵投影。
同样，在某些机器学习算法中，拥有着四维向量输入可以极大增加算法的
准确性，因为这样可以更好地分析复杂结构。
向量概念
1平面向量1.向量的概念既有大小,又有方向的量 叫做向量（矢量）. 只有大小,没有方向的量 称为数量（标量）. 2.向量的表示方法1) 几何表示： 用有向线段表示 2) 字母表示： AB , a 3) 坐标表示：()y x a ,= 3.向量的模1) 定义: 向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度 称向量的模,记作2) 模的坐标表示:若()y x a ,= , 22yx +若()()2211,,,y x B y x A , = 3) 模的几何性质:b a a +≤+≤-ba b a b a +≤-≤-4.几类重要向量1) 零向量: 长度为零的向量,其方向任意 记作: 0 .2) 单位向量: 长度等于1个单位长度的向量 , 与向量()y x a ,= 共线的单位向量是:⎫⎛. 3) 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量 . 4) 相等向量：长度相等且方向相同的向量 . 5.两个非零向量的夹角 1)范围：[]π,02)公式（向量式）：b a ⋅>=<,cos .3)公式（坐标式）： 222221212121,cos yx y x y y x x b a +⋅++>=< .6.几类向量之间的关系b38.三角形四“心”向量形式的充要条件设O 为A B C ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为A B C ∆的外心 222O A O B O C ⇔== .（2）O 为A B C ∆的重心 0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为A B C ∆的垂心 OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为A B C ∆的内心 0aOA bOB cOC ⇔++=.。
向量公式大全
向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。
在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。
本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。
一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。
2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。
3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。
4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。
5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。
6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。
7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。
二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。
10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
向量的概念
向量的概念：既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。
0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量a与b相等，记作a=b。
零向量与零向量相等。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
（一）向量的概念及表示1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||。
3、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
4、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行。
向量、、平行，记作∥∥。
5、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
（1）向量与相等，记作＝；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。
记作：4、零向量：长度为0的向量。
记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。
向量的概念
向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。
而点的坐标是绝对的。
若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。
即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。
向量的运算加法运算向量加法的定义已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=ACAB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
向量
向量百科名片向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对目录向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的表示向量的定义数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。
α=（a 1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。
（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。
向量的来源向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
向量的定义与基本运算
向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。
本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。
一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。
通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。
向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。
2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。
在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。
2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。
向量知识点总结
向量知识点总结在数学和统计学中，向量是一种常见且重要的概念。
它是指具有大小和方向的物理量，可以用来表示空间中的位置、速度、力等。
在本文中，我将介绍向量的基本概念、运算规则以及常见的应用场景。
1.向量的基本概念向量由多个有序的数值组成，通常用箭头表示。
例如，一个二维向量可以表示为(v1, v2)，其中v1和v2分别表示向量在x轴和y轴方向上的分量。
向量也可以是三维或更高维的，表示更复杂的空间关系。
向量的大小称为模，可以通过勾股定理计算。
2.向量的运算规则向量之间可以进行加法、减法和数乘等运算。
加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
减法运算是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。
数乘运算是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
这些运算满足交换律、结合律和分配律等基本规则。
3.向量的应用场景向量在各个学科领域中都有广泛的应用。
在物理学中，向量可以用来表示力的方向和大小，研究物体的运动和受力情况。
在计算机图形学中，向量可以用来表示三维空间中的点和方向，实现三维模型的渲染和动画效果。
在机器学习和数据分析中，向量可以用来表示样本的特征，进行分类和聚类等任务。
4.向量的线性相关性两个向量之间可能存在线性相关性，即一个向量可以由另一个向量线性表示。
这种关系可以通过计算向量的内积来确定。
如果两个向量的内积为0，则它们垂直且线性无关；如果内积不为0，则它们具有一定的关联性。
线性相关的向量在机器学习中经常用于构造特征和优化模型。
5.向量的投影向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上，得到一个新的向量。
投影可以用来计算向量在某个方向上的分量大小，常用于计算夹角、距离和相似度等。
在机器学习中，向量的投影可以用于特征选择和维度约简等任务。
6.向量的范数向量的范数是指向量的大小或长度，可以用来衡量向量的强度或距离。
常见的向量范数有L1范数、L2范数和无穷范数等。
L1范数是指向量的所有分量的绝对值之和，L2范数是指向量的分量平方和的平方根，无穷范数是指向量的分量绝对值的最大值。
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向量复习
1.零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．单位向量：长度等于1个单位的向量．2．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
4.向量的加法向量的减法
三角形法则（首尾相连）平行四边形法则（共起点）共起点，方向指向a
5.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝．
6．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
＝，|AB
|＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔若a⊥b⇔
8.平面向量数量积
a·b＝，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
a在b的方向上的投影为：．
9.a·a＝= ，|a|＝．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)
10.数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a·b＝；a⊥b⇔ =
|a|＝.cos θ＝
a·b
|a||b|＝.(θ为a与b的夹角)
练习：
1. 若向量AB
＝(1,2)，BC
＝(3,4)，则AC
＝
2.已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b=
3.已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB
同向的单位向量是（第5题）
4.在平行四边形ABCD中，若AB
＝(1,3)，AC
＝(2,5)，则AD
＝________，BD
＝________.
5.如图，已知AB
＝a，AC
＝b，BD
＝3DC
，用a，b表示AD
，则AD
=
6.若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝
7.已知向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为
8.若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是________．
9.已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
10. 下面给出的几个有关向量的关系式：①00
a⋅=
②00
a⋅=
③00
a⋅=
④00
a⋅=
，
其中正确的关系式有（填序号）
11.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)?
12.设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝⎝⎛⎭⎫
－
1
2，
3
2
.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．
13. 已知(cos,1)
m x x
=
，(2cos,)
n x a
=
（a为常数）（1）求y m n
=⋅
关于x的函数关
系式()
y f x
=；（2）若0,
2
x
π
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，方程
()
f x=0有唯一解，求实数a的取值范围．
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