2015至2016第二学期高二第三次月考(文科试卷含答案)

2015至2016第二学期高二第三次月考文科数学试题(含答案）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则=(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}（2）数．在复平面内，z 所对应的点在（ ）（Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限（3）已知，(0，π)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 1 ()()U U C A C B⋂111-++-=iiz sin cos αα-α∈sin 2α-2-2（4）在等差数列{}中，已知=16，则=+++10752a a a a(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 解答：由24)(28410752=+=+++a a a a a a 故答案选D（5）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7 B ．－5 C ．－6D ．－3解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选C.（6）．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π4解析：此几何体是一个半球，所以表面积为球的表面积的一半加上底面的面积，球半径n a 48a a+为1，故所求表面积为S ＝2π＋π＝3π.答案：C（7）求曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离（）．A ．32B ．3C ．62D ．2-解：选C 曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.（8）不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14 解析：选D 由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.故选D.（9）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是(A) 4 (B)(C) (D) 1（10）函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 法一：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上3223-递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，所以函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．法二：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.（11）.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝（12）在Ｒ上定义运算：．若不等式对任意实数x 成立，则（Ａ）（Ｂ）（Ｃ） （Ｄ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

(13) =++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343． 答案：827（14）点A 的柱坐标是)4,6,2(π-，则它的直角坐标是.。

⊗)1(y x y x -=⊗1)()(<+⊗-a x a x 11<<-a 20<<a 2321<<-a 2123<<-a()()()4,1-3413sin cos :,,,,，故答案是得：变换公式之间的与柱坐标的直角坐标解析：由空间点⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧===z y x z z y x z z y x P θρθρθρ(15)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于解析：答案：4由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2. 又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.（16）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线()220x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为 。

【解析】由题意知2Pb ==， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为)2,(pc -， 即(),c b - 把(),c b -代入双曲线方程为22221c b a b-=，得222c a =，1b a ∴==.∴渐近线方程为y x =±， 答案：∴渐近线方程为y x =±，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）(本小题满分12分)在中，角A 、B 、C 的对边分别为，，，其中角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)边，，成等比数列，求的值。

ABC ∆a b c cos B a b c sin sin A C18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积.（1）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11AC ，BC 的中点， 所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC AC ∥，且11AC AC =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1C F ∥平面ABE ．（2）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△（19）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m5，解得m ＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.（20）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP＝2PB .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k2.又由AP ＝2PB，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，解得49＜m 2＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. （21）已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． [解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a 6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.（22）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系。