D4.4一阶常系数线性差分方程2
第四节 一阶常系数线性差分方程
lim Pt = P ;
19
δ t Pt = ( P0 P )( ) + P β
δ (3) 若初始价格不等于平衡价格,且 = 1 ,这时现行价 若初始价格不等于平衡价格, β 称为临界情形; 格 Pt 交替取两个值 P0 和 2 P P0 , 称为临界情形 ;
δ (4) 若初始价格不等于平衡价格,且 > 1 ,这时现行价 若初始价格不等于平衡价格, β 格 Pt 围绕平衡价格上下波动的振幅将随着 t 增大而无限
增大, 增大 , 从而产生价格的大波动 .
20
练习: 练习:
P394 习题九
21
谢谢大家! 谢谢大家!
22
�
为一阶常系数齐次线性差分方程, 一阶常系数齐次线性差分方程, 齐次线性差分方程
(2)
否则,称为一阶常系数非齐次线性差分方程. 否则,称为一阶常系数非齐次线性差分方程. 一阶常系数非齐次线性差分方程 (2)称为 对应的齐次线性差分方程. 称为(1)对应的齐次线性差分方程. 称为 对应的齐次线性差分方程
y t+ 1 y t = 2( At + A + B At B )2 t
= 2A2 ≠ t 2 ,
t t
不存在这样的特解. 不存在这样的特解.
10
t 的通解. 例4 求一阶常系数线性差分方程 y t + 1 2 y t = t 2 的通解.
解 设特解 y t = t ( At + B )2 , 代入方程得
14
t
π
π
例6 求差分方程 2 y t + 1 + 10 y t 5t = 0 的通解 .
5 解 首先把差分方程改写为标准形式 y t +1 + 5 y t = t . 2 a = 5 ≠ 1 , 设特解 y t = A t + B ,代入方程得
差分方程介绍
例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者 用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使 最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直 第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。 觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程， 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此， 为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为： 只取一次项近似为： （5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ） ）的近似线性方程， 的平衡点， 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条 件上面已给出。 件上面已给出。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
一阶常系数线性差分方程.ppt
(10 13) (10 14)
方程 (10 14) 变形后改写为
yn1 ayn , n 0, 1, 2, 这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13) 为
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程, 有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数. 若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
y(n) (a)n1 f (0) (a)n2 f (1) (a) f (n 2)
f (n 1)
n1
(a)i f (n i 1)
3 4
2n
由
y0
4,
差分方程公式总结
差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。
先来说说啥是差分方程。
简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。
就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。
比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。
这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。
咱们来仔细瞅瞅它的公式。
一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。
求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。
拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。
再说说特征根法。
先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。
我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。
”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。
小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。
二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。
一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。
求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。
在实际应用中，差分方程可太有用啦。
比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。
总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。
差分方程2
致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其
它农副产品 . 过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求 , 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将
一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种
现象是永远不可避免的 . 由于商品的价格主要由需求
yt a t y0 ( t 0,1,2,).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
即
a.
t 1 a t 0
利率，按年复利计息，则 S t 与 r 有如下关系式：
S t 1 S t rS t (1 r ) S t ,
t 0,1,2,,
这是关于 S t 的一个一阶常系数齐次线性差分方程，
其通解为
S t (1 r ) t S 0 ,
t 0,1,2,,
其中 S 0为初始存款总额.
二、 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f ( t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数. 当 f (t ) 0 时，称方程
yt 1 ayt 0
(3)
(a 0)
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程. 若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性 差分方程.
2
a r 12n I (1 ) I 2 12 (1 r 12n ) 1 12 x, r 12
差分方程特解公式总结
差分方程特解公式总结差分方程是一种离散的数学模型，可以用于描述离散时间下的动态系统。
在求解差分方程的过程中，特解是其中一种重要的解法。
本文将总结差分方程特解的公式，并对其应用进行讨论。
一、一阶线性差分方程特解公式一阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+1} = ay_n + b$，其中$a$和$b$为常数。
对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。
特解公式为：$y_n = \frac{b}{1-a}$，其中$n$为自变量的取值。
这个公式的推导思路是将差分方程中的$y_{n+1}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。
这样得到的特解能够满足差分方程的要求。
二、二阶线性差分方程特解公式二阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n + c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。
对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。
特解公式为：$y_n = \frac{c}{1-a-b}$，其中$n$为自变量的取值。
特解公式的推导过程类似于一阶线性差分方程的推导过程。
我们将差分方程中的$y_{n+2}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。
这样得到的特解能够满足差分方程的要求。
三、一般线性差分方程特解公式对于一般的线性差分方程，特解公式的形式会更加复杂。
我们可以通过猜测特解的形式，并将其代入差分方程中，然后求解出特解。
常见的特解形式包括常数特解、多项式特解、指数特解、三角函数特解等。
选择特解的形式时需要根据差分方程的具体形式和边界条件进行判断。
四、差分方程特解的应用差分方程特解的求解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，差分方程可以用于描述经济系统的动态变化过程。
通过求解差分方程的特解，可以预测未来的经济发展趋势。
差分方程特解还可以用于模拟物理系统的运动过程、优化控制问题的求解等。
通过建立差分方程模型并求解特解，可以得到系统的稳定性分析和优化策略。
总结：差分方程特解公式是求解差分方程的一种重要方法。
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
一阶常系数线性差分方程
微积分Calculus一阶常系数线性差分方程一一阶常系数线性差分方程概念1一般形式：1()x x y py f x +−=其中为不等于零的常数，为已知函数。
p ()f x ()f x 若不恒等于零，称以上方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。
()f x 若恒等于零，称以上方程为一阶常系数齐次线性差分方程。
齐次线性差分方程的解法1yx =pyx−1=p ∙py x−2=p ∙p ∙py x−3=⋯=p x y 010x x y py +−=一阶齐次线性差分方程：将上述方程变形为：则有：记得一阶齐次线性差分方程的通解：0C y =xx y Cp = （为任意常数）C 二一阶常系数线性差分方程的解法y x+1=py x求差分方程130x x y y ++=的通解。
因为，将其代入通解公式得：3p =−(3)x x y C =− （为任意常数）C 13x xy y +=−将原方程变形为：例解一阶非齐次线性差分方程：1()x x y py f x +−=下面介绍对的三种特殊形式求非齐次差分方程特解的方法。
()f x 非齐次线性差分方程的解法2（1）（为常数，）()f x k =k 0k ≠差分方程变为：1x xy py k +−= 设其特解形式为：s x y Ax *=（其中为待定常数）,A s1,p ≠①取即：0s =x y A*=1,p =②取即：1s =x y Ax*=x y A *=将代入差分方程求得A将代入差分方程求得Ax y Ax *=21716x x y y +++=求差分方程的通解.对应齐次差分方程：的通解为：217x x y y +++=0(7)xx y C =− （为任意常数）C p =−7≠1,设特解为y x ∗=A代入原方程得：2A =故原差分方程通解为：2(7)x x y C =+−（为任意常数）C 例解（2）（其中为常数，且）()xf x ka =k a ，0a >0a ≠非齐次差分方程变为：1x x x y py ka +−= 设特解形式为：x sx y Aa x*=①时，取即p a ≠0s =x x y Aa *=②p a =1s =x x y Axa *=时，取即求差分方程的通解11242x x x y y ++−=原方程化简为122xx x y y +−=对应齐次差分方程通解为2xx y C = （为任意常数）C 2p a ==由于，所以原方程得特解形式为：2xx y Ax =代入原方程得：1(1)2222x x xA x Ax ++−=12A =例解原方程特解为：11222x x x y x x *−==所以原方程通解为：12(2)x x x y x C −=+（为任意常数）C。
一阶常系数差分方程
(2) a 1
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
b1 x n1
bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0 a 1
k
1
a1
例3 求差分方程y x1 2 y x 3 x 2的通解. 解
对应齐次方程通解
Yx C 2x
设特解 y x Ax2 Bx C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
下面
讨论特解y
的求法
x
:
当右端f x是某些特殊形式的函数时，
采
用
待
定
系
数
法
求
其
特解y
较
x
为
方
便.
待 定 系 数 法 假 定 待 定 的 特 解yx与f ( x)的 形 式 相 同.然 后 将 它 们 代 入 差 分 方程, 求 出 待 定 系 数 即可求出特解．
Ca x
1 2
2
于 是yx
x2x a 2
1 2x a 2 a
1 2
2 .
x 2x 1 2x a
a2 ；
a2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
yx1 ayx 0(a 0为常数)
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. Yx Ca x .
2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
第七节一阶常系数线性差分方程
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
差分方程_基础知识
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
一阶常系数线性差分方程
第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为y t+i+ay t f(t) (11 2 1)和y t+i+ay t 0, (11 2 2)其中f(t)为t的已知函数，a丰0为常数.我们称方程(11 2 1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11 2 2)称为其对应的齐次差分方程.一、齐次差分方程的通解将方程(11 2 2)改写为：y t+1 ay t, t 0,1,2,….假定在初始时刻(即t 0)时，函数y t取任意值A,那么由上式逐次迭代，算得y1 ay o aA,y2 ay1 ( a)2A,由数学归纳法易知，方程(11 2 2)的通解为y t A( a)t, t 0,1,2,….如果给定初始条件t 0时y t y o,则A y o,此时特解为：y t y0( a)t. (112 3)二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11 2 1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11 2 1) 的特解的常用方法为待定系数法.1.迭代法求通解将方程(11 2 1)改写为y t+1 ( a)y t+f(t), t 0,1,2,….逐步迭代，则有y1 ( a)y o+f(0),y2 ( a)2y0+( a)f(0)+f(1),y3 ( a)3y0+( a)2f(0)+( a)f(1)+f(2),由数学归纳法，可得y t ( a)t y0+( a)t1f(0)+( a)t 2f(1)+ …+f(t 1) ( a)t y0+ y t, (t 0,1,2,…)，(11 2 4) 其中t 1y t( a)t 1f(0)+( a)t2f(1)+...+f(t 1) ( a)i• f(t i 1) (11 2 5)i 0为方程(11 2 1)的特解.而y A(t) ( a)t y0为(11 2 1)对应的齐次方程(11 2 2)的通解.这里y A为任意常数.因此，(11 2 4)式为非齐次方程(11 2 1)的通解.与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(112 1)的通解(11 24 )也可以由齐次方程(11 2 2)的通解(11 2 3)经由常数变易法求得，这里不予赘述.1例1求差分方程y t+1 1y t 2t的通解.方程为一阶非齐次线性差分方程•其中1 ,f(t)2\于是由非齐次方程的特解公式(11 2 5)有 ty t i2t i由(11 2 这里A 2t 2t1(4) 1 141(1)t1(22t 1). 4）式，得所给方程的通解 J 、t 1 ‘ 2’ 3 1y t A ^2)t +3(2)t1(22t 1)・ 2t+12 A 为任意常数. 3待定系数法求特解 2. 迭代法虽然可直接推导出非齐次方程 经常用公式（11 2 5）直接去求方程（11 1 1）的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方 程（11 2 1）的特解的别的方法.与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的 f （t ），常采用待 定系数法去求方程（11 2 1）的特解，而不是直接利用公式 （11 2 5）求特解. 下面介绍经济学中常见的几类特殊 f （t ）的形式及求其特解的待定系数法. 情形I f （t ）为常数. 这时，方程（11 2 1）变为 y t+1 + ay t b , （11 2 1）的通解公式（11 2 4），但是在实际应用中 (11 2 6)这里a,b 均为非零常数. 试以y 口（ 口为待定常数）形式的特解代入方程（11 2 6），得当a 工1时，可求得特解 y t 当a 1时，这时改设特解y t 11（ i 为待定系数），将其代入方程（11 2 6），得 [1 (t+1)+ a ^t(1 + a) b, 因a 1,故求得特解 Y t bt (a 1). 综上所述，方程 (11 2 6）的通解为y t yA（t ）+y tA( a)t1, (11 2 7)A bt,1,其中A 为任意常数. 例2求差分方程y t+1解因a 2丰1,b 5,故由通解公式（112y t 5的通解.2 7），得原方程的通解为y t A • 2t 5, A为任意常数.例3 求差分方程y t+i y t 5满足初始条件y o 1的通解.解因a 1,b 5,则由通解公式(11 2 7)，得原方程的通解为y t A 5t,以t 0,y o 1代入通解之中，求得 A 1.于是，所求方程的特解为y t 1 5t.情形n f(t)为t的多项式.为讨论简便起见，不妨设f(t) b o+b1t(t的一次多项式)，即考虑差分方程y t+1+ay t b o+b1t, t 1,2,…，(11 2 8) 其中a,b o,b1均为常数，且0,"工0.试以特解y t + t,(,为待定系数)代入方程(11 2 8)，得+ (t+1)+a( + t) b o+b1t,上式对一切t值均成立，其充分必要条件是：当1+a z 0时，即1于是，方程(11 2 8)的特解为y 当a 1时，改设特解(1 a) b o, (1 a) b1.时，b o b1 b12，, 1a (1a) 1 ab o b1 b!------ ------------ 2 t (a 丰1a (1 a) 1 aY t ( + t)t t+ t2,将其代入方程(11 2 8),并注意1,可求得特解- 1 1 2 y t(b o —b1)t+—b1t2 (a 1).2 2综上所述，方程(11 2 10)的通解为A( a)t-b-—匚2 -匚t, a 1,1a (1a) 1 a1 1 2A (b o 2d)t 2bit , a 1.1例4求差分方程y t+13y t2t满足y o —的特解.2解因a 3丰1,b o o,b1 2,故由通解公式(11 2 9)得所给方程的通解为.1y t A 3t 一t,2A为任意常数. 1)；(11 2 9)1以t 0,y。
一阶常系数线性差分方程的一种解法
一阶常系数线性差分方程的一种解法
一阶常系数线性差分方程是一种基本的、具有重要应用价值的数学结构，在数
学中占据一个重要的地位。
它的一种重要解法是通过解耦和归纳的方法，这一方法更容易得到较为准确的结果。
解这一方程的核心方法是将含有高次的差分方程解耦，将它们分解成一些一阶
方程，解得各个方程的答案之后，通过归纳法求解总方程，实现对方程的解答。
在这一方法中，用于求解方程的关键工具是解析学，它不仅帮助我们更好地分解现有方程，而且还能够让我们更快地求出答案。
其次，要采用这一解法解决常系数线性差分方程，我们还需要识别出它的特征。
在这一步骤中，需要建立差分方程的数学模型，对高次项的系数进行把握，以及明确方程组的差分系数。
将这些信息整合在一起，可以构建多项式，进而得出较全面的解答。
最后，要求得一阶常系数线性差分方程的解，仍需要对求得的结果进行校核，
以确保其准确性。
这里，可以通过进行直观检查，或者求根论来对结果进行检验，以达到建立一个准确的解答。
总的来说，通过解耦和归纳的方式求解一阶常系数线性差分方程，其优势在于
简便易行，数值准确，并且能够大大缩短求解的时间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
zx , 对此方程，我们会求它的一个解
yx x zx 于是
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求 yx1 yx x2 的通解。
x
解:原方程对应齐次方程的特征方程为 1 0
于是对应方程的通解为： x C(1) Y
x
x
令： yx 2 zx 代入原方程，得 2zx1 zx x
第四章
第四节 一阶常系数线性差分方程
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
y x 1 ay x f ( x )
⑴
其中 a 0 为常数，f ( x ) 为已知函数。
当 f ( x ) 0时，称方程
x
x 1 a x 0
即
a 0
(3)
称方程（3）为齐次方程（2）的特征方程， 而 a 为特征方程的根，从而
yx Ca
x
（ C 为任意常数）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
是齐次方程的通解。
例1. 求 2 yx1 yx 0 的通解。 解： 原方程的特征方程为 2 1 0
y x 1 ay x 0
⑵
为一阶常系数齐次线性差分方程； 当 f ( x ) 0 时，方程⑴称为一阶常系数非齐次
线性差分方程。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
y x 1 ay x 0
⑵
1. 迭代法 若 y0 已知，则由方程⑵依次可得出：
1 特征根为 于是原方程的通解为 2
1 yx C 2
x
（ C 为任意常数）
思考：如何求 2 yx1 yx 0 的满足初始条件
y0 2 的解。
1 x 所求特解为 y x 2( ) 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
yx b0 x2 b1x b2 a 2 1, 则令：
代入原方程，得
b0 ( x 1) b1 ( x 1) b2 2(b0 x b1x b2 ) 3x
2 2
2
解得： 于是：
b0 3, b1 6, b2 9
yx 3x2 6x 9
问题化为解初值问题: 最后求得
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u , (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
（3）原方程的通解为：
yx C 2 3x 6x 9 （ C 为任意常数）
x 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求 yt 1 yt t 1 的通解.
解: 原方程对应齐次方程的特征方程为 于是对应齐次方程的通解为： Yt C
1 0
a 1, 则令： y t (b0t b1 )
解初值问题: 答案:
机动
目录
上页
下页
返回
结束
Hale Waihona Puke 例2. 设二阶非齐次方程 而对应齐次方程有解
有特解
及微分方程的通解 .
解: 将 y x 2 代入 y ( x) y 0,
1 1 再将 y 代入 y y f ( x) x x 1 3 故所给二阶非齐次方程为 y y 3 x x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. f ( x) Pn ( x)
x
P 其中 0, 1为常数， n ( x) 为n次多项式。
yx x zx 作变换
代入原方程，得
即
x 1
zx1 a zx P ( x) n
x x
zx1 azx Pn ( x)
( C1 1 C1 ) 2
ye
p( x) dx
p( x) d x d x C f ( x) e
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（当 a 2 时） （当 a 2 时）
机动
目录
上页
下页
返回
结束
基本要求:
掌握一阶常系数齐次与非齐次线性差分 方程的求解方法。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
作业
P209 A组 1(4), (5); 2(4), (6); 5; B组 2
第四节 目录
上页
下页
返回
结束
例1.
且满足方程
求 f (x) .
y x 1 ay x f ( x )
非齐次方程的通解：
y( x) Yx yx
⑴
1. f ( x) Pn ( x)
Pn ( x)为n次多项式，此时方程为
yx1 ayx Pn ( x),(a 0)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
即
yx (1 a) yx Pn ( x)
f ( x) sin x
x ( x t ) f (t ) d t 0 x x f (t ) d t t 0 0
提示: f ( x) sin x x
f (t ) d t , 则
f ( x) cos x f (t )d t x f (x) x f (x) 0 f ( x) sin x f ( x)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 求 yx1 2 yx 3x 的通解。
2
解： （1）先求对应的齐次方程的通解。 对应的齐次方程
y x 1 2 y x 0
特征方程与特征根分别为
20
2
于是对应齐次方程的通解为：Yx C 2x （2）再求非齐次方程的一个特解。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解：先求 原方程对应的齐次方程 yt 1 ayt 0 的通解
Yt Ca
t
* yt . 令 yt 2t zt 再求原方程的一个特解
原方程化为 2 zt 1 azt 1 当 a 2 时，上述方程的一个特解为 当 a 2 时，上述方程的一个特解为
* zt * zt
1 . 2a
y 为其解， 则它应是什么类型的函数？ 若 x
（1）若 a 1 ，则令：
y Qn ( x) b0 x b1x
n
x
n1
bn1x bn
n1
（2）若 a 1 ，则令：
y xQn ( x) x(b0 x b1x
n
x
bn1x bn )
代入原方程，得
t
b0 (t 1)2 b1 (t 1) (b0t 2 b1t ) t 1 1 2 1 1 1 b 于是：yt t t 解得： 0 , b1 2 2 2 2 1 2 1 y 原方程的通解为： t C t t （ C 为任意常数） 2 2
1 t. 2
目录 上页 下页 返回 结束
机动
于是
1 2t * 2 a yt 1 t 2t 2
（当 a 2 时） （当 a 2 时）
原方程的通解为 即
yt Yt
* yt
1 t Ca 2t 2a yt C 2t 1 t 2t 2
方程化为
一阶线性非齐次方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故
1 xdx e
1 2 C1 x x 1 y C1 x 2 C2 再积分得通解 x
复习: 一阶线性微分方程通解公式 y p ( x) y f ( x)
3 x3
1 d x e x
d x C1
y1 ay0 2 y2 ay1 a y0
y3 ay2 a y0 y x a x y0 , 于是
3
y 得齐次方程的通解： x Ca .（ C 为任意常数）
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.特征根法 由于方程 yx1 ayx 0 等同于 yx (1 a) yx 0, 设 yx ( 0) 代入方程得
1 2 不难求得它的一个特解： z x 3 9
x
1 2 于是: y 2 ( x ) 3 9 原方程的通解为：
* x x
1 2 yx C (1) 2 ( x ) （C 为任意常数） 3 9
x x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yt 1 ayt 2t 的通解。( a 0) 例5. 求