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变换的规则解决即可．
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2π 解析： ∵最小正周期为 π， 即 ＝π， ω＝2， 得 ∴函数 f(x) ω π π π π π ＝sin(2x＋ )＝cos[ －(2x＋ )]＝cos( －2x)＝cos(2x－ )＝ 4 2 4 4 4 π cos2(x－8)，要想得到函数 g(x)＝cos2x 的图象，只要把 f(x) π 的解析式中的 x 换成 x＋8即可，根据三角函数图象变换规则 π 知，把函数 f(x)的图象向左平移8个单位长度即可，故选 A. 答案：A
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5π π 5π π π π 即 φ＝ ，∴y＝4sin( x＋ )＝4sin( x＋π＋ )＝－4sin( 4 8 4 8 4 8 π x＋ )．故选 B. 4
答案：B
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3．给出图象，求解析式y＝Asin(ωx＋φ) (1)给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型，有时
从寻找“五点法”中的第一个零点(－
，0)作为突破口，
要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．
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1 解析：由它们的定义可知，周期为 4π，频率为 ，振幅 4π 1 π π 为 10，相位是 t－ ，初相是－ . 2 4 4
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4．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7， 已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间
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考 纲 要 求 热 点 提 示
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化 的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 1.高考中出现选择题、填空题、解答题都有可能，出小 题时多考查函数的图象与性质，出大题时，常与平面向 量、解三角形等知识相结合，试题难度为中低档． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是高考考查的重 点，有时直接考查，更多地是通过三角恒等变换转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式进行考查.
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π 【例 1】 (2009· 天津卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋4)(x∈R， ω>0)的最小正周期为 π.为了得到函数 g(x)＝cosωx 的图象， 只 要将 y＝f(x)的图象 ( )
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这个题目与教材上讲解 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时的例习 题一样，只是这里进行了“逆向设计”，教材上是从 y＝sinx 讲解怎样变换为 y＝Asin(ωx＋φ)的，本题恰好相反.
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π A．向左平移 个单位长度 8 π B．向右平移 个单位长度 8 π C．向左平移4个单位长度 π D．向右平移4个单位长度 思路分析：根据给出的最小正周期可以确定ω的值，
由于要得到的是余弦函数的图象，再根据诱导公式把已知
函数的解析式变换成余弦函数的形式，根据三角函数图象
【例 3】
2.图象变换 由 函 数 y ＝ sinx 的 图 象 通 过 变 换 得 到 y ＝ Asin(ωx ＋
φ)(A>0，ω>0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”
与“先伸缩后平移”． 方法一：先平移后伸缩．
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x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A>0，ω>0)，则A＝
________，ω＝________.
解析：由已知 P 点离水面的距离的最大值为 17， ∴A＝10. 60 2π 又水轮每分钟旋转 4 圈，∴T＝ 4 ＝15，∴ω＝15.
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(2)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大
值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐
标来确定φ，但由图象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯 一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
思路分析：由图象可以看出其半周期的大小，再根据 图象可以确定一个函数值，通过列三角函数方程就可以求 出φ的值．
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3π 5π 1 2π 5π 解析：函数的半周期是 2π－ ＝ ，即 × ＝ ，故 ω 4 4 2 ω 4 4 4 ＝ .又当 x＝2π 时即函数值等于 1，故有 sin( ×2π＋φ)＝1， 5 5 4 π 11π 得5×2π＋φ＝2kπ＋2，即 φ＝2kπ－ 10 (k∈Z)，由－π≤φ<π， 9π 9π 取 k＝1，即得 φ＝10，故填10.
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π 解析：所得解析式是 y＝sin2(x＋ )＋1＝cos2x＋1＝ 4 2cos2x，故选 B.
答案：B
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【例2】
(2009·宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋
φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
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变式迁移 1
(2009· 山东卷)将函数 y＝sin2x 的图象向左
π 平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式 4 是 A．y＝cos2x π C．y＝1＋sin(2x＋ ) 4 B．y＝2cos2x D．y＝2sin2x ( )
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1．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象 如下：
那么 ω＝ A．1 1 C.2 1 D.3
( B．2
)
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2π 解析：由图象可知，函数周期 T＝π，ω＝ ＝2，故选 T B.
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3．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移 s 1 π 与时间 t 之间的关系式为 s＝10sin(2t－4)，t∈[0，＋∞)，则 弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为 ________，相位是________，初相是________．
答案：B
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π π 2．(2008· 山东高考)函数 y＝lncosx(－ <x< )的图象是 2 2 ( )
解析：由已知得0<cosx≤1，∴lncosx≤0， 排除B、C、D，故选A.
答案：A
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T 2π π 解析：由图象可知，A＝4， ＝8， ＝16，∴ω＝ ，设 2 ω 8 π π y＝4sin( x＋φ)，代入最低点坐标(2，－4)，可得 sin( ＋φ)＝ 8 4 π 3π 5π －1，∴4＋φ＝2kπ＋ 2 ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋ 4 ，k∈Z.满足条 5π 件一个 φ＝ 4 ，
1 5． 试说明如何由函数 y＝sinx 的图象得到函数 y＝2sin( x 3 π －6)的图象．
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π 解：先把函数 y＝sinx 的图象上所有点向右平移 个单位 6 π 长度，得到 y＝sin(x－ )的图象；再把后者所有点的横坐标伸 6 1 π 长到原来的 3 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(3x－6)的图象；再 把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 1 π 变)，得到 y＝2sin(3x－6)的图象．
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(3)将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数 A、 ω、φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点” 中的哪一个位置点， 并能正确代入式中． 依据五点列表法原 理，点的序号与式子的关系是：“第一点”(即图象上升时 与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的最 π 高点)为 ωx＋φ＝2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交 点)为 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的最低点)为 ωx 3π ＋φ＝ 2 ；“第五点”为 ωx＋φ＝2π.