2018年高考理科数学模拟试卷(十)
2018年全国高考理科数学试卷含解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建使用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r =A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为ABC．4D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(十)理
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（十）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则MN 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．333．已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．32y x =±D ．233y x =±4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．3B ．4-C ．5-D ．66．设α与β均为锐角，且1cos 7α=，53sin()14αβ+=，则cos β的值为（ ）A ．7198B ．12 C ．7198或12D ．7198或59987．设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（ ） A ．15B ．25C ．12D ．18．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43B ．83C ．2D ．49．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．现有周长为225且())sin :sin :sin 21521A B C =的ABC △，则其面积为（ ）A 3B 3C 5D 510．已知数列{}n b 满足11b =，2b =222ππ1sincos 22n n n n b b +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭23项的和为（ ） A ．4194B ．4195C ．2046D ．204711．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（a ，b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ） A ．0,55⎡⎣B ．55,5⎡⎤-⎣⎦C ．5,55⎡+⎣D ．55,55⎡⎣12．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<使得()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称()f x 为区间[],a b 上的"双中值函数"．已知函数()32132m g x x x =-是[]0,2上的"双中值函数"，则实数m 的取值范围是（ ） A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(),-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学模拟试卷(理科)带答案精讲
2018年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．4835．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有种（用数字作答）．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是．（填所有正确命题的序号）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1•z2=（2+i）（a﹣i）=2a+1+（a﹣2）i为实数，∴a﹣2=0，解得a=2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题．2．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知中集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，逐一分析集合A中的元素是否满足B中元素的条件，进而得到答案．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，当x=0时，不满足B中元素的条件；当x=1时，不满足B中元素的条件；当x=2时，满足B中元素的条件；当x=3时，满足B中元素的条件；故B={2，3}，则集合B的元素的个数为2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，正确理解集合B={x|x ∈A且1﹣x∉A}中元素所满足的条件，是解答的关键．3．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．【分析】四个图形的高均可取1，A可以是三棱柱，B可是三分之一圆柱，C可以是正方体，D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．【解答】解：A中几何体的侧视图是左侧面在过里面侧棱和中心高线确定面上的正投影，能满足和正视图侧视图为边长为1的正方形；满足题目的要求，正确；B的俯视图是一扇形，是三分之一圆柱，从正视图与侧视图的高为1的线段，正视图的长度大于1，不满足要求．C可以是正方体，以其正视图和侧视图也可是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；选项D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．故其正视图与侧视图是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；故选：B．【点评】本题考查三视图的理解与应用，解决三视图问题，要掌握视图原则，关键是图形在与目光视线垂直面上的正投影．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．483【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定【分析】根据导函数的图象，写出函数f（x）的单调区间，由导函数图象是一条直线知原函数是二次函数，对称轴是x=1，从而将f（0），f（3）转换到单调区间，就能比较大小了．【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知：函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞），又导函数f′（x）的图象是一条直线l，∴原函数是二次项系数小于0的二次函数，其图象的对称轴是x=1．∴f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），由函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，得f（2）＞f（3），即f（0）＞f（3）．故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质：单调性，进而比较两数大小，解题时应注意导函数的图象与原函数的关系是解决问题的关键．6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n﹣3，a1q n﹣2，a1q n﹣1．∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）【分析】根据不等式的性质，以及函数单调性和导致之间的关系判断函数f（x）的单调性即可得到结论．【解答】解：根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴≤1，∵0＜x＜1，∴0＜＜1成立，即0＜f（x）＜1，则f2（x）＜f（x），∵f（x）=，∴f′（x）=，设g（x）=xcosx﹣sinx，则g′（x）=﹣xsinx＜0，（0＜x＜1），∴g（x）在0＜x＜1上单调递减，则g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）=＜0，即在0＜x＜1上f（x）单调递减，∵此时x＞x2，∴f2（x）＜f（x）＜f（x2），故选：A．【点评】本题主要考查函数的值的大小比较，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件z≤30，计算输出的值．【解答】解：由程序框图知：x=1，y=1，z=2，第一次循环x=1，y=2，z=1+2=3；第二次循环x=2，y=3，z=2+3=5；第三次循环x=3，y=5，z=3+5=8；第四次循环x=5，y=8，z=5+8=13；第五次循环x=8，y=13，z=8+13=21；第六次循环x=13，y=21，z=34．不满足条件z≤30，跳出循环体，输出=．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，然后判定sinA与cosB的大小，根据单调性的定义进行判定即可．【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，又当3a2+3b2﹣c2=4ab时，cosC==，∴C≥90°，∴A+B≤90°，∴A≤90°﹣B，∴sinA≤sin（90°﹣B）=cosB，从而f（sinA）≤f（cosB）故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有36种（用数字作答）．【分析】分两步进行，先排第一节课，再排其它四节，注意两节自习课只有一种顺序，进而由分步乘法公式计算可得答案【解答】解：先排第一节，从物理，化学，生物任选一科，有，剩下的四节从剩下的科目中任意排，有，而两节自习课只有一种顺序，不同的排法共有=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为2．【分析】由不等式组可得所表示的可行域，即可得到：当取点P（1，2）时，直线l的斜率取得最大值．【解答】解：由不等式组可得所表示的可行域，由图可知：当取点P（1，2）时，直线l的斜率的取得最大值，k==2．故答案为：2．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率的计算公式，属于中档题．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为ka2．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）【分析】将变力F用s表示出来，根据变力F做功的公式进行计算即可得到结论．【解答】解：∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，∴F=kv2，∵t时刻，它的速度为v，位移为s，∴s=t2，s′（t）=t，即v=s′（t）=t，∴s=t2=v2，即v2=2s，即F=kv2=2ks，则由W=∫F（s）ds得W=∫=ks2|=ka2，故答案为：ka2【点评】本题主要考查积分的物理意义，要求熟练掌握积分的公式．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是①②③④．（填所有正确命题的序号）【分析】利用三角换元，即可得出结论．【解答】解：设x=asinα，y=bcosα，则x+y=sin（α+θ），∴a2+b2≥（x+y）2，即①正确；（+）a2b2=（+）a2b2=（sin2α+cos2α）（+）≥（a+b）2，∴+≥（+）2，即②正确；=4b2sin2αcos2α=b2sin22α≤b2，即③正确；设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴+=sin（α+β）≤1，即④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为a=9或a=﹣11．【分析】先利用直线l1的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，进行代换将直线l2的方程化为直角坐标方程．最后利用两平行线的距离公式即可求得实数a的值．【解答】解：将直线l1的方程化为普通方程得3x﹣y+a﹣3=0，将直线l2的方程化为直角坐标方程得3x﹣y﹣4=0，由两平行线的距离公式得⇒a=9或a=﹣11．故答案为：a=9或a=﹣11．【点评】本题考查直线的参数方程、直线的极坐标和直角坐标的互化、两平行线的距离公式等知识，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．【分析】（Ⅰ）利用向量积的知识，求得f（x）的解析式，进而化简，利用三角函数的图象和性质求得函数的最小正周期T和在区间[0，π]上的单调区间．（Ⅱ）通过f（θ）=1，求得cos（2θ+）的值，代入原式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），∴T==π，当，即时，函数单调增，∵x∈[0，π]∴f（x）在区间[0，π]上的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）∵f（θ）=1，∴∴=．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，得，，由此能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而能求出．（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时，==2n ，从而得到，由此利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，两边同时除以2a n +1a n ， 得，，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，（3分）∴， ∴．（6分）（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时==2n当n=1时b 1=2也符合 ∴b n =2n （n ∈N *） ∴（8分）+4×22+…+（n +1）×2n ﹣1①2T n =2×21+3×22+…+n ×2n ﹣1+（n +1）×2n ②（10分） ①﹣②得∴（12分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 、F 分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．【分析】（1）取DE的中点G，连结FG，AG，CG，由已知条件推导出FG∥CD，AG∥BC，从而得到平面AFG∥平面CBD，由此能证明AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面CBD与面DAE所面角的余弦值．【解答】（1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，∴翻折后AD=AE=2CF，∴CF DG，CG AB，∴FG∥CD，AG∥BC，∴平面AFG∥平面CBD，∴AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知A（﹣1，0，0），D（0，0，），B（﹣1，﹣2，0），E（1，0，0），∴DE的中点坐标为（），∵，∴C（），∵是平面ADE的一个法向量，即，设平面BCD的一个法向量为，∵，，∴，令x=2，则y=2，z=﹣2，∴，∴cos＜＞==，∴面CBD与面DAE所面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为6，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）利用对立事件的概率公式，可求至少有一人来自第二组的概率；（3）X的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可求出求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数为人；…（3分）（2）设“至少有一人来自第二组为事件A”…（7分）（3）X的可能值为1，2，3，，…（10分）所以X的分布列为…（13分）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k 的值．【分析】（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．【解答】解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），∵=，∴a=5，∴=4∴椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5∴|MQ|2=（x﹣2）2+y2=∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣m）直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2﹣50mk2x+25m2k2﹣400=0∴x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2km=﹣，y1y2=∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，∴512﹣800k2=0，解得k=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；（2）先证明f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1），f（x2）﹣f（x1）＞（x2﹣x1）f'（x2），即可得（x2﹣x1）f'（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）；（3）构造函数φ（x）=，确定φ（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），再利用放缩法，即可证得结论．【解答】（1）解：f'（x）=﹣lnx，g（x）=x﹣xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）﹣f'（a）=﹣lnx+lna=ln．所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．（2）证明：∵f′（x）=﹣lnx，∴f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，由拉格朗日中值定理，可知，存在b∈（x1，x2），使得，∴x1＜b＜x2，又f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，∴f′（x2）＜f′（b）＜f′（x1），∴f′（x2）＜＜f′（x1），∴（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）．（3）证明：对k=1，2，…，n﹣2，令φ（x）=，则φ′（x）=，显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．由n﹣k≥2，得φ（n﹣k）≤φ（2），即．所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），k=1，2，…，n﹣2．所以=≤=2又由（2）知f（n+1）﹣f（n）＜f′（n）=﹣lnn，所以lnn＜f（n）﹣f（n+1）．∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）﹣f（2）+f（2）﹣f（3）+…+f（n）﹣f（n+1）=f（1）﹣f（n+1）=1﹣f（n+1）．所以，．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强，难度较大．。
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的•）21. ( 5 分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x v 1}, B={y|y=|x|} ，则A A B=A . ? B. ( 0 , 1) C . [0 , 1) D .2. （5分）（2018?衡中模拟）设随机变量2E-N (3 ,c ),若P (E>4) =0.2 ,)0.8 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2x B. y= ± 「；x C . y= ± x D . y=35. （5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为 1 : 2: 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ,「2,「3,那么门+「2+「3的值为（）等差数列{a n}中，a 3=7 , a5=11，若 b n= .3 ii 1D. 54A . 2B . 3C .126. （5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）的前8项和为（732B.[0, 1](3 VE（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=3（i为虚数单位），则r =1 B.—1 C.D.（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线b2=1 (a >0, b >0)的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若/ PFQ=n,则双曲线的渐近线方程为（A. y= ±7. （5分）（2018?衡中模拟），则数列{b n}10 2& （ 5 分）（2018?衡中模拟）已知（x - 3） =a °+a i （x+1 ） +a 2 （x+1 ） + …+a 10 （x+1 ）10，则 a 8=（）A . 45B . 180C .- 180D . 7209. （ 5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥值范围（）A . （11，25 ）B . （12，22 ）C . （12，17）D . （14，20）S- ABC 的三视图，其表面积为（A . 16B . 8 丨，+6 工C . 16 一， 10 . （5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆 F （- 3, 0）,P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （- 1，3）满足PF+PM 的最大值为率为（）A.— B •阻 | C .丄 D .2V3 2方 3 3In （號+1）（掘>0）（x ）=，若函数 y=f （x ）- kx 恒（e x -l GKO ）有一个零点，贝U k 的取值范围为（）A . k w 0B . k w 0 或 k > 1C . k < 0 或 k > eD . k < 0 或 k12. （5分）（2018?衡中模拟）已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = - 2n+p ，数列｛b n ｝的通项公 ，若在数列｛c n ｝中C 6< C n （n € N , n 丰6）,则p 的取D . 16+6丨・（a >b >0）的左焦点17,则椭圆的离心11 . （ 5分）（2018?衡中模拟）已知 式为b n =2、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上.)13 •(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量1、卜满足| i|=2|［上的投影为________ •14 • (5分)(2018?衡中模拟)若数列｛a n｝满足a i=a 2=1 ,a +2, n=2k_1 (k G N*)、,a n+2 = ，则数列｛a n｝前2n项和S2n = _______ •.2斗，n=2k(kG N*)y^4>015 • (5分)(2018 ?衡中模拟)若直线ax+ (a - 2) y+4 - a=0把区域' 3x4-y<^9 分成jt十面积相等的两部分，则一的最大值为z+4a16. (5 分)(2018 ?衡中模拟)已知函数f (x) = ( a+1 ) Inx+' ' x2( a v- 1 )对3任意的X1、X2> 0,恒有|f ( X1 ) - f (X2) | > 4|x 1 - X2|，则a的取值范围为 _________________ •三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 • (12分)(2018?衡中模拟)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a , b , c，满足c=1，且cosBsinC+ (a - sinB) cos (A+B ) =0(1 )求C的大小；(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A , B的值.18 . （12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD , AD //BC，/ ABC=90 ° , PA=AB=BC=2 , AD=1 , M 是棱PB 中点.（I）求证：平面PBC丄平面PCD ;（n）设点N是线段CD上一动点，且I -■!=入：当直线MN与平面PAB所成的角最大时, 求入的值.19 . （12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 °、120 °、180。
2018高考数学(理科)模拟考试题一含答案及解析
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， 所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ， 从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22， 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)及答案
2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（）A．B．C．3 D．﹣32．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．{（﹣1，1）}B．[0，+∞）C．（﹣1，1）D．∅3．（5分）“x＞0”是“（）x＜3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）A． B．C．D．6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，α∥α，b∥β，则α∥β D．α∥β，a⊂α，则a∥β7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（）A．150m B．75m C．150m D．300m9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．36πC．48πD．24π10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，0]D．[﹣3，+∞）11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值．15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cos（x），其中a＞0．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．（1）求sinB的值；（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：由tan（）=，得，∴，解得tanα=．故选：A．2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．{（﹣1，1）}B．[0，+∞）C．（﹣1，1）D．∅【解答】解：∵集合A={x|y=﹣2x﹣1}=R，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：B．3．（5分）“x＞0”是“（）x＜3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“（）x＜3”⇔“3﹣x＜3”⇔“﹣x＜1”⇔“x＞﹣1”，故“x＞0”是“（）x＜3”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，可得A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），B1（2，2，2），C1（2，0，2），由中点坐标公式可得E（2，1，0），F（2，1，2），则=（2，﹣1，2），=（0，1，﹣2），则cos＜，＞===﹣，可得异面直线AF与C1E所成角的余弦值为，则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为=，可得异面直线AF与C1E所成角的正切值为，故选：C．5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，α∥α，b∥β，则α∥β D．α∥β，a⊂α，则a∥β【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（）A．150m B．75m C．150m D．300m【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，∴BC=h，AB=300．根据勾股定理得，3h2=h2+90000，∴h=150故选：C．9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．36πC．48πD．24π【解答】解：设球的半径为R，则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，解得：R=3，故该球的表面积S=4πR2=36π，故选：B．10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，0]D．[﹣3，+∞）【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，∴函数f（x）是单调函数，令f（x）+x3=t，则f（x）=t﹣x3，f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，结合题意g（x）=﹣x3+t﹣kx在[﹣1，1]递减，故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立，故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0，故选：A．11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，故组合体的体积V=+π，故选：D．12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为．【解答】解：f（x）=2cos（+x）=﹣2sinx，函数f（x）为奇函数，又f（﹣a）=，∴f（a）=﹣f（﹣a）=．故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值3．【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．综上a=3，故答案为：3．15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0）递减，若f（x﹣1）＞f（x），则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，解得：x＜，故答案为：（﹣∞，）．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（1，5）．【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，又长方体体积为1×2×3=6，所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5．故答案为：（1，5）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==，∴=，∴a=；（2）由（1）知，f（x）=，若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，则方程f（x）=﹣m﹣1在[，]内有两个零点，即函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，如图：由图可知，要使函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，则，即．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cos（x），其中a＞0．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）∵f（x）=ae x﹣cos（x），∴f′（x）=ae x+sin（x），∴k=f′（0）=a，f（0）=a，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））的切线方程为y﹣a=ax，即ax﹣y+a=0，∴a（x+1）﹣y=0，∴ax﹣y+a=0过定点（﹣1，0），∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点：解：（2）∵f（x）=ae x﹣cos（x），∴f′（x）=ae x+sin（x），∵f（x）在（﹣1，1）上存在唯一的极值点，∴f′（﹣1）f′（1）＜0，∴（﹣）（ae+）＜0，解得﹣＜a＜，故a 的范围为（﹣，）．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．（1）求sinB的值；（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B），∴sinA=2sinC，a=2c，∴S=sinB•c•2c=c2，故sinB=；（2）由（1）sinB=，cos，∴cosB=，sin∠ADB=，∴sin∠BAD=sin（B+∠ADB）=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB=×+×=，由=，得：=，解得：BD=c，故=3．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取AB中点M，连接DM，∵底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，∴四边形BCDM是正方形，且AM=DM．∴∠DAB，∠ADC=90°，∴DB⊥AD又∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD=AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥平面SAD，又DB⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAD（2）解∵侧面SAD⊥底面ABCD，∴∠SDA就是SD与底面ABCD所成的角或其补角，∴∠SDA=60°或120°，下面可以分类讨论，在此求解∠SDA=60°的情况．∵AD=SD，∴△SAD是等边△．如图以D为原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，设CD=2，则S（，0，），B（0，2，0），C（﹣，，0），设面SCB的法向量为：，可得设面SBD的法向量为．可得cos==∴二面角C﹣SB﹣D的余弦值为．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）f′（x）=x﹣a+=，（a＞0），△=a2﹣4a．①当△≤0，即0＜a≤4时，函数f（x）在（0，+∞）递增，②当△＞0，即＞4时，f′（x）=0的根，x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）递减．（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），h′（x）=﹣，当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（），因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1＜，故x1•x22＜2．综上所述：x1•x22＜2．请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2（1+a）t+12=0，又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1，设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（1+a），t1•t2=12，由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12，|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，∴实数a的值﹣1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，可得或或，解得：﹣≤x≤；故不等式的解集是[﹣，]；（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a，由绝对值不等式的性质可得：||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．。
山东省临沂市2018届高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
山东省临沂市2018届高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，…，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC 的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K 的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．山东省临沂市2018届高考一模试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，…，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6 故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ． ∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x 2=4y ，直线y=k （k 为常数）与抛物线交于A ，B 两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A ，B 重合），满足，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≥2 B ．k ≥4 C ．0＜k ≤2 D ．0＜k ≤4 【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f （x ）=sin （x ﹣）．∴f （x ）的最小正周期T=．（2）∵f （）=sin （A ﹣）=，∴sin （A ﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b 2+c 2=bc +1≥2bc ，∴bc ≤1．∴S △ABC ==≤．∴△ABC 面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E （ξ）． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P 1==，都付40元的概率为P 2==，都付80元的概率为P 3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P 1+P 2+P 3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P （ξ=0）==，P （ξ=40）==，P （ξ=80）=+=，P （ξ=120）=+=，P （ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，ξ 0 40 80 120 160数学期望E （ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E 为PA 的中点．（Ⅰ）设面PAB ∩面PCD=l ，求证：CD ∥l ； （Ⅱ）求二面角B ﹣CE ﹣D 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征． 【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD ∥l ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 【解答】证明：（Ⅰ）取CD 的中点H ，∵AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BCA=45，AP=AD=AC=2， ∴AH ⊥CD ，∠CAH=∠CAB=45°， 即∠BAH=90°，即四边形ABCH 是矩形， 则AB ∥CH ，AB ∥CD∵CD ⊄面PAB ，AB ⊂面PAB ， ∴CD ∥面PAB ，∵CD ⊂面PCD ，面PAB ∩面PCD=l ， ∴根据线面平行的性质得CD ∥l ．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A 为原点，AH ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A （0，0，0），B （0，，0），C （，，0），P （0，0，2），E （0，0，1），D （，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n ﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n+2）=b n，﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．。
2018年高考数学(理科)模拟试卷一附答案解析
2018 年高考数学 (理科 )模拟试卷 (一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟 )第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，满分60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．(2016 年四川)设会合A＝ {x|1≤x≤ 5}，Z 为整数集，则会合A∩Z 中元素的个数是() A． 6 B. 5C． 4D． 3分析：由题意，A∩Z＝ {1,2,3,4,5} ，故此中的元素的个数为 5.应选 B.2． (2016 年山东 )若复数 z 知足 2z＋ z ＝3－2i, 此中 i 为虚数单位，则z＝ ()A． 1＋ 2i B． 1－ 2iC．－ 1＋ 2i D．－ 1－ 2i2．B 分析：设 z＝ a＋ bi(a ，b∈ R)，则 2z＋ z ＝3a＋ bi＝ 3－ 2i，故 a＝ 1，b＝－ 2，则z ＝1 －2i.应选 B.3． (2015 年北京 )某四棱锥的三视图如图M1-1 ，该四棱锥最长棱的棱长为()图 M1-1A．1D．23． C 分析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面 ABCD， SA 是四棱锥最长的棱， SA＝22＝222＝ 3.应选 C. SC＋AC SC＋ AB ＋ BC图 D1884．曲线 y＝ x3－ 2x＋4 在点 (1,3)处的切线的倾斜角为()π4． C分析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为4.5．设 x∈ R， [x]表示不超出x 的最大整数 . 若存在实数t，使得 [t]＝1， [t 2]＝ 2，， [t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是 ()A．3 B．4 C．5 D．65．B分析：由于[x]表示不超出x 的最大整数．由[t ]＝ 1，得 1≤t<2，由 [t 2]＝ 2，得 2≤t2<3.由[t3 ]＝3，得 3≤t3<4.由 [t4]＝4，得 4≤t4<5.所以 2≤t2< 5.所以 6≤t5<4 5.由 [t5]＝ 5，得 5≤t5<6，与 6≤t5 <4 5矛盾，故正整数n 的最大值是 4.6．(2016 年北京 )履行如图M1-2 所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的k 值为()图 M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46． B 分析：输入 a ＝ 1，则 k ＝ 0， b ＝ 1；进入循环体， a ＝－ 1，否， k ＝1， a ＝－ 2，否， k ＝ 2， a ＝ 1，2此时 a ＝b ＝1，输出 k ，则 k ＝ 2.应选 B.7．某市要点中学奥数培训班共有14 人，分为两个小组， 在一次阶段考试中两个小构成绩的茎叶图如图 M1-3 ，此中甲组学生成绩的均匀数是 88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋ n 的值是 ()图 M1-3A． 10 B． 11 C． 12D． 1378＋ 88＋ 84＋ 86＋92＋ 90＋ m＋ 957．C分析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.应选 C.8． (2015 年陕西 )某公司生产甲、乙两种产品均需用吨甲、乙产品需原料及每日原料的可用限额如表所示，A， B假如生产两种原料．已知分别生产1 吨甲、乙产品可获收益分1别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大收益为()项目甲乙原料限额A/ 吨3212B/ 吨128万元B．16 万元C． 17万元D． 18万元8． D分析：设该公司每日生产甲、乙两种产品分别为x 吨、 y 吨，则收益z＝ 3x＋ 4y.3x＋ 2y≤ 12，x＋ 2y≤8，由题意可得其表示如图D189 暗影部分地区：x≥0，y≥ 0.图 D189当直线 3x ＋ 4y － z ＝ 0 过点 A(2,3) 时， z 获得最大值，所以 z max ＝ 3×2＋ 4×3＝ 18.应选 D.9． (2016 年新课标Ⅲ )定义 “规范 01 数列 ”{a n }以下： {a n }共有 2m 项，此中 m 项为 0 ，m项为 1，且对随意 k ≤2m ，a 1，a 2， ，a k 中 0 的个数许多于 1 的个数． 若 m ＝ 4，则不一样的“规范 01数列”共有()A ．18 个B ．16 个C ． 14 个D ．12 个9． C 分析：由题意，必有a 1＝ 0， a 8＝ 1，则详细的排法列表以下：10． (2016 年天津 )已知函数 f(x)＝sin2ωx 1 1 2＋ sin ωx－ (ω>0)， x ∈R.若 f(x)在区间 ( π， 2π)22内没有零点，则 ω的取值范围是 ()5∪8，11 5∪4，8分析： f(x)＝1－ cos ωx sin ωx 12sinωx－π， f(x)＝ 0sin ωx－π＝ 0，2＋2－＝2442π所以 x＝kπ＋4( π， 2π)，(k∈Z)．ω所以ω1，1∪5，5 ∪9，9∪ ＝1，1∪5，＋∞ ω∈ 0，1∪1，5.应选 D.84848484884811．四棱锥P-ABCD的底面 ABCD为正方形， PA⊥底面 ABCD， AB＝ 2，若该四棱锥的所243 π)有极点都在体积为的同一球面上，则 PA＝ (16A． 3C． 2311． B分析：如图D190，连结 AC，BD 交于点 E，取 PC的中点 O，连结 OE，则 OE∥11 PA，所以 OE⊥底面 ABCD，则 O 到四棱锥的全部极点的距离相等，即O 为球心，2PC＝21 4 1243 π7PA2＋AC2＝2 PA2＋ 8，所以由球的体积可得3π2PA2＋8 3＝16，解得 PA＝2.应选 B.图 D1902→ →12．已知 F 为抛物线 y ＝ x 的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴双侧，若 OA·OB＝6(O 为坐标原点 )，则△ ABO 与△ AOF 面积之和的最小值为 ()A． 413,2)2,4)12． B分析：设直线 AB 的方程为 x＝ ty＋ m，点 A(x1，y1)， B(x2， y2)，直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y2－ ty－ m＝0，依据韦达定理有y1·y2＝－ m，由于→ →位于 x 轴的双侧，OA·OB＝6，所以 x1·x2＋ y1·y2＝ 6，进而 (y1·y2 )2＋ y1·y2－ 6＝ 0，由于点 A， B1所以 y 1·y 2＝－ 3，故 m ＝ 3，不如令点 A 在 x 轴上方，则 y 1>0，又 F 4， 0 ，所以 S △ ABO ＋ S △1 1 1 13 y 1＋ 9 ≥213 9 1 ＝ 3 13 ，当且仅当 13y 1 9，即 y 1 ＝ AFO ＝ × 3×(y 1－ y 2)＋ 2 × y 1 ＝ 8 2y 8 ·y 1·· 2 8 ＝ 2y 1 1 16 13时取等号，故其最小值为3 13 .应选 B. 132第Ⅱ卷 (非选择题 满分 90 分)本卷包含必考题和选考题两部分．第13～ 21 题为必考题，每个试题考生一定作答．第22～ 23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．平面向量 a ＝ (1,2)， b ＝ (4,2)， c ＝ ma ＋ b(m ∈ R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m ＝ ________.13．2 分析： a ＝(1,2) ，b ＝ (4,2)，则 c ＝ma ＋ b ＝ (m ＋ 4,2m ＋ 2)，| a| ＝ 5，| b| ＝2 5，c ·a c ·b5m ＋ 8 a ·c ＝ 5m ＋8，b ·c ＝ 8m ＋20.∵ c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ |c| |a|· ＝ |c| |b|· .∴58m ＋ 20＝.解得 m ＝ 2.2 5x 2 y 214．设 F 是双曲线 C ： a 2－ b 2 ＝1 的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 __________．分析：依据双曲线的对称性，不如设F(c,0)，虚轴端点为 (0， b)，进而可知点 (－c,2b)c 2 4b 2在双曲线上，有 a 2－ b 2 ＝ 1，则 e 2＝ 5， e ＝ 5.15． (2016 年北京 )在(1－ 2x)6 的睁开式中， x 2 的系数为 ________． (用数字作答 )r ＋ 1 r r r2 的系数为 22 ＝15．60 分析：依据二项睁开的通项公式6可知， xC 6(－ 2)T ＝ C ·(－ 2) x60，故填 60.16．在区间 [0， π]上随机地取一个数1x ，则事件 “ sinx ≤”发生的概率为 ________．2 分析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈π 5π 1 0， ∪ ， π时， sin x ≤6 6 2. π ＋ π－ 5π－ 0 66 1 .所以所求概率为 π ＝3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12 分 )已知 {a n}是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a1＝b1＝ 1， b2＋ b3＝ 2a3， a5－ 3b2＝7.(1)求{a n}和 {b n}的通项公式；(2)设 c n＝ a n b n， n∈ N*，求数列 {c n}的前 n 项和．17．解：(1)设 {a n}的公比为q，{b n}的公差为d，由题意知q>0.由已知，有消去 d，得 q4－ 2q2－ 8＝ 0.解得 q＝ 2， d＝ 2.所以 {a n}的通项公式为a n＝ 2n－1，n ∈N*，n n*.{b }的通项公式为b＝2n－ 1， n∈ N(2)由(1)有 c n＝(2n－ 1)2n－ 1，设{cn}的前n项和为S n，则 S n01n－1，＋ 3×2＋ 5×2＋＋(2n－ 1) ×2＝ 1×21＋3×2＋3n5×2＋＋ (2n －1) ×22S n＝1×2.23n n n 两式相减，得－ S n＝ 1＋2 ＋2＋＋ 2 －(2n－ 1)×2＝－ (2n－ 3)×2－ 3.n*所以 S n＝ (2n－3) 2·＋3， n∈ N .2q2－ 3d＝2，q 4－ 3d＝ 10.18．(本小题满分12 分 )(2014 年纲领 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设施的概率分别为，， ,，各人能否需使用设施互相独立．(1)求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．18．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设施，i＝0,1,2.B 表示事件：甲需使用设施．C表示事件：丁需使用设施．D 表示事件：同一工作日起码 3 人需使用设施．(1)由于 P(B)＝， P(C)＝， P(A i )＝C i2×， i＝ 0,1,2 ，所以 P(D)＝ P(A1·B·C＋ A2·B＋ A2·B ·C)＝ P(A1·B·C)＋ P(A2·B)＋ P(A2·B ·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋ P(A2)P(B)＋ P(A2)P( B )P(C)＝ .(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ，其散布列为P(X＝ 0)＝ P( B ·A0·C )＝P( B )P(A0)P( C )＝(1－××－(1＝，P(X＝ 1)＝ P(B·A0·C ＋ B ·A0·C＋ B ·A1·C )＝P(B)P(A0 )P( C )＋ P( B )P(A0)P(C)＋ P( B )P(A1)P( C )＝××－(1＋ (1－××＋ (1－×2××－(1＝，P(X＝ 4)＝ P(A2·B·C)＝ P(A2)P(B)P(C)＝××＝，P(X＝ 3)＝ P(D)－ P(X＝ 4)＝，P(X＝ 2)＝1－ P(X＝ 0)－ P(X＝1)－ P(X＝ 3)－P(X＝ 4)＝ 1－－－－＝，所以 E(X)＝ 0×P(X＝0)＋ 1×P(X＝ 1)＋ 2×P(X＝ 2)＋3×P(X＝ 3)＋ 4×P(X＝4)＝＋ 2×＋ 3×＋ 4×＝2.19．(本小题满分12 分 )(2016 年四川 )如图 M1-4 ，在四棱锥P-ABCD中， AD∥ BC，∠ ADC＝∠1PAB＝ 90°， BC＝ CD＝2AD， E 为边 AD 的中点，异面直线PA 与 CD 所成的角为90°.(1)在平面 PAB内找一点M，使得直线CM∥平面 PBE，并说明原因；(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA与平面 PCE所成角的正弦值．图 M1-419．解： (1)在梯形 ABCD中， AB 与 CD 不平行．延伸 AB， DC，订交于点M(M∈平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点．原因以下：由已知， BC∥ ED，且 BC＝ ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以 CD∥ EB.进而 CM∥ EB.又 EB平面 PBE， CM 平面 PBE，所以 CM∥平面 PBE.MN上随意一点) (说明：延伸AP 至点 N，使得 AP＝ PN，则所找的点能够是直线(2)方法一，由已知，CD⊥PA，CD⊥ AD， PA∩AD＝ A，所以 CD⊥平面 PAD.进而 CD⊥ PD.所以∠ PDA是二面角P-CD-A 的平面角．所以∠ PDA＝ 45°.设 BC＝1，则在 Rt△ PAD中， PA＝ AD＝2.如图 D191，过点 A 作 AH⊥ CE，交 CE的延伸线于点H，连结 PH.易知 PA⊥平面 ABCD，进而 PA⊥ CE.于是 CE⊥平面 PAH.所以平面 PCE⊥平面 PAH.过 A 作 AQ⊥ PH 于 Q，则 AQ⊥平面 PCE.所以∠ APH 是 PA 与平面 PCE所成的角．在 Rt△AEH 中，∠ AEH＝ 45°， AE＝1，2所以AH＝2.在 Rt△ PAH中， PH＝ PA2＋AH2＝322，AH 1所以 sin∠APH＝PH＝3.图 D191图D192方法二，由已知，CD⊥ PA， CD⊥AD， PA∩AD＝ A，所以 CD⊥平面 PAD.于是 CD⊥ PD.进而∠ PDA是二面角P-CD-A 的平面角．所以∠ PDA＝ 45°.由 PA⊥ AB，可得 PA⊥平面 ABCD.设 BC＝1，则在 Rt△ PAD中， PA＝ AD＝2.→→x 轴，z 轴的正方向，成立如图 D192作 Ay⊥ AD，以 A 为原点，以 AD ，AP的方向分别为所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)， P(0,0,2)， C(2,1,0) ， E(1,0,0) ，→→→所以 PE＝ (1,0，－ 2)， EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2)设平面 PCE的法向量为n＝ (x，y， z)，→＝ 0，x－ 2z＝ 0，n·PE由得→＝ 0，x＋ y＝ 0.n·EC设 x＝2，解得 n＝ (2，－ 2,1)．设直线 PA 与平面 PCE所成角为α，→＝1则 sin α＝| n ·AP|＝2→2×22＋－ 22＋ 12 3 .| n| ·|AP|所以直线 PA 与平面 PCE所成角的正弦值为13.20． (本小题满分12 分 )(2016 年新课标Ⅲ )设函数 f(x)＝ln x－ x＋ 1.(1)议论 f(x)的单一性；x－ 1(2)证明当 x∈(1，＋∞)时， 1< ln x <x；(3)设 c>1，证明当x∈ (0,1) 时， 1＋ (c－ 1)x>c x.20．解： (1)由题设， f(x)的定义域为 (0，＋∞)， f′(x)＝1x－ 1，令 f′(x)＝ 0，解得 x＝1.当 0<x<1 时， f ′(x)>0， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′(x)<0，f(x)单一递减．(2)由(1)知， f(x)在 x＝ 1 处获得最大值，最大值为f(1)＝ 0.所以当 x≠1时， ln x<x－1.故当 x∈ (1，＋∞)时， ln x<x－ 1， ln 1 1x－ 1< －1，即 1<<x. x x ln x(3)由题设 c>1，设 g(x)＝ 1＋ (c－ 1)x－ c x，则 g′(x)＝ c－ 1－ c x ln c.c－1lnln c令 g′(x)＝ 0，解得 x0＝ln c .当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单一递加；当 x>x0时， g′(x)<0，g(x)单一递减．c－ 1由 (2)知， 1< ln c <c，故 0<x0<1.又 g(0)＝ g(1)＝ 0，故当 0<x<1 时， g(x)>0.所以 x∈ (0,1)时， 1＋ (c－ 1)x>c x.21． (本小题满分 12分 )(2016 年广东广州综合测试一 )已知椭圆 C 的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为 F1(－2, 0)，点 B(2， 2)在椭圆 C 上，直线 y＝ kx(k≠ 0)与椭圆 C 交于 E， F 两点，直线AE， AF 分别与 y 轴交于点M， N.(1)求椭圆 C的方程；(2)以 MN 为直径的圆能否经过定点若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．2221．解： (1)设椭圆 C 的方程为 x 2 ＋ y2＝ 1(a>b>0)，a b由于椭圆的左焦点为F 1(－ 2,0)，所以 a 2－ b 2＝ 4.① 4 2 由于点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以 a 2＋ b 2＝ 1.②由①②，解得 a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆 C 的方程为x 2＋ y 2＝1.8 4(2)由于椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 (－ 22， 0)．2 2由于直线 y ＝ kx(k ≠0)与椭圆 x＋ y＝ 1 交于两点 E ， F ，84设点 E(x 0， y 0)(不如设 x 0>0)，则点 F(－ x 0，－ y 0)．y ＝ kx ，8联立方程组x 2 y 2 消去 y ，得 x 2＝1＋ 2.8＋ 4＝12k所以 x 0＝22 ，则 y 0＝ 2 2k.1＋ 2k 21 ＋2k 2所以直线 AE 的方程为y ＝k1＋ 1＋ 2k 2(x ＋22)．由于直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ，令 x ＝0 得 y ＝22kM 0，2 2k，即点 1＋ 1＋ 2k 2.1＋ 1＋ 2k 2同理可得点 N 0， 2 2k2 .1＋1－ 2k2 2k 22k2所以|MN| ＝ －＝ 221＋ 2k .1＋ 1＋ 2k 2 1－ 1＋ 2k 2| k| 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P2.0，－ k22 2 21＋ 2k 22222 2则以 MN 为直径的圆的方程为 x ＋y ＋ k ＝ | k|，即 x ＋ y ＋k y ＝ 4.令 y ＝ 0，得 x 2＝ 4，即 x ＝ 2 或 x ＝－ 2. 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 2 (2,0) ，P (－2,0)，请考生在第 (22)(23) 两题中任选一题作答．注意：只好作答在所选定的题目上．假如多做，则按所做的第一个题目计分．22． (本小题满分 10 分 )选修 4-4：极坐标与参数方程x ＝ 2cos θ，(θ为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴已知曲线 C 的参数方程是y ＝ sin θ为极轴成立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为 A(2， π)、 B 2， 4π.3(1)求直线 AB 的直角坐标方程；(2)设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 AB 距离的最大值．22．解： (1)将 A 、 B 化为直角坐标为 A(2cos π， 2sin π)，B 2cos 4π 4π，即 A ，B， 2sin 33 的直角坐标分别为 A(－2,0)， B(－ 1，－ 3)，－ 3 －0k AB ＝ － 1＋2 ＝－3，∴直线 AB 的方程为 y － 0＝－ 3(x ＋ 2)，即直线 AB 的方程为3x ＋ y ＋ 23＝ 0.(2)设 M (2cos θ， sin θ)，它到直线 AB 的距离d ＝ |2 3cos θ＋ sin θ＋ 2 3| ＝ |13sin θ＋ φ＋ 2 3| ，2 2∴ d max ＝13＋2 32.23． (本小题满分 10 分 )选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)＝ | x － 2| － |2 x － a| ， a ∈ R.(1)当 a ＝ 3 时，解不等式 f(x)>0；(2)当 x ∈ (－∞， 2)时， f(x)<0 恒成立，求 a 的取值范围．23．解： (1)当 a ＝3 时， f(x)>0，即 | x －2| －|2 x － 3|>0 ，33<x<2，x ≥2，x ≤ ，或2等价于2或x － 1>0，－ x ＋ 1>0.－ 3x ＋ 5>0，3 35解得 1<x ≤ ，或 2 <x< .2 35 .所以原不等式的解集为x 1<x<3(2)f(x)＝ 2－ x － |2 x － a| ，所以 f(x)<0 可化为 |2 x － a|>2 － x ，①即 2x －a>2－ x ，或 2x － a<x －2. ①式恒成立等价于 (3x － 2)min >a 或 (x ＋ 2)max <a ，∵ x ∈(－ ∞， 2)，∴ a ≥4.。
山东省临沂市2018届高三第三次高考模拟考试数学(理)试题有答案
2018年普通高考模拟考试理科数学2018.5本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}x x a >，B={}232x x x -+>0，若A ∪B=B ，则实数a 的取值范围是(A) (),1-∞ (B) (],1-∞ (C) ()2,+∞(D) [)2,+∞2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+ (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3．给出以下三种说法：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+<”； ②已知,p q 为两个命题，若p q ∨为假命题，则()()p q ⌝∧⌝为真命题； ③命题“,a b 为直线，α为平面，若//,//,a b αα，则//a b ”为真命题． 其中正确说法的个数为 (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个4．已知4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= (A) 725- (B) 15- (C) 15 (D) 7255．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= (A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2 6．执行如图所示的程序框图，则输出的a = (A)6.8 (B)6.5 (C)6.25 (D)67．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则()()32018f f +=(A)－2(B)－1 (C)1(D)28．一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“▂”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概率为12，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域内的概率为(A)67(B)37 (C) 34 (D) 389．记不等式组10,330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域为D ，若对任意点(00,x y )∈D ，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 (A) (],4-∞- (B) (],1-∞-(C) [)4,-+∞(D) [)1,-+∞10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 13π+(B) 223π+(C) 23π+(D) 123π+11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且112::AF BF BF =3：4：2，则双曲线C 的离心率为(A)(B)10(C)(D) 1012．在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且满足∠DAC=90°，sin ∠BAD=13，若S △ADC =3S △ABD ，则cosC=(A)(B)6 (C)23(D)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年湖北省高考数学理科试卷及解析(全部题目)
2018年湖北省高考数学理科试卷及解读1.i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解读】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B. 34 C.1 D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解读】选C . 因为1r T +=rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1.3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,UA CB C⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A =，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解读】选B .画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2），<2,2,0），<1,2，1），<2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解读】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x>，()g x满足11()g()d0f x x x-=⎰，则称f(x>，()g x为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22f x xg x x==；②()1,g()1f x x x x=+=-；③2(),g()f x x x x==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是< ）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解读】选C. 对①，1111 111111(sin cos)(sin)cos|0 2222x x dx x dx x---⋅==-=⎰⎰，则)(xf、)(xg为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为< ）A.81B.41C. 43D.87 【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
2018年高考理科数学模拟卷(十)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（十）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·珠海一中]已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．[2018·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．333．[2018·湖南联考]已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．34y x =±B ．43y x =±C．2y x =±D．3y x =±4．[2018·茂名联考]如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．[2018·烟台期末]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．3B ．4-C ．5-D ．66．[2018·耀华中学]设α与β均为锐角，且1cos 7α=，sin()14αβ+=cos β的值为（ ） A ．7198B ．12C ．7198或12 D ．7198或59987．[2018·陆川县中学]设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（ ） A ．15B ．25C ．12D ．18．[2018·太原模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43B ．83C ．2D ．4班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封9．[2018·淄博模拟]南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有周长为))sin :sin :sin 11A B C =的ABC △，则其面积为（ ）AB．CD．10．[2018·南平质检]已知数列{}n b 满足11b =，2b =该数列的前23项的和为（ ） A ．4194B ．4195C ．2046D ．204711．[2018·天一大联考]过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（a ，b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则 ）AB CD12．[2018·宜昌调研]定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<使得()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称()f x 为区间[],a b 上的"双中值函数"．已知函数()32132m g x x x =-是[]0,2上的"双中值函数"，则实数m 的取值范围是（ ）A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
） 1、设z=，则∣z ∣=（ ）A.0B. 12 C.1 D. √2 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则C R A =（ ） A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（ ） A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、125、设函数f （x ）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→ =（ ） A. 34 AB → - 14 AC → B. 14 AB → - 34 AC → C. 34 AB → + 14 AC → D. 14 AB → + 34 AC→建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 2√17B. 2√5C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ·FN→ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [-1，0）B. [0，+∞）C. [-1，+∞）D. [1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2018高考数学(理科)模拟试卷一附答案解析word版本
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )A．6 B. 5 C．4 D．31.B 解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝( )A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B 解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M11，该四棱锥最长棱的棱长为( )图M11A ．1 B.2 C.3 D ．23．C 解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，SA ＝SC 2＋AC 2＝SC 2＋AB 2＋BC 2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2 4．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<45.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M12所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M12A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M13，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M13 A．10 B．11 C．12 D．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957＝88，n＝9.所以m＋n＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B．16C．17万元D．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，则利润z＝3x＋4y.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4＝0，所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫58，54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫98，94∪…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫58，＋∞⇒ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58.故选D.11．四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则PA ＝( )A ．3 B.72C ．23 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE ∥PA ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12PA 2＋AC 2＝12PA 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA 2＋83＝243π16，解得PA ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以S △ABO＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝61313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b|c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a2－4b 2b 2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎪⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备．C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C ) ＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )＝P (B )P (A 0)P (C ) ＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M14，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (2)若二面角P CD A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．图M1419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)方法一，由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角PCDA的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.如图D191，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH ＝22.在Rt △PAH 中，PH ＝PA 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P CD A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2) 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC→＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线PA 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋－22＋12＝13. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c .令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.① 因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2.所以x 0＝2 21＋2k 2，则y 0＝2 2k1＋2k 2. 所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 22k1＋1＋2k 2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2 2k 1＋1＋2k 2.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2 2k 1－1＋2k 2.所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝221＋2k 2|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋2k 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋2k 2|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4.令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋23＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋23|2＝|13sin θ＋φ＋23|2，∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围． 23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0.解得1<x ≤32，或32<x <53.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <53.(2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ① 即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ， ∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
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★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33级 姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封3．已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．y x =D ．y x = 4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．3B ．4-C ．5-D ．66．设α与β均为锐角，且1cos 7α=，sin()14αβ+=cos β的值为（ ） A ．7198B ．12 C ．7198或12D ．7198或59987．设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（ ）A ．15B ．25C ．12D ．18．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43B ．83C ．2D ．49．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有周长为))sin :sin :sin 11A B C =的ABC △，则其面积为（ ）A B C D10．已知数列{}n b 满足11b =，24b =23项的和为（ ） A ．4194B ．4195C ．2046D ．204711．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（a ，b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ）A ．0,5⎡⎣B ．5⎡⎤⎣⎦C ．5,5⎡⎣D ．5⎡-⎣12．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<使得()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称()f x 为区间[],a b 上的"双中值函数"．已知函数()32132mg x x x =-是[]0,2上的"双中值函数"，则实数m 的取值范围是（ ）A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),-∞+∞第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)
2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．74．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．125．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．908．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）．14．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k 的值．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．7【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：B．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3，∴几何体的体积：V===4．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=sin+sin+sin+…+sin 的值，S=sin+sin+sin+…+sin=（sin+sin+sin+…+sin）+…sin+sin=sin+sin=sin+sin=1+．故选：C．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件【解答】解：当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足=≠，由=得a2=1，得a=±1，由≠，得a≠1，即a=﹣1，即p：a=﹣1，圆心到直线的距离d=，半径r=1，∵直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，∴r2=d2+（）2，即1=+，得a2=1，得a=±1，则命题p是q充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90＞0，公比q＞1．【解答】解：因为{a n}为正项递增等比数列，所以a n＞a n﹣1因为a2+a4=10 ①，且=16=a3•a3=a2•a4②由①②解得a2=2，a4=8．又因为a4=a2•q2，得q=2或q=﹣2（舍）．则得a5=16，a6=32，因为++…+==5=5=5×9=45×2=90，故选：D8．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设、的夹角为θ，又由是夹角为60°的两个单位向量，且=，则•=（+）（﹣+2）=﹣2+22+•=，又由=（+），则||==，=（﹣+2），则||==，则有cosθ==，则θ=60°；故选：B．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线过点，可得=，双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2=16x的准线x=﹣4上，可得c=4，即有a2+b2=16，解得a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0，∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，a=﹣f（ln）=﹣f（﹣ln2）=f（ln2），ln（﹣）＞ln=﹣1，又ln（﹣）＜0，则﹣1＜ln（﹣）＜0，e0.1＞1，0＜ln2＜1，则﹣1＜ln（﹣）＜ln2＜e0.1，则f（ln（﹣））＞f（ln2）＞f（e0.1），即c＜a＜b，故选：C．11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象相邻两个对称中心的距离是，∴=，∴T==，解得ω=3；又f（x）的图象过点，∴2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=+2kπ，k∈Z；解得φ=+2kπ，k∈Z；令k=0，得φ=，∴f（x）=2sin（3x+）；∴f（x）的最小正周期为T=，A正确；f（）=2sin（3×+）=﹣2为最小值，∴f（x）的一条对称轴为x=，B正确；f（x）的图象向左平移个单位，得函数y=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+）=2cos3x，其图象关于y轴对称，C正确；x∈[﹣，]时，3x∈[﹣，]，∴3x+∈[﹣，]时，∴f（x）=2sin（3x+）在上是增函数，D错误．故选：D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）和y=ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax=0有2两个解，即函数y=f（x）和y=ax有2个不同的交点，∵f（﹣2）=5，f（5）=|5+﹣4|=，当y=ax经过点（5，）时，此时a=，当过点（﹣2，5）时，此时a=﹣，当直线y=ax与y=x2+1相切时，∵y′=2x，设切点为（x0，y0），﹣2≤x0≤0，∴=2x0，解得x0=﹣1，当x0=﹣1，此时a=﹣2，结合图象，综上所述a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）6．【解答】解：（2x﹣1）dx=（x2﹣x）=9﹣3=6，∴（2x﹣1）dx=6，故答案为：614．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为2．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，∴球O的体积V1=，圆柱内除了球之外的几何体体积：V2==，∴==2．故答案为：2．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为2．【解答】解：f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，可得f（0）=0，即有e0lna+e0lnb=0，即有ln（ab）=0，可得ab=1，（a＞0，b＞0），则≥2=2，当且仅当b=2a=时，等号成立，则的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．【解答】解：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，水秀中华分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，过NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，∴|HM|=2x，由|MN|=4x，∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan60°=，故答案为：．方法二：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），x1+3x2=4，整理得：3x2﹣4x2+1=0，解得：x2=，或x2=1（舍去），则x1=3，解得：k=±，由k＞0，则k=故答案为：．方法三：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的方程x=mx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），﹣y1=3y2，即y1=﹣3y2，解得：y2=﹣，y1=2，∴4m=，则m=，∴直线l的斜率为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．【解答】解：（1）y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到的图象，即．函数最小正周期T=π．令，则，解得，所以y=f（x）的单调增区间是．（2）由题意得：，则有．因为0＜A＜π，所以，．由及b=1得，c=4．根据余弦定理，，所以．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k 的值．【解答】解：（1）由已知得：，当n=1时，，当n≥2时，=n+2，当n=1时，符合上式．所以a n=n+2．因为数列{b n}满足b n+b n=2b n+1，所以{b n}为等差数列．设其公差为d．+2则，解得，所以b n=2n+3．（2）由（1）得，=，=，因为，所以{T n}是递增数列．所以，故恒成立只要恒成立．所以k＜9，最大正整数k的值为8．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（1）解：连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊄面BDE，故PC∥面BDE．（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0，0，1），P（0，0，2），所以，，，设平面PBC的法向量，则即，令z=1，则法向量，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．【解答】解：（1）因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，，所以a=，从而b2=a2﹣c2=1，所以，椭圆的方程为+y2=1．（2）椭圆右焦点F（1，0），由可知K（2，0），直线l过点K（2，0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），k≠0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由判别式△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0解得k2＜．点F（1，0）到直线l的距离为h，则，，=••，=|k|•，=，令t=1+2k2，则1＜t＜2，则S=•=，当时，S取得最大值．此时，，S取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．【解答】解：（1）由题意知，1﹣ax+lnx≤0恒成立．变形得：．设，则a≥h（x）max．由可知，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，h（x）在x=1处取得最大值，且h（x）max=h（1）=1．所以a≥h（x）max=1，实数a的取值范围是[1，+∞）．（2）由（1）可知，a≥1，当a=1时，f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=x（x﹣lnx）﹣k（x+2）+2=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2，g（x）在区间上恰有两个零点，即关于x的方程x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2=0在区间上恰有两个实数根．整理方程得，，令，．令φ（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4，，则，，于是φ'（x）≥0，φ（x）在上单调递增．因为φ（1）=0，当时，φ（x）＜0，从而s'（x）＜0，s（x）单调递减，当x∈（1，8]时，φ（x）＞0，从而s'（x）＞0，s（x）单调递增，，s（1）=1，，因为，所以实数k的取值范围是．证明（3）由（1）可知，当a=1时，有x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取等号．令，则有，其中k∈N*，k≥2．整理得：，当k=2，3，…，n时，，，…，，上面n﹣1个式子累加得：．n∈N*且n≥2，即．命题得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）因为l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4，转化为直角坐标方程为：x﹣y=4；设曲线C2上任一点坐标为（x'，y'），则，所以，代入C1方程得：，所以C2的方程为．（2）直线l：x﹣y=4倾斜角为，由题意可知，直线l1的参数方程为（t为参数），联立直线l1和曲线C2的方程得，．设方程的两根为t1，t2，则t1t2=2．由直线参数t的几何意义可知，|PM|•|PN|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．【解答】解：（1）因为|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|3a+2b+3a﹣2b|=6|a|，水秀中华当且仅当（3a+2b）（3a﹣2b）≥0时取等号，所以的最小值为6．（2）由题意得：恒成立，结合（Ⅰ）得：|2+x|+|2﹣x|≤6．当x≤﹣2时，﹣x﹣2+2﹣x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2；当﹣2＜x≤2时，x+2+2﹣x≤6成立，所以﹣2＜x≤2；当x＞2时，x+2+x﹣2≤6，解得2＜x≤3．综上，实数x的取值范围是[﹣3，3]．。
河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题有答案AlUPnn
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ 2.在复平面内，复数2332iz i-++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，3b c =，则tan A 的值是（ ） A ．33B ．233C ．3D ．4334.设{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<，s 为(1)ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），nm s =，若任取(,)a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A ．2e B ．2e C ．2e e -D ．1e e- 5.函数4lg x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490641π++．4848π+ D ．2466641π++7.已知117 17a=，16log17b=，17log16c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a b c>> B．a c b>>C．b a c>>D．c b a>>8.执行如下程序框图，则输出结果为（）A．20200 B．5268.5- C．5050D．5151-9.如图，设椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是（）A．12B．23C．13D．1410.设函数()f x为定义域为R的奇函数，且()(2)f x f x=-，当[0,1]x∈时，()sinf x x=，则函数()cos()()g x x f xπ=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（）A．6 B．7 C．13 D．1411.已知函数2()sin20191xf x x=++，其中'()f x为函数()f x的导数，求(2018)(2018)f f+-'(2019)'(2019)f f++-=（）A．2 B．2019C．2018 D．012.已知直线l：1()y ax a a R=+-∈，若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x=--；②22(1)(1)1x y-+-=；③2234x y+=；④24y x=.其中直线l的“绝对曲线”的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知实数x，y满足2202401x yx yy x+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x ymx++=+，则实数m的取值范围．14.双曲线22221x ya b-=的左右焦点分别为1F、2F，P是双曲线右支上一点，I为12PF F∆的内心，PI交x轴于Q点，若12FQ PF=，且:2:1PI IQ=，则双曲线的离心率e的值为．15.若平面向量1eu r，2eu u r满足11232e e e=+=u r u r u u r，则1eu r在2eu u r方向上投影的最大值是．16.观察下列各式：311=；3235=+； 337911=++； 3413151719=+++；……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围. 18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论） 19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，已知1PA PB PC BC ====，2AB =，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .（1）试判定点E 的位置，并加以证明； （2）求二面角E AC D --的余弦值.20.在平面直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为(0,1)B -，(0,1)C ，平面内两点P 、Q 同时满足：①0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ；②QA QB QC ==u u u r u u u r u u u r ；③//PQ BC u u u r u u u r .（1）求顶点A 的轨迹E 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l ，2l 与A 的轨迹E 相交弦分别为11A B ，22A B ，设弦11A B ，22A B 的中点分别为M ，N . ①求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数ln(1)()1x f x ax +=+.（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）已知x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求证(31)ln(1)(31)ln(1)11x x y y x y -+-++--(31)ln(1)01z z z -++≤-.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C ，若M ，N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()21()f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x >. （2）若不等式21()12f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.十模数学答案（理）一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC二、填空题13. [2,7] 14.3215. 16.45三、解答题17.解：（1）由题意可得12111767352(4)()(10)a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩，即121352a d d a d +=⎧⎨=⎩. 又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩.所以1n a n =+.（2）因为111(1)(2)n n a a n n +=++1112n n =-++，所以11112334n T =-+-1112n n +⋅⋅⋅+-++11222(2)n n n =-=++. 因为存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使得22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++，114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）， 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞. 18.解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：1240024020⨯=人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.由题意可得4448(0)C P X C ==170=；134448(1)C C P X C ==1687035==；224448(2)C C P X C ==36187035==； 314448(3)C C P X C ==1687035==； 4448(4)C P X C ==170=. 所以随机变量X 的分布列为∴均值017070EX =⨯+⨯237070+⨯+⨯4270+⨯=. （3）由折线图可得2212s s >.19.解：（1）E 为PD 的中点，证明如下：连接OE ，因为//PB 平面AEC ，平面PBD I 平面AEC OE =，PB⊄平面AEC ，所以//OE PB ，又O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点.（2）连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC =.因为PA PC =，所以PO AC ⊥.同理，得PO BD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OP 为z 轴，过O 平行于AD 的直线为x 轴，过O 平行于CD 的直线为y 轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知1(,,0)22A-，1(,22B ，1(,22C -，1(,22D --，1(0,0,)2P ，11(,)444E --， 则11(,)44EA=-u u u r，1(,2OA =u u u r . 显然，OP uuu r 是平面ACD 的一个法向量.设1(,,)n x y z =ur是平面ACE 的一个法向量，则1100n EA n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即1104441022x y z x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取1y =， 则1n =u r，所以1cos ,n OP <>u r u u u r 11n OP n OP⋅=u r u u u ru r u u u r 11=， 所以二面角E AC D --.20.（1）221(0)3x y x +=≠；（2）①S 的最小值的32，②直线MN恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 试题解析：（1）∵2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r，∴由①知2PC PO =-u u u r u u u r，∴P 为ABC ∆的重心. 设(,)A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，由②知Q 是ABC ∆的外心， ∴Q 在x 轴上由③知,03x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QC QA =u u u r u u u r=221(0)3x y x +=≠. （2）解：F 恰为2213x y +=的右焦点， ①当直线1l ，2l 的斜率存且不为0时，设直线1l的方程为my x =-由22330my x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22(3)10m y ⇒++-=，设111(,)A x y ，122(,)B x y，则12y y +=，12213y y m -=+，①根据焦半径公式得1112)A B x x =+，又1212x x my my +=12()m y y =++==，所以1123A B m =+=22221113m A B m ⎫+⎪⎝⎭=+221)31m m +=+， 则2222(1)6(3)(31)m S m m +=++2222(1)64(1)2m m +≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭32=， 当22331m m +=+，即1m =±时取等号.②根据中点坐标公式得22,33M m m ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭，同理可求得222,3131N m m ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭，则直线MN的斜率为MNk -=243(1)m m =-， ∴直线MN的方程为y2243(1)3m x m m ⎛⎫=- ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理化简得()4334ym x m +()263490ym x m y ++-=， 令0y =，解得4x =∴直线MN恒过定点4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.②当直线1l ，2l 有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN 即为x轴，过点⎫⎪⎪⎝⎭. 综上，S 的最小值的32，直线MN恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 21.（1）当1a =时，ln(1)()1x f x x +=+则(0)0f =，21ln(1)'()(1)x f x x -+=+则'(0)1f =，∴函数()y f x =的图象在0x =时的切线方程为y x =.（2）∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴10ax +=在(0,1)上无解， 当0a ≥时，10ax +=在(0,1)上无解满足，当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①21ln(1)1'()(1)ax a x x f x ax +-++=+， ∵函数()f x 在(0,1)上单调递增，∴'()0f x ≥在(0,1)上恒成立， 即[](1)ln(1)1a x x x ++-≤在(0,1)上恒成立. 设()(1)ln(1)x x x ϕ=++'()ln(1)(1)x x x x ϕ-=+++11ln(1)1x x ⋅-=++， ∵(0,1)x ∈，∴'()0x ϕ>，则()x ϕ在(0,1)上单调递增， ∴()x ϕ在(0,1)上的值域为(0,2ln 21)-. ∴1(1)ln(1)a x x x ≤++-在(0,1)上恒成立，则12ln 21a ≤-②综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln 21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦. （3）由（2）知，当1a =-时，ln(1)()1x f x x+=-在(0,1)上单调递增，于是当103x <≤时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≤=， 当113x ≤<时，ln(1)()1x f x x +=-134()ln 323f ≥=， ∴(31)()x f x -34(31)ln 23x ≥-⋅，即(31)ln(1)1x x x -+-33(31)ln 24x ≤-⋅， 同理有(31)ln(1)1y y y -+-33(31)ln 24y ≤-⋅，(31)ln(z 1)1z z -+-33(31)ln 24z ≤-⋅，三式相加得(31)ln(1)1x x x -+-(31)ln(1)1y y y -++-(31)ln(z 1)01z z -++≤-.22.解：（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，∴4cos 3sin 24ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=.曲线2C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴221x y +=，故2C 的普通方程为221x y +=.（2）将曲线2C经过伸缩变换''2x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C 的方程为22''184x y +=，则曲线3C的参数方程为y 2sin x αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin N αα，则点N 到曲线1C的距离为d==24)5αϕ-+=(tan 3ϕ=.当()sin 1αϕ+=时，dMN23.解：（1）当1a =时，等式()2f x >，即2112x x --+>，等价于11212x x x <-⎧⎨-++>⎩或1121212x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--->⎩或122112x x x ⎧>⎪⎨⎪--->⎩， 解得23x <-或4x >， 所以原不等式的解集为2(,)(4,)3-∞-+∞U ；（2）设()()1g x f x x x =+-+2x a x =-+，则,2()3,2a a x x f x a x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()f x 在(,)2a -∞上是减函数，在(,)2a +∞上是增函数， ∴当2a x =时，()f x 取最小值且最小值为()22a a f =， ∴2122a a >-，解得112a -<<，∴实数a 的取值范围为1(,1)2-.。
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的 体 积 问 题 ，其 核 心 过 程 为 ：如 图 ２，正 方 体
为 （ ）。
俯 视 图
Ａ ．４
Ｂ ．
图 １
ｃ ．
Ｄ ．６ ７ｃ
ｆｚ— ＋ ２≥ Ｏ， ｓ．已 知 实 数 ，Ｙ 满 足 ｚ＋ ｙ≥ ｏ， 若
【５ｃｃ— ｙ一 ６≤ Ｏ。
— ｚ＋ ｍ ｙ 的 最 小 值 是 一 ５，则 实 数 研 的 取
题 都 是 真 命 题 ，那 么 Ｄ 在
。
—
—
１４．在 △ Ａ ｌ Ｂｃ 中 ，内 角 Ａ ，Ｂ ，Ｃ 的 对 边 分
一
拒
寤
④
“，三
ｓ～ｉｎ Ｃ
围是—— 。
１５．已 知 函 数 ｆ （ｚ）一 ２：ｃ－１＋
图ｓ
ｃＯｓ（ｚ一 ），则 ＿厂（ ）的值为
～
２ ｏ
Ｒ
一 ２ ０
Ａ．
孚 Ｂ．， ／ｇ ｃ ．
Ｄ．
Ｃ ．ｓｉｎ（ＣＯＳ ０）＜ ＣＯＳ（ｓｉｎ ０）＜ ＣＯＳ ０
８．我 国 古 代 数 学 家 祖 叶亘是 著 名 数 学 家 祖
Ｄ ．ｓｉｎ（ｓｉｎ ０）＜ ＣＯＳ ＜ ＣＯＳ（ＣＯＳ ０）
冲 之 之 子 ，祖 叶亘原 理 叙 述 道 ：“夫 叠 棋 成 立 积 ，
。
ｌ６．已 知 ， 是 非 零 的 不 共 线 的 向
‘
Ｕ‘丽
量
。
设 一圭
＋
。定义点集
，ｏ≤ ｔ＝ 三≤ １＞，现向该区域内任意掷点，则该 Ｍ一｛１ Ｋ ｛ｉ孥— 一 一 Ｉ７ ‘Ｋ，’Ａ，’ Ｂ
点 落 在 曲 线 — ｓｉｎ。 下 方 的 概 率 是 （ ）。
合 ｃ 使 得 Ａ ｃ ，Ｂ Ｃ ，ｃ”是 “Ａ ｎ Ｂ 一 ” 不 同 的 用 车 方 案 种 数 为 （ ）。
的 （ ）。
Ａ ．５
Ｂ ．６４
Ｃ ．３２
Ｄ ．２４
Ａ．充 分 而 不 必 要 条 件 Ｂ．充 要 条 件 Ｃ．必 要 而 不 充 分 条 件
７．已 知 Ａ ，Ｂ ，Ｐ 是 双 曲 线 ～ ：：：１ 上 不 同 的 三 点 ，且 Ａ ，Ｂ 连 线 经 过 坐 标 原 点 ，若
口 口 ４．如 图 １是 某 多 面 体
的 三 视 图 ，其 中 正 视 图 的 长 为 ８，高 为 １０，侧 视 图 的 宽
缘 幂 势 既 同 ，则 积 不 容 异 。”意 思 是 ：夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间 的 两 个 几 何 体 被 平 行 于 这 两 个 平 行 平 面 的 任 意 平 面 所 截 ，如 果 截 得 的 两 个
高 考 命 题 新 动 向 高 考数 学 ２０１８年 ７— ８月
■ 河 南省扶 沟县 高级 中学 张 明 印
一 选 、 择 题 ：本 题 共 １２ 小 题 ，每 小 题 ５ 分 ，共 ６０分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。
Ｄ．既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
直 线 ＰＡ ，ＰＢ 的 斜 率 乘 积 ｋ ｎ ·ｋ 一 ÷ ，则
３．对任意的ＯＥ（０，号）都有（ ）。
该 双 曲 线 的 离 心 率 为 （ ）。
Ａ ．ｓｉｎ（ＣＯＳ ０）＜ ＣＯＳ ＜ ＣＯＳ（ｓｉｎ ０） Ｂ ．ｓｉｎ（ｓｉｎ ０）＞ ＣＯＳ ０＞ ＣＯＳ（ＣＯＳ ０）
２９
喜茎塞霉新动 ２０向 １８年 一。月
（在 高 度 ｈ 处 的 截 面 ：用 平 行 于 正 方 体 上 下 底 面 的 平 面 去 截 ，记 截 得 两 圆 柱 体 公 共 部 分 所 得 面 积 为 Ｓ ，截 得 正 方 体 所 得 面 积 为 ｓ。，截 得 锥 体 所 得 面 积 为 Ｓ。，Ｓ 一 Ｒ 一 ｈ ， ｓ，一 Ｒ ｓ 一 Ｓ 一 Ｓ。）
９ ：３
１．设 复 数 ． ｚ一 （ｉ为 虚 数 单 位 ），则
ｃ．｛一４，一 ７｝ Ｄ．（一４，一 ７，ｅ｝
６．甲 与 其 四 位 同 事 各 有 一 辆 私 家 车 ，车 牌 尾 数 分 别 是 ０，０，２，１，５，为 遵 守 当 地 某 月 ５ 日 至 ９ 日 ５天 的 限 行 规 定 （奇 数 日 车 牌 尾 数
Ａ．萼 Ｂ等 ｃ．８ 。
９．执 行 如 图 ３ 所 示 的 程 序 框 图 ，则 输 出 的 结 果 为 （
１３．高 三 某 班 有 Ａ ，Ｂ ，ｃ，Ｄ 四 位 同 学 在 周 五 下 午 参 加 课 外 活 动 ，在 课 外 活 动 中 ，有 一 人 在 打 篮 球 ，有 一 人 在 画 画 ，有 一 人 在 跳 舞 ，另 外 一 人 在 散 步 。 ① Ａ 不 在 散 步 ，也 不 在 打 篮 球 ；② Ｂ 不 在 跳 舞 ，也 不 在 散 步 ；③ “ｃ 在 散 步 ”是 “Ａ 在 源自的 虚 部 为 （ ）。
为 奇 数 的 车 通 行 ，偶 数 日 车 牌 尾 数 为 偶 数 的
Ａ ．ｉ Ｂ ．～ ｉ
Ｃ．一 １ Ｄ ．１
车 通 行 ），五 人 商 议 拼 车 出 行 ，每 天 任 选 一 辆
２．设 ｕ 为 全 集 ，Ａ ，Ｂ 是 集 合 ，则 “存 在 集 符 合 规 定 的 车 ，但 甲 的 车 最 多 只 能 用 一 天 ，则
为 ６，俯 视 图 是 直 角 ｊ 角 正 视 图 侧 视 图 截 面 面 积 总 相 等 ，那 么 这 两 个 几 何 体 的 体 积
形 ，该 多 面 体 内 有 一 个 体 积
相 等 。 其 最 著 名 之 处 是 解 决 了 “牟 合 方 盖 ”中
为 Ｖ 的 球 ，则 Ｖ 的 最 大 值
值 集 合 是 （ ）。
Ａ．｛一４，６｝
Ｂ． Ｉ ；４ ，６ｊＩ
图 ２
ＡＢｃＤ —Ａ 。Ｂ ｃ Ｄ ，求 图 中 四 分 之 一 圆 柱 体 ＢＢ Ｃ 一ＡＡ Ｄ 。和 四 分 之 一 圆 柱 体 ＡＡ Ｂ 一 ＤＤ Ｃ 公 共 部 分 的 体 积 Ｖ ，若 图 中 正 方 体 的 棱 长 为 ２，则 一 （ ）。