平面的基本性质
立体几何平面的基本性质
一、知识点:1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法)A a A a ∈点A 在直线a 上 a αa α⊂ 直线a 在平面α内 A a A a ∉点A 不在直线a 上 a αa α=∅I 直线a 与平面α无公共点AαA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点AA αA α∉点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点l αβ=I 平面α、β相交于直线lα⊄a (平面α外的直线a )表示a α=∅I (a αP )或a A α=I4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面BA α推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈ 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”就是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”与“唯一性”两方面来论证. 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形 6公理的推论:推论1 经过一条直线与直线外的一点有且只有一个平面、推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:P b a =I ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂二、基本题型:1 下面就是一些命题的叙述语,其中命题与叙述方法都正确的就是( )A.∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB .B.∵βα∈∈a a ,,∴a =βαI .C.∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈.D.∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A .2.下列推断中,错误的就是( )A.ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, C.βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A,B,C 不共线βα,⇒重合B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D.αα∉⇒∈⊄A l A l ,3.两个平面把空间最多分成___ 部分,三个平面把空间最多分成__部分.4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )(3)两条直线可以确定一个平面( )(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( )(5)两条相交直线可以确定一个平面( )(6)三条平行直线可以确定三个平面( )(7)一条直线与一个点可以确定一个平面( )(8)两两相交的三条直线确定一个平面( )5.瞧图填空 (1)AC ∩BD = (4)平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =(2)平面AB 1∩平面A 1C 1= (5)平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =(3)平面A 1C 1CA ∩平面AC = (6)A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6.选择题(1)下列图形中不一定就是平面图形的就是 ( )A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形O 11D 1B C 1O D B A(2)空间四条直线每两条都相交,最多可以确定平面的个数就是( )A 1个 B 4个C 6个 D 8个(3)空间四点中,无三点共线就是四点共面的 ( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要7.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面、 答案:1、 C 2、 D 3、 2,4,8 4、 ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×5、⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 16、 答案:⑴ D ⑵ C ⑶ D7、 证明:因为a //b ,由推论3,存在平面α,使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理1,d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂:假设c α⊄,则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ,因为b //c,则c c 'P ,此与c c C '=I 矛盾、故直线c α⊂、综上述,a 、b 、c 、d 四线共面、。
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
平面的基本性质与推论
如果点A , 点B , 那么直线AB
C 练习1、下列说法正确的是_____
A:任何三点不一定都在同一平面内 B:平面与平面可以只有唯一的一个公共点 C:若点A∈平面α,点A∈平面β,点B∈平 面α,点B∈平面β,则α∩β=AB D: 若A∈平面α,B∈平面α,C∈平面α, 则α是唯一确定的
点A在平面内，记作 A 点A不在平面内，记作 A
直线l在平面内，记作 l 直线l不在平面内，记作 l 平面与平面相交于直线a, 记作 a 直线l和直线m相交于点A, 记作 l m A 简记作l m A
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
不共线的三点确定一个平面。
R
平面ABC α
A Q P C
B
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 两个平面相交 两个平面的交线 注意：
α β
P
a
2.平面的基本性质的推论： 推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一
个平面.
B A C
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
1.平面的基本性质：
点和直线的基本性质： （1）连接两点的线中，线段最短 （2）过两点有一条直线，并且只有一条直线。 基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 直线在平面内 或平面经过直线 B
A α 作用:可以判断一条直线是否在一个平面内。
基本性质2：经过不在同一直线的三点有且只有 一个平面。
A B C
推论3:经过两条平行直论：
已知两条直线相交，过其中任意一条直线上 的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否 都共面？ A
平面的基本性质3
公理1
平面的基本性质
平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内．
A
B
A l , B l , A , B l
公理2
平面的基本性质
平面的基本性质
公理2 如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，且所有这些公 共点的集合是一条过这个公共点的直线．
(3) A1B1
(4)
A1 B1 （6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD= oo1
_ (5) A1B1 __ , A1B1
BB1
D1 O1
C1
练习
平面的基本性质
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形． B (1) A , B P (2)l , m
平 面
第一课时
平面的概念
平面的基本性质
平面的基本性质
平面的特征：
(1) 平展性 (2) 无限延展性 (3) 没有厚度 平面的画法： 通常用平行四边形来表示平面。 平面的表示：
(3)
有时也可以用其他平面图形来表示
平面的基本性质
平面的表示： (1) 用希腊字母αβγ来表示，如平面α (2) 用表示多边形的各顶点字母来表示， (3)用表示多边形的对角线字母来表示Leabharlann lP
P l且P l
练习
平面的基本性质
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B , B1C ，分别记作、、 ，试用适当的符号填 空．
(1) A1 _, (2) B1 _,
A _ D D _ A
O B
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
9.1.1平面的基本性质
练习 下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面
重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m；
(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1.常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的 一个角上，如平面α、平面β等 2.用代表平面的四边形的四个顶点 3.用相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称
数学中的“平面”是指光滑并且可以无限延展的图形
思考:将一条直线向两端无限伸展得到 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 田径场地面向四周无限伸展得到的图形 是什么？ 直线是否有长短、粗细之分？平面 是否有大小、厚薄之别？
平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄 不是凹凸不平 没有边界 无所谓面积 没有体积
D A
C B
记作：平面 平面 ABCD 平面 AC 或平面 BD
动脑思考
探索新知
当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°， 横边画成邻边的2倍长． 当平面竖直放置的时候，通常把平面画成矩形．
D
C
A
B
巩固知识
典型例题
例1 表示出正方体 ABCD A1B1C1D 1 （如图）的 6个面． 解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面 A1C1、
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
文字语言：
基本性质3 图像语言：
存在性
唯一性
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
B
A
C
符号语言： A, B, C三点不共线 有且只有一个平面
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三 点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
平面及其基本性质
向量数量积运算规则
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
数量积运算规则
数量积满足交换律、分配律和结合律，且数量积的结果与两向量的夹角有关，当两向量垂直时数量积为零。
平面上标系建立与特点
直角坐标系的建立
在平面上选定两条互相垂直的数轴，分别作为x轴和y轴，两轴的交点O为坐标原点。对于平面上的任 意一点P，其位置可以用从O点到P点的有向线段的数量来表示，该数量即为点P的坐标。
VS
极坐标系的特点
极坐标系在处理某些问题时具有独特的优 势，如描述圆的方程、研究点的轨迹等。 在极坐标系中，点的位置由其到极点的距 离和与极轴的夹角确定，这种表示方式在 某些情况下比直角坐标系更为简便。
坐标变换公式及应用
坐标变换公式
在平面上的不同坐标系之间，可以通过一定 的数学公式进行坐标的转换。例如，在直角 坐标系和极坐标系之间，点的坐标可以通过 以下公式进行转换：x = rcosθ, y = rsinθ, r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)。
向量表示方法
在平面直角坐标系中，向量可以用坐 标形式表示，起点为坐标原点，终点 坐标即为向量坐标。
向量加减法运算规则
向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，结果向量以两 个加向量为邻边作平行四边形，其对角线即为和向量。
向量减法
向量减法可以转化为向量加法来处理，即减去一个向量相当 于加上这个向量的相反向量。
圆及其性质
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形。
圆的性质
圆的任意一条直径所在的直线都是圆 的对称轴；圆的周长与直径的比值是 一个常数，称为圆周率；圆内接四边 形的对角互补，外角等于它的内对角 。
43平面的基本性质
∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA三线共点． ∴P∈直线 DA.∴CE、D1 F、DA 三线共点． ∴P∈直线 A1＝DA， 1 ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点． D∩平面 ADD1DA.∴CE、D11F、DA 三线共点．
DA.∴CE、D1F、DA 三线共点．
变式训练 1
如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD ∥ 1AD，BE 1FA，G、H 分别为 FA、FD // ＝∠FAB＝90° ，BC 2 2 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
∴CE 与与DD1必相交，设交点为P，P， ∴CE 与 F 1 必相交，设交点为 P， ∴CE D ， ∴CE 与 111 11 F 必相交，设交点为 D1，EF<CDDFF 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD. 则由 P∈CE，CE⊂平面 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD. F 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得P∈平面 ABCD. 必相交，设交点为 P， ABCD，得 P∈平面 ABCD.
a
b
c
a // b a // c c // b
(3)等角定理 对应平行 空间中如果两个角的两边分别___________,那 么这两个角相等或互补．
要点梳理
2.空间两直线的位置关系 (4)异面直线所成的角 b
b
O
b
α a
O
a
α
a a
①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一点O 锐角或直角 作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的___________叫做异 面直线a, b所成的角(或夹角).
平面的基本性质：三个公理,三个推论.
资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。
1.2.1 平面的基本性质与推论
张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。
第1讲平面及其基本性质讲义
平面及其基本性质知识点1 平面的概念平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）。
平面的表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。
平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。
一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．知识点3 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：符号语言：P ∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .知识点4 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.（证明见课本）指出：推论1的符号语言：A a ∉⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线有且只有一个平面三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.基础练习：一、选择题：1.下面给出四个命题: ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m 2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( )A. 0B.1C.2D.32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ） Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α∈⊂a3.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;,Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=ABＣ.αα∉⇒∈⊄A A ,Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合4. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定5. 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）Ａ. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线C. AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行D. 直线AB 与CD 必相交6. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）A. 4或6或7个部分B. 4或6或7或8个部分C. 4或7或8个部分D. 6或7或8个部分7．下列说法正确的是( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③8．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）A. 1B.１或３C. １或２或3D.１或 4二、填空题：9．水平放置的平面用平行四边形表示时，通常把横边画成邻边的___________倍.10．设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直线AB β⋂=_____________.11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .12．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上.三、解答题：13．判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线.14．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O. 求证：B、D、O三点共线.15．证明梯形是平面图形。
立体几何常见结论
立体几何常见结论1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）。
证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2。
空间直线。
(1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线:共面没有公共点;异面直线：不同在任一平面内,无公共点［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等。
（×)（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
(不在任何一个平面内的两条直线）（2). 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如右图）。
(直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离:公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交(共面）垂直和异面垂直.[注］：21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内。
平面的基本性质共点共线共面
4，6或7 ，8 三个平面呢?_________________ 。
看看答案吧
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时 （2）、每2条直线确定一平面时
已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点 求证:a 、 b 、 c 、 d在同一平面内
分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种： 一是有三条直线共点； 二是没有三条直线共点， 故证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、 c相交于点O． 求证：a、b、c、d共面． 证明：∵d∩a＝P， ∴过d、a确定一个平面α（推论2）． 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c， ∴O∈α，O∈β，O∈γ． ∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面． 注：本题的方法是“同一法”．
平面的基本性质— 共点共线共面
知识回顾
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其 他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公 共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一 个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有 一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
P P 平面ABC
同理Q、R也为公共点 所以P、Q、R共线
P
P 平面ABC
R
Q
3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点, 平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 的交点 P A (2)求证:D,E,P三点共线.
2.1.2平面的基本性质
文字语言： 文字语言： 公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点， 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面. 有且只有一个平面 图形语言： 图形语言： A 符号语言： 符号语言： B C 公理 2mpeg.avi
A, B,C三 不 线 有 只 一 平 α 点 共 ⇒ 且 有 个 面 A 使 ∈α, B∈α,C∈α 公理2是确定一个平面的依据 是确定一个平面的依据. 公理 是确定一个平面的依据
⇒l ⊂α A ∈α , B ∈α
公理1是判定直线是否在平面内的依据 公理 是判定直线是否在平面内的依据. 是判定直线是否在平面内的依据
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论?
B A C A
B C
公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点，有且只有 过不在同一直线上的三点 一个平面. 一个平面
D)
3.填空题 填空题: 填空题 三条直线相交于一点， 三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，可以确定的平面数是 定平面，可以确定的平面数是_______; 四条直线过同一点， 四条直线过同一点，过每两条直线作一 个平面，则可以作 个平面，则可以作_____________个不同 个不同 的平面 .
文字语言： 文字语言： 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么这两个平面有且只有一条过该点的公共 直线. 直线 图形语言： 图形语言： 符号语言： 符号语言：
β
α
P
l 公理 3 β ⇒ P ∈l
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论? 天花板α 天花板α 墙面γ 墙面β
平面的基本性质.ppt
于是可得到 M∈面 ABD∩面 BCD＝BD. 即点 M 在直线 BD 上。
有关共面、共线、共点问题的证明方法 1．证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个 平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素 确定若干个平面，再证明这些平面重合． 2．证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，先考虑两个平面的交线，再证有关 的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再 证明其他点也在这条直线上． 3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第 三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上的问题． 而 这条直线往往归结为平面与平面的交线．
A, B, C三点不共线
B A
C
有且只有一个平面，使A , B , C
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线。 符号语言：
P P
l且P l
四、跟踪训练 巩固新知
问题4：（教材 P38—3）一扇门，可以想象成平面 的一部分，通常用两个合页把它固定在门框的一 边上，当门不锁上的时候，可以自由转动，如果 门锁上，则门就固定在墙面上，这个事实说明平 面具有哪条基本性质?
五、小结归纳 布置作业
课堂小结：
1、平面的基本性质、推论及应用：
2、有关共面、共线、共点问题的证明方法
作业： 1、教材P38----A组、 B组 2、学案
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上所有的点都在这个平面内. B A A 符号语言： 直线 AB B 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：
4、（教材P37——思考与讨论变式）
平面的基本性质共点共线共面
“共点”、“共线”、 “共面” 问题 １、理论依据：
(1)公理1： 判断或证明直线是否在平面内 确定两个平面的交线， (2)公理2： 判定两平面相交 （“点共线”，“线共 点”） (3)公理3, 推论 1、2、3: 确定平面 证点、线共面的依据， 也是作辅助面的依据 ２、反证法
点共面、线共面、三点共线、三线共点 问题的一般方法．
例、两个平面两两相交，有三条交线，若其中两
条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c ＝p． 求证：p∈a． 证明：∵b∩c＝p， ∴p∈b． ∵β∩γ＝b， ∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a， ∴个。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面 个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
求证：直线AB和CD既不相交也不平行.
A
反证法
D B C
小结
１、要证“点共面” 、“线共面”可 先由部分点、直线确定一平面，在证 其余点、直线也在此平面内， 即纳入法 ２、反证法的应用的意识
1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列 结论成立的是（ ） A．四点中必有三点共线． B．四点中有三点不共线． C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条 平行． D．直线AB与CD必相交．
例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别
是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且 DG:DC=DH:DA=1:m(m>2) 求证：直线EH与FG,BD相交于一点
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空间四点中，三点共线是这四个点共面的(
)
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分条件，也非必要条件
（1）已知直线l 和 l 外一点A，那么连结A和 l 上 任一点的直线都在点A和 l 确定的平面内。
（2）一个角一定是平面图形。
2、为什么说平行四边形和梯形是平面图形？
例题讲解
例．两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面 内。
练习一:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
①AA1与CC1是否在同一平面内？
ห้องสมุดไป่ตู้
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面
符号语言 A L, 有且只有一个平面, 使得A L, L :
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
练习： 1、下面的说法正确吗？说明理由
已知:直线L,点A是直线L外一点. 求证：过点A和直线L有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
已知:直线a,b相交于点C. 求证:过直线a,b有且只有一个平面
证明: (存在性)在a、b上分别取不同于点C的点A和点B， 点A，B，C是不在同一条直线上的三点 由公理3，过A、B、C三点有一个平面α ， ∵a、b各有两点在平面α 内， ∴直线a、b在α 内， ∴过直线a、b有平面α 。 (唯一性) ∵点A、B、C分别在直线a、b上， ∴它们在过a、b的平面内。 由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个， ∴过直线a、b的平面只有一个。
②点B,C1,D是否在同一平面内？
③画出平面ACD1与平面BDC1的交线, D1 并说明理由.
A1 B1
D A B
C1
C
练习二:
1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的 个数是（ D ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 2.空间四点中，三点共线是这四个点共面的( A ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件 3、三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面， 一共可以确定几个平面？ 4.怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端 是否共面？
怎样用两根拉紧的细 线来检验桌子的四条 腿的底端是否共面？
【小结】
1.公理3的三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.公理3及其三个推论的作用是确定平面 3.证明若干个点、线共面的方法． (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平 面内)
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有 且只有一个平面
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
经过一条直线和这条直线外的一点，能否确定一个平面 ?
推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一 个平面
符号语言 A L, 有且只有一个平面, : 使得A L, L
平面的基本性质 (二)
复习回顾
公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面 内．
A l , B l , A , B l
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还 有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线。
1、一条直线和两条平行直线都 相交，求证这三条直线共面.
2、<数学之友>P151
三条直线两两相交，由这三条直线所确 定平面的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A.三个点 B.两条不重合的直线
看一看
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线