平面的基本性质练习题
近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1平面的基本性质及推论习题苏教版必修2(
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平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。
（福州检测）下列说法正确的是________。
①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。
(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。
（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。
（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。
（把正确图形的序号都填上）＊＊6。
（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。
证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。
平面的基本性质
三、平面的基本性质：
公理1 : 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条
直线上所有点都在这个平面内
A l, B l, A , B l
A•
•B
l
想一想：这个公理有什么作用？
1.检验物体的表面是否平整 2.判断一条直线是否在一个平面内
3.判断点是否在一个平面内
P l且P l
•A
B•
•C
想一想：哪些现象可以用来说明公理3？
1、三脚的板凳才能坐稳！ 2、两块合铁和一把锁才能固定门！ 3、照相机的支架是三条腿！
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B, BC1 ，分别记作、、 ，试用适当的符号填 空．
小结：
1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质（三个公理）及其作用。
作业：
预习公理的推论1、2、3
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敢咯 那 那时候别早咯 奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意 壹听到她那那后半句话 气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后 壹直在 搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别 既别能太伤她の心 又能够安然脱身 结果还别等他想出法子来呢 那各可恶の菊香 竟然是哪壶别开提哪壶 直接就要来服侍 他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷 第899章 清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜 被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒 也睡别着咯 打算回去看看书 您家主子还病着 爷看书会影响她养病 那 爷那就走咯 服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏 最终还是没能将 他留下 淑清本就是在病中 再见他竟是那般绝情 别禁悲从心来 壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话 只是用壹双眼睛泪汪 汪地望向他 见病中の淑清如此楚楚可怜の样子 就那么走开实在是太过残忍 于是 狠别下心来の他只好又坐回床侧 替她掖咯掖被角 好言相劝道：“别哭咯 那还病着呢 又得 哭坏咯身子！就是有些风寒 没什么啥啊大碍 好好养着 按时喝药 另外 现在天凉咯 别总去院子里 有啥啊事情让菊香去做 爷要是过来 自会让秦顺儿传话 您那么去等 能等 来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷 妾身就是忍别住想去看看 都快壹各月没什么见到您咯 那心里实在是别踏实 ”“您の心思 爷自然晓得 只是……”只是啥啊呢？他别 想让淑清更伤心 没什么说出口 于是他就那么靠在床边 陪着淑清 而淑清因为本身就在病中 又喝咯药 经过壹晚上の折腾 终于体力渐渐别支 耗咯将近壹各时辰 也就渐渐地 睡咯下去 见淑清终于睡安稳咯 他才如释重负般地悄悄起身 出咯烟雨园 他犹豫咯壹下 回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠 她の睡眠壹直很差 睡眠别 好就导致精神差 所以身子才会那么赢弱 形成咯壹各恶性循环の老大难问题 可是回朗吟阁の话 他是跳进黄河也洗别清咯 他可以指天发誓 秦顺儿可以亲口作证 但是水清完 全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁 她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道 她有の时候极明事理 以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群 可是有些时候 她竟 然也会蛮别讲理 与壹般妇人别无两样 特别是对待他の那些诸人们の时候 在他用“燕子诗”向她真情告白时候 她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他 让他陷入百口莫辩 の被动局面 虽然事后他别停地向她解释 啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会 最后将她逼急咯 竟然给他来咯壹各“息燕归檐静 飞花 落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗 终是没什么挽回她の心 那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名 就敢蛮别讲理 胡搅蛮缠 而现在 已经有咯菊香那各确凿の人证物证 他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷 第900章 温暖 在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下 他终 于选择咯回怡然居 他怕她又从他の掌心逃跑咯 以前她の每壹次逃跑 都是他姑息纵容の结果 也是担心将她逼得太紧咯 原本他在水清心目中の形象就别佳 若是追她追得太紧 再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名 更是要弄巧成拙 导致两各人关系更加恶化 无可奈何之下 每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走 任由她绝决地离去 却是 壹丁点儿都别敢对她用强 当然 除咯在香山 那壹次 他是真真地被她气着咯 第壹次对她动用咯武力 而现在 当他品尝到如此甜美の爱情之后 再也别想将风筝の线放得太长 他怕自己手中の那根线 禁别住狂风暴雨の袭击而折断 徒留追悔莫及 虽然只是短短の十三天 却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉 从前 诸人对他而言只是诸人 而现在 他既将水清当作自己の诸人 更将
2014年职高数学第一轮复习 平面的概念及基本性质
三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
已知： c， a，
b， a b O
求证：O c
c
O
证明：
a
b
O b，b ， O O a，a ， O
O在与的交线上，
O c 又 c，
练.判断下列命题是否正确： （1）经过三点确定一个平面。 （×） （2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α. （×） （4）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。（×）
o
o
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EБайду номын сангаас ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
直线 直线 直线
C
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考:
这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
平面几何练习题及解答
平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。
而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。
因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。
由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。
2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。
已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。
二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。
解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。
解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三 点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
三课时上课用时公理,及推论的证明题平面的基本性质(习题课)课件
a b M , a c N, a d P,b c Q,b d S,c d R
a bM a，b可确定一个平面
N a,Q b
N ,Q NQ 即 c
同理：ad， b，c，d共面.
变式2
如图2所示已知a，b，c，d是两两相交且 不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共 面.
C
A1 D1
A
D
∴由推论 3 可知， AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 ，
AA CC ∴ 与 在同一平面内
1
1
新疆 王新敞
奎屯
口答
B1 C1
A1 D1
点 B，C1，D是否在同一平面内？
B
A
C
D
解：∵ 点 B C1D 不共线，
由公理
可知，点
B,,C 1
D
可确定平面
BC 1
D
，
B,C , D ∴点
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 课时小结 ❖ 1、数学知识：
（1）平面的定义 （2）平面的表示方法 （3）平面的基本性质 ❖ 2、数学思想方法：
平面基本性质习题
平⾯基本性质习题平⾯的基本性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____⼀、选择题(共18题，题分合计90分)1.公理1⽤符号表⽰，正确的是A.A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ∈αB.A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ?αC.A ∈a ,B ∈a ,则a ?αD.A ∈α,B ∈α,则a ?α2.设有如下三个命题:甲:相交的直线l ,m 都在平⾯α内,并且都不在平⾯β内; ⼄:直线l ,m 中⾄少有⼀条与平⾯β相交;丙:平⾯α与平⾯β相交. 当甲成⽴时A.⼄是丙的充分⽽不必要条件B.⼄是丙的必要⽽不充分条件C.⼄是丙的充分且必要条件D.⼄既不是丙的充分条件⼜不是丙的必要条件3.已知平⾯α与平⾯β相交,a 是α内的⼀条直线,则A.在β内必存在与a 平⾏的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线 C.在β内必不存在与a 平⾏的直线 D.在β内不⼀定存在与a 垂直的直线4."三条直线a，b，c两两相交于不同三点A?B?C"是"这三条直线a，b，c共⾯"的A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在空间中,下列命题正确的是A.三点确定⼀个平⾯B.四边形⼀定是平⾯图形C.三条平⾏的直线共⾯D.梯形是平⾯图形6.a,b,c是空间三条直线，有下⾯4个命题：①如果a⊥b,b⊥c,则a∥c;②如果a、b是异⾯直线，b、c是异⾯直线，则a、c也是异⾯直线；③如果a和b相交,b和c相交，则a与c也相交；④如果a和b共⾯，b和c共⾯，则a与c也共⾯.其中正确命题的个数是A.3B.2C.1D.07.有三点不在⼀条直线上的四个点，能确定平⾯的最多个数是A.⼀个B.四个C.六个D.⽆穷多个8.任意三点不在⼀条直线上的四个点，能确定平⾯的最多个数是A.⼀个B.四个C.六个D.⽆穷多个9.空间四点A、B、C、D共⾯但不共线，则下⾯结论成⽴的是A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平⾏D.直线AB与CD必相交10.给出下列四个命题：①空间四点共⾯，则其中必有三点共线②空间四点不共⾯，则其中任何三点不共线③空间四点中存在三点共线，则此四点共⾯④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共⾯其中正确的有()A.②和③B.①②③C.①和②D.②③④11.空间三个平⾯两两相交，那么A.不可能有且只有两条交线B.必相交于⼀点C.必相交于⼀条直线D.必相交于三条平⾏直线12.直线a、b、c两两平⾏，但不共⾯，经过其中2条直线的平⾯的个数为A.1个B.3个C.0个D.6个13.下⾯四个命题中，真命题的个数为①如果两个平⾯有三个公共点，那么这两个平⾯重合②两条直线可以确定⼀个平⾯③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l④空间中，相交于同⼀点的三直线在同⼀平⾯内A.1B.2C.3D.414.下列推理错误的是A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB.M∈α，M∈β，Ｎ∈α，Ｎ∈β?A∩β＝直线MNC.l?α，A∈l?A?αD.A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线?α与β重合α内，那么与此命题不等价的命题是15.已知命题，直线l上两点A、B在平⾯A.l?αB.平⾯α通过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内16.根据下列条件,画出图形(1)平⾯α∩平⾯β=l,直线AB?α,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,F?l(2)平⾯α∩平⾯β=a,△ABC的三个顶点满⾜条件,A∈a,B∈α,B?a,C∈β,C?a.17.下⾯的三个命题:①四边相等的四边形是菱形②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③若四边形有⼀组对⾓都是直⾓,则这四边形是圆的内接四边形其中正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.⼀个也不正确18.如图，ABCD-A1B1C1D1是长⽅体，O是B1D1的中点，直线A1C交平⾯AB1D1于点M，则下列结论错误的是A.A、M、O三点共线B.A、M、O、A1四点共⾯C.A、O、C、M四点共⾯D.B、B1、O、M四点共⾯⼆、填空题(共6题，题分合计24分)1.经过三点的平⾯的个数为___________个.β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝2.直线AB、AD ?α，直线CB、CD?M，则点M在______上.3.两两平⾏的三条直线，最多可以确定________个平⾯，⽽两两相交的三条直线最多可以确定_______个平⾯.4.已知α∩β＝l,m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系⽤相应的符号表⽰为________.5.顺次连结空间四边形的各边中点所得四边形是_________.6.⼀个平⾯把空间分成______部分，两个平⾯把空间分成____或____部分，三个平⾯把空间分成_____或_____或_____或_____部分.三、解答题(共21题，题分合计168分)1.正⽅体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，(1)画出过M、N、P三点的平⾯与平⾯A1B1C1D1的交线，以及与平⾯BB1C1C的交线.(2)设过M、N、P三点的平⾯与B1C1交于点Q，求PQ的长.2.求证空间四边形各中点的连线共⾯.3.如图，α∩β＝BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，若EF∩GH＝P，则P点必在直线BC上.4.过直线l 外⼀点P 引两条直线P A 、PB 和直线l 分别相交于A 、B 两点，求证：三条直线P A 、PB 、l 共⾯.5.已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同⼀平⾯内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平⾏.6.已知直线a 、b 、c 两两相交且不共⾯，求证：a 、b 、c 相交于⼀点.7.已知α∩β=a ,直线m ?α,n ?β,且a ∩m =M ,a ∩n =N ,M ?N 不重合,问m 与n 能否平⾏?证明你的结论? 8.如图,AD ∩平⾯α=B ,AE ∩平⾯α=C ,请画出直线DE 与平⾯α的交点P ,并指出点P 与直线BC 的位置关系.9.已知直线l 经过平⾯α外⼀点A ,求证:直线l 不在平⾯α内.10.空间四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 上各有⼀点P 、Q 、R 、S ，且直线PS 与QR 交于K ，求证：B 、D 、K 共线.11.已知ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点且32==CD CG CB CF ，求证：EF 、GH 、CA 共点.12.⼀条直线与三条平⾏直线都相交，求证：这四条直线共⾯.13.如图，△ABC 在平⾯α外，它的三边所在的直线分别交平⾯α于P 、Q 、R ，求证：P 、Ｑ、R 三点共线14.三个平⾯α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝A ，γ∩α＝b ，已知直线a 和b 不平⾏.求证：a 、b 、c 三条直线必过同⼀点.15.已知四条直线a 、b 、c 、d 两两相交，但四线不共点，求证：a 、b 、c 、d 共⾯.16.已知三个平⾯两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于⼀点或互相平⾏.17.如图，在棱长为a的正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1，D1C1的中点，过D、M、N三点的平⾯与正⽅体的下底⾯相交于直线l.(1)画出l的位置.(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长.(3)求D1到l的距离.18.如图，H是锐⾓△ABC的垂⼼，PH⊥平⾯ABC，若∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC＝90°19.PD垂直于□ABCD所在平⾯，PB⊥AC，且P A⊥AB.求证：(1)ABCD是正⽅形；(2)PC⊥BC.20.n条直线中的任意三条直线均共⾯，求证：这n条直线均在同⼀个平⾯内.21.如图，正⽅体的棱长为4cm，M、N分别是A1B1和CC1的中点.(1)画出过点D、M、N的平⾯与平⾯BB1C1C及平⾯AA1B1B的两条交线;(2)设过D、M、N三点的平⾯与B1C1交于P，求PM＋PN的值.平⾯的基本性质答案⼀、选择题(共18题，合计90分)1.6168答案：B2.5610答案：C3.5629答案：B4.5715答案：A5.5800答案：D6.5806答案：D7.6148答案：B8.6151答案：B9.6155答案：B10.6164答案：A11.6165答案：A12.6172答案：B13.6185答案：A14.6187答案：C15.6190答案：C16.6428答案：17.6489答案：D18.6169答案：D⼆、填空题(共6题，合计24分)1.6157答案：⼀或⽆数2.6173答案：BD3.6191答案：3,34.6195答案：P ∈l5.6488答案：平⾏四边形6.6194答案：2 3 4 4 6 7 8三、解答题(共21题，合计168分)1.6437答案：PQ ＝10342121=+Q B P B （cm ）2.6160答案：见注释3.6161答案：见注释4.6198答案：见注释5.6211答案：见注释6.6425答案：见注释7.6429答案：不平⾏8.6434答案：见注释9.6436答案：见注释 10.6176答案：见注释 11.6182答案：见注释 12.6199答案：见注释 13.6202答案：见注释 14.6203答案：见注释 15.6205答案：见注释 16.6208答案：见注释17.6212答案：(2)PB 1＝a －4a ＝a43.(3)D 1到l 的距离为17172a .18.6215答案：见注释 19.6216答案：见注释 20.6179答案：见注释21.6183答案：PM +PN =313210+。
14.1 平面及其基本性质
二、典型习题
（一）概念的辨析 1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm。（ ）
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分， 一个平面把空间分成两部分．
（）
(3)一个平面的面积为20 cm2．
（）
(4) 一条直线和任意一点确定一个平面
（）
2、在下列命题正确的是（
• 2、习题14.1A组1 习题14.1B组1，2
• 3、画一个正方体
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(2)l , m A
(3) l
思考题：
几位同学一次野炊活动，带去一张折叠方桌， 不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的 木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），
类比思考：
如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？
如图，把三角板的一个角立 在课桌面上，三角板所在的 平面与桌面所在的平面是否 只相交于一点B？为什么？
BB
两相交平面的公共部分的特点：有无穷多点， 而且是直线。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条经过这个点的公共直线．
P l, Pl
同理,P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.
题型： 证明多线共面
【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交 于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明. 要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直 线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.
高中数学例题：平面的基本性质的应用
高中数学例题：平面的基本性质的应用例4．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．求证：直线a、b、c、d共面．【解析】（1）无三线共点的情况．如右图所示，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=q，a∩c=R，b∩c=S．∵a∩d=M，∴a，d可确定一个平面α，∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ⊂α，即b⊂α．同理c⊂α．∴直线a、b、c、d共面．（2）有三线共点的情况．如右图所示，设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M，且K∉a．∵K∉a，∴A和a可确定一个平面，设为β．∵N∈a，a⊂β，∴N∈β，又K∈β，∴NK⊂β，即b⊂β．同理c⊂β，d⊂β，∴直线a、b、c、d共面．由（1）（2）知直线a、b、c、d共面．【总结升华】（1）要证明点线共面，一般是依据公理2及其推论，在这些点、线中取出能确定一个平面的相关元素，再证明其他的点、线也在这个平面内，也就是“纳入法”（或“拉人下水法”），即先确定一个平面，然后将其他元素纳入到这个平面之中．（2）在证明点、线共面时，除了上述纳入法外，也可以用下面方法来证明：①利用公理2及其推论直接证明；②重合法：先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，再证明两个平面重合．（3）在证明“线共点”时，一般是依题意，选择其中相交的两条直线，再证明其交点在第三条直线上，在选择时，应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线．从而转化为证明其交点分别在这两个平面内即可．举一反三：【变式1】 如右图，已知直线m 与直线a 、直线b 分别交于A 、B 且a ∥b ．求证：过a 、b 、m 有且只有一个平面．证明：∵a ∥b ，∴过a 、b 有一个平面α．又m ∩a=A ，m ∩b=B ，∴A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α． 又A ∈m ，B ∈m ，∴m ⊂α，即过a 、b 、m 有一个平面α． 假设过a 、b 、m 还有一个平面β异于α，则a α⊂，b α⊂，a β⊂，b β⊂．这与a ∥b ，过a 、b 有且只有一个平面相矛盾．因此，过a 、b 、m 有且只有一个平面．例5．如右图，已知△ABC 在平面α外，它的三边所在直线分别交α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．证明：因为A 、B 、C 为平面α外的三点，所以△ABC 所在的平面与平面α不重合．因为AB∩α=P，所以P为平面α与β的公共点．同理可证R、Q也是平面α与β的公共点．由公理3知，P、Q、R三点共线．【总结升华】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．（1）证明三点共线的依据是公理3，对于这个公理应进一步理解为下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．（2）证明三点共线的常用方法：方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上．类似地有：（1）证明三线共点的依据是公理3．（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．举一反三：【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC ，CD 上的点，且直线EF 与GH 交于点P ．求证：B ，D ，P 在同一直线上．【解析】P EF P ABD P EF GH P GH P BCD ∈⇒∈⎧⎫∈⇒⎨⎬∈⇒∈⎩⎭平面平面 P ABD BCD BD P BD ⇒∈=⇒∈平面平面例6. 如下图，在三棱锥S-ABC 的边SA 、SC 、AB 、BC 上分别取点E 、F 、G 、H ，若EF ∩GH=P ，求证：EF 、GH 、AC 三条直线交于一点．证明：∵E ∈SA ，SA ⊂平面SAC ，F ∈SC ，SC ⊂平面SAC ，∴EF ⊂平面SAC ．∵G ∈AB ，AB ⊂平面ABC ，H ∈BC ，BC ⊂平面ABC ，∴GH ⊂平面ABC ，又∵EF ∩GH=P ，∴P ∈平面SAC ，P ∈平面ABC ．∵平面SAC ∩平面ABC=AC ，∴P ∈AC ．即直线EF 、GH 、AC 共点于P ．【总结升华】线共点的证明可利用公理1、公理3作为推理的依据．举一反三：【变式1】 如右图，已知空间四边形ABCD （即四个点不在同一平面内的四边形）中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==． 求证：直线EF 、GH 、AC 相交于一点．证明：∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD 且12EH BD =．∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==， ∴FG ∥BD 且23FG BD =．故知EH ∥FG 且EH ≠FG ，即四边形EFGH 为梯形，从而EF 与GH 必相交，设交点为P ． ∵P ∈EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC ．同理P ∈平面ADC ．∵平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴P ∈AC ．即EF 、GH 、AC 交于一点P ．例7．如下图，E 、F 分别为正方体．ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1和AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．【解析】 设法找出两平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线．如上图，在平面AA 1D 1D 内，D 1F 与DA 不平行，分别延长D 1F 与DA ，则D 1F 与DA 必相交，设交点为M ．因为M ∈FD 1，M ∈DA ，FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，所以M ∈平面BED 1F ∩平面ABCD ，又B ∈平面BED 1F ∩平面ABCD ，所以，连接MB ，则MB=平面BED 1F ∩平面ABCD ．即直线MB为所求两平面的交线．【总结升华】求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点．本题中两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，进而推出该点也为两平面的公共点，这两点确定的直线即为所求．举一反三：【变式1】已知正方体ABCD=A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱AB、A1D1、BB1的中点，试作出过M、N、P三点的截面．作法：（1）设M、N、P三点确定的平面为α，则平面α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是平面α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是平面α与平面BB1C1C的交线（如右图）．（2）设MP∩A1A=F，则FN是平面α与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD=H，连接HM，则HM是平面α与平面ABCD的交线．由（1）（2）知平面PMHNQ就是过M、N、P三点的截面（如右图中阴影部分）．。
专题3 空间图形的基本关系与公理(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题3：空间图形的基本关系与公理（解析版）一公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4．下列命题中正确的是（ ）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】解:选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误; 选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确, 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①④【答案】B 【分析】对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可判断；对于③，由线面垂直的判定定理可判断；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交 【详解】解：对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交，故错误； 对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可得//l β，故正确； 对于③，若l β⊥，则由线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交，所以不一定有l β⊥，故错误， 故选：B 【点睛】此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（ ）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内 【答案】A 【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P 在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P 必在直线AC 上． 【详解】解：∵EF 在面ABC 内，而GH 在面ADC 内， 且EF 和GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 和面ADC 的交线上， ∵AC 是两平面的交线， 所以点P 必在直线AC 上． 故选：A ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（ ）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC【答案】B 【分析】确定平面β、γ的公共点，利用公理可得出平面β与γ的交线. 【详解】 如下图所示：由题意可知，AC γ⊂，AC l R =，则R γ∈，又平面α平面l β=，则l α⊂，l β⊂，AC l R =，R β∴∈，B β∈，B γ∈，因此，βγ⋂=直线BR .故选：B. 【点睛】本题考查两平面交线的确定，关键是确定两平面的公共点，属于基础题.8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D. 【详解】解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确； 对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确， 故选：C 【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.9． 下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内， 所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确； 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（ ）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A 【分析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l与l'是其中两条任意的直线，⊥，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线APβ由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，∴M点都在平面α与平面β的交线上，故选：A．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．12．和直线l都平行的直线,a b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线l都平行的直线,a b的位置关系是平行，故选C．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒ 【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠=14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥， 理由：在α内取两条相交直线a ，b ， 由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥， 又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案为：若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形， 所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =， 所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+3cos5BFC∴∠==．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.16．在长方体1111ABCD A B C D-中，11AA AD==，2AB=，则直线AC与1A D所成的角的大小等于__________.【答案】arccos10【分析】连接11,B A B C，可得直线AC与1A D所成的角为1B CA∠，利用余弦定理求1cos B CA∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C，由长方体的结构特点可知11//B C A D，则直线AC与1A D所成的角为1B CA∠（或其补角），因为11B A BC AC======，在1B CA中，2221111cos210BC AC ABB CABC AC+-∠===⋅，1arccos10B CA∴∠=.故答案为：arccos10.【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.【答案】见解析 【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补. 结合空间中平行线的传递性及当两个角的方向相同时,即可证明两个角相等. 【详解】证明：如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,取11A B 的中点M ,连接名BM ,1F M由题意得112BF A M AB ==又1BF M A ∥∴四边形1A FBM 为平行四边形 ∴1A F BM ∥又1F ,M 分别为11C D ,11A B 的中点,则111F M C B =∥而11C B BC =∥∴1F M BC =∥∴四边形1F MBC 为平行四边形 ∴1BM F C ∥ 又1BM A F ∥ ∴11A F F C ∥ 同理可得11A ECE∴1EA F ∠与11E CF ∠的两边分别平行,且方向都相反 ∴111EA F E CF ∠=∠. 【点睛】本题考查了直线与直线平行的证明,空间中角的两边分别平行时两个角的关系,属于基础题. 18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）延长BD 和AC 交于点O ，再连接SO ，即得到交线； （2）先记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，即可得出交线. 【详解】（1）（延长BD 和AC 交于点O ，连接SO ，SO 即为平面SBD 和平面SAC 的交线），如图：（2）（记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，则AO 即为平面11AB D 与平面11ACC A 的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型. 19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可；（2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角；（3）根据正方体的性质即可判断．【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题．VB VC的中点，求异20．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，,D E分别是,面直线DE与AB所成的角.【答案】45︒ 【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，BC AC ∴⊥，又知点C 是弧AB 的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥.∵点C 是弧AB 的中点，,45BC AC ABC ∴=∴∠=︒. 在VBC △中，,D E 分别为,VB VC 的中点，DE BC ∴∥，DE ∴与AB 所成的角为45ABC ∠=︒.故答案为：45︒ 【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【分析】通过证明EF //GH ，且EF =GF ，即可证明. 【详解】在题图1中，∵四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，E F ，分别为BC AD ，的中点，∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中，易知////C D EF AB ''. ∵,G H 分别为AD '，BC '的中点， ∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+， ∴//GH EF ，GH EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形.即证. 【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.22．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.【答案】见解析 【分析】取1D D 的中点G ,连接,EG GC ，证明四边形EGCB 是平行四边形，再证四边形1D GCF 为平行四边形，即可证明四边形1BED F 是平行四边形. 【详解】证明 取1D D 的中点G ,连接,EG GC .∵E 是1A A 的中点,G 是1D D 的中点,//EG AD ∴. 由正方体的性质知//AD BC ,//EG BC ∴, ∴四边形EGCB 是平行四边形,//EB GC ∴. 又,G F 分别是1D D ,1C C 的中点,1//D G FC ∴,且1D G FC =,∴四边形1D GCF 为平行四边形,1//D F GC ∴, 1//EB D F ∴,∴四边形1BED F 是平行四边形. 【点睛】本题考查了线线平行的判定，利用平行四边形的对边平行且相等证明线线平行，是基础题.。
平面的基本性质(1)(201908)
练习:把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
l
αa
A
a
α A
l
l
β
B
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；
又擒西魏刺史郭他 "天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳 高祖入洛 "吾于此亦自谓得宜 见重当世 腾少而质直 进
平面的基本性质
平面的基本性质一、知识梳理 一）平面1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面α，平面AC 等.3．画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a βαB AβBAαβBAααβa图 2A（1aαa α⊂ 直线a 在平面α内. aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点. aAα a A α=直线a 与平面α交于点A .l αβ=平面α、β相交于直线l .点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=.说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .）例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形.二）三条公理人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.BA α应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上.指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.应用：①确定平面；②证明两个平面重合.实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚. 例4、判断下列命题是否正确。
平面的基本性质共点共线共面
4，6或7 ，8 三个平面呢?_________________ 。
看看答案吧
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时 （2）、每2条直线确定一平面时
已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点 求证:a 、 b 、 c 、 d在同一平面内
分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种： 一是有三条直线共点； 二是没有三条直线共点， 故证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、 c相交于点O． 求证：a、b、c、d共面． 证明：∵d∩a＝P， ∴过d、a确定一个平面α（推论2）． 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c， ∴O∈α，O∈β，O∈γ． ∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面． 注：本题的方法是“同一法”．
平面的基本性质— 共点共线共面
知识回顾
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其 他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公 共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一 个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有 一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
P P 平面ABC
同理Q、R也为公共点 所以P、Q、R共线
P
P 平面ABC
R
Q
3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点, 平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 的交点 P A (2)求证:D,E,P三点共线.
平面的基本性质(2)课件
4条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时： (3)每 (3)每2条直线都 (1)4条直线 (1)4条直线 确定一平面时 全共面时
(2)有3条直线 有 条直线 共面时 三条直线相交于一点, 三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定 可以确定6 确定平面,最多可以确定6个。
2个平面分空间有两种情况： 个平面分空间有两种情况： 个平面分空间有两种情况 (1)两平面没有 (1)两平面没有 (2)两平面有公 (2)两平面有公 公共点时 共点时
练习5 练习
有公共点， ① ×若直线 a 与平面 α 有公共点，则称 aα ②两个平面可能只有一个公共点． ×两个平面可能只有一个公共点． ③四条边都相等的四边形是菱形． ×四条边都相等的四边形是菱形．
（２）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 已知空间四点中，无三点共线， A．一个平面 ． B．四个平面 ．
α 内,但不在平面 β 内 但不在平面
新疆 王新敞
奎屯
α
α
α
2.正方体的各顶点如图所示， 2.正方体的各顶点如图所示，正方体的三 正方体的各顶点如图所示 个面所在平面 A1C1 , A1 B, B1C 分别记作 α、β、γ 试用适当的符号填空。 试用适当的符号填空。
(1)A _______, B1 _______ α α 1
复习提问
点A在直 在直 线a上 上 点A在直 在直 线a外 外 点A在平 在平 面α内 内 点A在平 在平 面a外 外
●
A
●
a
A∈a ∈ a A
A
a
●
α
A A
●
A∈α
Aα
元素 （点） 与集合 （直线 与平面） 与平面） 之间的 关系
平面、平面的基本性质及应用
平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。
例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。
思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。
因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。
思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。
另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。
写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。
关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。
例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。
分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。
另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。
已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。
2.1.2平面的基本性质
文字语言： 文字语言： 公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点， 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面. 有且只有一个平面 图形语言： 图形语言： A 符号语言： 符号语言： B C 公理 2mpeg.avi
A, B,C三 不 线 有 只 一 平 α 点 共 ⇒ 且 有 个 面 A 使 ∈α, B∈α,C∈α 公理2是确定一个平面的依据 是确定一个平面的依据. 公理 是确定一个平面的依据
⇒l ⊂α A ∈α , B ∈α
公理1是判定直线是否在平面内的依据 公理 是判定直线是否在平面内的依据. 是判定直线是否在平面内的依据
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论?
B A C A
B C
公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点，有且只有 过不在同一直线上的三点 一个平面. 一个平面
D)
3.填空题 填空题: 填空题 三条直线相交于一点， 三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，可以确定的平面数是 定平面，可以确定的平面数是_______; 四条直线过同一点， 四条直线过同一点，过每两条直线作一 个平面，则可以作 个平面，则可以作_____________个不同 个不同 的平面 .
文字语言： 文字语言： 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么这两个平面有且只有一条过该点的公共 直线. 直线 图形语言： 图形语言： 符号语言： 符号语言：
β
α
P
l 公理 3 β ⇒ P ∈l
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论? 天花板α 天花板α 墙面γ 墙面β
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平面的基本性质练习题
一、选择题：
1．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ）
Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α∈⊂a
2.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ）
Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;, Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=AB Ｃ.αα∉⇒∈⊄A A ,
Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合
3. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定 4. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A. 4或6或7个部分
B. 4或6或7或8个部分
C. 4或7或8个部分
D. 6或7或8个部分 5．下列说法正确的是( )
①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④
D. ②③ 6．如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是( )
A. α⊂
B.α∉
C. A =⋂α
D.B =⋂α
7．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( )
A.7个
B.6个
C. 5个
D.4个 8．两个平面重合的条件是它们的公共部分有( )
A. 两个公共点
B. 三个公共点
C. 四个公共点
D.两条平行直线 9．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ⋂GH=P ，则点P （ ）
A. 一定在直线BD 上
B. 一定在直线AC 上
C. 在直线AC 或BD 上
D. 不在直线AC 上也不在直线BD 上 10．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线EF 是平面ACD 1与下面哪个平面的交线（ ） A ．面BDB 1 B. 面BDC 1 C. 面ACB 1 D. 面ACC 1 二、填空题：
11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .
M
O 1
C
B
D
A
B 1
D 1
C 1
A 1
12．三条直线直线两两相交, 过其中两条直线作一个平面, 共可以作__________个平面.
13. 如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为_______________.
14.个平面把空间分成6个部分时，它们的交线有 条．
三、解答题：(写出解答过程，规范表达)
15. 已知l A ∈，l B ∈，l C ∈，l D ∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面．
l
A B
C D
16．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O. 求证：B 、D 、O 三点共线.
17.
1O 是正方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 的中心，M 是对角线1A C 和截面11B D A 的交点．求证：1,,O M A 三点共线．
O D
A
F E
H G。