1.2.1平面的基本性质与推论

1.2.1平面的基本性质与推论
用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上： 记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
B
点B不在平面α上记：为：B∈ α
A
α
(3)直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
公理2的作用:确定平面的依据
文字语言：
公理3.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过这个点的公共直线
图形语言： β
a
α
P
符号语言：
P P
l且P
l
(l为交线)
公理3的作用有三：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
二 是可以用来判定点在平面内，即如果直线在 平面内、点在直线上，则点在平面内.
如何才能把自行车停稳?
B
A
C
B
αA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
文字语言：
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
B
图形语言：
αA
C
符号语言：
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a//α
a
a
a
A
α
α
α
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
平面的基本性质
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Ba
β
Ab C
巩固练习4.如图，O是正方体ABCD A1B1C1D1上底面
ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD
来自百度文库
的交点，求证：O，A1，M共线。 D
C
分析：
A
O
M
(1)O、A1、M 平面A1DB
D1
(2)O、A1、M 平面A1ACC1
A1
B
C1 B1
小结：
1.平面的基本性质
2.确定平面的依据
3.根据平面的基本性质画出两个 平面的交线
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
P
l
α
【例1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中， 画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
推论1.经过一条直线和直线外一点有且只有一个平 面。
A
a
β
B
C
推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面。
a
βb
C
推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。
l
α
A
B
文字语言：
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
图形语言：
l
B
α
A
符号表示：
符号语言：Al, B l,且A , B l
公理1的作用：
一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；