平面的基本性质与推论—导学案
人教新课标版数学高一B版必修二 平面的基本性质与推论学案
1．2．1平面的基本性质与推论一．学习要点：三个公理及三个推论及其简单应用二．学习过程：1．基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
即：概念解读：（1）由性质1（2）性质1的作用可以用来判断一条直线是否在一个平面内。
2．基本性质2：3．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
即：概念解读：（1）两个平面公共点的集合是一条直线；（2二．平面基本性质的推论推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
1．共面：空间中的几个点或几条直线都在同一平面内，我们就说它们共面。
2．异面直线：既不相交又不平行的直线叫做异面直线。
规律探索：空间两条直线有怎样的位置关系？共面直线——平行或相交；异面直线——既不相交也不平行的两条直线。
∉；1．点A在平面α内，记作Aα；点A不在平面α内，记作Aα2．直线在平面α内，记作l α⊂；直线不在平面α内，记作l α⊄；3．平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=； 4．直线和m 相交于点A ，记作l m A =．例1 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线或交于一点，或互相平行。
例2 已知P 、Q 、R 三点分别在长方体ABCD 1111A B C D 的棱1BB 、1CC 、1DD 上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面。
课堂练习：教材P38页练习课后作业：见作业（43）。
2018-2019学年平面的基本性质与推论教案
平面的基本性质与推论一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、教学过程（一）引入课题问题1：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？问题2:平面的含义是什么呢？(这就是我们这节课所要学习的内容。
)（二）研探新知1、平面含义以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示问题3：在平面几何中，怎样画平面？平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）问题4：在平面几何中，平面如何表示?平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）问题5：平面与点的关系如何表示?平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α点B在平面α外，记作：B α3、平面的基本性质思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内.生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
苏教版必修2导学案 121平面的基本性质2学案.doc
课题：平面的基本性质(2)学习目标：1. 了解推论1、推论2、推论3,并能运用推论解释生活中的一些现象.2.初步学习立体几何中的证明.学习重点：二个推论的理解和应用.学习难点：推论的正确理解和正确应用.一、预习提纲：1 -完成下表：文字语言符号语言图形语言用途公理1公理2公理32.问题：根据公理3,不共线的三个点可以确定一个平面，那么,一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？两条相交直线呢？两条平行直线呢？为什么？3.公理3的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.文字语言(位置关系) 符号表示点P在直线上点C不在直线上点M在平面4C内点Aj不在平面AC内直线AB、BC交于B点、直线在平面4C内直线不在平面AC内已知：__________________________ ,求证：过点4和直线/有目.只有一个平面。
证明：类似地，得出以下两个推论：推论2：___________________________________ »已知：_______________________ ,求证：经过两条相交直线a,b的平面有目.只有一个。
这两个平面的交线即找A,Be a, C E 卩,试画出平面ABC 与平面a,0的交分析：确定两个平面的交线，只需找到两个平面的两个证明：证明：（存在性）：设anb = C,在a 上取不同于点C 的点4,则Aib,由推论1得，过直线b 和点A 有一个平面a,Ae （z,Ce cr,aua,因此，经过a,b 有一个平面a 。
（唯一性）：经过的平面一定经过A 和b,由推论1,这样的平面只有一个，所以经过两条相交直线a,b 的平面有且只有一个。
推论3 ： ______________________________________________ »二、课堂展不： 例 1：已知：Ae/,5e/,Ce/,Dg/,求证：直线 AD,BD,CD 共面。
高中数学 平面的基本性质(1)导学案 新人教A版必修2
高中数学人教版必修2导学案：平面的基本性质（1）总课题点、线、面之间的位置关系总课时第3课时分课题平面的基本性质（一）分课时第1课时教学目标初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理31 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．重点难点正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．3．平面的表示方法：4．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：点与直线的位置关系：点与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：5．平面的基本性质：公理1：文字语言描述为：符号语言表示为：公理2：文字语言描述为：符号语言表示为：公理3：文字语言描述为：符号语言表示为：例题剖析例1 辨析：10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．（）有一个平面的长是50米，宽是20米．（）黑板面是平面．（）平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．（）例2 把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．例3 把下列语句用集合符号表示，并画出直观图．（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m．例4 如图，ABC∆中，若BCAB，在平面α内，判断AC是否在平面α内．巩固练习1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（）A．α∉∈llA，B．α⊄∈llA，C．α⊄⊂llA，D．α∉⊂llA，lαAaαACBαlaABβ2．下列叙述中，正确的是（ ） A ．ααα∈∴∈∈PQ Q P ,,ΘC ．αα∈∴∈∈⊂CD AB D AB C AB ,,,ΘB ．PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,,Θ D ．AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,,Θ 4．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？课堂小结正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．课后训练班级：高二（ ）班 姓名：____________一 基础题 1．完成表格位置关系 符号表示点P 在直线l 上直线AB 与直线BC 交于点B∈M 平面α l C ∉⊂AB 平面α直线l 不在平面α内2．直线和平面的公共点的个数可能为 ． 3．根据下列条件画图：（1）a A a A ∈⊂∈，，αα； （2）αβα∈=⋂A l ，且β∈A ； （3）m B m B l l A A ∈=⋂=⋂∈∈，，，，βαβα；（4）ααα⊂⊂⊂c b a ，，且C a c B c b A b a =⋂=⋂=⋂，，．二 提高题4．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列命题 是否正确？并说明理由． ①．1AC 在平面B B CC 11内； ②．若1O O 、分别为面1111D C B A ABCD 、的中心，则平面C C AA 11与平面11BDD B 的交线为1OO ； ③．由点C O A 、、可以确定平面；④．设直线⊄l 平面AC ，直线⊄m 平面C D 1，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；DOO 1 A 1B 11⑤．由点11B C A 、、确定的平面与由点D C A 、、确定的平面是同一个平面．5．平面⋂α平面l =β，直线α⊂a ，且a 与l 不平行，在β内作直线b ，使b a ，相交．三 能力题6．在正方体1111D C B A ABCD -中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并说明理由．A C DB 1 A 1α β al。
2022年教学教材《2.1平面的基本性质导学案学生版》优秀教案
§平面的根本性质目标要求1、理解并掌握平面的概念，与平面有关的三个根本领实及其三个推论．2、理解并掌握图形、文字、符号语言的相互转化．3、理解并掌握点、线共面问题．4、理解并掌握点共线、线共点、面共线问题学科素养目标立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存开展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与开展具有重要的意义．?立体几何初步?一章，是在义务教育阶段“空间与图形〞课程的延续与开展，教材的编写力图凸显?普通高中数学课程标准?以下简称?课程标准?对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的．通过本章学习，要求学生熟悉立体几何中的空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，数形结合思想，等价转化思想，分情形讨论等，会进行平面图形到空间图形的过渡，灵活运用立体几何知识解决实际应用问题重点难点重点：点、线共面问题；难点：点共线、线共点、面共线问题．教学过程根底知识点1平面1平面的概念平静的湖面给我们以平面的形象和点、直线一样,平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念2平面的画法平面通常用平行四边形来表示,当平面水平放置的时候,一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图3平面的表示方法平面通常用希腊字母等表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面、平面AC等【思考】平面是否有大小呢2与平面有关的三个根本领实1根本领实1:过不在一条直线上的_______________,有且只有一个平面如图:【思考】根本领实1有什么意义及作用呢提示:意义:是在空间确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化是立体几何中解决相当一局部问题的主要的思想方法作用:①确定平面;②证明点、线共面2根本领实2:如果一条直线上的__________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内空间中点、直线和平面的位置关系,可以借助集合中的符号来表例如如,在长方体ABCD-A1B1C1D1中:C四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形D 8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚在平面内,那么正确的图形是题3如下图,以下符号表示错误的选项是．．．．．．∈∉⊂∈关键能力·合作学习类型一图形、文字、符号语言的相互转化数学抽象、直观想象【题组训练】题4如下图,用符号语言表示以以下图形中点、直线、平面之间的位置关系:①点A,B在直线a上________;②直线a在平面内________;③点D在直线b上,点C在平面内________题5将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以表达,并用图形语言予以表示∩β=,A∈,AB⊂,AC⊂β题6根据以下条件画出图形:平面∩平面β=直线AB,直线a⊂,直线b⊂β,a∥AB,b∥AB【补偿训练】题7用符号语言表示以下语句,并画出图形:1三个平面,β,γ相交于一点,Q∈m,那么∉,Q∈∈,Q∉∉,Q∉∈题2021说法中正确的选项是A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D两个不同平面和β有不在同一条直线上的三个公共点题21,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,以下推理错误的选项是∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β∈,M∈β,N∈,N∈β⇒∩β=MN∈,A∈β⇒∩β=A,B,M∈,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒,β重合题22平面,β相交,,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条1。
苏教版数学高一《平面的基本性质》 精品导学案
（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直线 a 上；（2）平面α与平面β相交于直线 m ，直线 a 在平 面α内且平行于直线 m.2.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
4.例题例1. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，画出平面A 1C 1D 与平面B 1D 1D 的交线.例2. 如图，已知△ABC 的各顶点在平面α外，直线AB 、BC 、AC 分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 提问：（1）平面几何中证明三点共线是怎样证明的？（2）这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结 点P 、点Q ，得直线PQ ，大家能够证明点R 也在直线PQ 上吗？例3.已知：空间四边形ABCD ，平面四边形EFGH 的 顶点分别在空间四边形的各边AD,AB,BC,CD 上,若EF 与GH 不平行，求证：三条直线EF,GH,BD 共点。
5.巩固练习1.点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P ，求证：P 在直线BD 上。
2.测试反馈P51--526.预习总结 通过预习已掌握的知识需要与同学交流的问题需要老师重点讲解的问题1A B1 1C1D A B CD•A B C EHF P GD1.2.1平面的基本性质（2）一.预习范围：必修2 P21～22二．预习目标：1．了解公理3，推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象．2：公理3及三个推论的理解和应用．.三.预习任务：1.知识梳理公理1 公理2 公理3公理3的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．已知：，求证：过点A和直线l有且只有一个平面。
证明：符号表示推论2：符号表示推论3：符号表示2.预习检测教学与测试P5 双基演练例1，3.预习提高1.如图，直线AB、BC 、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.能证明吗提问：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？思考:三条直线a,b,c两两相交，那么a,b,c可以确定几个平面？说明你的理由。
人教版高中数学必修28.4.1 平面 导学案(一)
8.4.1 平面1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。
1.教学重点：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；2.教学难点：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。
1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.①②3．平面的表示法上图①的平面可表示为、、或.4．平面的基本性质5．推论推论1：经过一条直线和，有且只有一个平面．推论2：经过两条直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．一、探索新知1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的.(1) (2) (3)练习：判断下列各题的说法正确与否：（1）、一个平面长4 米，宽 2 米；( )（2）、平面有边界；( )（3）、一个平面的面积是25 cm 2；( )（4）、菱形的面积是4 cm 2；( )（5）、一个平面可以把空间分成两部分. （）3.平面的画法：当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的倍。
(1)水平放置的平面：(2)垂直放置的平面：4.平面的表示常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．记作：、平面、平面或平面BD思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？基本事实1．图形语言：作用：确定平面的主要依据。
平面的基本性质与推论—导学案
1.2.1平面的基本性质与推论 时间：2011-9-27【使用说明与学法指导】1．结合学习目标和重难点，先用15分钟认真预习课本P35-38，划出重要知识；认真完成导学案，并用红色笔做好疑难标记； 2．独立思考，找出疑难点，准备讨论解决。
3．本节内容是培养空间想象能力和逻 辑推理能力的基础知识，同学们可以通过直观感知，操作确认，思辨论证理解平面的基本性质与推论。
【学习目标】1.掌握平面的基本性质与推论，提高对自然、图形、符号语言间的相互转化与应用能力。
2.通过小组 合作、讨论交流，借助实际图形感知平面的基本性质和推论的方法。
3.激情投入，体验符号语言与图形语言的魅力。
【重点难点】重点：1.平面的基本性质与推论；2.文字语言、图形语言和符号语言的相互转化。
难点：平面的基本性质与推论的应用。
一、问题导学1.试用集合（符号）语言完成下题如右上图，平面ABEF 记作α，平面ABCD 记作β，根据图形填写 ⑴__B α，__D α；⑵ =⋂AB AF ,=⋂BC BE ; ⑶___αβ=;⑷AB α，AB β,CD α，CD β,AE α，AE β2.请你用尺子做实验并回答以下问题，感知平面的基本性质1与2，并理解记忆。
（1）如果一直线与一平面有一个公共点，那么这条直线在平面内吗？有两个公共点呢？ （2）过一点有几个平面？过两点呢？（3）过在同一直线上的三点有几个平面？过不在一直线上的三点呢？试分别用自然、图形、符号语言写出基本性质1与2：3.把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B ？为什么？ 这验证了哪一性质？并理解记忆。
试分别用自然、图形、符号语言写出基本性3：【思考】如何应用平面的基本性质得到3个推论？4.两直线的位置关系有哪些？结合课本，说明如何判断两直线是异面直线？如右上图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，试找出几组平行、相交或异面的直线。
高一下学期数学《平面基本事实》导学案
平面基本事实导学案一．知识梳理1.平面的基本性质二．典例讲解探究一点、线共面问题例1.证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．．．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2.已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数．探究二点共线、线共点问题例2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M，求证：点D、A、M三点共线．(1)证明三点共线的方法①首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知，这些点都在两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．(2)证明三线共点的步骤①说明两条直线共面且交于一点．②说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交． ③得到交线也过此点，从而得到三线共点．3.已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝a ，γ∩α＝b ，若直线a 和b 不平行，求证：a ，b ，c 三条直线相交于同一点．4.已知三角形ABC 在平面α外，,,BC Q AB P AC R ααα===I I I ，求证，P,Q,R 三点共线例3 已知直线a ∥直线b ，直线m 与a 、b 分别交于点A 、B .求证：过a 、b 、m 有且只有一个平面．(1)“有”表示存在，“只有”表示惟一，“且”表示联立命题，所以此类问题的证明既要证明“存在性”又要证明“惟一性”．(2)“存在性”的证明一般由公理或推论得出题设要求的要素即可．(3)证明“惟一性”通常采用“反证法”．即从题设的结论入手，假设结论的反面成立，然后进行推理、论证，推出与条件或定义、定理、公理相矛盾的结论，说明结论反面是不成立的，从而肯定了命题的结论是成立的．1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A．C∈αB．C∉αC．AB⊄αD．AB∩α＝C2．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形3．一个平面把空间分成________部分，两个平面把空间分成________部分．4．如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．[A基础达标]1．下面给出了三个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都平行的两条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么() A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．8．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．10．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．[B 能力提升]1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2．已知A 、B 、C 、D 为不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上， (1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在________上； (2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在________上．3．在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ，BC ，DC ，AD (或延长线)分别与平面α相交于点E ，F ，G ，H .求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线4．(选做题)如图，定线段AB 所在的直线与定平面α相交，交点为O ，P 为定直线外一点，P ∉α，直线AP ，BP 与平面α分别相交于A ′，B ′，试问，如果P 点任意移动，直线A ′B ′是否恒过一定点，请说明理由．。
平面的基本性质及推论学案
平面的基本性质与推论学案学习目标：2、知识梳理：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABC D ,平面A C 等. 规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A 在平面α内，记作 ；点A 在平面α外，记作 .⑵点P 在直线l 上，记作 ，点P 在直线外，记作 .⑶直线l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α内(平面α经过直线l ),记作 ；否则直线就在平面外，记作 .平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线上____________________在此平面内.用符号语言表示为：问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点， . 如上图, 三点ABC 确定平面α.用符号语言表示为如何理解公理2？深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面 ，“只有”是说平面 ，“有且只有”强调平面 这两方面.问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.【先学自研】1、阅读教材：4043P P -新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，如下图所示：平面α与平面β相交于直线l，记作lαβ=.公理3用集合符号表示为如何理解公理3？1. 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有2. 公理3的作用其一判定两个平面是否相交，其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上，因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.新知7平面基本性质的推论（1）推论1：（2）推论2：（3）推论3：这三个推论的图形语言和符号语言是怎样的？【点拨讲解】P例1、43练习：用符号语言表示下列各语句，并作出相应的图形．(1)点A在平面α内，不在直线l上，且直线l在平面α内；(2)直线l经过平面α外的一点P，且与平面α相交于点Q；(3)平面α与平面β交于直线a，P点是β内的一点，但P点不在直线a上．例2、空间四点，可以确定平面的个数是变式：1、三条直线两两平行，它们可以确定几个平面？2、共点的三条直线可以确定几个平面？3、已知三个互不重合的平面把空间分成了六个部分，则它们的交线有条例3、下面各图是正方体，M，N，P，Q分别都是它们所在棱的中点，则M，N，P，Q四点共面的是( )的是( )A．A、M、O三点共线 B．A、M、O、A1四点 C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面例3、已知直线l与两平行直线a和b分别相交于A，B两点．求证：三条直线a，b，l共面．例4、如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．例5、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．例6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线【训练内化】1、下面给出了四个条件：①空间三点；②一条直线和一个点；③和直线l都相交的两条直线；④两两相交的三条直线，其中，能确定一个平面的条件有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2、有空间四点A、B、C、D，若四个点不共线，则经过其中三个点的平面有（）（A）一个或两个（B）一个或三个（C）一个或四个（D）两个或三个3、若直线上有两个点在平面外，则（）（A）直线上至少有一个点在平面内（B）直线上有无穷多个点在平面内（C）直线上所有点都在平面外（D）直线上至多有一个点在平面内4、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，则( ) A．M∈AC B．M∈BD C．M∈AC或M∈BD D．M∉AC且M∉BD5、平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C∉l，又AB∩l＝R，A，B，C三点确定的平面记作γ，则β∩γ＝( )A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对6、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面．。
高中数学《2.2 平面的基本性质》导学案 新人教A版必修2
山西省原平市第一中学高中数学《2.2 平面的基本性质》导学案新人教A版必修2§2-02平面的基本性质一、学习目标1.使学生掌握三个公理，并了解其各种表述。
2.学会用三个公理及其推论分析和解决问题。
二、文本研读问题一：请阅读P41思考开始下面的内容，回答下列问题。
1.用文字语言叙述公理12. 用符号语言叙述公理1并画出相应图形。
问题二：请阅读P42思考前面的内容，回答下列问题。
1. 用文字语言叙述公理22.阅读以下关于用公理2的符号语言叙述，并画出相应图形。
A、B、C不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α3.阅读以下公理2的三个推论，并用符号语言叙述它们。
推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。
问题三：请阅读P42思考开始至P43练习前面的内容，回答下列问题。
1. 用文字语言叙述公理32. 阅读以下关于用公理3的符号语言叙述，并画出相应图形。
P∈α,P∈β⇒存在直线l,使α β=l，且P∈ l三、交流、点评四、实战演练1. 已知∆ABC是边长为4的正三角形，则∆ABC水平放置时，它的直观图∆A´B´C´的面积为( )(A) 43(B) 23(C) 26(D) 62.用9支粉笔最多可以摆成个边长为一支粉笔的正三角形。
3.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？给出你的结论，并证明。
3.已知α β=a,β γ=b,α γ=c, a b=O.画出相应图形并证明：O∈c五、能力提升如图，M、N、P分别是正方体AC´的三条棱的中点，请画出该正方体经过M、N、P三点的截面。
(不必写做法)小结与反馈。
平面的基本事实与推论导学案高一下学期数学人教B版
《11.2 平面的基本事实与推论》导学案【学习目标】1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换3、培养直观想象、数学抽象、逻辑推理能力【学习重难点】【学习重点】平面的基本事实和推论【学习难点】符号语言、文字语言、图形语言之间的转换【学习过程】一、情境引入：借用视频把实际问题抽象为数学问题二、新知探究：问题1：如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？基本事实1：文字表示：_________________________________________________.符号表示：___________________________.图形表示：基本事实2：文字表示：________________________________________________.符号表示：________________________________.图形表示：问题2：结合基本事实1与基本事实2思考：经过一条直线与一点，能确定平面吗?推论1：文字表示：__________________________________________________.符号表示：________________________________.图形表示：问题3：如图，把三角尺的一个角立在课桌上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交与点B ？为什么？基本事实3：文字表示：_______________________________________________.符号表示：_______________________________________.图形表示：问题4：下图是一张倒置的凳子，你能用所学知识检查一下凳子的四条腿的末端是否在同一平面内？推论2：文字表示：_____________________________________________.符号表示：______________________________.图形表示：推论3：文字表示：___________________________________________________.符号表示：_____________________________________.图形表示：三、新知应用3、已知三条直线c b a 、、两两相交，且不共点，求证：c b a 、、三线共面. 4：如图所示，长方体1111D C B A ABCD -中，F 是1CC 上的一点（不与1C C 、重合）试说明F B D 、、1三个点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.四、课堂小结：五、作业布置： A 211-习题 2、3、5、6 B 211-习题 4、5、6。
平面的基本性质导学案2
平面的基本性质、空间两条直线(教案)A一、知识梳理：（必修2教材第40页-第43页）1、平面：（1）、平面的两个特征：，。
（2）、画法：通常用表示平面。
（3）、平面的表示方法：用一个小写的希腊字母等来表示平面，也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对的顶点的字母表示，如，。
2、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：公理2：经过同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
作用：公理2推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
公理3：如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做着两个平面的作用：（1）画两个相交平面时，，其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成线或。
（2）证明三点共线（3）证明三线共点3、两条直线的位置关系（1）共面与异面直线：共面直线：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内的直线是异面直线。
（2）空间两条直线的位置关系分类：两条异面直线所成的角：两条异面直线的公垂线：两条异面直线的距离：（3）公理4（平行公理）：（4）等角定量：（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作.直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
二、题型探究一：平面的基本性质例1：（1）一条直线和直线外三个点能确定的平面的个数是；（2）已知直线a，b是异面直线，在直线a上取三点，在直线b上取5个点能确定的平面个数是；例2：在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H 四点，如果直线EF与GH相交于P，由点P（）（A）一定在直线BD上（B）一定在直线AC上（C）在直线AC或BD上（D）不在直线AC上也不在直线BD上。
学案3：1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2.1平面的基本性质与推论学习目标核心素养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)1.通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养．2．借助平面基本性质及推论，培养逻辑推理的数学核心素养.【自主预习】[新知初探]1．平面的基本性质及推论公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，，且，⇒l⊂α基本性质2经过的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条，⇒α∩β＝l，且P∈l推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．2．异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)3．空间两条直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧：同一平面内，有且只有一个公共点. ：同一平面内，没有公共点.：不同在任何一个平面内，没有公共点.思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？[初试身手]1．如图所示的平行四边形MNPQ 表示的平面不能记为( )A ．平面MNB ．平面NQPC ．平面αD ．平面MNPQ2．能确定一个平面的条件是( ) A ．空间三个点 B ．一个点和一条直线 C ．无数个点D ．两条相交直线3．根据图，填入相应的符号：A ________平面ABC ，A ________平面BCD ，BD ________平面ABC ，平面ABC ∩平面ACD ＝________.【合作探究】类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)A ∈α，B ∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.[规律方法]1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[跟踪训练]1.如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.类型二点、线共面问题【例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．[思路探究]四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．[规律方法]证明点线共面常用的方法1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．2．重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．[跟踪训练]2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．类型三空间两直线位置关系的判定【例3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．[思路探究]判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．[规律方法]1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[跟踪训练]3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面类型四点共线与线共点问题[探究问题]1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【例4】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．[规律方法]点共线与线共点的证明方法1．点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．2．三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．[跟踪训练]4．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA 上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．【当堂达标】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面．()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．()(3)四边形是平面图形．()(4)两条相交直线可以确定一个平面．()2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a 和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．【参考答案】【自主预习】[新知初探]1．平面的基本性质及推论两点A∈l B∈l A∈αB∈α不在同一条直线上过该点的公共直线P∈αP∈β3．空间两条直线的位置关系相交直线平行直线异面直线思考：[提示]不对，是不同在任何一个平面内．[初试身手]1．A[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]2．D[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]3．[答案]∈∉⊄AC【合作探究】类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】[解](1)点A在平面α内，点B不在平面α内．(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．图(1)图(2)图(3)[跟踪训练]1. [解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.类型二点、线共面问题【例2】[解]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．[跟踪训练]2．[解]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．法二：由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．同理可证c在a、l确定的平面α内．∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面．类型三空间两直线位置关系的判定【例3】①平行②异面③相交④异面[根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”．同理，直线AB与直线B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．][跟踪训练]3．D[若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．]类型四点共线与线共点问题[探究问题]1．[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．【例4】[解]因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.所以M，N∈平面ABCD，所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD，同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．[跟踪训练]4．(1)BD(2)AC[(1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.]【当堂达标】1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不一定是平面图形．(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．2．B[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.] 3．C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]4．[证明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．。
平面的基本性质与推论导学案
高三数学导学案课题平面的基本性质与推论时间2012-02-12 序号03 主备人孙平审核课型复习课【学习目标】（1）了解可以作为推理依据的公理和定理；（2）理解空间直线、平面位置关系的定义；（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【重难点】（1）对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确的表述；（2）共点、共线、共面问题是本节内容的难点；【学习过程】一、知识梳理（复习教材必修二P35~P38页有关内容，填空梳理有关知识）1. 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内符号语言：图形：应用：（1）判定直线在平面内的依据（2）判定点在平面内的方法公理2：经过的三点，有且只有一个平面。
符号语言：图形：应用：（1）确定一个平面的依据（2）判定若干个点共面的依据公理3：如果不重合的两个平面，那么它们有且只有符号语言：图形：应用：（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理4：平行于同一直线的两条直线互相符号语言：图形：应用：推论1：经过一条直线和一点，有且只有一个平面。
应用：（1）判定若干条直线共面的依据（2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据推论2：经过两条直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条直线，有且只有一个平面。
2. 空间直线与直线的位置关系（1）共面：异面：（2）公共点个数：3. 空间直线与平面的位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线不在平面内——①直线和平面相交——有且只有一个公共点②直线和平面平行——没有公共点符号语言：4. 空间平面与平面的位置关系（1）平行——（2）相交——有且只有一条公共直线符号语言：图形：5.共点、共线、共面问题（1）证明共面问题一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。
高中数学必修二导学案4.平面的基本性质
．平面的基本性质陈丽萍学习目标．了解平面的定义，理解平面的基本性质．．理解三条公理和三条推论，并能运用它找出两个平面的交线，解决“三线共点”和“三点共线”的问题．一、夯实基础基础梳理（公理3）（公理2）（公理1）公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号表示：．公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条的直线。
符号表示：，且，且。
公理：经过三点，有且只有一个平面。
符号表示：点、、不共线，存在唯一平面，使基础达标．两个平面的公共点可能是（）．个．个．个．或无数个．点在直线上，而直线在平面内，用符号表示为（）．．．．．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②两个平面有三个公共点，它们必然重合；③三条直线两两相交，它们必在同一平面内；④一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线必在同一平面内；⑤一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑥三角形是平面图形；⑦四边表是平面图形；⑧平行四边形、梯形都是平面图形； ⑨两组对边相等的四边形是平行四边形。
其中正确的命题是（填序号）．下面是四个命题的叙述语（其中、表示点，表示直线，表示平面） ①；②； ③；④。
其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是。
．求证：三角形是平面图形。
二、学习指引 自主探究．请谈谈三个公理的作用 公理作用：． 公理作用：． 公理作用：。
．（）一个平面把空间分成两部分，两个平面把空间最多分成部分，三个平面把空间最多分成部分。
（）用一个平面去截一个正方体得到的截面是多边形，其中边数最多的是边形。
．如图，在正方体中，、分别是棱，中点。
研究：（）直线与在直线是否相交？如果相交，请画出交点。
（）平面与平面是否有公共直线？如果有，请说明理由，作出这条直线并判断该直线是否经过点．（）画出平面截这个正方体所得的截面并判断该截面的形状．C 111A CD案例分析．经过空间中个点的平面（ ）． ．有且只有个 ．有且只有个 ．个或无数个 ．有个 【答案】．．直线上有一个点不在平面内，这条直线与这个平面的公共点有个． 【解析】考虑直线与平面平行或相交，答案为或个． ．如图，在正方体中。
平面的基本性质导学案
①平面 、平面 、平面
②平面ABCD
③平面AC或平面BD
在黑板板上分三组依次展示例题中长方体的六个不同的面，引导学生自主解题。
3实验探究
（1）
引导学生观察桌面上的铅笔，将铅笔想象成直线并思考：若直线 平面 内，那么直线
是否全部落在平面 内？
进一步引导学生自主探究，获得新知—平面的性质1：如果直线 上的两个点都在平面 内，那么直线 上的所有点都在平面 内。
(3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
让学生动手操作，用粉笔头代表点，用最少的粉笔头让塑料板不接触桌面
学生讨论得出新知——
平面的性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面
4：例题
在长方体ABCD — A1B1C1D1中，
画出由A、C、D1三点所确定的平面与长方体的表面的交线。
5：课堂练习
引导学生回忆本课所学知识，并应用图钉（代表点）、铅笔（代表直线）、透明的塑料板（代表平面）来解题
1：观察图形
由平面几何和立体几何中常见的两组图形，引导学生观察两组图形都是由哪些元素组成的?
设置问题：他们有什么共同特征？
2：画法
（列举羽毛球比赛中的“过网击球”，引导学生感受“无限延展”在实际生活中的具体应用。）
设置问题
以前学过的数学概念中你是否接触过类似“无限延展”这样的词？
讨论得出：
直线是向两边无限延长的，画直线时是用直线的一部分表示。画平面时也是如此，可以用平行四边形、矩形，甚至是三角形等平面的一部分来表示平面。
《平面的基本性质》导学案
序言:
在生活学习与工作中,我们经常需要进行空间直线,平面,几何体的位置关系研究与相关量的计算,比如,购买一张桌子时,为了保证桌子能够摆放平稳,必需要判定桌子的四条腿的下端是否在一个平面内,建造房屋时,必须要保障与地面是垂直的,解决这些问题都需要用到立体几何的知识.本节课,我们将重点开始从平面的几何性质开始研究起
平面的基本性质导学案
（一）情景导入问题1.现实生活中有那些事物能够给我们以平面的形象？谈谈对平面的感觉？问题2.在自然界有没有真正的平面？问题3.在平面几何中，怎样画直线？哪位同学来黑板上画出一条直线？问题4.我们能否根据直线的画法，想出平面的画法，谁来画一下？（二）主题故事，探索研究故事1.学生给老师写信，发现了一个问题：如果把钢笔的两端都放在信封表面上，信封看作一个平面，笔看作是一条直线，此时直线与平面有怎样的位置关系？（三）分析归纳、自主定义公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内公理1作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；探究1、放一根钢笔在桌面上，让它的一部分伸出桌面外，有人认为钢笔所在的直线不完全在桌面所在的平面内，对吗？2、线段AB在平面α内，则直线AB在平面α内,对吗？故事2：送信你去邮局的路上，用手指顶着信封玩，很容易掉，提出第二个问题：用不同个数的指头将一封信平稳地摆放在空间某一位置，你会发现至少用几个指头较容易？它们满足什么条件？探究问题：过空间中一点可以做几个平面？过两点呢？过不共线的三点呢？公理2经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.(不共线的三点确定一个平面）公理2是确定平面的条件，也是证明两个平面重合的依据.思考日常生活中还有哪些利用该公理的实例？跟踪练习“空间三点确定一个平面”。
该说法对吗？为什么？故事3:投信你将信投入邮箱时提出第三个问题。
若把邮箱的侧面看作平面，把信也看作一个平面，则两者有几个公共点？公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理3反映了只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线唯一”. 讨论有同学说“把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？ 例题如图：在长方体 ABCD —A1B1C1D1中，点P 是棱A1B1上的中点，画出点P ，B ，C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
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1.2.1平面的基本性质与推论 时间：2011-9-27
【使用说明与学法指导】1．结合学习目标和重难点，先用15分钟认真预习课本P35-38，划出重要知识；认真完成导
学案，并用红色笔做好疑难标记； 2．独立思考，找出疑难点，准备讨论解决。
3．本节内容是培养空间想象能力和逻 辑推理能力的基础知识，同学们可以通过直观感知，操作确认，思辨论证理解平面的基本性质与推论。
【学习目标】1.掌握平面的基本性质与推论，提高对自然、图形、符号语言间的相互转化与应用能力。
2.通过小组 合作、讨论交流，借助实际图形感知平面的基本性质和推论的方法。
3.激情投入，体验符号语言与图形语言的魅力。
【重点难点】重点：1.平面的基本性质与推论；2.文字语言、图形语言和符号语言的相互转化。
难点：平面的基本性质与推论的应用。
一、问题导学
1.试用集合（符号）语言完成下题
如右上图，平面ABEF 记作α，平面ABCD 记作β，根据图形填写 ⑴__B α，__D α；⑵ =⋂AB AF ,=⋂BC BE ; ⑶___α
β=;
⑷AB α，AB β,CD α，CD β,AE α，AE β
2.请你用尺子做实验并回答以下问题，感知平面的基本性质1与2，并理解记忆。
（1）如果一直线与一平面有一个公共点，那么这条直线在平面内吗？有两个公共点呢？ （2）过一点有几个平面？过两点呢？
（3）过在同一直线上的三点有几个平面？过不在一直线上的三点呢？
试分别用自然、图形、符号语言写出基本性质1与2：
3.把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B ？为什么？ 这验证了哪一性质？并理解记忆。
试分别用自然、图形、符号语言写出基本性3：
【思考】如何应用平面的基本性质得到3个推论？
4.两直线的位置关系有哪些？结合课本，说明如何判断两直线是异面直线？
如右上图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，试找出几组平行、相交或异面的直线。
二、合作探究
例1已知一直线a 分别与两平行直线b,c 相交。
求证：a,b,c
三线共面
例2如图，已知△ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB 、 BC 、AC 延长后分别交平面α于点P ，Q ，R.
求证：点P,Q,R 在同一直线上
三、巩固训练
1.三条直线两两相交，可以确定平面的个数是( )
A 1个
B 2个
C 3个
D 1个或3个
2.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面( )
A 必定有4个
B 4个或1个
C 3个或1个
D 1个或3个或4个 3.已知平面ABD 与平面CBD 相交于直线BD ，直线EF 与直线GH 分别在已知的两个平面内且相交于点M,则（ ）
A 点M 在直线BD 上
B 点M 在直线EG 上
C 点M 在直线AC 上
D 点M 在直线FH 上
【课堂小结】
1.知识：总结三个基本性质与推论的文字语言、符号语言、图形语言及其作用。
2.数学思想与方法
D B
B
A C
A C
D1 b c
a
A C B
P
R
Q
E
F A B C
D。