高中数学1.2.1平面的基本性质苏教版必修ppt课件
必修2课件：平面的基本性质
(2) 通常画平行四边形 平行四边形表示平面，当平面是水 平行四边形 平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成 45°横边画成邻边长的2倍。 （3）画直立平面时，要有一组对边为竖直 竖直。 竖直
水平平面： 水平平面： 直立平面
（4）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， ）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， 可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。 可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
点评：几何里的平面的特征 点评：几何里的平面的特征:
1.无限延展 1.无限延展 2.不计大小 2.不计大小 3.不计厚薄 3.不计厚薄
（没有边界） 没有边界） （无所谓面积） 无所谓面积） （没有质量） 没有质量）
2. 平面的画法 平面的画法: (1)通常用平行四边形表示 有时也可根据需要用 通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用 通常用平行四边形表示 其它平面图形表示,如 矩形 菱形;三角形 矩形;菱形 三角形;圆 椭圆 椭圆) 其它平面图形表示 如:矩形 菱形 三角形 圆(椭圆 等等; 等等
2010. 12. 01
平静的水面
辽阔的草原
光滑的桌面、 光滑的桌面、地面
平静的湖面 、广阔 的草原 、光滑的桌 面的画面给你留下 怎样的印象？
课题： 课题：
平面的基本 性质
第一课时
1.平面的基本概念 平面的基本概念: 平面的基本概念
平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型. 的模型.
β
α
P
l
课堂小结： 课堂小结：
（1）平面的概念、画法、表示方法； ）平面的概念、画法、表示方法； 述点、 （2）文字语言、符号语言、图形语言描 述点、直 ）文字语言、符号语言、 平面及相互位置关系，描述三个公理； 线、平面及相互位置关系，描述三个公理； （3）逐步培养空间想象能力。 ）逐步培养空间想象能力。
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2
1.2.1 平 面 的 基 本 性 质
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．空间物体的三视图：_______、_______、 ．空间物体的三视图： 正视图 、 左视图 、 俯视图 _______． _______． 2．斜二测画法： ．斜二测画法： 45°或135°； ° ° (1)斜：∠x′O′y′＝ ____________； 斜 ′ ′ ′ (2)二测：横_____，纵_____． 二测： 不变 ， 折半 ． 二测
3.平面的基本性质 平面的基本性质 (1)公理 ： 公理1： 公理 文字语言： ①文字语言：如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上_________都在这 平面内，那么这条直线上 所有的点 都在这 个平面内． 个平面内． ⊂ 符号语言： ②符号语言：若A∈α，B∈α，则______. ∈ ， ∈ ， AB⊂α (2)公理 ： 公理2： 公理 文字语言：如果两个平面有一个公共点， ①文字语言：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的集 那么它们还有其他公共点， 合是_________________________． 合是 经过这个公共点的一条直线 ．
思考感悟 2．“线段AB在平面 内，直线 不全在平面 ． 线段 在平面 在平面α内 直线AB不全在平面 α内”这一说法是否正确，为什么？ 内 这一说法是否正确，为什么？ 提示：不正确． 提示：不正确． 在平面α内 ∵线段AB在平面α内， 线段AB在平面 上的所有点都在平面α内 ∴线段AB上的所有点都在平面 内， 线段 上的所有点都在平面 上的A、 两点一定在平面 两点一定在平面α内 ∴线段AB上的 、B两点一定在平面 内， 线段 上的 在平面α内 公理 公理1) ∴直线AB在平面 内．(公理 直线 在平面
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三 点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
1.2.1平面的基本性质与推论2012-12-14
例1．如图，平面ABEF记作α，平面 ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B ∈α，E ∈ α， C α，D α； （2）A∈β，B ∈ β，C ∈ β， D ∈ β，E β，F β； （3）α∩β= AB ；
二、平面的基本性质
1．基本性质1 ①文字语言：如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 . ②图形语言： ③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α
小结：基本性质3的作用
（1）判定两个平面是否相交;
（2）证明点共线或线共点问题；
（3）可以判定点在直线上. 点是某两个平
面的公共点，线是这两个平面的公共交线， 则这点在线上.
三、 平面基本性质的推论 （1）推论1 文字： a是任意一条直线 点A a
预习反馈
存在的问题：
1.不能熟练进行文字语言、图形语言及符号语言之间的相互转化； 2. 作图不规范； 3.对平面的基本性质与推论理解不透彻。
合作探究
内容：
1.如何进行文字语言、图形语言及符号语言之间的相互转化？ 2. 如何运用平面的基本性质与推论进行相关证明？
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组 内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
F D
∴连结PB，PB 即为 平面BED1F 与平面 P ABCD的交线.
C B
A
点也在面内，则该面为平面。
2．基本性质2 ①文字语言：经过不在同一条直线上的三 点，有且只有一个平面，也可以说成不共 线的三点确定一个平面。
②图形语言： ③符号语言：A、B、C三点不共线，有且 只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。
教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。
逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。
变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
1.2.1 平面的基本性质(2)
D1 A1
D AQ
C1 解：（1）
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
（1）画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线；
（2）画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
（空间若干点或直线都在同一平面内，称它们“共面”）
D
证 明 （ 法 一 ）： Q D l ， l 与 D 确 定 一 个 平 面 ，
Q Al,l , A ，Q D , AD ， 同理 BD ,CD ，直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
（ 法 二 ） Q AD I BD D ， AD, BD 确 定 一 个 平 面 ， A , B , AB 即l ， 又 Q BD I CD D ， BD,CD 确 定 一 个 平 面 ， B ,C , BC ,即l ，由推论 1 过直线 l 与点 D 有且 只有一个平面，与 重合，直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版 数学必修2
思考：
S
如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，
S是直角梯形ABDC所在平面外一点，如何画出平面 SBD和平面SAC的交线？并说明理由.
A
B
解： S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
（1）
C
D
E
（2）
C
D
E
（3）
高中数学必修二2.1.1平面课件
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C
1.2.1 平面的基本性质与推论
张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。
平面的基本性质ppt8 人教课标版
1.2 点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质
公理1常用于判定点在面内： P∈l，l⊂P∈． 公理2常用于：
①找两平面的交线；
②判定点在线上： P∈，P∈，且∩＝l P∈l．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
推论1证明二： 在直线l上任取两点A，B． ∵P∈l ∴A，B，P确定一个平面．
又A∈l，B∈l，A∈，B∈，
∴l⊂． 故直线l和点A确定一个平面．
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第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
练习：
1．两个平面重合的条件是（ D ）
A．有三个公共点
B．有无数多个公共点 C．有一条公共直线 D．有三个公共点，且三点不共线
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第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
2．下列命题中正确的个数为（ C ） a．三点确定一个平面；b．过三点至少 有一个平面；c．四条线段顺次首尾连接，所 得图形必为平面图形；d．两两平行的三条直 线必在同一平面内；e．两两相交的三条直线 必在同一平面内；f．在空间，两组对边分别 平行的四边形是平行四边形；g．在空间，两 组对边分别相等的四边形是平行四边形； h．梯形为平面图形． A． 1 个 B．2个 C． 3 个 D． 4 个
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质
公共点个数 有且只有一个 没有 没有
特别提醒
若直线 a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过 a,b 两条 直线.例如,如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB 和 B1C1 所在的直线 既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意 分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异 面.
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探究一
探究二
探究三
探究四
解析:图(1)可以用几何符号表示为 α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,直线 a 平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图(2)可以用几何符号表示为 α∩β=MN,△ABC 的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN,△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上,点 B 在 α 内但不在直线 MN 上,点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上. 答案:α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB α∩β=MN,△ABC 的三个顶 点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN
(2)在“A∈α,A∉ α,l⊂ α,l⊄ α”中“A”视为平面 α(集合)内的点(元素),直 线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.
图(1)可以用几何符号表示为
.
图(2)可以用几何符号表示为
经过不在同一条直线上的
高中苏教版数学必修2 目录课件PPT
章末复习课 章末综合测评(一)
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率 2.1.2 直线的方程 第1课时 点斜式 第2课时 两点式 第3课时 一般式
2.1.3 两条直线的平行与垂直 2.1.4 两条直线的交点 2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离
1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.3 中心投影和平行投影(略) 1.1.4 直观图画法
1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质 1.2.2 空间两条直线的位置关系 1.2.3 直线与平面的位置关系 第1课时 直线与平面平行 第2课时 直线与平面垂直 1.2.4 平面与平面的位置关系 第1课时 两平面平行 第2课时 两平面垂直
2.2 圆与方程 2.2.1 圆的方程 第1课时 圆的标准方程 第2课时 圆的一般方程 2.2.2 直线与圆的位置关系 2.2.3 圆与圆的位置关系
2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直角坐标系 2.3.2 空间两点间的距离
章末复习课 章末综合测评(二)
模块复习课 模块综合测评(A卷) 模块综合测评(B卷)
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1.2.1平面的基本性质与推论
中国人民大学附属中学
一．平面的基本性质： 平面的基本性质： 1．公理1： ．公理 ： ①文字语言：如果一条直线上的两点在 文字语言： 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 ； ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α 符号语言： ∈ ； ∈ ， ∈ ， ∈
⇒ AB ⊂ α.
练习： 练习：
（2） l ⊂ α, A∈l ⇒ ）
A∈α （1） ） ⇒ AB ⊂α 。 B∈α
A∈α
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证 公理 的作用有两个：（ ）作为判断和证 的作用有两个：（ 明直线是否在平面内的依据， 明直线是否在平面内的依据，即只需要看 的依据 直线上是否有两个点在平面内就可以了； 直线上是否有两个点在平面内就可以了；
可以用来检验某一个面是否为 （2）公理 可以用来检验某一个面是否为 ）公理1可以用来 平面，检验的方法为： 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后， 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。 也在面内，则该面为平面。
2．公理2： ．公理 ： 文字语言：经过不在同一条直线 不在同一条直线上的三 ①文字语言：经过不在同一条直线上的三 有且只有一个平面， 点，有且只有一个平面，也可以说成不共 线的三点确定一个平面。 确定一个平面 线的三点确定一个平面。 ②图形语言： 图形语言： 三点不共线， ③符号语言：A、B、C三点不共线，有且 符号语言： 、 、 三点不共线 只有一个平面α，使得A∈ ， ∈ ， 只有一个平面 ，使得 ∈α，B∈α， C∈α. ∈
（2）推论 ： ）推论3： 经过两条平行直线， 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 经过两条平行直线 个平面. 个平面 图形语言： 图形语言： a，b是两条直线 是两条直线 符号语言： 符号语言： a//b a，b共面于平面 ，且α是惟一的 . ， 共面于平面 共面于平面α， 是惟一的
第一章1.2.1平面的基本性质与推论教案教师版
§1.2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质与推论【学习要求】1．理解平面的基本性质与推论．2．能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题．3．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【学法指导】通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．连接两点的线中，线段最短；过两点有一条，并且只有一条直线．2．平面基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线 .3．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．4．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．5．基本性质的推论：推论1 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 ：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 ：经过两条平行直线，有且只有一个平面．6．异面直线：既不相交也不平行的直线叫做异面直线．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？探究点一平面的基本性质问题1在初中我们学习的点与直线的基本性质有哪些？答：连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．问题2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？答：教室的地面，天花板，平静的海面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．问题3实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？答：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．问题4直线和平面都可以看成点的集体，那么点、直线、平面的位置关系怎样用集合的符号表示？答：点A在直线l上．记作A∈l；点A在直线l外，记作A∉l.直线l在平面α内，或者平面α经过直线l，记作l⊂α；否则，就说直线l在平面α外，记作l⊄α.问题5如何用符号语言表示基本性质1？基本性质1有怎样的用途？答：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α；用途是判定直线是否在平面内．问题6生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？答：基本性质2：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．问题7如何用符号语言表示基本性质2？基本性质2有怎样的用途？答：符号表示为：A、B、C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α.基本性质2的用途是确定平面的依据．问题8基本性质2中“有且只有一个”的含义是什么？答：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面．“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面．”问题9如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？答：能确定一个平面，因为点A与直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．问题10如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？答：能确定一个平面，因为直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．问题11如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？答：能确定一个平面，因为两条平行线中含有不共线的三点A，B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．问题12回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？答：基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．问题13在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应该怎样处理才有立体感？答：应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．探究点二空间中两直线的位置关系问题1空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么两条直线有怎样的位置关系？答：平行或者相交．问题2如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？答：不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点A就在α内，这与点A在α外矛盾．由图知，直线l与直线AB没有公共点，所以它们不相交，直线l与直线AB不可能平行，否则它们就会同在平面α内，所以直线l与直线AB既不相交也不平行．小结：我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．例1如图中的△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在平面α内，因点A、点C都在平面α内，由基本性质1知，直线AC 在平面α内．小结：要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．跟踪训练1求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a、b、c和l共面．证明：如图．∵a∥b，由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b.则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由基本性质1可知l⊂α.∵b∥c，由推论3可知直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知l⊂β.∵平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，∴由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．∴平面α与平面β重合，∴直线a、b、c和l共面．例2如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．证明：∵C1、O、M∈面BDC1，又C1、O、M∈面A1ACC1，由基本性质3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．小结：证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．跟踪训练2空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线．证明：连接BD，则BD＝面ABD∩面BCD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF⊂面ABD，又M∈EF，∴M∈面ABD，①同理可证HG⊂面CBD，M∈面BCD，②由①②可得到M∈面ABD∩面BCD＝BD.故点B、D、M在同一直线上(或者点B、D、M共线)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作(B)A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β2．空间中可以确定一个平面的条件是(C)A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点3．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且a b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是(D)A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确解析：①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；⑤等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线．故选D.课堂小结：1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。
1.2.1平面的基本性质
点A在直线 l 上： 记为：A∈a
l
点B不在直线 l 上： 记为：B∈a A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α 点B不在平面α内：记为：B∈ α
α
B A
(3)直线与直线相交：
直线 l 与直线m 相交于点O记为
lmO
(4)直线与平面的位置关系：
直线 l 在平面α内 记为 l 直线 l 不在平面α内记为 m
平的，是无限延展的，没有厚 薄的
1 平面的特征
平面是平的，无限延展的，没有厚薄
的
情境
问题：我们可以通过怎样的方式 形成平面？
通过观察，发现：平面可以看成 是一条直线沿着某一方向平移得 到的。
（2）平面可视为直线的集合，也可视 为点的集合
2 平面的表示方法
（1）图形表示
平面通常用平行四边形来表示。 当平面水平放置时，一般把水平的平面画 成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的 平行四边形.
数学实验3 请大家坐凳子
茶几、坐椅
公理2:过不在一条直线上的三点，有 且只有一个平面
..
B
C
.
A
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面， 使得A, B ,C .
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
知识
方法
思想
1 知识层面
1）平面的基本特征、表示方法；
2）空间中点、线、面位置关系 的图形及符号表示； 3）平面的基本性质及其用途.
②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母 来表示，如平面ABCD或平面AC.
3.平面的基本性质 数学实验1:如果把硬纸板看作一个平面，
把你的笔看作是一条直线的话：
高中数学平面的基本性质(1)课件
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通常画平行四边形来表示平面.
四面体
三个平面相交 且交于一点
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在画平行四边形表示平面时，所表示的 平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°， 横边画成邻边的两倍.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四边形. 铅直平面
l A
平面α与平面β相 交于AB
α APage 23β NhomakorabeaB
AB
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念. ④ 其中正确的的命题是__________.
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如果几个平面画在一起，当一个 平面有一部分被另一个平面遮住时， 应把被遮部分的线段画成虚线或不画.
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两相交平面的画法：
β α α β
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平面与平面相交的画法
E M F
N
α∩β=AB 两个平面的交线必须画出,被别的平面遮 盖的部分线段,画成虚线或不画.
3. 平面的表示法
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1. 平面的特点
问题：请同学们观察下面的纸盒，它 是由几个面构成的？
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问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？ 桌面、黑板、地面、海平面等. 问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有 什么特点？ 很大、很平. 以上例子给我们“平面”的直观，但平面是 一个不加定义的概念，具有“平”、“无限 延展”、“无厚薄”的特点.
江苏省昆山市高中数学苏教版必修二教案1.2.1《平面的基本性质及推论(二)》
1.2.1平面的基本性质及推论（二）教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用教学过程：推论1：直线及其外一点确定一个平面（一） 推论2：两相交直线确定一个平面（二） 推论3：两平行直线确定一个平面（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内．求证：AB 和CD 既不平行也不相交．证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ， α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．求证：c b a 、、交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ．因为，β⊂a ，故β∈A ，同理，γ∈A ，故c A ∈．所以c b a 、、交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线． 证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，所以R Q P 、、三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ， 因为 L E 、是CB CD 、的中点，所以 BD EL //． 又 矩形11B BDD 中BD KF //，所以 EL KF //，所以 EL KF 、可确定平面α，所以 L K F E 、、、共面α，同理 KL EH //， A B C PQ R αC A A B B C D DEF G H K L 1111故 L K H E 、、、共面β．又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证α∈G ，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面．卡片：证明共面问题常有如下两个方法：(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( )(2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( )(3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( )(4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( )(5)矩形是平面图形. ( )2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的 条件．3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 .4.空间四个平面把空间最多分为 部分．5.空间五个点最多可确定 个平面．6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用课后作业：略。
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解 已知：四条直线 a、b、c、d 两两相交，且不过同一点． 求证：a、b、c、d 共面．
(1)若 a、b、c、d 四条直线中有三条共点，不妨设 a∩b∩c ＝A，a∩d＝B，b∩d＝C，c∩d＝D，且相交直线 a、d 所确定 的平面为 α，图像如图所示．
∵A∈a，a⊂α，∴A∈α，∵C∈d，d⊂α，∴C∈α. ∴AC⊂α，即 b⊂α. 同理，c⊂α.∴a、b、c、d 共面于 α.
名师点睛 1．证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内． 2．证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问 题称作共面问题，共面问题的证明，一般先确定平面，然后再 证明元素在这个确定的平面内，确定平面时，确定平面的元素 必须满足公理 3 或其三个推论的条件，证明元素在平面内，常 依据公理 1 或用反证法或用平面重合的方法．
3．证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平 面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点．
4．证明线共点的方法：先由某两条直线或某几条直线共点， 然后再证余下的直线过此点.
题型一 共面问题的证明 【例 1】 求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同 一平面内． [思路探索] 证明时可以先用推论 2，通过两条相交直线确 定一个平面，再用公理 1 证明其他直线也在这个平面内．
直线 AB 与直线 BC 交于点 B AB∩BC＝B
直线 AB 在平面 AC 内 AB⊂平面 AC
同理，点 P 不在直线 AB 上，记作 P∉AB；点 M 不在平面 AC 上，记作 M∉平面 AC；直线 AB 不在平面 AC 内，记作 AB⊄ 平面 AC.
3．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么
1．2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
【课标要求】 1．了解公理 1、公理 2、公理 3 及其推论 1、推论 2、推论 3. 2．能用公理 1、2、3 及其推论解决三线共点、三点共线及 点线共面问题．
【核心扫描】 1．公理 1、公理 2、公理 3 及其推论 1、推论 2、推论 3 的 了解．(重点) 2．能用公理 1、2、3 及其推论解决三线共点、三点共线及 点线共面问题．(难点)
(2)若 a、b、c、d 四直线无三条直线共点，设 a∩b＝A，a∩c ＝B，b∩c＝C，d∩a＝D，d∩b＝E，d∩c＝F，且相交直线 a、 b 确定的平面为 α，图像如图所示．
∵B∈a，a⊂α，∴B∈α，同理 C∈α. ∴BC⊂α，即 c⊂α，同理 d⊂α.∴a、b、c、d 共面于 α. 综合(1)(2)可知，a、b、c、d 四线共面．
证明 连接 MD1， 易知 MD1 是平面 ACD1 和平面 BB1D1D 的交线， ∵O∈B1D，B1D⊂平面 BB1D1D， ∴O∈平面 BB1D1D. 又 O∈平面 ACD1，∴O∈MD1.∴M、O、D1 三点共线．
4．平面的基本性质的推论 (1)推论 1 经过 一条直线和这条直线外的一点 ，有且只 有一个平面． (2)推论 2 经过 两条相交直线 ，有且只有一个平面． (3)推论 3 经过 两条平行直线 ，有且只有一个平面．
试一试：在立体几何中如何直接应用平面几何中的有关定 理解题或证题．
提示 将有关元素化归到一个平面内，才可以用平面几何 中有关定理解题或证题．如果不能化归到一个平面内，则平面 几何中有关定理或不成立，或成立但也不能直接应用，必须先 给出证明再使用．
规律方法 证明多线共面的一种方法是先由公理 3 确定一 个平面，再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．另 一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另 一个平面，再让这两个面重合．
【训练 1】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相 交，证明：这四条直线共面．
解析 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a、b、c、l 共面．
规律方法 证明点共线常有两种思路：一是过其中两点作一 条直线，然后证明其余的点都在这条直线上；二是由已知条件 设法证明这些点在两个平面的交线上．
【训练 2】 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B1D 与 平面 ACD1 交于点 O，BD 与平面 ACD1 交于点 M，求证：M、O、 D1 三点共线．
这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：
A∈α B∈α
⇒AB⊂α.
(2)公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还 有 其他公共点 ，这些公共点的集合是经过这个公共点的一
条直线．
用符号表示为： PP∈∈αβ⇒α∩β＝l 且 P∈l.只有 一个 平面．公理 3 也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
[思路探索] 本题主要考查三点共线的证明，关键是证明这 三个点都是两个已知平面的公共点．由已知条件，可取平面 ABC 和平面 α，只需证 P、Q、R 是这两个平面的公共点即可．
证明 由已知 AB 的延长线交平面 α 于点 P，根据公理 2， 平面 ABC 与平面 α 必相交于一条直线，设为 l.
∵P∈直线 AB，∴P∈平面 ABC. 又直线 AB∩平面 α＝P，∴P∈平面 α， ∴P 是平面 ABC 与平面 α 的公共点． ∵平面 ABC∩平面 α＝l，∴P∈l. 同理，Q∈l，R∈l. ∴点 P、Q、R 在同一条直线上．
自学导引 1．平面的概念 平面通常用希腊字母 α，β，γ，…表示，也可以用平行四边 形的两个相对顶点的字母表示，如图所示的平面可表示 为平面α 或平面 ABCD或平面 AC 或平面 BD .
2．点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点 P 在直线 AB 上
P∈AB
点 M 在平面 AC 上
M∈平面 AC
如图： ∵a∥b，∴a、b 确定平面 α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l 上有两点 A、B 在 α 内． 即直线 l⊂a，∴a、b、l 共面． 同理，a、c、l 共面，即 c 也在 a、l 确定的平面内． 故 a、b、c、l 共面．
题型二 点共线问题的证明
【例 2】 如图，已知△ABC 的三个顶点都不在平面 α 内， 它的三边 AB、BC、AC 延长后分别交平面 α 于点 P、Q、R.求 证：P、Q、R 在同一条直线上．