基于Matlab实现最小二乘曲线拟合

第 2期
王
可等 : 基于 M atlab 实现最小二乘曲线拟合
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设 x 和 y 之间的函数关系为 y = f ( x ), 则满足 Q = [ y i - f (x i ) ] = m in 的 f ( x ) 即为所求。
2
3 最小二乘法实现曲线拟合
首先介绍用最小二乘法实现曲线拟合时常用 的经验公式及选取合适公式的方法: 在工作中, 通常情况是找出两个量之间的关 系。此时需要对两个量的多组对应数据用经验公 式表示出来 , 因为经验公式形式紧凑 , 便于从理论 上进一步分析。 对表征 ( x i , y i ), i = 1 , 2 n 的关系 y = f ( x ; a, b, c ), 式中 a, b, c 为参数, 因自变量 x 已知 时 y 已测得, 故类型 f 决定后, 由误差方程 f ( x i; a, b, c ) = y i + vi, i = 1 , 2, n 就可用最小二乘 法决定经验公式中参数 a, b, c 。下面我们就来 介绍经验公式类型的选取。 经验公式类型 的选取主要靠 专业知识 来决 定 , 从数学方面去决定两个量的经验公式主要有 三种方法: 观察法、 近似法、 严格计算法。这三种 方法中, 观察法简单、 直观, 相对来说近似法和严 格计算法比较精确, 但比较繁琐。对于大多数情 况 , 都可以采用观察法来确定经验公式, 所以下面 主要介绍观察法。 观察法就是将数据 ( x i , y i ) 作图 , 与典型图 1 比较, 看所作图形与典型图中何种类似, 就取该类 型为 ( x i, y i )经验公式类型。
图形如图 2 。选型 y = ax 的经验公式。 ( 3) 由最小二乘法得 Q ( a, b ) = B ci ! h h
2b b
(B c - ah ) = m in
b
2
( 4) 编写 A. m 计算 a、 Q: ( 5) 改变 b 的取值, 调用 A. m 函数 : 经过比较, 当 b = - 3 . 528 时 , Q = 38. 5778 为最小 , 此时 a = 0. 0157 , 所以 Bc = 0 . 0157h
小二乘曲线拟合。可用一系列基函数进行最小二 乘曲线拟合 , 直接而通用的做法是用多项式, 即线 性拟合 ; 另外还可以选择其他基函数 , 这种做法称 之为非线性拟合。下面简要介绍一下最小二乘法 的基本原理 : 在数据处理中应用的最小二乘法原理是算术 平均值原理的推广。即多次等精度独立测得 l1, l2 ln 的最佳值 L = 1 n
Q ( a, b ) = 条件下求 a、 b。
{ l - a lg ( 1 + bt ) } = m in
由 Q ( a, b ) = m in ,按
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第 12 卷
计算得 a = 因为 c = 0 , 所以 a=
li lg ( 1 + bti ) - c lg ( 1 + bti )
表 1
t( 日 ) 0 6574 9496 10227 17546 18384 19404 19860 20225
l( )
0
60. 7
71 . 4
75 . 3
79. 4
79. 9
80. 9
82. 0
82. 8
今用 法在
l = a lg ( 1+ bt )逼近
l, 即由最小二乘
2
Q ( a, b) = 0 a Q ( a, b) = - 2 { [ l - a lg ( 1 + bt ) ] ! a lg ( 1 + bt) } = c(常数 )
代入数值由 x、 y、 b 计算 a、 Q; ( 5) 改变 b 的取值, 多次调用该 M 函数 , 比较 结果中的 Q 值 , 最小的 Q 值所对应的 a、 b 值即为 所求。 ∀ 改变 b 的取值 #这部分工作也可 编一个循 环函数 , 输入 b 可能取的区间 , 计算不同 b 对应的 Q, 再进行比较, 保留使 Q 最小 的 b 及对应的 a。 但通常 b 的改变对 Q 的影响不是线性的 , 为方便 观察结果并选择适当的 b, ∀ 改变 b 的取值 #这部 分工作最好还是编程者自己完成。 最后, 只要将得到的函数图像和 x、 y 的曲线 关系 图进行 对比 , 就可 以直观 的看 到拟合 的效 果了。 另外, M atlab 语言提供了一个函数, 可以完成 线性曲 线拟合 , 这就是 函数 polyf it 。 函数 po lyfit 的输入量为 x、 y、 n, 其中 x、 y 即为需要建立相互 关系的两个量的测量值, 以数组的形式输入, n 为 多项式的次数; 输出的是多项式系数的行向量 , 而 得到的多项式是降幂的。
2 2 2
2
vi + n(L - L )
2
2 曲线拟合的基本原理
曲线拟合就是拟合测量数据曲线。有时所选 择的曲线通过数据点 , 但在其他点上 , 曲线接近它 们而不必通过它们。在大多数情况下 , 选择曲线
收稿日期 : 2004 11 01
故 L 只有选为 L = L 时方为最小。 以上就是最小二乘法的基本原理, 用它可以 解决两个量之间关系的问题。 例如: 现有一组 ( x i, y i ), i = 1 , 2 和 y 之间的函数关系。 n, 要建立 x
- 3. 528
。
最后画出测量数据关系图和函数图像如图 3 。
图 2 数据曲线
图 3 数据曲线与函数图像
56 其中虚线为求得的函数图像。
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之间的最小二乘法的曲线拟合, 通过以上说明可
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下面再分别选 y = a + b logx 和 y = ax + bx + c 作为经验公式进行拟合: 1 对于型 , 步骤如上 , 结果为 a = - 30 . 9 , b= - 22 . 8831 , Q = 99 . 3345 ; 2 2 对于 y = ax + bx + c 型, 可用函 数 po lyfit 来做: po ly fit( h , Bc , 2) ans = 1 . 0e+ 003 * 2 . 3498 - 0 . 9981 0 . 1097 计算 Q = 44 . 1177; b 比较三种经验公式得到的 Q 值可知, y = ax 型得到的 Q 值最小, 因此是最合适的。
王 可, 毛志伋
( 中国传媒大学 通信工程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , 北京 100024 )
摘
要 : 物理量之间的函数关系在实 际研究 工作有很 重要的 作用 。 本 文首先介 绍了最 小二 乘原理 。 其次介
绍了用 M atlab 实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤 。 最后举例比较 了采用不同 方法进行 拟合得到的 结果 。 关键词 : M atlab; 最小二乘法 ; 曲线拟合 中国分类号 : 0241 2 文献标识码 : A 文章编号 : 1007- 8819( 2005) 02- 0052- 05
使得数据点的平方误差和最小。这种选择就是最
1 引言
在现代科学研究中, 物理量之间的相互关系 通常是用函数来描述的。有些函数关系是由经典 理论分析推导得出的, 这些函数关系不仅为我们 进一步的分析研究工作提供了物理的理论基础, 也使我们可以十分方便的运用丰富的数学知识来 解决物理问题。 在现实的物理研究过程中 , 有一些问题很难 由经典物理理论推导出物理量的函数表达式, 或 者推导出的表达式十分复杂, 不利于进一步的分 析。但由于研究需要 , 又很希望能得到这些量之 间的函数关系, 这时就可以利用曲线拟合的方法, 用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似 函数表达式。
4 用 M atlab 实现曲线拟合
M atlab 是一种功能强大的系统分析和仿真工 具 , 我们选用它作为实现曲线拟合的软 件工具。 用 M atlab 语言编程实现最小二乘法的思路 : ( 1) 输入各参量 x、 y 的测量值 ( 以数组形式 输入, 这样便于在计算过程中引用 ); ( 2) 用 M atlab 语言中的 plot函数 x、 y 的曲线 关系图 , 以此图对比典型曲线图 , 选择合适的经验 公式; ( 3 ) 按照上例中的方法, 选一个系数 a, 求 Q ( a, b) 对它的偏导数 , 求出其计算表达式 ; ( 4) 编写 M atlab 的 M 函数, 用来完成经验公 式中待定系数 a 的计算 , 该函数输入量为 x、 y、 b, 输出量为 a、 Q, 按照由最小二乘法推导出的公式
2
l
其残差 v i = li - L满足平方和 vi = m in (最小 ) 这一点是显然的 , 因对任何值 L 而言 li - L = li - L + (L - L ) = vi + (L - L ) ( li - L ) = = !
2
vi + 2 (L - L ) vi + n (L - L ) vi
图 1 典型图形
下面举例说明如何用最小二乘法实现两个量之间 关系的曲线拟合。 例 基线基准尺是由殷钢合金制成的, 研究 表明, 殷钢尺的长度随时间变化而增长, 越往后增 长得越慢, 这种殷钢随时间而变长的现象称作合 金时效。殷钢尺长度变化的规律经研究可用 l = a lg ( 1 + b t) 来描述 , 其中 l 为长度变 化值, t 为变 化时 间, a 、 b 为常数。 基准尺尺长的实际变化如表 1 。
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2005 年 6 月 第 12 卷 第 2期 北京广播学院学报 ( 自然科学版 ) JOURNA L O F BE IJI NG BROADCA ST I NG INST ITUT E ( SC IENCE AND TECHNOLOGY ) June 2005 V o l 12 , No 2