高中数学空间向量的正交分解及其坐标表示教案人教新课标必修2
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》参考教案2
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。
2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：空间向量的正交分解与坐标表示；空间向量的投影的定义及运算三、教学设计创设情境—感知概念（一）问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？（二） 课前练习1、在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的-单位向量把,i j k ，叫作 2、标准正交分解：若,i j k ，是标准正交基，对空间任意向量a ，存在三元有序实数（x ，y ，z ），使=a xi y j zk ++叫作a 的3、坐标的意义(1)坐标的意义：向量的坐标等于(2)投影的定义：一般地，若0b 为b 的单位向量，称0cos ,a b a a b =为向量a 在向量b 方向上的（三）新课讲解1、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，a 是空间中的任意向量2、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a ，存在唯一 一组三元有序实数（x ，y ，z ），使得=a xi y j zk ++我们把=a xi y j zk ++叫作a 的标准正交分解，把,i j k ，叫作标准正交基 （x ，y ，z ）叫作空间向量的坐标.记作(,,)a x y z =.(,,)a x y z =叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p 的坐标为（x ，y ，z ），向量的坐标也是（x ，y ，z ）注：当a 的起点在坐标原点时，a 的终点的坐标为（x ，y ，z ）(,,)a x i y j z k a x y z ⇔=++⇔=Oi jk例1在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1)写出1C 的坐标，给出1AC 关于,i j k ，的分解式 (2)求1BD 的坐标解：(1)因为1235AB BC AA ===，，，所以 (2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)D B 所以1(3,2,5)BD =-3、空间向量的坐标意义设a xi y j zk =++，那么a i ⋅()xi y j zk i =++⋅xi i y j i zk i =⋅+⋅+⋅由于2||1i i i ⋅==，而i j ⊥，0i j ⋅=，同理0k i ⋅=所以a i x ⋅=，同理,a j y a k z ⋅=⋅=我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影。
空间向量的分解与坐标表示 教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。
人教版高中数学选修2-1空间向量的正交分解及其坐标表示导学案
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点难点】空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示【学习过程】一、自主预习（预习教材P92-96找出迷惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的随意一个向量a,b是平面上两个向量，老是存在实数对x, y ，P ，使得向量 P 能够用 a,b 来表示，表达式为，此中 a ,b 叫做. 若a b ，则称向量 P 正交分解 .复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和 y 轴上的向量i, j作为基底，对平面上随意愿量 a ，有且只有一对实数x，y，使得 a xi y j ，，则称有序对x, y 为向量 a 的，即a＝.二、合作研究概括展现研究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的随意愿量 a ，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要几个向量？这几个向量有何地点关系？三、议论沟通点拨提高新知：⑴空间向量的正交分解：空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、3 a3 ，使a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解就是空间向量的正交分解 .(2) 空间向量基本定理：假如三个向量 a ,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底， a, b, c 都叫做基向量 .反省：空间随意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为做单位正交基底，往常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量a，且设轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j 数组 { x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.，则这个基底叫i、j、 k 为x轴、y zk ，则称有序实⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1,a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴a＋ b＝(a1b1, a2b2 ,a3b3 ) ；⑵a－ b＝(a1b1 , a2b2 , a3b3 ) ；⑶λa＝( a1,a2 , a3 ) (R) ；⑷a· b＝a1b1a2 b2a3 b3 .试一试：1.设 a 2i j3k ，则向量 a 的坐标为.2.若 A (1,0,2) ， B (3,1, 1)，则AB＝.3.已知 a＝(2,3,5) ，b＝( 3,1, 4) ，求a＋b，a－b， 8a，a·b四、学能展现讲堂闯关例 1 已知向量 a ,b, c 是空间的一个基底，从向量 a ,b, c 中选哪一个向量，必定能够与向量p a b, q a b 组成空间的另一个基底？变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量 OA, OB,OC 不组成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 能否共面？小结：判断空间三个向量能否组成空间的一个基底的方法是：这三个向量必定不共面.例 2 如图，M,N分别是四周体QABC 的边OA,BC 的中点， P,Q 是 MN 的三平分点，用OA,OB,OC表示 OP和OQ.变式：已知平行六面体ABCD A' B' C' D'，点G 是侧面 BB'C 'C 的中心，且OA a ，OC b,OO ' c ，试用向量 a,b, c 表示以下向量 :⑴ OB', BA' ,CA' ;⑵ OG.※ 着手试一试练 1.已知a2, 3,1 , b2,0,3, c0,0,2 ，求：⑴ a b c；⑵ a6b8c .练 2. 正方体ABCD A 'B 'C ' D ' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、y 轴、z轴正方向成立空间直角坐标系，则点D1，AC,AC'的坐标分别是，，.五、学后反省1.空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2.空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展成立空间直角坐标系前，必定要考证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则依据已知条件，经过作协助线来创建建系的图形.【课后作业】：1. 已知 A3,5, 7 , B2,4,3 ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段AB 的长度 .2. 已知a,b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b,a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是 1,2,3，求 p 在 a b,a b,c 的坐标 .。
人教版选修2-13.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
间任意三个向量就不
一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
分别是 C1C 、D1 A1 的中点,求点 A 到直线 EF 的
距离.
174
6
练习 3:
⑴在正方体 ABCD A1B1C1D1中, D1 E 、F 分别是 BB1 、CD 的中点, A1 求证: D1F 平面ADE .
D
A
C1
B1
E
F
C
B
⑵如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， 求证：B1C∥面 ODC1.
2.共线向量定理：空间任意两个向量
a
、b（
b
≠
0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
•l
注:非零向量 a 叫做
A•
P
直线 l 的方向向量.
a
思考
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
及其应用． • 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
共线与共面分析
复习回顾:
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
选修2-1314《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学陈科钧一、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。
二、教学目标1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力，进一步培养学生的空间观念。
3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。
三、学情分析学生在这之前已经学习了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第二章：点、直线、平面的位置关系以及第四章第四节：空间直角坐标系。
已经掌握了平面向量的相关知识，空间向量的线性运算与数量积运算，同时体会到平面向量与空间向量的高度和谐性。
但同时学生对向量的推广到空间还缺乏深刻的思考，思维还具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性过程认识还不到位。
四、教学重点、难点重点：理解空间向量基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
难点：理解平面向量基本定理及其意义及其证明过程（任意性、唯一性、任意性）。
五、教学策略1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用问题引入，启发诱导、类比探究的模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成一般性的方法，另外恰当运用多媒体技术辅助教学，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。
2.学法分析让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、课标要求：空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．二、教学分析《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标．．．．．．的转化．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．与在推广过程中．．上的和谐性．．．．．，体验数学在结构的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．所带来的影响.”．．增加三、教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．学情分析：在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
【探究2】在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？【探究成果】通过刚才的探究，类比平面向量基本定理，你能得到什么结论呢？【练习1】已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是().A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c 基于探究1的探究成果，可先尝试由学生自主探究，再小组交流.投影展示，学生简述.由学生总结，教师指导.改编自课后练习1，强化基底概念.学生回答.4、空间向量正交分解及其坐标表示【自主学习】阅读课本内容,并通过类比平面向量的正交分解和坐标表示，完成下表.【练习2】1.计算单位正交基底之间的数量积：2.设{,,}i j k是空间的单位正交基底，32a i j k=+-，242b i j k=-++，则向量a b+的坐标为．考虑内容难度和类比平面知识出发，由学生自学完成.学生回答.用于检测自学效果，强化概念.学生回答.5、空间向量基本定理的应用【例题】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量OA，OB,OC表示OP和OQ.【练习3】平行六面体''''OABC O A B C-，点G是侧面''BB C C的中心，且aOA=，bOC=，cOO='，试用向量a，b，c表示向量AB'和OG.学生先独立思考说明解题思路，师生共同完成，注意步骤的规范性.通过本题掌握空间向量基本定理在立体几何中的简单应用.学生独立思考.学生板书.6、总结归纳1、学生总结本节课的收获.2、教师进一步分析、推广，激发学生学习兴趣.学生回答.利用总结归纳过程，适当开展德育教育.7.布置作业【基础巩固】学案巩固练习.【能力提升】思考空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的第2个问题有什么联系?你有何体会?【能力提升】作业的设置主要考虑为了保证本节课学生充分的探究时间，考虑到学生的认知能力.8.德育教育课堂最后借助名人名言，适当开展德育教育引用老子与拉普拉斯的话语.9.板书设计3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、知识回顾三、例题.二、1.空间向量基本定理2.正交分解及其坐标表示练习.注重规范.GC'O'B'CA BOA'《空间向量的正交分解及其坐标表示》学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；《空间向量的正交分解及其坐标表示》效果分析在上完这节课后，根据学生在课堂上对教师提出来的关于“空间向量基本定理”的知识应用题解决能力以及从课后作业情况来看，教学效果很好。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
教学设计3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示整体设计教材分析空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．课时分配1课时教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．重点难点教学重点：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．教学难点：空间向量基本定理的应用．教学过程引入新课提出问题：回忆平面向量基本定理的内容，思考平面向量基本定理的作用．活动设计：教师提问旧知，学生回答，思考得出结论．活动成果：1．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .2．平面向量基本定理的作用：平面内任意两个不共线的向量称为平面向量的一组基底，平面内任一向量都可以用这组基底来唯一地表示．3．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，选择平面内相互垂直的两个单位向量i ，j 作为平面向量的基底，任一向量p 都存在唯一确定的一对实数(x ，y)，使p ＝x i ＋y j ，建立了向量和有序数对的一一对应关系，所以可以用有序数对来表示向量，故把(x ，y)称为平面向量p 的坐标．设计意图：巩固学生的认知基础，为探索新知作好准备．探究新知提出问题1：平面向量存在基底，那么空间向量是否存在基底，基底是否唯一？活动设计：学生先自己思考，然后小组交流，交流各自的想法；教师指导学生利用空间几何体来研究，并巡视参加学生讨论．活动成果：1．空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组{x ，y ，z}，使p ＝x a ＋y b ＋z c .证明：(存在性)设a ，b ，c 不共面，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OP →＝p ；过点P 作直线PP ′平行于OC ，交平面OAB 于点P ′，连接OP ′，在平面OPC 内，作PC ′∥OP ′，交直线OC 于点C ′；在平面OAB 内，过点P ′作直线P ′A ′∥OB ，P ′B ′∥OA ，分别与直线OA ，OB相交于点A ′，B ′，于是，存在三个实数x ，y ，z ，使'OA ＝xOA →＝x a ，'OB ＝yOB →＝y b ，'OC ＝zOC →＝z c ，∴OP →＝'OA ＋'OB ＋'OC ＝xOA →＋yOB →＋zOC →.∴p ＝x a ＋y b ＋z c .(唯一性)假设还存在x ′，y ′，z ′使p ＝x ′a ＋y ′b ＋z ′c ，∴x a ＋y b ＋z c ＝x ′a ＋y ′b ＋z ′c .∴(x －x ′)a ＋(y －y ′)b ＋(z －z ′)c ＝0.不妨设x ≠x ′，即x －x ′≠0，∴a ＝y －y ′x ′－x ·b ＋z －z ′x ′－x·c . ∴a ，b ，c 共面．这与已知矛盾，∴该表达式唯一．综上两方面，原命题成立．2．由此定理，若三向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ∈R ，y ∈R ，z ∈R }，这个集合可以看作由向量a ，b ，c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量．3．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．设计意图：引导学生探索出空间向量基本定理．提出问题2：空间向量能不能用坐标表示？应如何选择空间向量的基底？活动设计：学生自主探索；教师巡视指导．活动成果：1．单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示．2．在空间直角坐标系O —xyz 中，分别以和x 轴、y 轴、z 轴共线的单位向量i ，j ，k 作为单位正交基底，则对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x i ＋y j ＋z k ，则空间向量和有序数组建立了一一对应关系，可以用有序数组来表示向量．于是，我们把(x ，y ，z)称为空间向量p 的坐标．设计意图：类比平面向量坐标的由来引导学生得出空间向量的坐标表示．理解新知提出问题：O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，是否都能找到唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →？活动设计：学生自己推证，教师巡视指导．活动成果：∵O ，A ，B ，C 是不共面的四点，∴OA →，OB →，OC →不共面．由空间向量基本定理得，对于向量OP →，存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA→＋yOB →＋zOC →.设计意图：加深对空间向量基本定理的理解，增强学生的应用意识．运用新知已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.思路分析：要用OA →，OB →，OC →表示向量OG →，就是要找到一组有序实数x ，y ，z ，使OG→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，这主要用向量的加法及减法的性质，由向量OG →入手，看一看向量OG →可以由哪些向量的和或差得到．解：OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →]＝16OA →＋13OB →＋13OC →.∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 巩固练习如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解：∵OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 中点，∴OD →＝12(OB →＋OC →)． ∴OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又∵OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， ∴GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a . ∴OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a . 达标检测1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →，OB →，OC →共线B.OA →，OB →共线C. OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面2．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a ，b 的关系是________．答案：1.D 2.13(a ＋b ＋c ) 3.垂直课堂小结1．知识收获：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想、基底思想．布置作业课本习题3.1A 组第11题、补充练习．补充练习基础练习1．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2b D. a ＋2c2．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)3．在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，∠AOB ＝π2，||AO ＝4，||BO ＝2，||AA ′＝4，D 为A ′B ′的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________，A ′B →的坐标是________．答案：1.D 2.A 3.(－2，－1，－4) (－4,2，－4)拓展练习4．设四面体OABC 的棱OA ，BC ，OB ，AC ，OC ，AB 的中点分别是P ，Q ，R ，S ，M ，N.试判断线段PQ ，RS ，MN 的中点是否重合，用向量证明你的判断．证明：选择OA →，OB →，OC →作为空间向量的一组基底．设PQ 的中点为D ，RS 的中点为E ，MN 的中点为F.则OD →＝12(OP →＋OQ →)＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(OA →＋OB →＋OC →)．同理可得OE →＝14(OA →＋OB →＋OC →)，OF →＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴OD →＝OE →＝OF →，且三个向量有相同的起点O.∴D ，E ，F 三点重合，即线段PQ ，RS ，MN 的中点重合．设计说明本节课介绍了空间向量基本定理和空间向量坐标表示．空间向量基本定理由学生根据平面向量基本定理类比发现，然后选择一组正交基底得到向量的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生根据已有知识基础把新知识类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行巩固练习，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA＝AD ＝1.求MN →、DC →的坐标．思路分析：选择一组正交基底，写出向量的坐标即可．解：∵PA ＝AD ＝AB ，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .以i 、j 、k 为正交基底建立空间直角坐标系A —xyz.∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12j ＋k ＋12(－k －i ＋j ) ＝－12i ＋12k ， ∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)． 点评：空间直角坐标系的建立需寻求三条两两互相垂直的直线，应重视向量的坐标的定义．2四棱锥P —OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示：BF →、BE →、AE →、EF →.解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ， BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c ， AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋12b ＋12c ， EF →＝12CB →＝12OA →＝12a . 点评：空间向量的一组基底{a ，b ，c }可以表示出任一空间向量，要注意应用三角形法则、平行四边形法则．(设计者：殷贺)。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海区龙赛中学盛华一、教材分析本课时是普通高中新课程标准实验教科书《数学》选修2-1中第三章空间向量与立体几何：第一节“空间向量及其运算”的第四课时。
学生之前已经学完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空间几何体和第二章：点、直线、平面之间的位置关系，以及第四章第四节：空间直角坐标系．空间向量是平面向量的推广，是二维概念到三维概念的延伸，是联系代数、几何、三角的重要载体。
本节课通过类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理．在此基础之上，通过空间向量的单位正交分解，完成从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，为用空间向量解决立体几何问题做好重要的铺垫．有了空间向量基本定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间中的一个点或者一个向量与一组有序实数建立起一一对应的关系。
通过不断与平面向量进行类比来学习空间向量，把三维问题转化为二维问题，充分体现了类比思想和化归思想在研究问题过程中的重要作用。
二、学情分析学生已经理解平面向量相关知识，初步学习了空间向量在表示方法、加减运算、数乘运算、数量积运算等内容。
在将平面向量推广到空间向量时，学生会感受到维度增加所带来的复杂性。
他们虽然理解了平面向量基本定理，也具备一定的分析和解决问题的能力，但可能缺乏冷静、深刻的思考，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
三、教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
高中数学 空间向量的标准正交分解与坐标表示参考教案
2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 教案一、教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
二、教学重点：空间向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标运算 三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程 （一）、创设情景 1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1( i，)1,0( j ，0,0(0（二）、探析新课 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r， 以点O 为原点，分别以,,i j k r r r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O xyz ，点O 叫原点，向量,,i j k r r r都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。
（3）作空间直角坐标系O xyz 时，一般使135xOy o （或45o ），90yOz o； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a r ，设,,i j k r r r为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k r r r r，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a r 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作123(,,)a a a a r．在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk u u u r r r，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则112233(,,)a b a b a b a b r r， 112233(,,)a b a b a b a b r r， 123(,,)()a a a a R r，112233//,,()a b a b a b a b R r r，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(陈菊仙)一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量b a p +=，b a q -=构成空间的另一基底的是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，b a p +=，b a q -=不共线，且在向量a ，b 决定的平面内，而c 不在该平面内，故p ，q ，c 构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则向量OA ，OB ，OC 共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且a AB =，b AD =，c AA =1，若c z b y a x AE ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵AE )(211BB BC AB BE AB ++=+=AB ++=a ++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量b a p +=，c b q +=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以p ，q ，r 为基底，=AB ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】c b a AB ++=)222(21c b a ++=)]()()[(21a c cb b a +++++==++． 【思路点拨】将基底a ，b ，c 转化为基底p ，q ，r 来表示．++ (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量a ，b ，c 是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+B ．2,,2b b a b a -+C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设a ，b 2，c b -共面，则有2b c xa y b -=+⋅， 解得()(12)c x a y b =-+-，与a ，b ，c 不共面矛盾， ∴a ，b 2，c b -不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，r }是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量m ，n 构成空间的另一基底的是（ ） A ．pB ．qC ．rD ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设r 与q p m 2+=，q p n +=2共面， 则有r n y m x +=)2()2(q p y q p x +++=，与r ，p ，q 不共面矛盾，∴r 与q p m 2+=，q p n +=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++)(21AA AD AB ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量AB ，AD ，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB AC ++=．同类训练 若向量21e e a +=，32e e b +=，31e e c +=，32132e e e d ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当c b a d γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e d γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将d 表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，k j b +=，c k i =+，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++． 【思路点拨】先将OA 用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{k j i 是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量b a +的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(k j i -+=)242(k j i ++-+k j i ++=6．【思路点拨】以},,{k j i 为基底来表示向量a ，b ，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{c b a 是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量d 在基底},,{c b a 下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量a ，b ，c 的系数组成的有序实数组就是向量d 的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{c b a 是空间的一个基底，若b a p +=，b a q -=，则（ ） A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设q y p x c +=，即c )()(b a y b a x -++=b y x a y x )()(-++=，与c 与a ，b 不共面矛盾．故c ，p ，q 不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，其中j i a 24+=，k j b 32+=，j k c -=3，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标是 ． 【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】c b a OA 32++=)24(2j i +=)32(k j ++)3(3j k -+k j i 1238++=，故点A 在基底},,{k j i 下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{c b a 下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{k j i 下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．OM ++=B ．MC MB MA +=C ．OC OB OA OM ++=D ．MC MB MA -=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量MA ，MB ，MC 共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，MA 在MB ，MC 确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则MN 的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AN PN AP +=AP +=)(21AC PA AP ++=)(21AD AB ++=，AM =MN AM AN -=+=，故MN 的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若a AB =，b AD =，c AA =1，则BM 可表示为（ ）A c ++B ．c +-C ．c +--D ．c ++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AB AA AD AB -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{x b a ，②},,{z y x ，③},,{z c b ，④},,{c b a y x ++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵b a x +=，∴x 在a ，b 确定的平面内，故},,{x b a 不能作为基底．而},,{z y x ，},,{z c b ，},,{c b a y x ++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21AP AD +-+=AD AB AP AD )](32)21=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将AN 和AM 表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{AD AC AB 为基底，则=GE ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43AB AD BE -==， 又)(31)(2132AC AB AC AB AG +=+⨯=，∴=GE AG AE -AG BE AB -+=)(31)(43AC AB AB AD AB +--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e OA -+=，32123e e e OB ++-=，321e e e OC -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e OD +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{OC OB OA 能作为空间的一个基底．设OC r OB q OA p OD ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴OC OB OA OD 30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，OC OB OA OD 30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(c b a -+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将p 表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 a AB =，b AC =，c AA =1，则=DE （用a ，b ，c 表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE E A DA 11+=)(21111C A B A ++=)(211AA AC AB -++=)(21c b a -++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{c b a ，c b a m 2+-=，c b y a x n ++=，若m 与n 共线， 则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵m 与n 共线，∴n m λ=，即c b y a x ++）c b a 2(+-=λc b a λλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，c AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{c b a 表示以下向量．（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD AC AM +=)2(211AA AD AB ++=b ++=；（3）)(2111AD AC AN +=)]()[(2111AA AD AA AD AB ++++=c b ++=；（4）CQ AC AQ +=)(541AC AA AC -+=+=)(51AD AB ++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，b ，c 表示出来．【答案】（1）)(21c b a ++；（2b ++（3c b ++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若01=+D A EF λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a DA =，b DC =，c DD =1，则)(1c a D A +-=，又])(21[)(21c b a c b DE DF EF ++-+=-=-=，∴EF =，故21-=λ． 【思路点拨】将EF 与D A 1用a ．b ，c 表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，k j i d 523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(k j i +-=λ)23(k j i -++μ)32(k j i -+-+νk j i )32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{k j i 是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{k j i 表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学生版
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．【学习过程】一、自主学习知识点一 空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的知识点二 空间向量的坐标表示(1)设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，此时向量p 的 恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(2)向量p 的坐标是把向量p 的起点平移到坐标原点O ，则OP →的终点P 的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.二、合作探究问题1 平面向量基本定理的内容是什么？问题2 平面向量的坐标是如何表示的？探究点1 空间向量的基底例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？探究点2 用基底表示向量例2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.探究点3 应用空间向量坐标表示解题例3 棱长为1的正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →；(2)EF →，EG →，DG →.三、当堂测试1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，853．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →、OB →、OC →共线B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面4．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
人教版高一数学教案-空间向量的正交分解及其坐标表示
3. 1.4 空間向量的正交分解及其座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。
2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。
重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。
2．座標判斷兩個空間向量平行。
教學過程1．情景創設： 平面向量可用座標表示，空間向量能用空間直角坐標表示嗎？2．建構數學：如圖：在空間直角坐標系O xyz -中，分別取與x 軸、y 軸、z 軸方向相同的單位向量,,i j k 作為基向量，對於空間任一向量a ，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序實數組（x ，y ，z ）叫做向量a 的空間直角坐標系O xyz -中的座標，記作a ＝（x ，y ，z ）。
在空間直角坐標系O －xyz 中，對於空間任意一點A （x ，y ，z ），向量OA 是確定的，容易得到OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的座標為OA =（x ，y ，z ）。
這就是說，當空間向量a 的起點移至座標原點時，其終點的座標就是向量a 的座標。
類似于平面向量的座標運算，我們可以得到空間向量座標運算的法則。
設a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），則a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空間向量平行的座標表示為a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例題分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空間四點A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求證：四邊形ABCD 是梯形。
例3：求點A（2，－3，－1）關於xOy平面，zOx平面及原點O的對稱點。
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王新敞
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三、数学运用 三、例题讲解 1、例 1 如图，在正方体 OADB CA D B 中， ，点 E 是 AB 与 OD
/ / /
例题分
P'
B
e1 , e 2 , e 3 叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底 叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向
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量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 i , j , k 表示。 推论：设 O , A , B , C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都
思考
一个唯一的有序实数组 ( x , y , z ) ，使 p x e1 y e 2 z e 3 由此定理， 若三向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间的任一向量都
O A
C' C
P
B'
可由 e1 , e 2 , e 3 线性表示，我们把{ e1 , e 2 , e 3 }叫做空间的一个基底，
教师活动 平面向量基本定理的内容及其理解 如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 ，
使 a 1 e1 2 e 2
e2
学生活动 思考
a
e1
二、新课导入
1、空间向量的基本定理
如果三个向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在
O
分析思考
M C A B
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G N
∴ OG 四、练习 五、小结
1 6
OA
1 3
OB
1 3
OC
3、课堂练习 课本练习 94 页练习 1，2，3 知识小结: 本节课要求学生掌握空间向量基本定理，理解基底的概念。 学生掌握本节课内容，课堂气氛活跃
课后反思
课题：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 第一课时 教学目标： 知识与技能：掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且 这种表示是唯一的；在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。 过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。 情感态度与价值观：培养学生空间想象能力。 教学环节 一、复习引入
的交点,M 是 OD 与 CE 的交点， 试分别用向量 OA , OB , OC 表示 OD 和 OM 解： OD / OA OB OC
C
/
M B E O A D
OM
1 3
OA
1 3
OB
1 3
OC
例 2 如图，已知空间四边形 OABC ，其对角线 OB , AC ， M , N 分 别是对边 OA , BC 的中点，点 G 在线段 M N 上，且 MG 2 GN ， 用基底向量 OA , OB , OC 表示向量 OG 解： OG OM MG
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2 OM MN 3 2 1 O A (O N O M ) 2 3 1 2 1 1 O A [ (O B O C ) O A ] 2 3 2 2 1 1 1 O A (O B O C ) O A 2 3 3 1 1 1 OA OB OC 6 3 3