高中数学复习学(教)案(第16讲)等比数列

题目第三章数列等比数列 高考要求理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题. 知识点归纳1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项也就是，如果是的等比中项，那么Gb aG =，即ab G=23．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或着n mn m a a q-=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S nn ○2)1(11≠--=q qq a a S n n○3当1=q 时，1na S n=当1q ≠时，前n 项和必须具备形式(1),(nn S A q A =-≠6．等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有mn m n qa a -=② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a如图所示：nn aa na a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321 ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列如下图所示：kkk k k SS S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++题型讲解例1等比数列}{n a 中，各项均为正数，且610354841,4a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，求84a a +解：设等比数列首项为1a ，公比为q ，则⎩⎨⎧=+⇒=+⇒==+749)(441842732110216211421a a q q a q a q a q a 另法：2261035844141a a a a a a ⋅+⋅=⇒+=， 4848428a a a a ⋅=⇒⋅= 将两式相加得 248()41849a a +=+=又因为数列}{n a 中，各项均为正数，所以84a a +＝7.例2一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 解：设所求的等比数列为a ,aq ,aq 2,则 2(aq+4)=a+aq 2 且(aq+4)2=a(aq 2+32)解得a=2 ，q=3 或a=92，q=-5故所求的等比数列为2，6,18或92，-910例3设首项为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q 解：设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n 依题意设：a 1＞0，S n =80 ，S 2n =6560 ∵S 2n ≠2S n , ∴q ≠1从而()111na q q--=80 且21(1)1na q q--=6560两式相除得1+q n =82 ，即q n =81∴a 1=q-1＞0 即q ＞1,从而等比数列｛a n ｝为递增数列，故前n 项中数值最大的项为第n 项∴a 1q n-1=54,从而(q-1)q n-1=q n -q n-1=54 ∴q n-1=81-54=27∴q=18127n h q q-==3∴a 1=q-1=2故此数列的首为2，公比为3例4已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =14a n +1,求a 1+a 3+……+a 2n-1 .解：当n=1时，a 1=s 1=14a 1+1即a 1=43；当n ≥2时，a n =S n -S n-1=14a n -14a n -1 即113n n a a -=-∴数列｛a n ｝是以43为首项，-13为公比的等比数列∴a n =43(-13)n-1 ,a 2n-1=43(-13)2n-2=43(19)n-1∴a 1+a 3+……+a 2n-1=41[1()]39119h--=31(1)29h -例5 在n1和1+n 之间插入n 个正数，使这2+n 个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积；解法1：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，且公比为q 则,,,2,1,1),1(,1111n k q n x n n qqn n kk n n ==+=∴=+++ 22)1(21221)1(11111nn n nnnnn n nn qnqnqnq nq nx x x T +===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=++++ 解法2：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，1,110+==+n x nx nnn x x x x x x n n n 112110+==⋅=⋅=⋅-+n n x x x T ⋅⋅⋅= 21 nn n n nnn x x x x x x T )1()()()(11212+=⋅⋅⋅=-2)1(nn nn T +=∴说明：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到；例6 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且 （1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且1113,()(*,2),2n n b a b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求证为等差数列，并求n b ．解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+ 两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n na m a m +∴=+{}n a ∴是等比数列． 111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n nn nnn m b a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评：为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例7 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）； （２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论. 解：（１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列， ∴)0(11>=-q qS S n n．当n=1时，a 1=S 1；当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n qq S n S a n n（２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+>∴2312a a a >+．21211112,2(1)(1)2(1)n nn n n n n a a a S q qS q q S q q--++≥+-=-+---当时()3211.n S q q -=-∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+=②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则 若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则 若211,2.n n n qa a a ++>+<则点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：11,(1).(2)n n n S n a S S n -⎧==⎨-≥⎩例8 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800万元，以后每年投入本年度当地旅游产业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元写出a n 、b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(Ⅰ)第1年投入800万元，第2年投入800(1-15)万元，……， 第n 年投入800(1-15)n-1万元所以总投入为a n =800+800(1-15)+……+800(1-15)n-1=4000[1-(45)n ]第1年的收入400万元， 第2的收入400(1+14)万元，……，第n 年的收入为400(1+14)n-1万元所以总收入b n =400+400(1+14)+……400(1+14)n-1=1600[(45)n -1](Ⅱ)要使旅游业的总收入超过总投入，即b n -a n ＞0由(Ⅰ)得1600[(45)n -1]-400[1-(45)n ]＞0化简得，5×(45)n +2×(45)n -7＞0设x=(45)n ，则5x 2-7x+2＞0 ∴x ＜25或x ＞1(舍) 即(45)n ＜25，故n ≥5故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答小结：等比数列的通项公式和前n 项和公式涉及五个基本量：a 1、q 、n 、a n 、S n ，“知三求二”是最基本的运算，用待定系数法建立方程是重要的处理策略学生练习1．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ）（A ）第13项 （B ）第14项 （C ）第15项 （D ）不在此数列中 2．在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为（ ）（A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pqm+n-13.若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（ ） （A ）若q>1,则a n+1>a n （B ）若0<q<1,则a n+1<a n（C ）若q=1,则s n+1=S n （D ）若-1<q<0,则n n a a <+1 4．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a 0≠),a 19+a 20=b,则a 99+a 20的值为（ ） （A ）89ab （B ）（ab ）9（C ）910ab（D ）（ab ）105．在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为 （A ）n 3 （B ）n31（C ）13+n （D ）23+n6．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x 的值为（ ）（A ）-4 （B ）-1 （C ）1或4 （D ）-1或-47．已知数列{a n }是公比q 1≠的等比数列，给出下列六个数列：（1）{ka n }(k 0≠) (2){a 2n-1} (3){a n+1-a n } (4){a n a n+1} (5){na n } (6){a n 3},其中仍能构成等比数列的个数为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）3 8．a,b,c 成等比数列是b=ac 的（ ）（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件9．已知数列{a n }的前n 项和为S n =b ×2n+a(a ≠0,b ≠0),若数列{a n }是等比数例，则a 、b 应满足的条件为（ ）（A ）a-b=0 （B ）a-b ≠0 （C ）a+b=0 （D ）a+b ≠0 10.在正项等比数列{a n }中，若s 2=7,s 6=91,则s 4的值为（ ） （A ）28 （B ）32 （C ）35 （D ）4911．一个等比数列共有3n 项，其前n 项之积为A ，次n 项之积为B ，末n 项之积为C ，则一定有（ ）（A ）A+B=C （B ）A+C=2B （C ）AB=C （D ）AC=B 212．在等比数列{a n }中，S n =k-(21)n，则实数k 的值为（ ）（A ）21 （B ）1 （C ）43 （D ）213．设{a n }为等比数列，S n =a 1+…a n ,则在数列{S n } 中（ ） （A ）任何一项均不为零 （B ）必有一项为零（C ）至多有一项为零 （D ）或有一项为零，或有无穷多项为零 14．在由正数组成的等比数列{n a }中，若a 4a 5a 6=3,log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8 +log 3a 9的值为（ ） （A ）34 （B ）43 （C ）2 （D ）33415．某产品每年成本降低的百分数为m,若五年后的成本是a 元，则现在的成本是（ ） （A ）4)1(m a - （B ）4)1(m a + （C ）5)1(m a - （D ）5)1(m a +16．在正项等比数列{a n }中，a 21+a 22+……a 2n =314-n,则a 1+a 2+…a n 的值为（ ）（A ）2n（B ）2n-1 （C ）2n+1 （D ）2n+1-217.数列{a n }是正数组成的等比数列，公比q=2,a 1a 2a 3……a 20=a 50,，则a 2a 4a 6……a 20的值为（ ）（A ）230 （B ）283 （C ）2170 （D ）2102-218．在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=2a n +2,则a 100的值为（ ）（A ）2100-2 （B ）2101-2 （C ）2101 （D ）21519．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）（A ）不增不减 （B ）约增1.4% （C ）约减9.2% （D ）约减7.8% 20.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,前n 项的倒数之和为T n ,则nn T S 的值为（）（A ）a 1a n （B ）na a 1 （C ）a 1n a nn （D ）(na a 1)n21．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4=22．三个正数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为23．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则n n x x x ⋯21=24．在正数项列{a n }中，a 2n+3=a n+1,a n+5,且a 3=2,a 11=8,则a 7= 25．已知首项为21，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k 项顺次为M ，N ，K ，则(n-k)log 21M+(k-m)log 21N+(m-n)log 21K=26．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2=3a 5a 7+2,则实数k=27．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92222dc b a ++=28.2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）=29．数列{a n }的前n 项和S n 满足log a (S n +a)=n+1(a>0,a ≠1),则此数列的通项公式为30．某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元 31.已知等比数列{a n }，公比为-2，它的第n 项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式32.数列{a n }是正项等比数列，它的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求它的前100项的和33.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列，且公比为q,求证：（1）q 3+ q 2+q=1,（2）q=ca34.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=-21,从第二项起，{a n }是以21为公比的等比数列，{a n }的前n 项和为S n ，试问：S 1,S 2,S 3…,S n ,…能否构成等比数列？为什么？ 35.求S n =(x+y1)+(x 2+21y)+…+(x n+ny1)(y 0≠)36.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除的消费资金应是多少万元（精确到万元）37.陈老师购买安居工程集资房7m 2,单价为1000/ m 2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清如果按年利率的7.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759 ≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221) 参考答案：13．若q=1,S n =na 1≠ 若q=-1,S n =,2])1(1[1na --当n 为偶数时，S n =014.a 4 a 5 a 6=53a=4, ∴a 5=33log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9=log 3(a 1a 2a 8a 9)=log 3a 45=4log 3331=3418.a n+1+2=2(a n +1) , ∴2221=+++n n a a∴{a n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴ a n +2=4·2n-1=2n+1 ∴a n =2n+1-2 20．a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=a n a 1∴.11311112121n n n na a a an a a a a a a ==⋯===-- ∴n nn a a a a a a TnSn 11111=+⋯++⋯+=21.1 22.50，10，2或2,10,50 23.ab 24.4 25.0 26.±9 a 3+a 9=-,3k a 3a 9=a 5a 7=-,37∴ (-3k )2=3×37+2 ∴k=±927.-161 28.212-24 29.a n =(a-1)an30.1)1()1(-++nnr r Ar31．⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=---192)2(48)2(4213211n n n n a a a a ②①解得a 1=3 ∴a n =a 1q n-1=3(-2)n-132．∵ S 2n >S n , ∴q ≠1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----65601)1(1)1(211q q a q q a nn ②① ②/①,得q n=81 ③∴q>1,故前n 项中a n 最大 ③代入①，得a 1=q-1又由a n =a 1q n-1=54,得81a 1=54q∴a 1=2,q=3 ∴S 100=1331)31(2100100-=--33．（1）q 3+q 2+q=1=++-++++-++++-+cb a ac b cb a b ac cb ac b a(2)q=ba c cb a ac b b a c -+-+=-+-+由合分比定理，可得q=ca ca b a c a c b c b a b a c ==-++-+-++-+22)()()()(34.当n ≥2时，a n =a 2q n-2=-21(21)n-2=-(21)n-1∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧--1)21(1n 21≥=n n当n=1时，S 1=a 1=1当n ≥2时， S n =a 1+a 2+…+a n =1-21-(21)2-…-(21)n-1=1-[21+(21)2+…+(21)n-1]=1-11)21(211)211(21--=--n n ∴S n =(21)n-121)21()21(11==-+n n nn S S∴{S n }可以构成等比数列35.当x ≠1,y ≠1时， ∴S n =(x+x 2+…+x n)+(y 1+ny y 112+⋯+)=111111)11(11)1(++--+--=--+--n nn n nnyy y xxx yyyxx x当x=1,y ≠1时 S n =n+11+--n nn yy y当x ≠1,y=1时 Sn=n xxx n +--+11当x=y=1时 S n =2n36.设a n 表示第n 年年底扣除消费基金后的资金a 1=1000(1+21)-xa 2=[1000(1+21)-x](1+21)-x=1000(1+21)2-x(1+21)-x a 3=[1000(1+21)2-x(1+21)-x](1+21)-x=1000(1+21)3-x(1+21)2-x(1+21)-x类推所得 a 5=1000(1+21)5-x(1+21)4-x(1+21)3-x(1+21)2-x(1+21)-x则1000（23）5-x[(23)4+(23)3+…+1]=2000即1000(23)5-x ·,2000231)23(15=-- 解得x ≈424万元37．设每年付款x 元，那么10年后第一年付款的本利和为a 1=1.0759x 元第二年付款的本利和为a 2=1.0758x 元 依次类推第n 年付款的本利和为a n =1.07510-nx 元 则各年付款的本利和{a n }为等比数列∴10年付款的本利和为S 10=元075.11)075.11(10--x个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元10年后余款的本利和为18800×1.07510∴·1010075.128800075.11075.11⨯=--解得x=元42001075.1075.0075.1288001010≈-⨯⨯.课前后备注。