北师版数学九下3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系1
数学北师大版九年级下册圆周角和圆心角的关系.4
A
O
B C B
.
O C B
.
O
C
.
圆周角
A C
F
B
●
O
E
A ●
●
O
B●
●C
观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆上,它的两边分 别与圆另有一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
满足条件： ⑴顶点在圆上
⑵角的两边分别和圆相交
做一做
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
图１
不是
图２
不是
图３
一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。 2、圆周角定理、推论及其应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明， 渗透了“由特殊到一般”的思想方法和分类 讨论的思想方法。 三、思想上渗透踏实、守信。情操上要有团 队精神。
达标测试
1． 如图，在直径为AB的半圆 中，O为圆心，C、D为半圆上的两 30° 点，∠COD=60°，∠CAD=______ 。 2. 如图，AB是⊙O的直径， ∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角， 若∠BCD=25°，则∠AOD= 130° .
（四）定理应用
例1． 已知：AC = BD， 求证：AB∥CD．
A B
⌒ ⌒
C
D
（四）定理应用
例2：如图，△ABC的顶点A、B、C都在
⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 求⊙O的半径。
解: ∵∠C=30 ° ∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2 即⊙O半径为2。
是
不是
不是
图４ 图５
探索2:
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
【核心素养】北师大版九年级数学下册3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系 教案(表格式)
3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系教学内容第1课时圆周角和圆心角的关系课时1核心素养目标1.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念、了解并证明圆周升定理及其推论.3.体会分类、归纳等数学思想方法，知识目标1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．教学重点理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.教学难点圆周角和圆心角关系定理的证明.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC.在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门AC 的张角（∠ABC）有关.问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？师生活动：学生各抒己见，谈自己的看法.预设：顶点在∠O上，角的两边分别与∠O 相交.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.例如：∠ACB.（两个条件必须同时具备，缺一不可）做一做1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质.设计意图：加强学生对圆周角的理解. 注意顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，两个条件必须同时具备，缺一不可.设计意图：通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生独立思考、合作交流的能力，渗透归纳思想，初步认识圆周角和圆心角这三种位置关系.设计意图：如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难。
通过圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明打好桥铺好路。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。
此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。
三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。
2.圆周角定理的证明及其推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。
3.4圆周角和圆心角的关系 第一课时- 九年级数学下册课件(北师大版)
∵EA∶EB＝3∶1，
BE＝EF，∴ AD AE AE 3,
DB EF BE
∵DB＝2，∴AD＝6.
ห้องสมุดไป่ตู้
∵∠AEC＝∠CEB，∠A＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴
AD AE ,即 6 CB CE CB
3， 5
∴CB＝2 5.
∵CO⊥AB，∴BG＝(6＋2)÷2＝4.
∴CG＝ BC2 BG2 2.
•
CF，
当点P 为AB 的中点时，点E 与点F 重合，PE＋CF＝PC，
PC 为⊙O 的直径．∴此时四边形APBC 的面积最大．
易求得AB＝
3，∴S四边形APBC＝
1 2
×2×
3
＝
3.
(1)一个概念（圆周角）； (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的
圆心角的一半； (3)一个推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相
4 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AE 的中点，CD⊥AB 于 点D，交AE 于点F，连接AC，求证：AF＝CF.
证明：方法一：连接BC，如图①. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， 即∠ACF＋∠BCD＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°. ∴∠B＝∠ACF.又∵点C 是AE 的中点， ∴AC＝CE.∴∠B＝∠CAE.∴∠ACF＝∠CAE.∴AF＝CF. 方法二：如图②，延长CD 交⊙O 于点H. ∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴AC＝AH. 又∵点C 是AE 的中点，∴AC＝CE. ∴AH＝CE.∴∠ACF＝∠CAF. ∴AF＝CF.
∴∠ABC 和∠ADC 互补．
1 如图，在⊙O 中，∠O = 50°，求∠A 的度数.
解：∵∠BAC 与∠BOC
九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理作业新版北师大版
等弧
相等
8．如图，在⊙O中，点A是 的中点，若∠ADC＝ 24°，则∠AOB的度数为( ) A．12° B．24° C．36° D．48°
D
9．【2023·日照东港区期末】如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( )
D
6．【2023·承德双桥区模拟】如图，圆周角∠A＝30°，弦BC＝3，则圆O的直径是( ) A．3 B．3.3 C．6 D．6.3
C
7．圆周角定理的推论：__________或__________所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．
(3)若原题改为已知AE＝OE，则弦AB所对圆周角的度数为_____________．
45°或135°
11．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是 的中点，BD交AC于点E. (1)求证：AD2＝DE·BD.
证明：∵D是 ∴∠DBC＝∠ABD. ∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAC＝∠ABD. ∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD. ∴ . ∴AD2＝DE·BD.
D
10．【2023·广元二模】如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠BAC＝70°，∠ACD＝50°，连接OE，若E为AC中点，那么∠OEB的度数为________．
30°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【点拨】∵∠ACD＝50°，∴∠ABE＝50°.在△ABE中，∠AEB＝180°－∠ABE－∠BAC＝180°－50°－70°＝60°. ∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，即∠OEA＝90°， ∴∠OEB＝90°－60°＝30°.
方法二： 如图，连接OA，OB，OD， 由题意可得OA＝OB＝OD，∠AOB＝50°－25°＝25°，∠AOD＝155°－25°＝130°， ∴∠OAB＝ (180°－∠AOB)＝77.5°， ∠OAD＝ (180°－∠AOD)＝25°， ∴∠BAD＝∠OAB－∠OAD＝52.5°.
北师大版九年级数学下册3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系1教案
3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在下图中，当球员在B, D, E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】利用圆周角定理求角的度数如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是()A．25°B．30°C．40°D．50°解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝12∠AOD，∴∠C＝12×50°＝25°.故选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°解析：因为AB︵＝AC︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆周角定理与垂径定理的综合如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)若AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，则OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC.解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC.(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明； (2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE.解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠CBE .∵∠E ＝∠E (公共角)，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE ∶AE ＝DE ∶BE ，∴BE 2＝AE ·DE .方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念 2．圆周角定理 3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.。
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。
北师大版九年级数学下册(课件)3.4.1 圆周角和圆心角
5．如图，△ABC 内接于⊙O，AO＝2，BC＝2 3，则∠BAC 的度数为 __6_0_°____．
6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为 平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__6_0_°______.
7．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F， 且CF⊥AD，求∠ADC的度数．
︵ 对的弧是CAD，圆心角
∠COA 对的弧是C︵A，∴∠CP′D＝∠COA.又∵∠COA＋∠COB＝180 °，∴∠CP′D＋∠COB＝180°
15．如图，在平面直角坐标系中，以点 M(0， 3)为圆心，以 2 3为半径， 作⊙M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，连接 AM 并延长交⊙ M 于 P，连接 PC 交 x 轴于 E. (1)求出 CP 所在直线的表达式； (2)连接 AC，求△ACP 的面积．
11．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O点，点C，D 分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为( B ) A．35° B．40° C．50° D．80°
12．如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN＝CO时，∠NMB的度数 是__3_0_°____．
13．如图，已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作 EF∥AB，求∠EBA的度数．
解：连接 OE，由 sin∠OED＝OODE＝12得∠EOA＝∠OED＝30°，∴∠ EBA＝15°
14．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD. ︵
(1)P 是CAD上一点(不与 C，D 重合)，探究：∠CPD 与∠COB 的关系， 并说明理由；
(2)点 P′在劣弧 CD 上(不与 C，D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数 量关系？请说明你的理由．
3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系 北师大版数学九年级下册课件
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角和圆心角的关系
复习引入
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角. A
顶点在圆心，角的两边与圆相交
的角叫圆心角， 如∠BOC.
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可）
判断：下列各图中的 ∠BAC 是否为圆周角,并简述理由.
1. 判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°， 则 ∠AOB= 166°．
C
O
A
B
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
A
B O·
A
BCΒιβλιοθήκη O·C O·A
C
B
A （1） √
顶点不（2在） 圆上 边 A（C3）没有和圆相交
B
O·
C A O·
C
·O
B
C
B
A
顶点（不4）在圆上
（5）√
（6）√
圆周角定理及其推论
测量与猜测
测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测 测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
∠BOC=70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 AB ,
∴∠ACB=
1 2
∠AOB=25°.
同理∠BAC=
1 2
∠BOC=35°.
O.
3.4 圆周角和圆心角的关系(1)(数学北师大版九年级下册)
[归纳总结] 对“同弧或等弧所对的圆周角相等”的理解： (1)“同弧”指“在同一个圆中”；(2)“等弧”指“在同圆或等 圆中”；(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
∠ABC 与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？
图 3－4－1
在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，首先考虑了一种特
殊情况(圆心在圆周角的一边上)，如图 3－4－1①所示．
∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC＝∠ABO＋__∠__O_A_B__． 又∵OA＝OB，
∴∠OAB＝__∠__A_B_O____， ∴∠AOC＝_2_∠__A_B_C__， 即∠ABC＝21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图 3－4－1②、③， 那么结论会怎样？请你说明理由．
总结反思
知识点一 圆周角 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 由定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点必须在圆上，二是 角的两边都和圆相交．
知识点二 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的___一__半___．
知识点三 圆周角定理推论1 同弧或等弧所对的圆周角__相__等____．
图 3－4－2
[解析] 根据△AOB 是等腰三角形，由∠ABO＝55°，可 得∠AOB＝70°，再利用圆周角定理即可求解．
解：∵OA＝OB，∴△AOB 是等腰三角形． 又∵∠ABO＝55°， ∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠OAB＝180°－ 55°－55°＝70°， ∴∠BCA＝21∠AOB＝12×70°＝35°.
3.4圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论+2023-2024学年+北师大数学九年级下册
4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1教学目标：1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角定理的证明.3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.教学重难点：重点:圆周角概念及圆周角定理.难点:认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性.教学过程：导入如图所示,在射门游戏中球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,这三个角的大小有什么关系?解:相等新课讲授知识点1圆周角的概念下列四个图中,∠x是圆周角的是(C)[总结]定义:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,这样的角叫圆周角.知识点2圆周角定理⏜所对的圆周角,这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有如图所示,∠AOB=80°,请你画出几个AB什么关系?你能说明理由吗?解:AB⏜所对的圆周角有无数个,它们与∠AOB的位置关系分为三种,如图①,②,③所示.(1)如图①所示,因为OB=OC,所以∠C=∠OBC.所以∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C.∠AOB.即∠C= 12(2)如图②所示,连接CO并延长,交圆O于点D,由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACD+2∠BCD=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB.∠AOB.即∠ACB= 12(3)如图③所示,延长CO交圆于点D.由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD.所以∠AOB=∠BOD-∠AOD=2∠BCD-2∠ACD=2(∠BCD-∠ACD)=2∠ACB,∠AOB.即∠ACB= 12[总结]圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.知识点3圆周角定理的推论如图所示,四边形ABCD的四个顶点在☉O上,找出图中分别与∠1,∠2,∠3,∠4相等的角.解:∠CBD=∠1,∠ACB=∠2,∠BAC=∠3,∠ABD=∠4.[总结]圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.范例应用例1如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,连接OD,AC,若∠CAO=56°.⏜=BD⏜;(1)求证:BC(2)求∠AOD的度数.(1)证明:因为AB是直径,AB⊥CD,所以BC⏜=BD⏜.(2)解:设AB交CD于H(图略).因为AB⊥CD,所以∠AHC=90°.因为∠CAO=56°,所以∠ACD=90°-56°=34°.所以∠AOD=2∠ACD=68°.[方法归纳]计算圆周角(圆心角)的度数时,同弧(或等弧)是关键:(1)先找到圆周角(圆心角)所对的弧;(2)再找这段弧对的圆心角(圆周角);(3)建立两个角之间的关系.例2 如图所示,在☉O中,弦AB,CD交于点E,AD=CB.求证:AE=CE.解:由圆周角定理可得,∠ADE=∠CBE,在△ADE和△CBE中,{∠ADE=∠CBE,∠AED=∠CEB, AD=CB,所以△ADE≌△CBE(AAS).所以AE=CE.课堂训练1.(2021阜新)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,若∠O=70°,则∠C的度数是(B)A.40°B.35°C.30°D.25°第1题图第2题图2.如图所示,☉O的两条弦AB,CD所在的直线交于点P,AC,BD交于点E,∠AED=105°,∠P=55°,则∠ACD等于(C)A.60°B.70°C.80°D.90°3.如图所示,△ABO是等边三角形,则弦AB所对圆周角度数为30°或150°.第3题图第4题图⏜中点,点D是优弧AB⏜上的一点,∠ADC=30°, 4.如图所示,AB是☉O的弦,且AB=6,点C是AB则圆心O到弦AB的距离等于√3.5.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E.(1)若∠CAD=23°,求∠BAC的度数;(2)若∠ACD=45°,AC=13,求CD的长.解:(1)因为AC⊥BD,所以∠BEC=90°.因为∠CBE=∠CAD=23°,所以∠ACB=90°-23°=67°. 因为AB=AC ,所以∠ABC=∠ACB=67°.所以∠BAC=180°-67°-67°=46°. (2)因为AC ⊥BD , 所以∠AEB=∠CED=90°. 因为∠ABD=∠ACD=45°,所以△ABE ,△CED 都是等腰直角三角形. 因为AC=AB=13, 所以AE=√22AB=13√22. 所以EC=AC-AE=13-13√22. 所以CD=√2EC=13√2-13.小结1.圆周角的概念2.圆周角定理及其推论板书4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论11.圆周角的概念2.圆周角定理3.圆周角定理的推论反思学生解决这一问题是有一定难度的,特别是定理证明的分类讨论,在教学过程中应该给学生留出足够的时间和空间,让学生经历观察、想象、推理等过程,多角度直观的体验数学模型.。
北师大版九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系(第1课时)课件
角的两边和圆是什么关系？ 相交
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
19
4
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交
的角叫圆周角.
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
19
5
1.辨别：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
C A
O A
C B
O
A
B
C B
O
C O
A
B
A
O
C
B
∠AOC的大小关系.
A
C
●O
B
一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的 圆心角度数的一半.
19
9
第2类：圆心不在圆周角的一边上
2 .当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周
一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.
角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 1．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=____
19
1
教学目标
1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角定理的证明. 3.经历探索圆周角和圆心角的关系 的过程，学会以特殊情况为基础， 通过转化来解决一般性问题的方法， 渗透分类的数学思想.
19
2
知识回顾
1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?
如图：∠AOB = A⌒B 的度数
A P
． 0
B
C
课堂小结
知识方面
圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个 重要考点，望同学们灵活运用. 1、圆周角定义 ； 2、圆周角定理及其定理应用：
数学北师大版九年级下册3.4圆周角与圆心角关系(1)
知
探
究
2.（课件展示）判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由
3.圆周角定理的学习
我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况
引导学生通过小组交流讨论的方式，分别考虑这三种情况下，∠ABC和∠AOC之间的大小关系．
复习上节内容为本节做铺垫
以学生熟悉的足球射门游戏为背景，在实物场景中，抽象出几何图形以境生问，以问激趣，导入新课
新
知
探
究
1.圆周角的定义的学习
为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点（课件展示）
观察并指出圆周角的特征，加深对圆周角概念的理解
经过学生的观察与辨析交流，多数学生能够完成对圆周角特征的探索发现，并在辨析中针对这两个特征进行强化，达到教学目标中所要求的理解圆周角的概念
非常好（）很好（）一般（）
3．学生思维活跃，积极主动发言
非常好（）很好（）一般（）
4．学生间交往是多向的，学生是否积极参与小组讨论，发表自己的见解，评论别人发言
非常好（）很好（）一般（）
5．学生在学习中有愉悦的体验，
6．后进学生对本节课知识技能的掌握程度
五、教学环境及资源准备
直尺、圆规、三角板等教学用具和课件.
学生：圆形硬纸片若干、直尺、圆规、量角器等学习用具.
六、教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
创
设
情
境
课件展示，让学生观察思考：球在如图中的点D、E的位置射门，成功的难易相同吗
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3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)
2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)
一、情境导入
在下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？
二、合作探究
探究点：圆周角定理及其推论
【类型一】 利用圆周角定理求角的度数
如图，已知CD 是⊙O 的直径，
过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( )
A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝1
2×
50°＝25°.故选A.
方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数
如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠A
＝30°，则∠B ＝( )
A ．150°
B ．75°
C ．60°
D ．15°
解析：因为AB ︵＝AC ︵
，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.故选B.
方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合
如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，
OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．
(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数；
(2)若AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．
解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵
，再由圆周角定理及其
推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．
解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝1
2×52°
＝26°；
(2)设⊙O 的半径为x ，则OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.
方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合
如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝
AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵
的中点，求证：∠B ＝∠BEC
.
解析：由点B 是CD ︵
的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵
，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .
方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合
如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，
且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC
.
(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明； (2)求证：CP ＝BP ＋AP . 解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．
(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵
所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵
所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；
(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB
≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，
∴CP ＝BP ＋AP .
方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合
如图，点E 是BC ︵
的中点，点A 在
⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .
解析：点E 是BC ︵
的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．
证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵
，∴∠BAE ＝∠CBE .∵∠E ＝∠E (公共角)，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE ∶AE ＝DE ∶BE ，∴BE 2＝AE ·DE .
方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．
三、板书设计
圆周角和圆心角的关系
1．圆周角的概念 2．圆周角定理
3．圆周角定理的推论
本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.。