数学北师大版选修2-3教案 第一章 第一课时 基本计数原理(一) Word版含答案
陕西省高中数学 第一章 计数原理 排列教案 北师大版选修2-3
排列教学资源分析课程标准：基本要求：通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
考试说明：1、理解排列的概念。
2、利用计数原理推导排列数公式。
3、能解决简单的实际问题。
教材分析：本小节的知识体系在本章中处于承上启下的重要地位，它既在推导排列数列公式的过程中使分步计数原理获得了重要应用，又使排列数公式成为推导组合数公式的主要依据。
从而为以后的概率论学习打下基础。
教学目标知识与技能：理解排列的意义，能用分步计数原理推出简单的排列过程与方法：培养学生的分析能力和思维的严谨性，使学生能识辨出简单的排列问题，同时培养学生应用所学知识解决实际问题的能力情感态度与价值观：通过排列的学习，使学生体会数学的简洁美、应用美，从而培养学生对于数学内在美的感悟能教学重点：正确理解排列的概念，能掌握科学的方法写出所有排列教学难点 ：会用排列的知识去解决实际问题教学关键主要教学方法：由于本节课是数学概念课，结合高二学生的学习特点，在教学中采用启发、引导、交流的方式进行， 以充分调动学生的主动性、积极性，使学 生在教师的指导下真正成为学习的主体。
排列问题是有序问题，也就是说， 无序问题不是排列问题；排列问题中“有序的要求”，可以表现为一组互不相同的元素与另一组互不相同的 “位置”确定的对应关系。
教学过程一、复习引入1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：【问题提出】问题1．3名同学排成一排照像，有多少种排法？问题2、北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？问题3、从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，能组成多少种信号？【抽象概括】排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同【实例分析】例1、从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2=6 种，把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
高中数学第一章计数原理1.3.1组合(一)教案北师大版选修2-3(2021年整理)
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3。
组合(一）一、复习引入：1．排列的概念;2．排列数的定义;3．排列数公式.二、学生自学学生自学课本第12—14页内容,完成优化设计第8页“知识梳理”.1.组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”-—无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示．3．组合数公式的推导：（1)一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得:mn A ＝m n C mm A ⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mm n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且三、典例精讲例1、计算：(1)47C ； （2）710C ； (1）解: 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例2、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．（1）全是合格品的抽法有多少种？（2）次品全被抽出的抽法有多少种?(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？（4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？例3、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?解法一：（直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女,1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以,一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C。
数学选修2-3教案
第一章计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知m种不同的方分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有法，在第2类方案中有N+=nm种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
高中数学：1.1基本计数原理(一) 教案 (北师大选修2-3)
“教材分析与导入设计”第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理本节教材分析（1）三维目标:知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式（2）教学重点:初步理解分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理),并能根据具体的问题特征,选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题.（3）教学难点:根据具体的问题特征,正确选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题.（4）教学建议:分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人们通过大量的计数实践归纳出来的基本规律,它们是推导排列数,组合数公式的依据,其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终,本节通过实例分析引出两个计数原理,从而抽象概括出两个原理的一半结论.例1,例2分别是单独使用这两个原理进行计数的例题,有助于学生进一步了解两个原理的意义和区别.新课导入设计导入一:先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.导入二;在日常的生产,生活中,我们常常会遇到一些需要计数的问题,例如:中国足球协会超级联赛有14支球队参加,每支球队要和其余的13支球队进行比赛,而且在主场和客场各赛一次,那么联赛一共要安排多少场比赛呢?我国许多地区的电话号码都是由6位升至8位,这样电话号码可以增加多少?如果考虑用户不喜欢带4的,那么增加多少?回答这些问题将会用到这章的内容,这节课我们先学习两个原理.。
高中数学北师大版选修2-3第一章《简单计数问题》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版选修2-3第一章《简单计数问题》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
2.通过实例总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理规律,能根据具体问题的特征, 选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
2学情分析
学生已掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
3重点难点
教学重点:两类计数原理
教学难点:两类计数原理的综合应用
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1新设计
1.引入
先看下面的问题:
①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法?
②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法?。
高中数学第一章计数原理章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大选修2-3
第一章 计数原理知识整合与阶段检测[对应学生用书P19]1．两个计数原理运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成整个事件；而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法只能完成事件的某一部分．2．排列与组合(1)定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，若按照一定的顺序排成一列，叫作从n 个不同的元素中任意取出m 个元素的一个排列；若合成一组，则叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．(2)排列数公式：①A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，规定A 0n ＝1. 当m ＝n 时，A nn ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·3·2·1. ②A mn ＝n ！n －m ！，其中A nn ＝n ！，0！＝1.[说明] 公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于化简． 组合数公式： C m n＝A mn A m m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！，规定C 0n ＝1.组合数性质：C mn ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn . (3)解答排列组合应用题常用策略①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题．②某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序．③某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端．④直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数． ⑤排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序． 3．二项式定理 (1)二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n这个公式称为二项式定理．其中C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫二项式系数．T r ＋1＝C r n an －r b r称为二项式展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项． (2)二项式系数性质 ①C m n ＝C n －mn ； ②C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n ； ③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测一 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种解析：完成这件事共分5步，即每个同学均报完一个小组才结束，每人有2种选择方法，故共有25＝32种不同选择方法．答案：D2．(陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C 23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C 24·C 34·C 34＝96种．答案：C4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A ．(C 126)2A 410个 B ．A 226A 410个 C ．(C 126)2104个D ．A 226104个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(C 126)2A 410个．答案：A 5.⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中，第5项是常数项，则x 3的系数为( ) A ．1215 B ．405 C ．－1215 D ．－405解析：T 5＝C 4n 3n －4x n －6，由题意知，n －6＝0，解得n ＝6.T r ＋1＝C r 6(－1)r 36－r x 6－32r ，令6－32r ＝3得r ＝2，所以x 3的系数为C 26(－1)234＝15×34＝1 215.答案：A6．从1,2，－1，－2，－3中任取不同的3个数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，其中表示开口向上的抛物线的条数为( )A ．10B ．24C ．48D ．60解析：因为y ＝ax 2＋bx ＋c 表示开口向上的抛物线，a 必须大于0，因此共有C 12A 24＝24条抛物线．答案：B7．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法，故总的排法种数有2×2×A 33＝24.答案：B8．(安徽高考)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r (－1)r ，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x 2＋2)中提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)中提供2时，则取r ＝5，所以(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是5－2＝3.答案：D9．用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数( )A ．6B ．9C ．10D ．8解析：比12 340小的分三类：第一类是千位比2小为0，有A 33＝6个；第二类是千位为2，百位比3小为0，有A 22＝2个；第三类是十位比4小为0，有1个．共有6＋2＋1＝9个，所以12 340是第10个数．答案：C10．在(1＋x )n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则(1－x 2)n等于( ) A ．0 B ．pq C ．p 2－q 2D ．p 2＋q 2解析：由于(1＋x )n与(1－x )n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x )n＝p －q ，所以(1－x 2)n＝(1－x )n (1＋x )n ＝(p ＋q )(p －q )＝p 2－q 2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上) 11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．(用数字作答)解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种． 答案：1 260 12．(天津高考)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)rx 6－32r ，当6－32r ＝0，即r ＝4时是常数项，所以常数项是C 46(－1)4＝15. 答案：1513．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个．(用数字作答)解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·A 33＝12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不能是首位数字，则有2·A 22＝4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不能是首位数字，则有2·(2·A 22)＝8个五位数，所以全部合理的五位数共有12＋4＋8＝24个．答案：2414．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n 行(n ∈N ＋)，在这些数中，非1的数之和为________．解析：所求和S ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)＝2n－12－1－2n ＋1＝2n－2n .答案：2n－2n三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的常数项，求⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中含a －1的项的二项式系数． 解：设⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15r ·45－r C r5·b 10－5r6，(r ＝0,1,2,3,4,5)．若它为常数项，则10－5r6＝0，∴r ＝2.代入上式，得T 3＝27. 即常数项是27，从而可得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n中n ＝7， 同理⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a 7二项展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·37－r C r7·a 5r －216，令5r －21＝－1，得r ＝4.故含a －1的项是第5项，其二项系数是35.16．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．17．(本小题满分12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)解：(1)分三步完成：第一步，取两个偶数，有C 23种方法；第二步，取两个奇数，有C 23种方法；第三步，将取出的四个数字排成四位数有A 44种方法．根据分步乘法计数原理，共能组成C 23C 23A 44＝216个不同的四位数．(2)先取出两个偶数和两个奇数，有C 23C 23种方法；再将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有A 22A 33种方法．根据分步乘法计数原理，偶数排在一起的四位数有C 23C 23A 22A 33＝108个．(3)两个偶数不相邻用插空法，共有四位数C 23C 23A 23＝108个．18．(本小题满分14分)设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N ＋)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)当f (x )展开式中x 2的系数取最小值时，求f (x )展开式中x 7的系数． 解：(1)由题设条件，得m ＋n ＝19. ∴m ＝19－n ，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝19－n18－n2＋n n －12＝n 2－19n＋171＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234，∵n ∈N ＋.∴当n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数取最小值，此时x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156.。
高中数学第一章计数原理2第一课时排列与排列数公式教学案北师大版选修2-3
第一课时排列与排列数公式[对应学生用书P6]排列的概念[例1] 下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．[精解详析] (1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．1．下列命题，①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：A2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．不同排列为张红李明；李明张红；张红赵华；赵华张红；李明赵华；赵华李明．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．列举法解决排列问题[例2] 从得到的所有三位数．[思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列．[精解详析] 画出下列树形图，如下图．由上面的树形图知，所有的三位数为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．[一点通] 在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数．解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个．答案：64．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．解：因为A 不排第一，排第一位的情况有3类(可以B ，C ，D 中任选一人排)，而此时兼顾分析B 的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BACD ，BADC ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA .排列数的计算[例3] (12分)计算下列各题：(1)A310；(2)A59＋A49A610－A510；(3)Am n －1·An n －mAn n －1.[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．[精解详析] (1)A310＝10×9×8＝720.(4分) (2)A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 ＝9×8×7×6×5＋110×9×8×7×6×5－1＝610×4＝320.(8分) (3)Am n －1·An n －m An n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝1.(12分)[一点通] (1)排列数的第一个公式Am n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式Am n ＝n ！n －m ！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．5．已知A2n ＝7A2n －4，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．2解析：由排列数公式，得n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，n ∈N ＋. ∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或n ＝103(舍)．答案：B6．若Am 10＝10×9×…×5，则m ＝________. 解析：由排列数公式，得m ＝6. 答案：67．计算：2A59＋3A699！－A610＝________.解析：法一：原式＝2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×49×8×7×…×1－10×9×…×5＝2＋124×3×2－10＝1414＝1.法二：原式＝29！4！＋39！3！9！－10！4！＝24！＋33！1－104！＝2＋3×44！－10＝1.答案：18．(1)解方程A42x ＋1＝140A3x ； (2)解不等式：Ax 6<6Ax －26.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x≥3，∴x ≥3，x ∈N ＋，由A42x ＋1＝140A3x 得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)， 化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得，x 1＝3或x 2＝234(舍)，∴方程的解为x ＝3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤6，1≤x－2≤6，得3≤x ≤6，且x ∈N ＋.又Ax 6<6Ax －26 ⇒6！6－x ！<6·6！6－x ＋2！⇒(8－x )(7－x )<6⇒x 2－15x ＋50<0⇒(x －10)(x －5)<0 ⇒5<x <10.综上可知x ＝6，不等式解集为{6}．排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行：[对应课时跟踪训练二]1．5A35＋4A24等于( ) A ．107 B ．323 C ．320D ．348解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：D 2.A345！等于( ) A.120B.125C.15D.110解析：A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：C3．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A827－a B ．A27a 34－a C ．A734－aD ．A834－a解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D. 答案：D4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )A ．16种B ．6种C ．15种D ．12种解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A24＝12种方案．答案：D5．已知9！＝362 880，那么A79＝________. 解析：A79＝9！9－7！＝362 8802＝181 440.答案：181 440 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．(1)计算4A48＋2A58A88－A59；(2)解方程3Ax 8＝4Ax －19.解：(1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3Ax 8＝4Ax －19，得3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章1.1(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
解
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这名同学可以选择 A、B 两所大学中的一所．在 A 大学中
有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由 于两所大学没有共同的强项专业， 因此根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 5＋4＝9.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A
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大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12.
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【学习要求】 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
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2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 【学法指导】 两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基 本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与 分步.
填一填·知识要点、记下疑难点
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两个计数原理 1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法， 那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理第五节《二项式定理》第一课时教学设计方案
解一：
解二：
例2．展开
解：
（四）课堂小结：
（五）、课堂练习：课本P25页练习题
（六）作业：课本第28页习题1-5中A组2、3、4、5
教学反思
(二)新课探析：
(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。
为 =a+b
=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=
= (a+b)= (a+b)=
= (a+b)= (a+b)
=
根据以上的归纳，可以想到 的展开式的各项是齐次的，它们分别为
展开式中各项系数的规律，可以列表：
第一章计数原理第五节二项式定理
主备人：雷新平
课题
二项式定理
课时
第1课时
教学内容
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。
教学目标
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。
教学重点
二项式定理及通项公式的掌握及运用。
教学难点
二项式定理及通项公式的掌握及运用。
课前准备
探析归纳，讨论交流
教学过程
备注
（一）新课引入：
(提问)：若今天是星期一，再过 天后的那一天是星期几？
810＝(7+1)10＝ 710+ 79+…+ 7+
在初中，我们已经学过了
(提问)：对于 ， 如何展开?(利用多项式乘法)
(再提问)： 又怎么办？ (n∈N+)呢？
我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究 的二项展开式的规律性。
2．系数：依次为 ， ， ，… ，… ，
高中数学(北师大版,选修23)第一章 计数原理+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(12份)第1章 3
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数 字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关 则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
nn－1n－2…n－m＋1
2．组合数公式 Cnm＝_A_mm___＝___________m_！_____________，
规定 C0n＝1.
因为 An！nm＝n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝_m_！___n_－__m__！.
②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合 数．
③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的具体应用．
思路方法技巧
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求 出相应的排列数或组合数．
知能目标解读
1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质．
高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式教学案北师大版选修2-3
第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10]组合的有关概念[例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．有关组合数的计算与证明[例2] (3)C38－n 3n ＋C3n 21＋n.[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C410－A37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n≤3n，3n≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n ＝C2830＋C3031＝C230＋C131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵C2n ＝n ！2！n －2！＝n n －12＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C4n ，C5n ，C6n 成等差数列，则C12n 的值为________． 解析：由已知，得2C5n ＝C4n ＋C6n ， 所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！，整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：Cm n ＝nm Cm 1n －1. 证明：∵n m ·C m n －1＝nm ·n －1！m －1！[n －1－m －1]！＝n ！[m·m －1！]n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝Cm n ，∴Cm n ＝n mCm n －1成立.简单的组合应用题[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(4分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C11C27＝7×62×1＝21.(8分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.(12分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C310种B ．A310种C ．A27A13种D ．C27C13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C13种选法； 第二步，选男工，有C27种选法． 故有C13C27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C410＝210种分组方法．答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C26种选法，从4名女教师中选2名有C24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C26C24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意＝m n C ，通常使用n2＞m 时，若m n C 义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算＋m n C ＝m n ＋1C 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用－m n C .m －1n C[对应课时跟踪训练四]1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A3n ＝12C2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A3n ＝12C2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×nn －12.解得n ＝8. 答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)Cm n ＝Am n m ！；(2)Am n ＝n Am n －1；(3)Cm n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)Cm n ＋1＝n ＋1m ＋1Cm n . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：因为Cm n ＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝Am nm ！，故(1)正确；因为n Am n －1＝n ·n －1！n －m ！＝n ！n －m ！＝Am n ，故(2)正确；因为Cm n ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m÷n ！m ＋1！n －m －1！＝n ！m ！n －m ！×m ＋1！n －m －1！n ！＝m ＋1n －m ，故(3)正确． 因为C m n ＋1＝n ＋1！m ＋1！n －m ！，n ＋1m ＋1C m n ＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋1！m ＋1！n －m ！，所以Cm n ＋1＝n ＋1m ＋1Cm n ，故(4)正确．答案：D4．若C7n ＋1－C7n ＝C8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C7n ＋1－C7n ＝C8n ，即C7n ＋1＝C8n ＋C7n ＝C8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C24，n ＝A24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程Cx 28＝C3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C58＋C98100C77； (2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55.解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．。
第一章计数原理1.4.1简单计数问题教案北师大版选修2-3
4. 简单计数问题
一、复习引入：
1.两个计数原理；
2．排列、组合的概念；
3．排列数、组合数的计算公式。
二、学生自学：
完成优化设计12页“知识梳理”部分
三、典例精讲：
例1．课本18页例1。
变式训练：
(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？
(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒
至少有1个小球，又有多少种放法？
(3)把n+1个不同小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？
例2．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ．
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2324C C ；
另一类为甲不值周一，但值周六，有2414C C ，
∴一共有2414C C +2
324C C ＝42种方法．
例3．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；
第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法．
根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法 例4. 从6双不同手套中，任取4只，
(1)恰有1双配对的取法是多少？
(2)没有1双配对的取法是多少？
(3)至少有1双配对的取法是多少？。
数学北师大版高中选修2-3高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理第三节《组合》第一课时教学设计方案
（ ）
全排列数： （叫做n的阶乘）
（二）新课讲解：看题思考：
（1）高二（1）班从甲.乙.丙.三名学生中选2名，有多少种不同的选法?
（2）从1.2.3.三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合?
探讨上面两个问题与前面讲的排列问题有何区别？有何联系？
温故知新：
从甲.乙.丙.丁四名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正旗手,副旗手,共有多少种选法?
探析归纳，讨论交流
教学过程
备注
（一）复习回顾：
1、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2．排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数，是一个数 所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列
（2）解法1： ＝120．
解法2： ＝120．
2、求证： ．
证明：∵
＝ ＝
∴
3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．
(1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？
(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
法1分两步：（1）第一步选出正旗手
（2）第二步选出副旗手
法2分两步：（1）第一步选出两个旗手
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 1.1分类加法计数原理》1
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”教学设计一、教材分析：“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是北师大版高中数学选修2-3第一章第一节的内容。
本节课是第一课时。
它是排列组合数学的最初步知识，它既是学习概率的预备知识，也是高等数学中的数理统计、近世代数、运筹学等学科的必备的基础知识这种以计数问题为特征的内容，运算虽然不复杂，但思想方法较为独特、灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力正因为如此，“排列、组合和概率”是历年高考重点考查的内容之一，这部分知识占了高二（下）教材一个很大的章节，在高中数学教学占有重要的地位，这一大节最后介绍的组合数性质为基础的“二项式定理”，既是初中代数有关乘法公式的推广，又是学习后面概率的必要基础分类计数原理和分步计数原理是本章重点基础知识，它们是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，不仅是推导排列组合数计算公式的依据，而且其思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终，事实上，从思想的方法的角度看一个是将问题进行“分类”思考；一个是将问题进行“分步”思考，从而达到分解问题、解决问题的目的，因此学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章内容的关键二、教学目标：1．认知目标：使学生初步掌握分类计数原理和分步计数原理，并能够运用这两个原理解决简单的应用问题2．能力目标：通过正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题，提高分析问题、解决问题的能力3．德育渗透目标：要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性三、重点、难点分析：1．教学重点：分类计数原理与分步计数原理2．教学难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理四、课型及课时安排：新授课 , 课时：1课时教具：课件（Powoint制作）五、教学方法：启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，使学生易于理解其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理运用这两个原理的关键在于区分完成一件事是用分类完成的办法还是用分步完成的办法通过以教师为主导，学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性六、学生情况分析：“排列、组合”问题对高二学生来说，在以前所学知识未曾接触过，课上的内容比较简单，但在实际应用时，不会应用，对问题的思考方法不太习惯和适应不过我所带的这个班级，是理科实验班，学生的基础较好，分析、理解及归纳总结的能力较强，接受新知识的能力较强。
【小初高学习】高中数学第一章计数原理3组合一教案北师大版选修2_3
3 组合一、教学目标：1、知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
2、过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
3、情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
二、教学重难点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式 三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程 （一）、复习引入：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mn A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）（二）、探析新课：1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同mn C2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．3、组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅．4、例题探析：1、计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．2、求证：11+⋅-+=m nm n C m n m C ．证明：∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m nm n C m n m C3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？ 4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C （三）、课堂小结：本课学习了组合的意义，组合数的计算公式。
高中数学 第一章 计数原理小结复习(一)教案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学教案
第一章计数原理（复习一）一、两个计数原理1．精要总结（1）分类加法计数原理又称为分类计数原理、加法原理等．应用此原理解题要注意以下几点：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②当完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法都属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法．也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”．④分类加法计数原理的集合表述形式做一件事．完成它的办法用集合S表示，S被划分成n类方法分别用集合S1，S2，S3，……，S n表示，即S=S1∪S2∪S3∪……∪S n且S i∪S j= （i≠j；i，j=1，2，……，n），S1，S2，S3，……，S n分别有m1，m2，……，m n个元素，则完成这件事共有的方法即集合S中元素的个数为m1+m2+……+m n．如下图所示：（2）分步乘法计数原理又称为分步计数原理、乘法原理等．应用此原理解题要注意以下三点：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事要经过几步．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n步连续地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．可以用下图表示分步计数原理．（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理常综合应用：在分类中又包含分步，或分步中包含分类，“类”“步”交融．解决此类问题要注意根据所学认真分析，既要会合理分类，又能合理分步，解答时是先分类后分步，还是先分步后分类应视具体问题而定．常见的问题一般是先分类后分步．2．错例辨析例1 甲、乙、丙、丁四位女同学在课后练习打排球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由接球者再传给其他三人任一人，这样共传了4次，则第4次球仍回到甲的方法共有 ( )A．21种 B．42种 C．24种 D．27种错解：分四步完成：第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人，有3种方法；第二步传给甲以外的2人，第三步又传给甲以外的2人，第四步再传给甲．共有2×2×1种方法，因此一共有3×2×2×1=12种方法．错因分析：上述解法中漏掉了第二步可以在传回甲这种情况，正确解法如下：正解：分四步完成：第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人，有3种方法；第二步应分二类考虑：第一类传给甲，则第三步传给乙、丙、丁均可，第四步再传给甲，共有1×3×1种方法；第二类不传给甲，则可传给甲以外的2人，第三步又传给甲以外的2人，第四步再传给甲．共有2×2×1种方法，因此一共有3×(1×3×1+2×2×1)=21种方法．变式训练：甲、乙、丙、丁四位同学各自从家里拿来了互不相同的一本课外书，他们把四本不同的书籍放在一起，然后从中取一本别的同学的书进行交换看，则不同的取法共有（） A． 6种 B． 9种 C． 11种 D． 23种答案:B解：第一步：四个人中的任意一人(例如甲)先取一本，则由题意知共有3 种取法；第二步：由第一人取走的书的供书人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法．由分步乘法计数原理，共有3×3×1×1=9(种)．故选B．二、排列组合问题的综合应用1．精要总结排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关．排列问题常见方法要熟悉，相邻用捆绑法、不相邻用插空法、特殊元素（位置）优先处理等，还常通过试验、画简图等手段使问题形象化，从而易于寻求解题途径．由于结果的正确性难以直接检验．因而常需要用不同的方法求解来获得检验．组合问题解决的基本方法是按元素的性质进行分类、按事件发生的过程分步，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义，注意正难则反的思想的应用．处理排列与组合的综合性问题应遵循的三大原则：先特殊后一般的原则、先选后排的原则、先分类后分步的原则．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”始终是处理排列、组合问题的基本原理，要通过解题训练积累分类和分步的基本技能，还要牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质，能熟练的进行运算．2． 错例辨析例2 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种答案:C错解：至少要甲型和乙型电视机各一台，可这样取：甲型1台、乙型1台，从剩余部分再任意取一台；故不同的取法有111547140C C C =台．选A ．错因分析：甲型1台、乙型1台，剩余的随便取一台会出现重复，因此，我们需要详细将其中的情况分类，或者利用排除法解决．正解：方法一：利用排除法，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570C C C --=种．选C方法二：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台．选C变式训练：在去年清华大学自主招生过程中，我市有4名学生通过了考核，其中只有3个专业可供这4名同学选择，每个专业至少要有一名同学填报，且甲、乙不能选择同一专业，则不同的填报方案种数为__________种． 答案:30解：先将4人分成三组，一组2人，其它两组各1人且甲、乙不在同一组，共有分组方法241C -，3组同学分别填报3个专业共有填法33A ．根据分步计数原理可知,不同的填报方案种数为2343(1)30C A -=种．例3 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A ． 4种B ． 10种C ． 18种D ． 120种错解：赠送4人可以是2本画册2本集邮册，可有224324C C A =72种赠法；还可以是1本画册3本集邮册，赠法有314324C C A =48，所以赠法一共有72+48=120种，故选D ．错解：由于相同的画册和相同的集邮册是无区分的，故只需分组不需再排序．正解：赠送4人可以是2本画册2本集邮册，由于画册与集邮册都是相同的，可有246C =种赠法；还可以是1本画册3本集邮册，赠法有144C =，所以赠法一共有6+4=10种，故选B ．变式训练：亚运会期间，某班有四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分到A 、B 、C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A 馆，则不同的分配方案有( )A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种 答案：C解：甲有两种选择，剩下的3个人可以每个展馆都分一人，也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人，一个展馆分一人，所以不同的分配方案有13212332()C A C C +=24种，故选C三、二项展开式通项公式以及系数性质的应用．1． 精要总结(1)运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+= (其中n ，r =0,1,2,,n ）．注意(a+b)n 与(b+a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，因此一定要注意二项式中两项的顺序问题．另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)的系数是两个不同概念，前者只指rn C 而后者是指除字母外的常数部分．(2)求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +．有时还需先根据已知条件求n 后，再确定r ，才能求出1r T +．(3)有些三项展开问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏．两个二项式乘积问题的解决也是类似，可以将其中一个比较简单的展开，逐项分析；也可以通过两个式子的通项乘积建立新的通项公式，然后在进行分析．（4）求二项式所有项的系数和，可采用特殊值代入法，通常将字母变量赋值为l ，-1或0；(5)用二项式定理证明整除问题，一般将被除式构造为关于除式的二项式的形式，再展开，常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识解决．2． 错例辨析例4 如果在（x +421x ）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项． 错解：前三项的系数为012,,n n n C C C 成等差数列，故可知2n=1+(1)2n n -， 整理可得n 2-5n+2=0．显然，不存在这样的n ，故本题无解． 错因分析：对于二项式系数的定义与系数的定义理解不透彻，系数是指每项中除了字母之外的所有的常数．正解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8． 设第r +1项为有理项，T1+r =C r82r -x 4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8． 有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x ． 变式训练：102)1(x -的展开式中2x 的系数是，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于答案:9，2解：因为2101020211010)(1)r r r r r r T C x C x ---+==-（-，令2022r -=，即9r =所以2x 的系数为910(1)10C -=-；又因为4111010r r C C -+=，所以411r r -=+或41110r r -++=， 所以23r =（舍去）或2r =。
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一、教学目标：1、知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。
2、过程与方法：培养学生的归纳概括能力。
3、情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
二、教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)
教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解
三、教学方法：探析归纳，讨论交流
四、教学过程
（一）、引入新课
先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.
（二）、探析新课：
问题1、从天津到大连，有四种交通工具供选择：汽车、火车、飞机、轮船。
已知每天汽车有1班，火车有4班，飞机有2班，轮船有2班。
问共有多少种走法？
设问1：从天津到大连按交通工具可分____类方法?
第一类方法, 乘汽车，有___ 种方法;
第二类方法, 乘火车，有___ 种方法;
第三类方法，乘飞机，有___ 种方法;
第四类方法，乘轮船，有___ 种方法;
∴从甲地到乙地共有__________ 种方法
设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？
问题2：从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从C 村去D 村的道路有3条（如图所示）。
李明要从A 村先到B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条线路可以选择？
设问1：（1）整个行程必须通过几个步骤？
（2）第一步, 由A 村到B 村有___种方法
第二步, 由B 村到C 村有____种方法,
第三步, 由C 村到D 村有____种方法,
设问2：上述每步的每种方法能否单独
实现从A 村经B 村、C 村到达D 村的目的?
分类计数原理：1、加法原理：如果完成一件
工作有K 种途径，由第1种途径有
1n 种方法可以完成，由第2种途径有2n 种方法可以完成，……由第k 种途径有k n 种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有1n +2n +……+k n 种不同的方法。
（1）、标准必须一致,而且全面、不重不漏。
（2）、“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即：它们两两的交集为空集。
（3）、每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 。
2、乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有
1n 种不同的方法，完成第2步有
2n 种不同的方法，……，完成第K 步有k n 种不同的方法。
那么，完成这件工作共有1n ×2n ×……×k n 种不同方法。
（1）、标准必须一致、正确。
（2）、“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。
（3）、若完成某件事情需n 步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n 个步骤后,这件事情才算完成。
（三）、例题探析
例1、在1,2,3，···，200中，能够被5整除的数共有多少个？
解析：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1,2,3，···，200中能够被5整除的数分成两类来计数：第一类：末位数字是0的数，一共有20个。
第二类：末位数字是5的数，一共有20个。
根据加法原理，在1,2,3，···，200中，能够被5整除的数共有20+20=40个。
例2、有一项活动，需在3名教师，8名男生和5名女生中选人参加。
（1）若只需1人参加，
有多少种选法？（2）若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法？
解析：（1）由加法原理，共有N=3+8+5=16种选法。
（2）由乘法原理，共有N=3×8×5=120种选法。
例3、一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号
盘可以组成多少个四位数号码？
解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组
N=⨯⨯⨯=，所以，可以组成10000个四位成的四位数字号码的个数是1010101010000
数号码
例4、电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀
的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确
定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？
分析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情
形考虑．
解：分两大类：
(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：30×29×20
＝17400种结果；
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400种结果，因此共有不同结果17400
＋11400＝28800种．
（五）、课堂练习：第5页练习
（六）、课后作业：第5页习题1-1中A组1、2、3、4。