基于信赖度的粗糙最短路径的模型和算法研究

1引言最短路径问题一直是运筹学、地理信息科学、计算机科学等学科的一个研究热点，国内外大量专家学者对此问题进行了深入研究，研究可分为两个方面：一是确定性最短路径问题研究，即静态最短路径问题；二是不确定最短路径问题研究，这时，网络中的权值不再是一个固定的值，是变化的，权值或者是服从某种概率分布函数的随机变量，或者是服从某种隶属函数的模糊变量，或者是粗糙变量，据此，不确定最短路径可分为随机最短路径、模糊最短路径和粗糙最短路径。

到目前为止，所有文献中提到的解决最短路径问题的方法都是基于可能性理论的方法。

基于上述原因，本文提出了基于信赖度的粗糙最短路径的模型，并对粗糙规划的三种模型—粗糙期望值模型、粗糙机会约束规划模型、粗糙相关机会规划模型进行了分析。

2粗糙规划理论粗糙集理论[4]最早是由Pawlak 在1982年提出的，现在已被成功应用到数据发掘、机器学习、决策分析、模式识别、统计分类、图像处理等领域，是当前国际上正在兴起的研究热点之一。

在引进粗糙规划之前，首先介绍有关粗糙变量及其有关的概念。

设∧为一个非空集合，A 为一个由∧的子集构成的σ代数，Δ为A 中的一个元素，π为定义在A 上的一个实值集函数，并满足如下四条公理：公理1[4]π{∧}<∞；公理2[4]π{∧}>0；公理3[4]对所有的A ∈A ，π{A}≥0；公理4[4]对任意可列不相交事件序列，有。

定义（Liu [2]）设∧为非空集合，A 为一个由∧的子集构成的σ代数，Δ为A 中的一个元素，π为定义在A 上的满足如上的4条公理的集函数，则称四元组(∧,Δ,A ，π)为一个粗糙空间。

定义（Liu [2]）设(∧,Δ,A ，π)为一个粗糙空间，ξ是从∧到实数集R 上的函数。

若对R 的任意Borel 集，有则称为粗糙空间(∧,Δ,A ，π)上的粗糙变量。

3建立粗糙最短路径模型3.1最短路径问题的数学描述[3]给定一个赋权有向图，即给了一个有向图G=(V,E)，对每一条边e=(v i ,v j )，相应地有权w(e)=w ij ，又给定G 中的两个顶点v s ，v t 。

设P 是G 中从v s 到v t 的一条路，定义路P 的权是P 中所基于信赖度的粗糙最短路径的模型和算法研究苏朝霞（山西交通职业技术学院经济管理系，山西太原030031）[摘要]针对静态最短路和基于可能性的不确定最短路径问题研究中的局限性，提出了基于信赖度的粗糙最短路径的模型，运用遗传算法对模型算例进行分析，证明了模型的有效性。

[关键词]信赖度；粗糙最短路；遗传算法[中图分类号]F224.0[文献标识码]A[文章编号]1005-152X （2010）h23-0137-04Study on Model and Algorithm of the Trust-based Rough Shortest PathSU Zhao-xia(Department of Economics &M anagement,Shanxi Vocational &Technical College of Communications,Taiyuan 030031,China)Abstract:The paper proposes the model of rough shortest path based on trust to circumvent the limitations of the static shortest path and probability-based uncertain shortest path models and applies genetic algorithm to the analysis of the model to verify its effectiveness.Keywords:trust;rough shortest path;genetic algorithm[收稿日期]2010-10-15[作者简介]苏朝霞（1978-），女，内蒙古包头人，助教，硕士研究生，研究方向：物流管理、交通运输规划与管理。

doi:10.3969/j.issn.1005-152X.2010.h23.044苏朝霞：基于信赖度的粗糙最短路径的模型和算法研究技术与方法137--物流技术2010年12月刊（总第230-231期）有边的权之和，记为w(P)。

最短路问题就是要在所有从v s到v t 的路中，求一条权最小的路，即求一条从v s到v t的路P0，使w(P0)＝minpw(P)，式中对G中所有从v s到v t的路取最小，称P0是从v s到v t的最短路。

路P0的权称为从v s到v t的距离，记为d(v s,v t)。

显然，d(v s,v t)与d(v t,v s)不一定相等。

在有向图G=(V,E)中，V是顶点集合，E是边的集合，c ij表示节点i到节点j的距离（费用或时间）c ij≥0，但是很多时候是不确定的，是粗糙的，可以用粗糙变量ξij表示，其中源点为节点1，终点为节点n，求1到n的最短路径。

3.2粗糙期望值模型用粗糙期望值模型求解最短路径问题，方法就是取目标函数和约束条件的期望值，因为目标函数中含有粗糙变量，可以根据粗糙变量期望值的定义求出其期望值，建立模型如下：3.3粗糙机会约束规划模型粗糙机会约束规划模型可分为乐观值模型和悲观值模型两种，由于最短路径问题是求最小的距离（费用或时间），因此采用悲观值模型，即在最小可能的收益中找到一个最佳方案。

根据M inimax机会约束规划模型，粗糙最短路径模型如下：令，其中α为决策者预先给定的置信水平，f是目标函数的β悲观值。

由于该算法的思想是希望约束条件以一定的置信水平α成立，机会约束这里采用信赖度测度。

3.4粗糙相关机会规划模型粗糙相关机会规划模型求解的方法即是在不确定环境下，使粗糙事件的信赖度达到最大。

由于粗糙最短路模型中，约束中不含粗糙变量，简化了不确定环境。

最短路径的模型如下：在此模型中，事件为，记为A。

4求最短路径问题的遗传算法的实现4.1染色体编码遗传算法的编码是将待求问题的解的形式转换成遗传算法所面对的基本编码串对象，便于遗传运算。

最短路径问题的编码就是将路径表达成编码串的形式。

考虑到路径存在变长的情况，本文采用基于优先权[10]的染色体编码方式。

在染色体中基因位由给定图的所有节点组成，按节点的自然顺序排列，基因值表示候选点中组成路径的节点的优先权，在每一步中，通常会有几个节点可供考虑，但只有优先权最高的节点加入路径中。

对于有n个节点的问题，令Ω是包含1到n的整数集合，p i表示节点i的优先权，它是一个Ω中的随机整数。

所有节点的优先权满足下列条件：基于优先权的编码形式如下：编码的程序实现过程如下：Procedure:encoding(n,V k)Beginwhileendoutput v k；end其中n表示节点数；v k表示第k个染色体；p表示优先权。

4.2染色体解码由于目标函数对应的是路径，而不是优先权，必须对染色体进行解码，把它变换成一条路径，即得到一组决策变量x ij的值，也称为路径生长的过程。

技术与方法138--苏朝霞：基于信赖度的粗糙最短路径的模型和算法研究技术与方法解码的程序实现过程如下：Procedure:decoding(n,v k,S i,P k)Beginwhileendoutput p k;end其中n表示节点数；v k表示第k个染色体；S i表示和节点i 相邻的节点集合，可以通过查找邻接矩阵得到；P k表示第k个染色体对应的一条路径。

4.3适应度函数的确定适应度函数是选择操作的依据，用来对种群中的每个染色体设定一个概率，以使该染色体被选择的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例。

最短路径问题的适应度函数定义如下：其中EVAL(P k)表示第k条路径的适应度值；P k表示第k 条路径；E[f(X,ξ)]表示用粗糙模拟技术计算出的目标函数的期望值。

4.4选择操作设定Pop_Size为染色体个数，选择过程是以旋转赌轮Pop_Size次为基础的，每次旋转都为新的种群选择一个染色体，赌轮是按每个染色体的适应度进行选择染色体的。

Step1：对每个染色体v k，计算累计概率q k；Step2：从区间(0,q Pop_Size]中产生一个随机数r；Step3：若q k-1＜r≤q k，则选第k个染色体v k。

Step4：重复Step2和Step3共Pop_Size次，这样可以得到Pop_Size个复制的染色体。

4.5交叉操作通过交叉，遗传算法的搜索能力能得到飞速提高。

这里设定交叉概率P c为0.8，确定交叉操作的父代步骤如下：Step1：从区间[0,1]中产生随机数r；Step2：如果r＜P c，则选择v k作为一个父代。

然后把选出的父代随机分组，进行交叉操作。

由于最短路径问题采用了基于优先权的编码方式，如果采用简单的一点交叉或多点交叉策略，必然以极大的概率导致非法路径的产生，不能满足问题的约束条件。

因此这里采用部分匹配交叉的方法，简称PM X方法。

4.6变异操作变异操作的目的是为选择、交叉过程中可能丢失的某些遗传基因进行修复和补充。

设定交叉概率P m为0.3，这里采用对换变异的方法进行变异，基本思想是：随机选择父代串中的两个点，交换其值。

在遗传算法中，对换变异操作对码串绝对位置所呈现的“模式”变化影响较小，所需计算也简单一些，但局部优化精度稍差一点。

对换变异实例如下：4.7遗传算法实现步骤Step1：初始化，输入参数Pop_Size,P c,P m，遗传代数M ax-Gen。

Step2：根据优先权的编码方式，产生Pop_Size个染色体。

Step3：使用粗糙模拟计算染色体的目标值，即E[f(X,ξ)]。

Step4：根据目标值，计算每个染色体的适应度，并保留E[f（X，ξ）]值最小的染色体，记为v0，v0称为最好的染色体。

Step5：通过赌轮选择染色体，得到新的种群。

Step6：对新种群进行交叉和变异操作。

Step7：重复Step3到Step6，直到完成给定的代数M axGen。

Step8：将最好的染色体作为最优解。

5结论最短路径问题是网络优化关键技术的核心问题，并成为许多网络优化问题的子问题。

粗糙最短路径问题将网络中的弧的权值描述成粗糙的，突破了传统的最短路径问题的局限性，更符合实际网络的要求。

本文从计算方法上研究了粗糙最短路径问题，针对目前解决粗糙最短路径问题的方法都是基于可能性理论的，提出了基于信赖度的解决粗糙最短路径问题的方法。

随后介绍了解决粗糙最短路径问题的三种模型：粗糙期望值模型、粗糙机会约束规划模型、粗糙相关机会规划模型。