2020年数学中考 专题复习 滚动小专题(四) 一次函数与反比例函数的综合

滚动小专题(四)一次函数与反比例函数的综合
前言：
“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节
从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认
为，应从下面两点做起：
一．失分的原因主要有如下四方面：
（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；
（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；
（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；
（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？
（1）怎样做出来的？——想解题方法；
（2）为什么这样做？——思考解题原理；
（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；
（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；
（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；
（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

1．(2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝n x
相交于A(－2，a)，B(2，b)两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是2.
(1)求m ，n 的值；
(2)求直线AC 的解析式．
解：(1)由题意得：点C 的坐标为(2，0)．
∵△AOC 的面积为2，
∴12
×2a ＝2.∴a ＝2. ∴点A 的坐标为(－2，2)．
将A(－2，2)分别代入y ＝mx ，y ＝n x
，得 －2m ＝2，n －2
＝2. 解得m ＝－1，n ＝－4.
(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋t ，则
⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝2，2k ＋t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，t ＝1.
∴直线AC 的解析式为y ＝－12
x ＋1.
2．(2019·泸州)若该一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，4)，B(－4，－6)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若该一次函数的图象与反比例函数y ＝m x
的图象相交于C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)两点，且3x 1＝－2x 2，求m 的值． 解：(1)由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.
∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2.
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝m x .
消去y ，得2x 2＋2x －m ＝0，
∴x 1＋x 2＝－1.
又∵3x 1＝－2x 2，∴x 1＝2，x 2＝－3.
∴C(2，6)．
∵反比例函数y ＝m x
的图象过点C(2，6)， ∴m ＝12.
3．(2019·南充)双曲线y ＝k x (k 为常数，且k ≠0)与直线y ＝－2x ＋b 交于A(－12
m ，m －2)，B(1，n)两点． (1)求k 与b 的值；
(2)如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积．
解：(1)∵点A(－12
m ，m －2)在直线y ＝－2x ＋b 上， ∴－2(－12
m)＋b ＝m －2. ∴b ＝－2.
∴y ＝－2x －2.
∵点B(1，n)在直线y ＝－2x －2上，
∴n ＝－2×1－2＝－4.∴B(1，－4)．
∵B(1，－4)在双曲线y ＝k x
上， ∴k ＝1×(－4)＝－4.
(2)对于y ＝－2x －2，令x ＝0，则y ＝－2；令y ＝0，则x ＝－1.
∴C(－1，0)，D(0，－2)．
∴S △COD ＝12
×|－1|×|－2|＝1. ∵点E 为CD 的中点，∴S △COE ＝12S △COD ＝12
. ∵S △COB ＝12
×|－1|×|－4|＝2， ∴S △BOE ＝S △COB －S △COE ＝2－12＝32
.
4．(2019·攀枝花)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x
的图象在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件：CA ⊥CB ，且CA ＝CB ，点C 的坐标为(－3，0)，
cos ∠ACO ＝55
. (1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出当x<0时，kx ＋b<m x
的解集．
解：(1)过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，则∠BHC ＝∠BCA ＝∠COA ＝90°，
∴∠BCH ＋∠ACO ＝∠ACO ＋∠CAO ＝90°.
∴∠BCH ＝∠CAO.
∵点C 的坐标为(－3，0)，
∴OC ＝3.
∵cos ∠ACO ＝55
， ∴AC ＝35，AO ＝6.
在△BHC 和△COA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BHC ＝∠COA ＝90°，∠BCH ＝∠CAO ，
BC ＝CA ，
∴△BHC ≌△COA(AAS)．
∴BH ＝CO ＝3，CH ＝AO ＝6.
∴OH ＝9.∴B(－9，3)．
∵点B 在反比例函数y ＝m x
的图象上， ∴m ＝－9×3＝－27.
∴反比例函数的解析式为y ＝－27x
. (2)当x<0时，kx ＋b<m x
的解集为－9<x<0. 5．(2019·聊城)如图，点A(32，4)，B(3，m)是直线AB 与反比例函数y ＝n x
(x ＞0)图象的两个交点．AC ⊥x 轴，垂足为C ，已知D(0，1)，连接AD ，BD ，BC.
(1)求直线AB 的解析式；
(2)△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1，S 2，求S 2－S 1.
解：(1)∵点A ，B 在反比例函数y ＝n x
(x>0)的图象上， ∴4＝n 32
，∴n ＝6. ∴反比例函数的解析式为y ＝6x
(x ＞0)． 将点B(3，m)代入y ＝6x
，得m ＝2，∴B(3，2)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则
⎩⎪⎨⎪⎧32k ＋b ＝4，3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝6.
∴直线AB 的解析式为y ＝－43
x ＋6. (2)∵AC ＝4－0＝4，
∴S 1＝12×4×(3－32
)＝3. 设AB 与y 轴的交点为E ，可得E(0，6)，
∴DE ＝6－1＝5.
∴S 2＝S △BED －S △AED ＝12×5×3－12×5×32＝154
. ∴S 2－S 1＝154－3＝34
.
6．(2019·襄阳)如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝m x
的图象在第一、三象限分别交于A(3，4)，B(a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)比较大小：AD ＝BC(填“>”“<”或“＝”)；
(3)直接写出y 1<y 2时x 的取值范围．
解：(1)将A(3，4)代入y 2＝m x 中，可得m ＝12，∴y 2＝12x .
将B(a ，－2)代入y 2＝12x
中，可得a ＝－6，∴B(－6，－2)． 将A(3，4)，B(－6，－2)分别代入y 1＝kx ＋b 中，得
⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝4，－6k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝2.
∴y 1＝23
x ＋2. ∴y 1＝23x ＋2，y 2＝12x
. (3)x<－6或0<x<3.
7．(2019·泰安)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x
的图象交于点A ，与x 轴交于点B(5，0)，若OB ＝AB ，且S △OAB ＝152
. (1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．
解：(1)过点A 作AD ⊥x 轴于点D.
∵B(5，0)，∴OB ＝5.
∵S △OAB ＝152
， ∴12OB·AD ＝12×5×AD ＝152
. ∴AD ＝3.
∵AB ＝OB ，∴AB ＝5.
在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝52－32＝4.
∴OD ＝9.
∴A(9，3)．
∵反比例函数y ＝m x
的图象经过点A ， ∴3＝m 9
. ∴m ＝27.
∴反比例函数的解析式为y ＝27x
. ∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，B ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝3，5k ＋b ＝0，解得⎩
⎨⎧k ＝34，b ＝－154
. ∴一次函数的解析式为y ＝34x －154
. (2)分三种情况：
①当以AB 为腰，且点B 为顶角顶点时，可得点P 的坐标为P 1(0，0)，P 2(10，0)；
②当以AB 为腰，且以点A 为顶角顶点时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点P 3(13，0)； ③当以AB 为底时，作线段AB 的垂直平分线，交x 轴于点P 4，交AB 于点E ，则点P 4即为所求，则BE ＝12
AB ＝52
.
∵cos ∠ABD ＝BD AB ＝BE BP 4，∴45＝52BP 4
. ∴BP 4＝258.∴OP 4＝OB ＋BP 4＝658
. ∴P 4(658，0)． 综上所述，点P 的坐标为(0，0)或(10，0)或(13，0)或(658
，0)．。