高中数学第二章统计2.2用样本估计总体(第2课时)预习导航新人教A版必修3讲义

高中数学 第二章 统计 2.2 用样本估计总体（第2课时）预习导航
新人教A 版必修3
1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．
2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用来解决有关问题．
1．众数
(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．
(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势． 名师点拔 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
【做一做1】数据组8，－1,0,4，17
，4,3的众数是__________． 答案：4
2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
名师点拔 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
【做一做2】数据组－5,7,9,6，－1,0的中位数是__________．
解析：将该组数据按从小到大排列为－5，－1，0,6,7,9，则中位数是0＋62
＝3. 答案：3
3．平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n
. (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
【做一做3】10名工人某天生产同一零件，生产的件数是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，则其平均数是__________．
解析：平均数是110
(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7. 答案：14.7
4．标准差
(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算
s 可以用计算器或计算机计算标准差．
(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．
【做一做4】一组数据的单位是m ，平均数是x ，标准差为s ，则( )
A ．x 与s 的单位都是km
B ．x 与s 的单位都是cm
C ．x 与s 的单位都是m
D ．x 与s 的单位不同 解析：x 与s 的单位都与数据组中的数据单位相同，是m.
答案：C
5．方差 (1)定义：标准差的平方，即
s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． (2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
(3)取值范围：[0，＋∞)．
知识拓展
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
解析：方差刻画一组数据离散程度的大小．
答案：B
6．用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用样本的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与上一节用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
归纳总结用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．
【做一做6－1】下列判断正确的是( )
A．样本平均数一定小于总体平均数
B．样本平均数一定大于总体平均数
C．样本平均数一定等于总体平均数
D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数
答案：D
【做一做6－2】电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为( ) A．27 B．28
C．29 D．30
解析：这10个数据的平均数是1
10
(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时．
答案：B。