高中数学统计、统计案例知识点总结和典例

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高中数学选修知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结第一章简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧； ⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧p q ∨ p ⌝ 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二章圆锥曲线一、椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．二、双曲线1、双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

(超详)高中数学知识点归纳汇总

高中数学知识总结归纳（打印版）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B = A(B)或B A真子集 A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B =痧?②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．yxo利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔x y1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k 0<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kxy1x 2x O ∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

统计案例复习课件

25.75 1.75 4.25
27.95 －1.65 3.05
28.5 －0.3 4.95
30.15 －0.55 6.35
8
yi－^yi2
i＝1
∴R22＝1－ 8
＝1－3342.228.1785≈0.8936．
yi－ y 2
i＝1
∵R11>R2，∴模型①的拟合效果较好．
• 『规律方法』本题由散点图判断两个变量之间具有相关关系，由数到形，由形到数，利用数形的辩证统一找到解题途径．
• (1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
• (2)若称成绩在68分以上的学生知识渊博，试以上述数据估计该高一、高二两个年级学生的知识渊博率；
• (3)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛成绩有差异.
(1)对变量 y 与 x 进行相关性检验； (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)如果父亲的身高为 73 英寸，估计儿子的身高为多少．
• [分析] 对两变量进行相关性检验，首先利用公式求出r，然后比较|r|与0.75的大小关系，明确线性相关关系的强弱，确定回归模型，求出回归方程，再根据父亲的身高预报儿子的身高．
专题一 ⇨回归分析
• 1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，也是本章的重点、高考的热点，主要考查线性回归分析．题型既有选择、填空题，也有解答题．
• 2．回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析．因此，回归分析的方法主要还是指线性回归分析的方法．要注意理解以下几点：①确定线性相关系数，判断变量是否线性相关的依据是观察样本点的散点图和线性回归系数的大小；②模型的合理性的刻画，确定线性相关程度的方法是通过计算相关系数r进行判断．

高中数学高考统计知识点总结

第二章：统计 1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++=Λ321；取值为n x x x ,,,21Λ的频率分别为n p p p ,,,21Λ，则其平均数为n n p x p x p x +++Λ2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21Λ方差：212)(1∑=-=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=-=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x 。

第三章：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点： ①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

人教a版数学【选修2-3】第3章《统计案例》归纳总结ppt课件

B．75% D．97.5%
第三章章末归纳总结
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[答案] D [解析] 有关系”．查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y
第三章
章末归纳总结
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算可得 k≈0.04145，而 0.04145<2.706，所以没有充分的证据表明该药品对防治 A 疾病有效．
第三章
章末归纳总结
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[点评]
利用独立性检验可以帮助我们定量地分析两个分
第三章
章末归纳总结
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[解析] 将问题中的数据写成 2×2 列联表如下表：患病使用不使用总计 5 18 23 不患病 100 400 500 总计 105 418 523
2 n ad － bc 将上述数据代入公式 K2＝中，计 a＋bc＋da＋cb＋d
3．(2014· 唐山模拟)对具有线性相关关系的变量 x、y 有一 1 ^ 组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，8)，其回归直线方程是：y＝3x ＋a，且 x1＋x2＋x3＋„＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋„＋y8)＝6，则实数 a 的值是( 1 A．16 1 C．4 [答案] B ) 1 B．8 1 D．2
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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2019高考数学二轮复习专题七概率与统计2.7.3正态分布、统计与统计案例课件理

2．正态分布 X～N(μ，σ2)的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
[解题指导]
[解]
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之内的概率
为 0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之外的概率为 0.0026，故 X～B(16,0.0026)．因此 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408. X 的数学期望为 E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
[对点训练]
2 1．(2018· 兰州检测)设 X～N(μ1，σ2 1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个
正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(
)
A． P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
3．方差公式 1 －－－ s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] n
2
[对点训练] 1．(2018· 安徽皖南八校联考)某校为了解 1000 名高一新生的健康状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取 40 名同学进行检查，将学生从 1～1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( A．16 B．17 C．18 D．19 )
[答案]
C
2．某校组织了“2017 年第 15 届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N(72,121)(单位：分)，此次考生共有 500 人，估计数学成绩在 72 分到 83 分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ 0.9544.)( A．238 ) B．170 C．340 D．477

高中数学知识点总结(完整版)

高中数学复习总结目录预备部分初中知识复习----------6第一部分集合及其运算----------7第二部分方程与不等式----------8(绝对值方程与不等式;一次,二次方程与不等式)第三部分函数------------------11(常数函数,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,三角函数,简谐振动)第四部分函数性质--------------18(单调性,奇偶性,反函数,周期性,图像的平移与伸缩，可导性,定积分)第五部分数列------------------23(等差数列,等比数列)第六部分命题与简易逻辑--------25(原命题,否命题,逆命题,逆否命题,或,且,非,全称量词,存在量词)第七部分几何和向量------------26(点,线,面,垂直,平行,二维向量,三维向量)第八部分直线和圆的方程--------32(点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,点到线距离公式, 定比分点公式)第九部分圆锥曲线--------------34(椭圆,双曲线,抛物线,弦长公式)第十部分统计-----------------37(随机抽样,线性回归,独立性检验)第十一部分概率-----------------41(排列与组合,古典概型,几何概型,两点分布,超几何分布,二项分布,正态分布,期望,方差)第十二部分复数及其运算----------44(实部,虚部,虚数单位i，加法，减法，乘法，除法)第十三部分推理与证明-----------46数学（必修1）人教A版第一章集合与函数的概念1.1 集合1.2函数及其表示1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用（必修2）人教A版第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点,直线,平面之间的位置关系2.1空间点,直线,平面之间的位置关系2.2 直线,平面平行的判定及其性质2.3 直线,平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2直线,圆的位置关系4.3空间直角坐标系（必修3）人教A版第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句 1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系第三章概率 3.1 随机事件的概率 3.2 古典概型 3.3 几何概型（必修4）人教A 版第一章三角函数1.1任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像与性质1.5 函数()sin y A x ωφ=+的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例第三章三角恒等变形3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变形（必修5）人教A 版第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和n S 2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和n S 第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性3.4 基本不等式:2ba ab +≤理（选修2-3）人教版第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项式及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用理（选修4-5）人教版第一章不等式和绝对值不等式1.1不等式1.2绝对值不等式第二章证明不等式的基本方法2.1比较法2.2综合法与分析法2.3反证法与放缩法第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式3.3排序不等式第四章数学归纳法证明不等式4.1数序归纳法4.2用数学归纳法证明不等式初中知识复习1.实数轴:2.完全平方公式:()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab-=+-3.平方差公式:4.运算:42,1222323,5052==⨯⨯==5.中点坐标公式:-∞ +∞1•••()22,B x y 1212(,)22x x y y ++中点,B ,B "⊆";A 拥有的元素都有时记作A ⎧⎪6.勾股数组: 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13第一部分集合及其运算（必修1）1.集合定义:若干个指定的对象集在一起.2.表示法:a.如：{0，1，-2}是列举法.b.如：{x|x>2}是描述法.c. 如：是文氏图法d.特殊符号如：∅是空集；N 是自然数集; N *或N +是正整数集.(自然数集合中去掉零)Z 是整数集； Q 是有理数集. R 是实数集； C 是复数集.3.集合中元素具有的性质：①1{1,0,2,3}2{1,0,2,3}∉-⎫⎬∈-⎭体现确定性；②{1,0,1,2,5}--是错误书写体现互异性；③{025}{502}=，，，，体现无序性. 4.关系a.集合和元素的关系.(是否是属于关系)(以A,B 代表集合,以m 代表元素)m 和A 的关系:b.集合和集合的关系(是否是包含关系)m m ⎧∈⎨∉⎩当在A 中时，记作"m A",读作"m 属于A".当不在A 中时，记作"m A".读作"m 不属于A".222a b c+=cba⇒A 和B 的关系:定理1:空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集.定理2：当集合A 中的元素个数为n 个时，那么A 有..nn⎧⎪⎨⎪⎩子集个数为2个真子集个数为2-1个 5.运算第二部分方程与不等式1. 方程定义:含有未知量的等式.(初中)2. ①绝对值方程(初中)“|x-a|”表示数轴上点x 到点a 的距离. 例1.求解 5x =分析：如图所示解：055,5x x x x =-=⇒=-=例2.求解 |2|3x -=分析：如图所示解：231,5x x x -=⇒=-=②绝对值不等式（必修5）形态1.文氏图数学表达式何种运算说明{}|x x A x B ∈∈且 A B取A 和B 的公有元素{}|x x A x B ∈∈或A B取A 和B 的所有元素{}|x x I x A ∈∉且I C A相对于全集I 求A 的补集,(0)x a b b -<>图(1)形态2.图(2)3.①一元一次方程（初中）形如:0,(0)ax b a +=≠叫一元一次方程. 例1.②一元一次不等式（必修5）定理:不等式的两侧同时加上或者减去一个数,不等式不改变符号.但若同时乘以或者除以一个负数要改变不等式符号. (如是正数不变号)4.①一元二次方程（初中）形如:20,(0)ax bx c a ++=≠叫一元二次方程.解法一.(公式法)（第一步:首先计算）判别式24b ac ∆=-（第二步:确定∆属于下面哪一类型）:解法二.(十字交叉法) 例.2230x x --= 分析:,(0)x a b b x a b x a b x a b x a b->>⇒-<-->⇒<->+ or or 2302332x x x -=⇒=⇒=b b 0,. 22b 0,.2<0,. x x a ax a ⎧--∆-+∆∆>==⎪⎪-⎪∆==⎨⎪⎪∆⎪⎩方程有两个不相等的实解，方程有两个相等的实解方程无实解(错) (对)解:注:此法的关键是将系数a 与c 拆分成两个数的乘积并且拆分所得数交叉相乘的和必须等于系数b.并不是所有的一元二次方程都可拆分. 定理:(韦达定理)(又名根与系数关系)在一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有解12,x x 的情况下:②一元二次不等式（必修5）形态1.求解 260x x --> 解:令()(),23,.∴-∞-+∞不等式解集为形态2.求解 2230x x -++>解:31,.2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不等式解集为步骤总结：1.要解不等式先解等式.2.画草图看大小号.形态3.求解 304x x -≤+解:223(1)(23)031,2x x x x x x --=+-=⇒=-=1212;b cx x x x aa-+==，260(2)(3)02,3x x x x x x --=⇒+-=⇒=-=2230(1)(-23)031,2x x x x x x ++=⇒++=⇒=-=令-(3)(4)030404434340x x x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⎨+≠+⎩-≤≤⎧⇒⇒-<≤⎨+≠所以解集为}{|43x x -<≤5.基本不等式（必修5） 1)来源①②2)基本不等式使用注意事项口诀:1正2定3相等①1正，是指参加运算的量必须是正数.②2定，是指参加运算的量,要么和是定值,要么积是定值. ③3相等，是指参加运算的量相等时,均值不等式才能取等号.第三部分函数1. 定义:在集合A 中的每一个元素x 经过对应法则f 在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应,那么我们就称这个整体叫函数. （必修1）记作::f A B→2. 函数的三要素（必修1）①定义域和值域定义域一般情况下会给出,当题目没有给出时,定义域默认使函数表达式有意义的自变量取值范围. 常见陷阱有以下几处①.分母不能为零. ②.偶次根号下的量要大于或等于零. ③.底数位置上的量要大于零且不等于1. ④.真数位置上的量要大于零.⑤.不能有双零结构,即“ ”.例. 求031()3log (1)2f x x x x x =++++++的定义域. 解:由222222()02.a ab b a b a b ab -+=-≥⇔+≥2222()2()()02,(0,0)a ab b a a b b a b a b ab a b -+=-+=-≥⇔+≥>>03y =3020100x x x x +≥⎧⎪+≠⎪⇒⎨+>⎪⎪≠⎩ ()f x 的定义域为}{|>10x x x -≠且②对应法则所谓对应法则就是指运算的混合物,要掌握的运算有四对共八个: 加←->减乘←→除乘方←→开方指数←->对数常见函数主要有a.常数函数,如b.一次函数,如 21y x =-c.二次函数,如 223y x x =+-d.指数函数,如 12,()3xx y y ==e.对数函数,如 213log ,log y x y x ==f.三角函数,如 sin ,cos ,tan y x y x y x ===具体如下:（注意：学函数核心点就是学系数） a.常数函数:图像是平行于x 轴的一条直线. （必修2） b.一次函数（必修2）通式: 例如:图像:直线(两点确定一条直线)12,(0):3;:1y ax b a l y x l y x =+≠=+=-+222,(0)21;23y ax bx c a y x x y x x =++≠=-+=-++①系数a图像上坡,增函数.图像下坡,减函数.②系数b 决定图像在y 轴上的截距.c.二次函数通式: 例如: 图像:抛物线 ①系数a图像开口向上.图像开口向下.②系数b 和a 共同决定对称轴: 2bx a-=,顶点坐标24(,)24b ac b p a a --. ③系数c 决定图像在y 轴的截距. ④表达式的另外形式:(一般式)(顶点式)(双根式)d.和e.指数函数和对数函数(必修1)①运算法则指数运算对数运算222124()24()()y ax bx c b ac b a x a aa x x x x =++-=++=--log log log ()log log log ()log ()log log a a a a a a N a a M N MN M M N N M N M b +=-==()r s r s r s r s s r rsra a a a a a a a +-⋅=÷==00a a >⎧⎨<⎩时，时，00a a >⎧⎨<⎩时，时，②指数运算与对数运算的关系当>01a a ≠且时,log x a a N x N =⇐⇒=如:32283log 8=⇐⇒=③指数函数和对数函数的区别与联系指数函数对数函数表达式x y a =log a y x =图像函数存在条件底数都要满足:≠a>0且a 1单调性①当0<a<1时,其为减函数↘;②当a>1时,其为增函数↗f.三角函数（必修4）1.角：共端点的两条射线组成的图形。

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章统计案例章末归纳总结课件新人教A版选修1-2

• [答案] 0.254
[解析] 由回归直线方程为^y＝0.254x＋0.321 知收入每增加 1 万元，饮食支出平均增加 0.254 万元．
4．对不同的麦堆测得如下表 6 组数据：
堆号

12 3 456
重量 y(斤) 2 813 2 705 11 103 2 590 2 131 5 181
跨度 x(m) 3.25 3.20 5.07 3.14 2.90 4.02
典例探究学案
• 回归分析
已知对两个变量 x、y 的观测数据如下表： x 35 40 42 39 45 46 42 50 58 48 y 5.90 6.20 6.30 6.55 6.53 9.52 6.99 8.72 9.49 7.50 (1)画出 x、y 的散点图； (2)求出回归直线方程．
• [解析] (1)散点图如下图所示．
2．建立回归模型的一般步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系．则选用线性回归方程^y＝b^ x＋a^)．
• (4)按一定规则估计回归方程中的参数．
想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测
量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线
上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下
表是一位母亲给儿子作的成长记录.
年龄/周岁 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm
90.8
97.6
104. 2
110. 9
115. 6
122. 0
128. 5
• 独立性检验

高中数学知识点：概率统计知识点总结概括

高中数学知识点：概率统计知识点总结概括高中数学知识点：概率统计知识点总结概括一．算法，概率和统计1.算法初步(约12课时)(1)算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

3.概率(约8课时)(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

(3)变量的相关性①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

二．常用逻辑用语1。

命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

高中数学概率与统计知识点总结

概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差(一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥,则()P A B =()()P A P B +.推广：如果事件1A ,2A ,…,n A 两两互斥(彼此互斥),那么事件12n A A A +++发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率的和,即()12n P A A A +++=()()()12n P A P A P A ++.②若事件B 与事件A 互为对立事件,则()P A =()1P B -. 2.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．(二)随机变量的分布列、期望与方差1. 常用的离散型随机变量的分布列(1)二项分布如果随机变量X 的可能取值为0,1,2,…,n ,且X 取值的概率()P X k ==C k k n kn p q-(其中0,1,2,,,1k n q p ==-),其随机变量分布列为X 0 1 …k…nP0C nnp q111C n np q-…C k k n knp q-…0C n n n p q则称X 服从二项分布,记为(),X B n p ~.(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为C C C k n kM N Mn N--()0,10,1,2,,2,,k m =,其中{}min ,m M n =,且n N …,M N …,n ,M ,*N ÎN .此时称随机变量X 的分布列为超几何分布列,称随机变量X 服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率 I.条件概率条件概率一般地,设A ,B 为两个事件,且()0P A >,称()()()P ABP B A P A=为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.在古典概型中,若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数,则()()()()()n AB P AB P B A n A P A ==. II .相互独立事件相互独立事件(1)若,A B 相互独立.则()P AB =()()P A P B .(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. III .独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布在n 次独立重复试验中,事件A 发生k 次的概率为(每次试验中事件A 发生的概率为p)()C 1n kkknp p --,事件A 发生的次数是一个随机变量X ,其分布列为()01)2()C 1(n kk knP X k k n p p -===-¼，，，，,此时称随机变量X 服从二项分布. 学科*网3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差 (1)若离散型随机变量X 的概率分布列为的概率分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称EX =1122i i n n x p x p x p x p ++++¼+¼为随机变量X 的均值或数学期望. (2)若Y aX b =+,则EY =aEX b +,)(D aX b +=2a DX (3)若()X B n p ～，,则EX np =.()(1)D X np p -=. 4.正态分布(1)正态曲线的性质：正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x m =对称；③曲线在x m=处达到峰值12πs；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当s 一定时,曲线的位置由m 确定,曲线随着m 的变化而沿x 轴平移,⑥当m 一定时,曲线的形状由s 确定,s 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；s 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率 ①0().6826P X m s m s -<+=…；②2209().544P X m s m s -<+=…； ③3309().974P X m s m s -<+=…. 二、统计与统计案例 (一)抽样方法 1．简单随机抽样设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N …,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当Nn是整数时,取N k n =．如果遇到Nn不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k …．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +,再加k 得到第3个个体编号()2l k +,依次进行下去,直到获取整个样本．直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．层抽样．注：注：不论哪种抽样方法不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的．（二）统计图表的含义 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．列频率分布表． (5)画频率分布直方图．画频率分布直方图．（三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即x =()121n x x x n+++．4．方差：()()()2222121n s x x x x x x n éù=-+-++-êúëû(n x 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数)．5.标准差：()()()222121ns x x x x x x n éù=-+-++-êúëû．（四）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)相关系数相关系数r ＝ååå===----ni nj jini i i y y x x y y x x 11221)()())((,当0r >时,表示两个变量正相关；当0r <时,表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1r =时,两个变量在回归直线上两个变量在回归直线上 2．回归直线方程 (1)通过求21()ni i i Qy x a b ==--å的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的a ,b 的值即分别为aˆ,b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ,22(,)x y ,…,()n n x y ,,其回归方程为a x b y ˆˆˆ+=,则1122211()()ˆ()ˆˆnn i i i i i i n ni ii i x x y y x y nx yb x x x nxa y bx ====ì---×ï==ïí--ïï=-ïîåååå．注：样本点的中心(),x y 一定在回归直线上．（3）相关系数22121ˆ()1()n i ii ni i y yR y y ==-å=--å．2R 越大,说明残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；2R 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中,2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,2R 越接近于1,表示回归的效果越好．（六）独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量．像这样的变量称为分类变量．（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y ,它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ,其样本频数列联表（称为22´列联表）为表）为y 1 y 2 总计总计x 1 a b a b + x 2 cdc d +总计a c +b d +a b c d +++构造一个随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值0k ,如果2K 的观测值0k k …,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。

高考数学知识点总结及复习资料(实用)

高考数学知识点总结及复习资料（实用）高考数学复习重点第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学冲刺注意事项重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。

例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。

立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。

从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。

突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。

加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。

有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。

高考数学高分学习方法1、先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。

老师讲过的，自己已经听得明明白白了。

但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。

因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。

能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。

高中数学第九章统计9.3统计分析案例公司员工教案第二册

9.3 统计案例公司员工的肥胖情况调查分析本节通过公司员工的肥胖情况调查分析,让学生了解统计案例的一些信息，让学生了解统计学与现实生活是息息相关的.课程目标1。

了解统计报告的组成部分．2.可对统计案例进行初步分析。

数学学科素养1．数学抽象：统计报告的组成部分；2．数学运算:对统计案例进行初步分析.重点：①了解统计报告的组成部分；②对统计案例进行初步分析。

难点：对统计案例进行初步分析.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入近年来，我国肥胖人数的规模急速增长,肥胖人群有很大的心血管安全隐患，为了了解某公司员工的身体肥胖情况，我们该如何根据数据表写一份该公司员工肥胖情况的统计分析报告？该如何分析公司员工的整体情况并提出控制体重的建议?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本218-219页，思考并完成以下问题1．统计报告的组成部分是什么要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1。

统计报告的主要组成部分（1）标题．（2）前言。

简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况。

（3)主题展示数据分析的全过程;首先要明确所关心的问题是什么,说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图标描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体.（4）结尾对主题部分的内容进行概括,结合控制体重的一般方法,提出控制公司员工体重的建议。

四、典例分析、举一反三题型一由统计信息解决实际问题例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位:t/hm2),试根据统计学估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.【答案】甲种水稻的产量比较稳定【解析】甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋（10.1－10)2＋(10－10)2＋（10.2－10）2]÷5＝0.02。

(完整版)高中数学统计、统计案例知识点总结和典例

统计一.简单随机抽样：抽签法和随机数法1.一般地，设一个总体含有N个个体（有限），从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等（n/N），就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

2.一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，这种抽样方法叫做抽签法。

抽签法的一般步骤：a、将总体的个体编号。

b、连续抽签获取样本号码。

3. 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。

随机数表法的步骤：a、将总体的个体编号。

b、在随机数表中选择开始数字。

c、读数获取样本号码。

4. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。

二.系统抽样：1.一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

系统抽样的一般步骤：（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。

（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k=N/n。

(k∈N,L≤k).（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。

（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。

在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当N/n不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。

三.分层抽样：1.一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。

高中数学复习第十章统计、统计案例及算法初步

提升学科素养
突破热点题型
演练知能检测
数学(6省专版)
第一节
随机抽样系统抽样
回扣主干知识
[例2]
(2012· 山东高考)采用系统抽样方法从960人中
抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，
提升学科素养
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码
答案：D
数学(6省专版)
第一节
随机抽样
回扣主干知识
2．(2013· 温州模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，
提升学科素养
那么样本容量n为
突破热点题型
(
B．60 D．80
提升学科素养
突破热点题型
200 解析：总人数为 0.2 ＝1 000，该单位青年职员的人数为 1 10 000×25＝400.
答案：400
演练知能检测
数学(6省专版)
第一节
随机抽样
回扣主干知识
5．(2012· 湖北高考)一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有 8 人，则抽取的女运动员有________人．
突破热点题型
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，
可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
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2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第9章统计与统计案例 9.3 变量间的相关关系与统计案例

9.3变量间的相关关系与统计案例［知识梳理]1．相关关系与回归方程(1）相关关系的分类①正相关:从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内，如图1；②负相关：从散点图上看,点散布在从左上角到右下角的区域内，如图2。

（2）线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．（3）回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1），(x2，y2），…，（x n，y n),其回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，则错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.其中，错误!是回归方程的斜率，错误!是在y轴上的截距，错误!＝错误!错误!x i,错误!＝错误!错误!y i，(错误!，错误!)称为样本点的中心．说明：回归直线错误!＝错误!x＋错误!必过样本点的中心（错误!，错误!），这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据,也是求参数的一个依据．（4)样本相关系数r＝错误!，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．①当r>0时,表明两个变量正相关；②当r<0时，表明两个变量负相关；③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当｜r|〉0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．2．独立性检验（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．（2)列联表：列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2｝和｛y1，y2｝，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为2×2列联表构造一个随机变量K＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．[诊断自测］1．概念思辨（1）利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．（）（2）通过回归方程错误!＝错误!x＋错误!可以估计和观测变量的取值和变化趋势．（)（3)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(）(4)由独立性检验可知，有99％的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．（)答案(1）√(2)√(3）√(4)×2．教材衍化(1)（必修A3P94A组T3)某种产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y(单位：万元)之间有如下的对应数据:错误!错误!错误!，则此直线一定经过点( ）A ．(5,60）B ．(5，50)C ．（6,50）D ．(8,70) 答案 B解析回归直线样本点的中心为(x －，错误!)，而错误!＝错误!×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，错误!＝错误!×（30＋40＋60＋50＋70）＝50，所以回归直线一定经过点(5，50)．故选B.（2)(选修A1－2P 96T 2)通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看生产日期，得到如下列联表：则有________的把握认为性别与是否读生产日期有关．答案 99.5%解析由表中数据得k ＝错误!≈8。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学知识点总结1高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，*面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，序列及其应用。

这部分是高考的重点和难点部分，主要产生一些综合题。

第四，不平等。

本文主要考察不等式的解法和证明，很少单独考察，主要是通过解题中的大小比较。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明*行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，计算量大，一般包含参数。

高考数学基础知识的考查全面，突出重点。

扎实的数学基础是成功解题的关键。

鉴于数学高考对基础知识和基本技能的强调，必须全面系统地复习高中数学基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、规律、公式，形成记忆和技能。

以恒变。

数学思想方法考试是在更高层次上对数学知识的抽象和概括的考试，是与数学知识相结合的。

对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用**的数学观点**材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。

在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。

1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。

数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。

2015高考人教版理科数学复习配套重点内容精选：第十章统计、统计案例及算法初步

高频考点全通关——频率分布直方图的应用闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要的方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
【命题角度】
高考对频率分布直方图的考查主要有以下两个命题角度：
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据；
【答案】D
高频考点全通关——分层抽样
闯关三：总结问题类型，掌握解题策略
与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略
(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比． (2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数) 确定该层的样本(或总体)数． (3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
产品，数量分别为 120 件， 80 件，60 件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n＝( A．9 B．10 C． 12 ) D． 13
【解析】根据抽样比例可得＝
解得 n＝13.
3 60
n ， 120＋80＋60
高频考点全通关——分层抽样闯关四：及时演练，强化提升解题技能
(2014·滨州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表 (每名同学只参加一个小组)(单位：人). 篮球组书画组乐器组高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为________．

高中数学复习知识点专题讲义46---统计案例公司员工的肥胖情况调查分析

合计 100 1.00
0.030 0.024 0.018 0.022 0.012 0.004
注:表中加上“频率/组距”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率分布直方图
的纵坐标.
课前预学
课堂导学
第三步,绘制频率分布直方图及折线图,如图所示:
课前预学
课堂导学
4.结尾 (1)由频率分布表可得样本平均数−x=108.5,估计该省考生的语文成绩的平均分是 108.5 分, 成绩在 105 分以下所占比例为 0.01+0.02+0.04+0.14+0.24=0.45,成绩在 110 分以下所占比例为 0.45+0.15=0.6,所以第 50 百分位数在[105,110)内, 由 105+5×00..56--00..4455≈105+1.7=106.7,估计该省考生的语文成绩集中在 106.7 左右. 由以上数据可以说明该省考生语文成绩总体很好. (2)从频率分布表中可知,这 100 名考生的语文成绩在[100,120)分之间的频率为 0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生语文成绩在[100,120)分之间的比例为 60%.
课前预学
课堂导学
3.主体选用频率分布直方图和折线图分析.
解析第一步,确定组数:100 个数据中,最大值为 135,最小值为 80,极差为 135-80=55, 取组距为 5,则组数为555=11.
第二步,绘制频率分布表如下:
分组
[80,85) [85,90) [90,95) [95,100) [100,105)
ห้องสมุดไป่ตู้
频数
1 2 4 14 24

2021年数学一轮复习考点与题型总结：第十章统计与统计案例 (1)

第十章统计与统计案例第一节随机抽样一、基础知识1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．n 是样本容量)是整数时，取k＝Nn当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.；二、常用结论(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围考点一简单随机抽样[典例] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( )①从无限多个个体中抽取100 个个体作为样本；②盒子里共有80 个零件，从中选出5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③用抽签方法从10 件产品中选取3 件进行质量检验；④某班有56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个[解析] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．[答案] B[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题＝ (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．[题组训练]A.08 C ．02 D ．012．利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为1，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()3A.1 4C. 5 14解析：选 C 根据题意， 9 1，n －1 3B.1 3 D.10 27 解得 n ＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为10＝ 5.28 14考点二系统抽样[典例] (1)某校为了解 1 000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规A ．16B ．17C ．18D ．19(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从 502 名现场观众中抽取 10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除个个体，抽样间隔为．[解析] (1)因为从 1 000 名学生中抽取一个容量为 40 的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 000＝25，40设第一组随机抽取的号码为 x ，(2)把 502 名观众平均分成 50 组，由于 502 除以 50 的商是 10，余数是 2，所以每组有 10 名观众，还剩 2 名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从 502500，并均匀分成 50 段，每段含50010 个个体．所以需剔除 2 个个体，抽样间隔为 10. 50[答案] (1)C (2)2 10[变透练清]解析：从 1 000 名学生中抽取一个容量为 40 的样本，系统抽样分 40 组，每组1 000＝2540 个号码，每组抽取一个，从 501 到 750 恰好是第 21 组到第 30 组，共抽取 10 人．答案：10本，若在第 1 组中随机抽取的号码为 5，则在第 6 组中抽取的号码为．解析：由题知分组间隔为64＝8，又第 1 组中抽取的号码为 5，所以第 6 组中抽取的号8 码为 5×8＋5＝45.答案：45系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．考点三分层抽样＝[典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100 人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( ) A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8[ 解析] 法一：因为抽样比为100 ＝ 1 ，所以每类人中应抽取的人数分别为20 000 2004 800×1＝24,7 200×1＝36，6 400×1＝32,1 600×1＝8. 200 200 200 200法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为6×100＝24，9×100＝36，6＋9＋8＋28 2×100＝32，×100＝8.6＋9＋8＋26＋9＋8＋2[答案] D6＋9＋8＋2[解题技法] 分层抽样问题的类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3) 分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“ 抽样比＝样本容量＝总体容量各层样本数量”．各层个体数量[题组训练]1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000 人、高二1 200 人、高三n 人中抽取81 人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n ＝( )A．860 B．720C．1 020 D．1 040解析：选D 由已知条件知抽样比为30＝1，从而81＝1，解得n＝1 200 40 1 000＋1 200＋n 40＝，06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 491 040，故选 D.2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取 20 名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为．解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为 x ，依题意可得1 20020解得 x ＝85.答案：85[课时跟踪检测]2 700＋2 400＋1 200 x ＋201．从 2 019 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从 2 019 名学生中剔除 19 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为 502 019解析：选 C 从 N 个个体中抽取 M名学生入选的概率都相等，且为 50.2 019D ．都相等，且为 140个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M，故每N2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01,02,03，…，32,33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )A.12 B ．33 C ．06D ．16解析：选 C 被选中的红色球的号码依次为 17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球的号码为 06.3．某班共有学生 52 人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本．已知 5 号、18 号、44 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是()A ．23B ．2781 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85C ．31D ．33解析：选 C 分段间隔为52＝13，故样本中还有一个同学的座号为 18＋13＝31.4 4．某工厂在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为 a ，b ，c ，且 a ，b ， c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()A ．800 双B ．1 000 双C ．1 200 双D ．1 500 双解析：选 C 因为 a ，b ，c 成等差数列，所以 2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占 12 月份生产总数的三分之一，即为 1 200 双皮靴．5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选 B 由题图甲可知学生总人数是 10 000，样本容量为 10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是 2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为 50%，所以抽取高中生的近视人数为 40×50%＝20，故选 B.＝6，则在第 7 组中抽取的号码是() A ．63 B ．64 C ．65D ．66解析：选 A 若 m ＝6，则在第 7 组中抽取的号码个位数字与 13 的个位数字相同，而第A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选 C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项，以 30 为公差的等差数列，其通项公式为 a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21.由 450＜30n －21≤750，解得 15.7＜ n ≤25.7.又 n 为正整数，所以 16≤n ≤25，故做问卷 B 的人数为 25－16＋1＝10.故选 C.8．某企业三月中旬生产 A ，B ，C 三种产品共 3 000 件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C产品数量(件) 1 300 样本容量(件)130A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是件．解析：设样本容量为 x ，则 x ×1 300＝130，∴x ＝300.3 000 ∴A 产品和 C 产品在样本中共有 300－130＝170(件)．设 C 产品的样本容量为 y ，则 y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80.∴C 产品的数量为3 00080＝800(件)． 300 答案：8009．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为 1 020 小时、980 小时、1 030 小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为小时．解析：第一分厂应抽取的件数为 100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5 ＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 015×5 抽得的号码为 004，这 600 名选手穿着三种颜色的衣服，从 001 到 301 穿红色衣服，从 302 到 496 穿白色衣服，从 497 到 600 穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为．2 5≤k ≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为 42－25＝17(人)． 6答案：1711．某初级中学共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表：(1)求 x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)∵ x＝0.19，∴x ＝380.2 000(2)初三年级人数为 y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为 48×500＝12(名)．2 000第二节用样本估计总体一、基础知识1．频率分布直方图(1)纵轴表示频率频率；(2)，即小长方形的高＝组距组距频率＝频率；小长方形的面积＝组距×组距(3)各个小方形的面积总和等于 1 . 2．频率分布表的画法极差第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．茎叶图茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．4．中位数、众数、平均数的定义 (1)中位数将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数．(2)众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (3)平均数一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n 个数据 x 1，x 2，…，x n 的平均数 x ＝ 1(x 1＋x 2＋…＋x n )． n5．样本的数字特征如果有 n 个数据 x 1，x 2，…，x n ，那么这 n 个数的(1)平均数 x ＝1(x 1＋x 2＋…＋x n )．n(2)标准差 s ＝(3)方差s2＝1－x )2＋(x －x )2＋…＋(x －x )2]．[(x1 2 nn二、常用结论1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x ，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a 的平均数是m x ＋a.(2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b 的方差为a2s2.考点一茎叶图[典例] (2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7[解析] 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝1×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3.5[答案] A[解题技法] 茎叶图的应用(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．甲乙[题组训练]1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为 61，则被污染的数字为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 B 由图可知该组数据的极差为 48－20＝28，则该组数据的中位数为 61－28 ＝33，易得被污染的数字为 2.2.甲、乙两名篮球运动员 5 场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为 x 甲， x 乙，则下列结论正确的是()A. x 甲＜ x 乙；乙比甲得分稳定B. x 甲＞ x 乙；甲比乙得分稳定C. x 甲＞ x 乙；乙比甲得分稳定D. x 甲＜ x 乙；甲比乙得分稳定解析：选 A 因为 x ＝2＋7＋8＋16＋22＝11， x 5 ＝8＋12＋18＋21＋25＝16.8，所5以 x ＜ x 且乙比甲成绩稳定．考点二频率分布直方图[典例] 某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)， [200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中 x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．[解] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得 x ＝0.007 5.即直方图中 x 的值为 0.007 5.甲乙＝(2)月平均用电量的众数是220＋240＝230. 2∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， (0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内．设中位数为 a ，则 0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得 a ＝224，即中位数为 224. [变透练清]1．某校随机抽取 20 个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以 5 为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的频率分布直方图是()解析：选 A 以 5 为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各组的频数依次为 1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项 A 中的图．2.(变结论)在本例条件下，在月平均电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300] 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取户．解析：月平均用电量在[220,240)的用户有 0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有 15 户，月平均用电量在[260,280]的用户有 10 户，月平均用电量在[280,300]的用户有 5 户，故抽取比例为111.25＋15＋10＋5 5所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25×1＝5(户)．5 答案：53．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1) 求直方图中 a 的值；(2)设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]6组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数为3.6 万．理由如下：由(1)知，100 位居民中月均用水量不低于3 吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为300 000×0.12＝36 000＝3.6(万)．考点三样本的数字特征考法(一) 样本的数字特征与频率分布直方图交汇[典例] (2019·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400 名学生，随机抽查了40 名学生测试1 分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )A．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数超过30 的人数约有80D．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数少于20 的人数约为8[解析] 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三.组数据的频率为 0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为 25＋x ，则 x ×0.08＝0.5 －0.1－0.3＝0.1，∴x ＝1.25，∴中位数为 26.25，故 A 错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为 27.5，∴众数为 27.5，故 B 错误；1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的频率为 0.2，∴超过 30 次的人数为 400×0.2＝80，故 C 正确；1 分钟仰卧起坐的次数少于20 的频率为 0.1，∴1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数为 400×0.1＝40，故 D 错误．故选 C.[答案] C [解题技法]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二) 样本的数字特征与茎叶图交汇[典例] 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示，则7 个剩余分数的方差为.[解析] 由茎叶图可知去掉的两个数是 87,99，所以 87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得 x ＝4.故 s 2＝1[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝36 [答案] 367 [解题技法]7 7样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点(1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．考法(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇[典例] (2018·周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，每次中靶环数情况如图所示．(1)请填写下表(写出计算过程)：平均数方差命中 9环及 9 环以上的次数甲乙(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)． [解] 由题图，知甲射击 10 次中靶环数分别为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击 10 次中靶环数分别为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 将它们由小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1) x ＝ 1 ×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)， 10x ＝ 1 ×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)， 10 s 2 ＝ 1 ×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝ 1 ×(4＋2＋0＋2＋4) 10 10 ＝1.2，s 2 ＝ 1 ×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2] 10 ＝ 1×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4. 10 填表如下：平均数方差命中 9 环及 9 环以上的次数甲乙甲乙(2)甲乙∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9 环及9 环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．[解题技法]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[题组训练]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：选A 样本共3045＋47个，中位数为＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，2故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：平均环数x8.3 8.88.8 8.7方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4) A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选C 由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40 个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]分成8 组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，……，第八组．则样本数据的中位数在第组．解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．答案：四[课时跟踪检测]A 级1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60) 上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为( )A．14 B．15C．16 D．17解析：选B 由题意，样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24，所以估计样本在[40,60)内的数据个数为24－4－5＝15.2．(2019·长春质检)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测试序号 x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选 D ①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．② 由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③ 由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选 D.3．(2018·贵阳检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在 80～100 分的学生人数是()A ．15B ．18C ．20D ．25解析：选 A 根据频率分布直方图，得第二小组的频率是 0.04×10＝0.4，∵频数是 40， ∴样本容量是40＝100，又成绩在 80～100 分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在0.4 80～100 分的学生人数是 100×0.15＝15.故选 A.4.2017 年 4 月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中 A ，B 两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了ABA B A B解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记 A ，B 两地综合评分数据的均值分别为 x A ， x B ，方差分别为 s 2 ，s 2 .若以备受好评为依据，则AB下述判断较合理的是( )A ．因为 x A ＞ xB ，s 2 ＞s 2，所以应该去A 地B ．因为 x ＞ x ，s 2 ＜s 2 ，所以应该去 A 地ABABC ．因为 x ＜ x ，s 2 ＞s 2 ，所以应该去 B 地ABABD ．因为 x A ＜ x B ，s 2 ＜s 2 ，所以应该去 B 地解析：选 B 因为 x A ＝1×(72＋86＋87＋89＋92＋94)≈86.67，x B ＝1×(74＋73＋88 6 6 ＋86＋95＋94)＝85，s 2 ≈1[(72－86.67)2＋(86－86.67)2＋(87－86.67)2＋(89－86.67)2＋(92－86.67)2＋(94－ 6 86.67)2]≈50.56，s 2 ＝1[(74－85)2＋(73－85)2＋(88－85)2＋(86－85)2＋(95－85)2＋(94－85)2]＝76， 6所以 x ＞ x ，s 2 ＜s 2 (A 数据集中，B 数据分散)，ABAB所以 A 地好评分高，且评价稳定．故选 B.5．(2018·青岛三中期中)已知数据 x 1，x 2，…，x n 的平均数 x ＝5，方差 s 2＝4，则数据 3x 1＋7,3x 2＋7，…，3x n ＋7 的平均数和标准差分别为()A ．15,36B ．22,6C ．15,6D ．22,36解析：选 B ∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为 5， x 1＋x 2＋…＋x n 3x 1＋3x 2＋…＋3x n 3(x 1＋x 2＋…＋x n ) ∴ ＝5，∴ n ＋7＝ n n ＋7＝3×5＋7＝22.∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为 4，∴3x 1＋7,3x 2＋7,3x 3＋7，…，3x n ＋7 的方差是 32×4 ＝36，故数据 3x 1＋7,3x 2＋7，…，3x n ＋7 的平均数和标准差分别为 22,6，故选 B.6．(2018·江苏高考)已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为．解析：这 5 位裁判打出的分数分别是 89,89,90,91,91，因此这 5 位裁判打出的分数的平89＋89＋90＋91＋91均数为 5答案：90＝90.7．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶ 3∶5，第 2 个小组的频数为 15，则被抽查的美术生的人数是．解析：设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2 个小组的频率之和为(0.037 5＋ 0.0125)×5＝0.25，所以前 3 个小组的频率之和为 0.75.又前 3 个小组的频率之比为 1∶3∶5，第 2个小组的频数为 15，所以前 3 个小组的频数分别为 5,15,25，所以 n ＝5＋15＋25 60.0.75答案：608．某人 5 次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为 x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则|x －y |的值为．解析：由题意知这组数据的平均数为 10，方差为 2，可得 x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设 x ＝10＋t ，y ＝10－t ，由(x －10)2＋(y －10)2＝8 得 t 2＝4，所以|x －y |＝2|t |＝4.答案：4 9．某班 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中 a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶12∶13∶44∶5(2)因为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100 名学生语文成＝。