高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率统计统计案例限时规范训练理
2024版高考数学二轮复习专题4概率与统计解答题专项4概率与统计的综合问题课件
对点训练1
(2023四川成都石室中学三模)“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共
汽车及轨道交通等交通方式,也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交
公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设
一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经
不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
<m
组别
对照组
试验组
≥m
②根据①中的列联表,依据α=0.05的独立性检验,分析环境对小白鼠体重的
增加量是否有影响.
2
(
-
)
附:χ2=(+)(+)(+)(+),
α
xα
0.10
2.706
0.05
3.841
0.010
6.635
解 ①m=23.4.
=1
5
2
∑ 2 -5
=
-1 537
=-153.7,
10
=1
^
^
所以 = − =1 241.2-(-153.7)×3=1 702.3,
^
所以 y 关于 x 的经验回归方程为 =-153.7x+1 702.3.
将 2023 年对应的年份编号 x=6 代入经验回归方程得
^ =-153.7×6+1 702.3=780.1,
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.
(3)根据检验规则得出推断结论.
(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的
影响规律.
对点训练2
(2023全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白
2020版高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第2讲统计与统计案例练习(含解析)(最新整理)
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第2讲统计与统计案例［做真题］题型一抽样方法与总体分布的估计1．（2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。
7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ）A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A。
记9个原始评分分别为a，b，c，d,e，f，g，h,i（按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A。
2．(2018·高考全国卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一:设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a,则由饼图可得建设前种植收入为0。
高考数学二轮复习 第一部分 保分专题四 概率与统计 第2讲 概率及应用课件 文
8分
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，
B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
12 分
[规范解释] 列举事件空间． 找出所研究的事件，求概率． 列举总的事件． 找出所研究事件，求概率．
求古典概型概率的方法 正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数． (1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求出所求事件的对立事件的概 率．
其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： (10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)共 6 组． ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为164＝37.
考点考查题型 已知两个变量的某些数据，求频率、求概率
考点应用方法 利用频率求概率，利用古典概型求概率
个适花合坛题中意，的则只红有色2和种紫，色其的概花率不P在＝同23. 一花坛的概率是( C )
A.13
B.12
2
5
C.3
D.6
技法：无限元素用几何．一个变量为长度．二个变量是平 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口，即满足至少需要等待 面．变量之比为概率． 15 秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概 (1)(2016·高考全国卷Ⅱ改编)某路口人行横道的信号灯为红灯 和率绿P灯＝交2450替＝出58. 现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
解析：(1)当 X＝8 时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵 数分别是 8,8,9,10，故 x ＝8＋8＋49＋10＝345，s2＝14× 8－3452×2＋9－3452＋10－3452＝1116.
高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题四 统计与概率 第2讲 概率讲义-人教版高三全册数学教案
第2讲 概 率[全国卷3年考情分析](1)对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题.(2)选择题或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般.(3)概率、统计的解答题多在第17、18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.[例1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B.35 C.25D.15(2)某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1，4，1，5，9，2，6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( )3121C.2231D.1721[解析] (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P ＝1－331＝2831.[答案] (1)B (2)A [解题方略]1.求古典概型概率的两个关键点(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n 以及事件A 所含的基本事件数m ；(2)会运用古典概型的概率计算公式P (A )＝m n求事件A 发生的概率. 2.互斥事件、对立事件概率的求法解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.其方法有直接法和间接法.[跟踪训练]1.已知a ∈{－2，0，1，2，3}，b ∈{3，5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是( )A.310B.3555解析：选C 函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数，则a 2－2<0，－2＜a ＜2，且与b 无关.又a ∈{－2，0，1，2，3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是25.故选C.2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________.解析：设事件M 为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件M 为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有2×2×2＝8种情况.其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P (M )＝28＝14，所以P (M )＝1－P (M )＝1－14＝34.答案：343.某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等.(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率； (2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a ，b ，c ，d )，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种.(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种.记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A ， 则P (A )＝615＝25.(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B ，则事件B 包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况.其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6).所以P (B )＝115，所以P (B )＝1－P (B )＝1－115＝1415.[例2] (1)设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14＜2x ＜16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是________.(2)(2019·江淮十校联考)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.[解析] (1)因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪14＜2x ＜16＝(－2，4)，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝{x |3＜x ＜4或－2＜x ＜0}，所以所求事件的概率是4－3＋0＋24＋2＝12.(2)设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为12×1×2＋1×12＝32，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为324＝38. [答案] (1)12 (2)38[解题方略] 公式法求解几何概型的关键(1)定型，即判断事件的属性——等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型. (2)定类，即确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定其度量的类别——长度、角度、面积或体积等.(3)求量，根据平面几何、立体几何的相关知识求出基本事件空间Ω度量及事件A 的几何度量.(4)求值，把所求的两个几何度量值代入几何概型的计算公式求值.[跟踪训练]1.(2019·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x ，使sin π2x ≥32的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选A 当x ∈[0，2]时，0≤π2x ≤π，所以sin π2x ≥32⇔π3≤π2x ≤2π3⇔23≤x≤43.故由几何概型的知识可知所求概率P ＝43－232＝13.故选A. 2.(2019·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )A.π24 B.π48C.112D.18解析：选 B 由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为12×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S ＝12π×12＝π2，所以所求概率P ＝π224＝π48，故选B.3.已知在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为________.解析：当四棱锥O ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则有13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，所以PH PA ＝34，又四棱锥P ABCD 与四棱锥P EFGH 相似，所以四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为P ＝V 四棱锥P EFGH V 四棱锥P ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH PA 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.答案：2764考点三概率与统计的综合问题题型一 概率与频率分布直方图的综合应用[例3] (2019·东北四市联合体模拟(一))某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人.为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]进行分组，得到下列统计图.(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min 的人数.(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min 的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65min 的概率.[解] (1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min 内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min 的人数约为6×10＝60.第二组工人40人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78(min)，第二组工人生产一件产品的平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴x甲＞x乙，∴乙车间工人的生产效率更高.(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表.抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65min”，则事件A＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共6个，∴P(A)＝1－P(A)＝1－615＝35.[解题方略]破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤题型二概率与茎叶图的综合应用[例4] 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率.[解] (1)甲在比赛中得分的均值x ＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)甲比赛得分在20分以下的分数为： 7，8，10，15，17，19.从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种， 所以所求概率P ＝615＝25.[解题方略] 破解茎叶图与概率问题需过“两关”(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据；(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率.题型三 概率、统计与其他知识的综合[例5] 某高校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三2000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：(1)若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和1951～2000名的学生进行了调查，得到如下数据：年级名次 1～501951～2000根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附表：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d ).[解] (1)设各组的频率为f i (i ＝1，2，3，4，5，6)， 由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，因为f 1＝0.15×0.2＝0.03，f 2＝0.45×0.2＝0.09，所以f 3＝f 22f 1＝0.27，又（f 3＋f 6）·42＝1－(0.03＋0.09)，解得f 6＝0.17，1－f 6＝1－0.17＝0.83.故全年级视力在5.0以下的人数约为2000×0.83＝1660. (2)因为K 2＝100×（41×18－32×9）250×50×73×27＝30073≈4.110＞3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. [解题方略] 解决概率、统计与其他知识的综合[跟踪训练]1.某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表.其中n 1∶n 2＝1∶3.(1)求出n 1，n 2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率.解：(1)由题意可得，n 1＋n 2＝40，结合已知条件n 1∶n 2＝1∶3，可得n 1＝10，n 2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n 1∶20∶n 2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名).这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A ，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B ，C ，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D ，E ，F .从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中恰为仅愿意领养一种浪流宠物的情况有AB ，AC ，BC ，共3种， 故所求的概率为315＝15.2.(2019·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完.根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x 千克(0≤x ≤500)，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.解：(1)x ＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265.故该种蔬果日需求量的平均数为265千克.(2)当日需求量不低于250千克时，利润y ＝(25－15)×250＝2500(元)，当日需求量低于250千克时，利润y ＝(25－15)x －(250－x )×5＝15x －1250(元)，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15x －1250，0≤x ＜250，2500，250≤x ≤500，由y ≥1750，得200≤x ≤500，所以P (y ≥1750)＝P (200≤x ≤500)＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100＝0.7.故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7.数据分析——概率与统计综合问题的求解[典例] 某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见图表.规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；(2)在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生是A 等级的概率.[解] (1)由题意可知，样本容量n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004， y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.因为成绩是合格等级的人数为(1－0.1)×50＝45， 所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是910.(2)由茎叶图知，A 等级学生共有3名，由频率分布直方图知D 等级学生共有0.1×50＝5名，记A 等级学生分别为A 1，A 2，A 3，D 等级学生分别为D 1，D 2，D 3，D 4，D 5，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A 1A 2，A 1A 3，A 1D 1，A 1D 2，A 1D 3，A 1D 4，A 1D 5，A 2A 3，A 2D 1，A 2D 2，A 2D 3，A 2D 4，A 2D 5，A 3D 1，A 3D 2，A 3D 3，A 3D 4，A 3D 5，D 1D 2，D 1D 3，D 1D 4，D 1D 5，D 2D 3，D 2D 4，D 2D 5，D 3D 4，D 3D 5，D 4D 5，共28个基本事件.记“至少有1名学生是A 等级”为事件E ，则其对立事件E 的可能结果为D 1D 2，D 1D 3，D 1D 4，D 1D 5，D 2D 3，D 2D 4，D 2D 5，D 3D 4，D 3D 5，D 4D 5，共10种.所以P (E )＝1－P (E )＝1－1028＝914.[素养通路]数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得n ＝50，x ＝0.004，结合频率之和为1得y ＝0.018，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎叶图中数据分别求出A ，D 等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公式求解.考查了数据分析这一核心素养.[思维流程——找突破口][典例] 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)[快审题] 第(1)问第(2)问第(3)问[稳解题](1)频率分布直方图如图所示.(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1＝150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2＝150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).[题后悟道](1)求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率.(2)求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论.[针对训练]从一批螺钉和螺母中分别抽取20个作为质检样品，测量其直径后得到如下条形统计图：(1)请估计这批螺钉的平均直径(结果保留到0.1mm)；(2)现在需要用一个螺钉和一个螺母组装一种零件，为保证零件的质量，规定：只有直径完全相同的一对螺钉和螺母才能正常配合.以标准尺寸10mm配合的零件为一等品，每个一等品盈利10元；以偏离标准尺寸0.1mm配合的零件为二等品，每个二等品盈利9元；以偏离标准尺寸0.2mm 配合的零件为三等品，每个三等品盈利8元；无法配合的螺钉、螺母只能报废，每对亏损5元.某公司购买这批螺钉、螺母各10000个，试估计能盈利多少元.解：(1)样品中螺钉的平均直径为2×9.8＋3×9.9＋9×10.0＋4×10.1＋2×10.220≈10.0(mm)，所以估计这批螺钉的平均直径是10.0mm.(2)在样品中，能以标准尺寸10mm配合的螺钉、螺母有8对，故样品中盈利10元的概率为820＝25；能以9.9mm配合的螺钉、螺母有3对，能以10.1mm配合的螺钉、螺母有4对，故样品中盈利9元的概率为3＋420＝720；能以10.2mm 配合的螺钉、螺母有2对，能以9.8mm 配合的螺钉、螺母有2对，故样品中盈利8元的概率为2＋220＝15；报废品一对，故样品中损失5元的概率为120.故盈利约为10000×⎝ ⎛⎭⎪⎫10×25＋9×720＋8×15－5×120＝85000(元). [总结升华]概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途.另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16 B.14 C.13D.12解析：选D 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D.2.已知定义在区间[－3，3]上的函数f (x )＝2x＋m 满足f (2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选B ∵f (2)＝6，∴22＋m ＝6，解得m ＝2. 由f (x )≥4，得2x＋2≥4，即x ≥1，而x ∈[－3，3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f (x )的值不小于4的概率P ＝3－13－（－3）＝13.故选B.3.(2019·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，记向量m ＝(a ，4b )，n ＝(4a ，b )，则m ·n ≥4π2的概率为( )A.1－π8B.1－π4C.1－π5D.1－π6解析：选 B 在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，则点(a ，b )在如图所示的正方形内部及其边界上.因为m ·n ＝4a 2＋4b 2≥4π2，所以a2＋b 2≥π2，满足条件的点(a ，b )在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m ·n ≥4π2的概率P ＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B.4.(2019·成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A.49B.59C.23D.79解析：选C 将齐王的上等、中等、下等马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b 1，b 2，b 3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P ＝69＝23，故选C.5.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是( )A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2解析：选A 设事件Q 为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M 为“所选3人中女生人数为1”，事件N 为“所选3人中女生人数为0”，则事件M ，N 是互斥事件.4名男生分别记为1，2，3，4；2名女生分别记为a ，b .从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，a }，{1，2，b }，{1，3，4}，{1，3，a }，{1，3，b }，{1，4，a }，{1，4，b }，{1，a ，b }，{2，3，4}，{2，3，a }，{2，3，b }，{2，4，a }，{2，4，b }，{2，a ，b }，{3，4，a }，{3，4，b }，{3，a ，b }，{4，a ，b }.事件M 所含的基本事件分别为{1，2，a }，{1，2，b }，{1，3，a }，{1，3，b }，{1，4，a }，{1，4，b }，{2，3，a }，{2，3，b }，{2，4，a }，{2，4，b }，{3，4，a }，{3，4，b }，共12个，所以P (M )＝1220＝35；事件N 所含的基本事件分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4个，所以P (N )＝420＝15；所以事件Q 的概率为P (Q )＝P (M )＋P (N )＝35＋15＝0.8，故选A.6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为2，所以白色部分的面积为S 1＝4×12×2×2＝4，易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S 2＝4×12×1×1＝2，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P ＝S 2S 1＋S 2＝24＋2＝13. 二、填空题7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等).若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________.解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有6＋6＋6＋6＝24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12. 答案：128.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则x 甲＞x 乙的概率是________.解析：设被污损的数字为x ，由茎叶图知x 乙＝90，x 甲＝89＋x5，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x 甲＞x 乙时，89＋x5＞90，x ∈N ，污损处对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x 甲＞x 乙的概率为410＝25.答案：259.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M ，则点M 落在三棱锥B 1A 1BC 1内的概率为________.解析：因为正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，所以三棱锥B 1A 1BC 1的体积13·12·a ·a ·a ＝16a 3，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为a 3，所以在正方体内随机取一点M ，则点M 落在三棱锥B 1A 1BC 1内的概率为16a 3a 3＝16.答案：16三、解答题10.(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种.②由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种.所以事件M 发生的概率P (M )＝1115.11.(2019·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，设样本平均数为x ，求|x i －x |≤0.5的概率.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001000＝a5，得a ＝2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A 1，A 2分别表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3分别表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个，其中事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个.故P (E )＝710，即所求的概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，|x i －x |≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个.所以P (D )＝68＝34，即所求的概率为34.12.已知二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋2.(1)任取a ∈{1，2，3}，b ∈{－1，1，2，3，4}，记“f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A ，求A 发生的概率.(2)任取(a ，b )∈{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}，记“关于x 的方程f (x )＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率.解：(1)因为a 有3种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个. 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2b a 对称，若事件A 发生，则a >0且2ba≤1.数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种. 所以P (A )＝515＝13.(2)集合{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ，如图，其中点A (6，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则△AOB 的面积为12×32×6＝92.。
老高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题4统计与概率第2讲概率文课件
B．π4 D．π6
【解析】 设正方体的边长为 a， 正方体体积为 a3，“牟合方盖”的体积为23a3， 而内切球的体积为43πa23＝π6a3， 所以在该“牟合方盖”内任取一点，
由内切球在“牟合方盖”内部， πa3
此点取自正方体内切球内的概率为 6 ＝π， 23a3 4
故选 B．
【名师点拨】 求解几何概型应把握的两点 (1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体 积时，应考虑使用几何概型求解． (2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
2．(2022·全国甲卷)从分别写有 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机
抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为( C )
A．15
B．13
C．25
D．23
【解析】 根据题意，从 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，有(1,2)， (1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种取法，其中抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共 6 种情况，则抽到 的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率 P＝165＝25；故选 C．
由随机模拟试验可得：S黑＝ 605 ，又 S正 1 089
S
正＝9，
可得 S 黑＝1600859×9≈5．故选 B．
4．已知区域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x
高考二轮复习文科数学课件高考保分大题4概率与统计的综合问题
解 (1)由题意可得 =
=
1+2+4+6+11+13+19
=8,
7
1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.4
=4.2,
7
^
所以 =
7
∑ -7
i=1
7
2
∑ 2 -7
=1
=
^
^
=0.17, = − =4.2-0.17×8=2.84,
279.4-7×8×4.2
-99)2+10 127,
考点二
独立性检验及其应用
例2(2021全国甲,文17)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一
级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了
200件产品,产品的质量情况统计如下表:
产品质量
机床
一级品
二级品
150
50
甲机床
120
80
乙机床
270
130
②k=
=6.4>3.841,
20×20×20×20
故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的
增加量有差异.
考点三
统计图表与概率的综合
例3(2023陕西汉中二模)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心,
据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与
调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文
708-7×82
^
y 关于 x 的线性回归方程为 =0.17x+2.84.
2
2021届高考数学二轮专题复习PPT教学课件_专题四统计与统计案例(理)(105页)
（教学提纲）2021届高考数学二轮专 题复习 获奖课 件：专 题四统 计与统 计案例 （理） （共105 页PPT ）（免 费下载 ）
•义核心价值观典的例情1况(1，)(2用02系0·统中抽卫样三的模方)某法学从校全为校落2实40学0生名掌学握生社中会抽主取
30人进行调查．现将2 400名学生随机地从1～2 400编号，按编号顺
• 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这 三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每 一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的 比值．
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• (理科) 年份 卷别 Ⅰ卷
Ⅱ卷 2020
Ⅲ卷
题号 5 18
3、18
考查角度
分值
散点图的识别
5
平均数的估计值、相关系数的计算以 12
及抽样方法的选取
标准差的大小比较、方差公式的应用；
利用频数分布表计算频率和平均数、 17
独立性检验的应用
年份 2019 2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
又经计算修改前的方差为
1 10
(8.22＋12.22＋13.82＋17.82＋15.22＋5.22
＋17.82＋2.22＋21.22＋14.82)＝197.16
修改后的方差为
1 10
(8.22＋17.22＋18.82＋17.82＋20.22＋5.22＋22.82＋
（教学提纲）2021届高考数学二轮专 题复习 获奖课 件：专 题四统 计与统 计案例 （理） （共105 页PPT ）（免 费下载 ）
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率与统计课件文20191128271
(ⅱ)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①看到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而 利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得 到的预测值更可靠． ……………………12 分 (以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由 均可得分)
(2019·高考全国卷Ⅲ)(12 分)为了解甲、乙两种离子在 小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
(2)
y
＝
1 100
×(
－
0.10×2 ＋
0.10×24
＋
0.30×53
＋
0.50×14 ＋
0.70×7)＝0.30，
s2＝1010i＝51ni(yi－ y )2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53
＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.029 6， s＝ 0.029 6＝0.02× 74≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30,0.17.
(2)由茎叶图知 m＝79＋2 81＝80.………………6 分
列联表如下：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式 15
5
Hale Waihona Puke 第二种生产方式 515
…………8 分
(3)因为 K2＝402×0×152×0×152－0×5×2052＝10>6.635，
适用于新高考新教材2023届高考数学二轮总复习专题四概率与统计课件
4.独立性检验
对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其2×2列联表是:
变量
y1
y2
合计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
a+c
b+d
n
合计
随机变量
2
(-)
2
χ =(+)(+)(+)(+),其中 n=a+b+c+d.
5.概率的计算公式
事件包含的基本事件数
1.重视新增知识,如百分位数、条件概率与全概率公式、分层抽样中
的样本数字特征等,在理解的基础上能熟练运用相关公式进行计算.
2.重视阅读理解,本部分知识与实际联系密切,一般阅读量较大,需要平
时多加训练,抓住材料本质,提炼关键内容,通过数学建模达到处理题
备考 目信息的目的.
策略 3.重视对统计图表信息题的训练,此类问题常通过真实的统计图表,以
3.(2021·全国甲·理10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为
(
)
1
A.3
2
B.5
2
C.3
4
D.5
答案 C
解析 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的总的排法为C62 =15 种,其中 2 个 0 不相
邻的排法为C52 =10
种,所以 2 个 0
2
不相邻的概率为 .
3
(1)古典概型的概率计算公式 P(A)=
基本事件总数
(2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)=P(A)+P(B);
(3)对立事件的概率计算公式 P()=1-P(A);
教辅-高考数学大二轮专题复习：概率与统计之统计、统计案例
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
2．某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2∶3∶
4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，
若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n＝( )
A．96
B．72
C．48
D．36
答案 B 解析 由题意，得29n－39n＝－8，∴n＝72.选 B.
中位数为 2 ＝630(分钟)，所以这 8 个月的月平均通话时间的中位数大 小的取值区间为[540，630].故选 D.
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
3．(2020·山东省泰安市四模)某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，
所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，
核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业42020天津市河北区二模某班同学进行社会实践对2555岁的人群随机抽取n人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族否则称为非低碳族得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图则图表中的pa的值分别为核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组253012006第二组3035195p第三组354010005第四组4045a04第五组45503003第六组50551503核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业a07920b019540c06560d097580答案c核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业解析由题意得n1200600451000a100000350460
核心知识回顾
热点考向探究
通用版2018年高考数学二轮复习专题四概率与统计第二讲小题考法__概率统计统计案例课件理PPT文档5
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
通用版2018年高考数学二轮 复习专题四概率与统计第二讲 小题考法__概率统计统计案例
课件理
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率、统计、统计案例限时规范训练理
第二讲概率、统计、统计事例1．(2019 ·咸阳二模)PM2.5 是权衡空气质量的重要指标，我国采纳世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5 日均值在 35μg/m 3以下空气质量为一级，在35 μg/m3～75 μg/m 3空气质量312月1日至3为二级，超出 75 μg/m 为超标．如图是某地10 日的 PM2.5( 单位：μ g/m ) 的日均值，则以下说法不正确的选项是()A．这 10 天中有 3 天空气质量为一级B．从 6 日到 9 日 PM2.5 日均值渐渐降低C．这 10天中 PM2.5日均值的中位数是55D．这 10天中 PM2.5日均值最高的是12月 6日分析：由题图可知A、B、 D 正确．应选C.答案： C2．(2019 ·成都模拟) 为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选用这两名球员最近五场竞赛的得分制成如下图的茎叶图，有以下结论：①甲近来五场竞赛得分的中位数高于乙近来五场竞赛得分的中位数；②甲近来五场竞赛得分均匀数低于乙近来五场竞赛得分的均匀数；③从近来五场竞赛的得分看，乙比甲更稳固；④从近来五场竞赛的得分看，甲比乙更稳固．此中全部正确结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④分析：甲的中位数为 29，乙的中位数为 30，故①不正确；甲的均匀数为 29，乙的均匀数为 30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．应选 C.答案： C3．(2019 ·内蒙古包头铁路一中调研) 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分232()别为3，4，5，那么三人中恰有两人合格的概率是211A. 5B. 3071C. 15D. 6分析：三人中恰有两人合格的概率231－22322327＝× ×5＋×1－4×＋1－3× × ＝，P3*******应选 C.答案： C4．(2019 ·湘中名校联考) 利用独立性查验来考虑两个分类变量X 和 Y 能否相关系时，通过查阅下表来确立“X 和Y 相关系”的可信度．假如k>3.841，那么有掌握以为“X 和Y 相关系”的百分比为()P( K2>k0)0.500.250.150.100.050.0250.010k00.455 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635A.5%B． 75%C．99.5%D． 95%分析：由表中数据可得，当k>3.841时，有0.05 的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05 ＝ 0.95的机率，也就是有95%的掌握以为变量之间相关系，应选 D.答案： D5．(2019 ·石家庄模拟) 某种电路开封闭合后会出现红灯或绿灯闪耀，已知开关第一次闭11合后出现红灯的概率为2，两次闭合后都出现红灯的概率为5，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()11A. B.10521C. 5D. 2分析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件 B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件P AB2下第二次闭合后出现红灯”为事件B| A，由题意得 P( B| A)＝P A＝5，应选 C.答案： C6．(2019 ·湖北七市 ( 州 ) 联考 ) 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续 5 个年度的广告费 x 和销售额 y 进行统计，获得统计数据表( 单位：万元 ) ：广告费 x23456销售额 y2941505971^^10 万元时的销售额约为由表格可得回归方程为 y＝10.2x＋ a，据此模型，展望广告费为()A．101.2 万元B． 108.8 万元C．111.2 万元D． 118.2 万元分析：依据统计数据表，可得11x ＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4， y ＝×(29＋41＋50＋59 55＋ 71) ＝50，^^(4,50) ，而回归直线 y＝10.2 x＋ a经过样本点的中心^^∴50＝10.2 ×4＋a，解得a＝ 9.2 ，^∴回归方程为 y＝10.2 x＋9.2.当 x＝10时， y＝10.2×10＋9.2＝111.2.应选C.答案： C7．(2019 ·许昌二模 ) 某校共有任职教师 140 人，此中高级教师28 人，中级教师56 人，初级教师 56 人，现采纳分层抽样的方法从任职教师中抽取 5 人进行职称改革调研，而后从抽取的 5 人中随机抽取 2 人进行深入认识，则抽取的这 2 人中起码有 1 人是初级教师的概率为()73A. 10B. 1037C. D.20202856分析：由题意得，应从高级、中级、初级教师中抽取的人数分别为5×140＝1,5 ×140＝56112 2,5 ×C2C3＋C2＝ 2，则从 5 人中随机抽取 2 人，这 2 人中起码有 1 人是初级教师的概率为2＝140C5710.答案： A8．(2019·新乡二模) 已知一组数据丢掉了此中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11.若这组数据的均匀数、中位数、众数挨次成等差数列，则丢掉数据的全部可能值的和为 ()A．6B． 8C．12D． 14分析：设这个数字是x，则均匀数为31＋x，7众数是3，若x≤3，则中位数为3，此时x＝－ 10，若 3<x<5，则中位数为x，此时2x＝31＋x＋ 3，x＝ 4，7若 x≥4，则中位数为5,2 ×5＝31＋x7＋ 3，x＝ 18，因此可能值为－10,4,18 ，其和为12.应选 C.答案： C9．(2019 ·武昌区校级期末测试) 某宠物商铺对30 只宠物狗的体重( 单位：千克 ) 作了测量，并依据所得数据画出了频次散布直方图如下图，则这30 只宠物狗体重( 单位：千克 ) 的均匀值大概为()A．15.5B． 15.6C．15.7D． 16分析：由频次散布直方图获得：这30 只宠物狗体重(单位：千克) 的均匀值大概为：11×0.05 ×2＋13×0.1 ×2＋15×0.125 ×2＋17×0.125 ×2＋19×0.075 ×2＋21×0.025 ×2＝15.6.应选 B.答案： B410．某批花生种子，假如每 1 粒抽芽的概率均为5，那么播下4粒种子恰巧有2粒抽芽的概率是()256192A.625B.6259616C.625D.625 2×421296分析： P＝ C5×5＝ 625.4答案： C11．(2019 ·袁州区校级月考) 甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的均匀数分别为x 甲， x 乙，方差分别为σ 甲2，σ 乙2则()A.x 甲> x 乙，σ甲2<σ乙2B.x 甲> x 乙，σ甲2>σ乙2C.x 甲< x 乙，σ甲2<σ乙2D.x 甲< x 乙，σ甲2>σ乙2分析：由甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计图知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分别，由甲乙两组数据的均匀数分别为x 甲， x 乙，方差分别为σ 甲2，σ 乙2，得 x 甲> x 乙，σ甲2<σ乙2.应选 A.答案： A12．节能降耗是公司的生计之本，建立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产收益：年号12345年生产收益 y(单位：千万元)0.70.81 1.1 1.4展望第 8 年该国企的生产收益约为 ()n nx i － x y i － yx i y i － n xyi ＝ 1i ＝1^ 5( 参照公式及数据：^＝^b ＝； a ＝ y － b x ， ( x inn2i ＝ 122x i － xx i － n xi ＝ 1i ＝ 15－ x )( y i － y) ＝1.7 ，(x i －x ) 2＝ 10.)i ＝1A ．1.88 千万元B ． 2.21 千万元C ．1.85 千万元D ． 2.34 千万元分析：由表格数据可得，x 1＋2＋ 3＋ 4＋5＝ 3， 0.7 ＋ 0.8 ＋ 1＋ 1.1 ＋ 1.4＝y ＝＝ 1.5555又 ( x i － x ) 2＝ 10，( x i － x )( y i － y ) ＝ 1.7 ，i ＝ 1i ＝15x i － xy i － y^i ＝ 11.7∴b ＝52＝ 10 ＝0.17 ，x i － xi ＝ 1^ ^a ＝ y －b · x ＝ 1－0.17 ×3＝ 0.49 ，∴国企的生产收益y 与年份 ^x ＋ 0.49 ，x 的回归方程为 y ＝ 0.17^取 x ＝ 8，可得 y ＝0.17 ×8＋ 0.49 ＝ 1.85.应选 C.答案： C13．(2019 ·高考全国卷Ⅱ ) 我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97 ，有20 个车次的正点率为 0.98 ，有10 个车次的正点率为0.99 ，则经停该站高铁列车全部车次的均匀正点率的预计值为________．10×0.97 ＋20×0.98 ＋10×0.99 分析： x＝10＋ 20＋ 10＝ 0.98.则经停该站高铁列车全部车次的均匀正点率的预计值为0.98.答案： 0.9814．(2019 ·荆州区校级期末测试) 从某高中随机选用 5 名高二男生，由他们身高和体重的数据获得的回归直线方程为^，数据列表是：y ＝ 0.56 x － 26.2身高 x (cm) 160 165 170 175 180体重 y(kg)6366a7274则此中的数据a＝________.1分析： x ＝5×(160＋165＋170＋175＋180)＝170，y1275＋a ＝×(63 ＋ 66＋＋ 72＋ 74) ＝，5a5将170，275＋a代入回归直线方程为^5y＝0.56 x－26.2，275＋a＝0.56 ×170－ 26.2，得：5解得： a＝70，故答案为 70.答案： 7015．(2019 ·大庆铁人中学月考) 如下图的电路有a， b，c 三个开关，每个开封闭合的1________．概率都是2，且每个开关能否闭合是互相独立的，则灯泡亮的概率为分析：设“开关 a 闭合”为事件A，“开关 b 闭合”为事件B，“开关 c 闭合”为事件C，则灯泡亮为事件ABC.由题意A，B ，C两两互相独立．又P( A)＝P(B )＝ P( C)＝1，因此2P(A B1C)＝P(A)·P( B )· P( C)＝8.1答案：816．(2019 ·天河区二模) 某城市为了认识旅客人数的变化规律，提升旅行服务质量，收集并整理了2016 年 1 月至 2018 年 12 月时期月招待旅客量( 单位：万人 ) 的数据，绘制了下边的折线图．依据该折线图，以下结论正确的选项是 ________( 填序号 ) ．①月招待旅客量逐月增添；②年招待旅客量逐年增添；③各年的月招待旅客量顶峰期大致在7,8月份；④各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对7 月至12 月，颠簸性更小，变化比较安稳．分析：由折线图得：在①中，月招待旅客量逐月颠簸，故①错误；在②中，年招待旅客量逐年增添，故②正确；在③中，各年的月招待旅客量顶峰期大概在7,8月份，故③正确；在④中，各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对7 月至12 月，颠簸性更小，变化比较安稳，故④正确．故答案为②③④.答案：②③④。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题4 概率与统计 专题4 概率与统计
的概率为(
4
1
A.
8
C )
1
B.
6
1
C.
4
1
D.
2
解析 {(x,y)|1≤x2+y2≤4}表示的区域如图中阴影部分所示,当点A位于图中
弧线区域内时直线 OA
故选 C.
π
1
的倾斜角不大于4,所求概率为4.
5.(2023全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处
理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,
③均值与方差的性质:
E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).
名师点析古典概型中基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐
列表法
标法
树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较
树状图法
复杂问题中基本事件数的探求
2.加强计算:该部分考题无论是数据的分析还是概率的求解,准确地进
行运算是基础,所以要加强基本的数据处理、运算能力.
3.加强阅读能力:概率与统计问题多与社会、生活、科技等情境问题
相结合,从情境中读取有用信息,并建立正确的数学模型是解决该部
分问题的关键环节.
真题感悟
1.(2022新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互
i=1
1
=
(12
+
22
2
2
2
+ 3 +…+ -n ).
(3)样本平均数、方差的性质:若 x1,x2,…,xn 的平均数为,方差为 s2,则
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高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率统计统计案例限时规范训练理1．(2019·咸阳二模)PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下空气质量为一级，在35 μg/m3～75 μg/m3空气质量为二级，超过75 μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位：μg/m3)的日均值，则下列说法不正确的是( )A．这10天中有3天空气质量为一级B．从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55D．这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日解析：由题图可知A、B、D正确．故选C.答案：C2．(2019·成都模拟)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为( )A．①③B．①④C．②③D．②④解析：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确． 故选C. 答案：C3．(2019·内蒙古包头铁路一中调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25B.1130C.715D.16解析：三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C.答案：C4．(2019·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.答案：D5．(2019·石家庄模拟)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25，故选C.答案：C6．(2019·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据表(单位：万元)：由表格可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( )A ．101.2万元B ．108.8万元C ．111.2万元D ．118.2万元解析：根据统计数据表，可得x ＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)， ∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2， ∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2.故选C. 答案：C7．(2019·许昌二模)某校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，然后从抽取的5人中随机抽取2人进行深入了解，则抽取的这2人中至少有1人是初级教师的概率为( )A.710B.310C.320D.720解析：由题意得，应从高级、中级、初级教师中抽取的人数分别为5×28140＝1,5×56140＝2,5×56140＝2，则从5人中随机抽取2人，这2人中至少有1人是初级教师的概率为C 12C 13＋C 22C 25＝710. 答案：A8．(2019·新乡二模)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( )A ．6B ．8C ．12D ．14解析：设这个数字是x ，则平均数为31＋x7，众数是3，若x ≤3，则中位数为3，此时x ＝－10， 若3<x <5，则中位数为x ，此时2x ＝31＋x7＋3，x ＝4，若x ≥4，则中位数为5,2×5＝31＋x7＋3，x ＝18，所以可能值为－10,4,18，其和为12. 故选C. 答案：C9．(2019·武昌区校级期末测试)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为( )A ．15.5B ．15.6C ．15.7D ．16解析：由频率分布直方图得到：这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为：11×0.05×2＋13×0.1×2＋15×0.125×2＋17×0.125×2＋19×0.075×2＋21×0.025×2＝15.6.故选B. 答案：B10．某批花生种子，如果每1粒发芽的概率均为45，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是( )A.256625B.192625C.96625D.16625解析：P ＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝96625.答案：C11．(2019·袁州区校级月考)甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为σ甲2，σ乙2则( )A.x 甲>x 乙，σ甲2<σ乙2B.x 甲>x 乙，σ甲2>σ乙2C.x 甲<x 乙，σ甲2<σ乙2D.x 甲<x 乙，σ甲2>σ乙2解析：由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知： 甲组数据靠上，乙组数据靠下， 甲组数据相对集中，乙组数据相对分散，由甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为σ甲2，σ乙2， 得x 甲>x 乙，σ甲2<σ乙2. 故选A. 答案：A12．节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号12 3 4 5 年生产利润y (单位：千万元) 0.70.811.11.4预测第(参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x2；a ^＝y －b ^x ，∑i ＝15(x i－x )(y i －y )＝1.7，∑i ＝15(x i －x )2＝10.)A ．1.88千万元B ．2.21千万元C ．1.85千万元D ．2.34千万元解析：由表格数据可得，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝0.7＋0.8＋1＋1.1＋1.45＝1.又∑i ＝15(x i －x )2＝10，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝1.7，∴b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y)∑i ＝15(x i －x)2＝1.710＝0.17， a ^＝y －b ^·x ＝1－0.17×3＝0.49，∴国企的生产利润y 与年份x 的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.49， 取x ＝8，可得y ^＝0.17×8＋0.49＝1.85. 故选C. 答案：C13．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.答案：0.9814．(2019·荆州区校级期末测试)从某高中随机选取5名高二男生，由他们身高和体重的数据得到的回归直线方程为y ^＝0.56x －26.2，数据列表是：体重y (kg)63 66 a 72 74则其中的数据a ＝________.解析：x ＝15×(160＋165＋170＋175＋180)＝170，y ＝15×(63＋66＋a ＋72＋74)＝275＋a5， 将⎝⎛⎭⎪⎫170，275＋a 5代入回归直线方程为y ^＝0.56x －26.2， 得：275＋a5＝0.56×170－26.2，解得：a ＝70， 故答案为70. 答案：7015．(2019·大庆铁人中学月考)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关闭合的概率都是12，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯泡亮的概率为________．解析：设“开关a 闭合”为事件A ，“开关b 闭合”为事件B ，“开关c 闭合”为事件C ，则灯泡亮为事件A B C .由题意A ，B ，C 两两相互独立．又P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18.答案：1816．(2019·天河区二模)某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是________(填序号)．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量高峰期大。