(13)15 量子物理基础(1-3)

a sin ( 2k 1)

2
a sin k
k 1.2.3
明纹
暗纹
1) 位置的不确定程度 我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不 确定程度。 电子在单 用单缝来确定电子在穿过单缝 缝的何处 时的位置 通过是不 确定的! 只知是在 宽为a的 的缝中通 过. U 结论:电子在单缝处的位置 不确定量为：
px
x
电子束
p

x a
py
屏 幕
a
缝
2
X方向电子的位置不确定量为：
x a
电子大部分都到达中央明纹处. 研究正负一级暗纹间的电子。这部分电子在单 缝处的动量在X轴上的分量值为：
0 p x p sin
为一级暗纹的衍射角
x
电子束
px
x a
缝
p

py
屏 幕
a
x 方向电子的位置不确定量为： x a
例如：电子经加速电势差 U加速后
1 2 即： m0v eU 2
2eU v m0
所以电子的德布罗意波长为：

h 12.3 0 ( A) 2m0 eU U
1A
0
当：U 150V
例 一原静止的电子被电场加速到速度v（vc）， 加速电压为100V时，则速度为v的电子的De Brö glie 波波长为多大？
思考题: 若一个电子的德布罗意波长和光子的波长相同。 试问：1）它们的动量大小是否相同？ 2）它们的总能量是否相同？（05年） 解：1） 由德布罗意关系可知,它们的波长相同.因此， 它们的动量大小相同．
2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于 光子的能量。
光子的能量：
hv
hc

pc
电子驻波
得出角动量量子化条件：
这正是玻尔假设中轨道角动量量子化条件。
1929诺贝尔物理学奖

L.V.德布罗意， 法国物理学家 电子波动性的理论研究

二、物质波的实验验证
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体 上进行电子衍射实验。 狭缝 K U 器 电 φ 集 电 流 计
电子射线
G
φ
单晶 镍
c 2 mv p E 2 4 2 2 E 2 m0 c p c x vp p t
2c 2 pp
Et xp / 2
即： Et 能量与时不确定关系式
2
测不准关系式的讨论
1. 用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出 现不确定性 。在位置和动量的不确定量中,位置不确 定量越小,则同方向的动量不确定量就越大。反之亦 然。 2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不 是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。 3. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典 力学来描写还是用量子力学来描写。
利用布拉格公式球得 波长为:
两者波长值很接近，证明微观粒子具有波粒二象性
1927 年汤姆逊（G· Thomson）以600伏慢电子 P· （=0.5Å）射向铝箔，也得到了像X射线衍射一 样的衍射，再次发现了电子的波动性。 1937年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔奖 （G· Thomson为电子发现人J· Thmson的儿子） P· J· 尔后又发现了质子、中子的衍射
( x ,t )
0
区别于经典波动
i 2 (t x )
( x , t ) 0e
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
具有能量为E、动量为p 的实物粒子就有一定频率 和一定波长与之对应。它们之间满足如下关系：
E mc h
2
h p mv
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h v2 1 2 p mv m0 v c
h 如果v c , 则 m0 v
2
到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X 轴上的分量的不确定量为: 由单缝暗纹条件： sin a px p sin
p a p x
为一级暗纹的衍射角
p x x P
h p
h p h p
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现， 所以： p x x h 经严格证明此式应为：
解： h h
p
m0v
h 2em 0U
12.3 10 10 (m ) U
当U=100伏
12.3 1.23 Å U
利用物质波概念分析玻尔氢原子的量子化条件：
电子的物质波绕圆轨道传播,当满足驻波条件时,它就 能在圆轨道上形成驻波。 驻波是稳定的,所以电子就不会坠落到原子核上,其轨 道也是稳定的。此时圆轨道的周长应该等于波长的整数 倍。 设轨道半径为r，则有: 再由德布罗意波长：
波强度大， 2或 2大
0 2 0
波强度小， 或 2 小 极小值 较少电子到达 2 统一地看：粒子出现的几率正比于 02或 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间

所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定
2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？ 例1 一电子以
v x 1.0 10 m s
6
1
的速度穿过晶体。晶体常数d~10-10m
x d 1 A
0
由于：xp x 2
10 34 31 m s 1 v x 10 10 10 2m x
Ee
电子的总能量： E (cp) 2 ( m c 2 ) 2 e 0
例1: 、粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场 中沿半径为R=0.83cm的轨道作圆周运动.试求: (1) 粒子德布罗意波长; (2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的速率 运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…) 解: (1) 求粒子德布罗意波长
三、德布罗意波的统计解释
1926年，德国物理学家玻恩 (Born 1882--1972) 提出了概率波的 概念，认为个别微观粒子在何处出 现有一定的偶然性，但是大量粒子 在空间何处出现的空间分布却服从 一定的统计规律。 也就是说，德布罗意波既不是 机械波,也不是电磁波.而是一种 概率波.
玻恩对量子力学的基础研究，特别是对量子力学中
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长 若 m=0.1g 的小球速率
vm v
q BR vm v m
h h 1 h m 则：m mv m m v m q BR h m 6.64 10 2 7 6.64 10 3 4 m 3 q BR m 0.1 10
波函数的统计解释。因此于1954年获得诺贝尔物理学奖
15-2
不确定关系(Uncertainty Relation)
经典粒子，用坐标和动量来描述其运动状态；但微 观粒子具有波粒二象性，用坐标和动量来描述其运动 状态就会出现不确定现象。
如图a: 微观自由粒子的波函数 为简谐波，有其确定波长（即有 确定的动量p=h/),但其位置x无定 域可任取(即位置非常不确定）。 见图b,考虑另一种波函数为波包 波包是由不同波长的简谐波叠加 ，对应具有不同动量的微观粒子。 波包区间x越窄,波长范围就越宽 ，微观自由粒子的位置越确定，动 量越不确定。
x a
2)单缝处电子的动量的不确定程度 X pa K
a
b c
d
a
U X
p
B
pb pc pe pd
pa pb pc pe p
其衍射角 分别为：
px
单缝处，衍射角为θ的电子在X轴上存在动量的分量

eE
a b c d e
·· ·· ·· 即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值
前次课的内容回顾：
① 什么叫物质波？它有什么特性？ ② 玻恩对德布罗意波是如何解释的？ ③ 解海森伯的测不准关系说明了什么物理意义？
一、波函数
概率密度
1 、波函数： 描述微观粒子运动状态的函数。 经典单色平面简谐波波动方程：
y( x , t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae i 2 (t x ) 只取实部
本次课的内容：
① 什么是德布罗意波？如何确定德布罗意波波长？ ② 物质波的实验验证；
③ 玻恩对德布罗意波的统计解释？
④ 如何理解海森伯的测不准关系？
15-1 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
一、德布罗意波 (物质波) 独创性
1924年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设：
一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样, 具有波粒二象性。
h h 先求： v ? m p m v
v2 而：q vB m m v q BR R
h h m v q BR
o 6.63 10 34 11 1.00 10 m 0.1 A 19 2 1.60 10 0.025 0.083 10
px x 2
py y 2
pz z 2
h 1.054 588 10-34 J .s 2 (约化普朗克常量 )
这就是著名的海森伯不确定关系式
能量与时间不确定关系 设有一个动量为p，质量为m的粒子，能量
E m c pc
2 4 0 2
2
考虑到E的增量：
实验发现：保持 角不变，改变电压值，电流并