阶段训练一

阶段训练一【阶段训练】阶段训练一(集合与常用逻辑用语、函数与基本初等函数Ⅰ、导数及其应用) 一、填空题1.函数f(x)的定义域为.2.若函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数，且在(0，+∞)上为增函数，则实数m=.3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(2-x)，则f(0)+f(2)=.4.已知集合M={1，2}，N={a|a⊆M}，则集合N中元素的个数为.5.函数f(x)=ln-2x xx的图象在点(1，-2)处的切线方程为.6.若曲线C1：y1=ax3-6x2+12x与曲线C2：y2=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为.7.已知集合A={x|2a<x<a+2}，B=(-∞，-1)∪(5，+∞)，若A∩B=∅，则实数a的取值范围为.8.已知函数f(x)=4-log020xx xx>⎧⎨≤⎩，，，，那么f(f(-4))+f21log6⎛⎫⎪⎝⎭=.9.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是.10.已知函数f(x)=244-3.x mx x x m≥⎧⎨+<⎩，，，若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是.11.已知函数f(x)=2222.x a xx a x⎧+>⎨+≤⎩，，，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是.12.若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x2-x，则当x∈[-2，-1]时，f(x)的最小值为.13.当x∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是.14.已知函数f(x)=x-1-(e-1)ln x，则满足f(e x)<0的x的取值范围为.二、解答题15.已知集合A={x|ax2+ax+6=0}.(1) 若1∈A，求集合A；(2) 若集合A {2，3}，求实数a的取值范围.16.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x.(1) 写出函数y=f(x)的解析式；(2) 若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围.17.已知函数f(x)=ln x，g(x)=12ax+b.(1) 若曲线f(x)与直线g(x)在x=1处相切，求函数g(x)的表达式；(2) 若φ(x)=(-1)1m xx+-f(x)在[1，+∞)上是减函数，求实数m的取值范围.18.某公司生产的某批产品的销售量P(单位：万件)(生产量与销售量相等)与促销费用x(单位：万元)之间满足P=24x+(其中0≤x≤a，a为正常数).已知生产该批产品还需投入成本61PP⎛⎫+⎪⎝⎭万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为204P⎛⎫+⎪⎝⎭元/件.(1) 将该产品的利润y(单位：万元)表示为促销费用x的函数；(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大?19.已知函数f(x)=e x-mx-n.(1) 若函数f(x)的图象在x=0处的切线过点(1，0)，求m+n的值；(2) 当n=0时，若函数f(x)在(-1，+∞)上没有零点，求实数m的取值范围.20.已知函数f(x)=1 e xx.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 已知函数φ(x)=xf(x)+tf'(x)+1e x，若存在实数x1，x2∈[0，1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围.【阶段训练答案】阶段训练一1. [2，+∞) 【解析】由2x-4≥0，得x ≥2，所以函数的定义域为[2，+∞).2. 2 【解析】若f (x )=(m 2-m-1)x m 是幂函数，则m 2-m-1=1，解得m=-1或m=2.又当x ∈(0，+∞)时，f (x )是增函数，所以m=2.3. -2 【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)=0.又因为当x<0时，f (x )=log 2(2-x )，所以f (2) =-f (-2)=-log 2(2+2)=-2，所以f (0)+f (2) =-2.4. 4 【解析】由题可知集合N 是由集合M 的子集构成的集合，又集合M 的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，所以集合N 中元素的个数为4.5. x-y-3=0 【解析】函数f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=21-ln x x ，则f'(1) =1，故函数f (x )的图象在点(1，-2)处的切线方程为y-(-2)=x-1，即x-y-3=0.6. -13e 【解析】因为y'1=3ax 2-12x+12，y'2=e x ，所以两条曲线在x=1处的切线斜率分别为k 1=3a ，k 2=e .由两条切线互相垂直，得k 1·k 2=-1，即3a e =-1，所以a=-13e .7.1|-2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ 【解析】若A=∅，则2a ≥a+2，解得a ≥2.若A ≠∅，则-1≤2a<a+2≤5，解得-12≤a<2.综上，a ≥-12.8. 8 【解析】f (f (-4))=f (24)=log 416=2.因为log 216<0，所以f 21log 6⎛⎫ ⎪⎝⎭=21-log 62=2log 62=6，即f (f (-4))+f 21log 6⎛⎫ ⎪⎝⎭=2+6=8.9. [0，8) 【解析】因为x ≥0，所以-x ≤0，所以3-x ≤3，所以0<23-x ≤23=8，所以0≤8-23-x <8，所以函数y=8-23-x 的值域为[0，8).10. (1，2] 【解析】问题转化为方程f (x )=2x 有三个不同的解，所以有42x m x ≥⎧⎨=⎩，或24-32x m x x x <⎧⎨+=⎩，，即2x m x ≥⎧⎨=⎩，或1x m x <⎧⎨=⎩，或-3.x m x <⎧⎨=⎩，所以21-3m m m ≥⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1<m ≤2.11. (-∞，-1]∪[2，+∞) 【解析】当x>2时，f (x )>a+4；当x ≤2时，f (x )≤a 2+2，所以函数f (x )的值域为(-∞，a 2+2]∪(a+4，+∞).由于函数的值域为R ，所以a 2+2≥a+4，解得a ≥2或a ≤-1.12. -116 【解析】设x ∈[-2，-1]，则x+2∈[0，1]，则f (x+2)=(x+2)2-(x+2).又f (x+2)=f ((x+1)+1)=2f (x+1)=4f (x )，所以f (x )=14(x 2+3x+2)，所以当x=-32时，f (x )取得最小值，为-116.13. (-1，2) 【解析】原不等式变形为m 2-m<12x⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为函数y=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭在(-∞，-1]上是减函数，所以12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≥-112⎛⎫ ⎪⎝⎭=2.当x ∈(-∞，-1]时，m 2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭恒成立等价于m 2-m<2，解得-1<m<2.14. (0，1) 【解析】由题知函数f (x )的定义域为(0，+∞)，令f'(x )=1-e-1x =0，得x=e -1.当x ∈(0，e -1)时，f'(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e -1，+∞)时，函数f (x )单调递增.又f (1) =f (e)=0，所以由f (e x )<0，得1<e x <e ，解得0<x<1.15. (1) 由1∈A 可知a+a+6=0，解得a=-3，所以A={x|-3x 2-3x+6=0}={x|x 2+x-2=0}={1，-2}.(2) 若A=∅，当a=0时，满足题意；当a ≠0时，Δ=a 2-24a<0，解得0<a<24. 故当A=∅时，0≤a<24.若集合A 中仅有一个元素，则a ≠0且a 2-24a=0，解得a=24，此时集合A={x|24x 2+24x+6=0}={x|4x 2+4x+1=0}=1-2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足题意.若集合A 中有两个元素，则42609360a a a a ++=⎧⎨++=⎩，，无解. 综上可知，实数a 的取值范围为[0，24).16. (1) 当x ∈(-∞，0)时，-x ∈(0，+∞). 因为y=f (x )是奇函数，所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-2(-x )]=-x 2-2x ，所以f (x )=22-20--20.x x x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，(2) 当x ∈[0，+∞)时，f (x )=x 2-2x=(x-1)2-1，最小值为-1；当x ∈(-∞，0)时，f (x )=-x 2-2x=1-(x+1)2，最大值为1.据此作出函数y=f (x )的图象(如图)，根据图象可知，若方程f (x )=a 恰有3个不同的解，则实数a 的取值范围是(-1，1).(第16题)17. (1) 由题知f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=1x ，g'(x )=12a ，所以f'(1) =g'(1)，即1=12a ⇒a=2.又因为f (1)=0，所以g (1) =0=12a+b ，所以b=-1，所以g (x )=x-1.(2) 因为φ(x )=(-1)1m x x +-f (x )=(-1)1m x x +-ln x 在[1，+∞)上是减函数，所以φ'(x )=22-2-2-1(1)x mx x x x ++≤0在[1，+∞)上恒成立，即x2-(2m-2)x+1≥0在[1，+∞)上恒成立，则2m-2≤x+1x，x∈[1，+∞).因为x+1x∈[2，+∞)，所以2m-2≤2，解得m≤2，故实数m的取值范围是(-∞，2].18. (1) 由题意知y=204P⎛⎫+⎪⎝⎭P-x-61PP⎛⎫+⎪⎝⎭，将P=24x+代入上式并化简得y=19-242x+-32x(0≤x≤a).(2) 由(1)知y=22-316222xx⎛⎫++⎪+⎝⎭≤22-=10，当且仅当162x+=x+2，即x=2时，上式取等号.所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大.由y=19-242x+-32x，得y'=224(2)x+-32，当x<2时，y'>0，此时函数y在[0，2)上单调递增，所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，所以当x=a时，函数有最大值. 即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大.综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，该公司的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，该公司的利润最大.19. (1) 由题意得f'(x)=e x-m，所以函数f(x)的图象在x=0处的切线斜率k=1-m.又f(0)=1-n，所以函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y-(1-n)=(1-m)x.将点(1，0)代入上式，得m+n=2.(2) 当n=0，可得f'(x)=(e x-mx)'=e x-m.因为x>-1，所以e x>1 e.当m≤1e时，f'(x)=e x-m>0，函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增，而f(0)=1，所以只需f(-1)=1e+m≥0，解得m≥-1e，从而-1e≤m≤1e.当m>1e时，由f'(x)=e x-m=0，解得x=ln m∈(-1，+∞).当x ∈(-1，ln m )时，f'(x )<0，故f (x )单调递减； 当x ∈(ln m ，+∞)时，f'(x )>0，故f (x )单调递增.所以函数f (x )在(-1，+∞)上有最小值，为f (ln m )=m-m ln m. 令m-m ln m>0，解得m<e ，所以1e <m<e .综上所述，m ∈1-e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.20. (1) 因为函数的定义域为R ，f'(x )=-e xx ，所以当x<0时，f'(x )>0；当x>0时，f'(x )<0.所以f (x )在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减. (2) 假设存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2φ(x )min <φ(x )max .因为φ(x )=xf (x )+tf'(x )+e -x =2-1e x x x tx ++，所以φ'(x )=2--e x x x tx t ++=-(-1)(-)e x x x t .①当t ≥1时，φ'(x )≤0，故φ(x )在[0，1]上单调递减，所以2φ(1) <φ(0)，即t>3-e2>1.②当t ≤0时，φ'(x )≥0，故φ(x )在[0，1]上单调递增，所以2φ(0)<φ(1)，即t<3-2e <0. ③当0<t<1时，若x ∈[0，t )，则φ'(x )<0，故φ(x )在[0，t )上单调递减； 若x ∈(t ，1]，则φ'(x )>0，故φ(x )在(t ，1]上单调递增， 所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·1e tt +<max 3-1e t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. (*)设g (t )=2·1e tt +，由(1)知g (t )=2·1e t t +在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·1e tt +≤2，又2e ≤3-e t ≤3e ，所以不等式(*)无解.综上所述，实数t 的取值范围是(-∞，3-2e)∪e 3-2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.。