1.1.1+从梯子的倾斜程度谈起(城郊+王文富)

课题：第一章第1节从梯子的倾斜程度谈起第1课时授课人：峄城区城郊中学王文富课型：新授课授课时间：2012年12月10日星期一第2、3节课教学目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2.能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，另外，能够用正切进行简单计算．3．体验数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．教学重点与难点：重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教法与学法指导：试验探究法．通过实际生活中的现象和例子，用多媒体进行展示，进而引导学生进行分析讨论，总结出正切的概念，再结合适量的练习加以巩固提高；鼓励学生从生活中发现数学的重要性，课堂上以独立发现和总结规律为主，同时配合小组讨论和探究，争取正确地掌握正切的概念，以及运用上述知识解决实际问题．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、巧设情景，引入课题1.千年古寺青檀寺中有一座报国塔，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样的办法：小明在塔前的A处仰望塔顶，测得仰角∠1的大小，再往塔的方向前进50米到B处又测得仰角的大小，根据这些他就求出了塔的高度．你知道他是怎么做的吗？通过本章的学习，我们就会揭开小明这样做的谜底．从今天这节课开始，我们就来学习九年级（下）第一章的内容：直角三角形的边角关系．2.经常会听人们说“陡”这个字，比如这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡吗？你是怎样判断的?我们今天的话题，就“从梯子的倾斜程度谈起.”【板书课题：1.1 从梯子的倾斜程度谈起（1）】【设计意图】创设新颖的问题情境，使学生对所学内容——“梯子的倾斜程度”有初步的了解.激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力.二、呈现问题，探索新知活动一：摆一摆【师】梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？（小组讨论后展示结果）【生1】梯子AB比梯子EF更陡．【师】你是如何判断的？【生2】从图中很容易发现∠ABC＞∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡．【生3】我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡．BC ＜FD，所以梯子AB比梯子EF陡．【设计意图】通过学生主动的活动，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，从中感受到数学的力量，促使学生乐于学习．【师】我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？【师】我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？【生4】在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．【师】这位同学的想法很好．的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？【生5】48153.AC BC ==，35351313..ED FD ==，∵83＜3513，∴梯子EF 比梯子AB 更陡．【设计意图】在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视实验的作用．鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性．活动二：想一想（多媒体课件展示）在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？如图1-3，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B 2C 2及AC 2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系？ （2）222B C A C 和111B C A C 有什么关系？（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？【师】我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．【生6】在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2．【生7】由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得B 2C 2∥B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2． 【生8】相似三角形的对应边成比例，得111222B C A C B C A C =，即1122112B C B C A C A C =．如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △B 1C 1A ，仍能得到112212B C B C A C A C =；因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)，112212B C B C A C A C =总成立．【师】也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 【生9】∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变． 【师】你又能得出什么结论呢？【生10】∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．【师】这位同学回答得很棒．现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？【生11】小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．【生12】但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．【师】这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学． 【设计意图】由学生熟悉的相似知识入手，由特殊到一般去探索新知识，使新知识顺利纳入旧知识结构中，顺利完成新旧知识的同化和顺应.活动三：概念的生成由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent )，记作tan A ，即tan A ＝的邻边的对边A A ∠∠．注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 2．tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比． 3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”．4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切． 思考：1．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？2．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ 【生13】∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即 tan B ＝的邻边的对边B B ∠∠．【生14】我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1－3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．【设计意图】此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作让学生学会由“特殊到一般”、数形结合及函数的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.三、巩固提高，应用新知活动四：例题精讲（多媒体展示）例1 如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，正切值越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝125513522=-=α∠α∠的邻边的对边乙梯中，tan β＝4386==β∠β∠的邻边的对边因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡．【设计意图】学习数学就是为了更好地应用数学，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.活动五：坡度正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m ,那么山坡的坡度i (即tan α)就是:603tan 1005i α===．结论：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i (或坡比),即坡度等于坡角的正切.【设计意图】正切是生活当中用的最多的三角函数，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，设计本例就是体现正切在日常生活中的广泛应用．四、拓展训练, 能力提升（多媒体展示）【师】请大家独立完成下面的问题． 1.在右图中:求tan A 的值2．如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍,tan A 的值（ ） A .扩大100倍 B .缩小100倍 C .不变 D .不能确定 3.小明从黄山百步云梯脚下的点A 约走了1000m 后，到达山顶的点B .已知山顶B 到山脚下的垂直距离约是600m ,求山坡的坡度.【设计意图】通过不同层次的练习题的配备，使学生对概念进一步深化理解.五、系统小结，反思提升【师】谈谈本节课你的学习有哪些收获.(可小组交流，选代表发言，教师根据具体情况加以必要的引导和总结．) 【师】总结：（课件展示） （1）正切的定义.ABC（2）梯子的倾斜程度与tan A 的关系.（∠A 和tan A 之间的关系）. （3）数形结合的方法；构造直角三角形的意识.【设计意图】在独立思考和合作交流中引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获，形成知识网络，提升对数学思想方法的理性认识．在总结的同时让学生体验收获知识的快乐，培养敢于展示自我，敢说、敢问、自信的学习品质．六、达标测试，反馈矫正（课件展示）1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =3,BC =1,则tan A = _______.2、在△ABC 中,AB =10,AC =8,BC =6,则tan A =_______.3.如右图，若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.七、布置作业，课堂延伸（课件展示）1.必做题：课本P 6 习题1.1 第1、2题；2.选做题：根据自己的情况选择习题1.1和助学剩下题目．3.预习作业：P 7到P 8的内容．板书设计：教学反思：本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及到以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点，这节课运用了实验教学、直观教学，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程．概念教学由学生熟悉的实例入手，引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与，并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过特殊到一般、具体到抽象的探索过程，紧紧围绕着函数概念，引出正切概念，再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中，注重了阶段性的反思小结，使学生能够及时总结知识和方法.。