北师大版初三数学下册《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。
2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。
重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。
難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。
二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？學生四人小組討論 設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。
2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。
3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。
實例3： 想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。
假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章直角三角形的邊角關係第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。
引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關係的過程中，理解銳角三角函數的意義，並能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯繫，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.教學目標知識與能力目標1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.過程與方法目標經歷觀察、猜想等數學活動過程，體驗數形之間的聯繫，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲，形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.教學難點理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.教學過程創設情境，引發探究[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.師生互動，探索新知小明的問題在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?提示：1、從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.2、因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題在下圖中，梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?提示：第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水準寬度BC 和FD 不一樣長，由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大，梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 133538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。
九年级数学下册 1.1从梯子的倾斜程度谈起 教案 北师大版【教案】
活动——交流
教学活动过程设计
一、提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、形成概念
1、梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
六小结
正切函数的定义。
七作业ห้องสมุดไป่ตู้
书本P 6习题1.1 1、2。
板书设计
1．1从梯子的倾斜程度谈起（一）
1．正切函数
2．tanA的值越大，梯子越陡
3.讲解例题
作业布置
教学反思
备注：教案可有改动痕迹，教学反思手写完成。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感价值观
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点
理解tanA的数学含义.
教学难点
现实情境中理解tanA的数学含义
教学内容
1．1从梯子的倾斜程度谈起（一）
设计者
沈晓丽
第1课时/总2课时
设计日期
教学目标
知识与能力
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系
2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
九年级下册教案之一
九年级下册教案之一：从梯子的倾斜程度谈起北师大版一、教学目标1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质。
2.能够运用三角函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察、分析和推理能力，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点重点：锐角三角函数的概念及性质，实际问题中的应用。
难点：三角函数的定义理解，实际问题中的模型建立。
三、教学过程（一）导入同学们，我们生活中经常会遇到梯子，比如家里的梯子、消防梯等。
那么，梯子在不同的倾斜程度下，其稳定性会有所不同。
今天，我们就从梯子的倾斜程度谈起，来学习一种新的数学工具——锐角三角函数。
（二）探究梯子的倾斜程度与稳定性1.观察图片，让学生直观感受梯子的倾斜程度与稳定性之间的关系。
2.提问：当梯子的倾斜程度发生变化时，哪个角度是关键？3.引导学生认识到，梯子的倾斜程度可以用梯子与地面之间的夹角来表示。
（三）引入锐角三角函数的概念1.通过测量不同倾斜程度的梯子与地面夹角，让学生感受角度的变化。
2.引导学生用三角板的直角边与梯子接触，测量出梯子与地面夹角的正弦、余弦、正切值。
（四）学习锐角三角函数的性质1.讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质。
2.通过实例让学生感受三角函数的周期性、奇偶性等性质。
3.让学生自主探究三角函数的性质，并尝试用数学语言进行描述。
（五）实际问题中的应用1.提出问题：如何用三角函数解决实际生活中的问题？2.引导学生思考：在测量高度、距离等实际问题中，如何运用三角函数？3.举例讲解：利用三角函数测量旗杆高度、测量建筑物距离等。
（六）课堂小结2.鼓励学生提出疑问，解答疑问。
（七）课后作业1.请同学们课下收集生活中的实际例子，用三角函数解决。
2.复习锐角三角函数的定义、性质，做好课后练习。
四、教学反思本节课通过从梯子的倾斜程度谈起，引入锐角三角函数的概念，让学生在实际情境中感受三角函数的应用价值。
在教学过程中，注重培养学生的观察、分析和推理能力，激发学生学习数学的兴趣。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1 第二課時從梯子的傾斜程度談起教學目標知識與能力目標理解正弦和余弦的意義.；能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比；能根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算；理解銳角三角函數的意義.過程與方法目標經歷探索直角三角形中邊角關係的過程，經歷類比、猜想等過程.發展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.體會數形結合的思想方法，並利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲；形成合作交流的意識以及獨立思考的習慣.教學重點1、理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，並能舉例說明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形的邊角關係，進行簡單的計算.教學難點用函數的觀點理解正弦、余弦和正切.教學過程創設情境，引入新課[師]我們在上一節課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，並且得出了當傾斜角確定時，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關，與直角三角形的大小無關.並在此基礎上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.現在我們提出兩個問題：[問題1]當直角三角形中的銳角確定之後，其他邊之間的比也確定嗎?[問題2]梯子的傾斜程度與這些比有關嗎?如果有，是怎樣的關係?師生互動、學習新課1.正弦、余弦及三角函數的定義 想一想：如圖 (1)直角三角形AB 1C 1 和直角三角形AB 2C 2有什麼關係? (2)211122BA C A BA C A 和有什麼關係? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改變A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什麼結論? (4)如果改變梯子A1B 的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什麼結論?請同學們討論後回答.[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和2112BA BC BA BC 和(相似三角形對應邊成比例). 由於A 2是梯子A 1B 上的任意—點，所以，如果改變A 2在梯子A 1B 上的位置，上述結論仍成立.由此我們可得出結論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關，而與直角三角形大小無關.[生]如果改變梯子A 1B 的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.[師]我們會發現這是一個變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什麼關係呢? [生]函數關係. 類比正切還可以有如下定義：在Rt △ABC 中，如果銳角A 確定，那麼∠A 的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A 的對邊與鄰邊的比叫做∠A 的正弦(sine)，記作sinA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的鄰邊與斜邊的比叫做∠A 的余弦(cosine)，記作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠銳角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函數[師]你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函數”呢?[生]我們在前面已討論過，當直角三角形中的銳角A 確定時.∠A 的對邊與斜邊的比值，∠A 的鄰邊與斜邊的比值，∠A 的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A 的三角函數”概念中，∠A 是引數，其取值範圍是0°<A<90°；三個比值是因變數.當∠A 變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應. 2.梯子的傾斜程度與sinA 和cosA 的關係[師]我們上一節知道了梯子的傾斜程度與tanA 有關係：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA 、cosA 有關係呢?如果有關係，是怎樣的關係? [生]如圖所示，AB ＝A 1B 1， 在Rt △ABC 中，sinA=AB BC，在 Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A CB . ∵ABBC＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的傾斜程度與sinA 有關係.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度. cosA=ABACcosA 1＝111B A C A ∵AB=A 1B 1ABAC＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的傾斜程度與cosA 也有關係.cosA 的值越小，梯子越陡.3.例題講解19[例1]如圖，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝ 200.sinA ＝0.6，求BC 的長.分析：sinA 不是“sin ”與“A ”的乘積，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200. sinA ＝0.6，即=ACBC0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA ＝? (2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面計算，你能猜想出什麼結論? 解：根據畢氏定理，得AB ＝2222120200-=-BC AC =160. 在Rt △ABC 中，CB ＝90°.cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC= 54200160==AC AB =0.8，cosC ＝ 53200120==AC BC ＝0.6，由上面的計算可知 sinA ＝cosC ＝O.6， cosA ＝sinC ＝0.8.因為∠A+∠C ＝90°，所以，結論為“一個銳角的正弦等於它餘角的余弦”“一個銳角的余弦等於它餘角的正弦”. [例2]做一做：如圖，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等於多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.分析：這是正弦、余弦定義的進一步應用，同時進一步滲透sin(90°-A)＝cosA ，cos (90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝ABAC , ∴AB=665121310131210cos =⨯==A Ac , sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根據畢氏定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=-∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一樣的結論. ∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)； cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A). 隨堂練習1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要構造∠B 所在的直角三角形.根據等腰三角形“三線合一”的性質，可過A 作AD ⊥BC ，D 為垂足.解：過A 作AD ⊥BC ，D 為垂足. ∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3.在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4. sinB ＝54=AB ADcosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD .2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周長和面積.解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20， ∴AB ＝5420sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，∴ABC 的周長＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60， △ABC 的面積：21AC ×BC=21×15×20＝150. 3.(2003年陝西)(補充練習) 在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 則sinA= .解：如圖，tanA=AC BC =21. 設BC=x ，AC=2x ，根據畢氏定理，得 AB=x x x 5)2(22=+. ∴sinA=55515===x x AB BC . 歸納提煉本節課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數的觀念認識了三種三角函數，即在銳角A 的三角函數概念中，∠A 是引數，其取值範圍是0°<∠A<90°；三個比值是因變數.當∠A 確定時，三個比值分別唯一確定；當∠A 變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.類比前一節課的內容，我們又進一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關係以及用正弦和余弦的定義來解決實際問題. 課後作業習題1、2第1、2、3、4題 活動與探究已知：如圖，CD 是Rt △ABC 的斜邊AB 上的高，求證：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函數的定義證明)[過程]根據正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限於某一個直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以圖中含有三個直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC 中，涉及線段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定義得cosB ＝AB BC ，cosB= BC BD. [結果]在Rt △ABC 中，cosB ＝ABBC又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BC BD ∴AB BC =BC BD BC 2＝AB ·BD.。
《从梯子的倾斜程度谈起》教案
《从梯子的倾斜程度谈起》教案《从梯子的倾斜程度谈起》教案《从梯子的倾斜程度谈起》教案一、教学任务分析教学目标知识技能 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系2. .能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算. 数学思考 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2. .体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 解决问题 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 情感态度1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 重点理解tanA的数学含义. 难点现实情境中理解tanA的数学含义二、教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 创设情境引入课题活动2 合作交流探索新知活动3 反馈练习落实新知活动4 应用延伸探究思考活动5 归纳小结整理反思活动6 布置作业形成技能通过“观察——实践——思考——讨论”等活动，促进师生间合作交流，探索新知。
设置巩固练习、综合运用、拓广探索题，达到落实新知的目的。
以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维。
让学生小结，养成良好的学习习惯。
通过作业，增强学生应用数学的意识，形成基本技能。
三、课前准备教具学具补充材料电脑、课件、课件资料四、教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1] 创设情境引入课题[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题在活动1中教师应重点关注: (1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。
(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。
北师大版九下数学第一章教案
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究: ⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.E DABAB DA CE F2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2)211122BA C A BA C A 和有什么关系?2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA=.4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt△ABC 中,∠C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.D BABA C3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135 B ．1312 C ．125 D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β 9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin β B.100sin β C.100cos βD. 100cos β 11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCD§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.BDAC2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程：一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝，AC ＝BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33（C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin︒15020米30米⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+⑹、130sin 560cos 300-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60°⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师大版初中数学九年级下册《§1.1从梯子的倾斜程度谈起》2课时教案设计
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. [生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. [师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED . ∵133538〈=, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡. 多媒体演示： 想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2)和111AC C B 222AC CB 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.[生]在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2. [生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC CB C A C B C A AC C B C B ==即. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 222111AC CB AC C B =总成立.[师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的.现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗? [生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变. [师]你又能得出什么结论呢?[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关.[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成.[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .注意：1.tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比.3.tanA 不表示“tan ”乘以“A ”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切. 思考：1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗?[生]1.∠B 的正切记作tanB ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tanB=的邻边的对边B B ∠∠.2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3中，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子越陡. [师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度. 如图，有一山坡在 水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tan α就是tan α=α5310060=.这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡. Ⅲ.例题讲解 多媒体演示[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中， tan α=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中，tan β=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 分析：要求tanA ，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边AC 的长度. 解：在△ABC 中，∠C ＝90°，所以AC=22221220-=-BC AB =16(cm),tanA=,431612===∠∠AC BC A A 的邻边的对边tanB=.341216===∠∠BC AC B B 的邻边的对边所以tanA=43，tanB=34. Ⅳ，随堂练习 1.如图，△ABC是等腰直角三角形， 你能根据图中所给 数据求出tanC 吗?分析：要求tanC.需从图中找到∠C 所在的直角三角形，因为BD ⊥AC ，所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比，即DC BD的值.解：∵△ABC 是等腰直角三角形，BD ⊥AC ， ∴CD ＝21AC ＝21×3＝1.5. 在Rt △BDC 中，tanC ＝DCBD =5.15.1＝1. 2.如图，某人从山 脚下的点A 走了200m 后 到达山顶的点B ，已知点 B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)分析：由图可知，∠A 是坡角，∠A 的正切即tanA 为山的坡度. 解：根据题意：在Rt △ABC 中，AB=200 m ，BC ＝55 m ，AC=46.385147955520022⨯≈=-=192.30(m).TanA=.286.030.19255≈=AC BC 所以山的坡度为0.286. Ⅴ.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt △”中定义了tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念. Ⅵ.课后作业1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡. Ⅶ.活动与探究 (2003年江苏盐城) 如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面 图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)[过程]要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD. [结果]根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则 x 2+x 2＝122，x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11=CD AC , 即5.1126=CD CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义：在Rt △ABC 中，锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 注：(1)tanA 的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结备课资料[例1](2003年浙江沼兴)若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.分析：根据题意(如图)：在Rt △ABC中AC ：BC ＝3：4，AB ＝10米.设AC ＝3x ，BC ＝4x ，根据勾股定理，得(3x)2+(4x)2＝10，∴x ＝2.∴AC ＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前进10米后，所在位置比原来的位置升高6米. 解：应填“6 m ”.[例2](2003年内蒙古赤峰)菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.分析：如图，菱形ABCD ，BD ＝16，AC ＝12，∠ABO ＝θ，在Rt △AOB 中，AO=21AC=6， BO=21BD=8. tan θ=4386==OB OA . 解：应填“43”.第二课时课题§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.(二)能力训练要求1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么 关系?2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和 2112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠ 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=AB BC ，在19Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A C B . ∵ AB BC ＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.[生]同样道理cosA=AB AC cosA 1＝111B A C A , ∵AB=A 1B 1 AB AC ＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC的长.分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即=ACBC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120.思考：(1)cosA ＝?(2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB ＝2222120200-=-BC AC =160.在Rt △ABC 中，CB ＝90°.cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC= 54200160==AC AB =0.8， cosC ＝53200120==AC BC ＝0.6， 由上面的计算可知sinA ＝cosC ＝O.6，cosA ＝sinC ＝0.8.因为∠A+∠C ＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝ABAC , ∴AB=6651213101310cos =⨯==A Ac ,sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根据勾股定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=- ∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3，∴AD ＝4.sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. 解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20， ∴AB ＝5420sin =ABC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60，△ABC 的面积：21AC ×BC=21×15×20＝150. 3.(2003年陕西)(补充练习)在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 则sinA= .解：如图，tanA=AC BC =21. 设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=x x x 5)2(22=+.∴sinA=55515===x x AB BC . Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ.活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosB ＝AB BC ，cosB= BCBD . [结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝ABBC 又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BC BD ∴AB BC =BCBD BC 2＝AB ·BD. 板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt △ABC 中，如果锐角A 确定.sinA ＝斜边的对边A ∠ cosA ＝斜边的对边A ∠ 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习。
《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计
《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计一、教材分析（一）地位和作用：《从梯子的倾斜程度谈起》是北师大版九年级数学下册第一章第一节，本节内容分二课时完成，本次课设计是第一课时的教学。
本章中介绍的直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之一。
锐角三角函数是在解决现实问题中有着重要的的作用。
如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中的边角关系问题。
本节从梯子的倾斜程度谈起，引入了第一个锐角三角函数——正切。
因为相比之下，正切是生活中用的最多的三角函数概念，如物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是由正切类比出来的。
因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置。
（二）目标分析：依据《数学课程标准》,结合教材分析,确定本节课的教学目标为以下三个方面：1.知识与技能目标：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算2.过程与方法目标：经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
3.情感与态度目标：学生在学习中能积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
（三）教学重点与难点1．教学重点:①理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系；②会根据正切的定义进行计算求值。
2．教学难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比。
二、学情分析本节内容面对的是九年级的学生，他们有一定的数学基础与思维能力，反映敏捷，自我意识强，因此，可在思维上引领他们通过一系列探究活动发现知识，逐步培养学生自主学习的习惯和能力，体验知识的获得过程，感受合作学习的乐趣。
《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计.doc
《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计课题：从梯子的倾斜程度谈起教材：义务教育课程标准试验教科书数学九年级下（北京师范大学出版社）教师：西安市第七十中学张莹一、教材分析本章是九年级下册的第一章《直角三角形的边角关系》，教材内容的顺序是：正切—正弦、余弦—特殊角的三角函数值—三角函数的有关计算—三角函数的应用. 我的认识如下：从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数—正切，先学正切，再类比正切学习正弦、余弦，接着考察特殊角的三角函数值，在此基础上过渡到利用计算器求一般角的三角函数值和已知三角函数值求角度，最后回到问题的解决和实际应用；这样安排一方面因为正切是生活中用得最多的三角函数概念，更为常见，如刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，因而先从实际问题引入正切，学习完正切后类比即可学习正弦、余弦；另一方面，这样的顺序更有利于初中学生的学习，符合学生从具体情境中发现问题、寻求解决问题办法，再进一步解决问题的思路，符合具体到抽象的认知规律 .本节包括正切、正弦、余弦的定义，直角三角形边角关系的简单计算两大部分，分为两课时完成 . 本节课是第一课时，将从梯子的倾斜程度引入正切，进行有关正切的简单计算 . 教材在这个内容的安排上是：先探究哪个梯子更陡，再从具体解法中提炼出刻画梯子倾斜程度的量—角的对边与邻边之比，由此抽象概括出正切的定义，最后是正切的简单计算和实际应用 . 这样的安排不仅体现出《义务教育数学课程标准》（ 2011 版）中要求从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境的教学理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解 .通过本节课的学习，学生不仅能初步体会边角之间的数量关系，理解正切的意义，进行一些简单的计算，而且有助于学生进一步感受分类思想、转化和化归思想、数形结合的思想；同时为进一步学习锐角的正弦、余弦，解三角形奠定良好的基础，也为高中阶段学习一般角的三角函数奠定良好的基础 .二、学情分析学生在学完直角三角形的相关内容后，已经对直角三角形的边和边的关系、角和角的关系有了一定的认识，这为学生进一步学习直角三角形的边角关系奠定了一定的基础；学生也已经历了线段的比、比例和图形的相似等知识的学习，具备了计算两条边的比值、判断比值是否相等基本知识要求和推理证明的能力；同时初一初二各种探究活动的顺利开展，也让学生具备了一定的合作学习，探究学习的能力 . 这节课的授课对象是我校初三的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的推理运算的技能、空间想象能力和抽象概括能力，有较好的学习习惯和方法，这也是本节课顺利开展的前提条件 . 三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《义务教育数学课程标准》（ 2011 年版）对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程；2.理解正切的意义和现实生活的联系；3.能够用 tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；4.体会分类的思想、建模的思想、转化和化归的思想、数形结合的思想在解决数学问题中的应用；5.通过梯子、坡面等实例让学生感受正切在现实生活中的应用.教学重点 :1.探索直角三角形中边角关系，从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；2.理解正切的数学意义；教学难点 :从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；理解正切的数学意义.四、教学问题诊断本节课的教学难点是从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义和正切意义的理解 . 对教学难点的突破我采取的策略是：1.让学生通过充分的思考、小组讨论、交流，判断哪个梯子更陡，总结刻画梯子倾斜程度的各种方法，对方法进行总结、提炼，最终将梯子倾斜程度量化为两种数量：角度 , 角的对边和邻边之比 . 通过设问“能否建立角与角的对边、邻边之比之间的关系”自然的引出正切；在这一过程中，教师不作引导，由学生自己寻找方法，再将学生的结果展示交流，并进行归纳、总结；2.鉴于正切的符号表示比较抽象，学生的理解需要一定的过程，我的做法是设置不同形状的直角三角形，帮助学生理解；同时利用母子图中角的相等关系，让学生借助相似三角形有关知识进一步明确：当角度确定后，角的对边与邻边之比也将确定这一结论；在此基础上设问：结合该图形，你还能提出哪些有关正切的问题？增强问题的开放性，提高学生发现问题、提出问题的能力.五、教学过程教学过程设计说明一、创设情境，引入课题（ppt 展示 2002 年北京数学家大会的会标，中央图案是经过处理的“弦图”）提问：(1)大家还记得这个图吗？（明确考察对象：弦图中的一个直角三角形）(2)直角三角形中有哪些基本元素呢？(3)直角三角形的边和边之间有什么关系呢？角和角呢？(4)直角三角形的边和角有什么关系呢？点题：第一章直角三角形的边角关系( 展示第一章章前图)通过学生已经熟悉的“弦图” 让学生首先有一种亲切感，同时也让学生心里上产生疑惑：弦图和我们本章学习有什么关系，从而引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望；同时也让学生感受分类的数学思想 .今天我们从梯子的倾斜程度谈起先来了解直角三角形边角之间其中的一种关系——正切.二、问题探究，总结方法问题引入：( 动画显示梯子、水平地面、墙面所形成的直角三角形，将实际问题抽象为直角三角形，并交代图中的三个量：铅直高度、水平宽度、倾斜角)问题 1：经常会听人们说“陡”这个字，如图，哪个梯子更陡？你是如何判断的呢？问题 2：如图 (1) 、图 (2) ，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？能否用“直角三角形的一条边”刻画梯子的倾斜程度呢？（图 1）（图2）问题引入让学生明确后续讨论三个数量：铅直高度，水平宽度，倾斜角 .问题 (1) 先利用两个直观的图形展开梯子倾斜程度的探讨，明确刻画梯子倾斜程度的一种方法：倾斜角 . 为后续建立倾斜角和对边、邻边之比做好铺垫 .问题 (2) 利用标明具体长度的两组梯子探讨哪个更陡，目的是先固定一个量，考察一个变量，便于学生的理解和学习，也体现化归的数学思想；问题 (3) 让学生体会到铅直高度和水平距离两个量尽管都在变化，但是两架梯子的倾斜程度是相同的，初步感受（图 3）问题 3：如图 (3) ，梯子 AB和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？既然利用“直角三角形的一条边”无法刻画梯子的倾斜程度，如何改进呢 ?问题 4( 探究活动 ) ：如图 (4) ，梯子 AB和 EF哪个更陡？你是怎样判断的 .先安排学生独立思考，然后让学生四人为一组，利用学习提纲合作完成问题的探究 .活动步骤：1.小组成员首先思考如何解决该问题，然后结合手中学案中的图形完成问题的解答，最后思考你们是用什么量刻画梯子的倾斜程度的？2.汇报成果：先说说你们解决问题的思路，再结合学案中图形汇报你们得到的结论 . 刻画梯子的倾斜程度是由一个比值来决定的，而不单是某条线段的长短 .探究问题有一定难度，学生在自己思考基础上，小组讨论容易将学生零散的、个性化想法转化为学生共性的、完整的一个设计；通过该问题讨论，逐步提炼出可以用线段的比刻画梯子的倾斜程度（图 4）【方法总结】学生可能的方法有：一、测量倾斜角；( 通过测量学生发现本题两个角度非常接近，同时测量存在误差，不能准确的给出结论；老师顺势点拨在很多实际问题中，人们往往无法测得倾斜角，除了测量倾斜角能否有别的办法呢？ ) 二、固定铅直高度、水平宽度中一个，考察另一个长短；或者建立直角坐标系通过求直线的解析式，根据k 的大小比较 . 具体如下图：(O)结论：几种方法都可以归结为考察AC比值的大小. BC方法 1：AC一定情况下，BC越小，比值越大，梯子越陡；方法 2：BC一定情况下，AC越大，比值越大，梯子越陡；方法 3：AC比值越大(即k越大)，梯子越陡. BC问题 5：如图 (5) ，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子 AB 1的倾斜程度；小亮则认为，通过测量B2C 2及 AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？为什么？试说明你的理由 .（图 5）问题 6：如图 (6) ，如果改变B2在梯子上的位置呢（比如在 B 3处）？由此你能得出什么结论？（图 6）问题 7：倾斜角与这个比值之间是否可以建立某种关系？问题 (5) 让学生体会到梯子与水平地面的倾斜角一旦确定，对边与邻边的比值也将确定，为引入正切奠定基础 .问题 6 让学生进一步体会数学中变与不变的量，明确当直角三角形中的锐角确定后，它的对边与邻边的比也随之确定 .通过总结提炼的两条结论：角越大，梯子越陡；比越大，梯子越陡 . 引导学生去思考两者之间的关系，自然地引出正切 .(1)前面提到：倾斜角越大—梯子越陡(2)同时发现：倾斜角所对的边与邻边之比越大—梯子越陡三、正切的定义1.正切的定义在Rt△ABC中, 如果锐角 A 确定 , 那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定 , 这个比叫做∠ A 的正切，记作 :tan A ，即：定义学习之后增加四个思考题，有以下用意：2.变式思考问题 1 意在让学生思考 1：∠ B 的正切又该如何表示呢？进一步巩固对于正思考 2：换一个直角三角形，∠ A ,∠B 的正切你会表示吗？切的理解；( 动画展示 Rt ACB )思考 3：（动画展示过点C作 AB边上的垂线，垂足为∠A 都可以看成是哪些直角三角形的内角？在不同的直角三角形中∠ A 的正切你会表示吗？∠A 的正切值都相同吗？思考 4：就该图，你还能提出哪些关于正切问题？四、实际应用1.问题解决议一议：前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与 tan A 有关系吗？问题 2 让学生在变换直角三角形的图D）形后真正理解正切，从定义上深刻把握正切的内含；问题 3 让学生在较为复杂的图形中明确如何去求某一个角的正切，并通过两个相似的直角三角形进一步加深对于角度确定，对边与邻边的比将确定的理解;问题 4 意在培养学生发现问题，提出问题的能力 .在正切定义学习基础上，再回到本节课主题“梯子的倾斜程度”，让学生体会数学源自生活并应用于生活；明确刻tan A 越大 梯子越陡（“线段之比”刻画 ） ∠ A 越大 梯子越陡（“角”刻画 ） ∠ A 越大 tan A 越大2. 例题解析例 . 下图表示两个自动扶梯 , 哪一个自动扶梯比较陡 ?画梯子的倾斜程度除了倾斜角，还有角的正切 .例题 1 通过计算正切值判断梯子的倾斜程度是对上述结论的直接应用 .3. 联系生活正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度 .通过坡度的介如图，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高 60m,那 绍让学生体会正切60 3.么山坡的坡度 ( 即 tan ) 就是： tan在实际生活中的应100 5用；五、课堂总结1、知识内容：(1) 正切的定义：在 Rt △ABC 中，∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切 .记作 :tanA ，即： tan A BC.AC(2)倾斜角、倾斜角的正切与梯子倾斜程度的关系：A 越大 梯子越陡； tan A 越大 梯子越陡； A 越大 tan A 越大 .通过 坡度的 实际计算让学生进一步区分坡角和坡度 .培养 学生梳 理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力 .(3)坡度与坡角:坡度是坡角的正切通过回顾学习2、学习流程：哪个梯子总结方法变式思考实际应用流程 , 体会解决问题更陡问题引入正切理解定义联系生活的思路；探究3、思想方法：体会蕴含其中(1)分类的思想； (2)建模的思想；的数学思想和方法 .(3)转化与化归的思想； (3)数形结合的思想 .六、课后延伸这是对这节课1. 课后作业所学方法的巩固，也课本 P6，知识技能， 1 题， 2 题；是为后续内容讲解2. 课后思考作好铺垫 .如图，点 A 是某山峰的峰顶， AB、AC是这座山不同方向上的两个山坡，在山脚有两个观测点 B、C，测得 AB=630m，AC=350m，利用本节课所学知识试比较两个山坡的坡度，你都有哪些办法呢？。
九年级数学下册 1.1从梯子的倾斜程度谈起教案 北师大版【教案】
第一节从梯子的倾斜程度谈起（一）教学核心1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解 tanA、sinA、cosA的数学含义和与现实生活的联系；2．能够用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用tanA、sinA、cosA进行简单的计算；3．理解锐角三角函数的意义；4．经历观察、猜测等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点；5．体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力；6．体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神；（二）课时安排2课时（三）教材分析本节从现实情境（梯子的倾斜程度）出发，让学生经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明，能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。
◆第一课时（一）教学内容本节首先由梯子的倾斜程度问题引出锐角三角函数正切。
此情境问题是一个开放性问题，主要看学生是否能够说出理由。
如，因为梯子的高度AC、ED相等，可以用BC、FD的距离判断梯子的倾斜程度等。
然后通过想一想，研究有一个公共角的两个直角三角形的关系（相似），得出两直角边比的关系，使学生理解当锐角固定时，它的对边与邻边的比值也固定这一事实。
由于直角三角形中的锐A确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，故定义此确定之比为角A的正切，并用符号tanA表示。
在得出正切的定义之后，通过议一议，引导学生进一步议论出正切的值与梯子倾斜程度之间的关系。
随后由例1，通过计算正切值，判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接运用。
正切还经常应用于另一很实用的概念——对山坡坡度的刻画，最后向学生介绍坡度、坡角等概念。
（二）教学建议1．本节的重点就是理解tanA的数学含义，难点是从现实情境中理解tanA的数学含义，所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，使学生感受到数学与现实世界的联系；2．课本引例是一个开放性问题，学生的回答可能多种多样，例如，有的学生可能会想到度量角度等，教师可以引导学生用对边和邻边之比；3．鼓励学生有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解；4．要注意坡度与坡角的区别和联系，坡度是坡角的正切；（三）教学素材1小车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果需4木板的坡度为34，请你根据图中数据计算小车的平均速度？◆第二课时（一）教学内容课本在正切的基础上，继续拓展到直角三角形其它边之间的比，从而引出正弦和余弦，以及它们的符号表示。
从梯子的倾斜程度谈起教案
从梯子的倾斜程度谈起教案一、教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度的概念及其计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的数学现象，提高对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 梯子倾斜程度的定义及计算方法。
2. 实际生活中的梯子倾斜现象分析。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：梯子倾斜程度的计算方法及应用。
2. 教学难点：如何将实际生活中的梯子倾斜现象与数学知识相结合。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际生活中的梯子倾斜现象。
3. 小组讨论法：引导学生分组讨论，发现生活中的数学现象。
五、教学准备：1. 梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用的PPT。
2. 实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。
3. 练习题及答案。
第一章：梯子倾斜程度的定义1.1 引入：展示一张梯子图片，引导学生思考梯子的倾斜程度。
1.2 讲解：解释梯子倾斜程度的定义，即梯子与地面之间的夹角。
1.3 例子：展示实际生活中的梯子倾斜现象，让学生理解梯子倾斜程度的概念。
第二章：梯子倾斜程度的计算方法2.1 引入：提问如何计算梯子的倾斜程度。
2.2 讲解：详细解释梯子倾斜程度的计算方法，即使用三角函数。
2.3 例子：给出一个具体的梯子倾斜角度，让学生计算梯子的倾斜程度。
第三章：实际生活中的梯子倾斜现象3.1 引入：展示一些实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。
3.2 讲解：分析这些梯子倾斜现象，引导学生运用数学知识解决实际问题。
3.3 练习：让学生分组讨论，发现生活中的数学现象，并分享给大家。
第四章：梯子倾斜程度在实际应用中的重要性4.1 引入：讲解梯子倾斜程度在实际应用中的重要性。
4.2 例子：给出一些实际应用场景，如建筑工人使用梯子时，梯子的倾斜程度对安全的影响。
4.3 练习：让学生举例说明梯子倾斜程度在实际生活中的应用。
5.2 拓展：引导学生思考如何将梯子倾斜程度的知识应用到其他领域，如物理学、工程学等。
初三数学教案-北师版从梯子的倾斜程度谈起1 精品
§1.1 第二课时 从梯子的倾斜程度谈起教学目标知识与能力目标理解正弦和余弦的意义.；能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比；能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算；理解锐角三角函数的意义. 过程与方法目标经历探索直角三角形中边角关系的过程，经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.体会数形结合的思想方法，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力. 情感与价值观目标积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲；形成合作交流的意识以及独立思考的习惯. 教学重点1、理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学过程创设情境，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? 师生互动、学习新课1.正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图 (1)直角三角形AB 1C 1 和直角三角形AB 2C 2有 什么关系? (2)211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请同学们讨论后回答.[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和2112BA BC BA BC 和(相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢? [生]函数关系.类比正切还可以有如下定义： 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应. 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=ABBC，在Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A CB . ∵AB BC ＜111B A CB , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度. cosA=AB AC cosA 1＝111B A C A ∵AB=A 1B 1 AB AC ＞111B A CA 即cosA>cosA 1，所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡. 3.例题讲解[例1]如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝ 200.sinA ＝0.6，求BC 的长.分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC＝0.6.解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即=ACBC0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120.思考：(1)cosA ＝?19(2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论? 解：根据勾股定理，得AB ＝2222120200-=-BC AC =160.在Rt △ABC 中，CB ＝90°.cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC=54200160==AC AB =0.8， cosC ＝53200120==AC BC ＝0.6， 由上面的计算可知 sinA ＝cosC ＝O.6， cosA ＝sinC ＝0.8.因为∠A+∠C ＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”. [例2]做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝AB AC ,∴AB=665121310131210cos =⨯==AAc ,sinB ＝1312cos ==A ABAc根据勾股定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=-∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=ABBC可以得出同例1一样的结论. ∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)； cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A). 随堂练习1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足. ∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4. sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20，∴AB ＝5420sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15， ∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60，△ABC 的面积：21AC ×BC=21×15×20＝150. 3.(2003年陕西)(补充练习)在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .解：如图，tanA=AC BC =21.设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得AB=x x x 5)2(22=+. ∴sinA=55515===x x AB BC . 归纳提炼本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题. 课后作业习题1、2第1、2、3、4题 活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt△ABC 中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosB ＝ABBC，cosB=BCBD.[结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝ABBC又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BCBD∴AB BC =BCBD BC 2＝AB ·BD.。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第九課時回顧與思考學習目標知識與能力目標能通過回顧與思考，建立起本章的知識框架圖；能利用計算器，發現同角的正弦、余弦、正切之間的關係；體會到直角三角形邊角關係這一數學模型在現實生活中的廣泛的應用價值．過程與方法目標學會利用數形結合的思想分析問題和解決問題，進一步感悟三角函數在現實生活中的廣泛應用，增強應用數學的意識．情感與價值觀要求在獨立思考問題的基礎上，積極參與對數學問題的討論，敢於發表自己的觀點．並尊重與理解他人的見解，在交流中獲益；認識到數學是解決現實問題的重要工具，提高學習數學的自信心．教學重點、難點建立本章的知識結構框架圖；應用三角函數解決現實生活中的問題，進一步理解三角函數的意義．教具準備多媒體演示、計算器教學過程回顧、思考下列問題，建立本章的知識框架圖直角三角形的邊角關係，是現實世界中應用廣泛的關係之一．通過本章的學習，我們知道了銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用．如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，—般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊和角的關係．利用銳角三角函數解決實際問題是本章的重要內容，很多實際問題穿插於各節內容之中．[問題1]舉例說明，三角函數在現實生活中的應用．例1：甲、乙兩樓相距30 m，甲樓高40 m，自甲樓樓頂看乙樓樓頂．仰角為30°，乙樓有多高?(結果精確到1 m) 解：根據題意可知：乙樓的高度為30tn30°=40+30×3=40+103=57(m)，3即乙樓的高度約為57 m．例2，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距180 m的P和Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河寬(結果精確到1 m)．解：根據題意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．則：PT就是所求的河寬．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河寬為151 m．[師]三角函數在現實生活中的應用很廣泛，下面我們來看一個例子．典例1：如圖．MN表示某引水工程的一段設計路線從M到N的走向為南偏東30°，在M的南偏東60°的方向上有一點A，以A為圓心，500m為半徑的圓形區域為居民區，取MN上的另一點B，測得BA的方向為南偏東75°，已知MB＝400 m，通過計算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會穿過居民區?[師生共析]解：根據題意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA ＝75°，MB=400 m ，輸水路線是否會穿過居民區，關鍵看A 到MN 的最短距離大於400 m 還是等於400 m ，於是過A 作AD ⊥MN ．垂足為D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°． ∴∠ABN=45°． ∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°． 在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝ BD AD ，BD ＝︒45tan AD＝AD ，在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MDAD，MD ＝︒30tan AD=3AD ， ∵MD=MD-BD ，即3AD-AD ＝400，AD-200(3+1)m>400m ． 所以輸水路線不會穿過居民區．[問題2]任意給定一個角，用計算器探索這個角的正弦、余弦、正切之間的關係．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它們有何關係呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063， tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我們可以發現 ααcos sin ＝tan α． 這個關係是否對任意銳角都成立呢?我們不妨從三角函數的定義出發來推證一下．[師生共析]如圖，在Rt △ABC 中．∠C ＝90° ∵sinA ＝AB BC cosA ＝ABACtanA ＝ACBC， AC BC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA,tanA=AAcos sin . 這就是說，對於任意銳角A ，∠A 的正弦與余弦的商等於∠A 的正切．下面請同學們繼續用計算器探索sin α，cos α之間的關係． sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以發現： sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．我們可以猜想任意銳角都有關係：sin 2α+cos 2α＝1，你能證明嗎?[師生共析]如上圖．sinA= AB BC ，cosA=ABACsin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根據畢氏定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，這就是說,對於任意銳角A ，∠A 的正弦與余弦的平方和等於1．[師]我們來看一個例題，看是否可以應用上面的tanA 、sinA 、cosA 之間的關係．已知cosA=53，求sinA ．tanA ．[生]解：根據sin 2A+cos 2A ＝1．得 sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-AtanA=345354cos sin ==A A .[生]我還有另外 一種解法,用三角函 數的定義來解． 解： ∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 設∠A 的鄰邊＝3k ．斜邊＝5k ．則∠A 的對邊＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边[問題3]：你能應用三角函數解決哪些問題? 銳角三角函數反映了直角三角形的邊角關係．凡是屬於直角三角形的問題或可以轉化為直角三角形的問題，都可以用三角函數來解決．我們知道在直角三角形中，除直角外，有兩個銳角．兩條直角邊以及斜邊共5個元素，它們之間的關係很豐富．如圖：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所對的邊分別為a 、b 、c ．(1)邊的關係：a 2+b 2=c 2(畢氏定理)： (2)角的關係：∠A+∠B ＝90；(3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=ba ； sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ．利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作圖，我們知道：當一直角邊和斜邊確定時，直角三角形唯一確定，即直角三角形的一直角邊和斜邊已知，則直角三角形中其他元素都可以求出．同學們不妨試一試．例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B 解：∵a ＝4，c ＝8，根據畢氏定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=ca =2184=， ∴∠A ＝30°． 又∵∠A+∠B ＝90°， ∴∠B ＝60°．問題：是不是只要知道直角三角形除直角外的兩個元素，其餘元素就都可以求出呢?在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分別是∠A ，∠B 、∠C 的對邊．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ． (2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ． (3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ． 解：(1)根據畢氏定理c ．=23332222=+=+b a . 又∵tanA ∴∠A=ba =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根據畢氏定理，得a=355102222=-=-b c , 又∵sinB ＝21105==cb ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3) ∵sinA=c a ∴=csinA=8×sin45°=42,又∵cosA ＝cb∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42，又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．實踐證明，在直角三角形中，已知除直角外的兩個元素(至少有一個是邊)，利用直角三角形中特殊的邊的關係、角的關係、邊角關係，就可求出其餘所有元素．因此，在現實生活中，如測量、建築、工程技術和物理學中，常遇到的距離、高度、角度都可以轉化到直角三角形中，這些實際問題的數量關係往往就歸結為直角三角形中邊和角的關係問題．[問題4]：如何測量一座樓的高度?你能想出幾種辦法? 第一種：用太陽光下的影子來測量．因為在同一時刻，物體的高度與它的影子的比值是一個定值．測量出物體的高度和它的影子的長度，再測出高樓在同一時刻的影子的長度．利用物體的高度：物體影子的長度＝高樓的高度，高樓影子的長度．便可求出高樓的高．第二種：在地面上放一面鏡子，利用三角形相似，也可以測量出樓的高度．第三種：用標杆的方法．第四種：利用直角三角形的邊角關係求樓的高度． 本章內容框架： 隨堂練習 1．計算 (1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos(2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°； (3).60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-2．如圖，大樓高30 m ，遠處有一塔BC ，某人在樓底A 處測得塔頂的仰角為60°，爬到樓頂D 測得塔頂的仰角為30°，求塔高BC 及樓與塔之間的距離AC(結果19確到0．0l m)． 解：沒AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=x y ， ①在Rt △BDE 中．tan30°=xy 30-， ②由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303-. x=153≈25．98(m)． 將x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 為45 m ，大樓與塔之間的距離為25．98 m ． 歸納提煉本節課針對回顧與思考中的四個問題作了研討，並以此為基礎，建立本章的知識框植架結構圖．進一步體驗三角函數在現實生活中的廣泛應用． 課後作業複習題A 組1，2，5，6，8 B 組2．3，4，5，6 活動與探究如圖．AC 表示一幢樓，它的各樓層都可到達；BD 表示一個建築物，但不能到達．已知AC 與BD 地平高度相同，AC 周圍沒有開闊地帶，僅有的測量工具為皮尺(可測量長度)和測角器(可測量仰角、俯角和兩視線間的夾角)．(1)請你設計一個測量建築物BD 高度的方案，要求寫出測量步驟和必要的測量資料(用字母表示)，並畫出測量示意圖：(2)寫出計算BD 高度的運算式．[過程]利用測量工具和直角三角形的邊角關係來解決．這裡的答案不唯一，下面只寫出一種方法供參考．[結果]測量步驟(如圖)：①用測角器在A 處測得D 的俯角α；②用測角器在A 處測得B 的仰角β③用皮尺測得AC=am ．(2)CD=αtan a , BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a .。
《从梯子的倾斜程度谈起》北师大九年级数学下册教学设计(9)
第九课时回顾与思考学习目标知识与能力目标能通过回顾与思考，建立起本章的知识框架图；能利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；体会到直角三角形边角关系这一数学模型在现实生活中的广泛的应用价值．过程与方法目标学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题，进一步感悟三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．情感与价值观要求在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益；认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点、难点建立本章的知识结构框架图；应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教具准备多媒体演示、计算器教学过程回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题1]举例说明，三角函数在现实生活中的应用．例1：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m) 解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103=57(m)，3即乙楼的高度约为57 m．例2，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．典例1：如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN 上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400 m还是等于400 m，于是过A作AD⊥MN．垂足为D．∵BE//MC．∴∠EBD＝∠CMB＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD＝∠CMA-∠CMB＝60°-30°=30°．AD，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴tan45°＝BDAD＝AD，BD＝45︒tanAD，MD＝在Rt△AMD中．∠AMD=30°，tan30° =MDAD=3AD，tan︒30∵MD=MD-BD，即3AD-AD＝400，AD-200(3+1)m>400m．所以输水路线不会穿过居民区．[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063， tan25°≈0．4663．而 ︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现 ααcos sin ＝tan α．这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如图，在Rt △ABC 中．∠C ＝90° ∵sinA ＝AB BC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， AC BC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA,tanA=AA cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现： sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=AB AC sin 2A+ cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解： ∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边[问题3]：你能应用三角函数解决哪些问题?锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90；(3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ； sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=，∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．问题：是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c , 又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3) ∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝cb ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．[问题4]：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法? 第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度． 本章内容框架：随堂练习1．计算 (1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3).60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒- 2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=x y ， ① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-， ② 由①得y ＝3x ，代入②得 33=x x 303-. x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)． 所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ． 归纳提炼本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8 B 组2．3，4，5，6活动与探究 如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β③用皮尺测得AC=am ． (2)CD=αtan a , BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a .。
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《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计
课题：从梯子的倾斜程度谈起
教材：义务教育课程标准试验教科书数学九年级下（北京师范大学出版社）教师：西安市第七十中学张莹
一、教材分析
本章是九年级下册的第一章《直角三角形的边角关系》，教材内容的顺序是：正切—正弦、余弦—特殊角的三角函数值—三角函数的有关计算—三角函数的应用.我的认识如下：从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数—正切，先学正切，再类比正切学习正弦、余弦，接着考察特殊角的三角函数值，在此基础上过渡到利用计算器求一般角的三角函数值和已知三角函数值求角度，最后回到问题的解决和实际应用；这样安排一方面因为正切是生活中用得最多的三角函数概念，更为常见，如刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，因而先从实际问题引入正切，学习完正切后类比即可学习正弦、余弦；另一方面，这样的顺序更有利于初中学生的学习，符合学生从具体情境中发现问题、寻求解决问题办法，再进一步解决问题的思路，符合具体到抽象的认知规律.
本节包括正切、正弦、余弦的定义，直角三角形边角关系的简单计算两大部分，分为两课时完成.本节课是第一课时，将从梯子的倾斜程度引入正切，进行有关正切的简单计算.教材在这个内容的安排上是：先探究哪个梯子更陡，再从具体解法中提炼出刻画梯子倾斜程度的量—角的对边与邻边之比，由此抽象概括出正切的定义，最后是正切的简单计算和实际应用.这样的安排不仅体现出《义务教育数学课程标准》（2011版）中要求从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境的教学理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解.
通过本节课的学习，学生不仅能初步体会边角之间的数量关系，理解正切的意义，进行一些简单的计算，而且有助于学生进一步感受分类思想、转化和化归思想、数形结合的思想；同时为进一步学习锐角的正弦、余弦，解三角形奠定良好的基础，也为高中阶段学习一般角的三角函数奠定良好的基础.
二、学情分析
学生在学完直角三角形的相关内容后，已经对直角三角形的边和边的关系、
角和角的关系有了一定的认识，这为学生进一步学习直角三角形的边角关系奠定了一定的基础；学生也已经历了线段的比、比例和图形的相似等知识的学习，具备了计算两条边的比值、判断比值是否相等基本知识要求和推理证明的能力；同时初一初二各种探究活动的顺利开展，也让学生具备了一定的合作学习，探究学习的能力. 这节课的授课对象是我校初三的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的推理运算的技能、空间想象能力和抽象概括能力，有较好的学习习惯和方法，这也是本节课顺利开展的前提条件.
三、教学目标和重点难点
依据对教材和学情的分析，遵循《义务教育数学课程标准》（2011年版）对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：
教学目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程；
2. 理解正切的意义和现实生活的联系；
3.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；
4.体会分类的思想、建模的思想、转化和化归的思想、数形结合的思想在解决数学问题中的应用；
5.通过梯子、坡面等实例让学生感受正切在现实生活中的应用.
教学重点:
1.探索直角三角形中边角关系，从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；
2.理解正切的数学意义；
教学难点:从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；理解正切的数学意义.
四、教学问题诊断
本节课的教学难点是从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义和正切意义的理解.对教学难点的突破我采取的策略是：
1.让学生通过充分的思考、小组讨论、交流，判断哪个梯子更陡，总结刻画梯子倾斜程度的各种方法，对方法进行总结、提炼，最终将梯子倾斜程度量化为两种数量：角度,角的对边和邻边之比.通过设问“能否建立角与角的对边、邻边之比之间的关系”自然的引出正切；在这一过程中，教师不作引导，由学生自己
寻找方法，再将学生的结果展示交流，并进行归纳、总结；
2.鉴于正切的符号表示比较抽象，学生的理解需要一定的过程，我的做法是设置不同形状的直角三角形，帮助学生理解；同时利用母子图中角的相等关系，让学生借助相似三角形有关知识进一步明确：当角度确定后，角的对边与邻边之比也将确定这一结论；在此基础上设问：结合该图形，你还能提出哪些有关正切的问题？增强问题的开放性，提高学生发现问题、提出问题的能力.
五、教学过程
今天我们从梯子的倾斜程度谈起先来了解直角三角形
边角之间其中的一种关系——正切.
经常会听人们说“陡”这个字，如图，哪个梯子更陡？你是如何判断的呢？
问题2：如图(1)、图(2)，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？能否用“直角三角形的一条边”刻画梯子的倾斜程度呢？
（图1）（图2）
（图3）
（图4）
【方法总结】
学生可能的方法有：
测量倾斜角；(通过测量学生发现本题两个角度非常
(O)
（图5）
B在梯子上的位置呢（比如：如图(6)，如果改变
2
处）？由此你能得出什么结论？
（图6）
倾斜角与这个比值之间是否可以建立某种关系？
那么∠A的
的正切你会表示吗？
Rt ACB)
（动画展示过点
都可以看成是哪些直角三角形的内角？在不同的直角
联系生活
正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.
如图，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高么山坡的坡度 (即 tan α)就是：
倾斜角、倾斜角的正切与梯子倾斜程度的关系： 梯子越陡；
603tan 1005
α==。