11从梯子的倾斜程度谈起(一)

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从梯子的倾斜程度谈起(一)练习

从梯子的倾斜程度谈起（一）练习目标导航掌握正切、余切的定义，了解坡度的概念．能正确应用tan α、cot α表示直角三角形中两边的比．应注意强调：1）对于tan α=αα∠∠的对边的邻边等2个公式只适用于直角三角形；2）正确理解tan α、cot α是一个完整的符号，只表示一个数值．掌握同一个角的三角函数关系tan （90°－α）=cot α；cot （90°－α ）=tan α；tan α·cot α=1．基础过关1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 的的比叫做∠A 的正切，记作；∠A 的的比叫做∠A 的余切，记作．2．在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =1，那么tan A = tan B =________．3．设直角三角形的两条直角边的比为5∶12，则较大锐角的正切值等于______．4．在直角三角形中，两锐角的正切互为关系．5．在Rt △ABC 中，ABBCtan A = ，cot A = ．6．在△ABC 中，∠C =90°，若AB =2AC ，则 cot A = ．7．已知一山坡的坡度为1∶ 3，若某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m ．8．正方形网格中，AOB ∠如图1放置，则tan ∠AOB = ．能力提升9．如图2，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cot 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米．10．如图3，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m ．（精确到0.1m ）11．如图4，在△ABC 中∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，tan ∠BCD = ．12．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正切值是．13．如果tan x •tan32°=1，那么锐角x =___________．14．在△ABC 中，∠C =90°，AD 为BC 边中线，若AB =10，BD =4，则tan ∠DAC =15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且满足2220a ab b --=，则tan A 等于．16．在Rt △ABC 中，∠C =90°，各边长都扩大3倍，锐角B 的余切值是（）A ．没有变化B ．扩大3倍C ．缩小3倍D ．不能确定17．如果α是锐角，且4cot 5α=，那么tan α的值是（） A B C 图2图3 ABO 图1 图4A ．925B ．45C ．35D ．5418．如图所示，CD 是一个平面镜，光线从A 点射出经CD 上的E点反射后照射到B 点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ．若AC =3，BD =6，CD =12，则tan α的值为（）A ．43 B ．34 C ．45 D ．3519．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的坡度i =1∶2，则CA ∶BC ∶AB 等于（）A ．1∶2∶1B ．1 2C ．1D ．1∶220．在等腰梯形ABCD 中，AB ‖DC ，∠D =120°，AC ⊥BC ，求tan ∠DAC 的值．D CB A21．已知锐角A 满足tan A －cot A =2，求tan 2A ＋cot 2A 的值．聚沙成塔已知△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，BC 84A S ∆=，求tan C 和cot B ．。

初中数学说课稿PPT课件(珍藏版)：从梯子的倾斜程度谈起

tanA=
∠A的邻边
说课主线——
6
1.tan B = AC
BC
3.交流分享得出定义 C
tan A = BC
A
B
AC
2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
C
tan∠ACD= AD
CD
┌
tanB= AC CD
A
DB
BC BD
说课主线——
说目标
再创造
情感态度与价值观
说课主线——
3
经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和正切与现实生活的联系，并能运用正切进行简单的计算。
经历操作、观察、猜想、推理等活动过程，培养从数学的角度提问题、分析和理解问题，在解决问题中促进学习、评价能力的提高。
进一步认识数学与生活的密切联系，体验数形之间的联系，感受数学的严谨性，让学生从自主探索、合作交流中获益。
AC EF BC FD
水平宽度一致时，铅直高度越高，梯子更陡一些。
说课主线——
6
3.交流分享得出定义
小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度，小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
说课主线——
6
创设情境引入新课 (2分钟）模拟情境
设疑激思
(20分钟）
交流分享
得出定义 (8分钟）
活化练习学以致用
(10分钟）
知识梳理共同成长 (4分钟）
布置作业分层提升 (1分钟）
说课主线——
6
1.创设情境引入新课

1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一

学科组数学组年级九年级学科数学主备人
教学过程
学科组数学组年级九年级学科数学主备人秦杰使用人: 商景超
教学过程
BC＝0.6 sinA＝0.6，
AC
学科组数学组年级九年级学科数学主备人秦杰使用人 :商景超
教学过程
?它们分别等于多°角的三个三角函数值，还有两个
学科组数学组年级九年级学科数学主备人秦杰使用人: 商景超
教学过程
用科学计算器求三角函数值，要用到和
sin72°38′25″的按
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，
，要在窗户外面上方安装一个
学科组数学组年级九年级学科数学主备人秦杰使用人：商景超
教学过程
第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和键。

，求锐角A。

1.1从梯子的倾斜程度谈起1 PPT

位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断。
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
4m
3m
2m
3m
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子的铅直高与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡。比值大的梯子陡。
4m
3m
3m
2m
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
倾斜角
铅直高度
水平宽度
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
在实践中探索新知
角
形AB2C2有什么关系?
B2
B1C 1 B 2C 2 (2) 和有什么关系? AC1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
A C2 C1
由感性到理性
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形AB2C2有什么关系?
B2
B1C 1 B 2C 2 (2) 和有什么关系? AC1 AC 2
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
在实践中探索新知

1.1 用梯子的倾斜程度谈起(1)好

回顾、反思、深化：
1、正切的定义.
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。（∠A和tanA之间的关系）. 3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识.
4、“一般 → 特殊 → 一般” 数学思想方法.
练习（一）： 1、在右图中求tanA的值
(1) tanA =3/4 (2) tanA= 4/3
2.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
议一议
如图,梯子AB1的倾斜程度与∠A有关吗? 与tanA有关吗? 与∠A有关:∠A越大,梯子 AB1越陡. 与tanA有关:tanA的值越大, 梯子AB1越陡.
B1 B2
A
C2
C1
想一想：
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
tanC=1
3.∠C=90°CD⊥AB，
(AC (CD (AD ) ) ) tanB= (BC (BD (CD ) ) )
4、在上图中，若BD=6，CD=12，求tanA的值。
tanA=CD/AD=BD/CD=6/12=1/2
练习（二）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=15，tanA=
60 3 i tan . 100 5
i
α 100m
60m ┌
练一练：1.某人沿一斜坡的底端B走了 10米到达点A，此时点A到地面BC的垂直高度AC为6米，则斜坡AB的坡度为多少？
A
10m
6m
分析:
勾股定理求:BC
B
C
AC Rt△ABC: BC
tanB
坡度
正切也经常用来描述山坡的坡度

《数学资源与评价》答案

1．B 2．作CD AC ⊥交AB 于D ，则28CAD = ∠，在Rt ACD △中，tan CD AC CAD =∠40.53 2.12=⨯=（米）．所以，小敏不会有碰头危险． 3．（1）B 17A =米，CD 20=米；（2）有影响，至少35米 4．AD=2.4米 5．小船距港口A 约25海里1 二次函数所描述的关系1．略 2．2或-3 3．S=116c 2 4．11,4,2,844±± 5．y=16-x 2 6．y=-x 2+4x 7．B 8．D 9．D 10．C 11．y=2x 2；y=18；x=±2 12．y=-2x 2+260x-6500 13．(1)S=4x-32x 2；(2)1.2≤x<1.6 14．s=t 2-6t+72(0<t ≤6)2 结识抛物线1．抛物线；下；y 轴；原点；高；大；相反；相同；相同 2．减小 3．a=2；k=-2 4．a=-15．m=-1 6．(-2，4) 7 8．12 9．y=x 2+6x 10．(1)S=32y ；(2)S 是y 的一次函数，S 是x 的二次函数 11．(1)m=2或-3；(2)m=2．最低点是原点(0，0)．x>0时，y 随x 的增大而增大；(3)m=-3，最大值为0．当x>0时；y 随x 的增大而减小 12．A(3，9)；B(-1，1)；y=x 2 13．抛物线经过M 点，但不经过N 点． 14．(1)A(1，1)；(2)存在．这样的点P有四个，即P 10)， P 20)， P 3(2，0)， P 4(1，0)3 刹车距离与二次函数1．下；y 轴；(0，5)；高；大；5 2．(0，-1) 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭3．y=x 2+3 4．下；3 5．14- 6．k=9,122b = 7．22y x =- 8．C 9．A 10．C 11．C 12．C 13．(1)2212(2)2y x y x ==-；(3)2y x = 14．(1)3；(2)3 15．y=mx 2+n 向下平移2个单位，得到y=mx 2+n-2，故由已知可得m=3，n-2=-1，从而m=3，n=1 16．以AB 为x 轴，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的代数表达式为y=ax 2+ c ．则B 点坐标为0)，N 点坐标为3)，故0=24a+c ，3=12a+c ，解得a=-14，c=6，即y= -14x 2+6．其顶点为(0，6)，(6-3)÷0．25=12小时． 17．以MN 为x 轴、对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则N 点坐标为(2，0)，顶点坐标为(0，4)．设y=ax 2+c ，则c=4，0=4a+4，a=-1，故y=-x 2+4．设B 点坐标为(x ，0)，c 点坐标为( -x ，0)，则A 点坐标为(x ，-x 2+4)，D 点坐标为(-x ，-x 2+4)．故BC=AD=2x ，AB=CD=-x 2+4．周长为4x+2(-x 2+4)．从而有-2x 2+8+4x=8，-x 2+2x=0，得x 1=0，x 2=2．当x=0时，BC=0；当x=2时，AB=-x 2+4=0．故铁皮的周长不可能等于8分米． 18．(1)6，10；(2)55；(3)略；(4)S=12n 2+12n ．聚沙成塔由y=0，得-x 2+0．25=0，得x=0．5(舍负)，故OD=0．5(米)．在Rt △AOD 中，AO=OD· tan ∠ADO=0．5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69．又AB=1.46，故OB≈0.23米．在Rt △BOD 中，tan ∠BDO=0.230.5BO OD ==0.46，故∠BDO≈24°42′．即α=24°42′．令x=0，得y=0.25，故OC= 0.25，从而BC=0.25+0.23=0.48米．2.1~2.3 二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数测试一、1．πr 2、S 、r 2．(6－x )(8－x )、x 、y 3．①④ 4．4、－2 5．y =－2x 2(不唯一) 6．y =－3x 2 7．y 轴 (0，0) 8．(2，4)，(－1，1)二、9．A 10．D 11．B 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D三、17．解：(1)∵m 2－m =0，∴m =0或m =1．∵m －1≠0，∴当m =0时，这个函数是一次函数．(2)∵m 2－m ≠0，∴m 1=0，m 2=1．则当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．18．解：图象略．(1)0；(2)0；(3)当a >0时，y =ax 2有最小值，当a <0时，y =ax 2有最大值．四、19．解：y =(80－x )(60－x )=x 2－140x +4800(0≤x ＜60)．20．如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等．五、21．解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形．(图略) y =－2x 2 (0,0)y ⎧⎪⎨⎪⎩开口方向向下对称轴轴顶点坐标 y =2x 2 (0,0)y ⎧⎪⎨⎪⎩开口方向向上对称轴轴顶点坐标 22．解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n )．∵A 、B 两点在y =13x 2的图象上，∴m =13×9=3，n =13×1=13．∴A (3，3)，B (－1，13)．∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上，∴33,1.3a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式是y =23x +1． (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－32，0)．∴|DC |=32．S △ABC =S △ADC －S △BDC =12×2×3－2×2×3=4－14=2． 4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像1．上，12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，13x = 2．-4 0 3．四 4．0 5．左 3 下 2 6．1 7．-1或3 8．< > > > < 9．12x =，19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．①②④ 11．D 12．D 13．A 14．D 15．∵2215044(5)1015015,113522(5)44(5)b ac b a a -⨯-⨯--=-===⨯-⨯-．故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米 16．由已知得2444a a -=2．即a 2-a-2=0，得a 1=-1，a 2=2，又a≥0，故a=2． 17．以地面上任一条直线为x 轴，OA 为y 轴建立直角坐标系，设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1．由y=0，得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，x 1=2.5，x 2=-0.5(舍去)，故水池的半径至少要2.5米． 18．如：7月份售价最低，每千克售0.5元；1-7月份，该蔬菜的销售价随着月份的增加而降低，7-12月份的销售价随月份的增加而上升；2月份的销售价为每千克3.5元；3月份与11月份的销售价相同等．5 用三种方式表示二次函数1．y=-x 2+144 2．y 3．(1) y=x 2+-2x ；(2)3或-1 ；(3) x<0或x>2 4．k>35． y=x 2+8x 6．y=x 2+3x ，小，33,24- 7．（2，4） 8．14- 9．C 10．D 11．C 12．C 13．(1)略；(2)y=x 2-1；(3)略 14．设底边长为x ，则底边上的高为10-x ，设面积为y ，则y=12x(10-x)=-12(x 2-10x)=-12(x 2-10x+25-25)=-12(x-5)2+12.5．故这个三角形的面积最大可达12.5 15．2116S l = 16．(1)对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，3)，开口向下；(2)当x<1时，y 随x 的增大而增大；(3)y=-2(x-1)2+3 17．由已知得△BPD ∽△BCA ．故22416BPD ABC S x x S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，224(4)416PCE ABC S x x S ∆∆--⎛⎫== ⎪⎝⎭，过A 作AD ⊥BC ，则由∠B=60°，AB=4，得 AD=AB·sin60°4=，故142ABC S ∆=⨯⨯∴222(4)1616BPD PCE x x S S ∆∆-+=⨯⨯-+∴22y =-+=+⎝．18．(1) s=12t 2-2t ； (2)将s=30代入s=12t 2-2t ，得30=12t 2-2t ，解得t 1=10，t 2=-6(舍去)．即第10个月末公司累积利润达30万元；(3)当t=7时，s=12×72-2×7=10.5，即第7个月末公司累积利润为10.5万元；当t=8时，s=12×82-2×8 =16，即第8个月末公司累积利润为16万元．16-10.5=5.5万元．故第8个月公司所获利润为5.5万元．19．(1)略；（2）(1)2n n S -=；（3）n=56时，S=1540 20．略 6 何时获得最大利润1．A 2．D 3．A 4．A 5．C 6．B7． (1)设y=kx+b ，则∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210．∴3602021025k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得30960k b =-⎧⎨=⎩∴y=-30x+960(16≤x≤32)； (2)设每月所得总利润为w 元，则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920．∵-30<0，∴当x=24时，w 有最大值．即销售价格定为24元/件时，才能使每月所获利润最大，每月的最大利润为1920元．8．设每间客房的日租金提高x 个5元(即5x 元)，则每天客房出租数会减少6x 间，客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750．当x=5时，y 有最大值6750，这时每间客房的日租金为50+5×5=75元．客房总收入最高为6750元．9．商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元．设定价提高x%，则销售量下降0．5x%，即当定价为100(1+x%)元时，销售量为1000(1-0．5x%)件．故y=100(1+x%)·1000(1-0．5x%)-8000 =-5x 2+500x+20000=-5(x-50)2+32500．当x=50时， y 有最大值32500．即定价为150元/件时获利最大，为32500元．10．(1)s=10×277101010x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×(4-3)-x=-x 2+6x+7．当x=62(1)-⨯-=3 时，S 最大=24(1)764(1)⨯-⨯-⨯-=16． ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元．(2)用于再投资的资金有16-3=13万元．有下列两种投资方式符合要求：①取A 、B 、E 各一股，投入资金为5+2+6=13万元，收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元． ②取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12万元<13万元，收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元．11．（1）60吨；(2) 226033(7.545)(10)(320)(100)315240001044x y x x x x x -=⨯+-=--=-+-；(3)210元/吨；(4) 不对，设月销售额为w 元．22603(7.545)240104x w x x x -=⨯+=-+，x=160时，w 最大．12．（1）21425y x =-+；（2）货车到桥需280406(40-=小时），0.256 1.5(⨯=米）而O(0，4)，4-3=1（米）<1.5米，所以，货车不能通过．安全通过时间434(0.25-=小时），2804060(/4-=千米时），货车安全通过速度应超过60千米/时．7 最大面积是多少1．y=-x 2+600，020x ≤≤，600m 2 ，200m 2 2．20cm 2 3．圆 4．16cm 2 ，正方形 5． 5±6．10 7．21822333y x x =-+- 8． 9．-2 10． C 11． D 12．C 13．A 14．D 15．过A 作AM ⊥BC 于M ，交DG 于N ，则．设DE=xcm ，S矩形=ycm 2，则由△ADG ∽△ABC ，故AN DG AM BC =，即161624x DG -=，故DG=32(16-x)．∴y=DG·DE=32(16-x)x=-32(x 2-16x)=-32(x-8)2+96，从而当x=8时，y 有最大值96．即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2．16．(1)y= 238x -+3x ．自变量x 的取值范围是0<x<8． (2)x=3328-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=4时，y 最大=234038348⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=6．即当x=4时，△ADE 的面积最大，为6． 17．设第t 秒时，△PBQ 的面积为ycm 2．则∵AP=tcm ，∴PB=(6-t)cm ；又BQ=2t ．∴y=12PB·BQ=12(6-t)·2t=(6-t)t=-t 2+6t=-(t-3)2+9，当t=3时，y 有最大值9．故第3秒钟时△PBQ 的面积最大，最大值是9cm 2．18．(1)可以通过，根据对称性，当x=12×4=2时，y=132-×4+8=778>7．故汽车可以安全通过此隧道；(2)可以安全通过，因为当x=4时，y=132-×16+8=172>7．故汽车可以安全通过此隧道；(3)答案不惟一，如可限高7m ．19．不能，y=-x 2+4x ，设BC=a ，则AB=4-a ，(2,4)2a A a ∴+-代入解析式 24(22)404,2a a a -=-+-+=得或 A(2，4)或(4，0) 所以，不能． 20．（1）125h =；（2）12,125x S ==最大；（3）BE=1.8，在 21．(1)第t 秒钟时，AP=t ，故PB=(6-t)cm ；BQ=2tcm ．故S △PBQ =12·(6-t)·2t=-t 2+ 6t ．∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72-S △PBQ =t 2-6t+72(0<t<6)；(2)S=(t-3)2+63．故当t=3时，S 有最小值63． 22． (1)过A 作AD ⊥BC 于D 交PQ 于E ，则AD=4．由△APQ ∽△ABC ，得446x x -=，故x=125；(2)当RS 落在△ABC 外部时，不难求得AE=23x ，故22212446335y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当RS 落在△ABC 内部时，y=x 2(0<x<125)；(3)当RS 落在△ABC 外部时，2222124(3)66335y x x x x ⎛⎫=-+=--+<< ⎪⎝⎭．∴当x=3时，y 有最大值6．当RS 落在BC 边上时，由x=125可知，y= 14425．当RS 落在△ABC 内部时，y=x 2(0<x<125)，故比较以上三种情况可知:公共部分面积最大为6．23．(1)由对称性，当x=4时，y=211642525-⨯=-．当x=10时，y=2110425-⨯=-．故正常水位时，AB 距桥面4米，由16943 2.52525-=>，故小船能通过； (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．8 二次函数与一元二次方程1．（-3，0），（1，0） 2．y=2x 2+4x-6 3．一、二、三 4．(1，2) 5．m=-7 6．m=87．(-1，0) 8．9016k k >-≠且 9．a=2 10．B 11．A 12．C 13．y=x 2+x+9图象与y=1的两个交点横坐标是x 2+x+9=0两根 14．224(2)(2)40m m m ∆=--=-+>15．C △ABC =AB+BC+AC=2．S △ABC =12AC·OB=12×2×3=3 16．(1)k=-2，1 (2)0<k<2 17．(1) 904m m <≠且(2)在(3) 15(,),(2,1)24Q P --- 18．(1)25s ，125m ；(2)50s 19．(1)m=2或0；(2) m<0；(3)m=1，S = 20．(1) y=112-(x-6)2+5；(2) (2)由112-(x-6)2+5=0，得x 1=266x +=-:C 点坐标为(6+0) 故OC=6+.75(米)，即该男生把铅球推出约13.75米．21．(1) y=-x 2+4x-3；(2) ∴直线BC 的代数表达式为y=x-3 (3) 由于AB=3-1=2，OC=│-3│=3．故S △ABC =12AB·OC=12×2×3=3 22．(1) k=1；(2)k=-1 2．6—2．8A 参考答案一、1． 2．14，大，－38，没有 3．①x 2－2x ；②3或－1；③<0或>2 4．y =x 2－3x －10 5．m >92，无解 6．y =－x 2+x －1，最大 7．S =π(r +m )2 8．y =－18x 2+2x +1， 16.5二、9．B 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．D 16．B三、17．解：(1)y =－2x 2+180x －2800；(2)y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250．当x =45时，y 最大=1250．∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元． 18．解：∵二次函数的对称轴x =2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y =12x +1上．∴y =12×2+1=2．∴y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象顶点坐标为(2，2)．∴－2b a=2．∴－242(2)m m --=2．解得m =－1或m =2．∵最高点在直线上，∴a <0，∴m =－1．∴y =－x 2+4x +n 顶点为(2，2)．∴2=－4+8+n ．∴n =－2．则y =－x 2+4x +2．四、19．解：(1)依题意得：鸡场面积y =－2150.33x x -+∵y =－13x 2+503x =13-(x 2－50x )=－13(x －25)2+6253，∴当x =25时，y 最大=6253， 2．6—2．8B 参考答案一、1．3 2．2 3．b 2－4ac>0(不唯一) 4．15 cmcm 2 5．(1)A ；(2)D ；(3)C ；(4)B 6．5，625二、7．B 8．B 9．A 10．C 11．D 12．B三、13．解：(1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元；②前4月份亏盈吃平；③前5月份盈利2．5万元；④1~2月份呈亏损增加趋势；⑤2月份以后开始回升．(盈利)；⑥4月份以后纯获利……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为y=12(x －2)2－2，当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一)． 14．解：设m=a+b y=a·b ，∴y=a(m －a)=－a 2+ma=－(a －2m )2+24a ，当a=2m 时，y 最大值为24a ．结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大．四、15．(1)由题意知：p=30+x ；(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元，死蟹的销售额为200x 元．∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000；(3)设总利润为L=Q －30000－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250．当x=25时总利润最大，为6250元．五、16．解：∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°．∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°．∴△ABP ∽△PCQ ．6,,8AB BP x PC CQ x y ==-∴y=－16x 2+43x ． 17．解：(1)10；(2)55；(3)略；(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上．设函数的解析式为S=an 2+bn+c ．由题意知：1a ,21,1423,b ,2936,c 0.a b c a b c a b c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪++=⎩=⎪⎪⎩解得∴S=211.22n n + 单元综合评价一、选择题：1~12：CBDAA ，CDBDB ，AB二、填空题：13．2 14．591415． 16．-7 17．2 18．y=0.04x 2+1.6x 19．<、<、> 20．略 21．只要写出一个可能的解析式 22．1125m 23．-9．三、解答题：24．y=x 2+3x+2 (-3/2，- 1/4) 25．y=-1200x 2+400x+4000；11400，10600 26．2125y x =-； 5小时 27．(1)5；(2) 2003 28．(1) 2y -x x =+；(2) y=-x 2+1/3x+4/9，y=-x 2-x 29．略．第三章圆1 车轮为什么做成圆形1．=5cm <5cm >5cm 2．⊙O 内 ⊙O 上 ⊙O 外 3．9π cm 2 4．内部 5．5cm6．C 7．D 8．B 9．A 10．由已知得OA=8cm ，=10，，故OA<10，OB<10，OD=10，OC>10．从而点A ，点B 在⊙O 内；点C 在⊙O 外；点D 在⊙O 上 11．如图所示，所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界) 12．如图所示，所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界)．(11题) (12题)13．由已知得PO=4，PA=5，PB=5，故OA=1，OB=9，从而A点坐标为A(-1，10)，B点坐标为(9，0)；连结PC、PD，则PC=PD=5，又PO⊥CD，PO=4，故OC==3，．从而C点坐标为(0，3) ，D点坐标为(0，-3) 14．存在，以O为圆心，OA为半径的圆15．2≤AC≤8聚沙成塔∵PO<2．5，故点P在⊙O内部；∵Q点在以P为圆心，1为半径的⊙P上，∴1≤OQ≤3．当Q在Q1点或Q2点处，OQ=2．5，此时Q在⊙O上；当点Q在弧线Q1mQ2上(不包括端点Q1，Q2)，则OQ>2．5，这时点Q 在⊙O外；当点Q在弧线Q1nQ2上(不包括端点Q1，Q2)，则OQ<2．5，这时点Q在⊙O内．2 圆的对称性1．中心，过圆心的任一条直线，圆心2．60°3．2cm 4．5 5．3≤OP≤56．10 7．相等89．C 10．B 11．A 12．过O作OM⊥AB于M，则AM=BM．又AC=BD，故AM-AC=BM-BD，即CM=DM，又OM⊥CD，故△OCD是等腰三角形．即OC=OD．(还可连接OA、OB．证明△AOC≌△BOD) 13．过O作OC⊥AB于C，则BC=152cm．由BM:AM=1:4，得BM=15×5=3 ，故CM=152-3=92．在Rt△OCM中，OC2=229175824⎛⎫-=⎪⎝⎭．连接OA，则10=，即工件的半径长为10cm 14．是菱形，理由如下:由 BC= AC，得∠BOC=∠AOC．故OM⊥AB，从而AM=BM．在Rt △AOM中，sin∠AOM=AMOA=，故∠AOM=60°，所以∠BOM=60°．由于OA=OB=OC，故△BOC 与△AOC 都是等边三角形，故OA=AC=BC=BO=OC，所以四边形OACB是菱形．15．PC=PD．连接OC、OD，则∵ DB= BC，∴∠BOC=∠BOD，又OP=OP，∴△OPC≌△OPD，∴PC=PD．16．可求出长为6cm的弦的弦心距为4cm，长为8cm的弦的弦心距为3cm．若点O 在两平行弦之间，则它们的距离为4+3=7cm，若点O在两平行弦的外部，则它们的距离为4- 3=1cm，即这两条弦之间的距离为7cm或1cm．17．可求得OC=4cm，故点C在以O为圆心，4cm长为半径的圆上，即点C 经过的路线是O为圆心，4cm长为半径的圆．聚沙成塔作点B关于直线MN的对称点B′，则B′必在⊙O上，且 B N'= NB．由已知得∠AON=60°，故∠B′ON=∠BON= 12∠AON=30°，∠AOB′=90°．连接AB′交MN于点P′，则P′即为所求的点．此时AP+BP3 圆周角与圆心角1．120°2．3 1 3．160°4．44°5．50°67．A 8．C 9．B 10．C 11．B 12．C 13．连接OC、OD，则OC=OD=4cm，∠COD=60°，故△COD是等边三角形，从而CD= 4cm 14．连接DC，则∠ADC=∠ABC=∠CAD，故AC=CD．∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴AC2+CD2=AD2，即2AC2=36，AC2=18，15．连接BD，则∴AB 是直径，∴∠ADB=90°．∵∠C=∠A，∠D=∠B，∴△PCD ∽△PAB，∴PD CDPB AB=．在Rt△PBD 中，cos∠BPD=PD CDPB AB==34，设PD=3x，PB=4x，则==，∴tan ∠BPD=BD PD == 16．(1)相等．理由如下:连接OD ，∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴ BC= BD ，∴∠COB= ∠DOB ．∵∠COD=2∠P ，∴∠COB=∠P ，即∠COB=∠CPD ；(2)∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接P′P ，则∠P′CD=∠P′PD ，∠P′PC=∠P′DC ．∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD ．∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB ，从而∠CP′D+∠COB=180° 17．聚沙成塔迅速回传乙，让乙射门较好，在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN 的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图所示，则∠A<MCN=∠B ，即∠B>∠A ，从而B 处对MN 的张角较大，在B 处射门射中的机会大些．4 确定圆的条件1．三角形内部，直角三角形，钝角三角形 2． 3 4．其外接圆，三角形三条边的垂直平分线，三角形三个顶点 5 6．两 7．C 8．B 9．A 10．C11．B 12．C 13．略 14．略 15．(1)△FBC 是等边三角形，由已知得：∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC ，∴∠BFC=∠BAC=60°，∠BCF=∠BAF=60°，∴△FBC 是等边三角形；(2)AB=AC+FA ．在AB 上取一点G ，使AG=AC ，则由于∠BAC=60°，故△AGC 是等边三角形，从而∠BGC=∠FAC=120°，又∠CBG=∠CFA ，BC=FC ，故△BCG ≌△FCA ，从而BG=FA ，又AG=AC ，∴AC+FA=AG+BG=AB 16．(1)在残圆上任取三点A 、B 、C ； (2)分别作弦AB 、AC 的垂直平分线，则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心；(3)连接OA ，则OA 的长即是残圆的半径 17．存在．∵AB 不是直径(否则∠APB=90°，而由cos ∠APB=13知∠APB<90°，矛盾)∴取优弧AB 的中点为P 点，过P 作PD ⊥AB 于D ，则PD 是圆上所有的点中到AB 距离最大的点．∵AB 的长为定值，∴当P 为优弧AB 的中点时，△APB的面积最大，连接PA 、PB ，则等腰三角形APB 即为所求．S △APB= 12AB· 聚沙成塔过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OB ，则∠AOE=12∠AOB ，AE=12AB ，∴∠C=1∠AOB=∠AOE ．解方程x 2-7x+12=0可得DC=4，AD=3，故，可证Rt △ADC ∽Rt △AEO ，故AE AO AD AC=，又， AD=3，，故，从而S ⊙O=21254ππ⨯=⎝⎭． 5 直线与圆的位置关系1．相交 2．60 3．如OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，AB ⊥OP 等 4．0≤d<4 5．65° 6．146°，60°，86° 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．B 13．(1)AD ⊥CD ．理由：连接OC ，则OC ⊥CD ．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，又∠OAC= ∠DAC ，∴∠DAC=∠OCA ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ；(2)连接BC ，则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB ，又∠DAC=∠CAB ．∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD AB AC=，即AC 2=AD·AB=80，故 14．(1)相等．理由:连接OA ，则∠PAO=90°．∵OA=OB ，∴∠OAB=∠B=30°， ∴∠AOP=60°，∠P=90°-60°=30°，∴∠P=∠B ，∴AB=AP ；(2)∵tan ∠APO=OA PA，∴OA=PA ，tan ∠0301tan ==，∴BC=2OA=2，即半圆O 的直径为2 15．(1)平分．证明：连接OT ，∵PT 切⊙O 于T ，∴OT ⊥PT ，故∠OTA=90°，从而∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT ．即BT 平分∠OBA ； (2)过O 作OM ⊥BC 于M ，则四边形OTAM 是矩形，故OM=A T=4，AM=OT=5．在Rt △OBM 中，OB=5，OM=4，故=3，从而AB=AM-BM=5-3=2 16．作出△ABC 的内切圆⊙O ，沿⊙O 的圆周剪出一个圆，其面积最大 17．由已知得:OA=OE ，∠OAC=∠OEC ，又OC 公共，故△OAC ≌OEC ，同理，△OBD ≌△OED ，由此可得∠AOC=∠EOC ，∠BOD=∠EOD ，从而∠COD=90°，∠AOC=∠BDO ．根据这些写如下结论：①角相等：∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO ，∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB ，∠A=∠B=∠OEC=∠OED ；②边相等：AC=CE ，DE=DB ，OA=OB=OE ；③全等三角形：△OAC ≌△OEC ，△OBD ≌△OED ；④相似三角形:△AOC ∽△EOC ∽△EDO ∽△BDO ∽△ODC ．聚沙成塔 (1)PC 与⊙D 相切，理由:令x=0，得y=-8，故P(0，-8)；令y=0，得故0)，故OP=8，OC=2，CD=1，∴CD==3，又PC=，∴PC 2+CD 2=9+72=81=PD 2．从而∠PCD=90°，故PC 与⊙D 相切； (2)存在．点-12)或-4)，使S △EOP =4S △CDO ．设E 点坐标为(x ，y)，过E 作EF ⊥y 轴于F ，则EF=│x│．∴S △POE =12PO·EF=4│x│．∵S △CDO =12CO·∴当时，；当时，．故E 点坐标为-4)或-12)．6 圆与圆的位置关系1．2 14 2．外切 3．内切 4．45°或135° 5．1<r<8 6．外切或内切 7．A 8．B9．C 10．D 11．C 12．A 13．C 14．外切或内切，由│d -4│=3，得d=7或1，解方程得x 1=3，x 2=4，故当d=7时，x 1+ x 2=d ；当d=1时，x 2-x 1=d ，从而两圆外切或内切 15．过O 1作O 1E ⊥AD 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ，过O 2作O 2G ⊥O 1E 于G ，则AE=DF=5cm ，O 1G=16-5-5=6cm ，O 2O 1=5+5=10cm ，故O 2，所以EF=8cm ，从而AD=5+5+8=18cm ．16．如图所示．17．如：AC=BC ，O 1A 2+AF 2=O 1F 2，AC 2+CF 2=AF 2等聚沙成塔有无数种分法．如：过⊙O 2与⊙O 5的切点和点O 3画一条直线即满足要求．7 弧长及扇形的积1．240°3πcm 2．389mm 3．16π 4．50 5 6．2πcm 2 7．B 8．C9．C 10．B 11．A 12．A 13．设其半径为R ，则120180R π⨯=，R =cm ，过圆心作弦的垂线，则可求弦长为9cm 14．由已知得，S 扇形DOC=2150500203603ππ⨯=，S 扇形AOB=2150125103603ππ⨯=，故绸布部分的面积为S 扇形DOC- S 扇形AOB=125π 15．由已知得，2081809n ππ⨯=，得n=50，即∠AOC=50°．又AC 切⊙O 于点C ，故∠ACO=90 °，从而OA=812.446cos50cos50OC =≈︒︒，故AB=AO-OB=12．446-8≈4．45cm 16．设切点为C ，圆心为O ，连接OC ，则OC ⊥AB ，故AC=BC=15，连接OA ，则OA 2-OC 2=AC 2=152=225，故S 阴影=2222()225AO CO AO CO ππππ⨯-⨯=-=cm 2 17．如图所示r=22C B A r=4C A r=42-4r=2OB A聚沙成塔 (1)依次填2468,,,3333ππππ；(2)根据表可发现:23n l n π=⨯，考虑2264001000003n ππ⨯≥⨯⨯，得n≥1.92×109，∴n 至少应为1.92×109． 8 圆锥的侧面积1．6 2．10π 3．2000π 4．2cm 5．15π 6．18 7．D 8．D 9．B 10．B11．A 12．B 13．侧面展开图的弧长为2816ππ⨯=，设其圆心角为n°，则1516180n ππ⨯=，故n=192，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是192° 14．可得△SAO ≌△SBO ，故∠ASO=∠BSO=60°，∠SBO=30°，由BO=27， tan ∠SBO=tan 30°=27SO SO BO =，得SO=27=≈15.6m ，即光源离地面的垂直高度约为15.6m 时才符合要求 15．过A 作AD ⊥BC ，则由∠C=45°，得AD=DC=12cn ，AB=2AD=24cm ，=BC=12，以A 为圆心的扇形面积为21051242360ππ⨯=cm 2，以B 为圆心的扇形面积为22302448360cm ππ⨯=，以C为圆心的扇形面积为224536360cm ππ⨯=，故以B 为圆心取扇形作圆锥侧面时，圆锥的侧面积最大，设此时圆锥的底面半径为r ，则30224180r ππ=⨯， r=2cm ，直径为4cm 聚沙成塔设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则1224R r ππ⨯⨯=⨯，故R=4r ，又，将R=4r 代入，可求得≈0.22a ．正多边形与圆1．正方形 2．十八提示：正多边形的中心角等于外角，外角和为360°，360÷20=18 3．36° 提示：可求出外角的度数 4．正三角形 5．C 提示：其中正确的有②④⑤⑥⑦ 6．C7．D 提示：按正多边形的定义 8．C 9．3 提示：利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半 10．100cm 211：2 提示：设此圆的半径为R ，则它的内接正方R，内接正方形和外切正六边形的边长比为2 12．4πa 2 提示：如图所示，AB 为正n 边形的一边，正n 边形的中心为O ，AB •与小圆切于点C ，连接OA ，OC ，则OC ⊥AB ，12AC=12AB=a ，所以AC 2=14a 2=OA 2-OC 2，S 圆环=S 大圆-S 小圆=πOA 2-OC 2=π（OA 2-OC 2）=4πa 2 13．C 14．C 15．方法一：（1）用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；（2）连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：（1）用量角器画圆心角∠BOC=120°；（2）在⊙O 上用圆规截取；（3）连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：（1）作直径AD ；（2）以O 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；（3）连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：（1）作直径AE ；（2）分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；（3）连接AB ，BC ，CA （或连接EF ，ED ，DF ），则△ABC （或△EFD ）为圆内接正三角形．16．解：相同点：都有相等的边；都有相等的角，都有外接圆和内切圆等．不同点：边数不同；内角的度数不同；内角和不同；对角线条数不同等 17．解：方法一：如题图①中，连接OB ，OC ．∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°．又∠OCN=30°，∠BOC=120°，而BM=CN ，OB=OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM=∠CON ，∴∠MON=∠BOC=120°．方法二：如题图①中，连接OA ，OB ．∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB=BC ，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°，∴∠AOM=∠BON ．∴∠MON=∠AOB=120°；（2）90° 72°；（3）∠MON=360n︒ 单元综合评价（一）一、1~5 AABDB 6~10 DDABD二、11．8 12．π213．9cm 14．120° 15．13 16．18πcm 2 17．60° 18．180° 19．7或1 20．（1）2；（2）3n +1三、21．10cm ，6cm 22．432m 2 23．2π6R （提示：连接CO ，DO ，S 阴影=S 扇形COD ） 24．（1）A （4，0），33y x =+；（2）3＞m时相离，m =时相切，0m <<时相交 25．解：（1）42πr r +，82πr r +；（2）62πr r +，82πr r +，102πr r +，122πr r +；（3）162πr r +，图略单元综合评价（二）1．以点A 为圆心，2cm 长为半径的圆 2．点P 在⊙O 内 3．10 4．90° 5．2 6． 120°7．3 8．2cm 或8cm 9．(12+5π)cm 10．30π 11．B 12．D 13．D 14．C15．D 16．B 17．B 18．C 19．C 20．C 21．如图，所有点组成的图形是如图所示的阴影部分． 22．(1)连接CD ，=5，由CD=CA ，得∠CDA=∠A ，故tan ∠CDA=tanA=43BC AC =；(2)过C 作CF ⊥AD 于F ，则AD=2AF ，由cosA=AC AF AB AC=，得AC 2=AB·AF ．故32=5·AF ，AF=95，所以AD=185． 23．(1)相切．理由:连接OC ，OB ，则OC ⊥AB ，由已知得BC=12AB=4，OB=5，故=3，从而圆心O 到直线AB 的距离等于小圆的半径，故AB 与小圆相切；(2) 22222(53)16OB OC cm ππππ-=-=． 24．(1)连接AB ，AM ，则由∠AOB=90°，故AB 是直径，由∠BAM+∠OAM=∠BOM+ ∠OBM=180°-120°=60°，得∠BAO=60°，又AO=4，故cos ∠BAO=AO AB，AB=048cos60=，从而⊙C 的半径为4；(2)由(1)得，=C 作CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ，则EC=OF=12BO=12⨯，CF=OE=12OA=2，故C 点坐标为(-，2) 25．连接AC ，BC ，分别作AC ，BC 的垂直平 AC AB =分线，相交于点M ，则点M 即满足条件(图略) 26．(1)设扇形半径为Rcm ，则2120300360R ππ=，故R=30cm ，设扇形弧长为Lcm ，则113030022Rl l π=⨯=，故L=20π；(2)设圆锥的底面半径为rcm ，则220r ππ=，r=10cm = 27．如:∠D=30°，DC 是⊙O 的切线，△CBD 是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，AC=CD ，BD=BC ，△DCB ∽△DAC ，DC 2=DB·DA ，，等 28．略．只要符合题意即可得分．第四章统计与概率1 50年的变化（1）1．条形，折线，扇形 2．条形，0 3．折线，同一单位长度 4．不能 5．（1）1：3；（2）从0开始 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．解：（1）左图给人的感觉是小明通过努力，数学成绩提高迅速，进步很大；而右图给你的感觉则是小明的学习成绩比较稳定，进小不是很大；（2）如果小明想向他的父母说明他数学成绩的提高情况，那么他应选择左图，理由是：左图看上去折线上升速度转快，表明小明的成绩提高迅速 13．解：（1）A 村的苹果产量占本村两种水果总产量的35％，梨占65％；B 村的苹果产量在本村两种水果总产量中占80％，梨占20％。

1.1 从梯子的倾斜程度谈起

A
E
5m
4m
B
F
3m
2m
从梯子的倾斜程度谈起
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角形AB2C2有什么关系?
B1C 1 B 2C 2 (2) 和有什么关系? AC 1 AC 2
A A
1.5 ┌ D B
C
┌ C
3、在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,AD=6,
BC=14,s梯形ABCD=40,求tanB的值
A D
B
E
F
C
4、一个直角三角形两边长分别为3、4，则较小的锐角的正切值是________. 5、如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到 B所行驶的路程．
梯子与地面的夹角（倾斜角）
想一想
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起你能比较两个梯子哪个更陡吗？
驶向胜利的彼岸
在实践中探索新知
在实践中探索新知
在实践中探索新知
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜角发生了什么变化？
在实践中探索新知
倾斜角
铅直高度
水平宽度
在实践中探索新知
C C
6
B
8
A B
E
D
A
由感性到理性
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三

1.1从梯子的倾斜程度谈起第1课时

作业布置
金牌学典：
P 84-86 第一课时
60m α 100m
例题欣赏
1、如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，，求BC、AB的长。
A
B
C
例题欣赏
2、如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13, BC=10,求tanB.
A
B
D
C
大胆尝试练一练
A E
CDB
大胆尝试练一练
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
1.5
┌
A
D
C
大胆尝试练一练
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
B
┌
A
C
小结与拓展
• 这节课，你学会了什么？
正切的定义:
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
B1
(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系 ? AC1 AC2
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
A
C3 C2
C1
由此你得出什么结论?
用心想一想
结论：仍能得到
当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定。
A
B1
B2 B3
C3 C2
C1
知识升华
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么锐角A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
驶驶向向胜胜利利的的彼彼岸岸
A 1 B2
从生活实践开始

《数学资源与评价》答案

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------《数学资源与评价》答案第一章直角三角形边角关系 1 从梯子的倾斜程度谈起（一）12； 2 3．1234 12． 2 2 13． 58o 14．1．对边与邻边； tanA；邻边与对边； cotA 2．5 4．倒数 5．66;23 6．33 7． 10 10 8． 2 9． 5 10． 2.3 11．23 15． 2 16． A 17． D 18． A 19． D 20．33 21． 6 聚沙成塔 125；34 2 从梯子的倾斜程度谈起（二） 1．对边与斜边； sinA；邻边与斜边； cosA 2．22 3．55 4．33 5．23 6．2425；724 7．3 4;5 3 8．12 9． B 10． A 11． A 12． D 13． D 14． A 15． C 4cos0.8,tan0.75,cot316． B 17．sin0.6A =，AAA=== 18．44sin,tan53AA== 19．45 聚沙成塔 sintancosAAA= 330o， 45o， 60o角的三角函数值 1 4．21．23;22 2．74 3．21 5．2;452 6． 30 7．232 8． ()44 2+ 9． 30 10． 5 3 11．大于，小于 12．32 13．对，错 14． B 15． B 16． B 17． B 18． D 19．3 312+；1366 20． 83 21． 52.0 米聚沙成塔221mn=4 三角函数的有关计算交 AB 于 D ，（米）．所以，小敏不会有碰头危险．1 ．CDB 2 ．tanAC作 CD4 0.53= AC=则，在RtACD△中，CAD=2.12 3 ．（ 1 ）B10 317A=米， CD20=米；（2）有影响，至少 35 米 4． AD=2.4 米 5．小船距港口 A约 251 / 2海里 5 船有触角危险吗？（一） 1． 6 2．32 3．3 4． 76 5． C 6． 30 10 3 7． 30o或 150o 8．9 3272+ 9． B 10． C 11． D 12． A 13． B 14． 14 海里 15． 19.7 海里/时 16．有必要 17． 520 米18．（1） (100 3, 100 3)沙成塔 1256 船有触角危险吗？（二），(100 3,200 100 3)；（2） 11 小时聚 1． 14 2． 3.4 千米 3． (1)25m； (2) 25 3m 4． 60.6 米 5．（1） DE=CD=8；（2）13 6． (1)34.6 米； (2)a 米 7． (1)3 小时； (2) 3.6小时 8．⑴720 米2 ；⑵ 将整修后的背水坡面分为 9 块相同的矩形，则每一区域的面积为 80 米2 ．∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草 5 块，种花 4 块，需要 20580+25480=16000 元；第二种是种花 5 块，种草 4块，需要 20480+25580=16400 元．应选择种草 5 块、种花 4 块的方案，需要花费 16000千米. 元．聚沙成塔 (30 10 3)单元综合评价一、 1．835’ 2． 70o 3．大于 4．533 5． 80； 240 6． 0.6 7． 43 8． 0.5 9． 6 二 1． B 2． C 3． A 4． C 5． C 6． C 三、 1． 9 2．2 2,mA= =面积为3 32V=7.54000=30000 (立方米)； (2)甲队原计划每天完成 1000 立方...。

初中九年级数学 1.1从梯子的倾斜程度谈起(1)课件

3m
3m
2m
自学指导2
1.阅读P3－P4.理解锐角正切的含义 2.倾斜度与tanA有何关系？
B2
A
C2
B1 (1)Rt△AC1B1和 Rt△AC2B2有什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
C1
AC1 AC2
∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2 B1C1 B2C2 AC1 AC2
根据图中所给数据求出tanC吗？
1.5
┌
A
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m
D
C
后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下
的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果
B
精确到0.001m).
┌
A
C
3、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻
边同时扩大100倍，tanA的值（ C ）
A、扩大100倍 B、缩小100倍
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直角三角形的边角关系
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
甲
6m ┐
8m
α
13m 乙β
5m ┌
解:甲梯中,
tan 6 3 .
84
乙梯中,
tan 5 5 .
132 52 12
∵ tanα> tanβ,
∴甲梯更陡.
斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m, 山坡的坡度

从梯子的倾斜的程度谈起

案例二
一家庭在装修房屋时，由于梯子摆放不稳，倾斜角度过大，导致使用梯子的家庭成员在攀爬过程中失去平衡，摔倒受伤。
案例三
一名维修工人在维修高处电线时，因梯子倾斜度不足，无法保持稳定，工人在作业过程中梯子突然侧翻，造成工人受伤。
事故原因分析
梯子倾斜度过大
当梯子的倾斜度超过安全范围时，其稳定性会大大降低，容易导致滑倒或侧翻。
THANKS
感谢您的观看
倾斜程度与稳定性的关系
支撑点
梯子的稳定性取决于其与地面的支撑点。当梯子倾斜时，支撑点发生变化，稳定性受到影响。
平衡状态
倾斜程度增加会使梯子更容易失去平衡，因为重力作用在梯子上的分力会使其向倾斜方向滑动。
倾斜程度与受力的关系
重力分量
侧向力
随着梯子倾斜程度的增加，重力沿梯子方向的分量增大，使得梯子更容易向下滑动。
倾斜度过大
STEP 03
合适的倾斜度
有助于保持梯子的稳定性和工作人员的安全，提高工作效率。
可能使工作人员难以保持平衡，增加工作难度和危险性。
倾斜度过小
可能导致梯子不稳定，增加滑倒和跌落的风险。
如何选择合适的梯子倾斜程度
01
02
03
考虑工作需求
根据工作的高度、距离等因素，选择合适的梯子类型和倾斜程度。
Part
04
梯子的安全使用与倾斜程度的关系
安全使用梯子的基本原则
稳定性
确保梯子在使用时始终保持稳定，不晃动或滑动。
合适的倾斜角度
根据工作需求和安全标准，选择合适的倾斜角度。
安全防护
使用安全带、防滑垫等安全设备，确保工作人员在梯子上的安全。

从梯子的倾斜程度谈起(1)

发生了什么变化？铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜角
发生了什么变化？铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜角
发生了什么变化？铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
5
例题分析：
如图，甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。即坡度 =
铅直高度水平宽度
=
h l
（1）坡度是坡角A的正切值。（2）坡度越大，坡角越大，山坡越陡。
B h
A
l
C
学为我用
则 tanA= = 则tanA = 则tanA ， tanB = ， tanB = ， tanB = 。。。
H 6
5
5
本节课你都学到了那些知识和解决
问题的方法？还存在着那些困惑？
1、 Rt△ ABC 中，AB=5，BC=3，则tanA= tanB= .
,
2、△ABC是等腰三角形，AB = BC根据图中的数据，求tanC的值。 3、某人从山脚下的A点走了10米到达山顶的 B点，B点到山脚的垂直距离为5米，求山坡的坡度（精确到0.01米）。
课本P6 习题1、2T
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形AB2C2有什么关系?
B2
B1C 1 B 2C 2 (2) 和有什么关系? AC 1 AC 2
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
A C2 C1
想一想

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第一章直角三角形的边角关系
白银十中李再义
从梯子的倾斜程度谈起
第一课时
梯子是我们日常生活中常见的物体
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你是怎样判断的？你有哪些办法？
（1）如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
E
5m
5m
B
F
2m
C
3m
D
（2）如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
例题讲解：
例1、如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
甲
乙
解：甲梯中，
tanα= 6= 3
84
tanβ= 5 5
132 52 12
因为tanα> tanβ,所以甲梯更陡。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB
(2)BC=3，tanA=5 ，求AC 和AB。 12
小结
1.正切的定义 2.正切值与角、与边的关系 3.梯子的倾斜程度与tanA的关系
B
A C
作业
第6页习题1.1 题1、2
A
E
5m
B
F
2m C
6m
2m
D
（3）如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
E
A
4m

B
F
2m C
6m
3m
D
想一想:
如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1 ，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2 ，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度你同意小亮的看法吗？
(4)tanB= 10 （ √ ）
7
2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩
大100倍，tanA的值（）C A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
3、已知∠A、∠B为锐角
（1）若∠A=∠B，则tanA = tanB
（2）若tanA=tanB，则∠A = ∠B。
定义中应该注意的几个问题：
（1） Rt 和AB1C1
有什么关系？
Rt AB2C2
（2） BA1CC和11 什么关系？
有B 2 C 2
AC2
（3）若改变 B在2 梯子上的位置？你能得什么结论
想一想：
已知：如图，Rt△ABC 和 Rt△DEF中 ∠C=∠F=90°BC EF
AC DF 则 ∠A与 ∠D有什么关系？你能得出什么结论？
tanA= A的对边
A的邻边
议一议
梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
思考：
1、判断对错:
如图， 1) tanA= BC （ ×）
AC
如图 (1)
tanA=
AC（× ）
BC
(2)tanA= BC （×）
AB
(3)tanA=0.7m（× ）
在直角三角形中，若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值，那么这个角的值也随之确定。
想一想：
已知：如图，Rt△ABC 和Rt△DEF中∠ C=∠F=90°，
∠A=∠D，则 BC 与 EF 有什么关系？
AC
DF
由此你又能得出什么结论？
正切的定义：
在 Rt△ABC 中，锐角A的对边与邻
边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
1、tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）
2、tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习
惯省去“∠”；
3、tanA是一个比值（直角边之比，对注意比的
顺序）；且tanA﹥0，无单位；
邻
4、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
5、角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等。
随堂练习：
1、在右图中求tanA的值
2.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
生活运用
正切经常来描述山坡的坡度
如图，以tanA来描述此山坡的坡度
生活运用
如图，某人从山坡下的点A走了200m 后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度（结果保留）

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