初中数学代数复习之韦达定理
九年级数学韦达定理应用复习
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
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啪声挥开.她发出一声轻微痛呼,握住手腕.“华华！”忽然从旁边林子里窜出一人,快步来到康荣荣身边扶着她の手仔细端详,“你手没事吧？”“没事,这是旧伤.”康荣荣挣开,看他一眼,“辉哥,你怎么来了？不是出远差吗？”赖正辉眉头深锁,“现在交通发达,去哪儿都快.”眼神复杂地 看着
韦达定理公式是什么样的
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a.
x1*x2=c/a，
x1+x2=-b/a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理公式运用
一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0且△=b^2-4ac>0）中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，
若b²-4ac<0则方程没有实数根，
最好将每天学习数学的时间分出一部分来专门练习选择题和填空题熟能生巧经过长时间的锻炼就会提高你的思考能力和计算速度通过练习你会发现大多数选择题除了固定的解题方法外还可以利用排除法代入法以及数形结合的方法来快速判断出答案
韦达定理公式是什么样的
数学中解一元二次方程我们常说韦达定理，那么韦达定理公式是什么样的呢？快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“韦达定理公式是什么样
很多学生学习数学时不懂得变通，对于老师上课讲的解题方法不会进行深入研究，而是照搬照挪。虽然题是做了，但是下一次遇到还是不会，这些方法或许是延续了你在小学或者初中生学习数学的方法，但是高中数学更多的是考验同学们的独立思考能力。这就要求同学们要对老师讲的方法进行归纳总结，取其精髓，懂得变通，要学会举一反三，自己多尝试摸索出其他的解题方法。
不要小看选择题和填空题
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
九年级数学思维培训第四讲 韦达定理
第四讲 充满活力的韦达定理一、知识要点与思维方法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是：aac b b x 2422,1-±-= 由此不难得到()ab a b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+222442221， ()()ac a ac a ac b b x x ==---=22222214444. 这表明一元二次方程两根之和与两根之积可用一元二次方程系数表示:ac x x a b x x =-=+2121, 被称为一元二次方程的根与系数的关系,也称为韦达定理.韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.二、例题选讲例1、 已知βα,是方程012=--x x 的两个实数根,求代数式553223+--++βααβα的值.例2、 如果方程()()0212=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范围是( )A 、10≤≤mB 、43≥mC 、143≤<mD 、143≤≤m 例3、设21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值？并求出这个最小值.例4、设实数b a ,满足()()()81,402122=++=+++b b a a b b b a ，求2211ba +的值.三、课堂练习1、设21,x x 是方程020162=--x x 的两个实数根，则=-+20162017231x x2、设21,x x 是方程0342=-+x x 的两个实数根，且()23522221=+-+a x x x ，则=a 3、如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =-=+2121,，请根据以上结论，解决下列问题：⑴已知关于x 的方程()002≠=++n n mx x ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.(2)已知b a ,满足0515,051522=--=--b b a a ,求ba ab +的值. (3)已知c b a ,,满足16,0==++abc c b a ,求正数c 的最小值.。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理的介绍：中文名：韦达定理外文名：Vieta theorem提出者：弗朗索瓦·韦达提出时间：16世纪应用学科：数学代数适用范围：方程论初等数学解析几何三角韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理的公式：设一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系：韦达定理的证明方法：由一元二次方程求根公式知：则有：韦达定理的应用方法：韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。
一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB 边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b 可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2 mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．韦达定理的补充资料：韦达定理的发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
韦达定理方程
韦达定理方程
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
对于方程ax^2 + bx + c = 0（其中 a ≠ 0），韦达定理指出方程的两个实数根x1和x2满足以下关系：
x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a
此外，韦达定理还可以用于判断方程的根的情况。
当判别式b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当判别式b^2 - 4ac < 0时，方程没有实数根。
韦达定理的证明可以通过一元二次方程的求根公式来推导。
求根公式为：
x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
根据求根公式，我们可以得到两个根x1和x2的表达式，然后计算它们的和与积，最终得到韦达定理的结论。
韦达定理在数学中有广泛的应用，可以用于解方程、判断方程的根的情况、计算方程的系数等。
同时，韦达定理也是数学中其他定理和公式的基础，具有重要的数学意义。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 韦达定理的基本概念：韦达定理，也称为乘法定理，是指对于一个多项式函数，如果其两个根分别为a和b，那么可以通过这两个根来表示该多项式的一个因式。
具体而言，如果多项式的根为a和b，那么可以将多项式表示为(x-a)(x-b)的形式。
2. 韦达定理的应用：韦达定理在初三数学中常常用于解多项式方程和因式分解。
通过韦达定理，我们可以根据已知的根来确定多项式的因式，进而解出方程或进行因式分解。
在考试中，常常会给出一个多项式的根，然后要求解出该多项式的其他根或进行因式分解。
3. 韦达定理的相关题型：a) 解多项式方程，考题可能给出一个多项式的一个根，然后要求解出该多项式的其他根。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后通过求解方程得到其他根。
b) 因式分解，考题可能给出一个多项式的一个根，然后要求进行因式分解。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后将多项式进行因式分解。
c) 综合运用，考题可能给出一个多项式的两个根，然后要求解出该多项式的其他根或进行因式分解。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后通过求解方程或进行因式分解。
4. 解题步骤：a) 根据题目给出的已知条件，确定多项式的一个或多个根。
b) 使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式。
c) 根据题目要求，进行方程求解或因式分解，得到其他根或多项式的因式。
总结：韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常在初三的数学考试中出现。
通过韦达定理，我们可以根据已知的根来确定多项式的因式，进而解出方程或进行因式分解。
解题时需要注意题目给出的已知条件，正确运用韦达定理，并根据题目要求进行方程求解或因式分解。
希望以上解答能够帮助到你，如果还有其他问题，请继续提问。
韦达定理概念(一)
韦达定理概念(一)韦达定理（Vera’s Theorem）概念简介•韦达定理，又称为Vera定理，是一种在高等数学中常用的定理。
•该定理主要用于求解多项式方程的根，对于解析几何中的问题也有广泛应用。
•韦达定理的核心思想是通过已知根的信息，推导出多项式方程的其他根的一种方法。
定理表述•给定一个n次多项式方程a n⋅x n+a n−1⋅x n−1+⋯+a1⋅x+ a0=0，其中a n≠0，并且已知其中一个根为x1。
•那么可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−x1)，得到一个n-1次的新多项式方程a n⋅x n−1+a n−1⋅x n−2+⋯+a2⋅x+a1=0。
•韦达定理指出，该新多项式方程的根与原多项式方程的其他根是相同的。
推论•韦达定理的推论是，如果已知一个多项式方程的一个根，那么可以通过迭代运用韦达定理，逐步降低多项式的阶次，从而找到该多项式方程的所有根。
•在实际应用中，可以通过对多项式进行因式分解，得到一个一次项的乘积形式，进而求得方程的所有根。
应用举例•这里举一个简单的实例来说明韦达定理的应用：–给定一个三次多项式方程x3−7x2+14x−8=0，已知其中一个根为x1=2。
–我们可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−2)，得到一个二次的新多项式方程x2−5x+4=0。
–根据韦达定理，该新多项式方程的根为原多项式方程的其他根，即x2、x3。
–解二次方程x2−5x+4=0可得x2=1、x3=4。
–因此，原三次多项式方程的根为x1=2、x2=1、x3=4。
总结•韦达定理是一种重要的工具，在数学领域中广泛应用于求解多项式方程的根。
•通过已知根的信息，韦达定理可以帮助我们推导出其他根的值，从而解决实际问题。
•在实际应用中，熟练掌握韦达定理可以极大地简化解方程的过程，提高求解效率。
什么是韦达定理？
什么是韦达定理？
一·问题简述：
在中学阶段，韦达定理是关于一元二次方程中根与系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这个定理。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，因此，人们把这个关系称之为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数，讨论一元二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些与圆锥曲线相关的问题时，都有独到的作用。
二·韦达定理及其逆定理：
韦达定理的逆定理说明，可以通过两个实数的和与积的关系来构造一元二次方程。
三·韦达定理的推广：
韦达定理除了表示一元二次方程的根与系数的关系外，还可以推广到一元n次方程的根与系数的关系。
定理的证明要依靠代数基本定理，此处从略，感兴趣的可以自行查阅相关资料。
四·韦达定理的应用：
1·求参数的值：
2·求代数式的最值：
3·在圆锥曲线中的应用：
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的运算等知识点，涉及转化与划归的思想。
其中韦达定理的应用体现了设而不求、整体代换的数学思想。
以上，祝你好运。
初三数学九年级上《韦达定理》复习
初三数学九年级上《韦达定理》复习一、知识回顾1.一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1.x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---2.能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aac b b 242--- =aac b b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x 1+x 2=ab -， x 1x 2=a c 3.韦达定理韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 4.韦达定理前提（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 二、知识学习（1）计算对称式的值 例1. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．举一反三1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝例2．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ; 例3．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;例4．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;例5.设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2例6．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221x 1x 1（2）构造新方程例7.理论：以两个数为根的一元二次方程是。
初中数学的韦达定理
初中数学的韦达定理一、韦达定理的内容1. 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设它的两个根为x_{1}，x_{2}。
- 韦达定理指出：x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)，x_{1}x_{2}=(c)/(a)。
二、韦达定理的推导1. 由一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，设方程的两个根为x_{1}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}，x_{2}=frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 计算x_{1}+x_{2}：- x_{1}+x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}+frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 通分得到x_{1}+x_{2}=frac{-b+√(b^2)-4ac-b - √(b^2)-4ac}{2a}- 化简后x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)。
3. 计算x_{1}x_{2}：- x_{1}x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}×frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=-b，b=√(b^2)-4ac，则x_{1}x_{2}=frac{(-b)^2-(√(b^2)-4ac)^2}{4a^2}- 进一步化简x_{1}x_{2}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=(4ac)/(4a^2)=(c)/(a)。
三、韦达定理的应用1. 已知方程的一个根，求另一个根- 例如，已知方程x^2-3x - 4 = 0的一个根为x_{1}=4，设另一个根为x_{2}。
- 对于方程x^2-3x - 4 = 0，这里a = 1，b=-3，c=-4。
- 根据韦达定理x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)=3，因为x_{1}=4，所以x_{2}=3 - 4=-1。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理是初中数学中的重要内容之一，它被广泛应用于代数求解和几何问题中。
韦达定理又称为韦达三角法则，它的基本思想是通过构造一个带有重心的三角形，利用各边与重心的连线之间的比例关系来求解未知量。
本文将详细介绍韦达定理的定义、原理以及应用实例。
一、定义和原理韦达定理是指在一个三角形中，确定三个顶点所对应边的长度和重心之间的关系。
其中，重心是指三角形三条中线的交点，它将全部三条中线按照长度等分。
韦达定理表示如下：设在一个三角形ABC中，AD为三角形的一条中线，将其分为两条相等的线段，由D可以构造三条平行于三边的线段BE、CF和AG，那么有以下关系成立：AB + AC = 2ADBC + BA = 2BECA + CB = 2CF二、韦达定理的证明我们来证明一下韦达定理。
设三角形ABC的重心为G，连接GD，并且延长至与AB相交于E，与AC相交于F。
由于G是三条中线的交点，所以AG=2GD。
同样的，通过类似的角度对应关系可以得到BE=2AB、CF=2AC。
根据平行线原理，我们知道三角形AGB与三角形GCF是相似的，所以可以写出一个比例等式：AB/AG = GC/CF将AG和CF的值代入后，我们得到：AB/2GD = GC/2AC通过移项可以得到：AC/GD = GC/AB同理，可以得到：AB/GD = GB/AC将这两个等式相加，我们得到：AC/GD + AB/GD = GC/AB + GB/AC化简后得到：(AB + AC)/GD = (GC + GB)/AB再次移项可得：AB + AC = 2GD同样的方法可以得到BC + AB = 2BE和CA + CB = 2CF，证明韦达定理成立。
三、韦达定理的应用实例韦达定理在代数求解和几何问题中具有广泛的应用。
下面给出几个具体的应用实例。
1. 已知三边长求重心若已知一个三角形的三条边的长度为a、b、c，可以利用韦达定理求解重心的坐标。
设重心的坐标为(x, y)，我们可以得到以下关系：x = (ax1 + bx2 + cx3)/(a + b + c)y = (ay1 + by2 + cy3)/(a + b + c)其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是三个顶点的坐标。
韦达定理复习课件
选择题
A. -4 B. -2
C. 0
选择题
D. 2
答案4：D. 2
解答题
总结词
考察韦达定理的综合应用
题目5
已知一元二次方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根为 x1 和 x2， 且 x1 + x2 = 3，求 k 的值。
答案5
解得 k = 2 或 k = -4。
THANKS
02
韦达定理的内容
韦达定理的公式
韦达定理公式
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其解的公式为 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)。
解释
该公式用于求解一元二次方程的 根，其中 a、b、c 是方程的系数 ，b^2 - 4ac 是判别式。
。
解释
通过一系列代数变换， 将方程的解表示为根号 下的形式，从而得出解
的公式。
韦达定理的特例
01
02
03
04
特例1
当 b = 0，c = 0 时，方程变 为 ax^2 = 0，其解为 x = 0
。
特例2
当 a = 0 时，方程退化为线 性方程，不适用韦达定理。
特例3
当 b = 0，且 a 与 c 不相等 时，方程有两个相等的实根，
分式方程的实例
总结词
分式方程的解与系数的关系
详细描述
对于分式方程 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$，其解为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，则有 $x_1 cdot x_2 = pm frac{a}{sqrt{a^2 - b}}$ 和 $y_1 cdot y_2 = pm frac{b}{sqrt{a^2 - b}}$。
韦达定理知识点及应用解析
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = ac 。
对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cb x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。
（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。
6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。
（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
韦达定理坐标公式
韦达定理坐标公式韦达定理在数学中可是个相当重要的知识点，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多与方程相关的难题。
咱们先来说说韦达定理到底是啥。
韦达定理指出，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$ 是实数且$a ≠ 0$）中，两根 $x_1$、$x_2$ 有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$ 。
记得我之前教过一个学生小明，他在刚开始接触韦达定理的时候，那叫一个迷糊。
每次做题，不是把公式记错，就是不知道该怎么用。
有一次做作业，碰到一道题：已知方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根为$x_1$ 和 $x_2$，求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \times x_2$ 的值。
小明愣是盯着题目看了半天，然后乱写一通。
我一看，他把 $a$、$b$、$c$ 的值都找错了，导致结果完全不对。
我就把小明叫到身边，耐心地给他讲解：“小明啊，你看这个方程$x^2 - 5x + 6 = 0$ ，这里 $a = 1$，$b = -5$，$c = 6$ 。
所以根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$，$x_1 \times x_2 = \frac{6}{1} = 6$ 。
你可别再记错啦！”小明听了之后，似懂非懂地点点头。
为了让小明彻底搞明白，我又给他出了几道类似的题目让他练习。
一开始，他还是会出错，但慢慢地，他掌握了诀窍，做得越来越顺。
后来有一次考试，试卷上有一道比较难的题目：已知方程 $2x^2 +3x - 5 = 0$ 的一根为 $1$，求另一根。
这道题可把好多同学都难住了，但小明看到题后，心里有了底。
他先根据韦达定理算出两根之和为 $-\frac{3}{2}$，因为已知一根为 $1$，所以另一根就很容易算出来是 $-\frac{5}{2}$ 。
韦达定理——精选推荐
则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。
推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。
1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +； （3）2112x xx x +； （4）12x x -。
一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。
、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。
二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。
1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。
系数。
例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
的值。
2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。
，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。
例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）2212x x +； （2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。
的两个根，求这个方程。
例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。
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代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式∆一元二次方程20 (0)a xb xc a ++=≠，用配方法将其变形为：(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2(3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+=2(12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+=2(6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=- (1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=； (3)310124≤⇒≥-k k ；(4) 310124>⇒<-k k ．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．*【例5】一元二次方程042=+-a x x求a 的取值范围。
解一：由⎩⎨⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3<a解二：设)(x f a x x +-=42解得3<a*【例6】 已知一元二次方程5)9(222-+-+a x a x 根大于2，求a 的取值范围。
解：设65)9()(222+-+-+=a a x a x x f则只须⎩⎨⎧<<0)2(0)0(f f ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<38132a a ∴ 382<<a 【例7】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k的值．(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5．(2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【例8】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k kk +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．一元二次方程根与系数专练1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12 D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ． 6．设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．7．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由．8．一元二次方程02)13(722=--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<<<x x , 求m 取值范围。
9．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． 10．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 若该方程的两根是一个矩形相时，求k 的值．11．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．12．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若1212x x =，求k 的值．。