计算机算法与设计论文

中国传媒大学2011 学年第一学期计算机算法设计与分析课程

计算机算法设计与分析

题目回溯法解决n色方柱问题的算法设计与分析

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回溯法解决n色方柱问题的算法设计与分析

摘要：

对于计算机科学来说，算法（Algorithm）的概念是至关重要的。算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。为了充分理解算法分析的思想，利用算法思想解决实际问题，所以用回溯法解决书上P181习题5—7 n色方柱问题。

关键字：

计算机算法回溯法 n色方柱

回溯法背景：

回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

1、问题描述：

设有n立方体，每个立方体的每个面用红、黄、蓝、绿等n种颜色之一染色。要把这n个立方体叠成一个方形柱体，使得柱体的4个侧面的每一侧均有n种不同的颜色。试设计一个回溯算法，计算出n个立方体的一种满足要求的叠置方案。

例如：第一行有1个正整数n，0

上图中F表示前面，B表示背面，L表示左面，R表示右面，T表示顶面，D表示底面。相应的2表示前面，3表示背面，0表示左面，1表示右面，5表示顶面，4表示底面。

2、算法分析：

此问题中，立方体的每对相对的面得颜色是要考察的关键因素。将每个立方体表示为有n个顶点的图。图中每个顶点表示一种颜色。在立方体每对向对面的顶点建连一条边。例如，图（b）是图（a）所示的4个立方体所相应的子图。

将上述子图合并，并标明每一条边来自哪一个立方体如图2所示。

下一步在构成的图中，找出2个特殊子图。一个子图表示叠置的n哥立方体的前侧面与背侧面，另一子图表示叠置的n个立方体的左侧面与右侧面。这两个子图应满足下述性质。

①每个子图有n条边，且每个立方体恰好一条边。

②2个子图没有公共边。

③子图中每个顶点的度均为2。

对于图2中的图，找出满足要求的两个子图如图3所示。

给子图的每条边一个方向，使每个顶点有一条出边和一条入边。有向边得始点对应于

面和左面；有向边的终点对应于背面和右面。图3给出的满足要求的解如下。

0(L) 1（R）2(F) 3(B) Cube1 Y B G R

Cube2 G Y R B

Cube3 B R B Y

Cube4 R G Y G

上述算法的关键是找满足性质（1）、（2）和（3）的子图。用回溯法。

3、实验数据与结果：

实验输入文件:

input . txt

4

RGBBY

0 2 1 3 0 0

3 0 2 1 0 1

2 1 0 2 1 3

1 3 3 0

2 2

实验输出结果：

output . txt

RBGYRR

YRBGRG

BGRBGY

GYYRBB

参考文献：

王晓东.计算机算法设计与分析（第3版）电子工业出版社

附录：

二维数组board[n][6]存储n个立方体各面的颜色，solu[n][6]存储解

------------------------------------------------------------------------------------------------------- void search()

{

int i,t,cube,newg,over,ok;

int *vert=new int[n];

int *edge=new int[n*2];

for(i=0;i

t=-1;newg=1;

while(t>-2){

t++;

cube=t%n; //每个立方体找2次

if(newg)edge[t]=-1;

over=0;ok=0;

while(!ok && !over){

edge[t]++;

if(edge[t]>2)over=1; //每个立方体只有3条边

else ok=(t

if(!over){

if(++vert[board[cube][edge[t]*2]]>2+t/n*2)ok=0;

if(++vert[board[cube][edge[t]*2+1]]>2+t/n*2)ok=0;

if(t%n==n-1&&ok) //check that each vertex is order 2 for(i=0;i2+t/n*2)ok=0;

if(ok){if(t==n*2-1){ //找到解

ans++;

out(edge);

return;

}

else newg=1;

} //ok

else{ //取下一条边

--vert[board[cube][edge[t]*2]];

--vert[board[cube][edge[t]*2+1]];

t--;newg=0;

}

} //over

else{ //回溯

t--;

if(t>-1){

cube=t%n;

--vert[board[cube][edge[t]*2]];

--vert[board[cube][edge[t]*2+1]];

}

t--;newg=0;

}

}

}

--------------------------------------------