专题06 考前必做难题30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(原卷版)
最可能考的30题-2019年高考数学(江苏版)
2019高考最可能考的题30题一、填空题1．【集合的运算与简单不等式解法】已知集合},52|{},4,3,2,1{R x x x B A ∈<<==，则B A ⋂=__________．2．【复数的概念与四则运算】如果mi i+=-112（i R m ,∈表示虚数单位），那么=m ________.3．【茎叶图与平均数】2019年3月18日晚，某校高一年级举行“校园歌手卡拉OK 大奖赛”，邀请了七位评委为所有选手评分.某位选手演出结束后，评委们给他评分的茎叶图如图所示，按照比赛规则，需去掉一个最高分和一个最低分，则该选手最终所得分数的平均分为________.4．【传统文化与分层抽样】我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．5．【伪代码】执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______.6．【传统文化与程序框图】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：，）7．【函数的定义域、对数函数的性质】函数)1lg(43)(2++-=x xx x f 的定义域是______．8．【三角恒等变换】已知)43,4(,54)4sin(ππαπα∈=+，则=αtan __________．9．【几何概型】关于圆周率的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计的近似值.为此，李老师组织名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对，其中，，经统计数字、与可以构成钝角三角形三边的实数对为个，由此估计的近似值是_______（用分数表示）.10．【古典概型】将一颗质地均匀的骰子它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则的概率为______．11．【双曲线的几何性质】若是双曲线的右焦点，过作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率为_______________________。
2019年高考理科数学考前必做难题30题(解析版)
2019年高考理科数学 考前必做难题30题一、选择题1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.A. 3B. 2C. 1/2D.1/32．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π33.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．223 D ．29 5.已知函数f (x )=sin (2x +π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. π26．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．648．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ）9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞10.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222 11．已知直线l 是曲线xy e =与曲线22xy e=-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x ex =--- D. ()()222ln212x f x e x =---12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 1014.已知函数f (x )=e x +x 2+lnx 与函数g (x )=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ] C. (−∞,−1] D. (−∞,−12]15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则||||MN MF 的最大值为 （ ）AD二、填空题16．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 17.已知函数f(x)=sin(ωx +ϕ)（ω>0,|φ|<π2 ）图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y =f(x)的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象（ ）A. 关于点(π12,0)对称B. 关于点(−π12,0)对称 C. 关于直线x =π12对称 D. 关于直线x =−π12对称18．已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于__________． 19.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________．20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()xf x f x x '+>式()()()2444442x x f x f x ---<-的解集为 ．21．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式22213x x m m ---≥恒成立，若p ⌝为真命题，则m 的取值范围是 ．22．已知各项都为正数的数列{}n a ，对任意的*,m n N ∈， m n m n a a a +⋅=恒成立，且35472a a a ⋅+=，则212227log log log a a a +++=__________．23. 已知12A A ，为椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点， 12A A =E 的两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动点()P t （0t ≠），记直线12PA PA ，与E 的交点（不同于12A A ，）到x 轴的距离分别为12d d ，，求12d d 的最大值．24．（本小题满分12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)且倾斜角为60︒的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB △的面积．25．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点1,A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过A 点的直线:l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点， P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN =．26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．27．已知函数()()()2ln 1xf x x e a x x =-+-+.（1）讨论()f x 的导函数()'f x 零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.28．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx −ax +xa ，其中a >0.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：(1+122)(1+132) (1+142)⋯ (1+1n 2)<e34（n ∈N ∗，n ≥2）.29．已知函数f(x)=1nxx 2+x (I)求函数f(x)的导函数f′(x)；(Ⅱ)证明:f(x)<2e+√e (e 为自然对数的底数)30.（本小题满分12分）已知()ln f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =≠， 证明：（1）122x x +> ，（2）121x x < .2019年高考理科数学 考前必做难题30题答案及解析1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.A. 3B. 2C. 1/2D.1/3【答案】选B2．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π3【答案】B【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt BCF △中2BF CF ==，4BC =，在Rt BCS △中，4CS =，所以BS =，则该三棱锥的外接球的表面积是112π3，故选A ．3.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】2cos 4AB AC AB ACAB BAC AC ABAB AC=∠===故选D4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．223 D ．29 【答案】C5.已知函数f (x )=sin (2x +π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. π2【答案】B 【解析】将函数f (x )图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x) =sin[2(x −φ)+π3]=sin(2x −2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k ∈Z)，故φ=π6−kπ2(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π6．选B ．6．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B 【解析】11sin cos tan 22ABC S AB AC A AB AC A A =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠△11tan 122AB AC A =∠=⨯=，即11122x y x y ++=⇒+=，那么()141442252518y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，故选B ．7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C8．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A. 1 B. 12C. 1-D. 2 【答案】A【解析】曲线212y x e =的导数为：y ′=x e ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=s e． 曲线y=alnx 的导数为：y ′=a x ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=as．曲线212y x e =与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线，可得s a e s =，并且t=212s e，t=alns ，即221{,ln ,.122s ae s s s e s alns e=∴=∴==可得a=2 1.s e e e ==故选A ．9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞ B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞【答案】C10.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222 【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为by x a=，设点Q 坐标为,(0)bm m m a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则12,,,bm bm QF c m QF c m a a ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵120QF QF ⋅=，∴222222222,,0bm bm b m c m c m c m m c c a a a a ⎛⎫⎛⎫---⋅--=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴m a =．设()00,P x y ，由23QP PF =得，∴()00003,,bm x m y c x y a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，∴003344{ 3344c m c ax bm b y a ++====，∵点()00,P x y 在双曲线上，∴222233441c a b a b+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴226160c ac a +-=，∴26160e e +-=，解得2e =或8e =-， ∴双曲线C 的离心率为2．选B ． 11．已知直线l 是曲线xy e =与曲线22xy e=-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x e x =--- D. ()()222ln212x f x e x =---【答案】B【解析】：设直线l 与曲线xy e =切点为(),m n ， xy e =的导数为'xy e =， 22xy e=-的导数为2'2xy e =，曲线xy e =在(),m n 的切线的方程为()m my e ex m -=-，即()1m y e x m =-+，曲线22x y e =-在点(),a b 处的切线方程为()()2222a a y e e x a --=-，即()222122a a y e x e a =+--，可得()()222{ 1122m amae e e m e a =-+=--，则2ln2m a =+，即()222ln2120a e a +--=，即有()()222ln212xf x ex =+--，故选B ．12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=【答案】C【解析】如下图，由题意可得c =，设右焦点为F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠FAO ，∠OF ′A ＝∠OAF ′，所以∠AFF ′+∠OF ′A ＝∠FAO +∠OAF ′，由∠AFF ′+∠OF ′A +∠FAO +∠OAF ′＝180°知，∠FAO +∠OAF ′＝90°，即AF ⊥AF ′．在Rt △AFF ′中，由勾股定理，得'8AF ==，由双曲线的定义，得|AF ′|－|AF |＝2a ＝8－4＝4，从而a ＝2，得a 2＝4，于是b 2＝c 2－a 2＝16，所以双曲线的方程为221416x y -=．故选C ．13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ）A. 2B. 6C. 8.5D. 10 【答案】D14.已知函数f (x )=e x +x 2+lnx 与函数g (x )=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ] C. (−∞,−1] D. (−∞,−12]【答案】C【解析】由题意得方程f (x )=g (−x )在(0,+∞)上有解， 即ax =−x 2+lnx 在(0,+∞)上有解．设y =ax,ℎ(x)=−x 2+ln x ，则由题意得两函数的图象在在(0,+∞)上有公共点． 由ℎ(x)=−x 2+ln x ，得ℎ′(x)=−2x +1x=−2x2+1x，故函数ℎ(x)在(0,√22)上单调递增，在(√22,+∞)上单调递减，∴ℎ(x)max =ℎ(√22)=−12+ln √22． 设直线y =ax 与函数ℎ(x)=−x 2+ln x 的图象切于点M(x 0,−x 02+lnx 0) ，如图所示，由题意得{−x 02+lnx 0=ax 0−2x 0+1x 0=a ，解得{x 0=1a =−1，结合图象可得当两函数的图象有公共点时，则有a ≤−1，故实数a 的取值范围为(−∞,−1]．选C ．15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则||||MN MF 的最大值为 （ ）AD【答案】C【解析】设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，因为抛物线的对称轴为x 轴，内接AOB ∆为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称轴性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45.由方程组22y x y px =⎧⎨=⎩得02x y p =⎧⎨=⎩，所以,A B 两点的坐标分别为()2,2p p 和()2,2p p -，所以4AB p =,21424162AOB S p p p ∆=⨯⨯==,所以2p =,所以抛物线的方程为24y x =，所以()1,0F ,设(),M x y ，则MNMF====12x x≤=+1x x =，即1x =时等号成立，故选C. 16．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 【答案】1【解析】2yz x =+表示(),x y 到()2,0-的斜率， 由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。
专题06 抛体运动——历年高考物理真题精选之黄金30题(解析版)
历年高考物理真题精选之黄金30题专题06 抛体运动一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。
若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。
下列说法正确的是（）A．相邻位置运动员重心的速度变化相同B．运动员在A、D位置时重心的速度相同C．运动员从A到B和从C到D的时间相同D．运动员重心位置的最高点位于B 和C中间【答案】A【解析】A．因每次曝光的时间间隔相等，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为g∆t，选项A正确；B．运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，选项B错误；C．由图可知，运动员从A到B为4∆t，从C到D的时间5∆t，时间不相同，选项C错误；D．运动员重心位置的最高点位于C点，选项D错误。
故选A。
2．（2012·上海·高考真题）如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则（）A ．v 0< v <2v 0B ．v =2v 0C ．2v 0< v <3v 0D ．v >3v 0【答案】 A 【解析】小球从a 点正上方O 点抛出，做初速为v 0的平抛运动，恰落在b 点，改变初速度，落在c 点，知水平位移变为原来的2倍，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于运动时间变长，则初速度小于2v 0，故A 正确，BCD 错误．3．（2013·安徽·高考真题）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m 3/min ，水离开喷口时的速度大小为，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g 取10m/s 2） A ．28.8m ； 1.12×10-2m 3 B ．28.8m ；0.672m 3 C ．38.4m ；1.29×10-2m 3 D ．38.4m ；0.776m 3【答案】 A 【解析】水在空中做斜抛运动，将水的速度分解到水平方向和竖直方向，在竖直方向上的分初速度0sin6024m/sy v v ==因此水柱的高度228.8m2yv h g==水从喷出到最高点的时间2.4sy v t g ==这样空中的水量230.282.4 1.1210m 60Q -=⨯=⨯故选A 。
经典母题30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(原卷版)
2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一 经典母题一、填空题母题1【集合运算】【2017年江苏，理1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．母题2【复数概念与运算】【2017江苏，理2】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．母题3【函数的性质】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．母题4【函数与导数】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．母题5【三角形函数的图象和性质】【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．母题6【平面向量的数量积】【2016年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .母题7【几何体的体积】【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．母题8 【集合与数列、不等式】【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．母题9【双曲线的性质】2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．母题10 【平面向量、直线与圆】【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．母题11【程序框图与伪代码】【2016年高考江苏卷】右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .母题12 【平面向量与三角函数】【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=，则110k =∑(a k a k+1)的值为母题13 【古典概型】【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【几何概型】【2017江苏高考，7】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【茎叶图、平均数】【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．母题14【三角形与不等式】【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．母题15【导数的几何意义】【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .母题16【直线与圆的位置关系】【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为母题17【直线和椭圆、双曲线】【【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 母题18【线性规划】【2018年理北京卷】若 ,y 满足，则2y− 的最小值是_________.母题19【平面向量坐标运算】【2017江苏高考，12】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．母题20【数列通项公式与求和、数列基本量运算】【2017江苏高考，9】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ． 二、解答题母题21【立体几何点线面位置关系】【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）； （2）．母题22【解三角形与三角函数恒等变换】【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．母题23【等差数列与等比数列的综合应用】【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d 的等差数列，是首项为，公比为q 的等比数列． （1）设，若对均成立，求d 的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【新定义数列】【2017江苏高考，理19】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 母题24【等比数列通项公式和数列求和】【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分） 记{}1,2,100U =,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =,，定义12k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C CDD S S S +≥.母题25【立体几何与空间向量】【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．母题26【应用题之函数】【2016江苏】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？母题27【直线和椭圆位置关系】【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．母题28【导数的综合运用】【2018年江苏卷】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．母题29【应用问题、三角函数与导数】【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．母题30【圆锥曲线中的定值】【2012江苏，理19】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221 x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和(e，32)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.①若AF1－BF2＝62，求直线AF1的斜率；②求证：PF1＋PF2是定值．。
高考数学专题06考前必做难题30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)
2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )． A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D.9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7)3C ．48(,)33D.()7,2【答案】B【考点定位】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力.zxxk 学科网 3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<D.当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（） A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】试题分析：'2320122201232011()11()f x x x x x x x x x x =-+-++=+++-+++零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用,2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为()A.3724B.76C.1115D.715【答案】A【考点定位】数列及归纳推理. 7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（） A ．PQ B.Q P C.P Q = D.P Q =∅【答案】C 【解析】对（2）：作出函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像如图所示：对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得212x =+.由此得切点为2(1,12)2++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1xf x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（）A.4222142+142-+【答案】A 【解析】试题分析：令1sin (0)x t t θ--=>，则81sin y t tθ=+++42+1+sin θ≥，又sin 1θ≥-，所以42y ≥当且仅当22x =22k πθπ=-时取“=”.zxxk 学科网【考点定位】1、基本不等式；2、正弦函数的有界性.9．设实数,x y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x yuxy+=的取值范围是（）A．5[2,2]B．510[,]23C．10[2,]3D．1[,4]4【答案】C10．如图，正方体1111DCBAABCD-的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A．65πB．32πC．πD．67π【答案】A【解析】11．已知A、B 是椭圆22 22x yab+＝1(a＞b＞0)和双曲线2222x ya b-＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP＋BP＝λ(AM＋BM)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________.【答案】－5【考点定位】直线与圆锥曲线.12．已知等差数列{}n a的首项11a=，公差0d>，且2a、5a、14a分别是等比数列{}n b的2b、3b、4b. （1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）设数列{}n c对任意正整数n均有12112nnncc cab b b++++=成立，求122014c c c+++的值.【答案】（1）21na n=-，13nnb-=；（2）20143.【解析】试题分析：（1）将2a、5a、14a利用1a与d表示，结合条件2a、5a、14a成等比数列列式求出d的值，再根据等差数列的通项公式求出数列{}n a的通项公式，根据条件22b a=、35b a=求出等比数列{}n b的通项公式；（2）先令1n =求出1c 的值，然后再令2n ≥，由12112n n n c c c a b b b ++++=得到112121n n c c c b b b --++()12232n n n c b n -∴==⋅≥，13,123,2n n n c n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩， 则12201411220143232323c c c -+++=+⋅+⋅++⋅()()201312201320143133233332313-=+⋅+++=+⨯=-.【考点定位】1.等差数列与等比数列的通项公式；2.定义法求通项；3.错位相减法求和13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：nn S T （1,2,3,n ）的充分必要条件为1,a q N N .【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学科网所以14b ，22b ，31b ，且当3n 时，[]0n n b a .即,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.因为[]nn b a ，所以1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. 由21a q a =，得1q <.zxxk 学科网 因为201220142[2,3)a a q =∈，所以20122223qa >≥， 所以2012213q <<，即120122()13q <<. （Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N ，q N ，zxxk 学科网所以11nna a q N ，所以[]n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为12nn S a a a ，12n n T b b b ，所以必然存在一个整数()k k N ，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2ka Z ，这与n a N （n N ）矛盾.zxxk 学科网所以q *∈N . 因此1a N ，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.14．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）155【解析】(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =，所以||15cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==∴所求二面角的余弦值为15.zxxk 学科网 【考点定位】1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.(1)求证：C 1E ∥平面ADF ；(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF? 【答案】（1）见解析（2）当BM ＝1时【解析】(1)证明：连结CE 交AD 于O ，连结OF.因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，123CF COCC CE＝＝.【考点定位】空间线、面间的位置关系.16．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；(3)求证：AD⊥B′E.【答案】（1）18（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O 平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的所以EO ＝2232306AE AO AE AOcos ⋅︒＋－＝. 所以AO 2＋EO 2＝AE 2.所以AD ⊥EO.又B ′O ⊂平面B ′EO ，EO ⊂平面B ′EO ，B ′O ∩EO ＝O ， 所以AD ⊥平面B ′EO.zxxk 学科网 又B ′E ⊂平面B ′EO ，所以AD ⊥B ′E.【考点定位】1、几何体的体积；2、空间线、面间的位置关系.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 棱AC 的中点，E 是1CC 棱的中点，AE 交1A D 于点H.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BA A --的余弦值； （3）求点1B 到平面1A BD 的距离.【答案】(1)参考解析；(2)515；(3)255【解析】(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.试题解析：（1）证明：建立如图所示，)0,2,1( )0,1,2(1-=--=D A AE)3,0,0(-=BD ∵10AE A D ⋅=0AE BD ⋅=∴BD AE D A AE ⊥⊥,1即AE ⊥A 1D ，AE ⊥BD ∴AE ⊥面A 1BD（2）由⎩⎨⎧=++-=-⇒=⋅=⋅020)3(0 0111111y x z BD n D A n ∴取1(2,1,0)n =【考点定位】1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.18．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点2(1,2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=10分 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±; 综上所述,满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0)12分【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.椭圆的定义；3.两点间的距离公式；4.点到直线的距离公式. 19．如图,已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M 、N 两点，其准线l 与x 轴交于K 点.（1）求证：KF 平分∠MKN ；（2）O 为坐标原点，直线MO 、NO 分别交准线于点P 、Q ，求PQ MN +的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）8. 【解析】由0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y xy my x ,∴12124,4y y m y y +==-.4分 设KM 和KN 的斜率分别为21,k k ，显然只需证021=+k k 即可.∵)0,1(-K ， ∴0)4)(4()4)((414142121212122221121=++++=+++=+y y y y y y y y y y k k ，6分（2）设M 、N 的坐标分别为221212(,),(,)44y y y y ，由M ，O ，P 三点共线可求出P 点的坐标为)4,1(1y --，由N ，O ，Q 三点共线可求出Q 点坐标为)4,1(2y --，7分 设直线MN 的方程为1+=my x 。
专题02 新题精选30题-2019年高考数学(理)走出题海之黄金30题系列(解析版)
知, e 3 表示的复数的模为( )
A.
B. 1
C.
D.
【答案】B
9．（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在 R 上的偶函数 f x （函数 f(x)的导函数为 f x ）满足
f
x
1 2
f
x 1
0 ，e3f(2018)＝1， 若
f
x
f
x ，则关于
x
的不等式
f
x 2
1 ex
的解集为
B. 3 5
C. 4 5
D. 7 10
16．（传统文化与等比数列相结合的创新题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七 十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百 七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了 六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192 【解析】
2019 年高考数学走出题海之黄金 30 题系列
1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线 C ： y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，过抛
物线 C 上的点 A4, y0 作 AA1
l 于点
A ，若 A1AF
2 3
，则
p
（
）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
，
，
，
，
此时不满足循环条件，输出
；
则判断框中应填入的是
．
故选： ．
3．（新定义函数与平面向量、基本不等式相结合的创新题）定义域为
的函数
为 、 ，向量
，
专题06+考前必做难题30题-2018年高考数学走出题海之黄金30题系列(浙江版)+Word版含解析
2018年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六考前必做难题30题(浙江版)1．【2018届北京市海淀区二模】如图，已知直线与曲线相切于两点，则函数有( )A. 个零点B. 个极值点C. 个极大值点D. 个极大值点【答案】D【解析】分析：根据函数有三个极大值点，两个极小值点，判断，在极值点左右两边的符合，可得函数五个极值点，三个极大值，两个极小值，从而可得结果.详解：直线与曲线相切于两点，有两个根，且，由图象知，则即，则函数，没有零点，函数有三个极大值点，两个极小值点，则，设的三个极大值点分别为，由图可知，在的左侧的右侧，此时函数有三个极大值，在的左侧，的右侧，，此时函数有两个极小值点，故函数有五个极值点，三个极大值，两个极小值，故选D.2．【2018届福建省龙岩市4月检查】设函数.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A即在唯一的整数，使得，，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，只有一个整数，，，得，即实数的取值范围为，故选A.3．【2018届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..又，存在，使递增，递减，若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，故只需，故选B.4．【2018届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】直线与圆有公共点，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：由可得，换元、配方后利用二次函数求解即可.5．【2018届安徽省六安市毛坦厂中学四月月考】已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.6．【2018届北京市城六区一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，-1≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选B．7．【2018届江西省新余市二模】已知椭圆，，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，可得G为的重心，即有G点坐标为，由，可得IG∥x轴，即有I的纵坐标为，在中，，则．因为I 为的内心，故有I 的纵坐标即为内切圆半径，所以，故，即，整理得，故椭圆C 的离心率．选B ． 8．【2018届四川省蓉城名校高中4月份联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A. 4 D. 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0-，， 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则 221CM CC ⎛=-==088,x =-≤≤minCM∴=== ，选A.9．【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B. C. D.【答案】A故选10．【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题.详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A11．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先判断出点的位置，确定使得取得最大值和最小值时点的位置，然后再通过计算可求得线段长度的取值范围．详解：如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，，∵分别为所在棱的中点，则，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF．∵，∴四边形为平行四边形，∴，又平面AEF，AE⊂平面AEF，∴∥平面AEF，又，∴平面∥平面AEF．∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，∴点P必在线段MN上．在中，．同理，在中，可得，∴为等腰三角形．当点P 为MN 中点O 时，，此时最短；点P 位于M 、N 处时，最长．∵，．∴线段长度的取值范围是．故选B ．12．【2018届衡水金卷信息卷五】如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形， AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】D又底面ABCD 与侧面PAD 垂直，四边形ABCD 为正方形， 所以AB ⊥平面PAD.从而AB ⊥DM.因此DM ⊥平面PAB.又DM//GH.即DM ∥l.所以l ⊥平面PAB.故l ⊥PB ， 所以异面直线PB 与l 所成的角为2. 本题选择D 选项.13．【2018届山西省二模】数列满足若，则数列的前项的和是__________． 【答案】450【解析】分析：根据递推关系求出数列的前几项，不难发现项的变化具有周期性，从而得到数列的前项的和.详解：∵数列{a n }满足， ∵a 1=34，∴a 2==17，a 3=3a 2+1=3×17+1=52，a 4==26，a 5==13，a 6=3a 5+1=40，a 7==20，a 8==10，a 9==5，a 10=3a 9+1=16， a 11==8，a 12==4，a 13==2，a 14==1，同理可得：a 15=4，a 16=2，a 17=1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n }的前100项的和=（a 1+a 2+……+a 11）+a 12+a 13+29（a 14+a 15+a 16） =（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2） =450．故答案为：450．14．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】分析：由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果.详解：由，得，，令，，，令，在上递减，在上递增，，在上递增，，，可得，解得，即实数的取值范围是，故答案为.15．已知点A在椭圆221259x y+=上，点P满足()1AP OAλ=-（Rλ∈）（O是坐标原点），且•72OA OP=，则线段OP在x轴上的设影长度的最大值为__________．【答案】15【解析】∵()1AP OA λ=-， ∴OP OA λ=，故O ，A ，P 三点共线．∵·72OAOP=， ∴·72OAOPOA OP ==， 设点A 坐标为(x ，y)，则221259x y +=． 令OA 与x 轴正方向的夹角为θ，则线段OP 在x 轴上的投影长度为27272cos ||x xx OP OP OA OAOA OAθ=⋅=⋅=227272721516925x x y x x==≤=++，当且仅当16925x x =，即154x =时等号成立． ∴线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 答案：1516．【2018届四川省南充市三诊】在数列中，若(，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断： ①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列； ③若是等方差数列，则(，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为__________(写出所有正确命题的序号). 【答案】①②③【解析】分析：根据等方差数列的定义①{a n }是等方差数列，则a n 2-a n-12=p （p 为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）n ]2-[（-1）n-1]2是一个常数；③验证a kn+12-a kn 2是一个常数. 详解：①∵是等方差数列,∴(p 为常数)得到为首项是，公差为p 的等差数列；∴{}是等差数列；②数列中,，∴是等方差数列；故②正确；③数列{}中的项列举出来是,,,…,,…,，…数列中的项列举出来是,,…,，…，∵，∴.∴∴ (k∈N∗,k为常数)是等方差数列；故③正确；故答案为：①②③.17．【2018届北京市城六区高三一模】设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．【答案】②③18．【2018届四川（南充三诊）】已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)【答案】②③.【解析】由题意，①若，，则，则，所以不正确；②由，其中，向量的夹角取得最小值，两向量同向时，存在实数，满足，根据仿射的定义，可知是正确的；③已知，，则，所以，所以是正确的；④由，则三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，所以不正确，故选②③.19．【2018届江西省监测】四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是__________．【答案】【解析】四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，设，故，所以，，在中，，则有，,所以的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，所以．故答案为：20．【2018届广东省高三下学期模拟二】已知为函数的导函数，. （1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）（2）令，根据题意，当时，恒成立..①当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；③当时，因为，所有恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.21．【2018届四川省攀枝花市高三4月统考】已知椭圆的右焦点为,坐标原点为.椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为,过且垂直于线段的直线交射线于点.(I)求点的横坐标;(II)当最大时，求的面积.【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ).【解析】分析：(I) 设所在直线为先求出所在直线方程为，再求出直线FM方程为，联立两方程即可求出点M的坐标. (II)先利用向量的夹角公式求出，再利用基本不等式求出的最小值，即得最大值和k的值，再利用面积公式求的面积.详解：(Ⅰ) 易知，设所在直线为联立方程组，化简得由韦达定理得则，从而所在直线方程为又所在直线方程为，联立两直线方程解得(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）得，则则（当且仅当时取等号）当取得最小值时，最大，此时从而.从而.22．【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知函数.（Ⅰ）若函数在处的切线过原点，求的值及切线的方程；（Ⅱ）若，且存在使得，求整数的最大值.（参考数据：）.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)2.【解析】分析：(Ⅰ) 由题意可得，则，，结合直线的斜率得到关于a的方程，解方程可得，则切线方程为.(Ⅱ)当时，，，令，结合函数的单调性和零点存在定理可得在上存在，使得，即，结合导函数与原函数单调性的关系可得在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为，结合二次函数的性质可得，则整数的最大值为2.(Ⅱ)当时，，，令，则是单调递减函数，因为，，所以在上存在，使得，即，所以当时，，时，，即当时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值是.因为，所以，因为，所以，所以，所以若存在，使得，则，故整数的最大值为2.23．【2018年天津市十二校高三二模】已知函数，的最大值为. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，令，是否存在区间.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时，取得极大值，也是最大值，由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定义域为.①即,则，故在单调增②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调递增。
专题06 考前必做难题30题-2018年高考数学(文)走出题海之黄金30题系列(通用版)(原卷版)
2018年高考数学走出题海之黄金30题系列1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 2．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（ ）A.B.C. D.3．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N)，△AF 1B 的周长为，且直线AM 与AN 的斜率之积为－，则C 的方程为( )．A.B.C.D.4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 5．内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）A.B. C.D.6．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．647．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.8.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.B.C.D.9.已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.10．已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )学=科网A.B.C.D.11．已知函数()[]()()21(02)12x x x f x x ⎧--<⎪=⎨=⎪⎩，≤，，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n ∈N ，定义函数()n f x ：()()1f x f x =，()()()21f x f f x =，···，()()()()12nn f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有（ ）个 ①y 的定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； ②设{}012A =，，，()3{|}B x f x x x A ==∈，，则A B =； ③201620178813999f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|02}M x f x x x ==∈，，，则M中至少含有8个元素．A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个12. 已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.B. C. D.13．已知函数()2ln xf x x x=-，有下列四个命题，①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点， 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x，给出下列命题： ①当0>x 时，)1()(x e x f x-=；②函数)(x f 有2个零点；③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ；④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f .其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 15.已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则抛物线的焦点为（ ）A. B. C. D.16. 在中，点在边上，平分，是边上的中点，，，，则_______.17．已知实数满足条件，则的最小值是_______. 18．已知等差数列中，，、、成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第行，从左到右的第个数值为__________．19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C相交于点M （点M 位于第一象限），与它的准线相交于点N ，且点N 的纵坐标为4， :1:3FM MN =，则实数p =________．20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()xf x f x x '+>式()()()2444442x x f x f x ---<-的解集为 ．学-科网21．已知数列{}n a 与{}n b 满足()1122n n n n a b b a n *+++=+∈N ，若193nn a b ==，()n *∈N 且()33633n n a n λλ>+-+对一切n *∈N 恒成立 ，则实数λ的取值范围是_________．22. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A B 、两点.设直线AC BC 、的斜率分别为12k k 、，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线的离心率为___________. 23.已知函数，，其中，为常数．（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有2个零点，有6个零点，求的取值范围．24．（本小题满分12分）已知0p >，抛物线1C ： 22x py =与抛物线2C ： 22y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ， Q，且PQ =1C 的方程；（2）证明： BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.25．（本小题满分12分）设动点()(),0P x y y ≥到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求点P 的轨迹方程；（2）若圆心在曲线C 上的动圆M 过点()0,2A ，试证明圆M 与x 轴必相交，且截x 轴所得的弦长为定值.26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．学%科网（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 27．（本小题满分12分）已知函数()3228f x x ax =-+．（1）若()0f x <对[]1,2x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数a ，使得函数()()22341238g x f x ax a x a =+-+-在区间()0,2上存在极小值，若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．28．（本小题满分12分）设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c ∈R ，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x +≤恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数212()()l n(23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点，当2m ≥1212()()2x x y x x ϕ+'=-的最小值．29．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a ∈R ．（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．30.（本小题满分12分）已知()ln f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =≠， 证明：（1）122x x +> ，（2）121x x < .。
最可能考的30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)
2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三最可能考的题30题一、填空题1．【集合的运算与简单不等式解法】已知集合，则__________．【答案】【解析】∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2．【复数的概念与四则运算】如果（表示虚数单位），那么 ________.【答案】1【解析】由于，结合题意可得：，由复数相等的充分必要条件可得：.故答案为：．3．【茎叶图与平均数】年月日晚，某校高一年级举行“校园歌手卡拉大奖赛”，邀请了七位评委为所有选手评分.某位选手演出结束后，评委们给他评分的茎叶图如图所示，按照比赛规则，需去掉一个最高分和一个最低分，则该选手最终所得分数的平均分为________.【答案】85【解析】该选手所得分数的平均分为，填.4．【传统文化与分层抽样】我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．【解析】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以北乡比南乡多抽人.故答案为5．【伪代码】执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.【答案】8【解析】输入，若，则，不合题意若，则，满足题意本题正确结果：6．【传统文化与程序框图】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：，）【解析】模拟执行程序，可得，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为24．故答案为：24．7．【函数的定义域、对数函数的性质】函数的定义域是______．【答案】【解析】要使有意义，则，，的定义域是．故答案为：．8．【三角恒等变换】已知，，则__________．【答案】7【解析】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin（），∴cos（），∴tan（）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：9．【几何概型】关于圆周率的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计的近似值.为此，李老师组织名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对，其中，，经统计数字、与可以构成钝角三角形三边的实数对为个，由此估计的近似值是_______（用分数表示）.【答案】【解析】实数对落在区域的频率为，又设表示“实数对满足且能与构成钝角三角形”，则中对应的基本事件如图阴影部分所示：其面积为，故，所以，填.10．【古典概型】将一颗质地均匀的骰子它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则的概率为______．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共14个，的概率为．故答案为：．11．【双曲线的几何性质】若是双曲线的右焦点，过作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率为_______________________.【答案】【解析】如图所示：由题意可知：焦点的坐标为，双曲线的渐近线的方程为，它的斜率为，所以有，点到渐近线的距离=，而，，而，在中，，由于双曲线两条渐近线关于轴对称，所以有，在中，的面积为,所以有，，.12．【等差数列与三角函数的性质】已知，数列满足：对任意，，且，，则使得成立的最小正整数为 ________.【答案】298【解析】，由知：，又，.是以3为首项，1为公差的等差数列，，又，，从而，，令得，又，故的最小值为298.13．【几何体的体积与导数应用】已知正方体的棱长为分别为底面和的中心，记四棱锥和的公共部分的体积为，则体积的值为__________．【答案】【解析】画出图形：可知四棱锥和的公共部分为两个如图放置的正四棱锥,底面为正方形EFGH，在三角形中，F、G分别为的中点，所以FG=，所以体积为,故答案为.14．【函数与导数】已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____________________.【答案】【解析】函数在内有且仅有两个不同的零点，即函数与函数在内有且仅有两个不同的交点，表示过点，斜率为的直线，绘制函数的图像如图所示，考查临界情况：首先考查经过点且与相切的直线方程的斜率：由可得，故切点坐标为，切线的斜率，切线方程为：,切线过点，故，解得：，故切线的斜率，由可得，由可得，结合图形可得实数取值范围是.15．【集合新定义】已知集合，集合满足① 每个集合都恰有7个元素; ②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的最大值与最小值的和为_______.【答案】132【解析】由题意得，集合中各包含7个元素，且互不相等，当取得最小值时，集合中的最小值分别为1,2,3，最大值分别为21,15,9，例如,,，此时最小，且为51. 当集合中最小值为1,7,13，最大值为19,20,21时，最大.例如，，，此时最大，且为81.故最大值与最小值之和为132.二、解答题16．【空间平行与垂直】如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.17．【空间平行与垂直、几何体的体积】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1【解析】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1的中点，∴OE∥A1C，∵A1C⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE；（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴AA1⊥BD，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A 1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为．由底面正方形的边长为2，得．∴．18．【平面向量与三角恒等变换】设，已知向量，且. （1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，且.所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由（1）得，因为，所以，所以，所以.19．【三角恒等变换与三角函数的图象和性质】已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）求方程在区间内的所有实根之和.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），由单调递减可知，递增，故，，即.∴函数的单调递增区间是，.（Ⅱ）由，得.由在上递增，在上递减，且，得，方程在上有两不等实根，，且满足.∴.20．【解三角形与基本不等式】已知三角形中，角的对边分别是，且=.(Ⅰ)求角的大小及的值；(Ⅱ)若的面积为，求的最小值.【答案】（1），= ；（2）.【解析】（1）由正弦可知：，代入中，得而,=（2）因为的面积为，所以由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立），因此的最小值是.21．【三角函数应用问题】某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】解：过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，，，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.22．【直线与椭圆的位置关系】已知椭圆，点是长轴上的一个动点，过点的直线与交于两点，与轴交于点，弦的中点为.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，. （1）求椭圆的方程；（2）当均与原点不重合时，过点且垂直于的直线与轴交于点.求证：为定值.【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）因为当为的右焦点，且的倾斜角为时，重合，.所以，因此，，所以椭圆的方程为.（2）设直线，，，将代入得：，所以，，所以，所以直线的方程为，所以点的坐标为，又因为点，所以为定值.23．【直线与椭圆的位置关系】已知椭圆的离心率为，，分别是它的左、右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，又，所以，椭圆的方程为；（2）因为，所以直线斜率存在设直线,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直线定点24．【导数的应用】函数.（1）若，在上递增，求的最大值；（2）若，存在，使得对任意，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）当时，因为在上递增所以任意恒成立因为当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增所以当时最小所以，即所以最大值为-2（2）当时，依题意在有最大值点因为，且，①当，在递减，所以在，，上递增，不合题意②当，在上递增，且所以在上递减，在上递增，（i）当，，即在（上递减，所以，即在上递增，不合题意（ⅱ）当，在上递减，上递增且，，所以存在，使得且在上，递增；在上，递减；符合题意，所求（ⅲ）当时，在上递减，上递增且，，所以在上，递减，不合题意（ⅳ）当时，，所以在上递减，又因为（所以在上，递减，不合题意综上所述，当且仅当时，存在满足题意的25．【等比数列及数列的综合问题】已知数列的各项均不为零．设数列的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且．（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）若对任意的恒成立，求实数的所有值．【答案】（1），；（2）数列是以1为首项，为公比的等比数列；（3）0【解析】（1）因为，．令，得，因为，所以．令，得，即，因为，所以．（2）因为，①所以，②②①得，，因为，所以，③所以，④当时，③④得，，即，因为，所以．又由（1）知，，，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．（3）由（2）知，．因为对任意的，恒成立，所以的值介于和之间．因为对任意的恒成立，所以适合．若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立．记，因为，所以，即，所以（*），从而当时，有，所以不符．若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立．由（*）式知，当时，有，所以不符．综上，实数的所有值为0．26．【等比数列及其综合问题】已知数列满足对任意的，都有，且，其中，．记．（1）若，求的值；（2）设数列满足．① 求数列的通项公式；② 若数列满足，且当时，，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1011（2）①；②，满足题意【解析】（1）当时，由，得，又，所以，又，所以．（2）由，得，又，所以，又因为，所以，所以，，所以．②由题意，得，，因为，，成等比数列，所以，即，所以，即．由于，所以，即．当时，，得．当时，由(*)，得为奇数，所以，即，代入(*)得，即，此时无正整数解．综上，，．27．【等差数列、等比数列及其综合问题】设等比数列｛｝的公比为 q(q > 0，q =1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3 = a4，数列｛｝的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.(1) 求数列｛｝，｛｝的通项公式；(2) 是否存在常数 t，使得 {Sn+ } 为等比数列？说明理由；(3) 设 c n =，对于任意给定的正整数k(k ≥2), 是否存在正整数 l，m(k < l < m), 使得 c k，c1，c m成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，使得是公比为的等比数列；（3）存在符合题意.【解析】（1）等比数列{a n}的公比为q（q＞0，q＝1），∵2a1a3＝a4，∴，可得a1．∴a n q n﹣1．数列{b n}的前n项和Tn满足2T n＝n（b n﹣1），n∈N*，b2＝1．∴n≥2时，2b n＝2（T n﹣T n﹣1）＝n（b n﹣1）﹣（n﹣1）（b n﹣1﹣1），化为：（n﹣2）b n＝（n﹣1）b n﹣1+1，当n≥3时，两边同除以（n﹣2）（n﹣1），可得：，利用累加求和可得：b2+1，化为：b n＝2n﹣3（n≥3），当n＝1时，2b1＝b1﹣1，解得b1＝﹣1，经过验证n＝1，2时也满足．∴b n＝2n﹣3．（2）由（1）可知：a n，q＞0，q≠1．∴S n．①若t时，则S n，∴q．即数列{S n}是公比为q的等比数列．②若t时，则S n．设A，B．（其中A，B≠0）．则q不为常数．综上：存在t时，使得数列{S n}是公比为q的等比数列．（3）由（1）可知：b n＝2n﹣3．，假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c1，c m成等差数列．则，整理得：2m+1，取l＝2k，则2m+1＝（4k+1）（2k+1），解得m＝4k2+3k．即存在l＝2k，m＝4k2+3k．符合题意．28．【导数的应用】已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程是，求函数在上的值域；（2）当时，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，即.，，，所以在上的值域为.（2）（i）当时，，由，得，此时函数有三个零点，符合题意.（ii）当时，.由，得.当时，；当时，.若函数有三个零点，则需满足且，解得.（iii）当时，.由，得，.①当，即时，因为，此时函数至多有一个零点，不符合题意；②当，即时，因为，此时函数至多有两个零点，不符合题意；③当，即时，若，函数至多有两个零点，不符题意；若，得，因为，所以，此时函数有三个零点，符合题意；若，得，由，记，则，所以，此时函数有四个零点，不符合题意.综上所述：满足条件的实数.29．【空间的角与空间点线面关系】已知多面体中，，，，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线和所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ). 【解析】(Ⅰ)取CE中点F，连接BF，OF，∵O为CD的中点，∴OF∥DE，且OF=DE，∵AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，∴OF∥AB，OF=AB，则四边形ABFO为平行四边形，∴AO//BF，BF⊆平面BCE，AO⊊平面BCE，∴AO//平面BCE；(Ⅱ)取DE中点M，连接AF，∵AB∥DE，AB=1，DE=2，∴AB∥ME，AB=ME，∴ABEM为平行四边形.∴AM//BE.∴∠CAM或其补角为AC与BE所成的角.∵DE⊥平面ACD，AD，CD⊆平面ACD，∴DE⊥CD，DE⊥AD，在中，CD=2，DM=1，，在中，AD=2，DM=1，，.所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为. (Ⅲ)由题意可得BF//AO，∵AO⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE，∴BF⊥DF. ∵CD=DE，∴DF⊥CE，∵BF∩CE=F，∴DF⊥平面CBE；∴∠DBF就是直线BD与平面BEC所成角.在△BDF中，，.30．【空间的角与空间向量】如图所示，在多面体中，四边形为平行四边形，平面平面，，，，，,，点是棱上的动点.（Ⅰ）当时，求证平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角所成角的余弦值为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由已知得且，则四边形为平行四边形四边形为平行四边形又平面，平面平面（Ⅱ）过点作交于点，过点作交于点平面平面，平面平面，平面平面以为原点建立如图的空间直角坐标系则，，，，，设平面的法向量为，，，即令，又直线与平面所成角的正弦值为（Ⅲ），设平面的法向量为，，，即，令，又可取平面的法向量解得。
名校模拟精华30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)
2018年高考数学走出题海之黄金30题系列专题四名校模拟精华一、填空题1．【复数的运算、复数的几何意义】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在复平面内，复数对应的点位于第_______象限．【答案】四【解析】因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.2．【集合的运算】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】已知集合，，则集合中元素的个数为____.【答案】4【解析】因为集合A＝{l，2，3}，B＝{2，3，4}所以A B＝{l，2，3，4}，有4个元素故答案为：4.3．【三角恒等变换与三角函数的性质】【山东省枣庄市2019届高三二调】设当x=θ时，函数f（x）=2sinx+cosx 取得最小值，则cos（）=______．【答案】【解析】函对于数f（x）=2sinx+cosx=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=，α为锐角．当x=θ时，函数取得最小值，∴sin（θ+α）=-，即sin（θ+α）=-1，∴cos（θ+α）=0．故可令θ+α=-，即θ=--α，故故答案为：．4．【数学文化与几何概型】【山东省青岛市2019届高三3月一模】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是__________．【答案】【解析】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝，故选：B．5．【双曲线标准方程及其几何性质】【江苏省海安高级中学2019届高三四月模拟】在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】解：因为双曲线的离心率为，所以，故，又因为，所以，即，即，所以双曲线的渐近线.6．【函数的应用与不等式】【江西省南昌市2019届高三二模】已知平行四边形中，，，则此平行四边形面积的最大值为_____．【答案】12【解析】如图所示，设AB=x,则，OB=3,所以，所以，由题得.由题得平行四边形的面积S=设,所以当t=时，故答案为：127．【平面向量基本定理】【江苏省2019届高三第二学期联合调研】已知点P是△ABC内一点，满足，且，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则＝_______．【答案】【解析】因为BD＝2DC所以所以，又因为所以所以故答案为：.8．【直线与圆】【江苏省海安高级中学2019届高三四月模拟】在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】设则，因为，所以有，同时平方，化简得，故点的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，又点在直线上，故圆与直线必须有公共点，所以，解得.9．【平面向量、直线与圆】【江苏省南通市2019届高三4月测试】已知点，若圆上存在点M满足,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】设，则，即点轨迹为：又为圆上的点存在点，只需两圆有交点即可本题正确结果：10．【平面向量的应用】【江苏省海安高级中学2019届高三四月模拟】已知等边的边长为2，若，，则的面积为_______．【答案】【解析】解：以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则因为,所以，故，，设的夹角为，，所以，，点到直线的长度为，的面积为.11．【分段函数、对数函数的性质】【江西省南昌市2019届高三二模】已知函数对于任意实数都有，且当时，，若实数满足，则的取值范围是________．【答案】【解析】由题得，当x≥0时，，因为x≥0，所以，所以函数在[0,+∞ 上单调递增，因为，所以函数是偶函数，所以函数在上单调递减，因为，所以||＜1，所以-1＜＜1，所以.故答案为：12．【几何体的体积与二次函数性质】【河北省石家庄市2019届高三高考模拟】在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一般的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．【解析】如图所示，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.作于点，当最大时，四边形有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系，设，设，由于，由可得：，则：，故,故：，由可得：.故：，结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.13．【北省石家庄市2019届高三高考模拟】已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时__________．【解析】由，，两式作差可得：，即，由，，两式作差可得：，则，，故，进一步可得：，又，则，且，则取最小值时.14．【新定义函数、导数的应用】【四川省成都市成都外国语学校2019届高三3月月考】如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】，在区间存在，满足方程在区间有两个不相等的解令，则，解得：实数的取值范围是本题正确结果：15．【平面向量的数量积与二次函数的性质】【江苏省扬州中学2019届高三3月月考】在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上的一点，且DN＝3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使，则实数m的取值范围是_______．【答案】【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．（1）当点P在AB上时，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．（2）当点P在AD上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或时有一解，当时有两解．（3）若P在DC上，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．（4）当点P在BC上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或时有一解，当时有两解．综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么m的取值范围是．故答案为：．二、解答题16．【解三角形】【河北省沧州市2019届高考模拟】如图，的内角的对边分别为为线段上一点，的面积为.求：（1）的长；（2）的值.【答案】(1) (2)【解析】解：（1）由，可知从而由（2）17．【空间点线面位置关系】【江苏省扬州中学2019届高三3月月考】如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：BD⊥平面PBC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）如图，取的中点，连，，∵为的中点，为的中点，∴，．又，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．∵，，∴，，∴四边形为平行四边形．又，∴四边形为菱形，∴．同理，四边形为菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．18．【平面向量、三角恒等变换与三角函数图象和性质】【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测（三)】已知，，函数.（1）求的最小正周期及对称轴方程；（2）当时，求单调递增区间.【答案】(1) ；（）. (2) ，和【解析】（1）所以的周期,令（），即（）所以的对称轴方程为（）.（2）令（）解得（），由于所以当或1时，得函数的单调递增区间为，和.19．【三角函数应用问题】【江苏省扬州中学2019届高三3月月考】如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路l l，l2，且l l和l2交于点O．为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O'，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O'相切，圆心O'到l l，l2的距离均为5百米，设∠OAB＝，AB长为L百米．（1）求L关于的函数解析式；（2）当为何值时，公路AB的长度最短？【答案】（1），.（2）当时，公路的长度最短【解析】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则．在直角中，，，所以直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，因为点在直线的上方，所以，解得．因此L关于的函数解析式为，．（2）令，则，且，所以，因为，所以在上单调递减，所以当，即时，取得最小值，且．故当时，公路的长度最短．20．【直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系】【江苏省南通市2019届高三4月阶段测试】已知依次满足（1）求点的轨迹；（2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．【答案】（1）以原点为圆心，为半径的圆；（2）；（3）存在点，其坐标为或,使得直线与以为圆心的圆相切【解析】（1）设，则则：代入得：点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆（2）由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为……①椭圆的方程……②由与圆相切得：将①代入②得：又，可得设，椭圆方程为：（3）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切则到直线的距离相等，又则，则化简整理得：点在椭圆上解得：或（舍）时，椭圆上存在点，其坐标为或使得直线与以为圆心的圆相切21．【等比数列及数列的单调性】【天津市和平区2019届高三下学期第二次质量调查】已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.(Ⅰ) 求数列、的通项公式；(Ⅱ) 设,记数列的前项和.①求；②求正整数，使得对任意，均有.【答案】（1），（2）①②.【解析】（1）设数列是正项等比数列的公比为，因为，所以有，所以（2）①因为，所以，，，②令，由于比变化的快，所以，得，即,递增而递减，是最大，即当时，对任意，均有.22．【直线与椭圆的位置关系】【江西省南昌市2019届高三二模】已知椭圆：，点在的长轴上运动，过点且斜率大于0的直线与交于两点，与轴交于点.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，.（1）求椭圆的方程；（2）当均不重合时，记，，若，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）因为当为的右焦点且的倾斜角为时，，重合，，所以故，因为，因此，，所以椭圆的方程为.（2）设，所以，，所以. 因为斜率大于0，所以，设，，则，，由得，，①同理可得，②①②两式相乘得，，又，所以，所以，即，即由题意，知，所以.联立方程组，得，依题意，所以，又，所以，因为，故得，所以，即直线的斜率为.23．【空间点线面位置关系、空间的角】【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】如图，DC⊥平面ABC，，，，P、Q分别为AE，AB的中点.(1)证明：平面.(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】(1)见证明；(2) (3)【解析】解：（1）证明：因为分别是的中点，所以，，又，所以，，平面，平面，所以，平面.（2）因为平面以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.则得，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值.（3）由（Ⅱ）可知，，设平面的法向量为，.由已知可得平面的法向量为以，所以.故所求平面与平面所成锐二面角的大小为.24．【导数的几何意义、导数的应用】【河北省示范性高中2019届高三4月联考】已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程是，求函数在上的值域；（2）当时，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，即.，，，所以在上的值域为.（2）（i）当时，，由，得，此时函数有三个零点，符合题意.（ii）当时，.由，得.当时，；当时，.若函数有三个零点，则需满足且，解得.（iii）当时，.由，得，.①当，即时，因为，此时函数至多有一个零点，不符合题意；②当，即时，因为，此时函数至多有两个零点，不符合题意；③当，即时，若，函数至多有两个零点，不符题意；若，得，因为，所以，此时函数有三个零点，符合题意；若，得，由，记，则，所以，此时函数有四个零点，不符合题意.综上所述：满足条件的实数.25．【导数的几何意义、导数的应用】【江苏省南通市2019届高三4月阶段测试】已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；（i）求的值；（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）是奇函数，且且，即而当时有极小值经检验满足题意，则设是曲线上的一点由知：，过点的切线方程为：消去即得：由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；又由奇函数性质可知：点是极大值点从而是一条切线且过点再设另两条切线的切点为、，其中则可令切线，将代入的方程中化简可得：且从而有：且是方程的两根构造函数：由得：或而，，结合图象：可得：实数的取值范围是：（2）令，；由及可得：而，化简可得：，即将切线的方程代入中并化简得：，即；同理：则，，26．【等差数列及数列的综合问题】【江苏省2019届高三第二学期联合调研】已知数列的前项和为.数列满足，.（1）若，且，求正整数的值；（2）若数列，均是等差数列，求的取值范围；（3）若数列是等比数列，公比为，且，是否存在正整数，使，，成等差数列，若存在，求出一个的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）存在，k=1.【解析】解：（1）因为，且所以解得（2）记数列，首项为，公差为；数列，首项为，公差为则，化简得：所以所以的取值范围（3）当时，，，为，，成等差数列.下面论证当时，，，不成等差数列因为，所以所以，所以所以若，，成等差数列，则所以，所以，解得当时，，，为，，因为所以所以当时，，，不成等差数列综上所述：存在且仅存在正整数时，，，成等差数列27．【直线与椭圆的位置关系】【河北省示范性高中2019届高三4月联考】已知椭圆：的离心率为，椭圆：经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于，两个相异点，证明：面积为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.①将点代入，整理得.②联立①②，得，，故椭圆的标准方程为.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以.②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，，则，，所以.设，，，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以，综上，的面积为定值.28．【导数的应用】【天津市和平区2019届高三下学期第二次质量调查】已知函数为常数）.曲线在点处的切线与轴平行.(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；(Ⅲ) 设,其中为的导函数.证明：对任意，.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ) 解:由可得.而，即，解得.(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，设，则.即在上是减函数.由知，当时，，从而；当时，，从而.综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为.(Ⅲ) 证明:因为，所以，.对任意，等价于.设，，则，.当时，，故有单调递增.当时，，故有单调递减.所以，的最大值为.则.设因为，所以当时，，单调递增.则.即，从而有.则.因此，对任意，.29．【直线与椭圆的位置关系】【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】已知，是离心率为的椭圆两焦点，若存在直线，使得，关于的对称点的连线恰好是圆的一条直径.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.【答案】（1）；(2)定点【解析】（1）将圆的方程配方得所以其圆心为半径为1.由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以又，所以，椭圆的方程为；（2）因为，所以直线斜率存在，设直线,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得,所以直线定点30．【导数的应用】【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】函数.（1）若，在上递增，求的最大值；（2）若，存在，使得对任意，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）当时，因为在上递增所以任意恒成立因为当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增所以当时最小所以，即所以最大值为-2（2）当时，依题意在有最大值点因为，且，①当，在递减，所以在，，上递增，不合题意②当，在上递增，且所以在上递减，在上递增，（i）当，，即在（上递减，所以，即在上递增，不合题意（ⅱ）当，在上递减，上递增且，，所以存在，使得且在上，递增；在上，递减；符合题意，所求（ⅲ）当时，在上递减，上递增且，，所以在上，递减，不合题意（ⅳ）当时，，所以在上递减，又因为（所以在上，递减，不合题意综上所述，当且仅当时，存在满足题意的1。
专题06 考前必做难题30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)
2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六 考前必做难题30题一、填空题 1．若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】由于二次函数至多两个零点，单调函数至多一个零点，所以有一个零点，有两个零点，因此且，解得.2．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是 . 【答案】18⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得，()12f x ax x '=+，若()f x 在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，在()0f x '≥在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，有解，故212a x ⎛⎫-⎪⎝⎭≥的最小值，又()212g x x =-在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调递增函数，所以()1128g x g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是18a -≥． 3.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 . 【答案】6【解析】由于MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，则2c MN =，设),4(y cN ，又)0,(1c F -，且1||||F Q QN =，则)2,83(y c Q -,点N 、Q 在双曲线上满足方程，有14649,11622222222=-=-b y a c b y a c ，消去y 得：62=e ，则6=e . 4．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是 ．【答案】1(,)3+∞【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==，()m n >，由于12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，即有10,2m n c ==，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，即由125,5,(5)a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >，既有552c <<，由离心率公式可得2122122125251c c c e e a a c c =⋅==--，由于22514c <<，则由2112531c >-，则12e e 的取值范围是1(,)3+∞． 5．如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】过球心 ，又是边长为的等边三角形，，,三角形是等腰直角三角形，， ，。
专题06 考前必做难题30题高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)
2016年高考数学走出题海之黄金30题系列专题06 考前必做难题30题1．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ．2．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ． 3．用min{m ，n}表示m ，n 中的最小值．已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋14，g(x)＝－lnx ，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x ＞0)，若h(x)有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． 4．在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则⋅O P B P 的最小值是 ．5．若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ． 6．已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 .7．若正实数,x y 满足()()()221522xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 8．已知数列{a n }中，a 1=a （0＜a≤2），a n+1=（n ∈N *），记S n =a 1+a 2+…+a n ，若S n =2015，则n= ．9．已知f （x ）是定义在[1，+∞]上的函数，且f （x ）=，则函数y=2xf （x ）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为 ．10．已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()O x a y b b -+-=+1，圆2222:()()O x c y d d -+-=+1 ，若8,a c acb d ==，则点P 与直线l ：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 . 13．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ． 14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线与x 轴交于点A ，点B 的坐标为(0,)a ，若椭圆上的点M 满足3AB AM =，则椭圆C 的离心率值为________．16．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．17．已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.18．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2114n n S a =+，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n b b S +≥，*N n ∈，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=．（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2n ≥时，*N n b ∈，求数列{}n b 的通项公式．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．20．已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 是首项为11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=nn n T（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2016)1(212=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）是否存在非零整数λ，使不等式12112sin )111()111)(111(+<+-+-+-n n n a a a a a πλ对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 21．已知函数f （x ）=（ax 2+x+2）e x（a ＞0），其中e 是自然对数的底数． （1）当a=2时，求f （x ）的极值；（2）若f （x ）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当a=1时，求整数t 的所有值，使方程f （x ）=x+4在[t ，t+1]上有解． 22．已知函数（ω＞0），直线x=x 1，x=x 2是y=f（x ）图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为．（Ⅰ）求f （x ）的表达式； （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，若关于x 的方程g （x ）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．23．在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2（*k N ∈），求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设 ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ② 若1d =2，试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．25．若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知nn a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，5b 是公差为d（0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值26．已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值． （2）关于x 的不等式x e x f 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数．27．已知函数()x axf x e =在0x =处的切线方程为y x =．（1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由．28．已知函数2()21(0)g x mx mx n n =-++≥在[]1,2上有最大值1和最小值0，设()()g x f x x=（e 为自然对数的底数）． （1）求m n 、的值；（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围； （3）若方程2(1)301x x kf e k e -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 29．已知函数()=e x f x （其中e 是自然对数的底数），2()1g x x ax =++，a ∈R ． （1）记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；（2）若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．30．如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：和椭圆2T ：成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点,,a b c 的公比为（1）求猫眼曲线Γ的方程； （2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：为与k 无关的定值；（3）的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN 面积的最大值.。
高考数学专题06考前必做难题30题(文)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析版).docx
2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )．A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.9,4⎛⎫--∞⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T=为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m>。
若方程3()f x x=恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B．15(,7)3C．48(,)33D. ()7,2【答案】B3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【解析】：令)()(x g x f =可得b ax x+=21zxxk 学 科 网 设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <，结合图形可知，5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ）A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用, 2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724 B.76 C.1115 D.715【答案】A7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅I 【答案】C 【解析】对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得21x =+.由此得切点为2(1,12)++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1xf x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（ ）A.42 B.22C.142+D.142-+ 【答案】A 【解析】9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是 （ ）A ．5[2,2] B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4【答案】C【考点定位】线性规划.10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小 【答案】Ｂ 【解析】考点：直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到面的距离11．已知点A 在抛物线24y x =上，且点A 到直线10x y --=2A 的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】考点：点到直线的距离，直线与圆锥曲线的公共点问题.12．已知函数2()(2),[2,)xf x x x e x =-∈-+∞,()f x '是函数()f x 的导函数，且()f x '有两个零点1x 和2x (12x x <),则()f x 的最小值为()A ．1()f xB ．2()f xC ．(2)f -D ．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：22'()(22)(2)[(22)2]x x xf x x a e x ax e x a x a e =-+-=+--，由题意12'()'()0f x f x ==，当1x x <或2x x >时，'()0f x >，当12x x x <<时，'()0f x <，因此()f x 的最小值是2()f x ，选B ．考点：函数的极值与最值．13. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30o ,则C 的离心率为( )（A ）2 （B ）22 （C ）3 （D ）43【答案】C 【解析】14．已知1a >，且函数xy a =与函数log a y x =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为 .【答案】(,)e e【考点】导数与切线．15.如图，在ABC ∆中，1,2,120===∠AC AB BAC ο，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则BC AD ⋅=_________．【答案】38- 【解析】试题分析：()31323131+=-+=+=+=, -=()38323131313222-=-+⋅=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅∴.考点：向量的数量积16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a qN N **挝.【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学 科 网即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤.（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =. zxxk 学 科 网 所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， 所以公比21a q a =为正有理数. 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1.因此1a N *Î，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PA 的中点．⑴求证：PC P 平面BDE ； ⑵求证：平面PAC ⊥平面BDE ； ⑶若PA a =，求三棱锥C BDE -的体积．【答案】⑴见解析； ⑵见解析；⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=． 【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的证明以及面面垂直的郑敏而后三棱锥体积的运算的因为ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又因为E 为PA 的中点，所以ME 为PAC ∆的中位线， 所以ME PC P ， ……………3分又因为ME ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，zxxk 学 科 网 所以PC P 平面BDE ．……5分 ⑵因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………………………………………8分 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ．…………………………10分 ⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=．…………………………14分 【考点定位】空间直线与平面的位置关系；2、几何体的体积. zxxk 学 科 网18．如图①，已知∆ABC 是边长为l 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将∆ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF ，其中BC=2．(1)证明：DE//平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG 的体积F DEG V - 【答案】(1)详见解析，(2)详见解析，(3)3. zxxk 学 科 网 【解析】在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ (2)DE ⊄Q 平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF (4)（2）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥,12BF CF ==……..5 Q 在三棱锥A BCF -中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥ .......7 BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥Q 平面 zxxk 学 科 网 .. (9)（Ⅲ）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面．11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭………….13 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理,几何体的体积.19．菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且ο60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC 的中点，32DM =（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求三棱锥ABDM-的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）93 16.【解析】zxxk 学科网试题解析：(1）由题意，32 OM OD==,因为322DM=,所以90DOM∠=o，OD OM⊥． 3分【考点定位】面面垂直，几何体的体积.20．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点, 点2(1,)2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =, 1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =, 1分222212222||||(11)(0)(11)(0)2222a PF PF =+=-+-++-=分 ∴2,1ab ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =u u u r u u u u r ．【答案】(1) 2212y x -=；(2)29；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在12Rt MF F ∆中，︒=∠3021F MF ，212221F F c b ==+21F M b =，通过直角三角形的关系就可求得b ；(2)由(1)知双曲线的渐近线为2y x =，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P 作该双曲线两条渐近线的垂线12,PP PP ，12PPP ∠为锐角，这样这题我们只要认真计算，设P 点坐标为00(,)x y ，由点到直线距离公式求出距离12,PP PP ，利用两条直线夹角公式求出12cos PPP ∠，从而得到向量的数量积21PP PP ⋅；(3)首先 2AB OM =u u u r u u u u r等价于OA OB ⊥，因此设1122(,),(,)A x y B x y ，我们只要则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222|||33x y x y PP PP -+==分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -= 又1cos 3θ=，所以220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅= 10分（3）由题意，即证：OA OB ⊥ zxxk 学 科 网设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y += 11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．【答案】（1）24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．（2）见解析【解析】(1)解 设P 点坐标(x ，y )，则k AP ＝2y x + (x ≠－2)，k BP ＝2y x - (x ≠2)，由已知2y x +·2y x -＝－14，化简，得24x ＋y 2＝1，所求曲线C 的方程为24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．＝2414kk＋，所以Q 222284(,)1414k k k k -＋＋. 当x ＝4，得y M ＝6k ，即M (4,6k )．zxxk 学 科 网 又直线BQ 的斜率为－14k ，方程为y ＝－14k (x －2)，当x ＝4时，得y N ＝－12k ，即N 1(4,)2k-.直线BM 的斜率为3k ，方程为y ＝3k (x －2)．因为k AD ＝－112k ，k AN ＝－112k，所以k AD ＝k AN . zxxk 学 科 网 所以A ，D ，N 三点共线．【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线1222=-x y 的离心率互为倒数，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅,求||的取值范围.【答案】（1）12322=+y x ；（2）x y 42=（3）[)+∞,58【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为3，所以椭圆的离心率为3。
考前必做基础30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(原卷版)
2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题五考前必做基础30题一、填空题1．全集,集合, ,则__________．2．复数满足（为虚数单位），则的模是_______．3．某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为________4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出__________人．5．执行如图所示的程序框图，输出的______．6．根据图中所示的伪代码，可知输出的结果为________．7．函数的定义域为______．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.9．函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．10．已知圆：，在圆内随机取一点，直线交圆于，两点（为坐标原点），则的概率为_____．11．已知，则__________．12．已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．13．已知为双曲线的左焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线右支相交于点，若，则双曲线的离心率为______.14．已知等比数列满足，前项和满足，则等于______．15．若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．16．已知正方体的棱长为2，是面的中心，点在棱上移动，则的最小值时，直线与对角面所成的线面角正切值为__________．17．已知四棱锥，底面为边长为4的正方形，垂直于底面，若四棱锥外接球的表面积和外接球的体积数值相等，四棱锥的体积为________.18．已知△ABC中，，D是BC边上的一点，且△ABD为等边三角形，则△ACD面积S的最大值为__________.19．已知点在的边上，且，若，则的最大值为____________．20．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，则实数a的取值范围是______．二、解答题21．如图，在三棱柱中，平面，底面为正三角形，，是的中点，是的中点．求证：（1）平面；（2）⊥平面．22．已知，函数.（1）求的单调递增区间；（2）若在上的最大值为，求的值.23．已知为锐角，．（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）求的值．24．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值25．在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，过的平面与面交于，两点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）设，当为何值时四棱锥的体积等于，求的值．26．如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头．为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记(弧度)，监控摄像头的可视区域的面积为平方米．（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：）（2）求的最小值．27．已知三角形的三个顶点均在椭圆上，为椭圆短轴上端点.（1）若的重心是右焦点，试求直线的方程；（2）若，为的中点，试求点的轨迹方程.28．已知椭圆的一个焦点与的焦点重合且点为椭圆上一点（l）求椭圆方程；（2）过点任作两条与椭圆相交且关于对称的直线，与椭圆分别交于、两点，求证：直线的斜率是定值29．某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为,设圆柱的高度为，底面半径为，且,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关．已知易拉罐侧面制造费用为元，易拉罐上下底面的制造费用均为元为常数)．（1）写出易拉罐的制造费用(元)关于的函数表达式，并求其定义域；（2）求易拉罐制造费用最低时的值．30．已知圆，直线过定点．（1）若与圆相切，求的方程；（2）若的倾斜角为，与圆相交于两点，求线段的中点M的坐标；（3）若与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时的直线方程。
专题06 考前必做难题30题-2017年高考数学走出题海之黄
1.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．【答案】(或) 【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB ⊥，由于(2,)C m -，CO =CB =0sin sin 452CB COB CO∠==≥=，解得m ≤2．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为 .【答案】223 【解析】用代换，用y 代换，则,x y 满足225ln 0x x y --=，即225ln y x x =-，以代换，可得点(,)x x -，满足0x y +=，所以求解22)()(c b c a ++-的最小值即为求解曲线225ln y x x =-上的点到直线0x y +=的距离的最小值，设直线0x y m ++=与曲线225ln y x x =-相切于点00(,)P x y ，则()54f x x x '=-，则()000541f x x x '=-=-，解得01x =，所以切点(1,2)P ，又由点P 到直线0x y +=的距离为2d ==． 3．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y+的最小值为 .【答案】18【解析】11sin cos tan 22ABC S AB AC A AB AC A A =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠△11tan 1223AB AC A =∠=⨯=，即11122x y x y ++=⇒+=，那么()141442252518y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥． 4.已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为 .【答案】2425-【解析】函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，说明周期为2π，22,1ππωω==，在时取得最大值2，则sin()12,sin()1,23332k ππππϕϕϕπ++=+=+=+，26k πϕπ=+， 02πϕ≤≤，取6πϕ=，则()sin()16f x x π=++，8()sin()165f παα=++= ，sin(α+3)65π= ，54,,cos()362665πππππααπα<<∴<+<∴+=- ，3424sin(2)sin 2()2sin()cos()2()36665525ππππαααα+=+=++=⨯⨯-=- .5．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于 .【答案】42【解析】抛物线212x y =可化为22y x =，4y x '=在点2(,2)i i a a 处的切线方程为()224i i i y a a x a -=-，所以切线与x 轴交点的横坐标为112i i a a +=，所以数列{}2k a 是以232a =为首项，14为公比的等比数列，所以246328242a a a ++=++=．6．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是 .【答案】18⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得，()12f x ax x '=+，若()f x 在区间122⎛⎫⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，在()0f x '≥在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，有解，故212a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥的最小值，又()212g x x =-在122⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调递增函数，所以()1128g x g ⎛⎫>=-⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是18a -≥． 7.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 . 【答案】6【解析】由于MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，则2c MN =，设),4(y cN ，又)0,(1c F -，且1||||F Q QN =，则)2,83(y c Q -,点N 、Q 在双曲线上满足方程，有14649,11622222222=-=-b y a c b y a c ，消去y 得：62=e ，则6=e .8．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是 ． 【答案】1(,)3+∞【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==，()m n >，由于12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，即有10,2m n c ==，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，即由125,5,(5)a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >，既有552c <<，由离心率公式可得2122122125251c c c e e a a c c =⋅==--，由于22514c <<，则由2112531c >-，则12e e 的取值范围是1(,)3+∞．9．已知函数()[]()()21(02)12x x x f x x ⎧--<⎪=⎨=⎪⎩，≤，，其中[]x 表示不超过的最大整数．设*n ∈N ，定义函数()n f x ：()()1f x f x =，()()()21f x f f x =，···，()()()()12nn f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有 个①y =的定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； ②设{}012A =，，，()3{|}B x f x x x A ==∈，，则A B =； ③201620178813999f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|02}M x f x x x ==∈，，，则M 中至少含有个元素． 【答案】3【解析】①()0x f x -≥，当01x <≤时，[]()()20213x f x x x x ==-⇒，≤≥，所以213x <≤；当12x <≤时，[]()11x f x x x ==-，≤成立，所以12x <≤；当2x =时，()12f x =≤成立，所以213x <≤；因此定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；②()()()100221f f f ===，，∴1B ∈；()()()022110f f f ===，，，∴()()()0211002B f f f ∈===；，，，∴2B ∈，因此A B =；③因为822141455899999999f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，即5188499f f T ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，因此2016201720162017418882888810999999999f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，；④由上可知821450129999，，，，，，为M 中元素，又2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以M 中至少含有个元素．综上共有3个正确说法． 10.已知函数.若函数在区间内没有零点， 则的取值范围是 ． 【答案】【解析】1cos 11()cos 22222x f x x x x ωωωω+=+-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数在区间内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26226x k k πωππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则126512k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩ ，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤ ； （2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则262226k k πωππππωπππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：5261112k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩ ，取0k = ，511612k ∴≤≤ ； 综上可知： 的取值范围是5511(0,][,]12612⋃． 11．已知函数()()2,11{2,13x x f x f x x -<≤=-<<，函数()f x 在0x x =处的切线为，若01165x <<，则与()f x 的图象的公共点个数为__________． 【答案】2或3. 【解析】由题意得，当01165x <<时，直线的方程为： 2002y x x x =-，其与11x -<≤时的图象只有一个交点，当13x <<时， ()()22f x x =-，则将直线的方程2002y x x x =-代入到()()22f x x =-中，得()2200042402x x x x x x -+++=⇒=+±，由01165x <<得，0123x <+-，当0136x <<-0223x <++<，在定义域内，此时在13x <<时，直线与()f x 有两个交点，综合有三个交点；当0135x -<时，023x ++≥，不在定义域内，此时在13x <<时，直线与()f x 有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，与()f x 的图象的公共点个数为2或3.【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当13x <<时，将直线直线代入到()f x 中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论即可求解.12．已知，均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为__________． 【答案】7 【解析】21201ab a b a b--=⇒+= ，所以2122242222a a a a bb b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （当且仅当2a b = 时取等号） 而2222842a b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥= （当且仅当2a b = 时取等号），因此22218174a b a b +--≥-= （当且仅当2a b = 时取等号），即22214a b a b-+-的最小值为7. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．已知函数()f x =若关于的方程()()210fx mf x m -+-=恰好有个不相等的实根,则m 的取值范围是__________． 【答案】(){},12-∞⋃【解析】当0x >时， ()1212x x f x e -==， ()1'x f x e-==，当102x <<时， ()'0f x >， ()f x 递增，当12x >时， ()'0f x <， ()f x 递减，当0x <时， ()()1212x x f x e --==， ()'0f x =<，即()f x 递减，注意x →+∞时， ()0f x →且()0f x >，可作出函数()f x 的图象（简图）如图， ()00f =，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由()()210fx mf x m -+-=得()1f x =或()1f x m =-，从图象知()1f x =有三个不同的根，因此11m -=或()1f x m =-无实根，即10m -<，所以1m <或2m =． 点睛：本题中方程()()210fx mf x m -+-=中把()f x 作为一个整体，可直接解出()1f x =或()1f x m =-，从而分别研究这两个方程即可，而这两个方程的解的个数可以看作函数()y f x =的图象与直线1x =或1x m =-的交点个数，因此首先研究函数()f x 的性质：特别是单调性、极值，得出函数图象的变化趋势，作出简图，从图中可看出()1f x =已知有三个解，因此()1f x m =-无实数根或者就是方程()1f x =，利用导数研究函数的性质是解题的关键． 14．已知方程()2l n 2||2x m x -=-，有且仅有四个解123,,,x x x x ，则()1234m x x x x +++=__________． 【答案】4e【解析】由图可知1234428x x x x +++=⨯= ,且3x > 时, ()ln 2y x =- 与()22y m x =-只有一个交点,令21t x =-> ,则由223ln 12ln ln t tt mt m m t t -='=⇒=⇒ ,再由312l n 0t m t t-'==⇒,不难得到当t = 时()ln 2y x =- 与()22y m x =- 只有一个交点,即12m e e== ,因此()12344m x x x x e +++=点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 15．已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________．【答案】()2,4 【解析】2sin 2sin sin32sin sin cos2cos sin21sin sin sin sin2sin cos c b C B B B B B B B b a B A B B B B++=+=+=+ 2211cos22cos 4cos 1cos cos B B B B B=++=+-.又()20,B π∈，且()30,A B B π+=∈，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，令()22141c b t f t b a t +=+-=，则()32218180t f t t t t -=-=>'，故()f t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f t <<.16．已知22142(0,0)x y xy x y =+-<<，则2x y +的取值范围为__________． 【答案】[)2,1--【解析】由题意得()2231x y y -+= ，令()()cos ,sin π,0x y y ααα-==∈- ，则π2cos 2sin 6x y ααα⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭ ，且c o s s i n 03x αα=+< ，所以ππ,3α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， π5πππ1,,1sin 66662αα⎛⎫⎛⎫+∈---≤+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即[)22,1x y +∈--.17．对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*,N m k ∈且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,2,{25,3,n n n a n n ≤=-≥判断数列{}n a 是否具有性质()2P ？是否具有性质()4P ？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质()2P ，又具有性质()5P ，求证：存在整数N ，使得12,,,,,N N N N k a a a a +++是等差数列.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质()2P ；具有性质()4P ;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据新定义直接验证即可的结论（2）对于“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{}1,0,1T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质()0P ；再证必要性因为数列{}n a 具有性质()0P ，所以一定存在一组最小的*,N m k ∈且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =，所以数列{}n a 中必然会以某个周期进行，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，从而得证（3）因为数列{}n a 具有性质()2P ，数列{}n a 具有性质()5P ，所以存在*','N M N ∈，使得''2M p M a a +-=， ''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论 试题解析：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质()2P ；具有性质()4P . （Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,， {}1,0,1T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质()0P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质()0P ，所以一定存在一组最小的*,N m k ∈且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =由性质()0P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律： 11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，所以T 最多有21m C -个元素，即T 是有限集. （Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质()2P ，数列{}n a 具有性质()5P ，所以存在*','N M N ∈，使得''2M p M a a +-=， ''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质()()2,5P P 的含义可得N k ∀∈， ''''2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 若''M N <，则取''k N M =-，可得''2N p N a a +-=； 若''M N >，则取''k M N =-，可得''5M q M a a +-=.记{}max ','M M N =，则对于M a ，有2M p M a a +-=， 5M q M a a +-=，显然p q ≠， 由性质()()2,5P P 的含义可得N k ∀∈， 2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 所以()()()()()()1122M qp M M qp M p M M q p M q p M q p a a a a a a a a q ++++-+-+--=-+-++-=()()()()()()1125M qp M M pq M q M M p q M p q M p q a a a a a a a a p ++++-+-+--=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=， 5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以N k ∀∈， 252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以N k ∀∈， ()22122M k M M k a a a k ++-=+==+， ()55155M k M M k a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则N k ∀∈， 所以，若是偶数，则N k N a a k +=+；若是奇数，则()()()555555N k N N N N k a a a k a k a k ++++-==+-=++-=+，所以N k ∀∈， N k N a a k +=+ 所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.18．已知数列{}n a 满足11a =， 2142n n n n a a a a λμ+++=+，其中*N n ∈， λ， μ为非零常数.（1）若3λ=， 8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ， μ的值；②数列{}n a 的前项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1231n n a -=⋅-（2）①1λ=， 4μ=， 21n a n =-.②{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ， {}142040,,,S S S S【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找11n a ++与1n a +比例关系：利用213842n n n n a a a a +++=+ 代入化简可得()1131n n a a ++=+.最后说明各项非零.（2）①令1n =，2，3，根据等差数列性质得2133242,2a a a a a a =+=+ ，列出关于λ， μ的二元一次方程组，解得λ， μ的值；再验证满足题意. ②先求数列{}n a 的前项和2n S n =，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定.试题解析：解：（1）当3λ=， 8μ=时， 213842n n n n a a a a +++=+ ()()3222n n n a a a ++=+ 32na =+， ()1131n n a a +∴+=+.又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，{}1n a ∴+为2为首项，3为公比的等比数列， 1123n n a -∴+=⋅， 1231n n a -∴=⋅-.（2）①设()11n a a n d =+- 1dn d =-+，由2142n n n n a a a a λμ+++=+得()12n n a a ++= 24n n a a λμ++，()()31dn d dn ∴-++ ()21dn d λ=-+ ()14dn d μ+-++，()22243d n d d n d ∴⋅+--+ ()()2221d n d λλμ=+-+ ()21dn d λ+-+ ()14d μ-+对任意*N n ∈恒成立.令1n =，2，3，解得， 1λ=， 4μ=， 2d =. 经检验，满足题意.综上， 1λ=， 4μ=， 21n a n =-. ②由①知()21212n n n S n +-==.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设1S ， 21x S +， 21y S +， 2z S 是满足条件的四项，则()2121x +++ ()222142017y z ++=，()2222x x y y z ∴++++ 1007=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设1S ， 2x S ， 2y S ， 2z S 是满足条件的四项，则2214x ++ 22442017y z +=， 222504x y z ∴++=.由504为偶数知，， y ，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若， y ，中一个偶数两个奇数，不妨设12x x =， 121y y =+， 121z z =+，则()222111112x y y z z ++++ 251=，这与251为奇数矛盾.2）若， y ，均为偶数，不妨设12x x =， 12y y =， 12z z =，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知1x ， 1y ， 1z 中两奇数一个偶数， 不妨设122x x =， 1221y y =+， 1221z z =+，则22222x y y +++ 22231z z +=.因为()221y y +， ()221z z +均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ≤≤，当21x =时， 222222y y z z +++ 30=， 22214y y +≤，检验得20y =， 25z =， 21x =， 当23x =时， 222222y y z z +++ 22=， 22210y y +≤，检验得21y =， 24z =， 23x =，当25x =时， 222222y y z z +++ 6=， 2222y y +≤，检验得20y =， 22z =， 25x =，即1S ， 4S ， 8S ， 44S 或者1S ， 12S ， 24S ， 36S 或者1S ， 4S ， 20S ， 40S 满足条件， 综上所述， {}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ， {}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列. 19．已知函数，．（Ⅰ）若直线与曲线和分别交于两点.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为.（ⅰ）当时，若，求的值；（ⅱ）若，求的最大值；（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．若，且恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）(ⅱ) （2）【解析】 (Ⅰ) 函数的定义域为.，.（ⅰ）当时，，.因为，所以. 即.解得.(ⅱ)因为，则在上有解. 即在上有解.设，，则.当时，恒成立，则函数在上为增函数.当时，取，取，, 所以在上存在零点.当时，存在零点，，满足题意.（2）当时，令，则.则在上为增函数，上为减函数.所以的最大值为.解得.取，.因此当时，方程在上有解.所以，的最大值是.另解：函数的定义域为. ，.则，.因为，则在上有解.即在上有解.因为，所以.令(). .得.当，，为增函数；当，，为减函数；所以.所以，的最大值是.（Ⅱ）.因为为在其定义域内的两个不同的极值点，所以是方程的两个根. 即，.两式作差得，.因为，由，得. 则.令，则，由题意知:在上恒成立，令，则=.当，即时，，，所以在上单调递增.又，则在上恒成立.当，即时，时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数.又，所以不恒小于，不合题意.综上，.20．已知函数()21ln 2f x x ax bx =-+且函数()y f x =图象上点()()1,1f 处的切线斜率为. （1）试用含有的式子表示，并讨论()f x 的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点()()1122,,,A x y B x y 如果在函数图象上存在点()()()00012,,,M x y x x x ∈使得点M 处的切线l AB ，则称AB 存在“跟随切线”.特别地，当1202x x x +=时，又称AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数()f x 上是否存在两点,A B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】试题分析：（1）函数()y f x =的定义域为()0,+∞，且()1'f x ax b x=-+，又()'10f =，整理得1b a =-. ()()()1111'1ax x f x ax b ax a x x x+-+=-+=-+-=. 然后根据a 的不同取值情况逐一讨论分析（2）假设满足条件的,A B 存在，不妨设()()1122,,,A x y B x y 且120x x <<，则()1212121212ln ln 112AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，又由题有：()0'AB k f x =，整理可得：()121211*********221ln ln 222ln *1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭=⇒==-+++，令12,(01)x t t x =<<，构造函数()()21ln ,(01)1t g t t t t -=-<≤+，则()()()()22211411t g t t t t t -=-=++，则()0,1t ∈时， ()0g t ≥恒成立，故()y g t =在()0,1上单调递增从而得出不存在。
新题精选30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)
2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二新题精选一、填空题1．【数学文化与几何概型】谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．【答案】【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的，∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的，设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为，故答案为：2．【传统文化与古典概型】《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．【答案】【解析】从八卦中任取两卦，共有种取法若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有种取法.当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有种取法.所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有种.则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为3.【新定义向量问题】定义平面向量的一种运算：（是向量和的夹角），则下列命题：①；②；③若且，则；其中真命题的序号是___________________.【答案】①③【解析】①由新定义可得，故恒成立；②由新定义可得=λ||||sin＜，＞，而（λ）⊗=|λ|||sin＜，＞，当λ＜0时，不成立；③若=λ，且λ＞0，则+=（1+λ），若，且λ＞0，则=（1+λ），由新定义可得（）⊗=|（1+λ）|| || |sin＜，＞，而（⊗）+（⊗）=|λ|| |sin＜，＞+| || |sin＜，＞=|1+λ|||| |sin＜，＞．成立.综上可知：只有①③恒成立．故答案为：①③4．【新定义函数、对数函数的性质】设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），定义运算：，则以下四个结论：①（2τ4）τ8=8τ（4τ2）；②8τ（4τ2）＞（8τ4）τ2＞（2τ8）τ4；③（4τ2）=（2τ4）τ4＜（2τ8）τ4；④．其中所有正确结论的序号为__．【答案】①②【解析】对于①，2τ4=log24=2，4τ2=log24=2，∴（2τ4）τ8=2τ8=log28=3，8τ（4τ2）=8τ2=log28=3，∴（2τ4）τ8=8τ（4τ2），①正确；对于②，8τ（4τ2）=3，8τ4=log48=，∴（8τ4）τ2=τ2=2，2τ8=log28=3，∴（2τ8）τ4=3τ4=log34=2，3＞2＞2，∴8τ（4τ2）＞（8τ4）τ2＞（2τ8）τ4，②正确；对于③，4τ2=2，（2τ4）τ4=2，（2τ8）τ4=log34，∴（4τ2）=（2τ4）τ4＞（2τ8）τ4，③错误；对于④，τ=，2τ=2，∴（τ）（2τ）=•2=2＜0，（τ）+（2τ）=+2＞0，∴④错误．综上，所有正确结论的序号为①②．故答案为：①②．5．【平面向量的应用】已知等边的边长为2，若，，则的面积为_______．【答案】【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则因为,所以，故，，设的夹角为，，所以，，点到直线的长度为，的面积为.6．【直线与抛物线的位置关系】抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】由题得在直线上，设点，，；又，，即；△，即，解得，或，又，的取值范围是，．故答案为：，．7．【直线与不等式】已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为点所在直线与点所在直线平行，因此可设的中点所在直线的方程为，所以有，解得，所以的中点所在直线的方程为，联立，解得，所以其交点为，所以，联立，解得，所以其交点为，所以，令，因为满足条件的点M的轨迹为线段RS，所以，故答案是：.8.【集合与数列】已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，集合,将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为，则数列的前45项和_______．【答案】2627【解析】因为数列的通项公式是，所以集合，随着增大时，数列中前后连续两项之间的差值越来越大，故考虑在中的前后连续两项之间插入数列中相应大小的项，因为是选取新数列的前45项，故：，数列中无项可插入，，数列中无项可插入，，数列中可插入，增加1项，共5项，，数列中可插入，增加2项，共8项，，数列中可插入，增加5项，共14项，，数列中可插入，增加10项，共25项，接下来只需再增加中的20项即可，也就是中从（含）开始的连续的20项，因为，故终止于.则.9．【平面向量的模与三角函数】在直角三角形中，，，，若，动点满足，则的最小值是______．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，据此可得：，，，则：，，其中，当时，取到最小值.10．【几何体的体积与导数的应用】圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为的扇形.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案】【解析】设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为=圆锥高为设正四棱柱的底面边长为2a,高为h,则得正四棱柱体积V=,设=令得当,故的最大值为故答案为11．【几何体的体积与导数的应用】如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E 是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．【答案】（0，）【解析】因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF设,则所以五棱锥的体积为或（舍）当递增，故所以的取值范围是（0，）故答案为（0，）12．【直线与圆、直线与椭圆的位置关系】已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为__________.【答案】【解析】首先证明椭圆的一个性质：椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于上的一个点，则.证明如下：设，，，由于点是椭圆上的两点，故，两式作差可得：，此时.故结论成立.回到本题，由题意可知：，设直线PA的方程为：，则，设直线PB的方程为：，则，故，故为外接圆的直径，设所求的点为，则：，即，解得：，(舍去).综上可得：所求点的坐标为：.13．【数列与导数的应用】已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是_______．【答案】【解析】解：实数，，，满足，且，所以，若则，若则，所以，，因为关于的方程为，所以解得：，设，由得，，则，因为要成立，故，设函数，因为在上恒成立，故函数单调递减，所以，，所以此时在的值域为，即当时，；设函数，因为在上恒成立，故函数单调递增，所以，，所以此时在的值域为，即当时，，综上：.14．【函数与平面向量】已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k PA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：15．【集合、等比数列与组合数性质】设整数，集合2，，，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对的个数为：______．【答案】【解析】设中的最大数为，其中，整数，则中必含元素，另元素可在中，故的个数为：，中必不含元素另元素可在中，但不能都不在中，故的个数为：，从而集合对的个数为，．故答案为：．二、解答题16．【数列与充要条件】给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（1）设数列为3，4，7，5，2，写出，，，的值；（2）设是，公比的等比数列，证明：成等比数列；（3）设，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由题意，可知：①当i＝1时，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1；②当i＝2时，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2；③当i＝3时，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5；④当i＝4时，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5．（2）由题意，可知：∵a1＞0，公比q＞1，∴数列{a n}是一个单调递增的等比数列．∴①当i＝1时，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）；②当i＝2时，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；③当i＝3时，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q2；…∴对，.因此且，∴为首项为a1（1﹣q），公比为q的等比数列．（3）充分性：若是公差为的等差数列，则，因为，，，，.必要性：若，．假设是第一个使的项，则，这与相矛盾，故∴，即，故是公差为的等差数列．17．【时政与三角函数、导数的应用】为美化城市环境，相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡经过直径的两端点A，B及圆周上两点C，D围成一个多边形ABPQR，其中AR，RQ，QP，PB分别与半圆相切于点A，D，C，B．已知该半圆半径OA长30米，∠COD为60°，设∠BOC为．（1）求围挡内部四边形OCQD的面积；（2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小．求该围挡内部多边形ABPQR面积的最小值？并写出此时的值．【答案】（1）（2）围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900平方米，此时【解析】（1）连接OQ，因为QD，QC为圆O的切线，所以QD＝QC，OD＝OC＝30，OQ＝OQ，所以△ODQ≌△OCQ，所以∠DOQ＝∠COQ＝30°，又因为OD⊥DQ，所以＝tan30°＝，所以DQ＝10，所以S△ODQ＝OD·DQ＝150，所以S OCQD=2S△ODQ =300；即围挡内部四边形OCQD的面积为300平方米；（2）BP=OB tan，S OBPC=2S△OBP=900 tan，同理S OARD=2S△OAR=900 tan(－)，S ABPQR=900[tan+ tan(－)]＋300，即求 tan+ tan(－)的最小值，tan+ tan(－)= tan+=（*）令，由得x(1，4)则（*）=≥，当且仅当x=2时取等号，此时，故S min=900×+300=900，答：围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900平方米，此时18．【直线与椭圆的位置关系、平面向量】已知椭圆：，点在的长轴上运动，过点且斜率大于0的直线与交于两点，与轴交于点.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，.（1）求椭圆的方程；（2）当均不重合时，记，，若，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）见证明【解析】解：（1）因为当为的右焦点且的倾斜角为时，，重合，，所以故，因为，因此，，所以椭圆的方程为.（2）设，所以，，所以.因为斜率大于0，所以，设，，则，，由得，，①同理可得，②①②两式相乘得，，又，所以，所以，即，即由题意，知，所以.联立方程组，得，依题意，所以，又，所以，因为，故得，所以，即直线的斜率为.19．【新定义与数列】如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；（2）设为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；（3）类似地：非零．．数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数．．．．．使得对于任意，都有；若不是，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）63.【解析】（1）若数列{a n}满足a n+a n+1＝2n﹣35，n∈N*，则：a n+1+a n+2＝2（n+1）﹣35，两式相减得：a n+2﹣a n＝2．故数列{a n}是“间等差数列”，公差d＝2．（2）（i）当n＝2k时，（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．（ii）当n＝2k+1时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153，则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．（3）易知：c n c n+1＝2018•（）n﹣1，则：c n+1c n+2＝2018•（）n，两式相除得：，故数列{c n}为“间等比数列”，其间等比为．，易求出数列的通项公式为：，由于n＞n+1，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．要使数列为单调递减数列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，即：，解得，即最大的整数.20．【时政与概率统计】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．【答案】（1）（2），分布列见解析【解析】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，共有7名同学，所以，所以可估计这名学生考核优秀的概率为．（2）由题意可得的所有可能取值为，因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有人，所以，，，．所以随机变量的分布列为所以，即数学期望为．21．【集合与数列】已知等差数列满足，前8项和．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足．① 证明：为等比数列；② 求集合．【答案】（1）（2）①见解析，②【解析】（1）设等差数列的公差为d．因为等差数列满足，前8项和，所以，解得所以数列的通项公式为．（2）①设数列前项的和为．由（1）及得由③-④得3-=-．所以，又，所以，满足上式．所以当时，由⑤-⑥得，．，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以（当且仅当时等号成立）．由，得，所以．设，由，得．当时，，不合题意；当时，，此时符合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意．下面证明当时，．不妨设，，所以在上单调增函数，所以，所以当时，，不合题意．综上，所求集合．22．【新定义、数列集合问题】设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．求：（1）集合的“和谐子集”的个数；（2）集合的“和谐子集”的个数．【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4．（2）【解析】（1）集合的子集有：，，，，，，，．其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，，，．所以的“和谐子集”的个数等于4．（2）记的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；另记有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数倍余2的子集．由（1）知，．集合的“和谐子集”有以下四类（考查新增元素）：第一类集合…，的“和谐子集”，共个；第二类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；同时含三个元素的“和谐子集”，共个；第三类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；第四类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含有两个元素的“和谐子集”，共个，所以集合的“和谐子集”共有个．同理得，．所以，，所以数列是以2为首项，公比为2 的等比数列．所以．同理得．又，所以．23．【新定义与导数的应用】已知函数，当时，取得极小值.（1）求的值；（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.试证明：直线是曲线的“上夹线”.【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】(1)由已知，于是得：，代入可得：，.此时，.所以.当时，；当时，.所以当时，取得极小值，即，符合题意.(2)，则.所以单调递增，又.为的根，即，也即.，.，所以存在这样最小正整数使得恒成立.(3)由，得，当时，.此时，所以是直线与曲线的一个切点，当，此时，.所以也是直线与曲线的一个切点，即直线与曲线相切且至少有两个切点，对任意，.即，因此直线是曲线的“上夹线”.24．【数列与充要条件】正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．（1）若，，求，的值；（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．【答案】（1），.（2）见解析（3）【解析】（1）由条件得，即，解得或，又≥，所以．（2）（充分性）：当为常数数列时，是公差为零的等差数列,即充分性成立．（必要性）：因为，又当为等差数列时，对任意恒成立．所以，因为，所以，即，从而对恒成立，所以为常数列．综上可得是等差数列的充要条件是为常数数列．（3）因为任意，，又，所以．从而，即，则，所以．25．已知，是离心率为的椭圆两焦点，若存在直线，使得，关于的对称点的连线恰好是圆的一条直径.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.【答案】（1）；(2)定点【解析】（1）将圆的方程配方得所以其圆心为半径为1.由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以又，所以，椭圆的方程为；（2）因为，所以直线斜率存在，设直线,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得,所以直线定点26．【集合与组合数的性质】已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）证明：假设存在，使得，显然，取，则，由题意，而为集合中元素的最大值，所以，，矛盾，假设不成立，所以，不存在，使得．（Ⅲ）设为使得的最大正整数，则．若，则存在正整数，使得，所以．同（Ⅱ）不可能属于集合．于是，由题意知，所以，，集合中大于2000的元素至多有19个，所以．下面证明不可能成立．假设，则存在正整数，使得，显然，所以存在正整数使得．而与为使得的最大正整数矛盾，所以不可能成立．即成立．当时，对于任意的满足显然有成立．若，则，即，所以，，其中均为符合题意的集合．而可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为．因此，满足条件的集合的个数为．27．【导数的几何意义与导数的应用】已知函数为常数）.曲线在点处的切线与轴平行.(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；(Ⅲ) 设,其中为的导函数.证明：对任意，.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ) 解:由可得.而，即，解得.(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，设，则.即在上是减函数.由知，当时，，从而；当时，，从而.综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为.(Ⅲ) 证明:因为，所以，.对任意，等价于.设，，则，.当时，，故有单调递增.当时，，故有单调递减.所以，的最大值为.则.设因为，所以当时，，单调递增.则.即，从而有.则.因此，对任意，.28．【集合与排列组合、二项式定理】设且，集合的所有个元素的子集记为．（1）当时，求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．【答案】（1）30；（2）2019.【解析】（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为；（2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．∴，．．29．【等差数列、等比数列与不等式】数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．30．【数列与二项式定理】设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个。
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2019年高考数学走出题海之黄金30题系列
专题六 考前必做难题30题
一、填空题
1．若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________.
2．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1
22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是 . 3.双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 .
4．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是 ．
5．如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．
6．在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和
所成角的余弦值为__________． 7．已知在
中，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，若，则的值为__________．
8.如图，在三棱锥P-ABC 中，侧面PAB 垂直于底面ABC ，△ABC 与△PAB 都是边长为
的正三角形，则该三
棱锥的外接球的表面积为___________.
9．在中，所对的角为，满足条件： 且
，则边长的值为__________．
10．已知a ， b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b
-+-的最小值为__________． 11．已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________．
12．正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________
13．已知为抛物线
的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___.
14．已知函数()2x
f x =若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰好有3个不相等的实根,则m 的
取值范围是__________．
15.已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是_______．
三、解答题
16．已知圆O ；x 2+y 2=4，F 1（-1，0），F 2（1，0），点D 圆O 上一动点，2=，点C 在直线EF 1上，且=0，
记点C 的轨迹为曲线W ．
（1）求曲线W 的方程；
（2）已知N （4，0），过点N 作直线l 与曲线W 交于A ，B 不同两点，线段AB 的中垂线为l'，线段AB 的中点为Q 点，记P 与y 轴的交点为M ，求|MQ|的取值范围．。